IV Yakovlev | Mga materyales sa matematika | MathUs.ru
Arithmetic progression
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang espesyal na uri ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang isang aritmetika (at pagkatapos ay geometriko) na pag-unlad, kailangan nating maikling talakayin ang mahalagang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero.
Kasunod
Isipin ang isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang sunud-sunod. Sabihin nating 2; 7; 13; isa; 6; 0; 3; : : : Ang ganitong set ng mga numero ay isang halimbawa lamang ng isang sequence.
Kahulugan. Ang numerical sequence ay isang set ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero (iyon ay, ilagay sa mga sulat na may isang solong natural na numero)1. Ang numerong may numerong n ay tinatawag na ika-na miyembro ng sequence.
Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay may numero 2, na siyang unang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin ng a1 ; ang numerong lima ay may bilang na 6 na siyang ikalimang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin na a5 . Sa pangkalahatan, ang ika-na miyembro ng isang sequence ay tinutukoy ng isang (o bn , cn , atbp.).
Ang isang napaka-maginhawang sitwasyon ay kapag ang ika-na miyembro ng sequence ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula an = 2n 3 ay tumutukoy sa pagkakasunod-sunod: 1; isa; 3; 5; 7; : : : Tinutukoy ng formula na an = (1)n ang sequence: 1; isa; isa; isa; : : :
Hindi lahat ng hanay ng mga numero ay isang pagkakasunod-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang sequence; naglalaman ito ng ¾napakaraming¿ na mga numero upang muling lagyan ng numero. Ang set R ng lahat ng tunay na numero ay hindi rin isang sequence. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng mathematical analysis.
Arithmetic progression: mga pangunahing kahulugan
Ngayon ay handa na kaming tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika.
Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino (nagsisimula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang termino at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika).
Halimbawa, sequence 2; 5; walo; labing-isa; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; walo; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; : : : ay isang arithmetic progression na may zero difference.
Katumbas na kahulugan: Ang isang sequence an ay tinatawag na isang arithmetic progression kung ang pagkakaiba ng an+1 an ay isang pare-parehong halaga (hindi nakadepende sa n).
Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay sinasabing tumataas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at bumababa kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.
1 At narito ang isang mas maigsi na kahulugan: ang sequence ay isang function na tinukoy sa set ng mga natural na numero. Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero ay ang function na f: N! R.
Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang sinuman ang nag-aabala upang isaalang-alang ang mga may hangganang pagkakasunud-sunod din; sa katunayan, anumang may hangganan na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging may hangganang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang huling sequence 1; 2; 3; apat; Ang 5 ay binubuo ng limang numero.
Formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic
Madaling maunawaan na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ganap na tinutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay lumitaw: paano, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, makahanap ng isang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika?
Hindi mahirap makuha ang nais na pormula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang
arithmetic progression na may pagkakaiba d. Meron kami: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Sa partikular, isinulat namin: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
at ngayon ay nagiging malinaw na ang formula para sa isang ay: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Gawain 1. Sa arithmetic progression 2; 5; walo; labing-isa; : : : hanapin ang formula ng nth term at kalkulahin ang hundredth term.
Solusyon. Ayon sa formula (1) mayroon tayong:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Pag-aari at tanda ng pag-unlad ng aritmetika
ari-arian ng isang arithmetic progression. Sa arithmetic progression an for any
Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng arithmetic progression (simula sa pangalawa) ay ang arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro.
Patunay. Meron kami: | ||||
a n 1+ a n+1 | (isang d) + (isang + d) | |||
na kung ano ang kinakailangan.
Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay
a n = a n k+ a n+k
para sa anumang n > 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Lumalabas na ang pormula (2) ay hindi lamang isang kinakailangan kundi isang sapat na kundisyon para ang isang sequence ay maging isang pag-unlad ng aritmetika.
Tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay humahawak para sa lahat ng n > 2, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.
Patunay. Isulat muli natin ang formula (2) gaya ng sumusunod:
a na n 1= a n+1a n:
Ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba ng an+1 an ay hindi nakadepende sa n, at ito ay nangangahulugan lamang na ang pagkakasunod-sunod na an ay isang arithmetic progression.
Ang ari-arian at tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring buuin bilang isang pahayag; para sa kaginhawahan, gagawin namin ito para sa tatlong numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).
Paglalarawan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang tatlong numerong a, b, c ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika kung at kung 2b = a + c lamang.
Suliranin 2. (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) Tatlong numero na 8x, 3 x2 at 4 sa tinukoy na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang nagpapababang pag-unlad ng aritmetika. Hanapin ang x at isulat ang pagkakaiba ng progression na ito.
Solusyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang arithmetic progression, mayroon tayong:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Kung x = 1, kung gayon ang isang bumababa na pag-unlad ng 8, 2, 4 ay nakuha na may pagkakaiba na 6. Kung x = 5, pagkatapos ay isang pagtaas ng pag-unlad ng 40, 22, 4 ay nakuha; hindi gumagana ang kasong ito.
Sagot: x = 1, ang pagkakaiba ay 6.
Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic
Sinasabi ng alamat na minsan sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at umupo upang tahimik na magbasa ng pahayagan. Gayunpaman, sa loob ng ilang minuto, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ay ang 9 na taong gulang na si Carl Friedrich Gauss, nang maglaon ay isa sa mga pinakadakilang mathematician sa kasaysayan.
Ang ideya ni Little Gauss ay ito. Hayaan
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Isulat natin ang kabuuan na ito sa reverse order:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
at idagdag ang dalawang formula na ito:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ang bawat termino sa mga bracket ay katumbas ng 101, at mayroong 100 ganoong termino sa kabuuan. Samakatuwid
2S = 101 100 = 10100;
Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang sum formula
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng formula (3) ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng formula para sa ika-n term na an = a1 + (n 1)d dito:
2a1 + (n 1)d | |||||
Gawain 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na numero na nahahati sa 13.
Solusyon. Ang mga tatlong-digit na numero na multiple ng 13 ay bumubuo ng isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino na 104 at ang pagkakaiba 13; Ang ikasiyam na termino ng pag-unlad na ito ay:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Alamin natin kung ilang miyembro ang nilalaman ng ating pag-unlad. Upang gawin ito, malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:
isang 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Kaya mayroong 69 na miyembro sa aming pag-unlad. Ayon sa formula (4) nakita namin ang kinakailangang halaga:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):
Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.
Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(apat\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.
At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.
Arithmetic progression notation
Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.
Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).
Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.
Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika
Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:
Sagot: \(b_5=23\)
Halimbawa (OGE).
Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:
|
Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) elemento. |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(-3\)
Halimbawa (OGE).
Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Solusyon:
|
|
Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(7,5\).
Halimbawa (OGE).
Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:
|
Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nahanap na ang hiniling na halaga. |
Sagot: \(S_6=9\).
Halimbawa (OGE).
Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:
Sagot: \(d=7\).
Mahahalagang Arithmetic Progression Formula
Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).
Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses upang magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...
Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.
Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Halimbawa.
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:
Sagot: \(b_(246)=1850\).
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan
Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(25)=1090\).
Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan
\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.
Halimbawa.
Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Solusyon:
Sagot: \(S_(33)=-231\).
Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)
Halimbawa (OGE).
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kami sa paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. Paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano ang mangyayari sa \(n\). |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Nagko-compute... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay may \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(65)=-630.5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Solusyon:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? |
|
|
Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Sagot: \(S=1683\).
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.
Una, harapin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay kasing simple ng lowing. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.
Ang sum formula ay simple:
Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng marami.
S n ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una sa huli. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, eksakto, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga terminong lima hanggang ikadalawampu, ang direktang paggamit ng pormula ay magiging disappointing.)
a 1 - ang una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.
isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.
n ay ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.
Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Pagpuno ng tanong: anong uri ng miyembro ang gagawin huling, kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?
Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)
Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang may hangganan, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung anong uri ng pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o sa pamamagitan ng formula ng ika-na miyembro.
Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)
Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:
Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.
Ini-encrypt ng mga may-akda ng mga takdang-aralin ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.
1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino.
Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang bilang ng huling termino n.
Kung saan makukuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong lugar, sa kondisyon! Sinasabi nito na hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Aba, anong numero ito huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n papalitan natin sa formula isang 10, ngunit sa halip n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.
Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 at isang 10. Ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi alam kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - wala.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
isang 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S n = S 10.
Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:
Hanggang dito na lang. Sagot: 75.
Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:
2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino.
Agad naming isinulat ang sum formula:
Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng kapalit:
isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:
Sagot: 423.
Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n palitan lamang ang formula ng ika-n na termino, makukuha natin:
Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
 |
Tulad ng nakikita mo, ang ika-1 na termino ay hindi kinakailangan dito. isang n. Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. At maaari mo lamang itong bawiin sa tamang oras, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)
Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):
3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.
Paano! Walang unang miyembro, walang huli, walang pag-unlad... Paano mabuhay!?
Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ano ang dalawang-digit na numero - alam natin. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) What two-digit number will una? 10, siguro.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga tatlong-digit ...
Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na pantay na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? Syempre! Ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung 2, o 4, ay idinagdag sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang isang bagong numero ay hindi na mahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa heap: d = 3. Kapaki-pakinabang!)
Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:
Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay maling nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.
Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga termino gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ang formula ay inilapat sa aming problema, makuha namin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung miyembro ng pag-unlad. Yung. n = 30.
Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Tumingin kami at nagagalak.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan para sa pagkalkula ng halaga mula sa kondisyon ng problema:
a 1= 12.
isang 30= 99.
S n = S 30.
Ang natitira ay elementarya arithmetic. Palitan ang mga numero sa formula at kalkulahin:
Sagot: 1665
Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:
4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.
Tinitingnan namin ang sum formula at ... kami ay nabalisa.) Ang formula, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.
Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at ilagay ang mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ...
May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ang ikalawang bahagi - dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Ang parehong mga kabuuan sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?
Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng gawain:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at ang unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:
isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
Walang natira. Ibawas ang kabuuan ng 19 na termino mula sa kabuuan ng 34 na termino:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Sagot: 262.5
Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa buong resulta. Ang ganitong "pagkukunwari sa mga tainga" ay kadalasang nagliligtas sa masasamang palaisipan.)
Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)
Praktikal na payo:
Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.
Formula ng nth term:
Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saang direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Tumutulong.
At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.
5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.
Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.
6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 =-5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino.
Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong palaisipan ay madalas na matatagpuan sa GIA.
7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?
Mahirap ba?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.
Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong halaga.
Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Ang mga indeks ng titik, ang ika-10 termino ng pag-unlad, ang pagkakaiba ng pag-unlad - lahat ng ito ay kahit papaano ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at lahat ay gagana kaagad.)
Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.
Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?
Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman mga pangunahing punto ng pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.
Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)
Unang mahalagang punto.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...
ayos lang. Ito ay lamang na ang mga pag-unlad ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)
Pangalawang pangunahing punto.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.
Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang kasunod na mga numero.
Pangatlong pangunahing punto.
Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Narito siya: bawat progression number ay nasa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.
Iyon ang buong punto.
Siyempre, lalabas ang mga bagong termino at notasyon sa bagong paksa. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo maiintindihan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:
Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.
Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.
Ang halagang ito ay tinatawag . Pag-usapan natin ang konseptong ito nang mas detalyado.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.
Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat mabuti, atbp.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.
Halimbawa:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.
Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang maitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang matukoy ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.
Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)
Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito ang dating numero mga. walo:
Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, ang pagkakaiba ay tatlo.
Pwede ka na lang kumuha anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)
Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.
Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.
Iba pang mga termino at pagtatalaga.
Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.
Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit sa pagkakasunud-sunod!
Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinusulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).
May mga pag-unlad may hangganan at walang hanggan.
panghuli ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.
Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)
Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
O tulad nito, kung maraming miyembro:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Sa isang maikling entry, kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:
(a n), n = 20
Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.
Tingnan natin ang gawain sa itaas:
1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.
Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng aritmetika. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.
Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 at d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Ang ikatlong termino ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
isang 5 = a 4 + d
isang 5=0+(-2,5)= - 2,5
isang 6 = isang 5 + d
isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Ito ay nananatiling hanapin ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, a alisin:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hanggang dito na lang. Tugon sa gawain:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Tatalakayin sa ibang pagkakataon ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad.
Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.
Tandaan:
Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.
Tandaan? Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang aritmetika progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.
Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.
Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.
2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.
Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ganap kang asul ang mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ito ay nananatiling isulat ang sagot:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Isa pang gawain:
3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?
Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.
Sagot: hindi.
At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; labinlimang; X; 9; 6; ...
Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin para malaman mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?
Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.
Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:
May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya ang x ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika:
Iyon lang. Sagot: x=12
Kami mismo ang nagresolba ng mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely para sa pag-unawa sa kahulugan ng isang arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng isang serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.
5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.
6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng terminong ito.
7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.
8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.
Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; apat.
Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong matutunan ang pag-unlad ng aritmetika sa mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.
Hindi ba naging maayos ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga puzzle na ito ay pinaghiwa-hiwalay.) At, siyempre, isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, tulad ng sa iyong palad!
Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.
Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.
Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)
At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?
Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problemang iyon ay nalutas doon. Sa isang minuto.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Pagtuturo
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunod-sunod ng anyong a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang mga pag-unlad.Malinaw, ang kabuuan ng isang arbitrary nth term ng arithmetic mga pag-unlad ay may anyo: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro mga pag-unlad, miyembro mga pag-unlad at hakbang mga pag-unlad, ay maaaring , iyon ay, ang bilang ng termino ng pag-unlad. Malinaw, ito ay matutukoy ng formula n = (An-A1+d)/d.
Hayaan ang mth term na malaman ngayon mga pag-unlad at ilang iba pang miyembro mga pag-unlad- n-th, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi magkatugma.Hakbang mga pag-unlad maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.
Kung ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic mga pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito , pagkatapos ay maaari ding matukoy ang bilang ng mga elementong ito. Ang kabuuan ng arithmetic mga pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) ay chdenov mga pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula dito ay maaaring ipahayag ng isang tao ang n sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation.
Ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay tulad ng isang nakaayos na hanay ng mga numero, ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ang pare-parehong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng progression o ang hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang miyembro ng arithmetic progression.
Pagtuturo
Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga kalapit na termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d), ibawas lamang ang nakaraang termino mula sa susunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibo - depende ito kung tumataas ang pag-unlad. Sa pangkalahatang anyo, isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na miyembro ng progress gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Para sa isang pares ng mga miyembro ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa ay anumang iba pang arbitraryong napili, maaari ding gumawa ng isang pormula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito, dapat na malaman ang serial number (i) ng isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero, at hatiin ang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula na ito tulad ng sumusunod: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa pagkakaiba sa kanilang mga ordinal na numero: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung ang halaga ng unang miyembro nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang miyembro ng arithmetic sequence ay ibinigay sa mga kondisyon ng ang problema. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo nito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at i-double ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
