Bilog na nakasulat sa isang tatsulok

Pag-iral ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok

Alalahanin natin ang kahulugan mga bisector ng anggulo .

Kahulugan 1 .Angle bisector tinatawag na sinag na naghahati sa isang anggulo sa dalawang magkapantay na bahagi.

Teorama 1 (Basic na katangian ng isang angle bisector) . Ang bawat punto ng angle bisector ay nasa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulo (Larawan 1).

kanin. 1

Patunay D , nakahiga sa bisector ng angguloBAC , At DE At DF sa mga gilid ng sulok (Larawan 1).Mga Tamang Triangles ADF At ADE pantay , dahil mayroon silang pantay na mga acute na angguloDAF At DAE , at ang hypotenuse AD – pangkalahatan. Kaya naman,

DF = DE,

Q.E.D.

Theorem 2 (converse to Theorem 1) . Kung ang ilan, pagkatapos ito ay namamalagi sa bisector ng anggulo (Larawan 2).

kanin. 2

Patunay . Isaalang-alang ang isang di-makatwirang puntoD , nakahiga sa loob ng angguloBAC at matatagpuan sa parehong distansya mula sa mga gilid ng anggulo. Bumaba tayo mula sa puntoD patayo DE At DF sa mga gilid ng sulok (Larawan 2).Mga Tamang Triangles ADF At ADE pantay , dahil magkapantay sila ng mga paaDF At DE , at ang hypotenuse AD – pangkalahatan. Kaya naman,

Q.E.D.

Kahulugan 2 . Ang bilog ay tinatawag bilog na nakasulat sa isang anggulo , kung ito ang mga gilid ng anggulong ito.

Teorama 3 . Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang anggulo, kung gayon ang mga distansya mula sa tuktok ng anggulo hanggang sa mga punto ng pakikipag-ugnay ng bilog na may mga gilid ng anggulo ay pantay.

Patunay . Hayaan ang punto D – gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang angguloBAC , at ang mga puntos E At F – mga punto ng kontak ng bilog na may mga gilid ng anggulo (Larawan 3).

Fig.3

a , b , c - gilid ng tatsulok,
 S -parisukat,

r – radius ng inscribed na bilog,
 p – semi-perimeter

.

Tingnan ang output ng formula

a – lateral side ng isang isosceles triangle , 
 b - base, r – may nakasulat na radius ng bilog

a r – may nakasulat na radius ng bilog

Tingnan ang output ng formula

,

saan

,

pagkatapos, sa kaso ng isang isosceles triangle, kapag

nakukuha namin

na kung ano ang kinakailangan.

Teorama 7 . Para sa pagkakapantay-pantay

saan a – gilid ng isang equilateral triangle,r – radius ng inscribed na bilog (Larawan 8).

kanin. 8

Patunay .

,

pagkatapos, sa kaso ng isang equilateral triangle, kapag

b = a,

nakukuha namin

na kung ano ang kinakailangan.

Magkomento . Bilang isang ehersisyo, inirerekumenda ko ang pagkuha ng formula para sa radius ng isang bilog na nakasulat sa isang equilateral triangle nang direkta, i.e. nang hindi gumagamit ng mga pangkalahatang formula para sa radii ng mga bilog na nakasulat sa isang arbitrary triangle o isang isosceles triangle.

Teorama 8 . Para sa isang tamang tatsulok, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

saan a , b - mga binti ng isang kanang tatsulok, c – hypotenuse , r – radius ng inscribed na bilog.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 9.

kanin. 9

Mula sa may apat na gilidCDOF ay , na may mga katabing gilidGAWIN At NG ay pantay, kung gayon ang parihaba na ito ay . Kaya naman,

CB = CF= r,

Sa bisa ng Theorem 3, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

Samakatuwid, isinasaalang-alang din, nakukuha namin

na kung ano ang kinakailangan.

Isang seleksyon ng mga problema sa paksang "Isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok."

1.

Ang isang bilog na nakasulat sa isang isosceles triangle ay naghahati sa isa sa mga lateral na gilid sa punto ng contact sa dalawang segment, ang haba nito ay 5 at 3, na binibilang mula sa vertex sa tapat ng base. Hanapin ang perimeter ng tatsulok.

2.

3

Sa tatsulok na ABC AC=4, BC=3, ang anggulo C ay 90º. Hanapin ang radius ng inscribed na bilog.

4.

Ang mga binti ng isosceles right triangle ay 2+. Hanapin ang radius ng bilog na nakasulat sa tatsulok na ito.

5.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang isosceles right triangle ay 2. Hanapin ang hypotenuse c ng triangle na ito. Pakilagay ang c(–1) sa iyong sagot.

Nagpapakita kami ng ilang mga problema mula sa Pinag-isang State Exam na may mga solusyon.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang isosceles right triangle ay katumbas ng . Hanapin ang hypotenuse ng tatsulok na ito. Mangyaring ipahiwatig sa iyong sagot.

Ang tatsulok ay hugis-parihaba at isosceles. Ibig sabihin, pareho ang mga binti nito. Hayaan ang bawat binti ay pantay. Pagkatapos ay ang hypotenuse ay pantay.

Isinulat namin ang lugar ng tatsulok na ABC sa dalawang paraan:

Pagtutumbas sa mga ekspresyong ito, nakukuha natin iyon. Dahil ang, naiintindihan namin iyon. Pagkatapos.

Isusulat namin bilang tugon.

Sagot:.

Gawain 2.

1. Sa libre, mayroong dalawang gilid ng 10cm at 6cm (AB at BC). Hanapin ang radii ng circumscribed at inscribed na bilog
Ang problema ay nalutas nang nakapag-iisa sa pamamagitan ng pagkomento.

Solusyon:

SA.

1) Hanapin:
2) Patunayan:at hanapin si CK
3) Hanapin: radii ng circumscribed at inscribed circles

Solusyon:

Gawain 6.

R ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang parisukat ay. Hanapin ang radius ng bilog na nakapaligid sa parisukat na ito.Ibinigay :

Hanapin: OS=?
Solusyon: Sa kasong ito, ang problema ay maaaring malutas gamit ang alinman sa Pythagorean theorem o ang formula para sa R. Ang pangalawang kaso ay magiging mas simple, dahil ang formula para sa R ​​ay nagmula sa theorem.

Gawain 7.

Ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang isosceles right triangle ay 2. Hanapin ang hypotenuseSa tatsulok na ito. Mangyaring ipahiwatig sa iyong sagot.

S - tatsulok na lugar

Hindi natin alam ang mga gilid ng tatsulok o ang lugar nito. Tukuyin natin ang mga binti bilang x, kung gayon ang hypotenuse ay magiging katumbas ng:

At ang lugar ng tatsulok ay magiging 0.5x 2 .

ibig sabihin

Kaya, ang hypotenuse ay magiging katumbas ng:

Sa iyong sagot kailangan mong isulat:

Sagot: 4

Gawain 8.

Sa tatsulok ABC AC = 4, BC = 3, anggulo C katumbas ng 900. Hanapin ang radius ng inscribed na bilog.

Gamitin natin ang formula para sa radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok:

kung saan ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok

S - tatsulok na lugar

Ang dalawang panig ay kilala (ito ang mga binti), maaari nating kalkulahin ang pangatlo (ang hypotenuse), at maaari rin nating kalkulahin ang lugar.

Ayon sa Pythagorean theorem:

Hanapin natin ang lugar:

kaya:

Sagot: 1

Gawain 9.

Ang mga gilid ng isosceles triangle ay 5 at ang base ay 6. Hanapin ang radius ng inscribed na bilog.

Gamitin natin ang formula para sa radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok:

kung saan ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok

S - tatsulok na lugar

Ang lahat ng panig ay kilala, kalkulahin natin ang lugar. Mahahanap natin ito gamit ang formula ni Heron:

Pagkatapos

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Isaalang-alang ang isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok (Larawan 302). Alalahanin na ang sentro nito O ay matatagpuan sa intersection ng mga bisectors ng mga panloob na anggulo ng tatsulok. Ang mga segment na OA, OB, OC na kumukonekta sa O sa mga vertices ng triangle ABC ay hahatiin ang tatsulok sa tatlong tatsulok:

AOV, VOS, SOA. Ang taas ng bawat isa sa mga tatsulok na ito ay katumbas ng radius, at samakatuwid ang kanilang mga lugar ay ipapahayag bilang

Ang lugar ng buong tatsulok S ay katumbas ng kabuuan ng tatlong lugar na ito:

nasaan ang semi-perimeter ng tatsulok. Mula rito

Ang radius ng inscribed na bilog ay katumbas ng ratio ng lugar ng tatsulok sa semi-perimeter nito.

Upang makakuha ng formula para sa circumradius ng isang tatsulok, pinatutunayan namin ang sumusunod na proposisyon.

Theorem a: Sa anumang tatsulok, ang gilid ay katumbas ng diameter ng circumscribed circle na pinarami ng sine ng kabaligtaran na anggulo.

Patunay. Isaalang-alang ang isang di-makatwirang tatsulok na ABC at isang bilog na nakapaligid sa paligid nito, ang radius nito ay ilalarawan ng R (Larawan 303). Hayaan ang A ay ang matinding anggulo ng tatsulok. Iguhit natin ang radii OB, OS ng bilog at ihulog ang patayo na OK mula sa gitna nito O hanggang sa gilid BC ng tatsulok. Tandaan na ang anggulo a ng isang tatsulok ay sinusukat ng kalahati ng arko BC, kung saan ang anggulo ng BOC ay ang gitnang anggulo. Mula dito ay malinaw na . Samakatuwid, mula sa kanang tatsulok na RNS makikita natin ang , o , na kung ano ang kailangan nating patunayan.

Ang ibinigay na fig. 303 at ang pangangatwiran ay tumutukoy sa kaso ng isang matinding anggulo ng isang tatsulok; Madaling isakatuparan ang patunay para sa mga kaso ng tama at malabo na mga anggulo (gagawin ito ng mambabasa sa kanyang sarili), ngunit maaari mong gamitin ang theorem of sines (218.3). Dahil dapat kung saan galing

Ang sine theorem ay nakasulat din sa. anyo

at paghahambing sa anyo ng notasyon (218.3) ay nagbibigay para sa

Ang radius ng circumscribed na bilog ay katumbas ng ratio ng produkto ng tatlong panig ng tatsulok sa quadruple area nito.

Gawain. Hanapin ang mga gilid ng isosceles triangle kung ang incircle at circumcircle nito ay may radii ayon sa pagkakabanggit

Solusyon. Sumulat tayo ng mga formula na nagpapahayag ng radii ng naka-inscribe at circumscribed na bilog ng isang tatsulok:

Para sa isang isosceles triangle na may gilid at base, ang lugar ay ipinahayag ng formula

o, binabawasan ang fraction ng isang non-zero factor, mayroon tayo

na humahantong sa isang quadratic equation na may kinalaman sa

Mayroon itong dalawang solusyon:

Ang pagpapalit sa halip na pagpapahayag nito sa alinman sa mga equation para sa o R, sa wakas ay makakahanap tayo ng dalawang sagot sa ating problema:

Mga ehersisyo

1. Ang altitude ng isang right triangle na iginuhit mula sa vertex ng isang right angle, na naghahati sa hypotenuse sa ratio. Hanapin ang ratio ng bawat isa sa mga binti sa hypotenuse.

2. Ang mga base ng isang isosceles trapezoid na naka-circumscribe sa isang bilog ay katumbas ng a at b. Hanapin ang radius ng bilog.

3. Dalawang bilog ang magkadikit sa labas. Ang kanilang mga karaniwang tangent ay nakakiling sa linya ng mga sentro sa isang anggulo na 30°. Ang haba ng tangent segment sa pagitan ng tangent point ay 108 cm. Hanapin ang radii ng mga bilog.

4. Ang mga binti ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng a at b. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na ang mga gilid ay ang altitude at median ng ibinigay na tatsulok na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo, at ang segment ng hypotenuse sa pagitan ng mga punto ng kanilang intersection sa hypotenuse.

5. Ang mga gilid ng tatsulok ay 13, 14, 15. Hanapin ang projection ng bawat isa sa kanila sa dalawa.

6. Nakikilala ang gilid at altitude ng isang tatsulok.Hanapin ang mga gilid b at c.

7. Kilala ang dalawang gilid ng tatsulok at ang median.Hanapin ang ikatlong bahagi ng tatsulok.

8. Given two sides of a triangle and an angle a between them: Hanapin ang radii ng inscribed at circumscribed circles.

9. Ang mga gilid ng tatsulok a, b, c ay kilala. Ano ang mga segment kung saan sila ay nahahati sa mga punto ng contact ng inscribed na bilog na may mga gilid ng tatsulok?

Ang rhombus ay isang paralelogram na ang lahat ng panig ay pantay. Samakatuwid, minana nito ang lahat ng mga katangian ng isang paralelogram. Namely:

• Ang mga diagonal ng isang rhombus ay magkaparehong patayo.
• Ang mga diagonal ng isang rhombus ay ang mga bisector ng panloob na mga anggulo nito.

Ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang may apat na gilid kung at kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig ay pantay.
Samakatuwid, ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang rhombus. Ang gitna ng inscribed na bilog ay tumutugma sa gitna ng intersection ng mga diagonal ng rhombus.
Ang radius ng inscribed na bilog sa isang rhombus ay maaaring ipahayag sa maraming paraan

1 paraan. Radius ng inscribed na bilog sa isang rhombus sa taas

Ang taas ng isang rhombus ay katumbas ng diameter ng inscribed na bilog. Ito ay sumusunod mula sa pag-aari ng isang rektanggulo, na nabuo sa pamamagitan ng diameter ng inscribed na bilog at ang taas ng rhombus - ang magkabilang panig ng isang rektanggulo ay pantay.

Samakatuwid, ang formula para sa radius ng isang nakasulat na bilog sa isang rhombus sa mga tuntunin ng taas:

Paraan 2. Radius ng inscribed na bilog sa isang rhombus sa pamamagitan ng mga diagonal

Ang lugar ng isang rhombus ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog
, Saan R– perimeter ng isang rhombus. Alam na ang perimeter ay ang kabuuan ng lahat ng panig ng may apat na gilid, mayroon tayo P= 4×a. Pagkatapos
Ngunit ang lugar ng isang rhombus ay katumbas din ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito
Pagtutumbas sa kanang bahagi ng mga formula ng lugar, mayroon tayong sumusunod na pagkakapantay-pantay
Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang formula na nagbibigay-daan sa amin upang makalkula ang radius ng inscribed na bilog sa isang rhombus sa pamamagitan ng mga diagonal

Isang halimbawa ng pagkalkula ng radius ng isang bilog na nakasulat sa isang rhombus kung ang mga diagonal ay kilala
Hanapin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang rhombus kung alam na ang mga haba ng mga dayagonal ay 30 cm at 40 cm
Hayaan A B C D-rhombus, pagkatapos A.C. At BD mga dayagonal nito. AC= 30 cm ,BD=40 cm
Hayaan ang punto TUNGKOL SA– ang sentro ng nakasulat sa rhombus A B C D bilog, pagkatapos ay ito rin ang magiging punto ng intersection ng mga diagonal nito, na naghahati sa kanila sa kalahati.


dahil ang mga diagonal ng isang rhombus ay nagsalubong sa tamang mga anggulo, pagkatapos ay ang tatsulok AOB hugis-parihaba. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem
, palitan ang mga dating nakuhang halaga sa formula

AB= 25 cm
Ang paglalapat ng dating nakuhang formula para sa radius ng circumscribed na bilog sa isang rhombus, nakukuha namin

3 paraan. Radius ng inscribed na bilog sa isang rhombus sa pamamagitan ng mga segment m at n

Dot F– ang punto ng pakikipag-ugnay ng bilog sa gilid ng rhombus, na naghahati nito sa mga segment AF At B.F.. Hayaan AF=m, BF=n.
Dot O– ang sentro ng intersection ng mga diagonal ng isang rhombus at ang gitna ng bilog na nakasulat dito.
Tatsulok AOB– hugis-parihaba, dahil ang mga diagonal ng isang rhombus ay nagsalubong sa tamang mga anggulo.
, dahil ay ang radius na iginuhit sa tangent point ng bilog. Kaya naman NG– taas ng tatsulok AOB sa hypotenuse. Pagkatapos AF At BF projection ng mga binti papunta sa hypotenuse.
Ang taas sa isang kanang tatsulok, na ibinaba sa hypotenuse, ay ang average na proporsyonal sa pagitan ng mga projection ng mga binti sa hypotenuse.

Ang formula para sa radius ng isang naka-inscribe na bilog sa isang rhombus sa pamamagitan ng mga segment ay katumbas ng square root ng produkto ng mga segment na ito kung saan ang punto ng tangency ng bilog ay naghahati sa gilid ng rhombus