Sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo

saan aij At b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij unang index i nagsasaad ng bilang ng equation, at ang pangalawa j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito.

Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay isusulat sa anyo ng isang matrix , na tatawagin natin system matrix.

Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation b 1 ,…,b m tinawag libreng miyembro.

Pinagsama-sama n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng sistemang ito, kung ang bawat equation ng system ay naging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.

Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon:

Ang isang sistema ng mga linear na equation na may hindi bababa sa isang solusyon ay tinatawag magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.

Isaalang-alang ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system.

MATRIX METHOD PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS

Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:

Isaalang-alang ang matrix ng system at matrix na mga column ng hindi kilalang at libreng mga miyembro

Hanapin natin ang produkto

mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos, gamit ang kahulugan ng matrix equality, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang

o mas maikli A∙X=B.

Dito matrices A At B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangan niyang mahanap, dahil. ang mga elemento nito ang solusyon ng sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.

Hayaang ang matrix determinant ay naiiba sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ang matrix equation ay malulutas bilang mga sumusunod. I-multiply ng matrix ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa A-1, ang kabaligtaran ng matris A: . Dahil ang A -1 A = E At E∙X=X, pagkatapos ay makuha namin ang solusyon ng matrix equation sa anyo X = A -1 B .

Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay kapareho ng bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang matrix notation ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation.

PANUNTUNAN NI CRAMER

Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:

Third-order determinant na naaayon sa matrix ng system, i.e. binubuo ng mga coefficient sa hindi alam,

tinawag determinant ng sistema.

Bumubuo kami ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: sunud-sunod naming pinapalitan ang 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng miyembro

Pagkatapos ay maaari nating patunayan ang sumusunod na resulta.

Theorem (panuntunan ng Cramer). Kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at

Patunay. Kaya, isaalang-alang ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento isang 11, 2nd equation - on A21 at ika-3 - sa A 31:

Idagdag natin ang mga equation na ito:

Isaalang-alang ang bawat isa sa mga bracket at ang kanang bahagi ng equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng 1st column

Katulad nito, maaari itong ipakita na at .

Sa wakas, madaling makita iyon

Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .

Kaya naman, .

Ang mga pagkakapantay-pantay at ay nagmula sa magkatulad, kung saan ang assertion ng theorem ay sumusunod.

Kaya, tandaan namin na kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at kabaliktaran. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay maaaring mayroong isang walang katapusang hanay ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma.

Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

PARAAN NG GAUSS

Ang naunang isinasaalang-alang na mga pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang Gaussian method ay mas unibersal at angkop para sa mga system na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.

Isaalang-alang muli ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

.

Iniiwan namin ang unang equation na hindi nagbabago, at mula sa ika-2 at ika-3 ibubukod namin ang mga terminong naglalaman ng x 1. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng A 21 at i-multiply sa - A 11 at pagkatapos ay idagdag sa 1st equation. Katulad nito, hinahati namin ang ikatlong equation sa A 31 at i-multiply sa - A 11 at pagkatapos ay idagdag ito sa una. Bilang resulta, ang orihinal na sistema ay kukuha ng anyo:

Ngayon, mula sa huling equation, inalis namin ang terminong naglalaman x2. Upang gawin ito, hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng , multiply sa at idagdag ito sa pangalawa. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng isang sistema ng mga equation:

Kaya mula sa huling equation ay madaling mahanap x 3, pagkatapos ay mula sa 2nd equation x2 at sa wakas mula sa 1st - x 1.

Kapag ginagamit ang Gaussian method, ang mga equation ay maaaring palitan kung kinakailangan.

Kadalasan, sa halip na magsulat ng bagong sistema ng mga equation, nililimitahan nila ang kanilang mga sarili sa pagsusulat ng pinahabang matrix ng system:

at pagkatapos ay dalhin ito sa isang triangular o dayagonal na anyo gamit ang elementarya na pagbabago.

SA mga pagbabagong elementarya Kasama sa mga matrice ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo:

1. permutasyon ng mga hilera o haligi;
2. pagpaparami ng string sa isang non-zero na numero;
3. pagdaragdag sa isang linya ng iba pang mga linya.

Mga halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng equation gamit ang Gauss method.

Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ang isang equation na may isang hindi alam, na, pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, ay kinuha ang form

ax + b = 0, kung saan ang a at b ay mga arbitrary na numero, ay tinatawag linear equation na may isang hindi kilala. Ngayon ay malalaman natin kung paano lutasin ang mga linear na equation na ito.

Halimbawa, lahat ng equation:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.

Ang halaga ng hindi alam na nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ay tinatawag desisyon o ang ugat ng equation .

Halimbawa, kung sa equation na 3x + 7 \u003d 13 ay pinapalitan natin ang numero 2 sa halip na ang hindi kilalang x, pagkatapos ay nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay 3 2 + 7 \u003d 13. Samakatuwid, ang halaga x \u003d 2 ay ang solusyon o ang ugat ng equation.

At ang halagang x \u003d 3 ay hindi ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang equation na 3x + 7 \u003d 13, dahil 3 2 + 7 ≠ 13. Samakatuwid, ang halagang x \u003d 3 ay hindi solusyon o ugat ng equation.

Ang solusyon ng anumang mga linear na equation ay nabawasan sa solusyon ng mga equation ng form

ax + b = 0.

Inilipat namin ang libreng termino mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, habang binabago ang sign sa harap ng b sa kabaligtaran, nakukuha namin

Kung a ≠ 0, kung gayon x = – b/a .

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na 3x + 2 =11.

Inilipat namin ang 2 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, habang binabago ang sign sa harap ng 2 sa kabaligtaran, nakukuha namin
3x \u003d 11 - 2.

Gawin natin ang pagbabawas, kung gayon
3x = 9.

Upang mahanap ang x, kailangan mong hatiin ang produkto sa isang kilalang kadahilanan, iyon ay,
x = 9:3.

Kaya ang halaga x = 3 ay ang solusyon o ang ugat ng equation.

Sagot: x = 3.

Kung a = 0 at b = 0, pagkatapos ay makuha namin ang equation 0x \u003d 0. Ang equation na ito ay may walang katapusan na maraming mga solusyon, dahil kapag ang pag-multiply ng anumang numero sa 0, makakakuha tayo ng 0, ngunit ang b ay 0 din. Ang solusyon sa equation na ito ay anumang numero.

Halimbawa 2 Lutasin ang equation 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Palawakin natin ang mga bracket:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Narito ang mga katulad na miyembro:
0x = 0.

Sagot: x ay anumang numero.

Kung a = 0 at b ≠ 0, pagkatapos ay makuha natin ang equation na 0x = - b. Ang equation na ito ay walang mga solusyon, dahil kapag nagpaparami ng anumang numero sa 0, makakakuha tayo ng 0, ngunit b ≠ 0.

Halimbawa 3 Lutasin ang equation na x + 8 = x + 5.

Ipangkat natin ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang mga libreng termino sa kanang bahagi:
x - x \u003d 5 - 8.

Narito ang mga katulad na miyembro:
0x = - 3.

Sagot: walang solusyon.

Naka-on figure 1 ang scheme para sa paglutas ng linear equation ay ipinapakita

Bumuo tayo ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang variable. Isaalang-alang ang solusyon ng halimbawa 4.

Halimbawa 4 Solusyonan natin ang equation

1) I-multiply ang lahat ng termino ng equation sa pinakamaliit na common multiple ng mga denominator, katumbas ng 12.

2) Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Upang paghiwalayin ang mga miyembrong naglalaman ng hindi kilalang at libreng mga miyembro, buksan ang mga bracket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Pinagpangkat namin sa isang bahagi ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam, at sa isa pa - mga libreng termino:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Narito ang mga katulad na miyembro:
- 22x = - 154.

6) Hatiin sa - 22 , Nakukuha namin
x = 7.

Tulad ng makikita mo, ang ugat ng equation ay pito.

Sa pangkalahatan, tulad maaaring malutas ang mga equation tulad ng sumusunod:

a) dalhin ang equation sa isang integer form;

b) bukas na mga bracket;

c) pangkatin ang mga terminong naglalaman ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, at ang mga libreng termino sa isa pa;

d) magdala ng mga katulad na miyembro;

e) lutasin ang isang equation ng form aх = b, na nakuha pagkatapos magdala ng mga katulad na termino.

Gayunpaman, ang scheme na ito ay hindi kinakailangan para sa bawat equation. Kapag nilulutas ang maraming mas simpleng equation, kailangang magsimula hindi sa una, ngunit sa pangalawa ( Halimbawa. 2), pangatlo ( Halimbawa. 13) at maging mula sa ikalimang yugto, tulad ng halimbawa 5.

Halimbawa 5 Lutasin ang equation na 2x = 1/4.

Nahanap namin ang hindi kilalang x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Isaalang-alang ang solusyon ng ilang mga linear na equation na nakatagpo sa pangunahing pagsusulit ng estado.

Halimbawa 6 Lutasin ang equation 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Sagot: - 0.125

Halimbawa 7 Lutasin ang equation - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Sagot: 2.3

Halimbawa 8 Lutasin ang Equation

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Halimbawa 9 Hanapin ang f(6) kung f (x + 2) = 3 7's

Solusyon

Dahil kailangan nating hanapin ang f(6), at alam natin ang f (x + 2),
pagkatapos x + 2 = 6.

Lutasin namin ang linear equation x + 2 = 6,
nakukuha namin ang x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Kung x = 4 kung gayon
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Sagot: 27.

Kung mayroon ka pa ring mga katanungan, may pagnanais na harapin ang solusyon ng mga equation nang mas lubusan, mag-sign up para sa aking mga aralin sa SCHEDULE. Ikalulugod kong tulungan ka!

Inirerekomenda din ng TutorOnline ang panonood ng bagong video tutorial mula sa aming tutor na si Olga Alexandrovna, na makakatulong sa iyong maunawaan ang parehong mga linear na equation at iba pa.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Para sa system binubuo namin ang pangunahing determinant

at kalkulahin ito.

Pagkatapos ay gumawa kami ng mga karagdagang determinant

at kalkulahin ang mga ito.

Ayon sa panuntunan ni Cramer, ang solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula

;
;
, Kung

1)

Kalkulahin natin:

Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer nalaman namin:

Sagot: (1; 2; 3)

2)

Kalkulahin natin:

Dahil ang pangunahing determinant
, at hindi bababa sa isang karagdagang ay hindi katumbas ng zero (sa aming kaso
), kung gayon ang sistema ay walang solusyon.

3)

Kalkulahin natin:

Dahil ang lahat ng mga determinant ay katumbas ng zero, ang sistema ay may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon, na maaaring matagpuan bilang

Lutasin ang sarili mong mga system:

A)
b)

Sagot: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktikal na aralin bilang 3 sa paksa:

Ang scalar product ng dalawang vectors at ang application nito

1. Kung ibibigay
At
, pagkatapos ay matatagpuan ang scalar product sa pamamagitan ng formula:

∙

2. Kung, kung gayon ang scalar product ng dalawang vector na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

1. Dalawang vector ang ibinigay
At

Nakikita namin ang kanilang scalar na produkto tulad ng sumusunod:

.

2. Dalawang vector ang ibinigay:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

dot product ay matatagpuan tulad nito:

3.
,

3.1 Paghahanap ng gawain ng isang pare-parehong puwersa sa isang tuwid na seksyon ng landas

1) Sa ilalim ng pagkilos ng puwersa ng 15N, ang katawan ay gumagalaw sa isang tuwid na linya ng 2 metro. Ang anggulo sa pagitan ng puwersa at direksyon ng paggalaw =60 0 . Kalkulahin ang gawaing ginawa ng puwersa upang ilipat ang katawan.

Ibinigay:

Solusyon:

2) Ibinigay:

Solusyon:

3) Isang katawan ang lumipat mula sa punto M(1; 2; 3) hanggang sa puntong N(5; 4; 6) sa ilalim ng pagkilos ng puwersa na 60N. Anggulo sa pagitan ng direksyon ng puwersa at displacement vector =45 0 . Kalkulahin ang gawaing ginawa ng puwersang ito.

Solusyon: hanapin ang displacement vector

Hanapin ang displacement vector modulus:

Ayon sa formula
Maghanap ng trabaho:

3.2 Pagtukoy sa orthogonality ng dalawang vectors

Ang dalawang vector ay orthogonal kung
, yan ay

kasi

1)

- hindi orthogonal

2)

-orthogonal

3) Tukuyin kung para saan  ang mga vector
At
kapwa orthogonal.

kasi
, Iyon
, Ibig sabihin

Magpasya para sa iyong sarili:

A)

. Hanapin ang kanilang scalar product.

b) Kalkulahin kung gaano karaming trabaho ang ginagawa ng puwersa
, kung ang punto ng aplikasyon nito, na gumagalaw sa isang tuwid na linya, ay lumipat mula sa puntong M (5; -6; 1) hanggang sa puntong N (1; -2; 3)

c) Tukuyin kung ang mga vector ay orthogonal
At

Mga sagot: a) 1 b) 16 c) oo

3.3 Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga vector

1)

. Hanapin .

Nahanap namin

isaksak sa formula:

.

1). Ang mga vertices ng triangle A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) ay ibinibigay. Hanapin ang anggulo sa vertex A.

Palitan sa formula:

Magpasya para sa iyong sarili:

Ang mga vertices ng tatsulok na A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) ay ibinibigay. Tukuyin ang panloob na anggulo sa vertex A.

Sagot: 90 o

Praktikal na aralin bilang 4 sa paksa:

VECTOR PRODUCT NG DALAWANG VECTOR AT ANG APPLICATION NITO.

Ang formula para sa paghahanap ng cross product ng dalawang vectors:

	may porma

1) Hanapin ang vector product module:

Binubuo namin ang determinant at kinakalkula ito (ayon sa panuntunan ng Sarrus o theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera).

1st method: ayon sa Sarrus rule

Pangalawang paraan: palawakin ang determinant sa pamamagitan ng mga elemento ng unang hilera.

2) Hanapin ang module ng cross product:

4.1. PAGKUKULANG NG LUGAR NG ISANG PARALLELOGRAM NA NABUO SA DALAWANG VECTOR.

1) Kalkulahin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector

2). Hanapin ang cross product at ang modulus nito

4.2. PAGKUKULALA NG LUGAR NG ISANG TRIANGLE

Halimbawa: ibinigay ang mga vertex ng tatsulok na A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Kalkulahin ang lugar ng tatsulok.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng dalawang vector na lumalabas sa parehong vertex.

Hanapin natin ang kanilang produkto ng vector

4.3. DETERMINATION OF COLLINEARITY NG DALAWANG VECTOR

Kung ang vector
At
ay collinear, kung gayon

, ibig sabihin, ang mga coordinate ng mga vector ay dapat na proporsyonal.

a) Data ng vector::
,
.

Collinear kasi sila
At

pagkatapos bawasan ang bawat fraction, ang ratio ay nakuha

b) Data ng vector:

.

Hindi sila collinear kasi
o

Magpasya para sa iyong sarili:

a) Para sa kung anong mga halaga ng m at n ng vector
collinear?

Sagot:
;

b) Hanapin ang cross product at ang modulus nito
,
.

Sagot:
,
.

Praktikal na aralin bilang 5 sa paksa:

STRAIGHT LINE SA EROPLO

Gawain bilang 1. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong A (-2; 3) na kahanay sa tuwid na linya

1. Hanapin ang slope ng tuwid na linya
.

ay ang equation ng isang tuwid na linya na may slope at inisyal na ordinate (
). kaya lang
.

2. Dahil ang mga linyang MN at AC ay parallel, ang kanilang mga slope ay pantay, i.e.
.

3. Upang mahanap ang equation ng tuwid na linya AC, ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may ibinigay na slope:

. Sa formula na ito, sa halip na At pinapalitan namin ang mga coordinate ng point A (-2; 3), sa halip na palitan natin - 3. Bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha natin ang:

Sagot:

Gawain bilang 2. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (1; -2) na kahanay sa tuwid na linya.

1. Hanapin ang slope ng tuwid na linya.

Ito ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, na karaniwang ibinibigay ng formula. Paghahambing ng mga equation at nakita namin na A \u003d 2, B \u003d -3. Ang slope ng tuwid na linya na ibinigay ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
. Ang pagpapalit ng A = 2 at B = –3 sa formula na ito, nakukuha namin ang slope ng tuwid na linya MN. Kaya,
.

2. Dahil ang mga linyang MN at KS ay magkatulad, ang kanilang mga slope ay pantay:
.

3. Upang mahanap ang equation ng tuwid na linya na KS, ginagamit namin ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may ibinigay na slope
. Sa formula na ito, sa halip na At pinapalitan natin ang mga coordinate ng puntong K(–2; 3), sa halip na

Gawain bilang 3. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (–1; –3) patayo sa tuwid na linya.

1. ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, na karaniwang ibinibigay ng formula.

at nalaman namin na A = 3, B = 4.

Ang slope ng tuwid na linya na ibinigay ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
. Ang pagpapalit ng A = 3 at B = 4 sa formula na ito, nakuha namin ang slope ng tuwid na linya MN:
.

2. Dahil ang mga linyang MN at KD ay patayo, ang kanilang mga slope ay inversely proportional at magkasalungat sa sign:

.

3. Upang mahanap ang equation ng tuwid na linya KD, ginagamit namin ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na may ibinigay na slope

. Sa formula na ito, sa halip na At pinapalitan natin ang mga coordinate ng puntong K(–1; –3), sa halip na palitan natin . Bilang resulta ng pagpapalit, nakukuha namin ang:

Magpasya para sa iyong sarili:

1. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (–4; 1) parallel sa tuwid na linya
.

Sagot:
.

2. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (5; -2) parallel sa tuwid na linya
.

3. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (–2; –6) patayo sa tuwid na linya
.

4. Hanapin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K (7; -2) patayo sa tuwid na linya
.

Sagot:
.

5. Hanapin ang equation ng perpendicular na bumaba mula sa puntong K (–6; 7) hanggang sa tuwid na linya
.

2.3.1. Kahulugan.

Hayaang ibigay ang mga linear na equation:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Kung kinakailangan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon ng mga equation (2.3.1) ¾ (2.3.3), pagkatapos ay sinasabi nila na bumubuo sila sistema . Ang sistemang binubuo ng mga equation (2.3.1) ¾ (2.3.3) ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

Ang pangkalahatang solusyon ng mga equation na bumubuo sa sistema ay tinatawag solusyon sa sistema . Lutasin ang sistema (2.3.4) ¾ nangangahulugan ito ng paghahanap ng hanay ng lahat ng solusyon nito o pagpapatunay na wala.

Tulad ng sa mga nakaraang kaso, sa ibaba ay makikita natin ang mga kondisyon kung saan ang system (2.3.4) ay may natatanging solusyon, mayroong higit sa isang solusyon, at walang solusyon.

2.3.2. Kahulugan. Hayaang ibigay ang system (2.3.4) ng mga linear na equation. matrice

ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit ( basic )matris At pinalawak na matrix mga sistema.

2.3.3. Ang mga kahulugan ng mga katumbas na sistema ng anyo (2.3.4), pati na rin ang mga elementarya na pagbabago ng ika-1 at ika-2 uri, ay ipinakilala sa parehong paraan tulad ng para sa mga sistema ng dalawang equation na may dalawa at tatlong hindi alam.

Pagbabagong elementarya Ang ikatlong uri ng sistema (2.3.4) ay ang pagpapalitan ng ilang dalawang equation ng sistemang ito. Katulad ng mga nakaraang kaso ng mga sistema ng 2 equation sa ilalim ng elementarya na pagbabago ng sistema, isang sistema ang nakuha,katumbas nito.

2.3.4. Mag-ehersisyo. Lutasin ang mga sistema ng mga equation:

Solusyon. A)

(1) Pinalitan ang una at pangalawang equation ng system (pagbabago ng ika-3 uri).

(2) Ang unang equation na pinarami ng 4 ay ibinabawas sa pangalawa, at ang unang equation na pinarami ng 6 ay ibinabawas sa pangatlo (type 2 transformation); kaya, ang hindi alam ay hindi kasama sa pangalawa at pangatlong equation x .

(3) Ang pangalawang equation na pinarami ng 14 ay ibinabawas sa pangatlo; ang hindi kilala ay hindi kasama sa pangatlo y .

(4) Mula sa huling equation nakita namin z = 1, pinapalitan kung alin sa pangalawa, makikita natin y = 0. Panghuli, pagpapalit y = 0 at z = 1 sa unang equation, nakita namin x = -2.с

(1) Pinalitan ang una at pangalawang equation ng system.

(2) Ang unang equation na beses na 4 ay ibinabawas mula sa pangalawa, at ang unang equation na beses na 6 ay binabawasan mula sa ikatlo.

(3) Ang pangalawa at pangatlong equation ay magkasabay. Ibinubukod namin ang isa sa kanila mula sa system (o, sa madaling salita, kung ibawas namin ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, kung gayon ang ikatlong equation ay magiging pagkakakilanlan 0 = 0; ito ay hindi kasama sa system. Ipinapalagay namin z = a .

(4) Kapalit z = a sa pangalawa at unang equation.

(5) Pagpapalit y = 12 - 12a sa unang equation, nakita namin x .

c) Kung ang unang equation ay hinati ng 4, at ang pangatlong ¾ ng 6, pagkatapos ay dumating tayo sa isang katumbas na sistema

na katumbas ng equation x - 2y - z = -3. Ang mga solusyon sa equation na ito ay kilala (tingnan ang Halimbawa 2.2.3 b))

Ang huling pagkakapantay-pantay sa resultang sistema ay magkasalungat. Samakatuwid, ang sistema ay walang mga solusyon.

Ang mga pagbabagong-anyo (1) at (2) ¾ ay eksaktong kapareho ng mga kaukulang pagbabago ng system b))

(3) Ibawas ang pangalawang equation mula sa huling equation.

Sagot: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) Ang sistema ay walang solusyon.

2.3.5. Ito ay sumusunod mula sa mga nakaraang halimbawa na sistema na may tatlong hindi alam, pati na rin ang isang sistema na may dalawang hindi alam, maaaring magkaroon lamang ng isang solusyon, isang walang katapusang bilang ng mga solusyon at walang isang solong solusyon. Sa ibaba ay susuriin namin ang lahat ng posibleng kaso. Ngunit ipinakilala muna namin ang ilang notasyon.

Ipahiwatig sa pamamagitan ng D ang determinant ng matrix ng system:

Tukuyin ng D 1 ang determinant na nakuha mula sa D sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column ng column ng mga libreng miyembro:

Katulad nito, ilagay natin

D 2 = at D 3 = .

2.3.6. Teorama. Kung D¹0, pagkatapos ay ang sistema(2.3.4)may tanging solusyon

, , . (2.3.5)

Ang mga formula (2.3.5) ay tinatawag mga formula = = 0 para sa lahat i ¹ j at hindi bababa sa isa sa mga determinant , , hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ng solusyon ay wala.

4) Kung = = = = = = 0 para sa lahat i ¹ j , pagkatapos ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, depende sa dalawang parameter.

Gawain 1

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa dalawang paraan: gamit ang mga formula ng Cramer at ang pamamaraang Gauss

1) lutasin ang inhomogeneous system ng linear algebraic equation Ax = B sa pamamagitan ng Cramer method

Ang determinant ng system D ay hindi katumbas ng zero. Maghanap ng mga pantulong na determinant D 1 , D 2 , D 3 , kung hindi sila katumbas ng zero, kung gayon walang mga solusyon, kung pantay-pantay sila, kung gayon mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon

Ang isang sistema ng 3 linear equation na may 3 hindi alam, ang determinant nito ay iba sa zero, ay palaging pare-pareho at may natatanging solusyon na kinakalkula ng mga formula:

Sagot: nakatanggap ng solusyon:

2) lutasin ang inhomogeneous system ng linear algebraic equation Ax = B sa pamamagitan ng Gauss method

Buuin ang augmented matrix ng system

Gawin natin ang unang linya bilang gabay, at ang elementong a 11 = 1 bilang gabay. Sa tulong ng linya ng gabay, nakakakuha tayo ng mga zero sa unang column.

tumutugma sa hanay ng mga solusyon ng sistema ng mga linear na equation

Sagot: nakatanggap ng solusyon:

Gawain 2

Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC

Hanapin:

1) ang haba ng gilid AB;

4) ang equation ng median AE;

Buuin ang ibinigay na tatsulok at lahat ng linya sa coordinate system.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distansya sa pagitan ng mga punto A( x 1; 1) at B( x 2; sa 2) ay tinutukoy ng formula

gamit kung saan makikita natin ang haba ng gilid AB;

2) mga equation ng mga gilid AB at BC at ang kanilang mga slope;

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na punto ng eroplano A( x 1; 1) at B( x 2; sa 2) ay may anyo

Ang pagpapalit sa (2) ng mga coordinate ng mga puntos A at B, nakukuha namin ang equation ng side AB:

Nahanap namin ang slope k AB ng tuwid na linya AB sa pamamagitan ng pag-convert ng nagresultang equation sa anyo ng equation ng isang tuwid na linya na may slope y=kx - b.

, ibig sabihin, mula saan

Katulad nito, nakukuha natin ang equation ng tuwid na linya BC at hanapin ang slope nito.

Ang pagpapalit sa (2) ng mga coordinate ng mga puntos B at C, nakukuha namin ang equation para sa panig na BC:

Ang slope k BC ng tuwid na linya BC ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-convert ng resultang equation sa anyo ng equation ng isang tuwid na linya na may slope y=kx - b.

, yan ay

3) panloob na anggulo sa vertex B sa radians na may katumpakan na 0.01

Upang mahanap ang panloob na anggulo ng aming tatsulok, ginagamit namin ang formula:

Tandaan na ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagkakaiba sa mga slope coefficient sa numerator ng fraction na ito ay nakasalalay sa relatibong posisyon ng mga linyang AB at BC.

Ang pagpapalit ng naunang kinakalkula na mga halaga ng k ВС at k АВ sa (3), nakita namin:

Ngayon, gamit ang mga talahanayan ng isang microcalculator ng engineering, nakukuha namin » 1.11 rad.

4) ang equation ng median AE;

Upang ipunin ang equation para sa median na AE, una nating hanapin ang mga coordinate ng punto E, na nasa gitna ng segment na BC

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A at E sa equation (2), makuha natin ang median equation:

5) equation at haba ng taas CD;

Upang ipunin ang equation para sa taas na CD, ginagamit namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M( x 0; sa 0) na may ibinigay na slope k, na mukhang

at ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linyang AB at CD, na kung saan ay ipinahayag ng kaugnayan k AB k CD = -1, kung saan k CD = -1/k AB = - 3/4

Ang pagpapalit sa (4) sa halip na k ang halaga ng k С D = -3/4, at sa halip na x 0 , y 0 ang kaukulang mga coordinate ng point C, makuha namin ang equation para sa taas CD

Upang kalkulahin ang haba ng taas ng CD, ginagamit namin ang formula para sa paghahanap ng distansya d mula sa isang naibigay na punto M( x 0; sa 0) sa isang ibinigay na tuwid na linya na may equation na Ax + By + С = 0 , na mukhang:

Pagpapalit sa (5) sa halip na x 0; sa 0 mga coordinate ng punto C, at sa halip na A, B, C ang mga coefficient ng equation ng tuwid na linya AB, nakuha namin

6) ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto E parallel sa gilid AB at ang punto M ng intersection nito sa taas na CD;

Dahil ang gustong linyang EF ay kahanay sa linyang AB, kung gayon k EF = k AB = 4/3. Pagpapalit sa equation (4) sa halip na x 0; sa 0 mga coordinate ng punto E, at sa halip na k ang halaga ng k EF nakukuha natin ang equation ng tuwid na linyang EF".

Upang mahanap ang mga coordinate ng point M, sabay nating lutasin ang mga equation ng mga linyang EF at CD.

Kaya, M(5.48; 0.64).

7) equation ng isang bilog na nakasentro sa point E na dumadaan sa vertex B

Dahil ang bilog ay may sentro sa puntong E(4.5; 2) at dumadaan sa vertex B(4; 3), kung gayon ang radius nito

Ang canonical equation ng isang bilog ng radius R na nakasentro sa punto М 0 ( x 0; sa 0) ay may anyo

Triangle ABC, height CD, median AE, straight line EF, point M at isang bilog na binuo sa x0y coordinate system sa Fig.1.

Gawain 3

Buuin ang equation ng linya, para sa bawat punto kung saan ang distansya nito sa punto A (2; 5) ay katumbas ng distansya sa tuwid na linya y \u003d 1. Buuin ang resultang curve sa coordinate system

Solusyon

Hayaan M ( x, y) - kasalukuyang punto ng nais na kurba. Ibagsak natin ang perpendicular MB mula sa puntong M hanggang sa tuwid na linya y = 1 (Larawan 2). Pagkatapos B(x; 1). Dahil MA = MB, kung gayon