Matrix determinant

Ang paghahanap ng determinant ng isang matrix ay isang pangkaraniwang problema sa mas mataas na matematika at algebra. Bilang isang patakaran, hindi magagawa ng isa nang walang halaga ng determinant ng matrix kapag nilulutas ang mga kumplikadong sistema ng mga equation. Ang paraan ng Cramer para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay binuo sa pagkalkula ng matrix determinant. Gamit ang kahulugan ng isang determinate, ang pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon ng mga sistema ng mga equation ay tinutukoy. Samakatuwid, mahirap na labis na timbangin ang kahalagahan ng kakayahang tama at tumpak na mahanap ang determinant ng isang matrix sa matematika. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga determinant ay theoretically medyo simple, ngunit habang ang laki ng matrix ay tumataas, ang mga kalkulasyon ay nagiging napakahirap at nangangailangan ng mahusay na pangangalaga at maraming oras. Napakadaling gumawa ng isang maliit na pagkakamali o typo sa ganitong kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, na hahantong sa isang error sa huling sagot. Samakatuwid, kahit na mahanap mo determinant ng matrix nang nakapag-iisa, mahalagang suriin ang resulta. Nagbibigay-daan ito sa amin na gawin ang aming serbisyong Paghahanap ng determinant ng isang matrix online. Ang aming serbisyo ay palaging nagbibigay ng ganap na tumpak na resulta na hindi naglalaman ng anumang mga error o typo. Maaari mong tanggihan ang mga independiyenteng kalkulasyon, dahil mula sa inilapat na punto ng view, paghahanap determinant ng matrix ay walang karakter sa pagtuturo, ngunit nangangailangan lamang ng maraming oras at mga kalkulasyon ng numero. Samakatuwid, kung sa iyong gawain pagpapasiya ng matrix determinant ay auxiliary, side kalkulasyon, gamitin ang aming serbisyo at maghanap ng matrix determinant online!

Ang lahat ng mga kalkulasyon ay awtomatikong isinasagawa na may pinakamataas na katumpakan at ganap na libre. Mayroon kaming isang napaka-maginhawang interface para sa pagpasok ng mga elemento ng matrix. Ngunit ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng aming serbisyo at mga katulad ay ang posibilidad na makakuha ng isang detalyadong solusyon. Ang aming serbisyo sa pagkalkula ng matrix determinant online palaging gumagamit ng pinakasimple at pinakamaikling paraan at inilalarawan nang detalyado ang bawat hakbang ng mga pagbabago at pagpapasimple. Kaya nakukuha mo hindi lamang ang halaga ng determinant ng matrix, ang huling resulta, ngunit ang buong detalyadong solusyon.

Ang konsepto ng isang determinant ay isa sa mga pangunahing sa kurso ng linear algebra. Ang konseptong ito ay likas sa MGA SQUARE MATRIX LAMANG, at ang artikulong ito ay nakatuon sa konseptong ito. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga determinant ng mga matrice na ang mga elemento ay tunay (o kumplikado) na mga numero. Sa kasong ito, ang determinant ay isang tunay (o kumplikado) na numero. Ang lahat ng karagdagang pagtatanghal ay magiging isang sagot sa mga tanong kung paano kalkulahin ang determinant, at kung anong mga katangian ang mayroon ito.

Una, binibigyan namin ang kahulugan ng determinant ng isang parisukat na matrix ng pagkakasunud-sunod n sa n bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga permutasyon ng mga elemento ng matrix. Batay sa kahulugan na ito, nagsusulat kami ng mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng mga matrice ng una, pangalawa, at pangatlong mga order at pag-aralan nang detalyado ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Susunod, bumaling tayo sa mga katangian ng determinant, na bubuuin natin sa anyo ng mga theorems nang walang patunay. Dito, ang isang paraan para sa pagkalkula ng determinant ay makukuha sa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa mga elemento ng isang row o column. Binabawasan ng pamamaraang ito ang pagkalkula ng determinant ng isang matrix ng order n sa pamamagitan ng n sa pagkalkula ng mga determinants ng matrice ng order 3 ng 3 o mas kaunti. Tiyaking magpakita ng mga solusyon sa ilang halimbawa.

Sa konklusyon, pag-isipan natin ang pagkalkula ng determinant sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Ang pamamaraang ito ay mabuti para sa paghahanap ng mga determinant ng mga matrice ng pagkakasunud-sunod na higit sa 3 sa 3 dahil nangangailangan ito ng mas kaunting pagsusumikap sa pagkalkula. Susuriin din namin ang solusyon ng mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng matrix determinant, pagkalkula ng matrix determinant ayon sa kahulugan.

Naaalala namin ang ilang mga pantulong na konsepto.

Kahulugan.

Pagbabago ng kaayusan n ay tinatawag na isang ordered set ng mga numero, na binubuo ng n elemento.

Para sa isang set na naglalaman ng n elemento, mayroong n! (n factorial) ng mga permutations ng order n. Ang mga permutasyon ay naiiba sa bawat isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang set na binubuo ng tatlong numero: . Isinulat namin ang lahat ng mga permutasyon (mayroong anim sa kabuuan, dahil ):

Kahulugan.

Inversion sa isang permutation ng order n anumang pares ng mga indeks na p at q ay tinatawag, kung saan ang p-th na elemento ng permutation ay mas malaki kaysa sa q-th.

Sa nakaraang halimbawa, ang inverse ng permutation 4 , 9 , 7 ay p=2 , q=3 , dahil ang pangalawang elemento ng permutation ay 9 at mas malaki kaysa sa ikatlong elemento, na 7 . Ang kabaligtaran ng permutation 9 , 7 , 4 ay magiging tatlong pares: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) at p=2 , q=3 (7>4 ).

Mas magiging interesado tayo sa bilang ng mga inversion sa isang permutation, kaysa sa inversion mismo.

Hayaan ang isang parisukat na matrix ng pagkakasunud-sunod n sa pamamagitan ng n sa larangan ng tunay (o kumplikado) na mga numero. Hayaan ang set ng lahat ng permutations ng order n ng set . Ang set ay naglalaman ng n! mga permutasyon. Tukuyin natin ang kth permutation ng set bilang , at ang bilang ng mga inversion sa kth permutation bilang .

Kahulugan.

Matrix determinant At mayroong isang numero na katumbas ng .

Ilarawan natin ang formula na ito sa mga salita. Ang determinant ng isang square matrix ng order n by n ay ang kabuuan na naglalaman ng n! mga tuntunin. Ang bawat termino ay isang produkto ng n elemento ng matrix, at ang bawat produkto ay naglalaman ng isang elemento mula sa bawat row at mula sa bawat column ng matrix A. Ang isang coefficient (-1) ay lilitaw bago ang kth term kung ang mga elemento ng matrix A sa produkto ay inayos ayon sa row number, at ang bilang ng mga inversion sa kth permutation ng hanay ng mga numero ng column ay kakaiba.

Ang determinant ng isang matrix A ay karaniwang tinutukoy bilang , at ang det(A) ay ginagamit din. Maaari mo ring marinig na ang determinant ay tinatawag na determinant.

Kaya, .

Ipinapakita nito na ang determinant ng matrix ng unang order ay ang elemento ng matrix na ito.

Pagkalkula ng Determinant ng Second-Order Square Matrix - Formula at Halimbawa.

mga 2 by 2 sa pangkalahatan.

Sa kasong ito n=2 , kaya n!=2!=2 .

.

Meron kami

Kaya, nakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix ng order 2 by 2, mayroon itong form .

Halimbawa.

utos.

Solusyon.

Sa ating halimbawa. Inilapat namin ang resultang formula :

Pagkalkula ng determinant ng isang square matrix ng ikatlong order - formula at halimbawa.

Hanapin natin ang determinant ng isang square matrix mga 3 by 3 sa pangkalahatan.

Sa kasong ito n=3 , kaya n!=3!=6 .

Ayusin natin sa anyo ng isang talahanayan ang kinakailangang data para sa paglalapat ng formula .

Meron kami

Kaya, nakakuha kami ng isang formula para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix ng pagkakasunud-sunod 3 sa 3, mayroon itong anyo

Katulad nito, ang isa ay makakakuha ng mga formula para sa pagkalkula ng mga determinants ng mga matrice ng order 4 by 4, 5 by 5 at mas mataas. Magmumukha silang napakalaki.

Halimbawa.

Compute Determinant ng Square Matrix mga 3 by 3.

Solusyon.

Sa ating halimbawa

Inilapat namin ang resultang formula upang kalkulahin ang determinant ng isang third-order matrix:

Ang mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng mga square matrice ng pangalawa at pangatlong order ay madalas na ginagamit, kaya inirerekomenda namin na tandaan mo ang mga ito.

Mga katangian ng isang matrix determinant, pagkalkula ng isang matrix determinant gamit ang mga katangian.

Batay sa kahulugan sa itaas, ang mga sumusunod ay totoo. mga katangian ng matrix determinant.

Ang determinant ng matrix A ay katumbas ng determinant ng transposed matrix A T , iyon ay, .

Halimbawa.

Siguraduhin ang matrix determinant ay katumbas ng determinant ng transposed matrix.

Solusyon.

Gamitin natin ang formula upang kalkulahin ang determinant ng isang matrix ng order 3 by 3:



Inilipat namin ang matrix A:


Kalkulahin ang determinant ng transposed matrix:



Sa katunayan, ang determinant ng transposed matrix ay katumbas ng determinant ng orihinal na matrix.

Kung sa isang parisukat na matrix ang lahat ng mga elemento ng hindi bababa sa isa sa mga hilera (isa sa mga haligi) ay zero, ang determinant ng naturang matrix ay katumbas ng zero.

Halimbawa.

Suriin na ang matrix determinant ang order 3 by 3 ay zero.

Solusyon.




Sa katunayan, ang determinant ng isang matrix na may zero na column ay zero.

Kung magpalit ka ng anumang dalawang hilera (mga haligi) sa isang parisukat na matrix, kung gayon ang determinant ng magreresultang matrix ay magiging kabaligtaran sa orihinal (iyon ay, magbabago ang tanda).

Halimbawa.

Ibinigay ang dalawang square matrice ng order 3 by 3 At . Ipakita na ang kanilang mga determinant ay kabaligtaran.

Solusyon.

Matrix Ang B ay nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong hilera ng una, at ang una sa pangatlo. Ayon sa itinuturing na pag-aari, ang mga determinant ng naturang mga matrice ay dapat na magkaiba sa sign. Suriin natin ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga determinant gamit ang isang kilalang formula.



Talaga, .

Kung hindi bababa sa dalawang row (dalawang column) ang pareho sa isang square matrix, ang determinant nito ay katumbas ng zero.

Halimbawa.

Ipakita na ang matrix determinant katumbas ng zero.

Solusyon.

Sa matrix na ito, ang pangalawa at pangatlong mga haligi ay pareho, kaya, ayon sa itinuturing na pag-aari, ang determinant nito ay dapat na katumbas ng zero. Tignan natin.



Sa katunayan, ang determinant ng isang matrix na may dalawang magkaparehong column ay zero.

Kung sa isang parisukat na matrix ang lahat ng mga elemento ng anumang hilera (column) ay pinarami ng ilang numero k, kung gayon ang determinant ng resultang matrix ay magiging katumbas ng determinant ng orihinal na matrix, na pinarami ng k. Halimbawa,



Halimbawa.

Patunayan na ang matrix determinant ay katumbas ng tatlong beses ang determinant ng matrix .

Solusyon.

Ang mga elemento ng unang column ng matrix B ay nakuha mula sa mga kaukulang elemento ng unang column ng matrix A sa pamamagitan ng pagpaparami ng 3. Pagkatapos, sa bisa ng itinuturing na pag-aari, ang pagkakapantay-pantay ay dapat na hawakan. Suriin natin ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga determinant ng matrice A at B.



Samakatuwid, , na dapat patunayan.

TANDAAN.

Huwag malito o malito ang mga konsepto ng matrix at determinant! Ang itinuturing na pag-aari ng determinant ng isang matrix at ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay malayo sa parehong bagay.
, Ngunit .

Kung ang lahat ng elemento ng anumang row (column) ng isang square matrix ay ang kabuuan ng s terms (s ay isang natural na bilang na mas malaki kaysa sa isa), kung gayon ang determinant ng naturang matrix ay magiging katumbas ng kabuuan ng s determinants ng mga matrice na nakuha mula sa ang orihinal, kung bilang mga elemento ng row (column) ay umalis ng isang termino sa isang pagkakataon. Halimbawa,


Halimbawa.

Patunayan na ang determinant ng isang matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga determinants ng matrices .

Solusyon.

Sa ating halimbawa , samakatuwid, dahil sa itinuturing na pag-aari ng matrix determinant, ang pagkakapantay-pantay . Sinusuri namin ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng kaukulang mga determinant ng mga matrice ng order 2 by 2 gamit ang formula .


Mula sa mga resultang nakuha, makikita na . Kinukumpleto nito ang patunay.

Kung idaragdag natin sa mga elemento ng ilang row (column) ng matrix ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (column), na pinarami ng arbitrary number k, kung gayon ang determinant ng resultang matrix ay magiging katumbas ng determinant ng orihinal na matrix.

Halimbawa.

Siguraduhin na kung ang mga elemento ng ikatlong hanay ng matrix idagdag ang mga katumbas na elemento ng pangalawang column ng matrix na ito, na pinarami ng (-2), at idagdag ang mga kaukulang elemento ng unang column ng matrix, na pinarami ng isang arbitrary na tunay na numero, pagkatapos ay ang determinant ng resultang matrix ay magiging katumbas ng ang determinant ng orihinal na matrix.

Solusyon.

Kung magsisimula tayo mula sa itinuturing na pag-aari ng determinant, kung gayon ang determinant ng matrix na nakuha pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong ipinahiwatig sa problema ay magiging katumbas ng determinant ng matrix A.

Una, kinakalkula namin ang determinant ng orihinal na matrix A:



Ngayon gawin natin ang mga kinakailangang pagbabagong-anyo ng matrix A.

Idagdag natin sa mga elemento ng ikatlong column ng matrix ang mga kaukulang elemento ng pangalawang column ng matrix, na dati nang pinarami ang mga ito sa (-2) . Pagkatapos nito, ang matrix ay magiging ganito:


Sa mga elemento ng ikatlong haligi ng nagresultang matrix, idinagdag namin ang kaukulang mga elemento ng unang haligi, na pinarami ng:


Kalkulahin ang determinant ng resultang matrix at siguraduhin na ito ay katumbas ng determinant ng matrix A, iyon ay, -24:



Ang determinant ng isang square matrix ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang hilera (haligi) sa pamamagitan ng kanilang algebraic na mga karagdagan.



Narito ang algebraic complement ng matrix element , .

Ang property na ito ay nagbibigay-daan sa pag-compute ng mga determinant ng mga matrice ng order na mas mataas sa 3 by 3 sa pamamagitan ng pagbabawas sa mga ito sa kabuuan ng ilang mga determinant ng order matrice na isang mas mababa. Sa madaling salita, ito ay isang paulit-ulit na formula para sa pagkalkula ng determinant ng isang square matrix ng anumang pagkakasunud-sunod. Inirerekomenda namin na tandaan mo ito dahil sa medyo madalas na pagkakalapat nito.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

order 4 by 4, pinalawak ito

• sa pamamagitan ng mga elemento ng 3rd row,
• sa pamamagitan ng mga elemento ng 2nd column.

Solusyon.

Ginagamit namin ang formula para sa pagpapalawak ng determinant ng mga elemento ng 3rd row



Meron kami



Kaya't ang problema sa paghahanap ng determinant ng isang matrix ng order 4 by 4 ay nabawasan sa pagkalkula ng tatlong determinants ng matrices ng order 3 by 3:



Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga, dumating kami sa resulta:


Ginagamit namin ang formula para sa pagpapalawak ng determinant ng mga elemento ng 2nd column


at kami ay kumikilos sa parehong paraan.

Hindi namin ilalarawan nang detalyado ang pagkalkula ng mga determinant ng mga matrice ng ikatlong pagkakasunud-sunod.



Halimbawa.

Compute Matrix Determinant mga 4 by 4.

Solusyon.

Maaari mong i-decompose ang matrix determinant sa mga elemento ng anumang column o anumang row, ngunit mas kapaki-pakinabang na piliin ang row o column na naglalaman ng pinakamalaking bilang ng zero elements, dahil makakatulong ito upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang kalkulasyon. Palawakin natin ang determinant sa pamamagitan ng mga elemento ng unang hilera:



Kinakalkula namin ang nakuha na mga determinant ng mga matrice ng order 3 by 3 ayon sa pormula na kilala sa amin:



Pinapalitan namin ang mga resulta at makuha ang nais na halaga


Halimbawa.

Compute Matrix Determinant mga 5 by 5.

Solusyon.

Ang ika-apat na hilera ng matrix ay may pinakamalaking bilang ng mga zero na elemento sa lahat ng mga hilera at haligi, kaya ipinapayong palawakin ang matrix determinant nang tumpak sa pamamagitan ng mga elemento ng ika-apat na hilera, dahil sa kasong ito kailangan namin ng mas kaunting mga kalkulasyon.



Ang nakuha na mga determinant ng mga matrice ng pagkakasunud-sunod na 4 sa 4 ay natagpuan sa mga nakaraang halimbawa, kaya gagamitin namin ang mga handa na resulta:



Halimbawa.

Compute Matrix Determinant mga 7 by 7 .

Solusyon.

Hindi ka dapat magmadali upang mabulok ang determinant sa pamamagitan ng mga elemento ng anumang row o column. Kung titingnan mong mabuti ang matrix, mapapansin mo na ang mga elemento ng ikaanim na hanay ng matrix ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng katumbas na mga elemento ng pangalawang hilera sa dalawa. Iyon ay, kung idagdag natin ang mga kaukulang elemento ng pangalawang hilera na pinarami ng (-2) sa mga elemento ng ikaanim na hilera, kung gayon ang determinant ay hindi magbabago dahil sa ikapitong pag-aari, at ang ikaanim na hilera ng nagreresultang matrix ay binubuo ng mga zero. Ang determinant ng naturang matrix ay katumbas ng zero ng pangalawang pag-aari.

Sagot:

Dapat tandaan na ang itinuturing na pag-aari ay nagpapahintulot sa isa na kalkulahin ang mga determinant ng mga matrice ng anumang pagkakasunud-sunod, gayunpaman, ang isa ay kailangang magsagawa ng maraming mga pagpapatakbo ng pagkalkula. Sa karamihan ng mga kaso, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang determinant ng mga matrice ng order na mas mataas kaysa sa pangatlo sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, na isasaalang-alang natin sa ibaba.

Ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row (column) ng isang square matrix at ang algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (column) ay katumbas ng zero.


Halimbawa.

Ipakita na ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng ikatlong hanay ng matrix sa algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng unang column ay katumbas ng zero.

Solusyon.




Ang determinant ng produkto ng mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga determinants, iyon ay, , kung saan ang m ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, A k , k=1,2,…,m ay mga square matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.

Halimbawa.

Siguraduhin na ang determinant ng produkto ng dalawang matrice at katumbas ng produkto ng kanilang mga determinant.

Solusyon.

Hanapin muna natin ang produkto ng mga determinant ng matrice A at B:


Ngayon ay magsagawa tayo ng matrix multiplication at kalkulahin ang determinant ng resultang matrix:



kaya, , na dapat ipakita.

Pagkalkula ng matrix determinant sa pamamagitan ng Gauss method.

Ilarawan natin ang kakanyahan ng pamamaraang ito. Gamit ang elementarya na pagbabago, ang matrix A ay nabawasan sa isang anyo na sa unang hanay ang lahat ng mga elemento maliban sa naging zero (ito ay palaging posible kung ang determinant ng matrix A ay nonzero). Ilalarawan namin ang pamamaraang ito sa ibang pagkakataon, ngunit ngayon ay ipapaliwanag namin kung bakit ito ginagawa. Ang mga zero na elemento ay nakuha upang makuha ang pinakasimpleng pagpapalawak ng determinant sa mga elemento ng unang column. Pagkatapos ng gayong pagbabago ng matrix A, na isinasaalang-alang ang ikawalong ari-arian at , nakuha namin

saan- menor (n-1)-ika-utos, nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng pagtanggal ng mga elemento ng unang row at unang column nito.

Gamit ang matrix kung saan tumutugma ang menor de edad, ang parehong pamamaraan para sa pagkuha ng mga zero na elemento sa unang hanay ay ginagawa. At iba pa hanggang sa huling pagkalkula ng determinant.

Ngayon ay nananatiling sagutin ang tanong: "Paano makakuha ng mga null na elemento sa unang hanay"?

Ilarawan natin ang algorithm ng mga aksyon.

Kung , kung gayon ang mga elemento ng unang hilera ng matrix ay idinagdag sa mga kaukulang elemento ng kth row, kung saan . (Kung walang pagbubukod ang lahat ng mga elemento ng unang hanay ng matrix A ay zero, kung gayon ang determinant nito ay zero sa pangalawang pag-aari at walang Gaussian na pamamaraan ang kinakailangan). Pagkatapos ng naturang pagbabago, ang "bago" na elemento ay magiging iba sa zero. Ang determinant ng "bagong" matrix ay magiging katumbas ng determinant ng orihinal na matrix dahil sa ikapitong property.

Ngayon mayroon kaming isang matrix na mayroong . Kapag sa mga elemento ng pangalawang hilera, idinaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng unang hilera, na pinarami ng , sa mga elemento ng ikatlong hilera, ang mga kaukulang elemento ng unang hilera, na pinarami ng . At iba pa. Sa konklusyon, sa mga elemento ng nth row, idinaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng unang hilera, na pinarami ng . Kaya't ang binagong matrix A ay makukuha, ang lahat ng mga elemento ng unang hanay kung saan, maliban sa , ay magiging zero. Ang determinant ng resultang matrix ay magiging katumbas ng determinant ng orihinal na matrix dahil sa ikapitong property.

Suriin natin ang pamamaraan kapag nagresolba ng isang halimbawa, upang ito ay maging mas malinaw.

Halimbawa.

Kalkulahin ang determinant ng isang matrix ng order 5 by 5 .

Solusyon.

Gamitin natin ang Gauss method. Ibahin natin ang matrix A upang ang lahat ng elemento ng unang column nito, maliban sa , ay maging zero.

Dahil ang elemento sa una ay , pagkatapos ay idagdag namin sa mga elemento ng unang hilera ng matrix ang mga kaukulang elemento, halimbawa, ang pangalawang hilera, dahil:

Ang "~" sign ay nangangahulugang katumbas.

Ngayon ay idinagdag namin sa mga elemento ng pangalawang hilera ang mga kaukulang elemento ng unang hilera, na pinarami ng , sa mga elemento ng ikatlong hilera - ang mga kaukulang elemento ng unang hilera, na pinarami ng , at magpatuloy nang katulad hanggang sa ikaanim na linya:

Nakukuha namin

may matrix isinasagawa namin ang parehong pamamaraan para sa pagkuha ng mga zero na elemento sa unang haligi:

Kaya naman,

Ngayon ay nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo gamit ang matrix :

Magkomento.

Sa ilang yugto ng pagbabagong-anyo ng matrix sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, maaaring lumitaw ang isang sitwasyon kapag naging zero ang lahat ng elemento ng huling ilang hilera ng matrix. Ito ay magsasalita tungkol sa pagkakapantay-pantay ng determinant sa zero.

Ibuod.

Ang determinant ng isang square matrix na ang mga elemento ay mga numero ay isang numero. Isinaalang-alang namin ang tatlong paraan upang makalkula ang determinant:

1. sa pamamagitan ng kabuuan ng mga produkto ng mga kumbinasyon ng mga elemento ng matrix;
2. sa pamamagitan ng pagpapalawak ng determinant ng mga elemento ng row o column ng matrix;
3. ang paraan ng pagbabawas ng matrix sa itaas na tatsulok (sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss).

Ang mga formula ay nakuha para sa pagkalkula ng mga determinant ng mga matrice ng order 2 by 2 at 3 by 3 .

Sinuri namin ang mga katangian ng determinant ng matrix. Ang ilan sa mga ito ay nagpapahintulot sa iyo na mabilis na maunawaan na ang determinant ay zero.

Kapag kinakalkula ang mga determinant ng mga matrice ng pagkakasunud-sunod na mas mataas kaysa sa 3 sa pamamagitan ng 3, ipinapayong gamitin ang pamamaraang Gauss: magsagawa ng mga elementarya na pagbabago ng matrix at dalhin ito sa itaas na tatsulok. Ang determinant ng naturang matrix ay katumbas ng produkto ng lahat ng elemento sa pangunahing dayagonal.

Alalahanin ang teorama ni Laplace:
Ang teorama ni Laplace:

Hayaang piliin ang k row (o k column) sa determinant d ng order n, . Pagkatapos ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng k-th order na mga menor de edad na nakapaloob sa mga napiling row at ang kanilang mga algebraic complement ay katumbas ng determinant d.

Upang kalkulahin ang mga determinant sa pangkalahatang kaso, ang k ay kinuha katumbas ng 1. Iyon ay, sa determinant d ng order n, isang row (o column) ang arbitraryong pinili. Pagkatapos ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng elementong nakapaloob sa napiling row (o column) at ang kanilang mga algebraic complement ay katumbas ng determinant d.

Halimbawa:
Compute determinant

Solusyon:

Pumili tayo ng arbitrary na row o column. Para sa isang kadahilanan na magiging maliwanag sa ibang pagkakataon, lilimitahan namin ang aming pagpipilian sa alinman sa ikatlong hilera o ikaapat na hanay. At huminto sa ikatlong linya.

Gamitin natin ang theorem ni Laplace.

Ang unang elemento ng napiling row ay 10, ito ay nasa ikatlong row at unang column. Kalkulahin natin ang algebraic complement dito, i.e. hanapin ang determinant na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal sa column at row kung saan nakatayo ang elementong ito (10) at alamin ang sign.

"plus kung ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng row at column kung saan matatagpuan ang minor M ay pantay, at minus kung kakaiba ang kabuuan na ito."
At kinuha namin ang menor de edad na binubuo ng isang solong elemento 10, na nasa unang hanay ng ikatlong hilera.

Kaya:


Ang ikaapat na termino ng kabuuan na ito ay 0, kaya naman sulit na pumili ng mga row o column na may maximum na bilang ng mga zero na elemento.

Sagot: -1228

Halimbawa:
Kalkulahin ang determinant:

Solusyon:
Piliin natin ang unang column, dahil dalawang elemento sa loob nito ay katumbas ng 0. Palawakin natin ang determinant sa unang hanay.


Pinapalawak namin ang bawat isa sa mga determinant ng third-order sa mga tuntunin ng una at pangalawang hilera


Pinapalawak namin ang bawat isa sa mga determinant ng pangalawang order sa unang column


Sagot: 48
Komento: kapag nilutas ang problemang ito, ang mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng ika-2 at ika-3 na order ay hindi ginamit. Tanging pagpapalawak sa pamamagitan ng row o column ang ginamit. Na humahantong sa pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng mga determinant.

Pagkalkula ng mga determinant n-ika-utos:

Ang konsepto ng isang determinant n-ika-utos

Gamit ang artikulong ito tungkol sa mga determinant, tiyak na matututunan mo kung paano lutasin ang mga problema tulad ng sumusunod:

Lutasin ang equation:

at marami pang iba na gustong-gusto ng mga guro na makabuo.

Ang matrix determinant o simpleng determinant ay gumaganap ng mahalagang papel sa paglutas ng mga sistema ng linear equation. Sa pangkalahatan, ang mga determinant ay naimbento para sa layuning ito. Dahil madalas din itong sinasabing "ang determinant ng isang matrix", babanggitin din natin dito ang mga matrice. Matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na binubuo ng mga numero na hindi maaaring palitan. Ang isang parisukat na matrix ay isang talahanayan na may parehong bilang ng mga hilera at haligi. Isang square matrix lamang ang maaaring magkaroon ng determinant.

Madaling maunawaan ang lohika ng pagsulat ng mga determinant ayon sa sumusunod na pamamaraan. Kumuha tayo ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam na pamilyar sa iyo mula sa paaralan:

Sa determinant, ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay sunud-sunod na nakasulat: sa unang linya - mula sa unang equation, sa pangalawang linya - mula sa pangalawang equation:

Halimbawa, kung bibigyan ng isang sistema ng mga equation

pagkatapos ang sumusunod na determinant ay nabuo mula sa mga coefficient ng mga hindi alam:

Kaya, sabihin nating binibigyan tayo ng isang parisukat na talahanayan na binubuo ng mga numero na nakaayos n mga row (horizontal row) at in n mga hanay (mga patayong hilera). Sa tulong ng mga numerong ito, ayon sa ilang mga patakaran, na pag-aaralan natin sa ibaba, nakahanap sila ng isang numero, na tinatawag nila determinant n ika-utos at ipinapahiwatig ang mga sumusunod:

(1)

Tinatawag ang mga numero mga elemento determinant (1) (ang unang index ay nangangahulugang ang bilang ng hilera, ang pangalawa - ang bilang ng haligi, sa intersection kung saan mayroong isang elemento; i = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). Ang pagkakasunud-sunod ng isang determinant ay ang bilang ng mga row at column nito.

Isang haka-haka na tuwid na linya na nagkokonekta sa mga elemento ng determinant kung saan ang parehong mga indeks ay pareho, i.e. mga elemento

tinawag pangunahing dayagonal, ang isa pang dayagonal ay gilid.

Pagkalkula ng mga determinant ng pangalawa at pangatlong order

Ipakita natin kung paano kinakalkula ang mga determinant ng unang tatlong order.

Ang unang determinant ng pagkakasunud-sunod ay ang elemento mismo i.e.

Ang pangalawang pagkakasunud-sunod na determinant ay ang bilang na nakuha tulad ng sumusunod:

, (2)

Ang produkto ng mga elemento sa pangunahing at pangalawang diagonal, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pagkakapantay-pantay (2) ay nagpapakita na ang produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal ay kinukuha kasama ang tanda nito, at ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal ay kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. .

Halimbawa 1 Kalkulahin ang mga determinant ng pangalawang order:

Solusyon. Sa pamamagitan ng formula (2) makikita natin:

Ang pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod ay isang numero na nakuha tulad nito:

(3)

Mahirap tandaan ang formula na ito. Gayunpaman, mayroong isang simpleng tuntunin na tinatawag tuntuning tatsulok , na nagpapadali sa pag-reproduce ng expression (3). Tinutukoy ang mga elemento ng determinant na may mga puntos, ikinonekta namin sa pamamagitan ng mga tuwid na linya ng mga segment ang mga ito na nagbibigay ng mga produkto ng mga elemento ng determinant (Fig. 1).

Ang pormula (3) ay nagpapakita na ang mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal, pati na rin ang mga elemento na matatagpuan sa mga vertice ng dalawang tatsulok, ang mga base na kung saan ay kahanay dito, ay kinuha kasama ang kanilang mga palatandaan; na may kabaligtaran - ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal, pati na rin ang mga elemento na matatagpuan sa mga vertices ng dalawang triangles na kahanay dito .

Sa Fig.1, ang pangunahing dayagonal at ang mga base ng mga tatsulok na naaayon dito at ang pangalawang dayagonal at ang mga base ng mga tatsulok na naaayon dito ay naka-highlight sa pula.

Kapag kinakalkula ang mga determinant, napakahalaga, tulad ng sa high school, na tandaan na ang isang minus na numero na pinarami ng isang minus na numero ay nagreresulta sa isang plus sign, at isang plus sign na pinarami ng isang minus na numero ay nagreresulta sa nagbibigay ng isang numero na may isang minus sign.

Halimbawa 2 Kalkulahin ang third order determinant:

Solusyon. Gamit ang panuntunan ng mga tatsulok, nakukuha namin

Pagkalkula ng mga determinant n-ika-utos

Pagpapalawak ng row o column ng determinant

Upang kalkulahin ang determinant n ika-utos, kailangang malaman at gamitin ang sumusunod na theorem.

Ang teorama ni Laplace. Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row at ang kanilang mga algebraic complements, i.e.

Kahulugan. Kung sa determinant n ika-utos pumili ng arbitraryo p mga linya at p mga hanay ( p < n), pagkatapos ay ang mga elemento sa intersection ng mga row at column na ito ay bumubuo ng isang order matrix.

Ang determinant ng matrix na ito ay tinatawag menor de edad orihinal na determinant. Halimbawa, isaalang-alang ang determinant:

Bumuo tayo ng matrix mula sa mga row at column na may mga numerong pantay:

Determinant

tinawag menor de edad pantukoy . Nakatanggap ng isang menor de edad ng pangalawang order. Malinaw na ang iba't ibang mga menor de edad ng una, pangalawa, at pangatlong pagkakasunud-sunod ay maaaring itayo mula sa.

Kung kukuha tayo ng elemento at i-cross out ang row at column sa intersection kung saan ito nakatayo sa determinant, pagkatapos ay makakakuha tayo ng minor, na tinatawag na minor ng elemento, na tinutukoy natin ng:

.

Kung ang menor ay pinarami ng , kung saan ang 3 + 2 ay ang kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan nakatayo ang elemento, kung gayon ang resultang produkto ay tinatawag algebraic na karagdagan elemento at tinutukoy ng ,

Sa pangkalahatan, ang minor ng isang elemento ay ilalarawan ng , at ang algebraic na pandagdag ng ,

(4)

Halimbawa, kalkulahin natin ang algebraic complements ng mga elemento at ang third order determinant:

Sa pamamagitan ng formula (4) nakukuha natin

Kapag nabubulok ang isang determinant, kadalasang ginagamit ang sumusunod na katangian ng determinant n-ika-utos:

kung ang produkto ng mga katumbas na elemento ng isa pang row o column sa pamamagitan ng isang pare-parehong salik ay idinagdag sa mga elemento ng anumang hilera o haligi, kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi magbabago.

Halimbawa 4

Paunang ibawas natin ang mga elemento ng ikaapat na hanay mula sa una at ikatlong hanay, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng

Sa ikaapat na hanay ng nakuhang determinant, tatlong elemento ang mga zero. Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na palawakin ang determinant na ito sa pamamagitan ng mga elemento ng ikaapat na hanay, dahil ang unang tatlong produkto ay magiging zero. kaya lang

Maaari mong suriin ang solusyon sa determinant calculator online .

At ang sumusunod na halimbawa ay nagpapakita kung paano ang pagkalkula ng determinant ng alinman (sa kasong ito, ang ikaapat) na order ay maaaring bawasan sa pagkalkula ng pangalawang determinant ng order.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang determinant:

Ibawas natin ang mga elemento ng unang hilera mula sa ikatlong hilera, at idagdag ang mga elemento ng unang hilera sa mga elemento ng ikaapat na hilera, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng

Sa unang column, lahat ng elemento maliban sa una ay mga zero. Ibig sabihin, ang determinant ay maaari nang mabulok sa unang column. Ngunit talagang ayaw naming kalkulahin ang pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod. Samakatuwid, gagawa kami ng higit pang mga pagbabagong-anyo: sa mga elemento ng ikatlong hilera ay idinagdag namin ang mga elemento ng pangalawang hilera, na pinarami ng 2, at mula sa mga elemento ng ikaapat na hilera ay ibawas namin ang mga elemento ng pangalawang hilera. Bilang resulta, ang determinant, na isang algebraic complement, ay maaaring palawakin mismo sa unang column, at kailangan lang nating kalkulahin ang second-order determinant at hindi malito sa mga palatandaan:

Dinadala ang determinant sa isang triangular na anyo

Ang isang determinant kung saan ang lahat ng mga elemento na nakahiga sa isang gilid ng isa sa mga diagonal ay katumbas ng zero ay tinatawag na triangular. Ang kaso ng pangalawang dayagonal ay binabawasan sa kaso ng pangunahing dayagonal sa pamamagitan ng pag-reverse ng pagkakasunud-sunod ng mga hilera o column. Ang nasabing determinant ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal.

Upang mabawasan sa isang tatsulok na anyo, ang parehong pag-aari ng determinant ay ginagamit n ika-utos, na ginamit namin sa nakaraang talata: kung idaragdag namin ang produkto ng mga kaukulang elemento ng isa pang row o column sa pamamagitan ng pare-parehong salik sa mga elemento ng anumang hilera o column, kung gayon ang halaga ng determinant ay hindi magbabago.

Maaari mong suriin ang solusyon sa determinant calculator online .

Mga Determinant na Katangian n-ika-utos

Sa dalawang nakaraang talata, nagamit na natin ang isa sa mga katangian ng determinant n-ika-utos. Sa ilang mga kaso, upang gawing simple ang pagkalkula ng determinant, maaari mong gamitin ang iba pang mahahalagang katangian ng determinant. Halimbawa, maaaring bawasan ng isa ang isang determinant sa kabuuan ng dalawang determinant, ang isa o pareho nito ay maginhawang mapalawak sa ilang row o column. Mayroong maraming mga kaso ng naturang pagpapasimple, at ang tanong ng paggamit ng isa o isa pang pag-aari ng determinant ay dapat na mapagpasyahan nang isa-isa.

1. Decomposition theorem:

Ang anumang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga pares na produkto ng mga elemento ng anumang serye at ang kanilang mga algebraic complement.

Para sa ako- ika linya:

o para sa j-th column:

Halimbawa 7.1. Kalkulahin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga elemento ng unang hilera:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Ang decomposition theorem ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang pagkalkula ng isang determinant n- ika-utos na pagkalkula n mga determinant ( n- 1) ika-utos.

Gayunpaman, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ipinapayong gamitin ang "multiplication of zeros" na paraan para sa mga determinant ng mataas na order, batay sa property 6 ng seksyon 5. Ang ideya nito ay:

Una, "multiply zero" sa ilang row, i.e. makakuha ng isang serye kung saan isang elemento lamang ang hindi katumbas ng zero, ang natitira ay mga zero;

Pagkatapos ay palawakin ang determinant sa mga elemento ng seryeng ito.

Samakatuwid, batay sa decomposition theorem, ang orihinal na determinant ay katumbas ng produkto ng isang nonzero na elemento at ang algebraic complement nito.

Halimbawa 7.2. Kalkulahin ang determinant:

.

"multiply zeros" sa unang column.

Mula sa pangalawang hilera ay ibawas natin ang unang pinarami ng 2, mula sa ikatlong hilera ay ibawas natin ang unang pinarami ng 3, at mula sa ikaapat na hilera ay ibawas natin ang unang pinarami ng 4. Sa ganitong mga pagbabago, ang halaga ng determinant ay hindi magbabago.

Ayon sa ari-arian 4 ng seksyon 5, maaari nating kunin ang determinant sign mula sa 1st column, mula sa 2nd column at mula sa 3rd column.

Bunga: Ang determinant na may zero series ay katumbas ng zero.

2. Teorama ng pagpapalit:

Ang kabuuan ng mga ipinares na produkto ng anumang mga numero at ang algebraic na mga pandagdag ng isang tiyak na serye ng isang determinant ay katumbas ng determinant na nakuha mula sa ibinigay na isa kung ang mga elemento ng seryeng ito ay papalitan dito ng mga kinuhang numero.

Para sa -th line:

1. Teorama ng pagkansela:

Ang kabuuan ng magkapares na mga produkto ng mga elemento ng anumang serye at mga algebraic na pandagdag ng isang parallel na serye ay katumbas ng zero.

Sa katunayan, sa pamamagitan ng substitution theorem, nakakakuha tayo ng determinant kung saan k-th line ay naglalaman ng parehong mga elemento tulad ng sa i-ika-linya

Ngunit sa pamamagitan ng ari-arian 3 ng Seksyon 5, ang naturang determinant ay katumbas ng zero.

Kaya, ang decomposition theorem at ang mga corollaries nito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

8. Pangkalahatang impormasyon tungkol sa mga matrice. Mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 8.1 . Matrix tinatawag ang sumusunod na parihabang talahanayan:

Ginagamit din ang mga sumusunod na pagtatalaga ng matrix: , o o .

Ang mga row at column ng isang matrix ay pinangalanan mga hilera.

Ang halaga ay tinatawag laki matrice.

Kung magpapalit tayo ng mga row at column sa isang matrix, makakakuha tayo ng matrix na tinatawag inilipat. Matrix transposed na may , karaniwang tinutukoy ng simbolo .

Halimbawa:

Kahulugan 8.2. Dalawang matrice A At B tinawag pantay, Kung

1) parehong laki ang parehong matrice, i.e. At ;

2) lahat ng kanilang kaukulang elemento ay pantay, i.e.

Tapos . (8.2)

Dito ang isang matrix equality (8.2) ay katumbas ng scalar equalities (8.1).

9. Varieties ng matrices.

1) Tinatawag ang isang matrix, na ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng zero null matrix:

2) Kung ang matrix ay binubuo lamang ng isang hilera, kung gayon ito ay tinatawag row matrix, Halimbawa . Katulad nito, tinatawag ang isang matrix na may isang column lamang column matrix, Halimbawa .

Binabago ng transposisyon ang isang column matrix sa isang row matrix at vice versa.

3) Kung m=n, pagkatapos ay tinawag ang matrix square matrix ng nth order.

Ang dayagonal ng mga termino ng isang parisukat na matrix, mula sa itaas na kaliwang sulok hanggang sa ibabang kanang sulok, ay tinatawag pangunahing. Ang iba pang dayagonal ng mga miyembro nito, mula sa ibabang kaliwang sulok hanggang sa kanang itaas na sulok, ay tinatawag gilid.

Para sa isang square matrix, ang determinant ay maaaring kalkulahin det(A).