Ang isang mahalagang konsepto sa matematika ay isang function. Sa tulong nito, maaari mong mailarawan ang maraming proseso na nagaganap sa kalikasan, ipakita ang ugnayan sa pagitan ng ilang partikular na dami gamit ang mga formula, talahanayan at larawan sa isang graph. Ang isang halimbawa ay ang pag-asa ng presyon ng isang likidong layer sa isang katawan sa lalim ng paglulubog, acceleration - sa pagkilos ng isang tiyak na puwersa sa isang bagay, pagtaas ng temperatura - sa ipinadala na enerhiya, at maraming iba pang mga proseso. Ang pag-aaral ng isang function ay nagsasangkot ng pag-plot ng isang graph, paghahanap ng mga katangian nito, ang domain ng kahulugan at mga halaga, mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. Ang isang mahalagang punto sa prosesong ito ay ang paghahanap ng mga extremum point. Tungkol sa kung paano gawin ito ng tama, at magpapatuloy ang pag-uusap.

Tungkol sa konsepto mismo sa isang partikular na halimbawa

Sa gamot, ang pagtatayo ng isang function graph ay maaaring sabihin tungkol sa kurso ng pag-unlad ng sakit sa katawan ng pasyente, na malinaw na sumasalamin sa kanyang kondisyon. Ipagpalagay natin na ang oras sa mga araw ay naka-plot kasama ang OX axis, at ang temperatura ng katawan ng tao ay naka-plot sa OY axis. Ang figure ay malinaw na nagpapakita kung paano tumataas ang tagapagpahiwatig na ito, at pagkatapos ay bumagsak. Madaling mapansin ang mga singular na punto na sumasalamin sa mga sandali kung kailan ang function, na nadagdagan dati, ay nagsisimulang bumaba, at kabaliktaran. Ito ang mga matinding punto, iyon ay, ang mga kritikal na halaga (maximum at minimum) sa kasong ito ng temperatura ng pasyente, pagkatapos kung saan naganap ang mga pagbabago sa kanyang kondisyon.

Nakatabinging anggulo

Madaling matukoy mula sa figure kung paano nagbabago ang derivative ng function. Kung ang mga tuwid na linya ng graph ay tumaas sa paglipas ng panahon, ito ay positibo. At kung mas matarik ang mga ito, mas malaki ang halaga ng derivative, habang tumataas ang anggulo ng pagkahilig. Sa mga panahon ng pagbaba, ang halagang ito ay kumukuha ng mga negatibong halaga, nagiging zero sa matinding mga punto, at ang graph ng derivative sa huling kaso ay iginuhit parallel sa OX axis.

Anumang iba pang proseso ay dapat tratuhin sa parehong paraan. Ngunit ang pinakamahusay na paraan upang sabihin ang tungkol sa konseptong ito ay ang paggalaw ng iba't ibang mga katawan, na malinaw na ipinapakita sa mga graph.

Paggalaw

Ipagpalagay na ang ilang bagay ay gumagalaw sa isang tuwid na linya, nakakakuha ng bilis nang pantay. Sa panahong ito, ang pagbabago sa mga coordinate ng katawan ay graphic na kumakatawan sa isang tiyak na kurba, na tatawagin ng isang matematiko na isang sangay ng isang parabola. Kasabay nito, ang pag-andar ay patuloy na tumataas, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng coordinate ay nagbabago nang mas mabilis at mas mabilis sa bawat segundo. Ipinapakita ng speed graph ang pag-uugali ng derivative, ang halaga nito ay tumataas din. Nangangahulugan ito na ang kilusan ay walang mga kritikal na punto.

Ito ay magpapatuloy nang walang katapusan. Ngunit paano kung ang katawan ay biglang nagpasya na bumagal, huminto at magsimulang lumipat sa ibang direksyon? Sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ng coordinate ay magsisimulang bumaba. At ang function ay magpapasa ng isang kritikal na halaga at mula sa pagtaas sa pagbaba.

Sa halimbawang ito, mauunawaan mong muli na ang mga extremum point sa graph ng function ay lilitaw sa mga sandaling ito ay tumigil sa pagiging monotonous.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative

Ang inilarawan kanina ay malinaw na nagpakita na ang derivative ay mahalagang rate ng pagbabago ng function. Ang refinement na ito ay naglalaman ng pisikal na kahulugan nito. Ang mga matinding puntos ay mga kritikal na lugar sa chart. Posibleng malaman at makita ang mga ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng halaga ng derivative, na lumalabas na katumbas ng zero.

May isa pang palatandaan, na isang sapat na kondisyon para sa isang extremum. Ang derivative sa naturang mga lugar ng inflection ay nagbabago ng sign nito: mula sa "+" hanggang "-" sa rehiyon ng maximum at mula sa "-" hanggang "+" sa rehiyon ng minimum.

Ang paggalaw sa ilalim ng impluwensya ng grabidad

Isipin natin ang isa pang sitwasyon. Ang mga bata, na naglalaro ng bola, ay inihagis ito sa paraang nagsimula itong gumalaw sa isang anggulo sa abot-tanaw. Sa paunang sandali, ang bilis ng bagay na ito ay ang pinakamalaki, ngunit sa ilalim ng impluwensya ng grabidad, nagsimula itong bumaba, at sa bawat segundo ng parehong halaga, katumbas ng humigit-kumulang 9.8 m / s 2. Ito ang halaga ng acceleration na nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng gravity ng lupa sa panahon ng free fall. Sa Buwan, ito ay magiging anim na beses na mas maliit.

Ang graph na naglalarawan sa paggalaw ng katawan ay isang parabola na may mga sanga na nakaturo pababa. Paano makahanap ng mga extremum point? Sa kasong ito, ito ang vertex ng function, kung saan ang bilis ng katawan (bola) ay tumatagal sa isang zero na halaga. Ang derivative ng function ay nagiging zero. Sa kasong ito, ang direksyon, at samakatuwid ang halaga ng bilis, ay nagbabago sa kabaligtaran. Ang katawan ay lumilipad pababa sa bawat segundo nang mas mabilis at mas mabilis, at bumibilis sa parehong halaga - 9.8 m/s 2 .

Pangalawang derivative

Sa nakaraang kaso, ang plot ng velocity modulus ay iginuhit bilang isang tuwid na linya. Ang linyang ito ay unang nakadirekta pababa, dahil ang halaga ng dami na ito ay patuloy na bumababa. Ang pagkakaroon ng umabot sa zero sa isa sa mga punto ng oras, pagkatapos ay ang mga tagapagpahiwatig ng halagang ito ay magsisimulang tumaas, at ang direksyon ng graphical na representasyon ng module ng bilis ay nagbabago nang malaki. Ngayon ay nakaturo na ang linya.

Ang bilis, bilang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras, ay mayroon ding kritikal na punto. Sa rehiyong ito, ang function, sa simula ay bumababa, ay nagsisimulang tumaas. Ito ang lugar ng extremum point ng derivative ng function. Sa kasong ito, ang slope ng tangent ay nagiging zero. At ang acceleration, bilang pangalawang derivative ng coordinate na may kinalaman sa oras, ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+". At ang paggalaw mula sa pare-parehong mabagal ay nagiging pare-parehong pinabilis.

Graph ng Pagpapabilis

Ngayon isaalang-alang ang apat na figure. Ang bawat isa sa kanila ay nagpapakita ng isang graph ng pagbabago sa paglipas ng panahon ng tulad ng isang pisikal na dami bilang acceleration. Sa kaso ng "A", ang halaga nito ay nananatiling positibo at pare-pareho. Nangangahulugan ito na ang bilis ng katawan, tulad ng coordinate nito, ay patuloy na tumataas. Kung iniisip natin na ang bagay ay lilipat sa ganitong paraan sa loob ng walang katapusang mahabang panahon, ang function na sumasalamin sa pagtitiwala ng coordinate sa oras ay magiging patuloy na tumataas. Ito ay sumusunod mula dito na wala itong mga kritikal na rehiyon. Wala ring mga extremum point sa graph ng derivative, iyon ay, isang linearly na pagbabago ng bilis.

Ang parehong naaangkop sa case "B" na may positibo at patuloy na pagtaas ng acceleration. Totoo, ang mga graph para sa mga coordinate at bilis ay medyo magiging mas kumplikado dito.

Kapag ang acceleration ay napunta sa zero

Sa pagtingin sa figure na "B", maaari mong obserbahan ang isang ganap na magkakaibang larawan na nagpapakilala sa paggalaw ng katawan. Ang bilis nito ay graphic na ipapakita bilang isang parabola na may mga sanga na nakaturo pababa. Kung ipagpapatuloy natin ang linyang naglalarawan ng pagbabago sa acceleration hanggang sa mag-intersect ito sa OX axis, at higit pa, maiisip natin na hanggang sa kritikal na halaga na ito, kung saan ang acceleration ay magiging katumbas ng zero, ang bilis ng object ay tataas. dahan-dahan pa. Ang extremum point ng derivative ng coordinate function ay nasa tuktok lamang ng parabola, pagkatapos nito ay radikal na babaguhin ng katawan ang kalikasan ng paggalaw at magsisimulang lumipat sa ibang direksyon.

Sa huling kaso, "G", ang likas na katangian ng kilusan ay hindi maaaring tiyak na matukoy. Dito lang natin malalaman na walang acceleration para sa ilang panahon na isinasaalang-alang. Nangangahulugan ito na ang bagay ay maaaring manatili sa lugar o ang paggalaw ay nangyayari sa isang palaging bilis.

Coordinate karagdagan problema

Lumipat tayo sa mga gawain na madalas na nakakaharap kapag nag-aaral ng algebra sa paaralan at iniaalok upang maghanda para sa pagsusulit. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng graph ng function. Kinakailangang kalkulahin ang kabuuan ng mga extremum point.

Gagawin namin ito para sa y-axis sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga kritikal na rehiyon kung saan ang pagbabago sa mga katangian ng function ay sinusunod. Sa madaling salita, nakita namin ang mga halaga sa kahabaan ng x-axis para sa mga inflection point, at pagkatapos ay magpatuloy upang idagdag ang mga resultang termino. Ayon sa graph, halatang kinukuha nila ang mga sumusunod na halaga: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Ito ay nagdaragdag ng hanggang -21, na siyang sagot.

Pinakamainam na solusyon

Hindi kinakailangang ipaliwanag kung gaano kahalaga ang pagpili ng pinakamainam na solusyon sa pagganap ng mga praktikal na gawain. Pagkatapos ng lahat, mayroong maraming mga paraan upang makamit ang layunin, at ang pinakamahusay na paraan out, bilang isang panuntunan, ay isa lamang. Ito ay lubos na kinakailangan, halimbawa, kapag nagdidisenyo ng mga barko, spacecraft at sasakyang panghimpapawid, mga istrukturang arkitektura upang mahanap ang pinakamainam na anyo ng mga bagay na ginawa ng tao.

Ang bilis ng mga sasakyan ay higit na nakasalalay sa karampatang pag-minimize ng paglaban na nararanasan nila kapag gumagalaw sa tubig at hangin, sa mga labis na karga na nagmumula sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa ng gravitational at marami pang ibang mga tagapagpahiwatig. Ang isang barko sa dagat ay nangangailangan ng mga katangian tulad ng katatagan sa panahon ng bagyo; para sa isang barkong ilog, ang isang minimum na draft ay mahalaga. Kapag kinakalkula ang pinakamainam na disenyo, ang mga extremum point sa graph ay maaaring biswal na magbigay ng ideya ng pinakamahusay na solusyon sa isang kumplikadong problema. Ang mga gawain ng naturang plano ay madalas na nalutas sa ekonomiya, sa mga pang-ekonomiyang lugar, sa maraming iba pang mga sitwasyon sa buhay.

Mula sa sinaunang kasaysayan

Ang mga matinding gawain ay sinakop kahit na ang mga sinaunang pantas. Matagumpay na nalutas ng mga Greek scientist ang misteryo ng mga lugar at volume sa pamamagitan ng mga kalkulasyon sa matematika. Sila ang unang nakaunawa na sa isang eroplano ng iba't ibang mga figure na may parehong perimeter, ang bilog ay palaging may pinakamalaking lugar. Katulad nito, ang isang bola ay pinagkalooban ng pinakamataas na dami sa iba pang mga bagay sa espasyo na may parehong lugar sa ibabaw. Ang mga sikat na personalidad tulad nina Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius ay nakatuon sa kanilang sarili sa paglutas ng mga naturang problema. Napakahusay na nagtagumpay si Heron sa paghahanap ng mga extremum point, na, nang gumamit ng mga kalkulasyon, ay nagtayo ng mga mapanlikhang aparato. Kabilang dito ang mga awtomatikong makina na gumagalaw sa pamamagitan ng singaw, mga bomba at turbine na tumatakbo sa parehong prinsipyo.

Konstruksyon ng Carthage

Mayroong isang alamat, ang balangkas kung saan ay batay sa paglutas ng isa sa mga matinding gawain. Ang resulta ng diskarte sa negosyo na ipinakita ng prinsesa ng Phoenician, na bumaling sa mga pantas para sa tulong, ay ang pagtatayo ng Carthage. Ang lupain para sa sinaunang at sikat na lungsod na ito ay iniharap kay Dido (iyon ang pangalan ng pinuno) ng pinuno ng isa sa mga tribong Aprikano. Ang lugar ng pamamahagi ay hindi tila sa kanya sa una ay napakalaki, dahil ayon sa kontrata kailangan itong takpan ng isang oxhide. Ngunit inutusan ng prinsesa ang kanyang mga sundalo na gupitin ito sa manipis na piraso at gawing sinturon mula sa kanila. Napakahaba pala nito kaya sakop nito ang isang lugar kung saan magkasya ang buong lungsod.

Pinagmulan ng calculus

At ngayon, lumipat tayo mula sa sinaunang panahon patungo sa susunod na panahon. Kapansin-pansin, noong ika-17 siglo, si Kepler ay na-prompt na maunawaan ang mga pundasyon ng mathematical analysis sa pamamagitan ng isang pulong sa isang nagbebenta ng alak. Sanay na sanay ang mangangalakal sa kanyang propesyon kaya madali niyang matukoy ang dami ng inumin sa bariles sa pamamagitan lamang ng pagbaba ng isang iron tourniquet dito. Sa pagmumuni-muni sa gayong pag-usisa, ang sikat na siyentipiko ay pinamamahalaang lutasin ang problemang ito para sa kanyang sarili. Lumalabas na ang mga mahuhusay na cooper noong mga panahong iyon ay nakakuha ng hang ng paggawa ng mga sisidlan sa paraang, sa isang tiyak na taas at radius ng circumference ng mga pangkabit na singsing, magkakaroon sila ng pinakamataas na kapasidad.

Ito ay naging isang okasyon para sa Kepler para sa karagdagang pagmuni-muni. Nakarating ang Bochars sa pinakamainam na solusyon sa pamamagitan ng mahabang paghahanap, mga pagkakamali at mga bagong pagtatangka, na ipinapasa ang kanilang karanasan mula sa henerasyon hanggang sa henerasyon. Ngunit nais ni Kepler na pabilisin ang proseso at matutunan kung paano gawin ang pareho sa maikling panahon sa pamamagitan ng mga kalkulasyon ng matematika. Ang lahat ng kanyang mga pag-unlad, na kinuha ng mga kasamahan, ay naging kilala na ngayong theorems ng Fermat at Newton - Leibniz.

Ang problema sa paghahanap ng maximum na lugar

Isipin na mayroon kaming isang wire na ang haba ay 50 cm Paano gumawa ng isang parihaba mula dito, na may pinakamalaking lugar?

Sa pagsisimula ng isang desisyon, ang isa ay dapat magpatuloy mula sa simple at kilalang mga katotohanan. Ito ay malinaw na ang perimeter ng aming figure ay magiging 50 cm.Ito rin ay binubuo ng dalawang beses ang haba ng magkabilang panig. Nangangahulugan ito na, na itinalaga ang isa sa kanila bilang "X", ang isa ay maaaring ipahayag bilang (25 - X).

Mula dito makakakuha tayo ng isang lugar na katumbas ng X (25 - X). Ang expression na ito ay maaaring katawanin bilang isang function na tumatagal sa maraming mga halaga. Ang solusyon ng problema ay nangangailangan ng paghahanap ng maximum ng mga ito, na nangangahulugan na dapat mong malaman ang mga extremum point.

Upang gawin ito, hanapin natin ang unang derivative at itinutumbas ito sa zero. Ang resulta ay isang simpleng equation: 25 - 2X = 0.

Mula dito nalaman natin na ang isa sa mga panig ay X = 12.5.

Samakatuwid, isa pa: 25 - 12.5 \u003d 12.5.

Ito ay lumiliko na ang solusyon sa problema ay magiging isang parisukat na may gilid na 12.5 cm.

Paano mahahanap ang maximum na bilis

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Isipin na mayroong isang katawan na ang rectilinear motion ay inilalarawan ng equation na S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, kung saan ang distansya na nilakbay ay ipinahayag sa metro, at ang oras sa segundo. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang maximum na bilis. Paano ito gagawin? Na-download na hanapin ang bilis, iyon ay, ang unang derivative.

Nakukuha natin ang equation: V = - 3t 2 + 18t - 24. Ngayon, upang malutas ang problema, kailangan nating hanapin muli ang mga extremum point. Dapat itong gawin sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang gawain. Nahanap namin ang unang derivative ng bilis at itinutumbas ito sa zero.

Nakukuha natin ang: - 6t + 18 = 0. Kaya t = 3 s. Ito ang oras kung kailan ang bilis ng katawan ay tumatagal sa isang kritikal na halaga. Pinapalitan namin ang nakuhang data sa velocity equation at makuha ang: V = 3 m/s.

Ngunit paano maunawaan na ito ang eksaktong pinakamataas na bilis, dahil ang mga kritikal na punto ng function ay maaaring ang pinakamalaking o pinakamaliit na halaga nito? Upang suriin, kailangan mong hanapin ang pangalawang derivative ng bilis. Ito ay ipinahayag bilang numero 6 na may minus sign. Nangangahulugan ito na ang nahanap na punto ay ang maximum. At sa kaso ng positibong halaga ng pangalawang derivative, magkakaroon ng minimum. Samakatuwid, ang solusyon na natagpuan ay tama.

Ang mga gawain na ibinigay bilang isang halimbawa ay bahagi lamang ng mga maaaring malutas sa pamamagitan ng kakayahang mahanap ang mga extremum point ng isang function. Sa katunayan, marami pa. At ang gayong kaalaman ay nagbubukas ng walang limitasyong mga posibilidad para sa sibilisasyon ng tao.

Isaalang-alang ang dalawang ngipin ng isang kilalang saw profile. Idirekta natin ang axis kasama ang flat side ng saw, at ang axis - patayo dito. Kumuha tayo ng graph ng ilang function, na ipinapakita sa Fig. 1.

Ito ay lubos na halata na pareho sa punto at sa punto, ang mga halaga ng pag-andar ay nagiging pinakamalaking kumpara sa mga halaga sa mga kalapit na punto sa kanan at kaliwa, at sa punto - ang pinakamaliit kumpara sa mga kalapit na punto. Ang mga punto ay tinatawag na extremum point ng function (mula sa Latin extremum - "extreme"), ang mga puntos at ang pinakamataas na puntos, at ang punto ay ang pinakamababang punto (mula sa Latin na maximum at minimum - "pinakamahusay" at "pinakamaliit ”).

Ating pinuhin ang kahulugan ng extremum.

Ang isang function sa isang punto ay sinasabing may maximum kung mayroong isang pagitan na naglalaman ng punto at kabilang sa domain ng function, na para sa lahat ng mga punto ng pagitan na ito ay lumalabas na . Alinsunod dito, ang function sa isang punto ay may pinakamababa kung ang kondisyon ay nasiyahan para sa lahat ng mga punto ng isang tiyak na agwat.

Sa fig. Ang mga figure 2 at 3 ay nagpapakita ng mga graph ng mga function na may extremum sa isang punto.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang extremum point ay dapat nasa loob ng pagitan ng pagtatakda ng function, at hindi sa dulo nito. Samakatuwid, para sa function na ipinapakita sa Fig. 1, hindi maaaring ipagpalagay na mayroon itong minimum sa punto.

Kung sa kahulugang ito ng maximum (minimum) ng isang function, papalitan namin ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng isang hindi mahigpit. , pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng isang hindi mahigpit na maximum (hindi mahigpit na minimum). Isaalang-alang, halimbawa, ang profile ng tuktok ng bundok (Larawan 4). Ang bawat punto ng isang patag na lugar - ang isang segment ay isang hindi mahigpit na pinakamataas na punto.

Sa differential calculus, ang pag-aaral ng isang function para sa extrema ay napaka-epektibo at medyo simpleng isinasagawa gamit ang isang derivative. Isa sa mga pangunahing theorems ng differential calculus, na nagtatatag ng kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang differentiable function, ay ang Fermat's theorem (tingnan ang Fermat's theorem). Hayaang magkaroon ng extremum ang function sa isang punto. Kung mayroong isang derivative sa puntong ito, kung gayon ito ay katumbas ng zero.

Sa wikang geometriko, ang teorema ni Fermat ay nangangahulugan na sa pinakasukdulan na punto ang padaplis sa graph ng function ay pahalang (Larawan 5). Ang kabaligtaran na pahayag, siyempre, ay hindi totoo, na ipinapakita, halimbawa, ng graph sa Fig. 6.

Ang teorama ay pinangalanan pagkatapos ng Pranses na matematiko na si P. Fermat, na isa sa mga unang nakalutas ng ilang matinding problema. Wala pa siyang konsepto ng isang derivative sa kanyang pagtatapon, ngunit sa kanyang pagsisiyasat ay gumamit siya ng isang pamamaraan na ang kakanyahan ay ipinahayag sa pahayag ng teorama.

Ang isang sapat na kondisyon para sa extremum ng isang differentiable function ay isang pagbabago sa sign ng derivative. Kung sa isang punto ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, i.e. ang pagbaba nito ay pinapalitan ng pagtaas, kung gayon ang punto ay magiging pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, ang punto ang magiging pinakamataas na punto kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, i.e. mula sa pataas hanggang sa pababa.

Ang punto kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero ay tinatawag na stationary. Kung ang isang differentiable function ay sinisiyasat para sa isang extremum, kung gayon ang lahat ng mga nakatigil na punto ay dapat matagpuan at ang mga palatandaan ng derivative ay dapat isaalang-alang sa kaliwa at sa kanan ng mga ito.

Sinisiyasat namin ang function para sa isang extremum.

Hanapin natin ang derivative nito: .

Lumiko tayo sa graph ng function na y \u003d x 3 - 3x 2. Isaalang-alang ang kapitbahayan ng puntong x = 0, i.e. ilang pagitan na naglalaman ng puntong ito. Ito ay lohikal na mayroong isang kapitbahayan ng punto x \u003d 0 na ang function na y \u003d x 3 - 3x 2 ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa kapitbahayan na ito sa punto x \u003d 0. Halimbawa, sa pagitan (- 1; 1) ang pinakamalaking halaga na katumbas ng 0, ang function ay tumatagal sa puntong x = 0. Ang puntong x = 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na ito.

Katulad nito, ang punto x \u003d 2 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function x 3 - 3x 2, dahil sa puntong ito ang halaga ng function ay hindi mas malaki kaysa sa halaga nito sa isa pang punto sa paligid ng punto x \u003d 2 , halimbawa, ang kapitbahayan (1.5; 2.5).

Kaya, ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na f (x) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong x 0 - upang ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≤ f (x 0) ay nasiyahan para sa lahat ng x mula dito. kapitbahayan.

Halimbawa, ang punto x 0 \u003d 0 ay ang pinakamataas na punto ng function f (x) \u003d 1 - x 2, dahil ang f (0) \u003d 1 at ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≤ 1 ay totoo para sa lahat ng mga halaga ng x.

Ang pinakamababang punto ng function na f (x) ay tinatawag na punto x 0 kung mayroong kapitbahayan ng puntong x 0 na ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≥ f (x 0) ay nasiyahan para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan na ito.

Halimbawa, ang punto x 0 \u003d 2 ay ang pinakamababang punto ng function f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, dahil f (2) \u003d 3 at f (x) ≥ 3 para sa lahat ng x .

Ang mga matinding puntos ay tinatawag na pinakamababang puntos at pinakamataas na puntos.

Bumaling tayo sa function na f(x), na tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong x 0 at may derivative sa puntong ito.

Kung ang x 0 ay isang extremum point ng isang differentiable function f (x), kung gayon f "(x 0) \u003d 0. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Fermat's theorem.

Ang teorama ni Fermat ay may malinaw na geometriko na kahulugan: sa pinakasukdulan na punto, ang padaplis ay kahanay sa x-axis at samakatuwid ay ang slope nito.
f "(x 0) ay zero.

Halimbawa, ang function na f (x) \u003d 1 - 3x 2 ay may maximum sa puntong x 0 \u003d 0, ang derivative nito f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Ang function na f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 ay may pinakamababa sa puntong x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Tandaan na kung f "(x 0) \u003d 0, hindi ito sapat upang igiit na ang x 0 ay kinakailangang ang extremum point ng function na f (x).

Halimbawa, kung f (x) \u003d x 3, pagkatapos ay f "(0) \u003d 0. Gayunpaman, ang punto x \u003d 0 ay hindi isang extremum point, dahil ang function na x 3 ay tumataas sa buong totoong axis.

Kaya, ang mga extremum point ng isang differentiable function ay dapat hanapin lamang sa mga ugat ng equation
f "(x) \u003d 0, ngunit ang ugat ng equation na ito ay hindi palaging isang extremum point.

Ang mga nakatigil na puntos ay mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero.

Kaya, upang ang point x 0 ay maging isang extremum point, ito ay kinakailangan na ito ay isang nakatigil na punto.

Isaalang-alang ang sapat na mga kondisyon para sa isang nakatigil na punto upang maging isang extremum point, i.e. mga kondisyon kung saan ang isang nakatigil na punto ay isang minimum o pinakamataas na punto ng isang function.

Kung ang derivative sa kaliwa ng nakatigil na punto ay positibo, at sa kanan ito ay negatibo, i.e. derivative changes sign "+" to sign "-" kapag dumadaan sa puntong ito, ang nakatigil na puntong ito ay ang pinakamataas na punto.

Sa katunayan, sa kasong ito, sa kaliwa ng nakatigil na punto, ang pag-andar ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa, i.e. ang puntong ito ay ang pinakamataas na punto.

Kung ang derivative ay nagbabago ng sign "-" upang lumagda sa "+" kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto, ang nakatigil na puntong ito ay isang minimum na punto.

Kung ang derivative ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto, i.e. ang derivative ay positibo o negatibo sa kaliwa at sa kanan ng nakatigil na punto, kung gayon ang puntong ito ay hindi isang extremum point.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga problema. Hanapin ang mga extremum point ng function f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Solusyon.

1) Hanapin ang derivative: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Maghanap ng mga nakatigil na puntos: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Gamit ang paraan ng agwat, itinatag namin na ang derivative f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) ay positibo para sa x\u003e 3, negatibo para sa x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Dahil kapag dumadaan sa punto x 1 \u003d 0, ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago, ang puntong ito ay hindi isang extremum point.

5) Binabago ng derivative ang sign "-" sa sign na "+" kapag dumadaan sa punto x 2 \u003d 3. Samakatuwid, ang x 2 \u003d 3 ay ang pinakamababang punto.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Mga Kahulugan:

sukdulan pangalanan ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set.

matinding punto ay ang punto kung saan naabot ang maximum o minimum na halaga ng function.

Pinakamataas na punto ay ang punto kung saan naabot ang pinakamataas na halaga ng function.

Mababang punto ay ang punto kung saan naabot ang pinakamababang halaga ng function.

Paliwanag.

Sa figure, sa paligid ng puntong x = 3, naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito (iyon ay, sa paligid ng partikular na puntong ito, walang mas mataas na punto). Sa kapitbahayan ng x = 8, muli itong may pinakamataas na halaga (muli, linawin natin: nasa kapitbahayan na ito na walang punto sa itaas). Sa mga puntong ito, ang pagtaas ay pinapalitan ng pagbaba. Ang mga ito ay pinakamataas na puntos:

xmax = 3, xmax = 8.

Sa paligid ng puntong x = 5, ang pinakamababang halaga ng function ay naabot (iyon ay, sa paligid ng x = 5, walang punto sa ibaba). Sa puntong ito, ang pagbaba ay pinapalitan ng pagtaas. Ito ang pinakamababang punto:

Ang maximum at minimum na mga puntos ay matinding mga punto ng pag-andar, at ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay nito sukdulan.

Mga kritikal at nakatigil na punto ng function:

Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum:

Sapat na kondisyon para sa isang extremum:

Sa segment, ang function y = f(x) ay maaaring maabot ang pinakamababa o pinakamataas na halaga nito alinman sa mga kritikal na punto o sa mga dulo ng segment.

Algorithm para sa pag-aaral ng tuluy-tuloy na functiony = f(x) para sa monotonicity at extrema:

Hayaang tukuyin ang function na $z=f(x,y)$ sa ilang kapitbahayan ng puntong $(x_0,y_0)$. Sinasabing ang $(x_0,y_0)$ ay isang punto ng (lokal) maximum kung para sa lahat ng puntos na $(x,y)$ sa ilang kapitbahayan ng $(x_0,y_0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, pagkatapos ay ang puntong $(x_0,y_0)$ ay tinatawag na (lokal) na pinakamababang punto.

Ang mataas at mababang mga punto ay madalas na tinutukoy ng generic na terminong mga extremum point.

Kung ang $(x_0,y_0)$ ay isang maximum na punto, kung gayon ang halaga ng function na $f(x_0,y_0)$ sa puntong ito ay tinatawag na maximum ng function na $z=f(x,y)$. Alinsunod dito, ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function $z=f(x,y)$. Ang minima at maxima ng isang function ay pinagsama ng isang karaniwang termino - ang extrema ng isang function.

Algorithm para sa pag-aaral ng function na $z=f(x,y)$ para sa isang extremum

1. Hanapin ang mga partial derivatives ng $\frac(\partial z)(\partial x)$ at $\frac(\partial z)(\partial y)$. Buuin at lutasin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Ang mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa tinukoy na sistema ay tinatawag na stationary.
2. Hanapin ang $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ at kalkulahin ang halaga na $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ sa bawat nakatigil na punto. Pagkatapos nito, gamitin ang sumusunod na scheme:
   1. Kung $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (o $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), pagkatapos ay sa puntong pinag-aaralan ay ang pinakamababang punto.
   2. Kung $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Kung ang $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Kung $\Delta = 0$, walang tiyak na masasabi tungkol sa pagkakaroon ng extremum; kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Tandaan (kanais-nais para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto): ipakita\itago

Kung $\Delta > 0$ pagkatapos ay $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. At mula rito ay sumusunod na $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Yung. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Kung ang produkto ng ilang mga dami ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang mga dami na ito ay may parehong tanda. Iyon ay, halimbawa, kung $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, pagkatapos ay $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Sa madaling salita, kung $\Delta > 0$ kung gayon ang mga palatandaan ng $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ at $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ay pareho.

Halimbawa #1

Siyasatin ang function na $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ para sa isang extremum.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan natin ang bawat equation ng system na ito ng $2$ at ilipat ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Sa sitwasyong ito, tila sa akin ang pinaka-maginhawang aplikasyon ng paraan ng Cramer upang malutas ang resultang sistema.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\kanan|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Ang mga halaga $x=2$, $y=-3$ ay ang mga coordinate ng nakatigil na punto $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Kalkulahin natin ang halaga ng $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Dahil ang $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, ayon sa puntong $(2;-3)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $ z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $(2;-3)$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Sagot: $(2;-3)$ - pinakamababang punto; $z_(min)=-90$.

Halimbawa #2

Siyasatin ang function na $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ para sa isang extremum.

Susunod tayo sa itaas. Una, hanapin natin ang mga partial derivatives ng unang order:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Buuin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( aligned)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan ang unang equation ng 3 at ang pangalawa ng 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Kung $x=0$, ang pangalawang equation ay magdadala sa atin sa isang kontradiksyon: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Kaya ang konklusyon: $x\neq 0$. Pagkatapos mula sa pangalawang equation mayroon kaming: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Ang pagpapalit ng $y=\frac(2)(x)$ sa unang equation, mayroon kaming:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Nakakuha kami ng biquadratic equation. Ginagawa namin ang pagpapalit $t=x^2$ (natatandaan namin na $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Kung $t=1$, kung gayon ang $x^2=1$. Kaya mayroon kaming dalawang halaga ng $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Kung $t=4$, pagkatapos ay $x^2=4$, i.e. $x_3=2$, $x_4=-2$. Ang pag-alala na $y=\frac(2)(x)$, nakukuha namin ang:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(aligned)

Kaya, mayroon kaming apat na nakatigil na puntos: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Kinukumpleto nito ang unang hakbang ng algorithm.

Ngayon ay bumaba tayo sa algorithm. Maghanap tayo ng mga partial derivatives ng pangalawang order:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Hanapin ang $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partal x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Ngayon ay kakalkulahin namin ang halaga ng $\Delta$ sa bawat isa sa mga naunang natagpuang nakatigil na mga punto. Magsimula tayo sa puntong $M_1(1;2)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Mula noong $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Tuklasin natin ang puntong $M_2(-1;-2)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Mula noong $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Suriin natin ang puntong $M_3(2;1)$. Sa puntong ito nakukuha natin:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Dahil $\Delta(M_3) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, pagkatapos ay ayon sa $M_3(2; 1)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_3$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Nananatili itong tuklasin ang puntong $M_4(-2;-1)$. Sa puntong ito nakukuha natin:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Dahil $\Delta(M_4) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Natapos ang matinding pag-aaral. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot:

• $(2;1)$ - pinakamababang punto, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - maximum na punto, $z_(max)=29$.

Tandaan

Sa pangkalahatang kaso, hindi na kailangang kalkulahin ang halaga ng $\Delta$, dahil interesado lamang kami sa sign, at hindi sa partikular na halaga ng parameter na ito. Halimbawa, para sa halimbawang No. 2 na isinasaalang-alang sa itaas, sa puntong $M_3(2;1)$ mayroon kaming $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Dito ay malinaw na ang $\Delta > 0$ (dahil ang parehong mga salik na $36$ at $(2^2-1^2)$ ay positibo) at posibleng hindi makahanap ng partikular na halaga ng $\Delta$. Totoo, ang pangungusap na ito ay walang silbi para sa karaniwang mga kalkulasyon - kailangan nilang dalhin ang mga kalkulasyon sa isang numero :)

Halimbawa #3

Siyasatin ang function na $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ para sa isang extremum.

Susunod kami. Una, hanapin natin ang mga partial derivatives ng unang order:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Buuin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( aligned)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan natin ang parehong equation ng $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Idagdag natin ang unang equation sa pangalawa at ipahayag ang $y$ sa mga tuntunin ng $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa unang equation ng system, magkakaroon tayo ng:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Mula sa resultang equation mayroon tayong: $x=0$ o $x^2-2=0$. Ito ay sumusunod mula sa equation na $x^2-2=0$ na $x=-\sqrt(2)$ o $x=\sqrt(2)$. Kaya, tatlong value ng $x$ ang matatagpuan, ibig sabihin: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Dahil $y=-x$, pagkatapos ay $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Tapos na ang unang hakbang ng solusyon. Nakakuha kami ng tatlong nakatigil na puntos: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Ngayon ay bumaba tayo sa algorithm. Maghanap tayo ng mga partial derivatives ng pangalawang order:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Hanapin ang $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partal x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Ngayon ay kakalkulahin namin ang halaga ng $\Delta$ sa bawat isa sa mga naunang natagpuang nakatigil na mga punto. Magsimula tayo sa puntong $M_1(0;0)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Dahil $\Delta(M_1) = 0$, kailangan ng karagdagang pananaliksik, dahil walang tiyak na masasabi tungkol sa pagkakaroon ng extremum sa isinasaalang-alang na punto. Iwanan natin ang puntong ito pansamantala at magpatuloy sa iba pang mga punto.

Suriin natin ang puntong $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Sa puntong ito nakukuha natin:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(nakahanay)

Dahil $\Delta(M_2) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, pagkatapos ay ayon sa $M_2(-\ Ang sqrt(2),\sqrt(2))$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_2$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Katulad ng nakaraang punto, sinusuri namin ang puntong $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Sa puntong ito nakukuha natin:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(nakahanay)

Dahil $\Delta(M_3) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, pagkatapos ay ayon sa $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_3$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Oras na para bumalik sa puntong $M_1(0;0)$, kung saan ang $\Delta(M_1) = 0$. Kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Itong umiiwas na parirala ay nangangahulugang "gawin mo ang gusto mo" :). Walang pangkalahatang paraan upang malutas ang mga ganitong sitwasyon - at ito ay naiintindihan. Kung may ganoong paraan, matagal na sana itong naipasok sa lahat ng mga aklat-aralin. Pansamantala, kailangan nating maghanap ng espesyal na diskarte sa bawat punto kung saan ang $\Delta = 0$. Well, imbestigahan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng puntong $M_1(0;0)$. Napansin namin kaagad na $z(M_1)=z(0;0)=3$. Ipagpalagay na ang $M_1(0;0)$ ay isang minimum na punto. Pagkatapos, para sa anumang puntong $M$ mula sa ilang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ makakakuha tayo ng $z(M) > z(M_1) $, i.e. $z(M) > 3$. Paano kung ang anumang kapitbahayan ay naglalaman ng mga punto kung saan $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Isaalang-alang ang mga punto kung saan $y=0$, i.e. mga punto ng anyong $(x,0)$. Sa mga puntong ito, ang $z$ function ay kukuha sa mga sumusunod na halaga:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Sa lahat ng sapat na maliliit na kapitbahayan $M_1(0;0)$ mayroon kaming $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Ngunit marahil ang puntong $M_1(0;0)$ ay isang pinakamataas na punto? Kung ito ay gayon, kung gayon para sa anumang punto $M$ mula sa ilang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ makakakuha tayo ng $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Pagkatapos ay tiyak na hindi magkakaroon ng maximum sa puntong $M_1$.

Isaalang-alang ang mga punto kung saan $y=x$, i.e. mga punto ng anyong $(x,x)$. Sa mga puntong ito, ang $z$ function ay kukuha sa mga sumusunod na halaga:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Dahil sa alinmang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ mayroon kaming $2x^4 > 0$, pagkatapos ay $2x^4+3 > 3$. Konklusyon: anumang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ ay naglalaman ng mga puntos kung saan ang $z > 3$, kaya ang puntong $M_1(0;0)$ ay hindi maaaring maging pinakamataas na punto.

Ang puntong $M_1(0;0)$ ay hindi maximum o minimum. Konklusyon: Ang $M_1$ ay hindi isang matinding punto.

Sagot: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - pinakamababang puntos ng function na $z$. Sa parehong punto $z_(min)=-5$.