Kahit distribusyon. tuloy-tuloy na halaga Ang X ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan ( a, b) kung ang lahat ng posibleng mga halaga nito ay nasa pagitan na ito at pare-pareho ang density ng pamamahagi ng posibilidad:

Para sa isang random na variable X, pantay na ibinahagi sa pagitan ( a, b) (Larawan 4), ang posibilidad na mahulog sa anumang pagitan ( x 1 , x 2) nakahiga sa loob ng pagitan ( a, b), ay katumbas ng:

(30)


kanin. 4. Graph ng pare-parehong density ng pamamahagi

Ang mga error sa pag-round ay mga halimbawa ng pantay na distributed na dami. Kaya, kung ang lahat ng mga halaga ng tabular ng isang tiyak na function ay bilugan sa parehong digit, pagkatapos ay pumipili ng isang tabular na halaga nang random, isinasaalang-alang namin na ang error sa pag-round ng napiling numero ay isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan.

exponential distribution. Patuloy na random variable X Mayroon itong exponential distribution

(31)

Ang graph ng probability distribution density (31) ay ipinapakita sa fig. 5.

kanin. 5. Graph ng density ng exponential distribution

Oras T Ang failure-free na operasyon ng isang computer system ay isang random na variable na may exponential distribution na may parameter λ , ang pisikal na kahulugan nito ay ang average na bilang ng mga pagkabigo sa bawat yunit ng oras, hindi binibilang ang downtime ng system para sa pagkumpuni.

Normal (Gaussian) na pamamahagi. Random na halaga X Mayroon itong normal (gaussian) pamamahagi, kung ang pamamahagi ng density ng mga probabilidad nito ay tinutukoy ng dependence:

(32)

saan m = M(X) , .

Sa tinatawag ang normal na distribusyon pamantayan.

Ang graph ng density ng normal na distribution (32) ay ipinapakita sa fig. 6.

kanin. 6. Graph ng density ng normal na distribution

Ang normal na distribusyon ay ang pinakakaraniwang distribusyon sa iba't ibang random na phenomena ng kalikasan. Kaya, ang mga error sa pagpapatupad ng mga utos ng isang awtomatikong aparato, mga error sa paglulunsad ng isang spacecraft sa isang naibigay na punto sa espasyo, mga error sa mga parameter ng mga sistema ng computer, atbp. sa karamihan ng mga kaso ay may normal o malapit sa normal na distribusyon. Bukod dito, ang mga random na variable na nabuo sa pamamagitan ng pagbubuo ng isang malaking bilang ng mga random na termino ay ipinamamahagi halos ayon sa normal na batas.

Pamamahagi ng gamma. Random na halaga X Mayroon itong pamamahagi ng gamma, kung ang distribusyon ng density ng mga probabilidad nito ay ipinahayag ng formula:

(33)

saan ay ang Euler gamma function.

Kabanata 6. Patuloy na random variable.

§ 1. Density at distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable.

Ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi mabilang at karaniwang kumakatawan sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan.

Ang isang random na variable na x(w) na ibinigay sa isang probability space (W, S, P) ay tinatawag tuloy-tuloy(ganap na tuloy-tuloy) W kung mayroong hindi negatibong function na, para sa alinmang x, ang distribution function na Fx(x) ay maaaring katawanin bilang integral

Ang function ay tinatawag na function density ng pamamahagi ng posibilidad.

Ang mga katangian ng distribution density function ay sumusunod mula sa kahulugan:

1..gif" width="97" height="51">

3. Sa mga punto ng pagpapatuloy, ang density ng pamamahagi ay katumbas ng derivative ng function ng pamamahagi: .

4. Tinutukoy ng density ng pamamahagi ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable, dahil tinutukoy nito ang posibilidad ng isang random variable na bumabagsak sa pagitan:

5. Ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random variable ay kukuha ng isang tiyak na halaga ay zero: . Samakatuwid, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

Tinatawag ang plot ng distribution density function kurba ng pamamahagi, at ang lugar na nakatali sa kurba ng pamamahagi at ang x-axis ay katumbas ng isa. Pagkatapos, sa geometriko, ang halaga ng distribution function na Fx(x) sa puntong x0 ay ang lugar na nililimitahan ng distribution curve at ang x-axis at nakahiga sa kaliwa ng point x0.

Gawain 1. Ang density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay may anyo:

Tukuyin ang pare-parehong C, buuin ang distribution function na Fx(x) at kalkulahin ang probabilidad .

Solusyon. Ang pare-parehong C ay matatagpuan mula sa kondisyong Mayroon Kami:

saan ang C=3/8.

Upang buuin ang distribution function na Fx(x), tandaan na hinahati ng agwat ang hanay ng x argument (ang number axis) sa tatlong bahagi: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

dahil ang density x sa semiaxis ay zero. Sa pangalawang kaso

Sa wakas, sa huling kaso, kapag x>2,

Dahil ang density ay naglalaho sa semiaxis. Kaya, nakuha ang function ng pamamahagi

Probability kalkulahin sa pamamagitan ng formula. kaya,

§ 2. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na variable

Inaasahang halaga para sa patuloy na ibinahagi na mga random na variable ay tinutukoy ng formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

kung ang integral sa kanan ay ganap na nagtatagpo.

Pagpapakalat x ay maaaring kalkulahin gamit ang formula , at gayundin, tulad ng sa discrete case, ayon sa formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Ang lahat ng katangian ng inaasahan at pagkakaiba-iba na ibinigay sa Kabanata 5 para sa mga discrete random variable ay valid din para sa tuluy-tuloy na random variable.

Gawain 2. Para sa isang random na variable x mula sa Problema 1, kalkulahin ang mathematical expectation at variance .

Solusyon.

At ang kahulugan niyan ay

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Para sa isang graph ng pare-parehong density ng pamamahagi, tingnan ang fig. .

Fig.6.2. Distribution function at distribution density. pare-parehong batas

Ang distribution function na Fx(x) ng isang pare-parehong ibinahagi na random variable ay

Fx(x)=

Pag-asa at pagpapakalat ng matematika; .

Ang exponential (exponential) distribution. Ang tuluy-tuloy na random variable x na kumukuha ng mga hindi negatibong halaga ay mayroong exponential distribution na may parameter l>0 kung ang probability distribution density ng random variable ay katumbas ng

px(x)=

kanin. 6.3. Distribution function at distribution density ng exponential law.

Ang distribution function ng exponential distribution ay may form

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> at , kung ang density ng pamamahagi nito ay katumbas ng

.

Ang hanay ng lahat ng mga random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may mga parameter at parameter ay tinutukoy ng .

Ang distribution function ng isang normally distributed random variable ay

.

kanin. 6.4. Distribution function at distribution density ng normal na batas

Ang mga normal na parameter ng pamamahagi ay ang mathematical na inaasahan https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Sa partikular na kaso kung kailan https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> tinatawag na normal na distribution pamantayan, at ang klase ng naturang mga pamamahagi ay itinalaga https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

habang ang distribution function

Ang nasabing integral ay hindi maaaring kalkulahin nang analytically (hindi ito kinuha sa "quadratures"), at samakatuwid ang mga talahanayan ay pinagsama-sama para sa function. Ang function ay nauugnay sa Laplace function na ipinakilala sa Kabanata 4

,

ang sumusunod na kaugnayan . Sa kaso ng mga di-makatwirang halaga ng mga parameter https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ang random variable distribution function ay nauugnay sa Laplace function gamit ang kaugnayan:

.

Samakatuwid, ang posibilidad ng isang normal na ibinahagi na random na variable na bumabagsak sa isang pagitan ay maaaring kalkulahin ng formula

.

Ang isang non-negative random variable x ay tinatawag na log-normally distributed kung ang logarithm h=lnx nito ay sumusunod sa normal na batas. Ang mathematical expectation at variance ng isang log-normally distributed random variable ay Mx= at Dx=.

Gawain 3. Hayaang magbigay ng random na value https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Solusyon. Dito at https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Pamamahagi ng Laplace ay itinakda ng function na fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> at ang kurtosis ay gx=3.

Larawan.6.5. Laplace distribution density function.

Ang random variable x ay ipinamamahagi sa ibabaw batas ng Weibull, kung mayroon itong distribution density function na katumbas ng https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Ang pamamahagi ng Weibull ay sumusunod sa mga oras ng walang kabiguan na operasyon ng maraming mga teknikal na aparato. Sa mga gawain ng profile na ito, isang mahalagang katangian ang rate ng pagkabigo (mortality rate) l(t) ng mga pinag-aralan na elemento ng edad t, na tinutukoy ng kaugnayan l(t)=. Kung a=1, ang pamamahagi ng Weibull ay magiging exponential distribution, at kung a=2 - sa tinatawag na distribution Rayleigh.

Pag-asa sa matematika ng pamamahagi ng Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kung saan ang Г(а) ay ang Euler function. .

Sa iba't ibang mga problema ng mga inilapat na istatistika, ang tinatawag na "pinutol" na mga pamamahagi ay madalas na nakatagpo. Halimbawa, ang mga awtoridad sa buwis ay interesado sa pamamahagi ng kita ng mga taong iyon na ang taunang kita ay lumampas sa isang tiyak na threshold c0 na itinatag ng mga batas sa pagbubuwis. Ang mga distribusyon na ito ay lumalabas na halos kapareho ng pamamahagi ng Pareto. Pamamahagi ng Pareto ibinigay ng mga function

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> random variable x at monotonic differentiable function ..gif" width="200" height="51">

Dito https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Gawain 4. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan. Hanapin ang density ng isang random variable.

Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa kalagayan ng problema na

Susunod, ang function ay isang monotonic at differentiable function sa interval at may inverse function , na ang derivative ay katumbas Samakatuwid,

§ 5. Isang pares ng tuluy-tuloy na random variable

Hayaang ibigay ang dalawang tuluy-tuloy na random na variable na x at h. Pagkatapos ay tinutukoy ng pares (x, h) ang isang "random" na punto sa eroplano. Ang isang pares (x, h) ay tinatawag random na vector o dalawang-dimensional na random na variable.

magkasanib na pagpapaandar ng pamamahagi random variables x at h at ang function ay tinatawag na F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. magkasanib na density ang probability distribution ng random variables x at h ay isang function na ganoon .

Ang kahulugan ng kahulugan na ito ng joint distribution density ay ang mga sumusunod. Ang posibilidad na ang isang "random point" (x, h) ay mahuhulog sa isang lugar sa isang eroplano ay kinakalkula bilang ang dami ng isang three-dimensional figure - isang "curved" cylinder na nakatali sa ibabaw https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pinagsamang pamamahagi ng dalawang random na variable ay ang two-dimensional pare-parehong pamamahagi sa setA. Hayaang magbigay ng bounded set M na may lugar. Ito ay tinukoy bilang ang distribusyon ng pares (x, h) na ibinigay ng sumusunod na joint density:

Gawain 5. Hayaang ang isang dalawang-dimensional na random na vector (x, h) ay pantay na maipamahagi sa loob ng tatsulok . Kalkulahin ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay x>h.

Solusyon. Ang lugar ng ipinahiwatig na tatsulok ay katumbas ng (tingnan ang Fig. No.?). Sa bisa ng kahulugan ng isang dalawang-dimensional na pare-parehong pamamahagi, ang magkasanib na density ng mga random na variable x, h ay katumbas ng

Ang kaganapan ay tumutugma sa set sa isang eroplano, iyon ay, isang kalahating eroplano. Tapos yung probability

Sa half-plane B, ang joint density ay katumbas ng zero sa labas ng set https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Kaya , ang half-plane B ay nahahati sa dalawang set at https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> at , at ang pangalawang integral ay zero, dahil ang joint density ay zero doon. kaya lang

Kung ang joint distribution density para sa pares (x, h) ay ibinigay, kung gayon ang mga densidad at mga bahagi na x at h ay tinatawag pribadong densidad at kinakalkula ng mga formula:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Para sa tuluy-tuloy na ipinamahagi na mga random na variable na may densidad na px(x), ph(y), nangangahulugan ang independence na

Gawain 6. Sa ilalim ng mga kondisyon ng nakaraang problema, alamin kung ang mga bahagi ng random na vector x at h ay independyente?

Solusyon. Kalkulahin natin ang mga bahagyang densidad at . Meron kami:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Malinaw, sa aming kaso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> ay ang joint density ng x at h, at j(x, y) ay isang function ng dalawang argumento, kung gayon

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Gawain 7. Sa mga kondisyon ng nakaraang problema, kalkulahin .

Solusyon. Ayon sa formula sa itaas, mayroon kaming:

.

Kinakatawan ang tatsulok bilang

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Densidad ng kabuuan ng dalawang tuluy-tuloy na random na variable

Hayaan ang x at h na maging independiyenteng mga random na variable na may mga density https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Ang density ng random variable x + h ay kinakalkula mula sa formula convolutions

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Kalkulahin ang sum density.

Solusyon. Dahil ang x at h ay ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter , ang kanilang mga densidad ay katumbas ng

Kaya naman,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Kung x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">ay negatibo, at samakatuwid . Samakatuwid, kung https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Kaya, nakuha namin ang sagot:

Ang https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> ay karaniwang ipinamamahagi na may mga parameter 0 at 1. Ang mga random na variable na x1 at x2 ay independyente at may normal mga distribusyon na may mga parameter na a1 at a2 ayon sa pagkakabanggit Patunayan na ang x1 + x2 ay may normal na distribusyon.

.

Hanapin ang distribution function at distribution density ng mga dami:

a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Ang mga random na variable na x1, x2, ... xn ay independyente at pare-parehong ipinamamahagi sa pagitan [а, b]. Hanapin ang distribution function at distribution density function ng mga dami

x(1) = min(x1,x2, ... xn) at x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Patunayan na M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Ang random variable ay ibinahagi ayon sa Cauchy law. Hanapin: a) ang coefficient a; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na matamaan ang pagitan (-1, 1). Ipakita na ang inaasahan ng x ay hindi umiiral. Ang random variable ay sumusunod sa Laplace law na may parameter na l (l>0): Hanapin ang coefficient a; bumuo ng mga graph ng distribution density at distribution function; hanapin ang Mx at Dx; hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Sumulat ng formula para sa density ng pamamahagi, hanapin ang Mx at Dx.

Mga gawain sa pag-compute.

Ang isang random na punto A ay may pare-parehong distribusyon sa isang bilog na radius R. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng distansya r ng punto sa gitna ng bilog. Ipakita na ang dami ng r2 ay pantay na ipinamamahagi sa segment.

Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:
Kalkulahin ang constant C, distribution function F(x), variance at probability Random variable ay mayroong distribution function

Kalkulahin ang density ng isang random na variable, ang mathematical na inaasahan, pagkakaiba-iba at probabilidad Tingnan na ang function =
ay maaaring isang distribution function ng isang random variable. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito: Mx at Dx. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Isulat ang density ng pamamahagi. Hanapin ang function ng pamamahagi. Hanapin ang posibilidad na mahulog ang isang random na variable sa segment at sa segment. Ang density ng pamamahagi x ay

.

Hanapin ang pare-pareho c, ang density ng pamamahagi h = at ang posibilidad

P (0.25

Ang computer uptime ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter na l = 0.05 (mga pagkabigo kada oras), ibig sabihin, mayroon itong function ng density

p(x) = .

Ang solusyon sa isang tiyak na problema ay nangangailangan ng walang problema na operasyon ng makina sa loob ng 15 minuto. Kung ang isang pagkabigo ay nangyari sa panahon ng paglutas ng problema, pagkatapos ay ang error ay makikita lamang sa dulo ng solusyon, at ang problema ay malulutas muli. Hanapin: a) ang posibilidad na walang kabiguan na magaganap sa panahon ng solusyon ng problema; b) ang average na oras kung saan malulutas ang problema.

Ang isang baras na may haba na 24 cm ay nahahati sa dalawang bahagi; ipagpalagay namin na ang break point ay ibinahagi nang pantay sa buong haba ng baras. Ano ang karaniwang haba ng karamihan sa pamalo? Ang isang piraso ng haba na 12 cm ay random na pinutol sa dalawang bahagi. Ang cut point ay pantay na ibinahagi sa buong haba ng segment. Ano ang average na haba ng isang maliit na bahagi ng segment? Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa pagitan. Hanapin ang density ng pamamahagi ng isang random na variable a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Ipakita na kung ang x ay may tuluy-tuloy na function ng pamamahagi

F(x) = P(x

Hanapin ang density function at ang distribution function ng kabuuan ng dalawang independiyenteng dami x at h na may pare-parehong mga batas sa pamamahagi sa mga pagitan at, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga pagitan at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga pagitan at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga pagitan at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable ay independyente at may exponential distribution na may density . Hanapin ang density ng pamamahagi ng kanilang kabuuan. Hanapin ang distribusyon ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable na x at h, kung saan ang x ay may pare-parehong distribusyon sa pagitan, at ang h ay may exponential distribution na may parameter na l. Hanapin si P , kung ang x ay may: a) normal na distribusyon na may mga parameter a at s2 ; b) exponential distribution na may parameter l; c) pare-parehong pamamahagi sa pagitan [-1;1]. Ang magkasanib na pamamahagi ng x, h ay pare-parehong parisukat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Hanapin ang Probability . Independent ba ang x at h? Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng tatsulok na K=. Kalkulahin ang density x at h. Independyente ba ang mga random na variable na ito? Hanapin ang posibilidad. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga pagitan at [-1,1]. Hanapin ang posibilidad. Ang dalawang-dimensional na random na variable (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa isang parisukat na may mga vertices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Hanapin ang halaga ng joint distribution function sa punto (1, -1). Ang random na vector (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang bilog na radius 3 na nakasentro sa pinanggalingan. Sumulat ng isang expression para sa joint distribution density. Tukuyin kung ang mga random na variable na ito ay umaasa. Kalkulahin ang posibilidad. Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang trapezoid na may mga vertices sa mga punto (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Hanapin ang pinagsamang density ng pamamahagi para sa pares na ito ng mga random na variable at ang density ng mga bahagi. Nakadepende ba ang x at h? Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng kalahating bilog. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Ang pinagsamang density ng dalawang random na variable na x at h ay .
Hanapin ang mga densidad x, h. Tuklasin ang tanong ng dependence ng x at h. Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa set . Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Hanapin ang M(xh). Ang mga random na variable na x at h ay independyente at ipinamamahagi ayon sa exponential law na may parameter na Find

Hayaang ang isang tuluy-tuloy na random variable X ay ibigay ng distribution function f(x). Ipagpalagay natin na ang lahat ng posibleng halaga ng random variable ay kabilang sa pagitan [ a,b].

Kahulugan. inaasahan sa matematika Ang tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na kabilang sa segment , ay tinatawag na isang tiyak na integral

Kung ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay isinasaalang-alang sa buong axis ng numero, kung gayon ang pag-asa sa matematika ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito, siyempre, ipinapalagay na ang hindi wastong integral ay nagtatagpo.

Kahulugan. pagpapakalat Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na mathematical expectation ng square ng deviation nito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa variance ng isang discrete random variable, ang sumusunod na formula ay ginagamit para sa praktikal na pagkalkula ng variance:

Kahulugan. Karaniwang lihis ay tinatawag na square root ng variance.

Kahulugan. Fashion Ang M 0 ng isang discrete random variable ay tinatawag na pinakamalamang na halaga nito. Para sa isang tuluy-tuloy na random variable, ang mode ay ang halaga ng random variable kung saan ang density ng pamamahagi ay may pinakamataas.

Kung ang distribution polygon para sa isang discrete random variable o ang distribution curve para sa isang tuluy-tuloy na random variable ay may dalawa o higit pang maxima, kung gayon ang naturang distribution ay tinatawag na bimodal o multimodal. Kung ang isang pamamahagi ay may pinakamababa ngunit walang pinakamataas, kung gayon ito ay tinatawag antimodal.

Kahulugan. panggitna Ang M D ng isang random na variable na X ay ang halaga nito, kung saan ito ay may pantay na posibilidad na makakuha ng mas malaki o mas maliit na halaga ng random variable.

Sa geometrically, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan nahahati sa kalahati ang lugar na nalilimitahan ng distribution curve. Tandaan na kung unimodal ang pamamahagi, ang mode at median ay tumutugma sa inaasahan sa matematika.

Kahulugan. Panimulang sandali utos k Ang random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng X k.

Ang paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng inaasahan sa matematika.

Kahulugan. Gitnang punto utos k Ang random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng value

Para sa isang discrete random variable: .

Para sa tuluy-tuloy na random na variable: .

Ang unang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay palaging zero, at ang pangalawang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay katumbas ng pagpapakalat. Ang gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay nagpapakilala sa kawalaan ng simetrya ng pamamahagi.

Kahulugan. Ang ratio ng gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod sa karaniwang paglihis sa ikatlong antas ay tinatawag koepisyent ng kawalaan ng simetrya.

Kahulugan. Upang makilala ang talas at flatness ng pamamahagi, isang dami na tinatawag na kurtosis.

Bilang karagdagan sa mga dami na isinasaalang-alang, ang tinatawag na ganap na mga sandali ay ginagamit din:

Ganap na panimulang sandali: . Ganap na sentral na sandali: . Ang ganap na sentral na sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag arithmetic mean deviation.

Halimbawa. Para sa halimbawang isinasaalang-alang sa itaas, tukuyin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable X.

Halimbawa. Ang isang urn ay naglalaman ng 6 na puti at 4 na itim na bola. Ang isang bola ay tinanggal mula dito ng limang beses sa isang hilera, at sa bawat oras na ang bola na inilabas ay ibabalik at ang mga bola ay halo-halong. Isinasaalang-alang ang bilang ng mga nakuhang puting bola bilang random na variable X, iguhit ang batas ng pamamahagi ng dami na ito, tukuyin ang inaasahan at pagkakaiba ng matematika nito.

kasi ang mga bola sa bawat eksperimento ay ibinalik at pinaghalo, pagkatapos ay ang mga pagsubok ay maaaring ituring na independyente (ang resulta ng nakaraang eksperimento ay hindi nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw o hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isa pang eksperimento).

Kaya, ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw sa bawat eksperimento ay pare-pareho at katumbas ng

Kaya, bilang isang resulta ng limang sunud-sunod na pagsubok, ang puting bola ay maaaring hindi lumitaw sa lahat, lumitaw nang isang beses, dalawang beses, tatlo, apat o limang beses. Upang makabuo ng isang batas sa pamamahagi, kailangan mong hanapin ang mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.

1) Ang puting bola ay hindi lumitaw sa lahat:

2) Isang beses lumitaw ang puting bola:

3) Ang puting bola ay lilitaw nang dalawang beses: .

Sa pamamagitan ng kanilang pisikal na katangian, ang mga random na variable ay maaaring maging deterministiko at random.

Ang discrete ay isang random na variable na ang mga indibidwal na halaga ay maaaring palitan ng numero (ang bilang ng mga produkto, ang bilang ng mga bahagi - may sira at mabuti, atbp.).

Ang isang random na variable ay tinatawag na tuloy-tuloy, ang mga posibleng halaga na pumupuno sa isang tiyak na puwang (paglihis ng laki ng ginawang bahagi mula sa nominal na halaga, error sa pagsukat, paglihis ng hugis ng bahagi, taas ng microroughness, atbp.).

Ang isang random na variable ay hindi maaaring katangian ng anumang solong halaga. Para dito, kinakailangan upang ipahiwatig ang hanay ng mga posibleng halaga at ang mga probabilistikong katangian na ibinigay sa set na ito.

Kung ang isang random na kaganapan ay ipinahayag bilang isang numero, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa isang random na variable. Random tinatawag nila ang halaga na, bilang isang resulta ng pagsubok, ay kukuha ng isang posibleng halaga, hindi alam nang maaga at depende sa mga random na dahilan na hindi maaaring isaalang-alang nang maaga.

Pagkawala ng ilang halaga ng isang random na variable X ito ay isang random na kaganapan: X \u003d x i. Sa mga random na variable, ang discrete at tuloy-tuloy na random variable ay nakikilala.

Discrete random variable ang isang random na variable ay tinatawag, na, bilang isang resulta ng pagsubok, ay tumatagal sa mga indibidwal na halaga na may ilang mga probabilidad. Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Mga halimbawa ng isang discrete random variable: pagtatala ng mga pagbabasa ng speedometer o sinusukat na temperatura sa mga partikular na punto ng oras.

Patuloy na random variable ang isang random na variable ay tinatawag, na, bilang isang resulta ng pagsubok, ay kumukuha ng lahat ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat ng numero. Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan. Isang halimbawa ng tuluy-tuloy na random na variable: pagsukat sa bilis ng paggalaw ng anumang uri ng transportasyon o temperatura sa isang partikular na agwat ng oras.

Anumang random variable ay may sariling probability distribution law at sarili nitong probability distribution function. Bago tukuyin ang function ng pamamahagi, isaalang-alang natin ang mga variable na tumutukoy dito. Hayaan ang ilan X ay isang tunay na numero at isang random na variable ay nakuha X, kung saan x > X. Ito ay kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na ang random variable X magiging mas mababa sa nakapirming halaga na ito X.

Ang distribution function ng isang random variable X tinatawag na function F(x), na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na X bilang resulta ng pagsubok ay kukuha ng halagang mas mababa sa halaga ng x, iyon ay:

Ang isang random na variable ay nailalarawan sa teorya ng posibilidad ang batas ng pamamahagi nito . Ang batas na ito ay nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang mga probabilidad ng kanilang paglitaw na naaayon sa mga halagang ito. Mayroong dalawang anyo ng paglalarawan ng batas ng pamamahagi ng isang random variable - kaugalian at integral . Bukod dito, sa metrology, ang kaugalian na anyo ay pangunahing ginagamit - ang batas sa pamamahagi density ng probabilidad random variable.

Batas sa pamamahagi ng pagkakaiba nailalarawan probability distribution density f(x) random variable X. Probability R pagpindot sa isang random na variable sa pagitan mula sa x 1 dati x 2 ay ibinigay ng formula:

Sa graphically, ang probabilidad na ito ay ang ratio ng lugar sa ilalim ng curve f (x) sa hanay mula x 1 hanggang x 2 hanggang sa kabuuang lugar na nililimitahan ng buong distribution curve. Bilang isang tuntunin, ang lugar sa ilalim ng buong probability distribution curve ay na-normalize sa isa.

Sa kasong ito, ang pamamahagi tuloy-tuloy random variable. Bilang karagdagan sa kanila, mayroong discrete mga random na variable na kumukuha ng ilang partikular na halaga na maaaring bilangin.

Integral distribution law ng isang random variable ay isang function F(x), tinukoy ng formula

Ang posibilidad na ang isang random na variable ay mas mababa sa x 1 ay ibinibigay ng halaga ng function na F(x) sa x = x 1:

Kahit na ang batas ng pamamahagi ng mga random na variable ay ang kanilang kumpletong probabilistikong katangian, ang paghahanap ng batas na ito ay isang mahirap na gawain at nangangailangan ng maraming mga sukat. Samakatuwid, sa pagsasanay, upang ilarawan ang mga katangian ng isang random na variable, iba't-ibang numerical na katangian ng mga distribusyon. Kabilang dito ang sandali mga random na variable: pangunahin at sentral, na ilan average na mga halaga. Bukod dito, kung ang mga halaga na binibilang mula sa pinagmulan ay na-average, kung gayon ang mga sandali ay tinatawag inisyal, at kung mula sa sentro ng pamamahagi, kung gayon sentral.

Ang distribution function ng isang random variable X ay ang function F(x), na nagpapahayag para sa bawat x ng probabilidad na ang random variable X ay kumukuha ng value, mas maliit x

Halimbawa 2.5. Ibinigay ang isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable

Hanapin at graphical na ilarawan ang function ng pamamahagi nito. Solusyon. Ayon sa kahulugan

F(jc) = 0 para sa X X

F(x) = 0.4 + 0.1 = 0.5 sa 4 F(x) = 0.5 + 0.5 = 1 sa X > 5.

Kaya (tingnan ang Fig. 2.1):

Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:

1. Ang distribution function ng isang random variable ay isang non-negative na function na nakapaloob sa pagitan ng zero at isa:

2. Ang distribution function ng isang random variable ay isang non-decreasing function sa buong number axis, i.e. sa X 2 >x

3. Sa minus infinity, ang distribution function ay katumbas ng zero, at plus infinity, ito ay katumbas ng isa, i.e.

4. Probability ng pagpindot sa isang random variable X sa pagitan ay katumbas ng tiyak na integral ng probability density nito mula sa A dati b(tingnan ang Fig. 2.2), i.e.

kanin. 2.2

3. Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable (tingnan ang Fig. 2.3) ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng probability density gamit ang formula:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Ang hindi wastong integral sa mga walang katapusang limitasyon ng probability density ng tuluy-tuloy na random variable ay katumbas ng isa:

Mga katangiang geometriko / at 4 probability density ay nangangahulugan na ang plot nito ay kurba ng pamamahagi - hindi namamalagi sa ibaba ng x-axis, at ang kabuuang lugar ng figure, limitadong kurba ng pamamahagi at x-axis, ay katumbas ng isa.

Para sa tuluy-tuloy na random variable X inaasahang halaga M(X) at pagkakaiba-iba D(X) ay tinutukoy ng mga formula:

(kung ang integral ay ganap na nagtatagpo); o

(kung ang mga pinababang integral ay nagtatagpo).

Kasama ng mga numerical na katangian na binanggit sa itaas, ang konsepto ng quantiles at percentage points ay ginagamit upang ilarawan ang isang random variable.

q antas ng dami(o q-quantile) ay ganoong halagax qrandom variable, kung saan kinukuha ng function ng pamamahagi nito ang halaga, katumbas ng q, i.e.

• 100Ang q%-ou point ay ang quantile X~ q .
• ? Halimbawa 2.8.

Ayon sa halimbawa 2.6 hanapin ang quantile xqj at 30% random variable point x.

Solusyon. Sa pamamagitan ng kahulugan (2.16) F(xo t3)= 0.3, i.e.

~Y~ = 0.3, kung saan ang dami x 0 3 = 0.6. 30% random variable point X, o dami Х)_о,з = xoj» ay matatagpuan katulad mula sa equation ^ = 0.7. saan *,= 1.4. ?

Kabilang sa mga numerical na katangian ng isang random variable, mayroong inisyal v* at sentral R* k-th order moments, tinutukoy para sa mga discrete at tuluy-tuloy na random variable ng mga formula: