Mga sistema ng linear homogenous na equation

Pagbubuo ng problema. Maghanap ng ilang batayan at tukuyin ang dimensyon ng linear space ng mga solusyon ng system

Plano ng solusyon.

1. Isulat ang system matrix:

at sa tulong ng mga pagbabagong elementarya ay binabago natin ang matrix sa isang triangular na anyo, i.e. sa ganoong anyo kapag ang lahat ng elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero. Ang ranggo ng system matrix ay katumbas ng bilang ng mga linearly independent na hilera, ibig sabihin, sa aming kaso, ang bilang ng mga hilera kung saan nananatili ang mga di-zero na elemento:

Ang sukat ng espasyo ng solusyon ay . Kung , kung gayon ang homogenous na sistema ay may natatanging zero na solusyon, kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

2. Pumili ng basic at free variables. Ang mga libreng variable ay tinutukoy ng . Pagkatapos ay ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre, kaya nakuha ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation.

3. Isinulat namin ang batayan ng espasyo ng solusyon ng system sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagtatakda ng isa sa mga libreng variable na katumbas ng isa, at ang natitira sa zero. Ang dimensyon ng linear solution space ng system ay katumbas ng bilang ng mga batayang vector.

Tandaan. Ang mga pagbabagong elementarya ng matrix ay kinabibilangan ng:

1. multiplikasyon (dibisyon) ng isang string sa pamamagitan ng isang multiplier maliban sa zero;

2. karagdagan sa anumang linya ng isa pang linya, na pinarami ng anumang numero;

3. permutasyon ng mga linya sa mga lugar;

4. mga pagbabagong-anyo 1–3 para sa mga haligi (sa kaso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation, hindi ginagamit ang mga elementarya na pagbabagong-anyo ng mga haligi).

Gawain 3. Maghanap ng ilang batayan at tukuyin ang dimensyon ng linear space ng mga solusyon ng system.

Isinulat namin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dinadala namin ito sa isang tatsulok na anyo:

Ipagpalagay natin noon

Kapag sinuri namin ang mga konsepto ng isang n-dimensional na vector at ipinakilala ang mga operasyon sa mga vector, nalaman namin na ang hanay ng lahat ng mga n-dimensional na vector ay bumubuo ng isang linear na espasyo. Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa pinakamahalagang nauugnay na mga konsepto - tungkol sa sukat at batayan ng isang vector space. Isinasaalang-alang din namin ang theorem sa pagpapalawak ng isang arbitrary vector sa mga tuntunin ng isang batayan at ang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga base ng isang n-dimensional na espasyo. Suriin natin nang detalyado ang mga solusyon ng karaniwang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Konsepto ng dimensyon at batayan ng espasyo ng vector.

Ang mga konsepto ng dimensyon at batayan ng isang vector space ay direktang nauugnay sa konsepto ng isang linearly independent system ng mga vector, kaya inirerekomenda namin, kung kinakailangan, sumangguni sa artikulong linear dependence ng isang sistema ng mga vectors, mga katangian ng linear dependence at independence.

Kahulugan.

Dimensyon ng vector space ay tinatawag na bilang na katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent vector sa puwang na ito.

Kahulugan.

Batayan sa espasyo ng vector ay isang ordered set ng linearly independent vectors ng space na ito, ang bilang nito ay katumbas ng dimensyon ng space.

Nagpapakita kami ng ilang mga argumento batay sa mga kahulugang ito.

Isaalang-alang ang espasyo ng n -dimensional vectors.

Ipakita natin na ang dimensyon ng espasyong ito ay katumbas ng n .

Kumuha tayo ng isang sistema ng n unit vectors ng form

Kunin natin ang mga vector na ito bilang mga hilera ng matrix A. Sa kasong ito, ang matrix A ay magiging isang n by n identity matrix. Ang ranggo ng matrix na ito ay n (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo). Samakatuwid, ang sistema ng mga vectors ay linearly independent, at walang vector ang maaaring idagdag sa system na ito nang hindi nilalabag ang linear independence nito. Dahil ang bilang ng mga vectors sa system katumbas n, kung gayon ang dimensyon ng espasyo ng n-dimensional vectors ay n, at ang unit vectors ang batayan ng espasyong ito.

Mula sa huling pahayag at ang kahulugan ng batayan, mahihinuha natin iyon anumang sistema ng mga n-dimensional na vector na ang bilang ng mga vector ay mas mababa sa n ay hindi isang batayan.

Ngayon, palitan natin ang una at pangalawang vector ng system . Madaling ipakita na ang resultang sistema ng mga vectors ay isa ring batayan ng isang n-dimensional na vector space. Bumuo tayo ng isang matrix, kunin ito bilang mga row vector ng system na ito. Ang matrix na ito ay maaaring makuha mula sa identity matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng una at ikalawang hanay, kaya ang ranggo nito ay n . Kaya, isang sistema ng n vectors ay linearly independent at isang batayan ng isang n-dimensional na vector space.

Kung magpalit tayo ng iba pang mga vector ng system , nakakakuha tayo ng ibang batayan.

Kung kukuha tayo ng linearly independent system ng mga non-unit vectors, ito rin ang batayan ng n-dimensional vector space.

kaya, ang isang vector space ng dimensyon n ay may kasing daming base gaya ng may mga linearly independent system ng n n -dimensional vectors.

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang dalawang-dimensional na espasyo ng vector (iyon ay, tungkol sa isang eroplano), kung gayon ang batayan nito ay anumang dalawang di-collinear na vector. Ang batayan ng isang three-dimensional na espasyo ay anumang tatlong non-coplanar vectors.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Ang mga vector ba ang batayan ng isang 3D vector space?

Solusyon.

Suriin natin ang sistemang ito ng mga vectors para sa isang linear dependence. Upang gawin ito, bubuo kami ng isang matrix, ang mga hilera kung saan ang mga coordinate ng mga vector, at hanapin ang ranggo nito:


Kaya, ang mga vectors a , b at c ay linearly independent at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space, samakatuwid, sila ang batayan ng space na ito.

Sagot:

Oo, sila nga.

Halimbawa.

Maaari bang maging batayan ng isang vector space ang isang sistema ng mga vector?

Solusyon.

Ang sistemang ito ng mga vector ay linearly dependent, dahil ang maximum na bilang ng mga linearly independent na three-dimensional na vector ay tatlo. Samakatuwid, ang sistemang ito ng mga vector ay hindi maaaring maging batayan ng isang three-dimensional na vector space (bagaman ang isang subsystem ng orihinal na sistema ng mga vectors ay isang batayan).

Sagot:

Hindi, hindi niya kaya.

Halimbawa.

Siguraduhin ang mga vectors

ay maaaring maging batayan ng isang four-dimensional na vector space.

Solusyon.

Gumawa tayo ng isang matrix, kunin ito bilang mga hilera ng orihinal na mga vector:

Hanapin natin:

Kaya, ang sistema ng mga vectors a, b, c, d ay linearly independent at ang kanilang numero ay katumbas ng sukat ng vector space, samakatuwid, a, b, c, d ang batayan nito.

Sagot:

Ang mga orihinal na vector ay talagang batayan ng isang apat na dimensyon na espasyo.

Halimbawa.

Ang mga vector ba ay bumubuo ng batayan ng isang 4-dimensional na espasyo ng vector?

Solusyon.

Kahit na ang orihinal na sistema ng mga vector ay linearly independent, ang bilang ng mga vectors sa loob nito ay hindi sapat upang maging batayan ng isang four-dimensional na espasyo (ang batayan ng naturang espasyo ay binubuo ng 4 na vectors).

Sagot:

Hindi, hindi.

Decomposition ng isang vector sa mga tuntunin ng isang vector space na batayan.

Hayaan ang mga arbitrary na vector ay ang batayan ng isang n -dimensional vector space. Kung magdaragdag tayo ng ilang n-dimensional na vector x sa kanila, ang resultang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent. Mula sa mga katangian ng linear dependence, alam natin na kahit isang vector ng isang linearly dependent system ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba. Sa madaling salita, hindi bababa sa isa sa mga vector ng isang linearly dependent system ay pinalawak sa mga tuntunin ng iba pang mga vector.

Sa gayon tayo ay dumating sa isang napakahalagang teorama.

Teorama.

Ang anumang vector ng isang n-dimensional na vector space ay natatanging nabubulok sa mga tuntunin ng isang batayan.

Patunay.

Hayaan - batayan ng n -dimensional na espasyo ng vector. Magdagdag tayo ng n-dimensional na vector x sa mga vector na ito. Pagkatapos ang resultang sistema ng mga vector ay magiging linearly dependent at ang vector x ay maaaring linearly na ipahayag sa mga tuntunin ng mga vectors : , nasaan ang ilang mga numero. Kaya nakuha namin ang pagpapalawak ng vector x sa mga tuntunin ng batayan. Ito ay nananatiling upang patunayan na ang agnas na ito ay natatangi.

Ipagpalagay na may isa pang agnas , kung saan - ilang mga numero. Ibawas mula sa kaliwa at kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit, ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

Dahil ang sistema ng mga batayang vectors ay linearly independent, kung gayon, sa pamamagitan ng kahulugan ng linear independence ng isang sistema ng mga vectors, ang resultang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kapag ang lahat ng coefficient ay katumbas ng zero. Samakatuwid, , na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng vector sa mga tuntunin ng batayan.

Kahulugan.

Ang mga coefficient ay tinatawag mga coordinate ng vector x sa batayan .

Matapos makilala ang teorama sa pagpapalawak ng isang vector sa mga tuntunin ng isang batayan, sinisimulan nating maunawaan ang kakanyahan ng expression na "binigyan tayo ng isang n-dimensional na vector. ". Ang expression na ito ay nangangahulugan na isinasaalang-alang namin ang isang vector x ng isang n -dimensional vector space na ang mga coordinate ay ibinibigay sa ilang batayan. Kasabay nito, naiintindihan namin na ang parehong vector x sa isa pang batayan ng n-dimensional na vector space ay magkakaroon ng mga coordinate na naiiba sa .

Isaalang-alang ang sumusunod na problema.

Hayaan, sa ilang batayan ng isang n-dimensional na vector space, tayo ay binibigyan ng isang sistema ng n linearly independent vectors

at vector . Tapos yung mga vectors ay isa ring batayan ng vector space na ito.

Kailangan nating hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan . Tukuyin natin ang mga coordinate na ito bilang .

Vector x sa batayan may ideya. Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng isang sistema ng n linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable :

Ang pangunahing matrix ng sistemang ito ay may anyo

Tukuyin natin ito bilang A. Ang mga column ng matrix A ay mga vector ng isang linearly independent system ng mga vectors , kaya ang ranggo ng matrix na ito ay n , kaya ang determinant nito ay hindi zero. Ang katotohanang ito ay nagpapahiwatig na ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon na maaaring matagpuan sa anumang paraan, halimbawa, o .

Kaya't ang nais na mga coordinate ay matatagpuan vector x sa batayan .

Suriin natin ang teorya na may mga halimbawa.

Halimbawa.

Sa ilang batayan ng three-dimensional na vector space, ang mga vectors

Siguraduhin na ang sistema ng vector ay batayan din ng puwang na ito at hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan na ito.

Solusyon.

Para ang isang sistema ng mga vector ay maging batayan ng isang three-dimensional na vector space, dapat itong linearly independent. Alamin natin sa pamamagitan ng pagtukoy sa ranggo ng matrix A , na ang mga hilera ay mga vectors . Nahanap namin ang ranggo sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss


samakatuwid, Rank(A) = 3 , na nagpapakita ng linear na kalayaan ng sistema ng mga vectors .

Kaya ang mga vector ang batayan. Hayaang may mga coordinate ang vector x sa batayan na ito. Pagkatapos, tulad ng ipinakita namin sa itaas, ang relasyon ng mga coordinate ng vector na ito ay ibinibigay ng sistema ng mga equation

Ang pagpapalit dito ng mga halaga na kilala mula sa kundisyon, nakuha namin

Lutasin natin ito sa pamamaraan ni Cramer:

Kaya, ang vector x sa batayan ay may mga coordinate .

Sagot:

Halimbawa.

Sa ilang batayan ang four-dimensional na vector space ay binibigyan ng linearly independent system ng mga vectors

Ito ay kilala na . Hanapin ang mga coordinate ng vector x sa batayan .

Solusyon.

Dahil ang sistema ng mga vectors ay linearly na independyente sa pamamagitan ng pagpapalagay, pagkatapos ito ay isang batayan ng isang apat na dimensyon na espasyo. Tapos yung equality nangangahulugan na ang vector x sa batayan may mga coordinate. Tukuyin ang mga coordinate ng vector x sa batayan Paano .

Ang sistema ng mga equation na tumutukoy sa relasyon ng mga coordinate ng vector x sa mga base At may porma

Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga dito at hanapin ang nais na mga coordinate:

Sagot:

.

Komunikasyon sa pagitan ng mga base.

Hayaang magbigay ng dalawang linearly independent system ng mga vector sa ilang batayan ng isang n-dimensional na vector space

At

ibig sabihin, sila rin ang mga base ng espasyong ito.

Kung - mga coordinate ng vector sa batayan , pagkatapos ay ang relasyon ng mga coordinate At ay ibinigay ng isang sistema ng mga linear na equation (napag-usapan namin ito sa nakaraang talata):

, na sa anyo ng matrix ay maaaring isulat bilang

Katulad nito, para sa isang vector, maaari tayong sumulat

Ang mga nakaraang pagkakapantay-pantay ng matrix ay maaaring pagsamahin sa isa, na mahalagang tumutukoy sa ugnayan ng mga vector ng dalawang magkaibang base.

Katulad nito, maaari nating ipahayag ang lahat ng mga batayan ng vector sa pamamagitan ng batayan :

Kahulugan.

Matrix tinawag transition matrix mula sa batayan sa batayan , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

Pagpaparami ng magkabilang panig ng equation na ito sa kanan ng

nakukuha namin

Hanapin natin ang transition matrix, habang hindi tayo magtatagal sa paghahanap ng inverse matrix at multiplying matrices (tingnan, kung kinakailangan, mga artikulo at):

Ito ay nananatiling alamin ang kaugnayan ng mga coordinate ng vector x sa mga ibinigay na base.

Hayaan ang vector x na magkaroon ng mga coordinate sa batayan, kung gayon

at sa batayan ang vector x ay may mga coordinate , pagkatapos

Dahil ang mga kaliwang bahagi ng huling dalawang pagkakapantay-pantay ay pareho, maaari nating itumbas ang mga tamang bahagi:

Kung i-multiply natin ang magkabilang panig sa kanan ng

pagkatapos makuha namin


Sa kabila

(hanapin ang inverse matrix sa iyong sarili).
Ang huling dalawang pagkakapantay-pantay ay nagbibigay sa amin ng nais na kaugnayan ng mga coordinate ng vector x sa mga base at .

Sagot:

Ang transition matrix mula sa batayan hanggang sa batayan ay may anyo
;
ang mga coordinate ng vector x sa mga base at nauugnay sa mga relasyon

o
.

Isinaalang-alang namin ang mga konsepto ng dimensyon at batayan ng isang vector space, natutunan kung paano i-decompose ang isang vector ayon sa isang batayan, at natuklasan ang isang koneksyon sa pagitan ng iba't ibang mga base ng isang n-dimensional na espasyo ng mga vectors sa pamamagitan ng isang transition matrix.

Pahina 1

Subspace, ang batayan at sukat nito.

Hayaan L ay ang linear na espasyo sa ibabaw ng field P At A ay isang subset ng L. Kung A mismo ay bumubuo ng isang linear na espasyo sa ibabaw ng field P para sa parehong mga operasyon bilang L, Iyon A tinatawag na subspace ng espasyo L.

Ayon sa kahulugan ng isang linear space, kaya na A ay isang subspace upang suriin ang pagiging posible A mga operasyon:

1) :
;

2)
:
;

at suriin kung ang mga operasyon ay nasa A napapailalim sa walong axiom. Gayunpaman, ang huli ay magiging kalabisan (dahil sa katotohanan na ang mga axiom na ito ay humahawak sa L), i.e. ang mga sumusunod

Teorama. Hayaang maging linear space ang L sa ibabaw ng field na P at
. Ang isang set A ay isang subspace ng L kung at kung matutugunan lamang ang mga sumusunod na kinakailangan:

1. :
;

2.
:
.

Pahayag. Kung L – n-dimensional na linear na espasyo at A subspace nito, kung gayon A ay isa ring finite-dimensional linear space at hindi lalampas ang dimensyon nito n.

P halimbawa 1. Ang set S ba ng lahat ng vectors ng eroplano, na ang bawat isa ay nasa isa sa mga coordinate axes na 0x o 0y, isang subspace ng space ng mga segment vectors V 2?

Solusyon: Hayaan mo
,
At
,
. Pagkatapos
. Samakatuwid, ang S ay hindi isang subspace .

Halimbawa 2 V 2 hanay ng mga segment ng vector ng eroplano S lahat ng plane vectors na ang simula at dulo ay nasa isang partikular na linya l ang eroplanong ito?

Solusyon.

E sli vector
multiply sa totoong numero k, pagkatapos ay makuha namin ang vector
, kabilang din sa S. Kung At ay dalawang vectors mula sa S, kung gayon
(ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga vector sa isang tuwid na linya). Samakatuwid, ang S ay isang subspace .

Halimbawa 3 Ay isang linear subspace ng isang linear space V 2 isang grupo ng A lahat ng mga vector ng eroplano na ang mga dulo ay nasa ibinigay na linya l, (ipagpalagay na ang pinagmulan ng anumang vector ay tumutugma sa pinagmulan)?

R solusyon.

Sa kaso kung saan ang direktang l hindi dumadaan sa pinanggalingan A linear subspace ng espasyo V 2 ay hindi, dahil
.

Sa kaso kung saan ang direktang l dumadaan sa pinanggalingan, ang set A ay isang linear na subspace ng espasyo V 2 , kasi
at kapag nagpaparami ng anumang vector
sa totoong numero α palabas ng field R nakukuha namin
. Kaya, ang mga linear space na kinakailangan para sa set A nakumpleto.

Halimbawa 4 Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vector
mula sa linear space L sa ibabaw ng field P. Patunayan na ang hanay ng lahat ng posibleng linear na kumbinasyon
na may mga coefficient
mula sa P ay isang subspace L(ito ay isang subspace A ay tinatawag na subspace na nabuo ng sistema ng mga vectors
o linear shell ang sistemang ito ng mga vectors, at tinutukoy bilang mga sumusunod:
o
).

Solusyon. Sa katunayan, mula noong , pagkatapos ay para sa anumang mga elemento x, yA meron kami:
,
, Saan
,
. Pagkatapos

kasi
, Iyon
, Kaya naman
.

Suriin natin ang pagiging posible ng pangalawang kondisyon ng teorama. Kung x ay anumang vector mula sa A At t- anumang numero mula sa P, Yung . Dahil ang
At
,
, Iyon
,
, Kaya naman
. Kaya, ayon sa teorama, ang set A ay isang subspace ng isang linear space L.

Para sa may hangganan-dimensional na mga linear na espasyo, ang kabaligtaran ay totoo rin.

Teorama. Anumang subspace A linear na espasyo L sa ibabaw ng field ay ang linear span ng ilang sistema ng mga vector.

Kapag nilulutas ang problema sa paghahanap ng batayan at sukat ng linear shell, ginagamit ang sumusunod na theorem.

Teorama. Linear na batayan ng shell
tumutugma sa batayan ng sistema ng mga vectors
. Dimensyon ng linear shell
tumutugma sa ranggo ng sistema ng mga vectors
.

Halimbawa 4 Hanapin ang batayan at dimensyon ng isang subspace
linear na espasyo R 3 [ x] , Kung
,
,
,
.

Solusyon. Ito ay kilala na ang mga vectors at ang kanilang mga coordinate row (column) ay may parehong mga katangian (na may paggalang sa linear dependence). Gumagawa kami ng matrix A=
mula sa mga coordinate column ng mga vectors
sa batayan
.

Hanapin ang ranggo ng isang matrix A.

. M 3 =
.
.

Samakatuwid, ang ranggo r(A)= 3. Kaya, ang ranggo ng sistema ng mga vectors
ay katumbas ng 3. Kaya, ang dimensyon ng subspace S ay katumbas ng 3, at ang batayan nito ay binubuo ng tatlong vectors
(dahil sa basic minor
tanging ang mga coordinate ng mga vector na ito ang kasama)., . Ang sistemang ito ng mga vectors ay linearly independent. Sa katunayan, hayaan .

AT
.

Maaari itong ma-verify na ang system
linearly dependent para sa anumang vector x mula sa H. Ito ay nagpapatunay na
maximum na linearly independent system ng mga subspace vectors H, ibig sabihin.
- batayan sa H at malabo H=n 2 .

Pahina 1

1. Hayaan ang subspace L = L(A 1 , A 2 , …, isang m) , yan ay L ay ang linear shell ng system A 1 , A 2 , …, isang m; mga vector A 1 , A 2 , …, isang m ay ang sistema ng mga generator ng subspace na ito. Pagkatapos ang batayan L ay ang batayan ng sistema ng mga vectors A 1 , A 2 , …, isang m, iyon ay, ang batayan ng sistema ng mga generator. Dimensyon L ay katumbas ng ranggo ng sistema ng mga generator.

2. Hayaan ang subspace L ay ang kabuuan ng mga subspace L 1 at L 2. Ang sistema ng pagbuo ng mga subspace ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga sistema ng pagbuo ng mga subspace, pagkatapos kung saan ang batayan ng kabuuan ay matatagpuan. Ang dimensyon ng kabuuan ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula:

madilim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – madilim(L 1 Z L 2).

3. Hayaan ang kabuuan ng mga subspace L 1 at L 2 tuwid na linya, iyon ay L = L 1 Å L 2. Kung saan L 1 Z L 2 = {O) At madilim(L 1 Z L 2) = 0. Ang batayan ng direktang kabuuan ay katumbas ng unyon ng mga base ng mga summand. Ang dimensyon ng direktang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga sukat ng mga termino.

4. Magbigay tayo ng mahalagang halimbawa ng subspace at linear manifold.

Isaalang-alang ang isang homogenous na sistema m linear equation na may n hindi kilala. Maraming solusyon M 0 ng system na ito ay isang subset ng set R n at sarado sa ilalim ng pagdaragdag ng mga vector at ang kanilang pagpaparami sa isang tunay na numero. Nangangahulugan ito na ito ay isang set M 0 - subspace ng espasyo R n. Ang batayan ng subspace ay ang pangunahing hanay ng mga solusyon ng homogenous system, ang dimensyon ng subspace ay katumbas ng bilang ng mga vector sa pangunahing hanay ng mga solusyon ng system.

Isang grupo ng M karaniwang mga solusyon sa system m linear equation na may n Ang unknown ay isa ring subset ng set R n at katumbas ng kabuuan ng set M 0 at vector A, Saan A ay ilang partikular na solusyon ng orihinal na sistema, at ang set M Ang 0 ay ang hanay ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation na kasama ng sistemang ito (ito ay naiiba sa orihinal na sistema lamang sa mga libreng termino),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Ibig sabihin marami M ay isang linear manifold ng espasyo R n may shift vector A at direksyon M 0 .

Halimbawa 8.6. Hanapin ang batayan at dimensyon ng isang subspace na ibinigay ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation:

Solusyon. Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito at ang pangunahing hanay ng mga solusyon nito: Sa 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Sa 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Sa 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Ang batayan ng subspace ay nabuo ng mga vectors Sa 1 , Sa 2 , Sa 3, ang sukat nito ay tatlo.

Pagtatapos ng trabaho -

Ang paksang ito ay kabilang sa:

Linear algebra

Kostroma State University na pinangalanang N.A. Nekrasov.

Kung kailangan mo ng karagdagang materyal sa paksang ito, o hindi mo nakita ang iyong hinahanap, inirerekumenda namin ang paggamit ng paghahanap sa aming database ng mga gawa:

Ano ang gagawin natin sa natanggap na materyal:

Kung ang materyal na ito ay naging kapaki-pakinabang para sa iyo, maaari mo itong i-save sa iyong pahina sa mga social network:

tweet

Lahat ng mga paksa sa seksyong ito:

BBK 22.174ya73-5
M350 Inilimbag sa pamamagitan ng desisyon ng editoryal at publishing council ng KSU. N. A. Nekrasova Tagasuri A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013

Unyon (o kabuuan)
Depinisyon 1.9 Ang pagsasama ng set A at B ay ang set A È B, na binubuo ng mga at tanging mga elementong kabilang sa bagaman

Intersection (o produkto)
Kahulugan 1.10. Ang intersection ng set A at B ay ang set A Ç B, na binubuo ng mga iyon at tanging mga elementong kabilang sa pareho.

Pagkakaiba
Depinisyon 1.11 Ang pagkakaiba ng set A at B ay ang set A B, na binubuo ng mga at tanging mga elementong kabilang sa set A

Produktong Cartesian (o direktang produkto)
Kahulugan 1.14. Ang nakaayos na pares (o pares) (a, b) ay dalawang elemento a, b kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga pares (a1

Mga katangian ng mga set na operasyon
Ang mga katangian ng unyon, intersection, at complement operations ay tinatawag na mga batas ng set algebra. Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng mga operasyon sa mga set. Hayaan ang isang unibersal na set U

Paraan ng mathematical induction
Ang paraan ng mathematical induction ay ginagamit upang patunayan ang mga pahayag kung saan ang natural na parameter n ay kasangkot. Ang paraan ng mathematical induction - ang paraan ng pagpapatunay ng matematika

Mga kumplikadong numero
Ang konsepto ng numero ay isa sa mga pangunahing tagumpay ng kultura ng tao. Una, lumitaw ang mga natural na numero N = (1, 2, 3, …, n, …), pagkatapos ay integers Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rational Q

Geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero
Ito ay kilala na ang mga negatibong numero ay ipinakilala na may kaugnayan sa solusyon ng mga linear equation na may isang variable. Sa mga partikular na problema, ang isang negatibong sagot ay binibigyang kahulugan bilang ang halaga ng itinuro na dami (

Trigonometric form ng isang kumplikadong numero
Ang isang vector ay maaaring tukuyin hindi lamang sa pamamagitan ng mga coordinate sa isang rectangular coordinate system, kundi pati na rin sa haba at

Mga operasyon sa kumplikadong mga numero sa trigonometric form
Ito ay mas maginhawa upang magsagawa ng pagdaragdag at pagbabawas sa mga kumplikadong numero sa algebraic form, at multiplikasyon at paghahati sa trigonometric form. 1. Pagpaparami.Hayaan ang dalawang k

Exponentiation
Kung z = r(cosj + i×sinj), pagkatapos ay zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), kung saan n Î

Ang exponential form ng isang complex number
Ito ay kilala mula sa mathematical analysis na ang e = , e ay isang hindi makatwirang numero. Eile

Konsepto ng relasyon
Kahulugan 2.1. Ang n-ary (o n-ary) na ugnayang P sa set A1, A2, …, An ay anumang subset

Mga Katangian ng Binary Relations
Hayaang ibigay ang binary relation P sa isang di-bakanteng set A, ibig sabihin, P Í A2. Depinisyon 2.9 Binary relation P sa isang set

Relasyon ng equivalence
Kahulugan 2.15. Ang binary relation sa set A ay tinatawag na equivalence relation kung ito ay reflexive, simetriko, at transitive. Katumbas na ratio

Mga pag-andar
Depinisyon 2.20 Ang binary relation ƒ н A ´ B ay tinatawag na function mula sa set A hanggang set B kung para sa alinmang x

Pangkalahatang konsepto
Kahulugan 3.1. Ang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero na naglalaman ng m row at n column. Ang mga numerong m at n ay tinatawag na pagkakasunud-sunod (o

Pagdaragdag ng mga Matrice ng Parehong Uri
Maaari ka lamang magdagdag ng mga matrice ng parehong uri. Kahulugan 3.12. Ang kabuuan ng dalawang matrice A = (aij) at B = (bij), kung saan i = 1,

Mga katangian ng pagdaragdag ng matrix
1) commutativity: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) associativity:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Pagpaparami ng Matrix sa Numero
Kahulugan 3.13. Ang produkto ng matrix A = (aij) at ang tunay na bilang k ay ang matrix C = (сij) kung saan

Mga katangian ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Pagpaparami ng matris
Tinutukoy namin ang pagpaparami ng dalawang matrice; Upang gawin ito, kailangan nating ipakilala ang ilang karagdagang mga konsepto. Kahulugan 3.14. Ang mga matrice A at B ay tinatawag na pare-pareho

Mga katangian ng pagpaparami ng matrix
1) Ang matrix multiplication ay hindi commutative: A×B ≠ B×A. Ang pag-aari na ito ay maaaring ipakita sa mga halimbawa. Halimbawa 3.6. A)

Transposisyon ng matrix
Kahulugan 3.16. Ang matrix Аt, na nakuha mula sa ibinigay sa pamamagitan ng pagpapalit sa bawat isa sa mga hilera nito ng isang column na may parehong numero, ay tinatawag na transposed sa ibinigay na matrix A

Mga determinant ng matrice ng pangalawa at pangatlong order
Ang bawat square matrix A ng order n ay itinalaga ng isang numero, na tinatawag na determinant ng matrix na ito. Pagtatalaga: D, |A|, det A,

Kahulugan 4.6.
1. Para sa n = 1, ang matrix A ay binubuo ng isang numero: |A| = a11. 2. Hayaang malaman ang determinant para sa isang matrix ng order (n – 1). 3. Tukuyin

Mga Katangian ng Kwalipikasyon
Upang makalkula ang mga determinant ng mga order na higit sa 3, ang mga katangian ng mga determinant at Laplace's theorem ay ginagamit. Theorem 4.1 (Laplace). Determinant ng isang square matrix

Praktikal na pagkalkula ng mga determinant
Ang isang paraan upang kalkulahin ang mga determinant ng isang order sa itaas ng tatlo ay upang palawakin ito sa ilang column o row. Halimbawa 4.4 Kalkulahin ang determinant D =

Ang konsepto ng ranggo ng matrix
Hayaan ang A ay isang m ´ n matrix. Pinipili namin ang mga k row at k column sa matrix na ito, kung saan 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Paghahanap ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad
Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix ay ang enumeration ng mga menor de edad. Ang pamamaraang ito ay batay sa pagtukoy sa ranggo ng matrix. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang mga sumusunod. Kung mayroong kahit isang elemento

Paghahanap ng ranggo ng isang matrix gamit ang elementarya na pagbabago
Isaalang-alang ang isa pang paraan upang mahanap ang ranggo ng isang matrix. Kahulugan 5.4. Ang mga sumusunod na pagbabago ay tinatawag na elementary matrix transformations: 1. multiply

Ang konsepto ng isang inverse matrix at kung paano ito mahahanap
Hayaang magbigay ng square matrix A. Depinisyon 5.7. Ang matrix A–1 ay tinatawag na kabaligtaran ng matrix A kung A×A–1

Algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix
Isaalang-alang ang isa sa mga paraan upang mahanap ang kabaligtaran ng isang ibinigay na matrix sa tulong ng mga algebraic na pagdaragdag. Hayaang magbigay ng square matrix A. 1. Hanapin ang determinant ng matrix |A|. EU

Paghahanap ng inverse matrix gamit ang elementary transformations
Isaalang-alang ang isa pang paraan upang mahanap ang inverse matrix gamit ang elementarya na pagbabago. Bumuo tayo ng mga kinakailangang konsepto at teorema. Kahulugan 5.11. Pangalan ng Matrix B

Paraan ng Cramer
Isaalang-alang ang isang sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, iyon ay, m = n at ang sistema ay mukhang:

Inverse matrix na pamamaraan
Ang inverse matrix method ay naaangkop sa mga sistema ng linear equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam at ang determinant ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng zero. Sistema ng notasyon ng matrix

Pamamaraan ng Gauss
Upang ilarawan ang pamamaraang ito, na angkop para sa paglutas ng mga arbitraryong sistema ng mga linear na equation, kailangan ang ilang mga bagong konsepto. Kahulugan 6.7. 0× equation

Paglalarawan ng pamamaraang Gauss
Ang Gauss method - ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam - ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng elementarya na pagbabago, ang orihinal na sistema ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng stepwise o t

Pag-aaral ng isang sistema ng mga linear equation
Upang siyasatin ang isang sistema ng mga linear na equation ay nangangahulugan, nang hindi nilulutas ang sistema, upang sagutin ang tanong: pare-pareho ba ang sistema o hindi, at kung gayon, gaano karaming mga solusyon ang mayroon ito? Tumugon dito sa

Mga homogenous na sistema ng mga linear equation
Depinisyon 6.11 Ang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang mga free terms nito ay katumbas ng zero. Homogeneous na sistema ng m linear equation

Mga Katangian ng Mga Solusyon sa Isang Homogeneous System ng Linear Equation
1. Kung ang vector а = (a1, a2, …, an) ay isang solusyon ng isang homogenous system, kung gayon ang vector k×а = (k×a1, k&t

Pangunahing hanay ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation
Hayaang ang M0 ay ang hanay ng mga solusyon ng homogenous na sistema (4) ng mga linear na equation. Kahulugan 6.12 Mga Vector c1, c2, ..., c

Linear dependence at pagsasarili ng isang sistema ng mga vectors
Hayaang ang a1, a2, …, ay isang set ng m piraso ng n-dimensional na mga vector, na karaniwang tinutukoy bilang isang sistema ng mga vector, at k1

Mga katangian ng isang linear dependence ng isang sistema ng mga vectors
1) Ang sistema ng mga vector na naglalaman ng zero vector ay linearly dependent. 2) Ang isang sistema ng mga vector ay linearly dependent kung alinman sa mga subsystem nito ay linearly dependent. Bunga. Kung si

Unit vector system
Kahulugan 7.13. Ang sistema ng mga unit vector sa space Rn ay isang sistema ng mga vectors e1, e2, …, en

Dalawang linear dependence theorems
Teorama 7.1. Kung ang isang mas malaking sistema ng mga vector ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng isang mas maliit, pagkatapos ay ang mas malaking sistema ay linearly umaasa. Let us formulate this theorem in more detail: let a1

Batayan at ranggo ng isang sistema ng mga vectors
Hayaang ang S ay isang sistema ng mga vector sa espasyo Rn; maaari itong maging may hangganan o walang katapusan. S" ay isang subsystem ng system S, S" Ì S. Magbigay tayo ng dalawa

Ranggo ng sistema ng vector
Magbigay tayo ng dalawang katumbas na kahulugan ng ranggo ng isang sistema ng mga vector. Kahulugan 7.16. Ang ranggo ng isang sistema ng mga vector ay ang bilang ng mga vector sa anumang batayan ng sistemang ito.

Praktikal na paghahanap ng ranggo at batayan ng isang sistema ng mga vectors
Mula sa ibinigay na sistema ng mga vector, bumubuo kami ng isang matrix sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga vector bilang mga hilera ng matrix na ito. Dinadala namin ang matrix sa isang stepped form gamit ang mga elementary transformation sa mga row ng matrix na ito. Sa

Kahulugan ng isang vector space sa isang arbitrary field
Hayaan ang P na maging isang arbitrary field. Ang mga halimbawa ng mga field na kilala sa amin ay ang field ng rational, real, complex na mga numero. Kahulugan 8.1. Ang set V ay tinawag

Ang pinakasimpleng katangian ng mga vector space
Ang 1) o ay isang zero vector (elemento), na natatanging tinukoy sa isang arbitrary na espasyo ng vector sa ibabaw ng field. 2) Para sa anumang vector a О V, mayroong isang kakaiba

Mga subspace. Mga linear na manifold
Hayaan ang V na isang vector space, L Ì V (L ay ​​isang subset ng V). Kahulugan 8.2. Subset L ng vector pro

Intersection at kabuuan ng mga subspace
Hayaang ang V ay isang vector space sa ibabaw ng isang field na P, L1 at L2 ang mga subspace nito. Kahulugan 8.3. Intersection subquery

Mga linear na manifold
Hayaan ang V na isang vector space, L isang subspace, at ang isang ay isang arbitrary vector mula sa space V. Definition 8.6. Sa pamamagitan ng isang linear manifold

May hangganan-dimensional na mga puwang ng vector
Depinisyon 8.7 Ang vector space V ay tinatawag na n-dimensional kung naglalaman ito ng linearly independent system ng mga vectors na binubuo ng n vectors, at para sa

Batayan ng isang finite-dimensional na vector space
Ang V ay isang finite-dimensional vector space sa ibabaw ng field P, S ay isang sistema ng mga vectors (finite o infinite). Kahulugan 8.10. Ang batayan ng sistema S

Vector coordinates na may kaugnayan sa ibinigay na batayan
Isaalang-alang ang isang finite-dimensional na vector space V ng dimensyon n, ang mga vectors na e1, e2, …, ay bumubuo sa batayan nito. Hayaan ang isang maging prod

Vector coordinate sa iba't ibang mga base
Hayaang ang V ay isang n-dimensional na vector space kung saan binibigyan ang dalawang base: e1, e2, ..., en ay ang lumang batayan, e "1, e

Euclidean vector space
Binigyan ng vector space V sa larangan ng mga tunay na numero. Ang puwang na ito ay maaaring alinman sa isang may hangganang dimensyon na vector space ng dimensyon n o walang katapusan na dimensyon.

Dot product sa mga coordinate
Sa isang n-dimensional na Euclidean vector space V, isang batayang e1, e2, …, en ang ibinigay. Vectors x at y decomposed into vectors

Mga konsepto ng panukat
Sa Euclidean vector spaces, ang isa ay maaaring pumasa mula sa ipinakilalang scalar product sa mga konsepto ng norm ng isang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga vector. Kahulugan 8.16. Norma (

Mga Katangian ng Norm
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, dahil ||la|| =

Orthonormal na batayan ng isang Euclidean vector space
Kahulugan 8.21. Ang isang batayan ng isang Euclidean vector space ay tinatawag na orthogonal kung ang mga vector ng batayan ay pairwise orthogonal, iyon ay, kung a1, a

Proseso ng orthogonalization
Teorama 8.12. Ang bawat n-dimensional na Euclidean space ay may orthonormal na batayan. Patunay. Hayaan ang a1, a2

Dot produkto sa orthonormal na batayan
Ang orthonormal na batayan e1, e2, …, en ng Euclidean space V ay ibinigay. Dahil (ei, ej) = 0 para sa i

Orthogonal subspace complement
Ang V ay isang Euclidean vector space, L ang subspace nito. Kahulugan 8.23. Ang isang vector a ay sinasabing orthogonal sa isang subspace L kung ang vector

Relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng isang vector at ng mga coordinate ng imahe nito
Ang linear operator j ay ibinibigay sa puwang V, at ang matrix nito na M(j) ay matatagpuan sa ilang batayan e1, e2, …, en. Hayaan itong maging batayan

Mga katulad na matrice
Isaalang-alang natin ang set Pn´n ng square matrices ng order n na may mga elemento mula sa isang arbitrary field P. Ipinakilala namin sa set na ito ang relative

Mga katangian ng kaugnayan ng pagkakatulad ng matrix
1. Reflexivity. Anumang matrix ay katulad ng sarili nito, i.e. A ~ A. 2. Symmetry. Kung ang matrix A ay katulad ng B, kung gayon ang B ay katulad ng A, i.e.

Mga katangian ng eigenvectors
1. Ang bawat eigenvector ay nabibilang lamang sa isang eigenvalue. Patunay. Hayaang ang x ay isang eigenvector na may dalawang eigenvalues

Katangiang polynomial ng isang matrix
Binigyan ng matrix na A Î Pn´n (o A Î Rn´n). Tukuyin

Mga kondisyon kung saan ang isang matrix ay katulad ng isang diagonal na matrix
Hayaang maging square matrix ang A. Maaari nating ipagpalagay na ito ang matrix ng ilang linear operator na ibinigay sa ilang batayan. Ito ay kilala na sa ibang batayan ang matrix ng linear operator

Normal na anyo ng Jordan
Kahulugan 10.5. Ang Jordan cell ng order k na nauugnay sa numerong l0 ay isang matrix ng order k, 1 ≤ k ≤ n,

Pagbawas ng isang matrix sa Jordan (normal) na anyo
Teorama 10.3. Ang normal na anyo ng Jordan ay natatanging tinukoy para sa isang matrix hanggang sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga selula ng Jordan ay matatagpuan sa pangunahing dayagonal. atbp

Bilinear Forms
Kahulugan 11.1. Ang bilinear form ay isang function (mapping) f: V ´ V ® R (o C), kung saan ang V ay isang arbitrary vector n

Mga Katangian ng Bilinear Forms
Anumang bilinear form ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng simetriko skew-symmetric form. Gamit ang napiling batayan e1, e2, …, en sa vector

Pagbabago ng isang matrix ng bilinear form kapag pumasa sa isang bagong batayan. Ranggo ng bilinear form
Hayaan ang dalawang base e = (e1, e2, …, en) at f = (f1, f2,

Quadratic na mga anyo
Hayaang ang A(x, y) ay isang simetriko bilinear form na tinukoy sa isang vector space V. Depinisyon 11.6. Sa pamamagitan ng isang parisukat na anyo

Pagbawas ng isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo
Ibinigay ang isang parisukat na anyo (2) A(x, x) = , kung saan x = (x1

Batas ng inertia ng mga parisukat na anyo
Ito ay itinatag na ang bilang ng mga non-zero canonical coefficients ng isang parisukat na anyo ay katumbas ng ranggo nito at hindi nakadepende sa pagpili ng isang di-degenerate na pagbabagong-anyo kung saan ang anyo A(x

Kailangan at sapat na kundisyon para maging sign-definite ang isang quadratic form
Pahayag 11.1. Upang maging sign-definite ang quadratic form na A(x, x) na ibinigay sa n-dimensional vector space V, kinakailangan

Isang Kinakailangan at Sapat na Kondisyon para sa Quasi-Changing Quadratic Forms
Pahayag 11.3. Upang ang quadratic form na A(x, x) na tinukoy sa n-dimensional vector space V ay maging quasi-alternating (iyon ay,

Ang criterion ni Sylvester para sa sign-definiteness ng isang quadratic form
Hayaang ang anyo A(x, x) sa batayan e = (e1, e2, …, en) ay tukuyin ng matrix A(e) = (aij)

Konklusyon
Ang Linear Algebra ay isang mandatoryong bahagi ng anumang advanced na programa sa matematika. Ang anumang iba pang seksyon ay ipinapalagay ang pagkakaroon ng kaalaman, kasanayan at kakayahan na inilatag sa panahon ng pagtuturo ng disiplinang ito.

Listahan ng bibliograpiya
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Linear algebra na may mga elemento ng analytic geometry. - M .: Publishing House ng Higher School of Economics, 2007. Beklemishev D.V. Kurso ng Analytic Geometry at Linear Algebra.

Linear algebra
Teaching aid Editor at proofreader G. D. Neganova Computer typesetting ni T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Ang linear space V ay tinatawag n-dimensional, kung naglalaman ito ng sistema ng n linearly independent vectors, at anumang sistema ng mas maraming vectors ay linearly dependent. Tinatawag ang numero n dimensyon (bilang ng mga sukat) linear space V at ay denoted \operatorname(dim)V. Sa madaling salita, ang dimensyon ng isang espasyo ay ang maximum na bilang ng mga linearly independent na vector sa espasyong iyon. Kung mayroong ganoong numero, ang espasyo ay sinasabing may hangganan-dimensional. Kung para sa anumang natural na numero n sa espasyo V mayroong isang sistema na binubuo ng n linearly independent vectors, kung gayon ang nasabing espasyo ay tinatawag na infinite-dimensional (sinulat nila: \operatorname(dim)V=\infty). Sa mga sumusunod, maliban kung iba ang nakasaad, isasaalang-alang ang mga finite-dimensional na espasyo.

Batayan Ang n-dimensional linear space ay isang ordered set ng n linearly independent vectors ( mga batayan ng vector).

Theorem 8.1 sa pagpapalawak ng isang vector sa mga tuntunin ng isang batayan. Kung ay isang batayan ng isang n-dimensional na linear space V , kung gayon ang anumang vector \mathbf(v)\in V ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector:

\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n

at, bukod dito, sa isang natatanging paraan, i.e. posibilidad \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n ay tinukoy nang hindi malabo. Sa madaling salita, ang anumang space vector ay maaaring mapalawak sa isang batayan at, bukod dito, sa isang natatanging paraan.

Sa katunayan, ang dimensyon ng espasyo V ay katumbas ng n . Sistema ng vector \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n linearly independent (ito ang batayan). Pagkatapos magdagdag ng anumang vector \mathbf(v) sa batayan, nakakakuha kami ng linearly dependent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(dahil ang sistemang ito ay binubuo ng (n + 1) mga vector ng n-dimensional na espasyo). Sa pamamagitan ng pag-aari ng 7 linearly dependent at linearly independent vectors, nakuha namin ang konklusyon ng theorem.

Bunga 1. Kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ay isang batayan ng espasyo V , kung gayon V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), ibig sabihin. ang linear space ay ang linear span ng mga batayang vector.

Sa katunayan, upang patunayan ang pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dalawang set, ito ay sapat na upang ipakita na ang mga inklusyon V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) at sabay-sabay na isinasakatuparan. Sa katunayan, sa isang banda, ang anumang linear na kumbinasyon ng mga vector sa isang linear space ay kabilang sa linear space mismo, i.e. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Sa kabilang banda, sa pamamagitan ng Theorem 8.1 anumang space vector ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector, i.e. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga isinasaalang-alang na hanay.

Bunga 2. Kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ay isang linearly independent system ng mga vector sa linear space V at anumang vector \mathbf(v)\in V ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, pagkatapos ay ang espasyo V ay may sukat n , at ang sistema \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n ang batayan nito.

Sa katunayan, sa espasyo V mayroong isang sistema ng n linearly independent vectors, at anumang sistema \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n ng higit pang mga vectors (k>n) ay linearly dependent, dahil ang bawat vector mula sa system na ito ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vectors \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Ibig sabihin, \operatorname(dim) V=n At \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- batayan V .

Theorem 8.2 sa pagkumpleto ng isang sistema ng mga vectors sa isang batayan. Anumang linearly independent system ng k vectors sa isang n-dimensional linear space (1\leqslant k

Sa katunayan, maging isang linearly independent system ng mga vectors sa isang n-dimensional na espasyo V~(1\leqslant k . Isaalang-alang ang linear span ng mga vector na ito: L_k=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k). Anumang vector \mathbf(v)\sa L_k mga form na may mga vector \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k linearly dependent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(v), dahil ang vector \mathbf(v) ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba. Dahil mayroong n linearly independent vectors sa isang n-dimensional space, pagkatapos ay L_k\ne V at mayroong isang vector \mathbf(e)_(k+1)\sa V, na hindi pag-aari ni L_k . Pagpupuno sa vector na ito ang linearly independent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga vector \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1), na linearly independent din. Sa katunayan, kung ito ay naging linearly dependent, pagkatapos ay susundan ito mula sa item 1 ng Remarks 8.3 na \mathbf(e)_(k+1)\in \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k)=L_k, na sumasalungat sa kondisyon \mathbf(e)_(k+1)\notin L_k. Kaya, ang sistema ng mga vectors \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1) linearly independent. Nangangahulugan ito na ang orihinal na sistema ng mga vector ay dinagdagan ng isang vector nang walang paglabag sa linear na kalayaan. Nagpapatuloy kami pareho. Isaalang-alang ang linear span ng mga vector na ito: L_(k+1)=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)). Kung L_(k+1)=V , kung gayon \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)- napatunayan ang batayan at teorama. Kung L_(k+1)\ne V , pagkatapos ay kumpletuhin namin ang system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1) vector \mathbf(e)_(k+2)\notin L_(k+1) atbp. Ang proseso ng pagkumpleto ay tiyak na magtatapos, dahil ang espasyo V ay may hangganan-dimensional. Bilang resulta, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay V=L_n=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n), kung saan sinusundan iyon \mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n ay ang batayan ng espasyo V . Ang teorama ay napatunayan.

Pangungusap 8.4

1. Ang batayan ng isang linear na espasyo ay tinukoy nang hindi tiyak. Halimbawa, kung \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n ay ang batayan ng espasyo V , pagkatapos ay ang sistema ng mga vectors \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n para sa anumang \lambda\ne0 ay isa ring batayan ng V . Ang bilang ng mga batayang vector sa iba't ibang mga base ng parehong may hangganan-dimensional na espasyo ay, siyempre, pareho, dahil ang numerong ito ay katumbas ng sukat ng espasyo.

2. Sa ilang mga puwang, madalas na nakatagpo sa mga application, ang isa sa mga posibleng base, ang pinaka-maginhawa mula sa isang praktikal na punto ng view, ay tinatawag na standard.

3. Ang Theorem 8.1 ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang isang batayan ay isang kumpletong sistema ng mga elemento ng isang linear na espasyo, sa kahulugan na ang anumang space vector ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga batayang vector.

4. Kung ang hanay na \mathbb(L) ay isang linear span \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), pagkatapos ay ang mga vectors \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k ay tinatawag na mga generator ng set \mathbb(L) . Corollary 1 ng Theorem 8.1, sa bisa ng pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang batayan ay minimal na sistema ng pagbuo linear space V , dahil imposibleng bawasan ang bilang ng mga generator (alisin ang hindi bababa sa isang vector mula sa set \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nang hindi nilalabag ang pagkakapantay-pantay V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).

5. Ang Theorem 8.2 ay nagpapahintulot sa atin na sabihin na ang batayan ay maximum na linearly independent system ng mga vectors linear space, dahil ang batayan ay isang linearly independent system ng mga vectors, at hindi ito maaaring dagdagan ng anumang vector nang hindi nawawala ang linear independence.

6. Maginhawang gamitin ang Corollary 2 ng Theorem 8.1 upang mahanap ang batayan at sukat ng isang linear space. Sa ilang mga aklat-aralin, ito ay kinuha upang tukuyin ang batayan, katulad: linearly independent system \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n Ang mga vector ng isang linear space ay tinatawag na isang batayan kung ang anumang vector ng espasyo ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga vectors \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Tinutukoy ng bilang ng mga batayang vector ang dimensyon ng espasyo. Siyempre, ang mga kahulugang ito ay katumbas ng mga ibinigay sa itaas.

Mga halimbawa ng mga base para sa mga linear na espasyo

Ipinapahiwatig namin ang dimensyon at batayan para sa mga halimbawa ng mga linear na espasyo na isinasaalang-alang sa itaas.

1. Ang zero linear space \(\mathbf(o)\) ay hindi naglalaman ng mga linearly independent vectors. Samakatuwid, ang dimensyon ng puwang na ito ay ipinapalagay na zero: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Walang basehan ang espasyong ito.

2. Ang mga puwang na V_1,\,V_2,\,V_3 ay may mga sukat na 1, 2, 3 ayon sa pagkakabanggit. Sa katunayan, anumang non-zero vector ng space V_1 , ay bumubuo ng isang linearly independent system (tingnan ang item 1. ng Remarks 8.2), at anumang dalawang non-zero vector ng space V_1 ay collinear, i.e. ay linearly dependent (tingnan ang Halimbawa 8.1). Samakatuwid, \dim(V_1)=1 , at ang batayan ng espasyo V_1 ay anumang non-zero vector. Katulad nito, pinatutunayan namin na \dim(V_2)=2 at \dim(V_3)=3 . Ang batayan ng espasyo V_2 ay anumang dalawang di-collinear na vector na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod (isa sa mga ito ay itinuturing na unang batayan ng vector, ang isa - ang pangalawa). Ang batayan ng espasyo V_3 ay anumang tatlong di-coplanar (hindi nakahiga sa pareho o parallel na eroplano) na mga vector, na kinuha sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang karaniwang batayan sa V_1 ay ang unit vector \vec(i) sa linya. Ang karaniwang batayan sa V_2 ay ang batayan \vec(i),\,\vec(j), na binubuo ng dalawang magkaparehong patayo na unit vectors ng eroplano. Ang karaniwang batayan sa espasyo V_3 ay ang batayan \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), na binubuo ng tatlong unit pairwise perpendicular vectors na bumubuo ng tamang triple.

3. Ang espasyo \mathbb(R)^n ay naglalaman ng hindi hihigit sa n mga linearly independent vectors. Sa katunayan, kumuha tayo ng mga k column mula sa \mathbb(R)^n at gumawa ng matrix ng mga laki n\beses k mula sa kanila. Kung k>n , kung gayon ang mga column ay linearly na umaasa ng Theorem 3.4 sa ranggo ng isang matrix. Kaya naman, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Sa espasyo \mathbb(R)^n hindi mahirap hanapin ang n linearly independent columns. Halimbawa, ang mga column ng identity matrix

\mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !.

ay linearly independent. Kaya naman, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Tinatawag ang puwang na \mathbb(R)^n n-dimensional real arithmetic space. Ang tinukoy na hanay ng mga vector ay itinuturing na karaniwang batayan ng espasyo \mathbb(R)^n . Katulad nito, ito ay pinatunayan na \dim(\mathbb(C)^n)=n, kaya ang puwang na \mathbb(C)^n ay tinatawag n-dimensional complex arithmetic space.

4. Alalahanin na ang anumang solusyon ng homogenous system na Ax=o ay maaaring ilarawan bilang x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Saan r=\operatorname(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- pangunahing sistema ng pagpapasya. Kaya naman, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), ibig sabihin. ang batayan ng espasyo \(Ax=0\) ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay ang pangunahing sistema ng mga solusyon nito, at ang dimensyon ng espasyo ay \dim\(Ax=o\)=n-r , kung saan ang n ay ang bilang ng hindi alam, at ang r ay ang ranggo ng system matrix.

5. Sa espasyo M_(2\times3) ng mga matrice na may sukat na 2\times3, 6 na matrice ang maaaring piliin:

\begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered)

na linearly independent. Sa katunayan, ang kanilang linear na kumbinasyon

\alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix)

ay katumbas ng zero matrix lamang sa maliit na kaso \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Ang pagbabasa ng pagkakapantay-pantay (8.5) mula kanan pakaliwa, napagpasyahan namin na ang anumang matrix mula sa M_(2\times3) ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng napiling 6 na matrice, i.e. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Kaya naman, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, at mga matrice \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 ay ang (standard) na batayan ng espasyong ito. Katulad nito, ito ay pinatunayan na \dim(M_(m\beses n))=m\cdot n.

6. Para sa anumang natural na bilang n sa espasyo P(\mathbb(C)) ng mga polynomial na may kumplikadong coefficients, makakahanap ng n linearly independent na mga elemento. Halimbawa, ang mga polynomial na \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) ay linearly independent, dahil ang kanilang linear na kumbinasyon

a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1)

ay katumbas ng zero polynomial (o(z)\equiv0) lamang sa trivial case a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Dahil ang sistemang ito ng polynomials ay linearly independent para sa anumang natural na n, ang space P(\mathbb(C)) ay infinite-dimensional. Katulad nito, napagpasyahan namin na ang espasyo P(\mathbb(R)) ng mga polynomial na may tunay na coefficient ay may walang katapusang sukat. Ang puwang na P_n(\mathbb(R)) ng mga polynomial ng degree na hindi hihigit sa n ay may hangganan-dimensional. Sa katunayan, ang mga vectors \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n bumuo ng isang (standard) na batayan para sa puwang na ito, dahil ang mga ito ay linearly independent at anumang polynomial sa P_n(\mathbb(R)) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors na ito:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1). Kaya naman, \dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1.

7. Ang espasyo C(\mathbb(R)) ng mga tuluy-tuloy na function ay infinite-dimensional. Sa katunayan, para sa anumang natural n ang polynomials 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), isinasaalang-alang bilang tuluy-tuloy na mga function, bumubuo ng mga linearly independent system (tingnan ang nakaraang halimbawa).

Sa kalawakan T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometric binomials (frequencies \omega\ne0 ) na may real basis coefficients ay bumubuo ng mga monomial \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Ang mga ito ay linearly independyente, dahil ang pagkakapantay-pantay ng pagkakakilanlan a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 posible lamang sa maliit na kaso (a=b=0) . Anumang function ng form f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pangunahing: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).

8. Ang espasyo \mathbb(R)^X ng mga tunay na function na tinukoy sa set X , depende sa domain ng X, ay maaaring may hangganan-dimensional o walang-katapusang-dimensional. Kung ang X ay isang finite set, ang space \mathbb(R)^X ay finite-dimensional (halimbawa, X=\(1,2,\ldots,n\)). Kung ang X ay isang infinite set, ang space \mathbb(R)^X ay infinite-dimensional (halimbawa, ang space \mathbb(R)^N ng mga sequence).

9. Sa puwang \mathbb(R)^(+) anumang positibong numero \mathbf(e)_1 na hindi katumbas ng 1 ay maaaring magsilbing batayan. Kunin, halimbawa, ang numerong \mathbf(e)_1=2 . Ang anumang positibong numero r ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng \mathbf(e)_1 , i.e. naroroon sa anyo \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, kung saan \alpha_1=\log_2r . Samakatuwid, ang dimensyon ng puwang na ito ay 1, at ang bilang na \mathbf(e)_1=2 ay isang batayan.

10. Hayaan \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ay isang batayan ng tunay na linear space V . Tinutukoy namin ang mga linear scalar function sa V sa pamamagitan ng pagtatakda:

\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)

Kasabay nito, dahil sa linearity ng function \mathcal(E)_i , para sa isang arbitrary vector na nakukuha namin \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.

Kaya, ang n elemento (covectors) ay tinukoy \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n dalawahang espasyo V^(\ast) . Patunayan natin yan \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- batayan V^(\ast) .

Una, ipinapakita namin na ang sistema \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n linearly independent. Sa katunayan, kumuha ng linear na kumbinasyon ng mga covector na ito (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= at itumbas ito sa zero function

\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\sa V.

Pagpapalit sa pagkakapantay-pantay na ito \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, nakukuha namin \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Samakatuwid, ang sistema ng mga elemento \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n space V^(\ast) ay linearly independent, dahil ang pagkakapantay-pantay \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) posible lamang sa maliit na kaso.

Pangalawa, pinatutunayan namin na ang anumang linear function f\in V^(\ast) ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga covector. \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Sa katunayan, para sa anumang vector \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n dahil sa linearity ng function f, nakuha namin ang:

\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)

mga. ang function na f ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n mga function \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(numero \beta_i=f(\mathbf(e)_i) ay ang mga coefficient ng linear na kumbinasyon). Samakatuwid, ang sistema ng mga covectors \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n ay isang batayan ng dalawahang espasyo V^(\ast) at \dim(V^(\ast))=\dim(V)(para sa isang may hangganan-dimensional na espasyo V ).

Kung may napansin kang error, typo o may mga mungkahi, sumulat sa mga komento.