Ang konsepto ng isang logarithmic function

Una, tandaan natin kung ano ang logarithm.

Kahulugan 1

Ang logarithm ng isang numerong $b\in R$ hanggang sa base na $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) ay ang numerong $c$ kung saan dapat itaas ang numerong $a$ para makuha ang numero $b$.

Isaalang-alang ang exponential function na $f\left(x\right)=a^x$, kung saan $a >1$. Ang function na ito ay tumataas, tuloy-tuloy at imapa ang totoong axis sa pagitan ng $(0+\infty)$. Pagkatapos, sa pamamagitan ng theorem sa pagkakaroon ng isang inverse continuous function, sa set na $Y=(0+\infty)$ ito ay may inverse function na $x=f^(-1)(y)$, na kung saan ay din tuloy-tuloy at tumataas sa $Y $ at mina-map ang pagitan ng $(0+\infty)$ sa buong totoong axis. Ang kabaligtaran na function na ito ay tinatawag na logarithmic function sa base $a\ (a >1)$ at tinutukoy na $y=((log)_a x\ )$.

Ngayon isaalang-alang ang exponential function na $f\left(x\right)=a^x$, kung saan $0

Kaya, tinukoy namin ang isang logarithmic function para sa lahat ng posibleng halaga ng base $a$. Isaalang-alang natin ang dalawang kasong ito nang magkahiwalay.

1%24"> Function $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Isipin mo ari-arian function na ito.

Walang mga intersection sa $Oy$ axis.

Positibo ang function para sa $x\in (1+\infty)$ at negatibo para sa $x\in (0,1)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Minimum at maximum na puntos:

Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna)Ang function ay matambok sa buong domain ng kahulugan;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;

Function graph (Larawan 1).

Figure 1. Graph ng function na $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Function $y=((log)_a x\ ), \ 0

Isaalang-alang ang mga katangian ng function na ito.

Ang domain ng kahulugan ay ang interval $(0+\infty)$;

Ang hanay ng halaga ay lahat ng tunay na numero;

Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

Mga intersection point na may coordinate axes:

Walang mga intersection sa $Oy$ axis.

Para sa $y=0$, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Intersection sa $Ox$ axis: (1,0).

Positibo ang function para sa $x\in (0,1)$ at negatibo para sa $x\in (1+\infty)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Minimum at maximum na puntos:

\[\frac(1)(xlna)=0-roots\ no\]

Walang maximum o minimum na puntos.

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

Mga pagitan ng convexity at concavity:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

Function graph (Larawan 2).

Mga halimbawa ng pananaliksik at pagbuo ng logarithmic function

Halimbawa 1

I-explore at i-graph ang function na $y=2-((log)_2 x\ )$

Ang domain ng kahulugan ay ang interval $(0+\infty)$;

Ang hanay ng halaga ay lahat ng tunay na numero;

Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

Mga intersection point na may coordinate axes:

Walang mga intersection sa $Oy$ axis.

Para sa $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Intersection sa $Ox$ axis: (4,0).

Positibo ang function para sa $x\in (0,4)$ at negatibo para sa $x\in (4+\infty)$

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

Minimum at maximum na puntos:

\[-\frac(1)(xln2)=0-roots\ no\]

Walang maximum o minimum na puntos.

Bumababa ang function sa buong domain ng kahulugan;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

Mga pagitan ng convexity at concavity:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

Ang function ay malukong sa buong domain ng kahulugan;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;

Larawan 3

Ang logarithmic function ay tinutukoy

ang y nito na tumutugma sa halaga ng x ay tinatawag na natural na bilang ng x. Sa kahulugan, ang kaugnayan (1) ay katumbas ng

(e - ). Dahil ang e y > 0 para sa anumang real y, ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa x > 0. Sa mas pangkalahatang kahulugan, ang logarithmic function ay tinatawag na function

kung saan ang a > 0 (a ¹ 1) ay arbitrary. Gayunpaman, sa mathematical analysis, ang InX function ay may espesyal na feature; ang function log a X ay nabawasan dito ng formula:

kung saan ang M = 1/In a. Ang logarithmic function ay isa sa mga pangunahing; kanyang iskedyul kanin. isa) ay tinatawag na . Ang mga pangunahing logarithmic function ay sumusunod mula sa mga kaukulang katangian ng exponential function at logarithms; hal. Ang logarithmic function ay nakakatugon sa functional equation

kanin. 1 hanggang Art. Logarithmic function.

Para sa 1< х, 1 справедливо разложение Логарифмическая функция в степенной ряд:

log(1 + x) = x

Marami ang ipinahayag sa mga tuntunin ng logarithmic function; Halimbawa

,

.

Ang logarithmic function ay patuloy na nakatagpo sa mathematical analysis at sa mga aplikasyon nito.

Ang logarithmic function ay kilala noong ika-17 siglo. Sa unang pagkakataon, ang relasyon sa pagitan ng mga variable, na ipinahayag ng logarithmic function, ay isinasaalang-alang ni J. (1614). Kinakatawan niya ang ugnayan sa pagitan ng mga numero at kanilang logarithms gamit ang dalawang puntos na gumagalaw sa magkatulad na tuwid na linya ( kanin. 2). Ang isa sa kanila (Y) ay gumagalaw nang pantay, simula sa C, at ang isa pa (X), simula sa A, ay gumagalaw nang proporsyonal dito sa B. Kung ilalagay natin ang SU = y, XB = x, kung gayon, ayon sa kahulugang ito, dx / dy = kx, saan .

Ang logarithmic function sa isang complex ay isang multi-valued (infinite-valued) function na tinukoy para sa lahat ng z ¹ 0 na tinutukoy ng Lnz. Isang hindi malabo na sangay ng function na ito, na tinukoy bilang

Inz = In½ z½ + i arg z,

Pahina 1

Ang logarithmic function (80) ay nagsasagawa ng kabaligtaran na pagmamapa ng buong eroplano w na may hiwa sa isang strip - i / /: i, isang walang katapusang-sheet na ibabaw ng Riemann papunta sa isang kumpletong z - eroplano.

Logarithmic function: y logax, kung saan ang base ng logarithms ay a-positive na numero, hindi katumbas ng isa.

Ang logarithmic function ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa pagbuo at pagsusuri ng mga algorithm, kaya ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang mas detalyado. Dahil madalas kaming nakikitungo sa mga analytical na resulta kung saan ang pare-parehong kadahilanan ay tinanggal, gumagamit kami ng log TV notation, na inaalis ang base. Ang pagbabago ng base ng logarithm ay nagbabago sa halaga ng logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong kadahilanan, gayunpaman, ang mga espesyal na halaga ng base ng logarithm ay lumitaw sa ilang mga konteksto.

Ang logarithmic function ay ang kabaligtaran ng exponential. Ang graph nito (Fig. 247) ay nakuha mula sa graph ng exponential function (na may parehong base) sa pamamagitan ng pagyuko ng drawing kasama ang bisector ng unang coordinate angle. Ang graph ng anumang inverse function ay nakuha din.

Ang logarithmic function ay ipinakilala bilang kapalit ng exponential. Ang mga katangian ng parehong mga pag-andar ay hinango nang walang kahirapan mula sa mga kahulugang ito. Ang kahulugang ito ang tumanggap ng pag-apruba ni Gauss, na kasabay nito ay nagpahayag ng hindi pagsang-ayon sa pagtatasa na ibinigay sa kanya sa pagsusuri ng Göttingen Scientific News. Kasabay nito, nilapitan ni Gauss ang isyu mula sa mas malawak na pananaw kaysa sa da Cunha. Nilimitahan ng huli ang kanyang sarili sa pagsasaalang-alang sa exponential at logarithmic function sa totoong rehiyon, habang pinalawak ni Gauss ang kanilang kahulugan sa mga kumplikadong variable.

Ang logarithmic function na y logax ay monotonic sa buong domain ng kahulugan nito.

Ang logarithmic function ay tuloy-tuloy at naiba sa buong domain ng kahulugan.

Ang logarithmic function ay tumataas nang monotonically kung ang isang I, Kapag 0 a 1, ang logarithmic function na may base a ay bumababa nang monotonically.

Ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng x at isa-sa-isang nagpapakita ng pagitan (0; 4 - oc.

Ang logarithmic function na y loga x ay ang inverse function ng exponential function na yax.

Logarithmic function: y ogax, kung saan ang base ng logarithms a ay isang positibong numero na hindi katumbas ng isa.

Ang mga logarithmic function ay mahusay na pinagsama sa mga pisikal na konsepto ng likas na katangian ng creep ng polyethylene sa ilalim ng mga kondisyon kung saan mababa ang strain rate. Sa bagay na ito, nag-tutugma ang mga ito sa equation ng Andraade, kaya minsan ginagamit ang mga ito upang tantiyahin ang pang-eksperimentong data.

Ang logarithmic function, o natural logarithm, u Sa z, ay tinutukoy sa pamamagitan ng paglutas ng transendental equation r ei na may kinalaman sa u. Sa hanay ng mga tunay na halaga ng x at y, sa ilalim ng kondisyong x 0, ang equation na ito ay umamin ng isang natatanging solusyon.

Ang seksyon ng logarithms ay may malaking kahalagahan sa kurso ng paaralan na "Pagsusuri sa Matematika". Ang mga gawain para sa logarithmic function ay batay sa iba pang mga prinsipyo kaysa sa mga gawain para sa mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation. Ang kaalaman sa mga kahulugan at pangunahing katangian ng mga konsepto ng logarithm at logarithmic function ay magtitiyak ng matagumpay na solusyon sa mga karaniwang problema sa PAGGAMIT.

Bago magpatuloy upang ipaliwanag kung ano ang isang logarithmic function, ito ay nagkakahalaga ng pagsangguni sa kahulugan ng isang logarithm.

Tingnan natin ang isang partikular na halimbawa: isang log a x = x, kung saan a › 0, a ≠ 1.

Ang mga pangunahing katangian ng logarithms ay maaaring nakalista sa ilang mga punto:

Logarithm

Ang Logarithm ay isang mathematical operation na nagbibigay-daan sa paggamit ng mga katangian ng isang konsepto upang mahanap ang logarithm ng isang numero o expression.

Mga halimbawa:

Logarithm function at ang mga katangian nito

Ang logarithmic function ay may anyo

Napansin namin kaagad na ang graph ng isang function ay maaaring tumaas para sa isang › 1 at bumababa para sa 0 ‹ a ‹ 1. Depende dito, ang function curve ay magkakaroon ng isang anyo o iba pa.

Narito ang mga katangian at pamamaraan para sa pag-plot ng mga graph ng logarithms:

• ang domain ng f(x) ay ang set ng lahat ng positibong numero, i.e. x ay maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa pagitan (0; + ∞);
• Mga function ng ODZ - ang hanay ng lahat ng tunay na numero, i.e. y ay maaaring katumbas ng anumang numero mula sa pagitan (- ∞; +∞);
• kung ang base ng logarithm a > 1, ang f(x) ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
• kung ang base ng logarithm ay 0 ‹ a ‹ 1, ang F ay bumababa;
• ang logarithmic function ay hindi kahit na o kakaiba;
• ang graph curve ay palaging dumadaan sa puntong may mga coordinate (1;0).

Ang pagbuo ng parehong uri ng mga graph ay napakasimple, tingnan natin ang proseso gamit ang isang halimbawa

Una kailangan mong tandaan ang mga katangian ng isang simpleng logarithm at ang pag-andar nito. Sa kanilang tulong, kailangan mong bumuo ng isang talahanayan para sa mga tiyak na halaga ng x at y. Pagkatapos, sa coordinate axis, ang mga nakuha na puntos ay dapat markahan at konektado ng isang makinis na linya. Ang curve na ito ang magiging kinakailangang graph.

Ang logarithmic function ay ang kabaligtaran ng exponential function na ibinigay ng y= a x . Upang i-verify ito, sapat na upang iguhit ang parehong mga kurba sa parehong coordinate axis.

Malinaw, ang parehong mga linya ay salamin na mga imahe ng bawat isa. Sa pamamagitan ng pagbuo ng isang tuwid na linya y = x, makikita mo ang axis ng symmetry.

Upang mabilis na mahanap ang sagot sa problema, kailangan mong kalkulahin ang mga halaga ng mga puntos para sa y = log 2⁡ x, at pagkatapos ay ilipat lamang ang pinagmulan ng mga coordinate point tatlong dibisyon pababa sa OY axis at 2 dibisyon sa kaliwa sa kahabaan ng axis ng OX.

Bilang patunay, bubuo kami ng talahanayan ng pagkalkula para sa mga punto ng graph y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 at ihambing ang nakuha na mga halaga sa figure.

Tulad ng nakikita mo, ang mga coordinate mula sa talahanayan at ang mga punto sa graph ay tumutugma, samakatuwid, ang paglipat kasama ang mga axes ay natupad nang tama.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang problema sa PAGGAMIT

Karamihan sa mga gawain sa pagsubok ay maaaring nahahati sa dalawang bahagi: paghahanap ng domain ng kahulugan, pagtukoy sa uri ng pag-andar ayon sa pagguhit ng graph, pagtukoy kung ang pag-andar ay tumataas / bumababa.

Para sa isang mabilis na sagot sa mga gawain, kinakailangang malinaw na maunawaan na ang f (x) ay tumataas kung ang exponent ng logarithm a > 1, at bumababa - kapag 0 ‹ a ‹ 1. Gayunpaman, hindi lamang ang base, kundi pati na rin ang argumento maaaring makaapekto nang malaki sa anyo ng function curve.

Ang F(x) na may markang tsek ay ang mga tamang sagot. Ang mga pagdududa sa kasong ito ay sanhi ng mga halimbawa 2 at 3. Ang "-" na sign sa harap ng log ay nagbabago ng pagtaas sa pagbaba at kabaliktaran.

Samakatuwid, ang graph na y=-log 3⁡ x ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, at y= -log (1/3) ⁡x ay tumataas, sa kabila ng katotohanan na ang base ay 0 ‹ a ‹ 1.

Sagot: 3,4,5.

Sagot: 4.

Ang mga ganitong uri ng gawain ay itinuturing na madali at tinatantya sa 1-2 puntos.

Gawain 3.

Tukuyin kung ang function ay bumababa o tumataas at ipahiwatig ang saklaw ng kahulugan nito.

Y = log 0.7 ⁡(0.1x-5)

Dahil ang base ng logarithm ay mas mababa sa isa ngunit mas malaki sa zero, ang function ng x ay bumababa. Ayon sa mga katangian ng logarithm, ang argumento ay dapat ding mas malaki sa zero. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Sagot: ang domain ng kahulugan D(x) ay ang pagitan (50; + ∞).

Sagot: 3, 1, OX axis, sa kanan.

Ang ganitong mga gawain ay inuri bilang karaniwan at tinatantya sa 3-4 na puntos.

Gawain 5. Hanapin ang hanay para sa isang function:

Ito ay kilala mula sa mga katangian ng logarithm na ang argumento ay maaari lamang maging positibo. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng function. Upang gawin ito, kakailanganin upang malutas ang isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga pangunahing katangian ng logarithm, ang graph ng logarithm, ang domain ng kahulugan, ang hanay ng mga halaga, ang mga pangunahing formula, ang pagtaas at pagbaba ay ibinigay. Ang paghahanap ng derivative ng logarithm ay isinasaalang-alang. Pati na rin ang integral, pagpapalawak at representasyon ng serye ng kapangyarihan sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan ng logarithm

Logarithm na may base a ay ang y function (x) = log x, baligtad sa exponential function na may base a: x (y) = a y.

Decimal logarithm ay ang logarithm sa base ng numero 10 : log x ≡ log 10 x.

natural na logarithm ay ang logarithm sa base ng e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Ang graph ng logarithm ay nakuha mula sa graph ng exponential function sa pamamagitan ng mirror reflection tungkol sa tuwid na linya y \u003d x. Sa kaliwa ay mga graph ng function na y (x) = log x para sa apat na halaga mga batayan ng logarithm:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Ipinapakita ng graph na para sa isang > 1 monotonically ang pagtaas ng logarithm. Habang tumataas ang x, ang paglago ay bumagal nang malaki. Sa 0 < a < 1 ang logarithm ay monotonically bumababa.

Mga katangian ng logarithm

Domain, hanay ng mga halaga, pataas, pababa

Ang logarithm ay isang monotonic function, kaya wala itong extremums. Ang mga pangunahing katangian ng logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mga zero, y= 0	x= 1	x= 1
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	Hindi	Hindi
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Mga pribadong halaga

Ang base 10 logarithm ay tinatawag decimal logarithm at minarkahan ng ganito:

batayang logarithm e tinawag natural na logarithm:

Mga pangunahing formula ng logarithm

Mga katangian ng logarithm na sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Logarithm ay ang mathematical operation ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga salik ay kino-convert sa mga kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ang potentiation ay ginanap. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay na-convert sa mga produkto ng mga kadahilanan.

Patunay ng mga pangunahing formula para sa logarithms

Ang mga formula na nauugnay sa logarithms ay sumusunod mula sa mga formula para sa exponential function at mula sa kahulugan ng isang inverse function.

Isaalang-alang ang pag-aari ng exponential function
.
Pagkatapos
.
Ilapat ang property ng exponential function
:
.

Patunayan natin ang base change formula.
;
.
Setting c = b , mayroon kaming:

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng base ng logarithm ay ang exponential function na may exponent a.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon

Derivative ng logarithm

Derivative ng logarithm modulo x :
.
Derivative ng nth order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Upang mahanap ang derivative ng isang logarithm, dapat itong bawasan sa base e.
;
.

integral

Ang integral ng logarithm ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi : .
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
.
Ipahayag natin ang isang kumplikadong numero z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Pagkatapos, gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon tayong:
.
O kaya

Gayunpaman, ang argumento φ hindi malinaw na tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa iba't ibang n.

Samakatuwid, ang logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.