Hayaang ang R ay isang binary relation sa set X. Ang relasyong R ay tinatawag mapanimdim , kung (x, x) О R para sa lahat ng x О X; simetriko – kung mula sa (x, y) О R ito ay sumusunod (y, x) О R; ang transitive number 23 ay tumutugma sa opsyon 24 kung ang (x, y) О R at (y, z) О R ay nagpapahiwatig (x, z) О R.
Halimbawa 1
Sasabihin namin na x О X may pagkakatulad
na may elementong y О X, kung ang set
x Ç y ay walang laman. Ang kaugnayan sa pagkakatulad ay magiging reflexive at simetriko, ngunit hindi palipat.
Relasyon ng equivalence sa X ay isang reflexive, transitive at simetriko na ugnayan. Madaling makita na ang R Í X ´ X ay magiging isang katumbas na ugnayan kung at kung ang mga inklusyon ay mayroong:
Id X Í R (reflexivity),
R -1 Í R (symmetry),
R ° R Í R (transitivity).
Sa katotohanan, ang tatlong kondisyong ito ay katumbas ng mga sumusunod:
Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.
Sa pamamagitan ng paghahati ng isang set X ay ang set A ng pairwise disjoint subsets a Í X na ang UA = X. Sa bawat partition A maaari nating iugnay ang equivalence relation ~ sa X, paglalagay ng x ~ y kung ang x at y ay mga elemento ng ilang a Î A .
Ang bawat equivalence relation ~ sa X ay tumutugma sa isang partition A, ang mga elemento nito ay mga subset, na ang bawat isa ay binubuo ng mga nasa relation ~. Ang mga subset na ito ay tinatawag mga klase ng equivalence . Ang partition A na ito ay tinatawag na factor set ng set X na may paggalang sa ~ at ipinahiwatig: X/~.
Tukuyin natin ang kaugnayan ~ sa set w ng mga natural na numero, paglalagay ng x ~ y kung ang mga natitira sa paghahati ng x at y sa 3 ay pantay. Pagkatapos ay ang w/~ ay binubuo ng tatlong equivalence classes na tumutugma sa mga natitirang 0, 1 at 2.
Kaugnayan ng pagkakasunud-sunod
Ang binary relation R sa isang set X ay tinatawag antisymmetric , kung mula sa x R y at y R x ito ay sumusunod: x = y. Ang binary relation R sa isang set X ay tinatawag ugnayan ng kaayusan , kung ito ay reflexive, antisymmetric at transitive. Madaling makita na ito ay katumbas ng mga sumusunod na kondisyon:
1) Id X Í R (reflexivity),
2) R Ç R -1 (antisymmetry),
3) R ° R Í R (transitivity).
Tinatawag ang isang ordered pair (X, R) na binubuo ng isang set X at isang order relation R sa X partially ordered set .
Halimbawa 1
Hayaan ang X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).
Dahil ang R ay nakakatugon sa mga kundisyon 1 – 3, kung gayon ang (X, R) ay isang partially ordered set. Para sa mga elementong x = 2, y = 3, alinman sa x R y o y R x ay hindi totoo. Ang mga naturang elemento ay tinatawag walang kapantay . Karaniwan ang pagkakaugnay ng pagkakasunud-sunod ay tinutukoy ng £. Sa halimbawang ibinigay, 0 £ 1 at 2 £ 2, ngunit hindi totoo na 2 £ 3.
Halimbawa 2
Hayaan< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.
Ang mga elementong x, y О X ng isang partially ordered set (X, £) ay tinatawag maihahambing , kung x £ y o y £ x.
Tinatawag ang isang partially ordered set (X, £). linearly ordered o kadena , kung ang alinman sa dalawa sa mga elemento nito ay maihahambing. Ang set mula sa halimbawa 2 ay linearly ordered, ngunit ang set mula sa halimbawa 1 ay hindi.
Tinatawag ang isang subset A Í X ng isang partially ordered set (X, £). may hangganan sa itaas , kung mayroong isang elemento x О X na ang isang £ x para sa lahat ng isang О A. Ang elementong x О X ay tinatawag ang pinakamalaking sa X kung y £ x para sa lahat y О X. Ang elementong x О X ay tinatawag na pinakamalaki kung walang mga elementong y О X na naiiba sa x kung saan x £ y. Sa halimbawa 1, ang mga elemento 2 at 3 ang magiging pinakamataas, ngunit hindi ang pinakamalaki. Katulad na tinukoy mababang limitasyon mga subset, pinakamaliit at pinakamababang elemento. Sa halimbawa 1, ang elemento 0 ay magiging parehong pinakamaliit at pinakamababa. Sa Halimbawa 2, ang 0 ay mayroon ding mga katangiang ito, ngunit ang (w, £) ay walang pinakamalaki o pinakamataas na elemento.
Hayaang ang (X, £) ay isang partially ordered set, A Í X isang subset. Ang ugnayan sa A, na binubuo ng mga pares (a, b) ng mga elemento a, b О A, kung saan ang isang £ b, ay magiging ugnayan ng pagkakasunud-sunod sa A. Ang kaugnayang ito ay tinutukoy ng parehong simbolo: £. Kaya, (A, £) ay isang partially ordered set. Kung ito ay linearly ordered, pagkatapos ay sasabihin namin na A ay kadena sa (X, £).
Pinakamataas na prinsipyo
Ang ilang mga pahayag sa matematika ay hindi mapapatunayan nang walang axiom of choice. Ang mga pahayag na ito ay sinasabing depende sa axiom of choice o wasto sa teorya ng ZFC , sa pagsasagawa, sa halip na ang axiom of choice, alinman sa Zermelo axiom, o ang Kuratowski-Zorn lemma, o anumang iba pang pahayag na katumbas ng axiom of choice ay karaniwang ginagamit para sa patunay.
Kuratowski-Zorn Lemma. Kung ang bawat chain ay nasa isang partially ordered set(X, £) ay limitado mula sa itaas, pagkatapos ay sa X mayroong hindi bababa sa isang maximum na elemento.
Ang lemma na ito ay katumbas ng axiom of choice, at samakatuwid maaari itong tanggapin bilang isang axiom.
Teorama.Para sa anumang partially ordered set(X, £) may kaugnayang naglalaman ng kaugnayan£ at nagbabago X sa isang linearly ordered set.
Patunay. Ang hanay ng lahat ng ugnayan ng pagkakasunud-sunod na naglalaman ng ugnayang £ ay iniutos ng kaugnayan sa pagsasama U. Dahil ang unyon ng isang chain of order relations ay magiging isang order relation, kung gayon sa pamamagitan ng Kuratowski-Zorn lemma mayroong isang pinakamataas na relasyon R na ang x £ y ay nagpapahiwatig ng x R y. Patunayan natin na ang R ay isang ugnayang linearly na nag-aayos ng X. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: hayaang mayroong a, b О X na ang alinman sa (a, b) o (b, a) ay hindi kabilang sa R. Isaalang-alang ang kaugnayan:
R¢ = R È ((x, y): x R a at b R y).
Nakukuha ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pares (a, b) sa R at ng mga pares (x, y), na dapat idagdag sa R¢ mula sa kondisyon na ang R¢ ay isang order relation. Madaling makita na ang R¢ ay reflexive, antisymmetric at transitive. Nakukuha namin ang R Ì R¢, na sumasalungat sa pinakamataas na R, samakatuwid, ang R ay ang nais na ugnayang linear order.
Ang linearly ordered set X ay tinatawag na well-ordered kung ang bawat non-empty subset A Í X nito ay naglalaman ng pinakamaliit na elemento a Î A. Ang Kuratowski-Zorn lemma at ang axiom of choice ay katumbas din ng sumusunod na pahayag:
Ang axiom ni Zermelo. Para sa bawat hanay ay may kaugnayan sa pagkakasunud-sunod na ginagawa itong ganap na nakaayos na hanay.
Halimbawa, ang set w ng mga natural na numero ay ganap na nakaayos. Ang prinsipyo ng inductance ay summarized tulad ng sumusunod:
Transfinite induction. Kung(X, £) ay isang ganap na nakaayos na set at ang F(x) ay isang pag-aari ng mga elemento nito, true para sa pinakamaliit na elemento x 0 О X at tulad na mula sa katotohanan ng F(y) para sa lahat ng y < z следует истинность F(z), то F(x) totoo para sa lahat x О X .
Dito y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.
Konsepto ng kapangyarihan
Hayaang maging mapa ng mga set ang f: X à Y at g: Y à Z. Dahil ang f at g ay mga relasyon, ang kanilang komposisyon ay tinukoy g ° f(x) = g(f(x)). Kung ang h: Z à T ay isang mapa ng mga set, kung gayon ang h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Ang mga ugnayang Id X at Id Y ay mga function, samakatuwid, ang mga komposisyon na Id Y ° f = f ° Id x = f ay tinukoy. Para sa X = Y, tinutukoy namin ang f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.
Ang pagmamapa f: X àY ay tinatawag sa pamamagitan ng iniksyon , kung para sa anumang elemento x 1 ¹ x 2 ng set X, f(x 1) ¹ f(x 2) ay totoo. Ang pagmamapa f ay tinatawag surjection , kung para sa bawat y ОY mayroong x О X na ang f(x) = y. Kung ang f ay parehong surjection at isang iniksyon, kung gayon ang f ay tinatawag bijection . Madaling makita na ang f ay isang bijection kung at kung ang kabaligtaran na relasyon f -1 Í Y ´ X ay isang function.
Sasabihin natin na ang pagkakapantay-pantay |X| = |Y|, kung mayroong bijection sa pagitan ng X at Y. Hayaan |X| £ |Y|, kung mayroong iniksyon f: X à Y.
Teorama ng Cantor-Schroeder-Bernstein. Kung|X| £ |Y| At|Y| £ |X| , Iyon|X| = |Y|.
Patunay. Sa kondisyon, mayroong mga iniksyon f: X à Y at g: Y à X. Hayaang A = g¢¢Y = Img ang imahe ng set Y na may kinalaman sa pagmamapa g. Pagkatapos
(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,
(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,
(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …
Isaalang-alang ang pagmamapa j: X à A, na ibinigay bilang j(x) = gf(x), na may
x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, at j(x) = x sa ibang mga kaso. Madaling makita na ang j ay isang bijection. Ang kinakailangang bijection sa pagitan ng X at Y ay magiging katumbas ng g -1 ° j.
Antinomy ni Cantor
Hayaan |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.
Teorama ni Cantor. Para sa anumang set X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.
(iyon ay, na may mga sumusunod na katangian: ang bawat elemento ng set ay katumbas ng sarili nito; kung x katumbas y, Iyon y katumbas x; Kung x katumbas y, A y katumbas z, Iyon x katumbas z ).
Pagkatapos ang hanay ng lahat ng mga klase ng equivalence ay tinatawag set ng kadahilanan at itinalaga. Ang paghahati ng isang set sa mga klase ng katumbas na elemento ay tinatawag na nito factorization.
Ipakita mula sa X sa hanay ng mga equivalence classes ay tinatawag factor mapping.
Mga halimbawa
Makatwirang gumamit ng set factorization upang makakuha ng mga normed space mula sa mga semi-normed, mga puwang na may panloob na produkto mula sa mga space na may halos panloob na produkto, atbp. Upang gawin ito, ipinakilala namin, ayon sa pagkakabanggit, ang pamantayan ng isang klase, katumbas ng pamantayan ng isang di-makatwirang elemento, at ang panloob na produkto ng mga klase bilang isang panloob na produkto ng mga di-makatwirang elemento ng mga klase. Sa turn, ang equivalence relation ay ipinakilala bilang mga sumusunod (halimbawa, upang bumuo ng isang normalized quotient space): isang subset ng orihinal na seminormed space ay ipinakilala, na binubuo ng mga elemento na may zero seminorm (sa pamamagitan ng paraan, ito ay linear, iyon ay, ito ay isang subspace) at ito ay itinuturing na dalawang elemento ay katumbas kung ang kanilang pagkakaiba ay kabilang sa mismong subspace na ito.
Kung, upang i-factor ang isang linear space, ang isang tiyak na subspace ay ipinakilala at ipinapalagay na kung ang pagkakaiba ng dalawang elemento ng orihinal na espasyo ay kabilang sa subspace na ito, kung gayon ang mga elementong ito ay katumbas, kung gayon ang factor set ay isang linear space at tinatawag na isang factor space.
Mga halimbawa
Tingnan din
Wikimedia Foundation. 2010.
Tingnan kung ano ang "Factorset" sa iba pang mga diksyunaryo:
Ang lohikal na prinsipyo na pinagbabatayan ng mga kahulugan sa pamamagitan ng abstraction (Tingnan ang Depinisyon sa pamamagitan ng abstraction): anumang Relasyon ng uri ng pagkakapantay-pantay, na tinukoy sa ilang paunang hanay ng mga elemento, hinahati (hinahati, inuuri) ang orihinal... ...
Isang anyo ng pag-iisip na sumasalamin sa mahahalagang katangian, koneksyon at ugnayan ng mga bagay at phenomena sa kanilang kontradiksyon at pag-unlad; isang kaisipan o sistema ng mga kaisipan na naglalahat, nagpapakilala sa mga bagay ng isang tiyak na uri ayon sa tiyak na pangkalahatan at sa pinagsama-samang... ... Great Soviet Encyclopedia
Galois group cohomology. Kung ang M ay isang pangkat ng Abelian at isang pangkat ng Galois ng isang extension na kumikilos sa M, kung gayon ang mga pangkat ng cohomology ng Galois ay mga pangkat ng cohomology na tinukoy ng isang kumplikadong binubuo ng lahat ng mga mapa, at ang d ay isang operator ng coboundary (tingnan ang Cohomology ng mga pangkat).... . .. Mathematical Encyclopedia
Ang pagtatayo, sa paraiso, ay unang lumitaw sa set theory, at pagkatapos ay naging malawakang ginamit sa algebra, topology at iba pang larangan ng matematika. Ang isang mahalagang espesyal na kaso ng isang I.p. ay isang I.p. ng isang nakadirekta na pamilya ng mga istrukturang matematika ng parehong uri. Hayaan … Mathematical Encyclopedia
Mga puntos kahit na may kaugnayan sa pangkat G na kumikilos sa set X (sa kaliwa), ang set na Set ay isang subgroup ng G at tinatawag. stabilizer, o nakatigil na subgroup ng isang punto na may kinalaman sa G. Ang pagmamapa ay nag-uudyok ng bijection sa pagitan ng G/Gx at ng orbit na G(x). TUNGKOL.…… Mathematical Encyclopedia
Masyadong maikli ang panimula ng artikulong ito. Mangyaring magdagdag ng panimulang seksyon na maikling nagpapakilala sa paksa ng artikulo at nagbubuod sa mga nilalaman nito... Wikipedia
Ang artikulong ito ay tungkol sa algebraic system. Para sa sangay ng mathematical logic na nag-aaral ng mga pahayag at operasyon sa mga ito, tingnan ang Algebra of Logic. Ang Boolean algebra ay isang walang laman na set A na may dalawang binary operations (katulad ng isang conjunction), ... ... Wikipedia
Hayaang magbigay ng katumbas na ugnayan sa isang set. Pagkatapos ang set ng lahat ng equivalence classes ay tinatawag na factor set at denoted. Ang paghahati ng isang set sa mga klase ng katumbas na elemento ay tinatawag na factorization nito. Pagma-map mula sa... ... Wikipedia
Sa geometry, ang isang nakadirekta na segment ay nauunawaan bilang isang nakaayos na pares ng mga puntos, ang una nito, ang punto A, ay tinatawag na simula nito, at ang pangalawa, B, ang pagtatapos nito. Mga Nilalaman 1 Kahulugan ... Wikipedia
Sa iba't ibang sangay ng matematika, ang kernel ng isang pagmamapa ay isang tiyak na set na kerf, na sa isang kahulugan ay nagpapakilala sa pagkakaiba sa pagitan ng f at isang injective mapping. Maaaring mag-iba ang tiyak na kahulugan, ngunit para sa injective mapping f... ... Wikipedia
Pinagmulan ng trabaho: Gawain 10_20. Pinag-isang State Exam 2018 Araling Panlipunan. Solusyon
Gawain 20. Basahin ang teksto sa ibaba, kung saan nawawala ang ilang salita (parirala). Pumili mula sa listahan ng mga salita (mga parirala) na kailangang ipasok sa lugar ng mga puwang.
"Ang kalidad ng buhay ay nakasalalay sa maraming mga kadahilanan, mula sa lugar ng paninirahan ng isang tao hanggang sa pangkalahatang socio-economic at (A) sitwasyon, pati na rin ang estado ng mga gawaing pampulitika sa bansa. Ang kalidad ng buhay, sa isang antas o iba pa, ay maaaring maimpluwensyahan ng demograpikong sitwasyon, kondisyon ng pabahay at produksyon, dami at kalidad ng _____(B), atbp. Depende sa antas ng kasiyahan ng mga pangangailangan sa ekonomiya, ito ay kaugalian na makilala ang iba't ibang antas ng pamumuhay ng populasyon: kayamanan - paggamit (B) pagtiyak ng komprehensibong pag-unlad ng tao; normal na antas ng _____(G) ayon sa mga pamantayang nakabatay sa siyensya, na nagbibigay sa isang tao ng pagpapanumbalik ng kanyang pisikal at intelektwal na lakas; kahirapan - pagkonsumo ng mga kalakal sa antas ng pagpapanatili ng kapasidad sa pagtatrabaho bilang pinakamababang limitasyon ng pagpaparami _____(D); Ang kahirapan ay ang pagkonsumo ng pinakamababang katanggap-tanggap na hanay ng mga produkto at serbisyo ayon sa biyolohikal na pamantayan, na nagpapahintulot lamang sa pagpapanatili ng kakayahang mabuhay ng tao.
Ang populasyon, na umaangkop sa mga kondisyon ng pamilihan, ay gumagamit ng iba't ibang karagdagang pinagmumulan ng kita, kabilang ang kita mula sa mga personal na plot, tubo mula sa _____(E).”
Ang mga salita (mga parirala) sa listahan ay ibinibigay sa nominative case. Ang bawat salita (parirala) ay maaari lamang gamitin nang isang beses.
Pumili ng isang salita (parirala) pagkatapos ng isa pa, na pinupunan ng isip ang bawat puwang. Pakitandaan na mayroong higit pang mga salita (mga parirala) sa listahan kaysa sa kakailanganin mong punan ang mga puwang.
Listahan ng mga termino:
1) kapital
2) kapaligiran
3) makatwirang pagkonsumo
4) mga kalakal ng mamimili
5) paraan ng produksyon
7) paggawa
8) aktibidad ng entrepreneurial
9) panlipunang kadaliang kumilos
Solusyon.
Ipasok natin ang mga termino sa teksto.
"Ang kalidad ng buhay ay nakasalalay sa maraming mga kadahilanan, mula sa lugar ng paninirahan ng isang tao hanggang sa pangkalahatang socio-economic at kapaligiran (2) (A) na sitwasyon, pati na rin ang estado ng mga gawaing pampulitika sa bansa. Ang kalidad ng buhay, sa isang antas o iba pa, ay maaaring maimpluwensyahan ng demograpikong sitwasyon, kondisyon ng pabahay at produksyon, dami at kalidad ng mga kalakal ng mamimili (4) (B), atbp. Depende sa antas ng kasiyahan ng mga pangangailangan sa ekonomiya, kaugalian na makilala ang iba't ibang antas ng pamumuhay ng populasyon : kayamanan - paggamit ng mga benepisyo (6) (B) na tumitiyak sa komprehensibong pag-unlad ng isang tao; normal na antas ng makatwirang pagkonsumo (3) (D) ayon sa mga pamantayang nakabatay sa siyentipiko, na nagbibigay sa isang tao ng pagpapanumbalik ng kanyang pisikal at intelektwal na lakas; kahirapan - pagkonsumo ng mga kalakal sa antas ng pagpapanatili ng kapasidad sa pagtatrabaho bilang pinakamababang limitasyon ng pagpaparami ng lakas paggawa (7) (D); Ang kahirapan ay ang pagkonsumo ng pinakamababang katanggap-tanggap na hanay ng mga produkto at serbisyo ayon sa biyolohikal na pamantayan, na nagpapahintulot lamang sa pagpapanatili ng kakayahang mabuhay ng tao.
Kung ang ugali R ay may mga sumusunod na katangian: reflexive symmetrical transitive, i.e. ay isang equivalence relation (~ o ≡ o E) sa set M , kung gayon ang hanay ng mga equivalence classes ay tinatawag na factor set ng set M patungkol sa equivalence R at itinalaga GINOO
Mayroong isang subset ng mga elemento ng set M katumbas x , tinawag equivalence class.
Mula sa kahulugan ng isang set ng kadahilanan, sumusunod na ito ay isang subset ng isang Boolean: .
Tinatawag ang function pagkakakilanlan at tinukoy bilang mga sumusunod:
Teorama. Factor algebra F Ang n /~ ay isomorphic sa algebra ng Boolean function B n
Patunay.
Ang kinakailangang isomorphism ξ : F n / ~ → B n ay tinutukoy ng sumusunod na panuntunan: equivalence class ~(φ) ang function ay tumugma f φ , pagkakaroon ng talahanayan ng katotohanan para sa isang arbitrary na formula mula sa set ~(φ) . Dahil ang iba't ibang klase ng equivalence ay tumutugma sa iba't ibang mga talahanayan ng katotohanan, ang pagmamapa ξ injective, at dahil para sa anumang Boolean function f mula sa Sa p mayroong isang formula na kumakatawan sa function f, pagkatapos ay ang pagmamapa ξ surjective. Mga pagpapatakbo ng tindahan, 0, 1 kapag ipinakita ξ ay direktang sinusuri. CTD.
Sa pamamagitan ng theorem sa functional completeness ng bawat function na hindi pare-pareho 0 , tumutugma sa ilang SDNF ψ , kabilang sa klase ~(φ) = ξ -1 (f) mga formula na kumakatawan sa isang function f . Ang problema sa pagiging nasa silid-aralan ay lumitaw ~(φ) disjunctive normal form, na may pinakasimpleng istraktura.
Pagtatapos ng trabaho -
Ang paksang ito ay kabilang sa seksyon:
Kurso ng mga lektura sa disiplinang discrete mathematics
Moscow State University of Civil Engineering.. Institute of Management Economics and Information Systems in Construction.. IEEE..
Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:
Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:
Kung ang materyal na ito ay naging kapaki-pakinabang para sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:
| Tweet |
Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:
Paksa ng discrete mathematics
Ang paksa ng discrete (finite, finite) mathematics ay isang sangay ng mathematics na nag-aaral ng mga katangian ng discrete structures, habang ang classical (continuous) na mathematics ay nag-aaral ng mga katangian ng mga bagay.
Isomorphism
Ang agham na nag-aaral ng algebraic operations ay tinatawag na algebra. Ang konseptong ito ay magiging mas tiyak at lalalim habang pinag-aaralan mo ang kurso. Ang algebra ay interesado lamang sa tanong na PAANO kumilos
Mga ehersisyo
1. Patunayan na ang isang isomorphic mapping ay palaging isotone, at ang kabaligtaran ay hindi totoo. 2. Isulat ang iyong pangkat sa wika ng mga set. 3. Isulat sa wika ng set ang mga bagay na
Set at mga elemento ng set
Sa kasalukuyan, ang mga umiiral na set theories ay naiiba sa paradigmatics (system of views) ng konseptwal na batayan at lohikal na paraan. Kaya, bilang isang halimbawa, maaari nating banggitin ang dalawang kabaligtaran
May hangganan at walang katapusang set
Na kung saan ang set ay binubuo ng, i.e. Ang mga bagay na bumubuo sa isang set ay tinatawag na mga elemento nito. Ang mga elemento ng isang set ay naiiba at naiiba sa bawat isa. Tulad ng makikita mula sa ibinigay na halimbawa
Kapangyarihan ng set
Ang cardinality para sa isang finite set ay katumbas ng bilang ng mga elemento nito. Halimbawa, ang cardinality ng uniberso B(A) ng isang set A ng cardinality n
A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
Ang isang finite set A ay may cardinality k kung ito ay katumbas ng segment 1.. k;:
Subset, sariling subset
Matapos ipakilala ang konsepto ng isang set, ang gawain ay lumitaw sa pagbuo ng mga bagong set mula sa mga umiiral na, iyon ay, pagtukoy ng mga operasyon sa mga set. Set ng M",
Simbolikong wika ng mga makabuluhang set theories
Sa proseso ng pag-aaral ng kurso, matutukoy natin ang pagkakaiba sa pagitan ng object language ng set theory at ng metalanguage, kung saan pinag-aaralan ang object language. Sa pamamagitan ng wika ng set theory naiintindihan natin ang relational
Patunay
Ang set B ay walang hanggan, ibig sabihin
Pagdaragdag at pag-alis ng mga item
Kung ang A ay isang set, at ang x ay isang elemento, at pagkatapos ay ang elemento
Bounded set. Magtakda ng mga hangganan
Hayaang magbigay ng numerical function na f(x) sa ilang set X. Ang upper bound (boundary) ng function na f(x) ay isang numero
Eksaktong upper (lower) na limitasyon
Ang hanay ng lahat ng itaas na hangganan E ay tinutukoy ng Es, at lahat ng mas mababang hangganan ng Ei. Kung sakali
Ang eksaktong upper (lower) bound ng set
Kung ang isang elementong z ay kabilang sa intersection ng set E at ang set ng lahat ng upper boundaries nito na Es (ayon sa pagkakabanggit ay mas mababang r
Mga pangunahing katangian ng upper at lower bounds
Hayaang ang X ay isang partially ordered set. 1. Kung, kung gayon
Itakda mula sa isang attributive na punto ng view
Ang pinagsama-samang punto ng view, hindi katulad ng attributive na pananaw, ay lohikal na hindi mapanghawakan sa diwa na humahantong ito sa mga kabalintunaan ng uri ng Russell at Cantor (tingnan sa ibaba). Sa loob ng balangkas ng attributive t
Istruktura
Ang isang bahagyang nakaayos na set X ay tinatawag na isang istraktura kung naglalaman ito ng anumang hanay ng dalawang elemento
Panakip at partitioning set
Ang isang partition ng isang set A ay isang pamilya Ai
Binary na relasyon
Isang pagkakasunud-sunod ng haba n, ang mga tuntunin nito ay a1, .... an, ay ilalarawan ng (a1, .... a
Mga katangian ng binary na relasyon
Ang binary relation R sa set Ho ay may mga sumusunod na katangian: (a) reflexive kung xRx
Mga relasyon sa ternary
Produktong Cartesian XY
N-ary relasyon
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa produkto ng Cartesian ng dalawang set X,Y, maaari nating buuin ang produktong Cartesian X
Nagpapakita
Ang mga pagmamapa ay ilang koneksyon sa pagitan ng mga elemento ng mga set. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga relasyon ay ang mga relasyon ng pagiging kasapi x
Korespondensiya
Ang isang subset S ng isang Cartesian na produkto ay tinatawag na isang n-ary correspondence ng mga elemento ng set Mi. Pormal
Function
Ang lahat ng sangay ng discrete mathematics ay batay sa konsepto ng function. Hayaan si X -
Kinakatawan ang isang function sa mga tuntunin ng mga relasyon
Ang binary relation f ay tinatawag na function kung mula sa at
Iniksyon, surjection, bijection
Kapag ginagamit ang terminong "pagmamapa", ginagawa ang pagkakaiba sa pagitan ng pagmamapa ng XbY at ng pagmamapa sa X sa Y
Baliktad na pag-andar
Para sa mga arbitrary, tinutukoy namin
Bahagyang inorder ang mga set
Ang isang set S ay tinatawag na partially ordered (PUM) kung ito ay binibigyan ng reflexive, transitive at antisymmetric binary partial order relation
Itakda ang pagliit ng representasyon
Gamit ang mga batas na ito, isinasaalang-alang namin ang problema ng pagliit ng representasyon ng set M gamit ang mga operasyon
Mga muling pagsasaayos
Ibinigay ang isang set A. Hayaang ang A ay isang finite set na binubuo ng n elemento A = (a1, a2, …, a
Mga permutasyon na may mga pag-uulit
Hayaan ang set A na magkaroon ng magkatulad (paulit-ulit) na mga elemento. Permutasyon na may mga pag-uulit ng komposisyon (n1, n2, … ,nk
Mga pagkakalagay
Mga tuple na may haba k (1≤k≤n), na binubuo ng iba't ibang elemento ng n-element set A (ang mga tuple ay naiiba sa
Mga pagkakalagay na may mga pag-uulit
Hayaan ang set A na magkaroon ng magkatulad (paulit-ulit) na mga elemento. Mga pagkakalagay na may mga pag-uulit ng n elemento ng k pangalan
Maayos na pagkakalagay
Ilagay natin ang n mga bagay sa m mga kahon upang ang bawat kahon ay naglalaman ng isang pagkakasunod-sunod, at hindi, tulad ng dati, isang hanay ng mga bagay na inilagay dito. Dalawa
Mga kumbinasyon
Mula sa isang m-element set A kami ay bumuo ng isang nakaayos na hanay ng haba n, ang mga elemento nito ay mga kaayusan na may parehong mga tema
Mga kumbinasyon na may mga pag-uulit
Ang mga resultang formula ay may bisa lamang kapag walang magkaparehong elemento sa set A. Hayaang magkaroon ng mga elemento ng n uri at mula sa kanila ay isang tuple ng
Paraan ng pagbuo ng function
Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang magbilang ng mga kombinatoryal na numero at magtatag ng mga pagkakakilanlan ng kombinatoryal. Ang panimulang punto ay ang sequence (ai) combinator
Algebraic system
Ang isang algebraic system A ay isang koleksyon ‹M,O,R›, ang unang bahagi kung saan ang M ay isang non-empty set, ang pangalawang component O ay isang set
Pagsasara at mga subalgebra
Ang isang subset ay sinasabing sarado sa ilalim ng operasyon φ kung
Algebras na may isang binary operation
Hayaang magbigay ng isang binary operation sa set M. Isaalang-alang natin ang mga algebra na nabuo nito, ngunit isasaalang-alang muna natin ang ilang mga katangian ng binary operations. Binary o
Groupoid
Algebra ng form<М, f2>tinatawag na groupoid. Kung ang f2 ay isang operasyon tulad ng pagpaparami (
Integers modulo m
Binigyan ng singsing ng integer
Congruences
Congruence sa algebra A =
Mga elemento ng teorya ng graph
Ang mga graph ay mga bagay sa matematika. Ang teorya ng graph ay ginagamit sa mga lugar tulad ng pisika, kimika, teorya ng komunikasyon, disenyo ng kompyuter, inhinyeriya ng kuryente, inhinyeriya ng makina, arkitektura, pananaliksik sa
Graph, vertex, gilid
Sa pamamagitan ng isang hindi nakadirekta na graph (o, sa madaling salita, isang graph) ang ibig naming sabihin ay ganoong arbitrary na pares G =
Korespondensiya
Ang isa pa, mas madalas na ginagamit na paglalarawan ng isang nakadirekta na graph G ay binubuo ng pagtukoy ng isang hanay ng mga vertex X at isang sulat Г, upang
Hindi nakadirekta na graph
Kung ang mga gilid ay walang oryentasyon, ang graph ay tinatawag na undirected (undirected duplicate o unoriented
Insidence, mixed graph
Kung ang gilid e ay may anyo (u, v) o<и, v>, pagkatapos ay sasabihin namin na ang gilid e ay insidente ver
Baliktad na Tugma
Dahil ito ay kumakatawan sa isang set ng naturang mga vertex
Isomorphism ng graph
Dalawang graph G1 =
Ruta na nakatuon sa landas
Ang isang landas (o nakadirekta na ruta) ng isang nakadirekta na graph ay isang pagkakasunud-sunod ng mga arko kung saan
Mga katabing arko, katabing vertice, antas ng vertex
Arcs a = (xi, xj), xi ≠ xj, pagkakaroon ng mga karaniwang dulong vertices, n
Pagkakakonekta
Ang dalawang vertice sa isang graph ay tinatawag na konektado kung mayroong isang simpleng landas na nagkokonekta sa kanila. Ang isang graph ay tinatawag na konektado kung ang lahat ng mga vertex nito ay konektado. Teorama.
Weighted arc graph
Ang isang graph G = (N, A) ay tinatawag na weighted kung ang ilang function l: A → R ay tinukoy sa hanay ng mga arcs A tulad na
Malakas na connectivity matrix
Malakas na connectivity matrix: ilagay ang 1 sa kahabaan ng dayagonal; punan ang linyang X1 - kung ang vertex ay maabot mula sa X1 at X1 d
Mga puno
Ang mga puno ay mahalaga hindi lamang dahil nakakahanap sila ng mga aplikasyon sa iba't ibang larangan ng kaalaman, kundi dahil mayroon silang espesyal na posisyon sa mismong teorya ng graph. Ang huli ay sanhi ng matinding pagiging simple ng istraktura ng puno
Anumang di-maliit na puno ay may hindi bababa sa dalawang nakabitin na vertices
Patunay Isaalang-alang ang puno G(V, E). Ang isang puno ay isang konektadong graph, samakatuwid
Teorama
Ang gitna ng isang libreng puno ay binubuo ng isang vertex o dalawang katabing vertices: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1
Itinuro, inutusan at binary na mga puno
Ang mga nakadirekta (nakaayos) na mga puno ay isang abstraction ng mga hierarchical na relasyon na madalas na nakatagpo kapwa sa praktikal na buhay at sa matematika at programming. Puno (orientation)
Patunay
1. Ang bawat arko ay pumapasok sa ilang node. Mula sa sugnay 2 ng kahulugan 9.2.1 mayroon tayo: v
Nag-order ng mga puno
Ang mga set na T1,..., Tk sa katumbas na kahulugan ng orderev ay mga subtree. Kung ang relatibong pagkakasunud-sunod ng mga subtree na T1,...,
Binary puno
Ang binary (o binary) na puno ay isang may hangganang hanay ng mga node na maaaring walang laman o binubuo ng isang ugat at dalawang magkahiwalay na binary tree - kaliwa at kanan. Binary tree wala sa java
Libreng Representasyon ng Puno
Upang kumatawan sa mga puno, maaari mong gamitin ang parehong mga diskarte tulad ng para sa kumakatawan sa mga pangkalahatang graph - adjacency at incidence matrice, mga listahan ng adjacency, at iba pa. Ngunit gamit ang mga espesyal na katangian ng
Tapusin para sa
Rationale Ang Prüfer code ay talagang isang libreng representasyon ng puno. Upang mapatunayan ito, ipakita natin na kung ang T" ay isang puno
Representasyon ng mga binary tree
Anumang libreng puno ay maaaring i-orient sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isa sa mga node nito bilang ugat. Anumang order ay maaaring i-order nang arbitraryo. Para sa mga inapo ng isang node (mga kapatid) ng isang ordered order, ito ay tinukoy na kamag-anak
Mga pangunahing pag-andar ng lohika
Tukuyin natin sa pamamagitan ng E2 = (0, 1) ang isang set na binubuo ng dalawang numero. Ang mga numero 0 at 1 ay basic sa isang discrete mat
Boolean function
Ang Boolean function ng n arguments x1, x2, … ,xn ay isang function f mula sa ika-n na kapangyarihan ng set
Dalawang elementong Boolean algebra
Isaalang-alang natin ang set Во = (0,1) at tukuyin ang mga operasyon dito, ayon sa mga talahanayan ng mga mapagkukunan
Mga Talahanayan ng Boolean Function
Ang isang Boolean function ng n variable ay maaaring tukuyin ng isang talahanayan na binubuo ng dalawang column at 2n row. Inililista ng unang column ang lahat ng set mula sa B
F5 – ulitin sa y
f6 – sum modulo 2 f7
Pagkakasunud-sunod ng mga operasyon
Kung walang mga panaklong sa isang kumplikadong expression, ang mga operasyon ay dapat gawin sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: conjunction, disjunction, implication, equivalence, negation. Mga kombensiyon tungkol sa pagsasaayos ng unang teorama ni shannon
Upang malutas ang problema sa paghahanap ng katumbas ng SDNF at SCNF sa orihinal na formula φ, isaalang-alang muna natin ang mga pagpapalawak ng Boolean function na f(x1, x2).
Ang pangalawang teorama ni Shannon
Sa bisa ng prinsipyo ng duality, Theorem 6.4.3 (Shannon's second theorem) holds for Boolean algebras. Anumang Boolean function f(x1, x2,...
Pagkumpleto ng pagganap
Theorem (tungkol sa functional completeness). Para sa anumang function ng Boolean f mayroong isang formula φ na kumakatawan sa function na f
Algorithm para sa paghahanap ng sdnf
Upang mahanap ang SDNF, dapat munang bawasan ang formula na ito sa DNF, at pagkatapos ay ibahin ang anyo ng mga conjunct nito sa mga constituent ng unit gamit ang mga sumusunod na aksyon: a) kung ang conjunct ay may kasamang ilang
Pamamaraan ni Quine
Isaalang-alang ang pamamaraan ni Quine para sa paghahanap ng MDNF na kumakatawan sa isang ibinigay na function ng Boolean. Tukuyin natin ang sumusunod na tatlong operasyon: - kumpletong operasyon ng gluing -
Canonical na representasyon ng mga lohikal na function
Ang mga kanonikal na anyo ng mga lohikal (mga formula) na function ay mga expression na may karaniwang anyo ng isang Boolean na formula na kakaibang kumakatawan sa isang lohikal na function. Sa algebra
Boolean function system
Hayaang gumana ang Boolean f(g1, g2, …, gm) at g1(x1, x2, …, xn), g2(x1
Zhegalkin na batayan
Subukan natin ito. Tingnan natin ang sistema. Kumpleto ito, dahil ang anumang function mula sa karaniwang batayan ay ipinahayag sa mga termino
Teorem ng post
Ang post's theorem ay nagtatatag ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa pagkakumpleto ng isang sistema ng mga function ng Boolean. (Post E.L. The two-valued interactive systems of mathematical logic. – Annals of Math. Stu
Patunay
Pangangailangan. Mula sa kabaligtaran. Hayaan na
Zhegalkin algebra Proposisyonal na lohika Kahulugan ng panaguri Paglalapat ng mga panaguri sa algebra Boolean predicate algebra F↔G=(F→G)(G→F), F→G=hindi FG Predicate calculus Sumusunod at katumbas Mga tinatanggap na notasyon Mga pagtatalaga ng meta Ang mga sumusunod na teorema ay maaaring mapatunayan. Teorama 1.4. Ang isang function na f ay may kabaligtaran na function f -1 kung at kung ang f ay bijective. Teorama 1.5. Ang komposisyon ng mga bijective function ay isang bijective function. kanin. Ang 1.12 ay nagpapakita ng iba't ibang mga relasyon, lahat ng mga ito, maliban sa una, ay mga function. saloobin, ngunit iniksyon, ngunit surjection, ngunit hindi isang function hindi surjection hindi injection Hayaan ang f : A→B ay isang function, at ang set A at B ay may hangganan na set, ilagay natin ang A = n, B = m. Ang prinsipyo ni Dirichlet ay nagsasaad na kung n > m, kung gayon hindi bababa sa isang halaga ng f ang nangyayari nang higit sa isang beses. Sa madaling salita, mayroong isang pares ng mga elemento a i ≠ a j , a i , a j A kung saan f(a i )= f(a j ). Madaling patunayan ang prinsipyo ni Dirichlet, kaya ipinauubaya namin ito sa mambabasa bilang isang maliit na ehersisyo. Tingnan natin ang isang halimbawa. Hayaang magkaroon ng higit sa 12 mag-aaral sa isang grupo. Saka halata naman na at least dalawa sa kanila ang may birthday sa parehong buwan. Ang binary relation R sa set A ay tinatawag na equivalence relation kung R ay reflexive, simetriko at transitive. Ang isang pagkakapantay-pantay na relasyon sa isang hanay ng mga numero ay may mga ipinahiwatig na katangian, at samakatuwid ay isang katumbas na kaugnayan. Ang ugnayan ng pagkakatulad ng tatsulok ay malinaw na isang ugnayang katumbas. Ang hindi mahigpit na ugnayang hindi pagkakapantay-pantay (≤ ) sa hanay ng mga tunay na numero ay hindi magiging katumbas na ugnayan, dahil hindi ito simetriko: mula sa 3≤ 5 hindi ito sumusunod sa 5≤ 3. Ang isang equivalence class (coset) na nabuo ng isang element a para sa isang ibinigay na equivalence relation R ay ang subset ng mga x A na nasa relation R na may a. Ang ipinahiwatig na klase ng equivalence ay tinutukoy ng [a]R, samakatuwid, mayroon tayong: [a] R = (x A: a, x R). Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang isang pagkakatulad na ugnayan ay ipinakilala sa hanay ng mga tatsulok. Malinaw na ang lahat ng equilateral triangle ay nahuhulog sa isang coset, dahil ang bawat isa sa kanila ay katulad, halimbawa, sa isang tatsulok, na ang lahat ng mga panig ay may haba ng yunit. Teorama 1.6. Hayaan ang R ay isang katumbas na ugnayan sa set A at ang [a] R ay isang coset, i.e. [a] R = (x A: a, x R), pagkatapos: 1) para sa alinmang A: [a] R ≠, sa partikular, isang [a] R; 2)
ang iba't ibang mga coset ay hindi nagsalubong; 3)
ang unyon ng lahat ng coset ay tumutugma sa buong set A; 4)
isang set ng iba't ibang coset ang bumubuo ng partition ng set A. Patunay. 1) Dahil sa reflexivity ng R, nakuha namin na para sa anumang a, a A, mayroon kaming a,a R, samakatuwid ay isang [ a] R at [ a] R ≠ ; 2) ipagpalagay natin na [ a] R ∩ [b] R ≠ , i.e. mayroong isang elemento c ng A at c [a]R ∩ [b]R. Pagkatapos mula sa (cRa)&(cRb) dahil sa simetrya ng R nakuha namin iyon (aR c)&(cRb), at mula sa transitivity ng R mayroon kaming aRb. Para sa anumang x [a] R mayroon kaming: (xRa)&(aRb), pagkatapos ay dahil sa transitivity ng R nakukuha namin ang xRb, i.e. x [b] R, samakatuwid [a] R [b] R. Katulad nito, para sa anumang y, y [b] R, mayroon tayong: (yRb)&(aRb), at dahil sa simetrya ng R nakuha natin iyon (yRb)&(bR a), pagkatapos, dahil sa transitivity ng R , nakuha namin na yR a , i.e. y [a]R at samakatuwid [b] R [a] R . Mula sa [ a ] R [ b ] R at [ b ] R [ a ] R nakukuha natin ang [ a ] R = [ b ] R , iyon ay, kung ang mga coset ay nagsalubong, kung gayon sila ay nag-tutugma; 3) para sa alinmang a, isang A, bilang napatunayan, mayroon kaming [a] R, kung gayon, malinaw naman, ang pagsasama ng lahat ng mga coset ay tumutugma sa set A. Ang pahayag 4) ng Theorem 1.6 ay sumusunod mula sa 1)-3). Ang teorama ay napatunayan. Ang sumusunod na teorama ay maaaring mapatunayan. Teorama 1.7. Ang iba't ibang mga katumbas na relasyon sa set A ay bumubuo ng iba't ibang mga partisyon ng A. Teorama 1.8. Ang bawat partition ng set A ay bumubuo ng equivalence relation sa set A, at ang iba't ibang partition ay bumubuo ng iba't ibang equivalence relations. Patunay. Hayaang magbigay ng partition B = (B i ) ng set A. Tukuyin natin ang ugnayang R : a,b R kung at kung mayroong isang B i na ang a at b ay parehong nabibilang sa B i na ito. Malinaw na ang ipinakilalang relasyon ay reflexive, simetriko at transitive, samakatuwid, ang R ay isang katumbas na relasyon. Maaari itong ipakita na kung ang mga partisyon ay naiiba, kung gayon ang mga relasyon sa pagkakapareho na nabuo ng mga ito ay iba rin. Ang set ng lahat ng cosets ng set A na may kinalaman sa isang ibinigay na equivalence relation R ay tinatawag na factor set at tinutukoy ng A/R. Ang mga elemento ng isang factor set ay mga coset. Ang klase ng coset [a]R, tulad ng nalalaman, ay binubuo ng mga elemento A na may kaugnayan sa bawat isa R. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang katumbas na ugnayan sa hanay ng mga integer Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Dalawang integer a at b ay tinatawag na maihahambing (congruent) modulo m kung ang m ay isang divisor ng numerong a-b, ibig sabihin, kung mayroon tayong: a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Sa kasong ito, isulat ang a≡ b(mod m) . Teorama 1.9. Para sa anumang mga numero a, b, c at m>0 mayroon kaming: 1) a ≡ a(mod m); 2) kung a ≡ b(mod m), pagkatapos b ≡ a(mod m); 3) kung a ≡ b(mod m) at b ≡ c(mod m), pagkatapos ay a ≡ c(mod m). Patunay. Ang mga pahayag 1) at 2) ay halata. Patunayan natin 3). Hayaan ang a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, pagkatapos ay a=c+(k 1 +k 2)m, i.e. a ≡ c(mod m) . Ang teorama ay napatunayan. Kaya, ang comparability relation modulo m ay isang equivalence relation at hinahati ang set ng mga integer sa magkahiwalay na klase ng mga numero. Bumuo tayo ng isang walang katapusang unwinding spiral, na ipinapakita sa Fig. Ang 1.13 ay ipinapakita bilang isang solidong linya, at ang isang walang katapusang paikot-ikot na spiral ay ipinapakita bilang isang putol-putol na linya. Hayaang magbigay ng di-negatibong integer m. Ilalagay namin ang lahat ng mga integer (mga elemento mula sa set Z) sa mga punto ng intersection ng mga spiral na ito na may m ray, tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.13. Para sa isang comparability relation modulo m (sa partikular, para sa m =8), ang equivalence class ay ang mga numerong nakalagay sa ray. Malinaw, ang bawat numero ay nabibilang sa isa at isang klase lamang. Maaari itong makuha na para sa m= 8 mayroon kaming: [
0]
={…, -8, 0, 8, 16, …}; [
1]
={…, -7, 1, 9, 17, …}; [
2]
={…, -6, 2, 10, 18, …}; [
7]
={…, -9, -1, 7, 15, …}. Ang factor set ng set Z na may kinalaman sa comparison relation modulo m ay tinutukoy bilang Z/m o bilang Z m. Para sa kasong isinasaalang-alang m =8 makuha natin na Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) . Teorama 1.10. Para sa anumang integer a, b, a*, b*, k at m: 1) kung a ≡ b(mod m), pagkatapos ay ka ≡ kb(mod m); 2) kung a ≡ b(mod m) at a* ≡ b* (mod m), kung gayon: a) a+a * ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m). Ipinakita namin ang patunay para sa kaso 2b). Hayaan ang a ≡ b(mod m) at a * ≡ b * (mod m), pagkatapos ay a=b+sm at a * =b * +tm para sa ilang integer s at t. Pagpaparami makuha natin ang: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Kaya naman, aa* ≡ bb* (mod m). Kaya, ang mga paghahambing ng modulo ay maaaring idagdag at i-multiply ang termino sa pamamagitan ng termino, i.e. gumana sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa mga pagkakapantay-pantay. Halimbawa,
Ang sum modulo 2, ang conjunction at ang constants 0 at 1 ay bumubuo ng isang functionally complete system, i.e. bumuo ng algebra - Zhegalkin algebra. A=
Pinag-aaralan ng lohika ng matematika ang mga pangunahing konsepto ng syntax (form) at semantics (content) ng natural na wika. Isaalang-alang natin ang tatlong pangunahing lugar ng pananaliksik sa lohika ng matematika - lohika
Hayaan ang X1, X2, ..., Xn na maging mga di-makatwirang variable. Tatawagin natin ang mga variable na ito na mga variable ng paksa. Hayaang itakda ka ng variable
Isaalang-alang natin ang mga panaguri kung saan isang variable lamang ang libre, na tinutukoy natin ng x, at talakayin ang paggamit ng mga panaguri sa algebra. Isang tipikal na halimbawa
Dahil ang mga lohikal na operasyon ay maaaring ilapat sa mga predicate, ang mga pangunahing batas ng Boolean algebra ay may bisa para sa kanila. Teorama. (Mga katangian ng mga lohikal na operasyon para sa mga panaguri). Mn
2. Gamitin ang batas hindi hindi F=F, ang mga batas ni Morgan: hindi (F
Ang predicate calculus ay tinatawag ding first-order theory. Sa predicate calculus, pati na rin sa propositional calculus, ang unang pinakamahalagang lugar ay ang problema ng solvability.
Ang proposisyonal na form Q2 ay sumusunod mula sa propositional form na Q1 kung ang implikasyon na Q1→Q2 ay naging totoo
Mga simbolo ng "order no more". Kapag inihambing ang rate ng paglago ng dalawang function na f(n) at g(n) (na may mga hindi negatibong halaga), ang mga sumusunod ay napaka-maginhawa
Mga Simbolo ng Nilalaman Halimbawa O
§ 7. Relasyon ng equivalence. Salik - set
