Mag-ehersisyo. Ang mga puntos A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) ay ang mga vertex ng tatsulok na ABC.
a) Hanapin ang mga equation ng mga gilid ng tatsulok na ABC.
b) Hanapin ang equation ng isa sa mga median ng triangle ABC.
c) Hanapin ang equation para sa isa sa mga taas ng tatsulok na ABC.
d) Hanapin ang equation ng isa sa mga bisector ng triangle ABC.
e) Hanapin ang lugar ng tatsulok na ABC.

Solusyon gawin ito gamit ang isang calculator.
Ibinibigay ang mga coordinate ng tatsulok: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vector coordinate
Ang mga coordinate ng mga vector ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Halimbawa, para sa vector AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Mga module ng mga vector

3) Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

kung saan ang isang 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng panig AB at AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Vector projection
Vector projection b bawat vector a ay matatagpuan gamit ang formula:

Hanapin ang projection ng vector AB sa vector AC

5) Lugar ng isang tatsulok



Solusyon


Ayon sa formula na nakukuha namin:

6) Dibisyon ng segment sa bagay na ito
Ang radius vector r ng punto A, na naghahati sa segment AB kaugnay sa AA:AB = m 1:m 2 , ay tinutukoy ng formula:

Ang mga coordinate ng point A ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:




Triangle Median Equation
Tinutukoy namin ang midpoint ng gilid BC sa pamamagitan ng titik M. Pagkatapos ay nakita namin ang mga coordinate ng punto M sa pamamagitan ng mga formula para sa paghahati ng segment sa kalahati.


M(0;-1)
Nahanap namin ang equation para sa median AM gamit ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang median AM ay dumadaan sa mga puntong A(2;1) at M(0;-1), samakatuwid:

o

o
y=x-1 o y-x+1=0
7) Straight line equation


Equation ng linya AB

o

o
y = 3x -5 o y -3x +5 = 0
Line AC equation

o

o
y = 1 / 3 x + 1 / 3 o 3y -x - 1 = 0
Line BC equation

o

o
y = -x -1 o y + x +1 = 0
8) Ang haba ng taas ng tatsulok na iginuhit mula sa vertex A
Ang distansya d mula sa puntong M 1 (x 1; y 1) hanggang sa tuwid na linya Ax + By + C \u003d 0 ay katumbas ng ganap na halaga ng dami:

Hanapin ang distansya sa pagitan ng punto A(2;1) at linya BC (y + x +1 = 0)

9) Equation ng taas hanggang sa vertex C
Ang linyang dumadaan sa puntong M 0 (x 0 ;y 0) at patayo sa linyang Ax + By + C = 0 ay may vector ng direksyon (A;B) at, samakatuwid, ay kinakatawan ng mga equation:


Ang equation na ito ay matatagpuan din sa ibang paraan. Upang gawin ito, nakita namin ang slope k 1 ng tuwid na linya AB.
Equation AB: y = 3x -5 i.e. k 1 = 3
Hanapin natin ang slope k ng perpendicular mula sa kondisyon ng perpendicularity ng dalawang tuwid na linya: k 1 *k = -1.
Ang pagpapalit sa halip na k 1 ang slope ng tuwid na linyang ito, nakukuha natin ang:
3k = -1, kung saan k = -1 / 3
Dahil ang patayo ay dumadaan sa puntong C(-1,0) at may k = -1 / 3, hahanapin natin ang equation nito sa anyo: y-y 0 = k(x-x 0).
Ang pagpapalit ng x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 ay nakukuha namin:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
o
y = -1 / 3 x - 1/3
Triangle bisector equation
Hanapin natin ang bisector ng angle A. Ipahiwatig ang punto ng intersection ng bisector sa gilid BC ng M.
Gamitin natin ang formula:

AB equation: y -3x +5 = 0, AC equation: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Hinahati ng bisector ang anggulo, kaya ang anggulo NAK ≈ 26.5 0
Ang padaplis ng slope AB ay 3 (dahil y -3x +5 = 0). Ang anggulo ng slope ay 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0) = 1
Ang bisector ay dumadaan sa puntong A(2,1), gamit ang formula, mayroon tayong:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
o
y=x-1
I-download

Halimbawa. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Kinakailangan: 1) kalkulahin ang haba ng gilid BC; 2) gumuhit ng isang equation para sa side BC; 3) hanapin ang panloob na anggulo ng tatsulok sa vertex B; 4) gumawa ng equation para sa taas ng AK na iginuhit mula sa tuktok na A; 5) hanapin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang homogenous na tatsulok (ang punto ng intersection ng mga median nito); 6) gumawa ng isang pagguhit sa sistema ng coordinate.

Mag-ehersisyo. Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Kailangan:

1. sumulat ng equation para sa median na iginuhit mula sa vertex B at kalkulahin ang haba nito.
2. sumulat ng equation para sa taas na iginuhit mula sa vertex A at kalkulahin ang haba nito.
3. hanapin ang cosine ng interior angle B ng triangle ABC.

Gumawa ng drawing.

I-download ang Solusyon

Halimbawa #3. Ang mga vertices A(1;1), B(7;4), C(4;5) ng isang tatsulok ay ibinibigay. Hanapin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) panloob na anggulo A sa radians na may katumpakan na 0.001. Gumawa ng drawing.
I-download

Halimbawa #4. Ang mga vertices A(1;1), B(7;4), C(4;5) ng isang tatsulok ay ibinibigay. Hanapin: 1) ang equation ng taas na iginuhit sa pamamagitan ng vertex C ; 2) ang equation ng median na iginuhit sa pamamagitan ng vertex C ; 3) ang punto ng intersection ng mga taas ng tatsulok; 4) ang haba ng taas na ibinaba mula sa vertex C. Gumawa ng guhit.
I-download

Halimbawa #5. Ang mga vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Tukuyin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) equation ng panig AB at AC at ang kanilang mga slope; 3) ang lugar ng tatsulok.

Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vector sa pamamagitan ng formula: X = x j - x i ; Y = y j - y i
dito X,Y coordinate ng vector; x i , y i - coordinate ng point A i ; x j , y j - mga coordinate ng point A j
Halimbawa, para sa vector AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Ang haba ng mga gilid ng isang tatsulok
Ang haba ng vector a(X;Y) ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate nito sa pamamagitan ng formula:


Lugar ng isang tatsulok
Hayaang ang mga puntos na A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) ay ang mga vertices ng tatsulok, pagkatapos ay ang lugar nito ay ipinahayag ng formula:

Sa kanang bahagi ay isang second-order determinant. Ang lugar ng isang tatsulok ay palaging positibo.
Solusyon. Ang pagkuha ng A bilang unang vertex, makikita natin:

Ayon sa formula na nakukuha namin:

Equation ng isang tuwid na linya
Ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A 1 (x 1; y 1) at A 2 (x 2; y 2) ay kinakatawan ng mga equation:

Equation ng linya AB
Canonical equation ng isang tuwid na linya:

o

o
y = -3 / 4 x -15 / 4 o 4y + 3x +15 = 0
Ang slope ng linya AB ay k = -3 / 4
Line AC equation

o

o
y = 13 / 16x + 65 / 16 o 16y -13x - 65 = 0
Ang slope ng linya AB ay k = 13 / 16

Mag-ehersisyo. Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng pyramid ABCD. Kailangan:

1. Isulat ang mga vector sa ort system at hanapin ang mga module ng mga vector na ito.
2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector.
3. Hanapin ang projection ng isang vector sa isang vector.
4. Hanapin ang lugar ng mukha ABC.
5. Hanapin ang volume ng pyramid ABCD.

Solusyon
Halimbawa #1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Halimbawa #2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1,-5.2): Halimbawa #3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): Halimbawa #4

Mag-ehersisyo. Hanapin ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang x + y -5 = 0 at x + 4y - 8 = 0 .
Mga rekomendasyon para sa isang solusyon. Ang problema ay nalutas gamit ang Angle sa pagitan ng dalawang linya ng serbisyo.
Sagot: 30.96o

Halimbawa #1. Ang mga coordinate ng mga puntos na A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) ay ibinibigay. Hanapin ang haba ng gilid A1A2. Sumulat ng isang equation para sa gilid A1A4 at ang mukha A1A2A3. Sumulat ng isang equation para sa taas na ibinaba mula sa punto A4 patungo sa eroplanong A1A2A3. Hanapin ang lugar ng tatsulok na A1A2A3. Hanapin ang volume ng triangular pyramid A1A2A3A4.

Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vector sa pamamagitan ng formula: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
dito X,Y,Z coordinate ng vector; x i , y i , z i - coordinate ng point A i ; x j , y j , z j - mga coordinate ng puntong A j ;
Kaya, para sa vector A 1 A 2 sila ay magiging mga sumusunod:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Ang haba ng vector a(X;Y;Z) ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate nito sa pamamagitan ng formula:

Gawain 1. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Hanapin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) mga equation ng mga gilid AB at BC at ang kanilang mga slope; 3) anggulo B sa radians na may katumpakan ng dalawang decimal na lugar; 4) ang equation ng height CD at ang haba nito; 5) ang equation ng median AE at ang mga coordinate ng point K ng intersection ng median na ito na may taas na CD; 6) ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong K na kahanay sa gilid ng AB; 7) ang mga coordinate ng punto M, na matatagpuan simetriko sa punto A na may kaugnayan sa tuwid na linya ng CD.

Solusyon:

1. Ang distansya d sa pagitan ng mga puntos na A(x 1 ,y 1) at B(x 2 ,y 2) ay tinutukoy ng formula

Sa paglalapat ng (1), nakita natin ang haba ng gilid AB:

2. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A (x 1, y 1) at B (x 2, y 2) ay may anyo

(2)

Ang pagpapalit sa (2) ng mga coordinate ng mga puntos A at B, nakukuha namin ang equation ng side AB:

Nang malutas ang huling equation para sa y, nakita natin ang equation ng side AB sa anyo ng isang tuwid na linya na equation na may slope:

saan

Ang pagpapalit sa (2) ng mga coordinate ng mga puntos B at C, makuha namin ang equation ng tuwid na linya BC:

O kaya

3. Ito ay kilala na ang padaplis ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya, ang mga angular coefficient na kung saan ay pantay-pantay at kinakalkula ng formula

(3)

Ang nais na anggulo B ay nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na linya AB at BC, ang mga angular coefficient na kung saan ay matatagpuan: Paglalapat (3), nakukuha namin

O natutuwa.

4. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon ay may anyo

(4)

Ang taas ng CD ay patayo sa gilid AB. Upang mahanap ang slope ng taas CD, ginagamit namin ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Simula noon Ang pagpapalit sa (4) ng mga coordinate ng point C at ang nahanap na angular coefficient ng taas, nakuha namin

Upang mahanap ang haba ng taas ng CD, una naming tinutukoy ang mga coordinate ng punto D - ang punto ng intersection ng mga linya AB at CD. Paglutas ng system nang magkasama:

hanapin mga. D(8;0).

Gamit ang formula (1), hinahanap natin ang haba ng taas ng CD:

5. Upang mahanap ang equation para sa median na AE, una naming tinutukoy ang mga coordinate ng point E, na siyang midpoint ng side BC, gamit ang mga formula para sa paghahati ng segment sa dalawang pantay na bahagi:

(5)

Kaya naman,

Ang pagpapalit sa (2) ng mga coordinate ng mga puntos A at E, makikita natin ang median equation:

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng taas na CD at ang median na AE, sama-sama nating lutasin ang sistema ng mga equation

Nahanap namin.

6. Dahil ang nais na linya ay parallel sa gilid AB, ang slope nito ay magiging katumbas ng slope ng linya AB. Pinapalitan sa (4) ang mga coordinate ng nahanap na puntong K at ang slope na nakukuha natin

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Dahil ang linya AB ay patayo sa linya ng CD, ang nais na punto M, na matatagpuan simetriko sa punto A na may kaugnayan sa linya ng CD, ay nasa linya AB. Bilang karagdagan, ang point D ay ang midpoint ng segment AM. Ang paglalapat ng mga formula (5), nakita namin ang mga coordinate ng nais na punto M:

Triangle ABC, altitude CD, median AE, line KF at point M ay binuo sa xOy coordinate system sa fig. 1.

Gawain 2. Bumuo ng isang equation para sa locus ng mga puntos, ang ratio ng mga distansya kung saan sa isang naibigay na punto A (4; 0) at sa isang naibigay na tuwid na linya x \u003d 1 ay katumbas ng 2.

Solusyon:

Sa xOy coordinate system, binubuo natin ang puntong A(4;0) at ang tuwid na linyang x = 1. Hayaang ang M(x;y) ay isang arbitraryong punto ng nais na lokus ng mga puntos. I-drop natin ang perpendicular MB sa ibinigay na linya x = 1 at tukuyin ang mga coordinate ng point B. Dahil ang point B ay nasa ibinigay na linya, ang abscissa nito ay katumbas ng 1. Ang ordinate ng point B ay katumbas ng ordinate ng puntong M. Samakatuwid, B(1; y) (Larawan 2).

Sa kondisyon ng problema |MA|: |MV| = 2. Mga distansya |MA| at |MB| makikita natin sa pamamagitan ng formula (1) ng problema 1:

Sa pamamagitan ng pag-squaring sa kaliwa at kanang bahagi, nakukuha natin

o

Ang resultang equation ay isang hyperbola, kung saan ang tunay na semi-axis ay a = 2, at ang haka-haka ay

Tukuyin natin ang foci ng hyperbola. Para sa isang hyperbola, nasiyahan ang pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, at ay ang foci ng hyperbola. Tulad ng makikita mo, ang ibinigay na puntong A(4;0) ay ang tamang pokus ng hyperbola.

Alamin natin ang eccentricity ng nagresultang hyperbola:

Ang mga asymptote equation ng hyperbola ay may anyo at . Samakatuwid, o at ay mga asymptotes ng hyperbola. Bago bumuo ng hyperbola, binubuo namin ang mga asymptotes nito.

Gawain 3. Bumuo ng isang equation para sa locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa puntong A (4; 3) at ang tuwid na linya y \u003d 1. Bawasan ang resultang equation sa pinakasimpleng anyo nito.

Solusyon: Hayaang ang M(x; y) ay isa sa mga punto ng nais na lokus ng mga puntos. Ibagsak natin ang patayong MB mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linyang y = 1 (Larawan 3). Tukuyin natin ang mga coordinate ng point B. Malinaw na ang abscissa ng point B ay katumbas ng abscissa ng point M, at ang ordinate ng point B ay 1, i.e. B (x; 1). Sa kondisyon ng problema |MA|=|MV|. Samakatuwid, para sa anumang puntong M (x; y) na kabilang sa nais na lokus ng mga puntos, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang resultang equation ay tumutukoy sa isang parabola na may vertex sa isang punto Upang bawasan ang parabola equation sa pinakasimpleng anyo nito, itinakda namin at y + 2 = Y pagkatapos ay ang parabola equation ay kukuha ng anyo:

Paano matututong lutasin ang mga problema sa analytical geometry?
Karaniwang problema sa isang tatsulok sa isang eroplano

Ang araling ito ay nilikha sa paglapit sa ekwador sa pagitan ng geometry ng eroplano at ng geometry ng espasyo. Sa ngayon, kailangang i-systematize ang naipon na impormasyon at sagutin ang isang napakahalagang tanong: paano matututong lutasin ang mga problema sa analytical geometry? Ang kahirapan ay nakasalalay sa katotohanan na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga problema sa geometry, at walang aklat-aralin ang maaaring maglaman ng lahat ng marami at iba't ibang mga halimbawa. Ay hindi derivative ng function na may limang panuntunan ng pagkakaiba-iba, isang talahanayan, at ilang mga diskarte….

May solusyon! Hindi ako magsasabi ng malakas na mga salita na nakabuo ako ng ilang uri ng maringal na pamamaraan, gayunpaman, sa palagay ko, mayroong isang epektibong diskarte sa problemang isinasaalang-alang, na nagpapahintulot sa kahit na isang buong takure upang makamit ang mabuti at mahusay na mga resulta. Hindi bababa sa, ang pangkalahatang algorithm para sa paglutas ng mga geometric na problema ay nagkaroon ng hugis nang napakalinaw sa aking ulo.

ANG KAILANGAN MONG MALAMAN AT KAKAYAHAN
upang matagumpay na malutas ang mga problema sa geometry?

Walang makaalis dito - upang hindi random na sundutin ang mga pindutan gamit ang iyong ilong, kailangan mong makabisado ang mga pangunahing kaalaman ng analytical geometry. Samakatuwid, kung nagsimula ka pa lamang sa pag-aaral ng geometry o ganap na nakalimutan ito, mangyaring magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies. Bilang karagdagan sa mga vectors at mga aksyon sa kanila, kailangan mong malaman ang mga pangunahing konsepto ng geometry ng eroplano, sa partikular, equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano At . Ang geometry ng espasyo ay kinakatawan ng mga artikulo Equation ng eroplano, Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo, Mga pangunahing gawain sa isang linya at isang eroplano at ilang iba pang mga aralin. Ang mga hubog na linya at spatial na ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay medyo magkahiwalay, at walang napakaraming partikular na problema sa kanila.

Ipagpalagay na ang isang mag-aaral ay mayroon nang elementarya na kaalaman at kasanayan sa paglutas ng mga pinakasimpleng problema ng analytical geometry. Ngunit ito ay nangyayari tulad nito: nabasa mo ang kalagayan ng problema, at ... gusto mong isara ang kabuuan ng bagay, itapon ito sa malayong sulok at kalimutan ito, tulad ng isang bangungot. Bukod dito, hindi ito pangunahing nakasalalay sa antas ng iyong mga kwalipikasyon, paminsan-minsan ay nakatagpo ako ng mga gawain kung saan ang solusyon ay hindi halata. Paano kumilos sa mga ganitong kaso? Hindi mo kailangang matakot sa isang gawain na hindi mo naiintindihan!

Una, dapat itakda sa ito ba ay isang "planar" o spatial na problema? Halimbawa, kung ang mga vector na may dalawang coordinate ay lilitaw sa kondisyon, kung gayon, siyempre, ito ang geometry ng eroplano. At kung na-load ng guro ang nagpapasalamat na tagapakinig ng isang pyramid, kung gayon ay malinaw na mayroong geometry ng espasyo. Ang mga resulta ng unang hakbang ay medyo maganda, dahil nagawa naming putulin ang isang malaking halaga ng impormasyon na hindi kailangan para sa gawaing ito!

Pangalawa. Ang kundisyon, bilang panuntunan, ay mag-aalala sa iyo sa ilang geometric na pigura. Sa katunayan, maglakad sa mga koridor ng iyong katutubong unibersidad, at makikita mo ang maraming mga balisang mukha.

Sa mga "flat" na problema, hindi sa banggitin ang mga halatang punto at linya, ang pinakasikat na pigura ay isang tatsulok. Susuriin namin ito nang detalyado. Susunod ay ang paralelogram, at ang parihaba, parisukat, rhombus, bilog, at iba pang mga figure ay hindi gaanong karaniwan.

Sa mga spatial na gawain, maaaring lumipad ang parehong mga flat figure + ang mga eroplano mismo at karaniwang triangular pyramids na may parallelepiped.

Ikalawang tanong - Alam mo ba ang lahat tungkol sa figure na ito? Ipagpalagay na ang kundisyon ay tungkol sa isang isosceles triangle, at naaalala mo nang malabo kung anong uri ng tatsulok ito. Binuksan namin ang isang aklat-aralin sa paaralan at nagbasa tungkol sa isang isosceles triangle. Ano ang gagawin ... ang sabi ng doktor ay isang rhombus, kaya isang rhombus. Analytic geometry ay analytic geometry, ngunit ang problema ay makakatulong upang malutas ang mga geometric na katangian ng mga figure sa kanilang sarili kilala sa amin mula sa kurikulum ng paaralan. Kung hindi mo alam kung ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok, maaari kang magdusa nang mahabang panahon.

Pangatlo. LAGING subukang sundin ang blueprint(sa isang draft / malinis / mental), kahit na ito ay hindi kinakailangan ng kondisyon. Sa mga "flat" na gawain, si Euclid mismo ay nag-utos na kumuha ng isang pinuno na may hawak na lapis - at hindi lamang upang maunawaan ang kondisyon, kundi pati na rin para sa layunin ng pagsubok sa sarili. Sa kasong ito, ang pinaka-maginhawang sukat ay 1 unit = 1 cm (2 tetrad cell). Huwag nating pag-usapan ang mga pabaya na mag-aaral at mathematician na umiikot sa kanilang mga libingan - halos imposibleng magkamali sa mga ganitong problema. Para sa mga spatial na gawain, nagsasagawa kami ng isang pagguhit ng eskematiko, na makakatulong din sa pag-aralan ang kondisyon.

Ang pagguhit o pagguhit ng eskematiko ay kadalasang nagbibigay-daan sa iyo upang makita ang paraan upang malutas ang problema. Siyempre, para dito kailangan mong malaman ang pundasyon ng geometry at gupitin ang mga katangian ng mga geometric na hugis (tingnan ang nakaraang talata).

pang-apat. Pag-unlad ng isang algorithm ng solusyon. Maraming mga problema sa geometry ang multi-pass, kaya napakaginhawa upang hatiin ang solusyon at ang disenyo nito sa mga punto. Kadalasan, agad na naiisip ang algorithm pagkatapos mong basahin ang kundisyon o makumpleto ang pagguhit. Sa kaso ng kahirapan, nagsisimula tayo sa TANONG ng problema. Halimbawa, ayon sa kondisyon na "kinakailangan na bumuo ng isang tuwid na linya ...". Narito ang pinaka-lohikal na tanong ay: "Ano ang sapat na malaman upang mabuo ang linyang ito?". Kumbaga, "alam natin ang punto, kailangan nating malaman ang vector ng direksyon." Tinatanong namin ang sumusunod na tanong: "Paano mahahanap ang vector ng direksyon na ito? saan?" atbp.

Minsan mayroong isang "plug" - ang gawain ay hindi nalutas at iyon na. Ang mga dahilan para sa stopper ay maaaring ang mga sumusunod:

- Isang malubhang agwat sa kaalaman sa elementarya. Sa madaling salita, hindi mo alam o (at) hindi mo nakikita ang ilang napakasimpleng bagay.

- Kamangmangan sa mga katangian ng mga geometric na hugis.

- Ang gawain ay mahirap. Oo, nangyayari ito. Walang kwenta ang pagpapasingaw ng maraming oras at pagkolekta ng luha sa isang panyo. Magtanong sa iyong guro, kapwa mag-aaral o magtanong sa forum para sa payo. Bukod dito, mas mabuting gawing kongkreto ang pahayag nito - tungkol sa bahaging iyon ng solusyon na hindi mo naiintindihan. Isang sigaw sa anyo ng "Paano lutasin ang problema?" mukhang hindi maganda... at higit sa lahat, para sa iyong sariling reputasyon.

Stage five. We solve-check, solve-check, solve-check-magbigay ng sagot. Ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang bawat item ng gawain kaagad pagkatapos na gawin ito. Makakatulong ito sa iyong mahanap kaagad ang error. Naturally, walang sinuman ang nagbabawal sa mabilis na paglutas ng buong problema, ngunit may panganib na muling isulat ang lahat muli (madalas ilang mga pahina).

Narito, marahil, ang lahat ng mga pangunahing pagsasaalang-alang na ipinapayong gabayan kapag nilulutas ang mga problema.

Ang praktikal na bahagi ng aralin ay kinakatawan ng geometry sa isang eroplano. Magkakaroon lamang ng dalawang halimbawa, ngunit ito ay tila hindi sapat =)

Pumunta tayo sa thread ng algorithm na kakasuri ko lang sa aking maliit na gawaing pang-agham:

Halimbawa 1

Tatlong vertices ng isang paralelogram ang ibinibigay. Hanapin ang tuktok.

Simulan natin itong unawain:

Unang hakbang: ito ay malinaw na kami ay pakikipag-usap tungkol sa isang "flat" problema.

ikalawang hakbang: Ang problema ay tungkol sa paralelogram. Naaalala ng lahat ang gayong paralelogram figure? Hindi na kailangang ngumiti, maraming tao ang nakapag-aral sa edad na 30-40-50 o higit pa, kaya kahit ang mga simpleng katotohanan ay maaaring mabura sa memorya. Ang kahulugan ng paralelogram ay matatagpuan sa Halimbawa Blg. 3 ng aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector.

Ikatlong Hakbang: Gumawa tayo ng guhit kung saan minarkahan natin ang tatlong kilalang vertice. Nakakatuwa na madaling mabuo kaagad ang nais na punto:

Ang pagtatayo ay, siyempre, mabuti, ngunit ang solusyon ay dapat na pormal na analytically.

Ikaapat na Hakbang: Pagbuo ng isang algorithm ng solusyon. Ang unang bagay na nasa isip ay ang isang punto ay matatagpuan bilang intersection ng mga linya. Ang kanilang mga equation ay hindi alam sa amin, kaya kailangan nating harapin ang isyung ito:

1) Ang magkabilang panig ay magkatulad. Sa pamamagitan ng mga puntos hanapin ang vector ng direksyon ng mga panig na ito. Ito ang pinakasimpleng gawain na isinaalang-alang sa aralin. Mga vector para sa mga dummies.

Tandaan: mas tamang sabihin na "ang equation ng tuwid na linya na naglalaman ng gilid", ngunit pagkatapos nito, para sa kaiklian, gagamitin ko ang mga pariralang "equation of the side", "directing vector of the side", atbp.

3) Ang magkabilang panig ay magkatulad. Mula sa mga punto ay makikita natin ang vector ng direksyon ng mga panig na ito.

4) Buuin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang vector ng direksyon

Sa mga talata 1-2 at 3-4, aktwal naming nalutas ang parehong problema ng dalawang beses, sa pamamagitan ng paraan, ito ay nasuri sa halimbawa No. 3 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Posibleng pumunta sa mas mahabang paraan - hanapin muna ang mga equation ng mga linya at pagkatapos ay "bunutin" ang mga vector ng direksyon mula sa kanila.

5) Ngayon ang mga equation ng mga linya ay kilala. Nananatili itong buuin at lutasin ang kaukulang sistema ng mga linear na equation (tingnan ang mga halimbawa Blg. 4, 5 ng parehong aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano).

Nahanap ang punto.

Ang gawain ay medyo simple at ang solusyon nito ay halata, ngunit mayroong isang mas maikling paraan!

Ang pangalawang paraan ng paglutas:

Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay hinahati ng kanilang punto ng intersection. Minarkahan ko ang punto, ngunit upang hindi makalat ang pagguhit, hindi ko iginuhit ang mga dayagonal sa aking sarili.

Buuin ang equation ng gilid sa pamamagitan ng mga puntos :

Upang suriin, sa isip o sa isang draft, palitan ang mga coordinate ng bawat punto sa resultang equation. Ngayon hanapin natin ang slope. Upang gawin ito, muling isulat namin ang pangkalahatang equation sa anyo ng isang equation na may slope:

Kaya ang slope factor ay:

Katulad nito, nakikita natin ang mga equation ng mga panig. Wala akong nakikitang punto sa pagpipinta ng parehong bagay, kaya agad kong ibibigay ang natapos na resulta:

2) Hanapin ang haba ng gilid. Ito ang pinakasimpleng gawain na tinalakay sa aralin. Mga vector para sa mga dummies. Para sa mga puntos ginagamit namin ang formula:

Gamit ang parehong formula, madaling mahanap ang mga haba ng iba pang mga panig. Ang pagsuri ay napakabilis na ginagawa gamit ang isang regular na ruler.

Ginagamit namin ang formula .

Hanapin natin ang mga vectors:

kaya:

Sa pamamagitan ng paraan, kasama ang paraan, natagpuan namin ang mga haba ng mga gilid.

Ang resulta:

Well, mukhang totoo, para sa persuasiveness, maaari kang mag-attach ng protractor sa sulok.

Pansin! Huwag malito ang anggulo ng isang tatsulok sa anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya. Ang anggulo ng isang tatsulok ay maaaring mapurol, ngunit ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay hindi (tingnan ang huling talata ng artikulo Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano). Gayunpaman, ang mga pormula ng aralin sa itaas ay maaari ding gamitin upang mahanap ang anggulo ng isang tatsulok, ngunit ang pagkamagaspang ay ang mga formula na iyon ay palaging nagbibigay ng matinding anggulo. Sa tulong nila, nalutas ko ang problemang ito sa isang draft at nakuha ko ang resulta. At sa malinis na kopya, kailangan mong isulat ang mga karagdagang dahilan niyan.

4) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng isang tuwid na linya.

Pamantayang gawain, tinalakay nang detalyado sa halimbawa Blg. 2 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Mula sa pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya bunutin ang vector ng direksyon. Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nakadirekta na vector:

Paano mahahanap ang taas ng isang tatsulok?

5) Gawin natin ang equation ng taas at makikita natin ang haba nito.

Walang pagtakas mula sa mahigpit na mga kahulugan, kaya kailangan mong magnakaw mula sa isang aklat-aralin sa paaralan:

taas ng tatsulok tinatawag na patayo na iginuhit mula sa tuktok ng tatsulok hanggang sa linyang naglalaman ng kabaligtaran.

Iyon ay, kinakailangan upang bumuo ng equation ng patayo na iginuhit mula sa vertex hanggang sa gilid. Ang gawaing ito ay isinasaalang-alang sa mga halimbawa Blg. 6, 7 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Mula sa equation alisin ang normal na vector. Bubuo kami ng equation ng taas para sa punto at vector ng direksyon:

Pakitandaan na hindi namin alam ang mga coordinate ng punto.

Minsan ang equation ng taas ay matatagpuan mula sa ratio ng mga slope ng mga patayong linya: . Sa kasong ito, kung gayon: . Bubuo tayo ng equation ng taas para sa isang punto at isang slope (tingnan ang simula ng aralin Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano):

Ang haba ng taas ay matatagpuan sa dalawang paraan.

Mayroong isang roundabout na paraan:

a) hanapin - ang punto ng intersection ng taas at gilid;
b) hanapin ang haba ng segment sa pamamagitan ng dalawang kilalang puntos.

Pero sa klase Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano isang maginhawang formula para sa distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay isinasaalang-alang. Ang punto ay kilala: , ang equation ng linya ay kilala rin: , Kaya:

6) Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. Sa espasyo, ang lugar ng isang tatsulok ay tradisyonal na kinakalkula gamit cross product ng mga vectors, ngunit narito ang isang tatsulok ay ibinigay sa eroplano. Ginagamit namin ang formula ng paaralan:
Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base nito sa taas nito.

Sa kasong ito:

Paano mahanap ang median ng isang tatsulok?

7) Buuin ang median equation.

Triangle median Tinatawag ang isang segment ng linya na nagdurugtong sa vertex ng isang tatsulok na may gitnang punto ng kabaligtaran na bahagi.

a) Maghanap ng isang punto - ang gitnang punto ng gilid. Ginagamit namin mga formula ng midpoint coordinate. Ang mga coordinate ng mga dulo ng segment ay kilala: , pagkatapos ay ang mga coordinate ng gitna:

kaya:

Binubuo namin ang median equation sa pamamagitan ng mga puntos :

Upang suriin ang equation, kailangan mong palitan ang mga coordinate ng mga puntos dito.

8) Hanapin ang punto ng intersection ng taas at median. Sa palagay ko natutunan na ng lahat kung paano gawin ang elementong ito ng figure skating nang hindi nahuhulog: