Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang pagbabago ng mga variable. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric at ang kanilang mga solusyon

DEPINISYON

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric ay mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable sa ilalim ng tanda ng isang function na trigonometriko.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

Ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric ay kadalasang bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ng anyo: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \ leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg ) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay nalulutas nang grapiko o gamit ang isang yunit ng trigonometriko na bilog.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ng anggulo \(\ \alpha \) ay ang ordinate ng punto \(\ P_(\alpha)(x, y) \) ng unit circle (Fig. 1), at ang cosine ay ang abscissa ng puntong ito. Ang katotohanang ito ay ginagamit sa paglutas ng pinakasimpleng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa cosine at sine gamit ang bilog na yunit.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

  • Solusyon

    Dahil \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may solusyon at maaaring malutas sa dalawang paraan

    Unang paraan. Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa graphical na paraan. Upang gawin ito, bumuo kami sa parehong coordinate system ng isang graph ng sine \(\ y=\sin x \) (Fig. 2) at ang tuwid na linya \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)

    Piliin natin ang mga pagitan kung saan matatagpuan ang sinusoid sa ibaba ng graph ng tuwid na linya \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Hanapin ang abscissas \(\ x_(1) \) at \(\ x_(2) \) ng mga intersection point ng mga graph na ito: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3) ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

    Nakuha namin ang pagitan \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) ngunit dahil ang function na \(\ y=\sin x \) ay panaka-nakang at may tuldok \(\ 2 \pi \) , pagkatapos ang sagot ay ang unyon ng mga pagitan: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\kanan] \), \(\ k \in Z \)

    Ang pangalawang paraan. Bumuo ng unit circle at isang linya \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , tukuyin ang kanilang mga intersection point \(\ P_(x_(1)) \) at \(\ P_(x_ (2 )) \) (Larawan 3). Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang hanay ng mga ordinate na puntos na mas mababa sa \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Hanapin natin ang halaga ng \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) at \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) sa pamamagitan ng pagpunta sa counterclockwise, \(\ x_(1) Fig. 3

    \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

    Isinasaalang-alang ang periodicity ng sine function, sa wakas ay nakuha natin ang mga pagitan \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\right] \), \(\k\in Z\)

  • Sagot\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\ k \sa Z\)
  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ \sin x>2 \)

  • Solusyon

    Ang sine ay isang bounded function: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , at ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay mas malaki kaysa sa isa, kaya walang mga solusyon.

  • Sagot: Walang solusyon.
  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

  • Solusyon

    Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malulutas sa dalawang paraan: graphically at gamit ang unit circle. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa mga paraan.

    Unang paraan. Ilarawan natin sa isang coordinate system ang mga function na naglalarawan sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay, \(\ y=\cos x \) at \(\ y=\frac(1)(2) \) . Piliin natin ang mga pagitan kung saan matatagpuan ang graph ng cosine function \(\ y=\cos x \) sa itaas ng graph ng tuwid na linya \(\ y=\frac(1)(2) \) (Fig. 4 ).

    Hanapin ang abscissas ng mga puntong \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) at \(\ x_(2) \) - ang mga punto ng intersection ng mga graph ng mga function \(\ y=\cos x \ ) at \(\ y=\frac (1)(2) \) , na mga dulo ng isa sa mga pagitan kung saan nananatili ang ipinahiwatig na hindi pagkakapantay-pantay. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

    Isinasaalang-alang na ang cosine ay isang periodic function, na may period \(\ 2 \pi \) , ang sagot ay ang value \(\ x \) mula sa mga intervals \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

    Ang pangalawang paraan. Bumuo tayo ng unit circle at isang tuwid na linya \(\ x=\frac(1)(2) \) (dahil ang x-axis ay tumutugma sa mga cosine sa unit circle). Hayaan ang \(\ P_(x_(1)) \) at \(\ P_(x_(2)) \) (Fig. 5) ang mga intersection point ng linya at ng unit circle. Ang solusyon sa orihinal na equation ay ang hanay ng mga abscissa point na mas mababa sa \(\ \frac(1)(2) \) . Hanapin ang halaga ng \(\ x_(1) \) at \(\ 2 \) , paggawa ng counterclockwise circuit upang \(\ x_(1) Isinasaalang-alang ang periodicity ng cosine, sa wakas ay nakuha natin ang mga pagitan \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)

  • Sagot: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)
  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

  • Solusyon

    Mag-plot tayo ng mga graph ng mga function \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) sa isang coordinate system

    Piliin natin ang mga pagitan kung saan ang graph ng function na \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ay hindi mas mataas kaysa sa graph ng tuwid na linya \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (Larawan 6) .

    Hanapin ang abscissa ng punto \(\ x_(0) \) , na siyang dulo ng isa sa mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\ sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)

    Ang kabilang dulo ng gap na ito ay ang punto \(\ \pi \) , at ang function na \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ay hindi natukoy sa puntong ito. Kaya, ang isa sa mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

  • Sagot: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

    Trigonometric inequalities na may kumplikadong argumento

    Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric na may isang kumplikadong argumento ay maaaring bawasan sa pinakasimpleng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang isang pagpapalit. Pagkatapos malutas ito, ang reverse substitution ay ginawa at ang orihinal na hindi alam ay ipinahayag.

  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

  • Solusyon

    Ipahayag ang cosine sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

    Isinasagawa namin ang kapalit na \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , pagkatapos nito ang hindi pagkakapantay-pantay ay binago sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )

    Lutasin natin ito gamit ang unit circle. Bumuo tayo ng unit circle at isang linya \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Tukuyin natin ang \(\ P_(1) \) at \(\ P_(2) \) bilang mga punto ng intersection ng linya at ng unit circle (Fig. 7).

    Ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang hanay ng mga abscissa point, na hindi hihigit sa \(\ -\frac(1)(2) \). Ang puntong \(\ P_(1) \) ay tumutugma sa anggulo \(\ 120^(\circ) \) , at ang puntong \(\ P_(2) \) . Kaya, dahil sa panahon ng cosine, nakukuha natin ang \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ), \(\ n \in Z \)

    Ginagawa namin ang reverse substitution \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

    Ipinapahayag namin ang \(\ \mathbf(x) \), para magawa ito, ibawas muna ang \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n \in Z \); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

    at pagkatapos, hatiin sa 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

  • Sagot\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

    Dobleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

  • Mag-ehersisyo

    Lutasin ang double trigonometric inequality \(\ \frac(1)(2)

  • Solusyon

    Ipakilala natin ang kapalit na \(\ t=\frac(x)(2) \) , pagkatapos ay ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyong \(\ \frac(1)(2)

    Lutasin natin ito gamit ang unit circle. Dahil ang ordinate axis ay tumutugma sa sine sa unit circle, pipiliin namin dito ang set ng mga ordinate na mas malaki kaysa sa \(\ x=\frac(1)(2) \) at mas mababa sa o katumbas ng \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Sa Figure 8, ang mga puntong ito ay matatagpuan sa mga arko \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) at \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Hanapin natin ang value \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , paggawa ng counterclockwise tour, at \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)

    Kaya, nakakakuha tayo ng dalawang pagitan, na kung saan, isinasaalang-alang ang periodicity ng sine function, ay maaaring isulat bilang mga sumusunod \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Express \(\ \mathbf( x) \), para dito pinarami namin ang lahat ng panig ng parehong hindi pagkakapantay-pantay sa 2, nakukuha namin ang \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x

  • Sagot\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

    • Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mga relasyon sa anyong a › b, kung saan ang a at b ay mga expression na naglalaman ng hindi bababa sa isang variable. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mahigpit - ‹, › at hindi mahigpit - ≥, ≤.

    Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric ay mga expression ng anyo: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, kung saan kinakatawan ang F(x) ng isa o higit pang trigonometriko function .

    Ang isang halimbawa ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay: sin x ‹ 1/2. Nakaugalian na lutasin ang mga naturang problema sa graphic na paraan; dalawang pamamaraan ang binuo para dito.

    Paraan 1 - Paglutas ng Mga Hindi Pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng Pag-plot ng isang Function

    Upang makahanap ng pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay na sin x ‹ 1/2, dapat mong gawin ang sumusunod:

    1. Sa coordinate axis, bumuo ng sinusoid y = sin x.
    2. Sa parehong axis, gumuhit ng graph ng numerical argument ng hindi pagkakapantay-pantay, ibig sabihin, isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ½ ng OY ordinate.
    3. Markahan ang mga intersection point ng dalawang graph.
    4. I-shade ang segment na solusyon ng halimbawa.

    Kapag may malalakas na palatandaan sa isang expression, ang mga intersection point ay hindi mga solusyon. Dahil ang pinakamaliit na positibong panahon ng sinusoid ay 2π, isinusulat namin ang sagot bilang mga sumusunod:

    Kung ang mga palatandaan ng expression ay hindi mahigpit, kung gayon ang pagitan ng solusyon ay dapat na nakapaloob sa mga square bracket - . Ang sagot sa problema ay maaari ding isulat bilang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:

    Paraan 2 - Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang bilog ng yunit

    Ang mga katulad na problema ay madaling malutas sa tulong ng isang trigonometriko na bilog. Ang algorithm ng paghahanap ay napaka-simple:

    1. Una, gumuhit ng bilog na yunit.
    2. Pagkatapos ay kailangan mong tandaan ang halaga ng arc function ng argumento ng kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa arc ng bilog.
    3. Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa halaga ng arc function parallel sa x-axis (OX).
    4. Pagkatapos nito, nananatili lamang upang piliin ang arko ng isang bilog, na siyang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.
    5. Isulat ang sagot sa kinakailangang form.

    Suriin natin ang mga hakbang sa solusyon gamit ang inequality sin x › 1/2 bilang isang halimbawa. Ang mga puntos na α at β ay minarkahan sa bilog - ang mga halaga

    Ang mga punto ng arko na matatagpuan sa itaas ng α at β ay ang pagitan para sa paglutas ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.

    Kung kailangan mong lutasin ang isang halimbawa para sa cos, kung gayon ang arko ng mga sagot ay matatagpuan nang simetriko sa axis ng OX, at hindi OY. Maaari mong isaalang-alang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pagitan ng solusyon para sa kasalanan at cos sa mga diagram sa ibaba sa teksto.

    Ang mga graphical na solusyon para sa tangent at cotangent na hindi pagkakapantay-pantay ay mag-iiba mula sa parehong sine at cosine. Ito ay dahil sa mga katangian ng mga pag-andar.

    Ang arctangent at arccotangent ay mga tangent sa trigonometric na bilog, at ang minimum na positibong panahon para sa parehong mga function ay π. Upang mabilis at tama na gamitin ang pangalawang paraan, kailangan mong tandaan kung aling axis ang naka-plot ng mga halaga ng kasalanan, cos, tg at ctg.

    Ang tangent tangent ay tumatakbo parallel sa OY axis. Kung i-plot namin ang halaga ng arctg a sa bilog ng yunit, kung gayon ang pangalawang kinakailangang punto ay matatagpuan sa diagonal quarter. mga sulok

    Ang mga ito ay mga breakpoint para sa function, dahil ang graph ay may kaugaliang sa kanila ngunit hindi kailanman umabot sa kanila.

    Sa kaso ng cotangent, ang tangent ay tumatakbo parallel sa OX axis, at ang function ay nagambala sa mga puntong π at 2π.

    Mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

    Kung ang argumento ng hindi pagkakapantay-pantay na pag-andar ay kinakatawan hindi lamang ng isang variable, ngunit sa pamamagitan ng isang buong expression na naglalaman ng hindi alam, kung gayon pinag-uusapan na natin ang tungkol sa isang kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay. Ang kurso at pagkakasunud-sunod ng solusyon nito ay medyo naiiba sa mga pamamaraan na inilarawan sa itaas. Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

    Ang graphical na solusyon ay nagbibigay para sa pagtatayo ng isang ordinaryong sinusoid y = sin x para sa arbitraryong napiling mga halaga ng x. Kalkulahin natin ang isang talahanayan na may mga coordinate para sa mga reference point ng chart:

    Ang resulta ay dapat na isang magandang kurba.

    Para sa kadalian ng paghahanap ng solusyon, pinapalitan namin ang kumplikadong argumento ng function

    Ang intersection ng dalawang mga graph ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang lugar ng mga nais na halaga kung saan nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon.

    Ang nahanap na segment ay ang solusyon para sa variable na t:

    Gayunpaman, ang layunin ng gawain ay mahanap ang lahat ng posibleng variant ng hindi kilalang x:

    Ang paglutas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay medyo simple, kailangan mong ilipat ang π / 3 sa matinding bahagi ng equation at gawin ang mga kinakailangang kalkulasyon:

    Sagot sa gawain magmumukhang isang pagitan para sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay:

    Ang ganitong mga gawain ay mangangailangan ng karanasan at kasanayan ng mga mag-aaral sa paghawak ng mga trigonometriko function. Ang mas maraming mga gawain sa pagsasanay ay malulutas sa proseso ng paghahanda, mas madali at mas mabilis na mahahanap ng mag-aaral ang sagot sa tanong ng pagsusulit sa pagsusulit.

    Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation

    Una, alalahanin natin ang mga formula para sa paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

    1. $sinx=a$
    1. $cosx=a$
    1. $tgx=a$
    1. $ctgx=a$

    Solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    Upang malutas ang pinakasimpleng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, kailangan muna nating lutasin ang katumbas na equation, at pagkatapos, gamit ang trigonometriko na bilog, maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Isaalang-alang ang mga solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa pamamagitan ng mga halimbawa.

    Halimbawa 1

    $sinx\ge \frac(1)(2)$

    Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko $sinx=\frac(1)(2)$

    \ \

    Figure 1. Solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay $sinx\ge \frac(1)(2)$.

    Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may tanda na "mas malaki kaysa sa o katumbas", ang solusyon ay nasa itaas na arko ng bilog (na may paggalang sa solusyon ng equation).

    Sagot: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

    Halimbawa 2

    Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

    \ \

    Tandaan ang solusyon sa trigonometriko na bilog

    Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may tanda na "mas mababa sa", ang solusyon ay namamalagi sa arko ng bilog na matatagpuan sa kaliwa (na may paggalang sa solusyon ng equation).

    Sagot: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

    Halimbawa 3

    $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

    Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

    \ \

    Dito kailangan din natin ng domain ng kahulugan. Tulad ng naaalala natin, ang tangent function na $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

    Tandaan ang solusyon sa trigonometriko na bilog

    Figure 3. Solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

    Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may "mas mababa sa o katumbas" na senyales, ang solusyon ay nasa mga arko ng bilog na minarkahan ng asul sa Figure 3.

    Sagot: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\kanan.\kaliwa.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\kanan]$

    Halimbawa 4

    Maghanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko $ctgx=\sqrt(3)$

    \ \

    Dito kailangan din natin ng domain ng kahulugan. Tulad ng naaalala natin, ang padaplis na function na $x\ne \pi n,n\in Z$

    Tandaan ang solusyon sa trigonometriko na bilog

    Figure 4. Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay $ctgx\le \sqrt(3)$.

    Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay may tanda na "mas malaki kaysa", ang solusyon ay nasa mga arko ng bilog na minarkahan ng asul sa Figure 4.

    Sagot: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\kanan)$

    MGA PARAAN PARA SA PAGLUTAS NG MGA TRIGONOMETRI INEQUALITIES

    Kaugnayan. Sa kasaysayan, ang mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay ay binigyan ng espesyal na lugar sa kurikulum ng paaralan. Masasabi nating ang trigonometrya ay isa sa pinakamahalagang seksyon ng kurso sa paaralan at ng lahat ng agham sa matematika sa pangkalahatan.

    Ang mga equation ng trigonometric at hindi pagkakapantay-pantay ay sumasakop sa isa sa mga pangunahing lugar sa isang kurso sa matematika sa mataas na paaralan, kapwa sa mga tuntunin ng nilalaman ng materyal na pang-edukasyon at mga pamamaraan ng aktibidad na pang-edukasyon at nagbibigay-malay na maaari at dapat na mabuo sa panahon ng kanilang pag-aaral at ilapat sa paglutas ng isang malaking bilang ng mga problemang may teoretikal at inilapat na kalikasan. .

    Ang solusyon ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay ay lumilikha ng mga kinakailangan para sa pag-systematize ng kaalaman ng mga mag-aaral na may kaugnayan sa lahat ng materyal na pang-edukasyon sa trigonometrya (halimbawa, ang mga katangian ng mga function ng trigonometriko, mga pamamaraan para sa pagbabago ng mga trigonometriko na expression, atbp.) at ginagawang posible na magtatag ng mga epektibong koneksyon sa ang pinag-aralan na materyal sa algebra (equation, equivalence ng equation, inequalities, identical transformations ng algebraic expressions, etc.).

    Sa madaling salita, ang pagsasaalang-alang ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nagsasangkot ng isang uri ng paglipat ng mga kasanayang ito sa isang bagong nilalaman.

    Ang kahalagahan ng teorya at ang maraming aplikasyon nito ay patunay ng kaugnayan ng napiling paksa. Ito, sa turn, ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang mga layunin, layunin at paksa ng pag-aaral ng gawaing kurso.

    Layunin ng pag-aaral: gawing pangkalahatan ang magagamit na mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, mga pangunahing at espesyal na pamamaraan para sa kanilang solusyon, pumili ng isang hanay ng mga gawain para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ng mga mag-aaral.

    Layunin ng pananaliksik:

    1. Batay sa pagsusuri ng mga magagamit na literatura sa paksa ng pananaliksik, sistematiko ang materyal.

    2. Magbigay ng isang hanay ng mga gawain na kinakailangan upang pagsamahin ang paksang "Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko."

    Layunin ng pag-aaral ay mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa kursong matematika ng paaralan.

    Paksa ng pag-aaral: mga uri ng trigonometrikong hindi pagkakapantay-pantay at mga pamamaraan para sa kanilang solusyon.

    Teoretikal na kahalagahan ay upang ayusin ang materyal.

    Praktikal na kahalagahan: aplikasyon ng teoretikal na kaalaman sa paglutas ng mga problema; pagsusuri ng mga pangunahing madalas na nakakaharap na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    Mga pamamaraan ng pananaliksik Mga Keyword: pagsusuri ng siyentipikong panitikan, synthesis at generalization ng nakuhang kaalaman, pagsusuri ng paglutas ng problema, paghahanap ng pinakamainam na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

    §isa. Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko at mga pangunahing pamamaraan para sa kanilang solusyon

    1.1. Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

    Dalawang trigonometric expression na konektado sa pamamagitan ng isang sign o > ay tinatawag na trigonometric inequalities.

    Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang hanay ng mga halaga ng mga hindi alam na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay, kung saan nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Ang pangunahing bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa paglutas ng pinakasimpleng mga:


    Ito ay maaaring isang paraan ng factorization, pagbabago ng variable (
    ,
    atbp.), kung saan ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay ay unang nalutas, at pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
    atbp., o iba pang paraan.

    Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa dalawang paraan: gamit ang unit circle o graphical.

    Hayaanf(x ay isa sa mga pangunahing trigonometriko function. Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay
    ito ay sapat na upang mahanap ang solusyon nito sa isang panahon, i.e. sa anumang segment na ang haba ay katumbas ng panahon ng function    f x . Pagkatapos ang solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay makikita lahatx , pati na rin ang mga halagang iyon na naiiba sa mga nahanap ng anumang integer na bilang ng mga yugto ng function. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang graphical na paraan.

    Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay
    (
    ) at
    .

    Algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
    (
    ).

    1. Bumuo ng kahulugan ng sine ng isang numerox sa bilog ng yunit.

    3. Sa y-axis, markahan ang isang punto gamit ang coordinatea .

    4. Sa pamamagitan ng puntong ito, gumuhit ng isang linya parallel sa OX axis, at markahan ang mga punto ng intersection nito sa bilog.

    5. Pumili ng isang arko ng isang bilog, lahat ng mga punto ay may ordinate na mas mababa saa .

    6. Tukuyin ang direksyon ng bypass (counterclockwise) at isulat ang sagot sa pamamagitan ng pagdaragdag ng panahon ng function sa mga dulo ng interval2πn ,
    .

    Algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
    .

    1. Bumuo ng kahulugan ng tangent ng isang numerox sa bilog ng yunit.

    2. Gumuhit ng bilog na yunit.

    3. Gumuhit ng isang linya ng mga tangent at markahan ang isang punto dito ng isang ordinatea .

    4. Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan at markahan ang punto ng intersection ng resultang segment sa bilog ng yunit.

    5. Pumili ng arko ng isang bilog, lahat ng mga punto ay may ordinate sa tangent line na mas mababa saa .

    6. Ipahiwatig ang direksyon ng traversal at isulat ang sagot, isinasaalang-alang ang saklaw ng function, pagdaragdag ng isang tuldokpn ,
    (ang numero sa kaliwang bahagi ng talaan ay palaging mas mababa kaysa sa numero sa kanang bahagi).

    Ang graphical na interpretasyon ng mga solusyon sa pinakasimpleng equation at formula para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang pangkalahatang anyo ay ibinibigay sa apendiks (Mga Appendice 1 at 2).

    Halimbawa 1 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
    .

    Gumuhit ng linya sa bilog ng yunit
    , na nag-intersect sa bilog sa mga puntong A at B.

    Lahat ng halagay sa pagitan ng NM higit pa , lahat ng mga punto ng arc AMB ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Sa lahat ng anggulo ng pag-ikot, malaki , ngunit mas maliit ,
    ay kukuha ng mga halagang higit sa (ngunit hindi hihigit sa isa).

    Fig.1

    Kaya, ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga halaga sa pagitan
    , ibig sabihin.
    . Upang makuha ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sapat na upang idagdag sa mga dulo ng agwat na ito
    , saan
    , ibig sabihin.
    ,
    .     Tandaan na ang mga halaga
    at
    ay ang mga ugat ng equation
    ,

    mga.
    ;
    .

    Sagot:
    ,
    .

    1.2. Paraan ng graphic

    Sa pagsasagawa, ang isang graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay kadalasang kapaki-pakinabang. Isaalang-alang ang kakanyahan ng pamamaraan sa halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay
    :

    1. Kung kumplikado ang argumento (iba saX ), pagkatapos ay papalitan namin ito ngt .

    2. Bumubuo kami sa isang coordinate planelaruan mga function graph
    at
    .

    3. Nakikita natin ang ganyandalawang magkatabing punto ng intersection ng mga graph, sa pagitan ng kung saansinusoidnakalagaysa itaas tuwid
    . Hanapin ang abscissas ng mga puntong ito.

    4. Sumulat ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa argumentot , isinasaalang-alang ang cosine period (t ay nasa pagitan ng mga natagpuang abscissas).

    5. Gumawa ng reverse substitution (bumalik sa orihinal na argumento) at ipahayag ang halagaX mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay, isinusulat namin ang sagot bilang isang numerical interval.

    Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: .

    Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan, kinakailangan na bumuo ng mga graph ng mga function nang tumpak hangga't maaari. Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:

    Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system
    at
    (Larawan 2).

    Fig.2

    Nagsa-intersect ang mga function graph sa isang puntoPERO na may mga coordinate
    ;
    . Sa gitna
    mga punto ng graph
    sa ibaba ng mga punto ng tsart
    . At kailan
    ang mga halaga ng function ay pareho. kaya lang
    sa
    .

    Sagot:
    .

    1.3. Paraan ng Algebraic

    Kadalasan, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, sa pamamagitan ng isang mahusay na napiling pagpapalit, ay maaaring bawasan sa isang algebraic (makatuwiran o hindi makatwiran) na hindi pagkakapantay-pantay. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay, pagpapakilala ng isang pagpapalit, o pagpapalit ng isang variable.

    Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng paraang ito sa mga partikular na halimbawa.

    Halimbawa 3 Pagbawas sa pinakasimpleng anyo
    .

    (Larawan 3)

    Fig.3

    ,
    .

    Sagot:
    ,

    Halimbawa 4 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

    ODZ:
    ,
    .

    Gamit ang mga formula:
    ,

    isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:
    .

    O kaya naman, assuming
    pagkatapos ng mga simpleng pagbabagong nakukuha natin

    ,

    ,

    .

    Ang paglutas ng huling hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat, nakukuha natin:

    Fig.4

    , ayon sa pagkakabanggit
    . Pagkatapos mula sa Fig. 4 ang sumusunod
    , saan
    .

    Fig.5

    Sagot:
    ,
    .

    1.4. Paraan ng espasyo

    Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa pamamagitan ng paraan ng agwat:

      Gamit ang mga trigonometrikong formula, i-factorize.

      Maghanap ng mga breakpoint at zero ng function, ilagay ang mga ito sa bilog.

      Kumuha ng anumang puntoUpang (ngunit hindi nahanap nang mas maaga) at alamin ang tanda ng produkto. Kung ang produkto ay positibo, pagkatapos ay maglagay ng isang punto sa labas ng bilog ng yunit sa sinag na tumutugma sa anggulo. Kung hindi, ilagay ang punto sa loob ng bilog.

      Kung ang isang punto ay nangyari ng kahit na bilang ng mga beses, tinatawag namin itong isang punto ng kahit na multiplicity; kung isang kakaibang bilang ng mga beses, tinatawag namin itong isang punto ng kakaibang multiplicity. Gumuhit ng mga arko tulad ng sumusunod: magsimula sa isang puntoUpang , kung ang susunod na punto ay may kakaibang multiplicity, kung gayon ang arko ay nag-intersect sa bilog sa puntong ito, ngunit kung ang punto ay kahit multiplicity, hindi ito bumalandra.

      Ang mga arko sa likod ng isang bilog ay mga positibong puwang; sa loob ng bilog ay may mga negatibong pagitan.

    Halimbawa 5 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

    ,
    .

    Mga punto ng unang serye:
    .

    Mga punto ng ikalawang serye:
    .

    Ang bawat punto ay nangyayari sa isang kakaibang bilang ng mga beses, iyon ay, lahat ng mga punto ng kakaibang multiplicity.

    Alamin ang sign ng produkto sa
    : . Minarkahan namin ang lahat ng mga punto sa bilog ng yunit (Larawan 6):

    kanin. 6

    Sagot:
    ,
    ;
    ,
    ;
    ,
    .

    Halimbawa 6 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Solusyon:

    Hanapin natin ang mga zero ng expression .

    Kuninaem :

    ,
    ;

    ,
    ;

    ,
    ;

    ,
    ;

    Sa bilog ng unit, mga halaga ng seryeX 1 kinakatawan ng mga tuldok
    . Serye    X 2 nagbibigay ng mga puntos
    . Isang serye    X 3 nakakakuha kami ng dalawang puntos
    . Sa wakas, isang serye    X 4 ay kumakatawan sa mga puntos
    . Inilalagay namin ang lahat ng mga puntong ito sa bilog ng yunit, na nagpapahiwatig sa mga panaklong sa tabi ng bawat isa sa multiplicity nito.

    Ngayon hayaan ang numero magiging pantay. Gumagawa kami ng pagtatantya sa pamamagitan ng sign:

    Kaya ang puntoA dapat piliin sa sinag na bumubuo ng anggulo may sinagoh sa labas ng bilog ng yunit. (Tandaan na ang auxiliary beamO A hindi ito kailangang ipakita sa larawan. DotA pinili humigit-kumulang.)

    Ngayon mula sa puntoA gumuhit kami ng isang kulot na tuloy-tuloy na linya nang sunud-sunod sa lahat ng mga markang punto. At sa mga punto
    ang aming linya ay dumadaan mula sa isang rehiyon patungo sa isa pa: kung ito ay nasa labas ng bilog ng yunit, pagkatapos ay pumasa ito dito. Papalapit sa punto , ang linya ay babalik sa panloob na rehiyon, dahil ang multiplicity ng puntong ito ay pantay. Katulad sa punto (na may pantay na multiplicity) ang linya ay kailangang paikutin sa panlabas na rehiyon. Kaya, gumuhit kami ng isang tiyak na larawan na inilalarawan sa Fig. 7. Nakakatulong na i-highlight ang mga gustong lugar sa bilog ng unit. Ang mga ito ay minarkahan ng "+".

    Fig.7

    Panghuling sagot:

    Tandaan. Kung ang kulot na linya, pagkatapos ng pagtawid sa lahat ng mga puntong minarkahan sa bilog ng yunit, ay hindi maibabalik sa puntoA , nang hindi tumatawid sa bilog sa isang "ilegal" na lugar, nangangahulugan ito na ang isang error ay ginawa sa solusyon, ibig sabihin, ang isang kakaibang bilang ng mga ugat ay tinanggal.

    Sagot: .

    §2. Isang hanay ng mga gawain para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

    Sa proseso ng pagbuo ng kakayahan ng mga mag-aaral na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, 3 yugto ay maaari ding makilala.

    1. paghahanda,

    2. pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko;

    3. pagpapakilala ng mga trigonometrikong hindi pagkakapantay-pantay ng iba pang mga uri.

    Ang layunin ng yugto ng paghahanda ay kinakailangan upang mabuo sa mga mag-aaral ang kakayahang gumamit ng isang trigonometriko na bilog o graph upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, lalo na:

    Kakayahang lutasin ang mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
    ,
    ,
    ,
    ,     gamit ang mga katangian ng sine at cosine function;

    Kakayahang gumawa ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa mga arko ng isang numerical na bilog o para sa mga arko ng mga graph ng mga function;

    Kakayahang magsagawa ng iba't ibang pagbabagong-anyo ng mga trigonometrikong expression.

    Inirerekomenda na ipatupad ang yugtong ito sa proseso ng pag-systematize ng kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga katangian ng mga function ng trigonometriko. Ang pangunahing paraan ay maaaring mga gawain na inaalok sa mga mag-aaral at ginanap sa ilalim ng gabay ng isang guro o nang nakapag-iisa, pati na rin ang mga kasanayang nakuha sa paglutas ng mga trigonometrikong equation.

    Narito ang mga halimbawa ng mga naturang gawain:

    1 . Markahan ang isang punto sa bilog ng yunit , kung

    .

    2. Sa anong quarter ng coordinate plane ang punto , kung katumbas ng:

    3. Markahan ang mga puntos sa trigonometriko na bilog , kung:

    4. Dalhin ang expression sa trigonometriko functionakoquarters.

    a)
    ,     b)
    ,     sa)

    5. Dahil sa arko MR.M - gitnaakoika-kuwarter,R - gitnaIIika-kuwarter. Limitahan ang halaga ng isang variablet para sa: (bumuo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay) a) arc MP; b) mga arko ng RM.

    6. Sumulat ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa mga napiling seksyon ng graph:

    kanin. isa

    7. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
    ,
    ,
    ,
    .

    8. I-convert ang expression .

    Sa ikalawang yugto ng pag-aaral upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, maaari kaming mag-alok ng mga sumusunod na rekomendasyon na may kaugnayan sa pamamaraan para sa pag-aayos ng mga aktibidad ng mga mag-aaral. Kasabay nito, kinakailangan na tumuon sa mga kasanayan ng mga mag-aaral upang gumana sa isang trigonometric na bilog o isang graph, na nabuo sa panahon ng solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

    Una, posibleng hikayatin ang kapakinabangan ng pagkuha ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa pamamagitan ng pagsangguni, halimbawa, sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo.
    . Gamit ang kaalaman at kasanayang nakuha sa yugto ng paghahanda, dadalhin ng mga mag-aaral ang iminungkahing hindi pagkakapantay-pantay sa form
    , ngunit maaaring mahirapan na makahanap ng isang hanay ng mga solusyon sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, dahil imposibleng malutas ito gamit lamang ang mga katangian ng pag-andar ng sine. Ang kahirapan na ito ay maiiwasan sa pamamagitan ng pagtukoy sa naaangkop na paglalarawan (solusyon ng equation sa grapiko o paggamit ng unit circle).

    Pangalawa, dapat itawag ng guro ang atensyon ng mga mag-aaral sa iba't ibang paraan ng pagkumpleto ng gawain, magbigay ng angkop na halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa parehong graphical at paggamit ng trigonometriko na bilog.

    Isaalang-alang ang mga ganitong opsyon para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
    .

    1. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang unit circle.

    Sa unang aralin sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, mag-aalok kami sa mga mag-aaral ng isang detalyadong algorithm ng solusyon, na sa isang hakbang-hakbang na pagtatanghal ay sumasalamin sa lahat ng mga pangunahing kasanayan na kinakailangan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Hakbang 1.Gumuhit ng isang bilog na yunit, markahan ang isang punto sa y-axis at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan nito parallel sa x-axis. Ang linyang ito ay mag-intersect sa unit circle sa dalawang punto. Ang bawat isa sa mga puntong ito ay naglalarawan ng mga numero na ang sine ay katumbas ng .

    Hakbang 2Hinati ng tuwid na linyang ito ang bilog sa dalawang arko. Isa-isahin natin ang isa kung saan ipinapakita ang mga numero na may sinus na mas malaki kaysa . Naturally, ang arko na ito ay matatagpuan sa itaas ng iginuhit na tuwid na linya.

    kanin. 2

    Hakbang 3Pumili tayo ng isa sa mga dulo ng minarkahang arko. Isulat natin ang isa sa mga numero na kinakatawan ng puntong ito ng unit circle .

    Hakbang 4Upang pumili ng isang numero na naaayon sa pangalawang dulo ng napiling arko, "ipasa" namin ang arko na ito mula sa pinangalanang dulo patungo sa isa pa. Kasabay nito, naaalala natin na kapag gumagalaw nang pakaliwa, ang mga numero na ating ipapasa ay tumataas (kapag lumipat sa tapat na direksyon, ang mga numero ay bababa). Isulat natin ang numero na inilalarawan sa bilog ng yunit sa pangalawang dulo ng minarkahang arko .

    Kaya, nakikita natin na ang hindi pagkakapantay-pantay
    masiyahan ang mga numero kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay
    . Nalutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga numero na matatagpuan sa parehong panahon ng function ng sine. Samakatuwid, ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang

    Dapat hilingin sa mga mag-aaral na maingat na isaalang-alang ang figure at alamin kung bakit ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
    maaaring isulat sa anyo
    ,
    .

    kanin. 3

    Kinakailangan na iguhit ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay para sa pag-andar ng cosine, gumuhit kami ng isang tuwid na linya na kahanay sa y-axis.

      Graphical na paraan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Mga tsart ng gusali
    at
    , Kung ganoon
    .

    kanin. apat

    Pagkatapos ay isulat namin ang equation
    at ang kanyang desisyon
    ,
    ,
    , natagpuan gamit ang mga formula
    ,
    ,
    .

    (Pagbibigayn mga halaga 0, 1, 2, nakita namin ang tatlong ugat ng binubuo equation). Mga halaga
    ay tatlong magkakasunod na abscissas ng mga intersection point ng mga graph
    at
    . Malinaw, palaging nasa pagitan
    ang hindi pagkakapantay-pantay
    , at sa pagitan
    - hindi pagkakapantay-pantay
    . Interesado kami sa unang kaso, at pagkatapos ay idagdag sa mga dulo ng agwat na ito ang isang numero na isang multiple ng sine period, nakakakuha kami ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.
    bilang:
    ,
    .

    kanin. 5

    Ibuod. Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay
    , kailangan mong isulat ang kaukulang equation at lutasin ito. Mula sa resultang formula, hanapin ang mga ugat at , at isulat ang sagot ng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo: ,
    .

    Pangatlo, ang katotohanan tungkol sa hanay ng mga ugat ng kaukulang hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay napakalinaw na nakumpirma kapag nilutas ito nang grapiko.

    kanin. 6

    Kinakailangang ipakita sa mga mag-aaral na ang coil, na siyang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, ay umuulit sa parehong pagitan, katumbas ng panahon ng trigonometriko function. Maaari mo ring isaalang-alang ang isang katulad na paglalarawan para sa graph ng function ng sine.

    Pang-apat, ipinapayong magsagawa ng gawain upang i-update ang mga pamamaraan ng mga mag-aaral sa pag-convert ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga function ng trigonometriko sa isang produkto, upang maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa papel ng mga diskarteng ito sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    Ang ganitong gawain ay maaaring ayusin sa pamamagitan ng independiyenteng pagtupad ng mga mag-aaral sa mga gawain na iminungkahi ng guro, kung saan binibigyang-diin namin ang mga sumusunod:

    Ikalima, kailangang ilarawan ng mga mag-aaral ang solusyon ng bawat simpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang isang graph o isang bilog na trigonometriko. Siguraduhing bigyang-pansin ang kapakinabangan nito, lalo na sa paggamit ng isang bilog, dahil kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, ang kaukulang paglalarawan ay nagsisilbing isang napaka-maginhawang paraan ng pag-aayos ng hanay ng mga solusyon sa isang naibigay na hindi pagkakapantay-pantay.

    Ang pagkilala sa mga mag-aaral na may mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, na hindi ang pinakasimpleng, ay dapat isagawa ayon sa sumusunod na pamamaraan: tumutukoy sa isang tiyak na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko na tumutukoy sa kaukulang trigonometric equation na magkasanib na paghahanap (guro - mga mag-aaral) para sa isang solusyon na independiyenteng paglipat ng nahanap na pamamaraan sa iba pang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong uri.

    Upang ma-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa trigonometrya, inirerekumenda namin ang partikular na pagpili ng gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon na nangangailangan ng iba't ibang mga pagbabagong maaaring ipatupad sa proseso ng paglutas nito, na nakatuon sa atensyon ng mga mag-aaral sa kanilang mga tampok.

    Dahil sa mga produktibong hindi pagkakapantay-pantay, maaari naming imungkahi, halimbawa, ang mga sumusunod:

    Sa konklusyon, nagbibigay kami ng isang halimbawa ng isang hanay ng mga problema para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    1. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

    2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: 3. Hanapin ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay: 4. Hanapin ang lahat ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay:

    a)
    , nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon
    ;

    b)
    , nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon
    .

    5. Hanapin ang lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay:

    a) ;

    b) ;

    sa)
    ;

    G)
    ;

    e)
    .

    6. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

    a) ;

    b) ;

    sa) ;

    G)
    ;

    e);

    e);

    at)
    .

    7. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

    a)
    ;

    b) ;

    sa) ;

    G).

    8. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

    a) ;

    b) ;

    sa) ;

    G)
    ;

    e)
    ;

    e);

    at)
    ;

    h).

    Maipapayo na mag-alok ng mga gawain 6 at 7 sa mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa isang advanced na antas, gawain 8 - sa mga mag-aaral sa mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika.

    §3. Mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

    Mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko - iyon ay, ang mga pamamaraan na magagamit lamang upang malutas ang mga equation ng trigonometriko. Ang mga pamamaraan na ito ay batay sa paggamit ng mga katangian ng trigonometriko function, gayundin sa paggamit ng iba't ibang trigonometriko na mga formula at pagkakakilanlan.

    3.1. Paraan ng Sektor

    Isaalang-alang ang pamamaraan ng sektor para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

    , saanP ( x ) atQ ( x ) - rational trigonometric functions (sines, cosines, tangents at cotangents pumapasok sa kanila rationally), katulad ng solusyon ng mga rational inequalities. Ito ay maginhawa upang malutas ang mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan sa totoong axis. Ang analogue nito sa paglutas ng mga makatwirang trigonometriko na hindi pagkakapantay-pantay ay ang paraan ng mga sektor sa isang trigonometric na bilog, para sasinx atcosx (
    ) o isang trigonometric kalahating bilog para sa    tgx atctgx (
    ).


    Sa paraan ng pagitan, bawat linear factor ng numerator at denominator ng form
    point sa number axis , at kapag dumadaan sa puntong ito
    pagbabago ng tanda. Sa pamamaraan ng sektor, bawat multiplier ng form
    , saan
    - isa sa mga function    sinx ocosx at
    , sa isang trigonometric na bilog ay may katumbas na dalawang anggulo at
    , na naghahati sa bilog sa dalawang sektor. Kapag dumaan at function
    pagbabago ng tanda.

    Ang mga sumusunod ay dapat tandaan:

    a) Mga salik ng anyo
    at
    , saan
    , panatilihin ang sign para sa lahat ng value . Ang ganitong mga multiplier ng numerator at denominator ay itatapon, nagbabago (kung
    ) para sa bawat naturang pagtanggi, binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

    b) Mga multiplier ng form
    at
    ay itinatapon din. Bukod dito, kung ito ay mga kadahilanan ng denominator, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ay idinagdag sa katumbas na sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
    at
    . Kung ang mga ito ay mga kadahilanan ng numerator, kung gayon sa katumbas na sistema ng mga hadlang ay tumutugma sila sa mga hindi pagkakapantay-pantay.
    at
    sa kaso ng mahigpit na paunang hindi pagkakapantay-pantay, at pagkakapantay-pantay
    at
    sa kaso ng hindi mahigpit na paunang hindi pagkakapantay-pantay. Kapag bumababa ang multiplier
    o
    ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad.

    Halimbawa 1 Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a)
    , b)
    .     mayroon kaming isang function, b). Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na mayroon tayo

    3.2. Paraan ng concentric na bilog

    Ang pamamaraang ito ay kahalintulad sa paraan ng parallel numerical axes sa paglutas ng mga sistema ng mga rational inequalities.

    Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

    Halimbawa 5 Lutasin ang isang sistema ng mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

    Una, hiwalay nating lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay (Larawan 5). Sa kanang itaas na sulok ng figure, ipahiwatig namin kung aling argumento ang isinasaalang-alang ng trigonometriko na bilog.

    Fig.5

    Susunod, bumuo kami ng isang sistema ng mga concentric na bilog para sa argumentoX . Gumuhit kami ng isang bilog at lilim ito ayon sa solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay gumuhit kami ng isang bilog ng isang mas malaking radius at lilim ito ayon sa solusyon ng pangalawa, pagkatapos ay bumuo kami ng isang bilog para sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay at isang base na bilog . Gumuhit kami ng mga sinag mula sa gitna ng system hanggang sa mga dulo ng mga arko upang sila ay magsalubong sa lahat ng mga bilog. Bumubuo kami ng solusyon sa base na bilog (Larawan 6).

    Fig.6

    Sagot:
    ,
    .

    Konklusyon

    Nakumpleto ang lahat ng layunin ng coursework. Ang teoretikal na materyal ay systematized: ang mga pangunahing uri ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko at ang mga pangunahing pamamaraan para sa kanilang solusyon (graphical, algebraic, paraan ng mga agwat, mga sektor at ang paraan ng mga concentric na bilog) ay ibinibigay. Para sa bawat pamamaraan, ibinigay ang isang halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang teoretikal na bahagi ay sinundan ng praktikal na bahagi. Naglalaman ito ng isang hanay ng mga gawain para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    Ang coursework na ito ay maaaring gamitin ng mga mag-aaral para sa malayang gawain. Maaaring suriin ng mga mag-aaral ang antas ng asimilasyon ng paksang ito, pagsasanay sa pagsasagawa ng mga gawain na may iba't ibang kumplikado.

    Ang pagkakaroon ng trabaho sa pamamagitan ng nauugnay na literatura sa isyung ito, malinaw naman, maaari nating tapusin na ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa kurso ng algebra ng paaralan at ang simula ng pagsusuri ay napakahalaga, ang pagbuo nito ay nangangailangan ng malaking pagsisikap sa bahagi ng ang guro sa matematika.

    Samakatuwid, ang gawaing ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga guro ng matematika, dahil ginagawang posible na epektibong ayusin ang pagsasanay ng mga mag-aaral sa paksang "Mga hindi pagkakapantay-pantay ng Trigonometric".

    Ang pag-aaral ay maaaring ipagpatuloy sa pamamagitan ng pagpapalawak nito sa panghuling gawaing kwalipikado.

    Listahan ng ginamit na panitikan

      Bogomolov, N.V. Koleksyon ng mga problema sa matematika [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.

      Vygodsky, M.Ya. Handbook ng elementarya mathematics [Text] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

      Zhurbenko, L.N. Matematika sa mga halimbawa at gawain [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

      Ivanov, O.A. Elementary mathematics para sa mga mag-aaral, mag-aaral at guro [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

      Karp, A.P. Mga gawain sa algebra at ang simula ng pagsusuri para sa organisasyon ng panghuling pag-uulit at sertipikasyon sa ika-11 baitang [Text] / A.P. Carp. – M.: Enlightenment, 2005. – 79 p.

      Kulanin, E.D. 3000 mapagkumpitensyang problema sa matematika [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

      Leibson, K.L. Koleksyon ng mga praktikal na gawain sa matematika [Text] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.

      Siko, V.V. Mga problema sa mga parameter at ang kanilang solusyon. Trigonometry: mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema. Baitang 10 [Text] / V.V. siko. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

      Manova, A.N. Math. Express tutor para maghanda para sa pagsusulit: account. allowance [Text] / A.N. Manova. - Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. - 541 p.

      Mordkovich, A.G. Algebra at simula ng mathematical analysis. 10-11 baitang. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon [Text] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

      Novikov, A.I. Trigonometric functions, equation at inequalities [Text] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 p.

      Oganesyan, V.A. Mga paraan ng pagtuturo ng matematika sa sekondaryang paaralan: Pangkalahatang pamamaraan. Proc. allowance para sa mga mag-aaral sa pisika. - banig. peke. ped. kasama. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Enlightenment, 2006. – 368 p.

      Olechnik, S.N. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Hindi karaniwang mga paraan ng solusyon [Text] / S.N. Olekhnik. - M .: Publishing House Factorial, 1997. - 219 p.

      Sevryukov, P.F. Trigonometric, exponential at logarithmic equation at inequalities [Text] / P.F. Sevryukov. – M.: Edukasyong Pambansa, 2008. – 352 p.

      Sergeev, I.N. GAMITIN: 1000 gawain na may mga sagot at solusyon sa matematika. Lahat ng mga gawain ng pangkat C [Text] / I.N. Sergeev. – M.: Pagsusulit, 2012. – 301 p.

      Sobolev, A.B. Elementary mathematics [Text] / A.B. Sobolev. - Yekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 p.

      Fenko, L.M. Ang paraan ng mga agwat sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay at pag-aaral ng mga function [Text] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.

      Friedman, L.M. Teoretikal na pundasyon ng pamamaraan ng pagtuturo ng matematika [Text] / L.M. Friedman. - M .: Book house "LIBROKOM", 2009. - 248 p.

    Kalakip 1

    Graphical na interpretasyon ng mga solusyon sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay

    kanin. isa

    kanin. 2

    Fig.3

    Fig.4

    Fig.5

    Fig.6

    Fig.7

    Fig.8

    Annex 2

    Mga solusyon sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay

    Sa isang praktikal na aralin, uulitin namin ang mga pangunahing uri ng mga gawain mula sa paksang "Trigonometry", pag-aaralan din namin ang mga problema ng pagtaas ng pagiging kumplikado at isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko at ang kanilang mga sistema.

    Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng gawain B5, B7, C1 at C3.

    Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-uulit sa mga pangunahing uri ng mga gawain na sinuri natin sa paksang Trigonometry at lutasin ang ilang hindi karaniwang gawain.

    Gawain 1. I-convert ang mga anggulo sa radians at degrees: a) ; b) .

    a) Gamitin ang formula para sa pag-convert ng mga degree sa radians

    Palitan ang ibinigay na halaga dito.

    b) Ilapat ang formula para sa pag-convert ng mga radian sa mga degree

    Gawin natin ang pagpapalit .

    Sagot. a) ; b) .

    Gawain #2. Kalkulahin: a); b) .

    a) Dahil ang anggulo ay malayo sa talahanayan, binabawasan namin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng panahon ng sine. kasi ang anggulo ay ibinibigay sa radians, pagkatapos ay ituturing ang panahon bilang .

    b) Sa kasong ito, magkatulad ang sitwasyon. Dahil ang anggulo ay tinukoy sa mga degree, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang panahon ng tangent bilang .

    Ang resultang anggulo, kahit na mas mababa kaysa sa panahon, ay mas malaki, na nangangahulugan na hindi na ito tumutukoy sa pangunahing, ngunit sa pinalawak na bahagi ng talahanayan. Upang hindi na muling sanayin ang ating memorya sa pamamagitan ng pagsasaulo ng pinahabang talahanayan ng mga halaga ng trigofunction, binabawasan natin muli ang tangent period:

    Sinamantala namin ang kakaiba ng padaplis na function.

    Sagot. a) 1; b) .

    Gawain #3. Kalkulahin , kung .

    Dinadala namin ang buong expression sa tangents sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator ng fraction sa . Sa parehong oras, hindi namin maaaring matakot na, dahil sa kasong ito, ang halaga ng tangent ay hindi iiral.

    Gawain #4. Pasimplehin ang expression.

    Ang mga tinukoy na expression ay kino-convert gamit ang mga cast formula. Ito ay lamang na ang mga ito ay hindi karaniwang nakasulat gamit ang mga degree. Ang unang expression ay karaniwang isang numero. Pasimplehin ang lahat ng trigofunction sa turn:

    kasi , pagkatapos ay nagbabago ang function sa isang cofunction, i.e. sa cotangent, at ang anggulo ay bumagsak sa ikalawang quarter, kung saan negatibo ang sign ng orihinal na tangent.

    Para sa parehong mga kadahilanan tulad ng sa nakaraang expression, ang function ay nagbabago sa isang cofunction, i.e. sa cotangent, at ang anggulo ay bumagsak sa unang quarter, kung saan ang unang tangent ay may positibong tanda.

    Ang pagpapalit ng lahat sa isang pinasimpleng expression:

    Gawain #5. Pasimplehin ang expression.

    Isulat natin ang tangent ng double angle ayon sa kaukulang formula at pasimplehin ang expression:

    Ang huling pagkakakilanlan ay isa sa mga pangkalahatang kapalit na formula para sa cosine.

    Gawain #6. Kalkulahin ang .

    Ang pangunahing bagay ay hindi gumawa ng isang karaniwang error at hindi magbigay ng sagot na ang expression ay katumbas ng . Imposibleng gamitin ang pangunahing pag-aari ng arc tangent habang mayroong isang kadahilanan sa anyo ng isang dalawang malapit dito. Upang mapupuksa ito, isinulat namin ang expression ayon sa pormula para sa tangent ng isang dobleng anggulo, habang tinatrato namin ito bilang isang ordinaryong argumento.

    Ngayon posible na ilapat ang pangunahing pag-aari ng arc tangent, tandaan na walang mga paghihigpit sa resulta ng numero nito.

    Gawain #7. Lutasin ang equation.

    Kapag nilulutas ang isang fractional equation na katumbas ng zero, palaging ipinapahiwatig na ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.

    Ang unang equation ay isang espesyal na kaso ng pinakasimpleng equation, na nalulutas gamit ang isang trigonometric na bilog. Isipin ang solusyong ito sa iyong sarili. Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas bilang ang pinakasimpleng equation gamit ang pangkalahatang pormula para sa mga ugat ng tangent, ngunit lamang sa sign na hindi pantay.

    Tulad ng nakikita natin, ang isang pamilya ng mga ugat ay nagbubukod ng isa pang eksaktong parehong pamilya ng mga ugat na hindi nakakatugon sa equation. Yung. walang mga ugat.

    Sagot. Walang mga ugat.

    Gawain #8. Lutasin ang equation.

    Agad na tandaan na maaari mong alisin ang karaniwang kadahilanan at gawin ito:

    Ang equation ay nabawasan sa isa sa mga karaniwang anyo, kapag ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Alam na natin na sa kasong ito alinman sa isa sa kanila ay katumbas ng zero, o ang isa pa, o ang pangatlo. Isinulat namin ito bilang isang hanay ng mga equation:

    Ang unang dalawang equation ay mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng mga equation, maraming beses na nating nakilala ang mga katulad na equation, kaya agad naming ipahiwatig ang kanilang mga solusyon. Binabawasan namin ang ikatlong equation sa isang function gamit ang double angle sine formula.

    Lutasin natin ang huling equation nang hiwalay:

    Ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil ang halaga ng sine ay hindi maaaring lampasan .

    Kaya, tanging ang unang dalawang pamilya ng mga ugat ang solusyon, maaari silang pagsamahin sa isa, na madaling ipakita sa isang trigonometriko na bilog:

    Ito ay isang pamilya ng lahat ng kalahati, i.e.

    Lumipat tayo sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Una, suriin natin ang diskarte sa paglutas ng isang halimbawa nang hindi gumagamit ng mga pangkalahatang formula ng solusyon, ngunit sa tulong ng isang trigonometriko na bilog.

    Gawain #9. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Gumuhit ng pantulong na linya sa trigonometriko na bilog na tumutugma sa halaga ng sinus na katumbas ng , at ipakita ang pagitan ng mga anggulo na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay.

    Napakahalaga na maunawaan nang eksakto kung paano tukuyin ang nagresultang pagitan ng anggulo, i.e. ano ang simula at kung ano ang wakas nito. Ang simula ng gap ay ang anggulo na tumutugma sa punto na papasok tayo sa pinakasimula ng gap kung kikilos tayo ng counterclockwise. Sa aming kaso, ito ang punto na nasa kaliwa, dahil gumagalaw nang pakaliwa at pumasa sa tamang punto, sa kabaligtaran, lumalabas kami sa kinakailangang pagitan ng anggulo. Samakatuwid, ang tamang punto ay tumutugma sa dulo ng puwang.

    Ngayon ay kailangan nating maunawaan ang mga halaga ng simula at pagtatapos ng mga anggulo ng ating gap ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang karaniwang pagkakamali ay agad na ipahiwatig na ang tamang punto ay tumutugma sa anggulo , sa kaliwa at ibigay ang sagot. Hindi ito totoo! Mangyaring tandaan na ipinahiwatig lamang namin ang pagitan na naaayon sa itaas na bahagi ng bilog, bagaman interesado kami sa ibaba, sa madaling salita, pinaghalo namin ang simula at pagtatapos ng pagitan ng mga solusyon na kailangan namin.

    Upang magsimula ang pagitan sa sulok ng kanang punto at magtapos sa sulok ng kaliwang punto, dapat na mas mababa ang unang tinukoy na anggulo kaysa sa pangalawa. Upang gawin ito, kakailanganin nating sukatin ang anggulo ng tamang punto sa negatibong direksyon ng sanggunian, i.e. clockwise at ito ay magiging katumbas ng . Pagkatapos, simula dito sa isang positibong direksyon sa clockwise, pupunta tayo sa tamang punto pagkatapos ng kaliwang punto at makuha ang halaga ng anggulo para dito. Ngayon ang simula ng pagitan ng mga anggulo ay mas mababa kaysa sa dulo ng , at maaari nating isulat ang pagitan ng mga solusyon nang hindi isinasaalang-alang ang panahon:

    Isinasaalang-alang na ang mga naturang agwat ay uulit ng isang walang katapusang bilang ng mga beses pagkatapos ng anumang integer na bilang ng mga pag-ikot, nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon, na isinasaalang-alang ang panahon ng sine:

    Naglalagay kami ng mga bilog na bracket dahil mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, at tinutusok namin ang mga punto sa bilog na tumutugma sa mga dulo ng pagitan.

    Ihambing ang iyong sagot sa pormula para sa pangkalahatang solusyon na ibinigay namin sa panayam.

    Sagot. .

    Ang pamamaraang ito ay mabuti para sa pag-unawa kung saan nagmumula ang mga formula para sa mga pangkalahatang solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonal. Bilang karagdagan, ito ay kapaki-pakinabang para sa mga masyadong tamad na matutunan ang lahat ng mga masalimuot na formula na ito. Gayunpaman, ang pamamaraan mismo ay hindi rin madali, piliin kung aling diskarte sa solusyon ang pinaka-maginhawa para sa iyo.

    Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, maaari mo ring gamitin ang mga function graph kung saan itinayo ang auxiliary line, katulad ng pamamaraang ipinapakita gamit ang unit circle. Kung interesado ka, subukang unawain ang diskarte sa solusyon sa iyong sarili. Sa mga sumusunod, gagamitin namin ang mga pangkalahatang formula upang malutas ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

    Gawain #10. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Ginagamit namin ang pangkalahatang formula ng solusyon, na isinasaalang-alang na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit:

    Nakukuha namin sa aming kaso:

    Sagot.

    Gawain #11. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

    Ginagamit namin ang pangkalahatang formula ng solusyon para sa kaukulang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay:

    Sagot. .

    Gawain #12. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) ; b) .

    Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, hindi dapat magmadali ang isang tao na gumamit ng mga formula para sa mga pangkalahatang solusyon o isang trigonometriko na bilog, sapat lamang na matandaan ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine.

    a) Dahil , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang kabuluhan. Samakatuwid, walang mga solusyon.

    b) Dahil gayundin, ang sine ng anumang argumento ay palaging nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kundisyon. Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan ng lahat ng tunay na halaga ng argumento.

    Sagot. a) walang mga solusyon; b) .

    Gawain 13. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay .

    MGA KAUGNAY NA ARTIKULO