21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

Sagot: 1; 2.

§6. Paglutas ng mga equation na may mga module at parameter

Isaalang-alang natin ang ilang mga equation kung saan lumilitaw ang variable na x sa ilalim ng modulus sign. Alalahanin natin iyon

x, kung x ≥ 0,

x = − x kung x< 0.

Halimbawa 1: Lutasin ang equation:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X =1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Kung ang modulus ng isang numero ay 3, ang bilang na ito ay katumbas ng alinman sa 3 o (− 3),

ibig sabihin, x − 2 = 3, x = 5 o x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Mula sa depinisyon ng isang modyul ito ay sumusunod na

x+1

X + 1, para sa x + 1 ≥ 0,

ibig sabihin, para sa x ≥ − 1 at

x+1

= − x − 1 sa x< − 1. Выражение

2x − 3

2 x − 3 kung x ≥ 3

at katumbas ng − 2 x + 3 kung x< 3 .

x< −1

ang equation

katumbas

equation

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, kung saan sinusundan iyon

x = 5. Ngunit ang bilang 5 ay hindi

natutugunan ang kondisyon x< − 1, следовательно,

sa x< − 1 данное

ang equation ay walang mga solusyon.

−1 ≤ x<

ang equation

katumbas

equation

x + 1− (2x + 3) = 1, na nagpapahiwatig na x = 1;

number 1 nasiyahan-

nakakatugon sa kundisyon − 1 ≤ x<

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

x ≥

ang equation

katumbas

equation

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, na mayroong solusyon x = 3. At dahil ang numero ay 3

natutugunan ang kundisyon x ≥

pagkatapos ito ay isang solusyon sa equation.

x+2

c) Kung ang numerator at denominator ng fraction

magkaroon ng pareho

x − 1

mga palatandaan, kung gayon ang bahagi ay positibo, at kung iba, kung gayon ito ay negatibo, i.e.

x+2

x+2

Kung x ≤ − 2, kung x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Kung − 2< x < 1.

−1

Para sa x ≤ − 2

at para sa x > 1

ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

x+2

X =1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x − 1

Ang huling equation ay walang mga solusyon.

Sa − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x − 1

Hanapin natin ang mga ugat ng equation na ito:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Mga hindi pagkakapantay-pantay

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Samakatuwid, ang numerong ito ay ang solusyon sa equation.

x ≥ 0 ibinigay

ang equation

katumbas

equation

x 2 − x −6 = 0,

na ang mga ugat ay ang mga numero 3 at – 2. Bilang 3

natutugunan ang kundisyon x > 0,

at ang bilang – 2 ay hindi nakakatugon sa kundisyong ito-

Samakatuwid, ang numero 3 lamang ang solusyon sa orihinal

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation
		x ≥ − 1 ibinigay	ang equation	katumbas				equation
6 x 2 − x − 1 = 0, hanapin ang mga ugat nito: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa kundisyon x ≥ − 1,					samakatuwid, sila ay
ay mga solusyon ng equation na ito. Sa				x< − 1 данное уравнение
ay katumbas ng equation na 6 x 2 + x + 1 = 0, na walang mga solusyon.
Hayaang ibigay ang mga expression na f (x, a) at g (x, a),					nakadepende sa mga pagbabago
x	at a.	Tapos yung equation	f (x, a) = g(x, a)		patungkol sa mga pagbabago

si noah x ang tawag equation na may parameter a. Ang paglutas ng isang equation na may isang parameter ay nangangahulugan, para sa anumang katanggap-tanggap na halaga ng parameter, paghahanap ng lahat ng mga solusyon sa isang ibinigay na equation.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation para sa lahat ng wastong halaga ng parameter a:

a) palakol 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Pagpapahayag 4 a 2		3 > 0 para sa anumang a ; para sa isang > − 2 mayroong
	a+2
mayroon kaming dalawang solusyon: x =			4a 2 + 3	at x = −	4a 2		Kung	a+2< 0, то
			a+2		a+2

expression 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Sagot: x = ±	4a 2 + 3	Para sa isang > − 2;	para sa isang ≤ − 2 walang mga solusyon.
		a+2
				pagkatapos x 2 = a + 3. Kung a + 3 = 0,
	b) Kung a = 3, kung gayon x. Kung ang isang ≠ 3,
	mga. kung a = − 3,	pagkatapos ang equation ay may natatanging solusyon x = 0. Ec-

kung a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 at a ≠ 3, pagkatapos ang equation ay may dalawang solusyon: x 1 = a + 3 at x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

a = 1 ang equation na ito ay nasa anyo

4x − 1 = 0,

x = 1

ay ang kanyang desisyon. Sa

a ≠ 1 ang equation na ito ay

parisukat, ang discriminant D 1 nito ay katumbas ng

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Kung 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

kung gayon ang equation na ito ay walang mga solusyon.

Kung a =

kung gayon ang equation ay may natatanging solusyon

a+1

x = −

a − 1

−1

Kung ang isang >

at isang ≠ 1,

pagkatapos ang equation na ito ay may dalawang solusyon:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a − 1

−(a +1 ) ±

1 sa

a = 1; x = 3

sa a

; x =

5a − 1

a − 1

para sa isang > 1

at isang ≠ 1; sa a< 1

ang equation ay walang mga solusyon.

§7. Paglutas ng mga sistema ng mga equation. Paglutas ng mga problema na bumababa sa mga quadratic equation

Sa seksyong ito ay isasaalang-alang natin ang mga sistema na naglalaman ng mga equation ng ikalawang antas.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

2x + 3y = 8,

xy = 2.

Sa sistemang ito, ang equation na 2 x + 3 y = 8 ay isang first degree equation, at ang equation na xy = 2 ay isang second degree equation. Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang pamamaraan

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

mga pagpapalit. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin ang x hanggang y at pinapalitan ang expression na ito para sa x sa pangalawang equation ng system:

	8 − 3y	4 −
				y, 4			y y = 2.

Ang huling equation ay bumababa sa isang quadratic equation

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Natagpuan namin ang mga ugat nito:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2,y

Mula sa kundisyon x = 4 −

nakukuha namin ang x = 1, x

Sagot: (1;2) at

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema ng mga equation:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

I-multiply ang magkabilang panig ng pangalawang equation ng 2 at idagdag ang mga ito sa una

equation ng system:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, saan
sumusunod na ang x + y = 9 o x + y = − 9.
Kung x + y = 9 kung gayon	x = 9 − y. Ipalit natin ang expression na ito para sa x sa
pangalawang equation ng system:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y				4, x = 4, x = 5.
Mula sa kundisyon x + y = − 9 nakakakuha tayo ng mga solusyon (− 4; − 5) at (− 5; − 4).
Sagot: (± 4;± 5), (± 5;± 4) .
Halimbawa 3. Lutasin ang sistema ng mga equation:
		y = 1,
	x−
	x−y

Isulat natin ang pangalawang equation ng system sa form

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

Gamit ang equation x − y = 1, nakukuha natin ang: x + y = 5. Sa gayon, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation na katumbas ng ibinigay

	x−	y = 1,
		y = 5.

Idagdag natin ang mga equation na ito, makakakuha tayo ng: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Ang pagpapalit ng x = 9 sa unang equation			mga sistema ng pagtanggap
mayroon tayong 3 − y = 1, na nangangahulugang y = 4.
Sagot: (9;4).	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Halimbawa 4. Lutasin ang sistema ng mga equation: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Ipakilala natin ang mga bagong variable	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
ang sistema ay binawasan sa anyo (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Malutas namin ang equation:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Pinapalitan namin ang halagang ito para sa iyo sa equation:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation:
	x + y = 2,
x + y = 2,
	At
xy = 10	xy = − 8.
Nilulutas namin ang parehong mga sistema gamit ang paraan ng pagpapalit. Para sa unang sistema mayroon kaming:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Ang resultang quadratic equation ay walang mga solusyon. Para sa pangalawang sistema mayroon kaming: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Pagkataposx1 = − 2 Atx2 = 4. Sagot: (− 2;4 ) At(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

pinarami ng 3, nakukuha natin:

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

Halimbawa 5. Lutasin ang sistema ng mga equation:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Mula sa unang equation na pinarami ng 2, ibawas ang pangalawang equation,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Kung y= 0, pagkatapos at x= 0, ngunit isang pares ng mga numero (0;0 ) ay hindi solusyon sa orihinal na sistema. Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation na nakuha

royalty sa y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y At x = − y .

−3

= 0,

y

Palitan natin

ibig sabihin

x =

3y

unang equation

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Palitan ang halaga x= − y sa unang equation ng system: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Walang mga solusyon.

Halimbawa 9. Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang sistema ng mga equation

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = palakol 2 .

ay may kahit isang solusyon.

Ang sistemang ito ay tinatawag na sistemang may parameter. Maaari silang malutas sa analytically, i.e. gamit ang mga formula, o maaari mong gamitin ang tinatawag na graphical na paraan.

Tandaan na ang unang equation ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro nito sa punto (0;2 ) na may radius 1. Ang pangalawang equation sa a≠ 0 tumutukoy sa isang parabola na may tuktok nito sa pinanggalingan.

Kung a 2

Kung sakaling a) ang parabola ay padaplis sa bilog. Mula sa pangalawang equation ng system ay sumusunod:

oo yun x2 = y/ a,

palitan ang mga halagang ito para sa

x 2

sa unang equation:

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Sa kaso ng tangency, dahil sa simetrya, mayroon lamang isang halaga y, samakatuwid ang discriminant ng resultang equation ay dapat na

ay katumbas ng 0. Dahil ang ordinate y positibo ang punto ng pakikipag-ugnay, atbp.

y = 2

− a

nakukuha natin,

> 0; D

1 2

4 − a

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

makuha namin: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Kung a> 2 + 2 3 , pagkatapos ay mag-intersect ang parabola sa bilog sa 4 na puntos -

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, ika-8 baitang. Mathematics. Quadratic equation

Samakatuwid, ang sistema ay may hindi bababa sa isang solusyon kung

a≥ 2 + 2 3 .

Halimbawa 10. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga digit ng ilang natural na dalawang-digit na numero ay 9 na mas malaki kaysa sa dalawang beses sa produkto ng mga digit na ito. Pagkatapos hatiin ang dalawang-digit na numerong ito sa kabuuan ng mga digit nito, ang quotient ay 4 at ang natitira ay 3. Hanapin ang dalawang-digit na numerong ito.

Hayaan ang dalawang-digit na numero 10 a+ b, saan a At b- ang mga digit ng numerong ito. Pagkatapos mula sa unang kondisyon ng problema ay nakuha namin: a2 + b2 = 9 + 2 ab, at mula sa pangalawang kundisyon nakukuha natin: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Nalutas namin ang sistema ng mga equation: 6 a− 3 b= 3.

Mula sa pangalawang equation ng system na nakuha namin

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Palitan ang halagang ito para sa b sa unang equation ng system:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Sagot: 47.

Halimbawa 11. Pagkatapos ng paghahalo ng dalawang solusyon, ang isa ay naglalaman ng 48 g at ang isa pang 20 g, anhydrous potassium iodide, 200 g ng isang bagong solusyon ay nakuha. Hanapin ang konsentrasyon ng bawat isa sa mga orihinal na solusyon kung ang konsentrasyon ng unang solusyon ay 15% na mas malaki kaysa sa konsentrasyon ng pangalawa.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng x% ay ang konsentrasyon ng pangalawang solusyon, at pagkatapos (x+ 15 ) % - konsentrasyon ng unang solusyon.

(x+ 15 )%			x %
solusyon ko			II solusyon

Sa unang solusyon 48 g ay (x+ 15 ) % ng timbang ng kabuuang solusyon,

samakatuwid ang bigat ng solusyon ay x48 + 15 100. Sa pangalawang solusyon 20 g ng co-

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Target:

• paulit-ulit na paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable
• tukuyin ang isang sistema ng mga linear na equation na may mga parameter
• ay magtuturo sa iyo kung paano lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation na may mga parameter.

Sa panahon ng mga klase

1. Oras ng pag-aayos
2. Pag-uulit
3. Pagpapaliwanag ng bagong paksa
4. Pagsasama-sama
5. Buod ng Aralin
6. Takdang aralin

2. Pag-uulit:

I. Linear equation na may isang variable:

1. Tukuyin ang isang linear equation na may isang variable

[Ang isang equation ng form na ax=b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag na isang linear equation na may isang variable]

2. Ilang ugat ang maaaring magkaroon ng linear equation?

[- Kung a=0, b0, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon, x

Kung a=0, b=0, kung gayon ang x R

Kung a0, kung gayon ang equation ay may natatanging solusyon, x =

3. Alamin kung gaano karaming mga ugat ang equation (ayon sa mga opsyon)

II. Linear equation na may 2 variable at sistema ng linear equation na may 2 variable.

1. Tukuyin ang isang linear equation sa dalawang variable. Magbigay ng halimbawa.

[Ang isang linear na equation na may dalawang variable ay isang equation ng form na ax + by = c, kung saan ang x at y ay mga variable, a, b at c ay ilang mga numero. Halimbawa, x-y=5]

2. Ano ang tawag sa paglutas ng equation na may dalawang variable?

[Ang isang solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay isang pares ng mga halaga ng mga variable na lumiliko ang equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.]

3. Ang pares ba ng mga halaga ng mga variable x = 7, y = 3 ay isang solusyon sa equation na 2x + y = 17?

4. Ano ang tinatawag na graph ng isang equation sa dalawang variable?

[Ang graph ng isang equation na may dalawang variable ay ang set ng lahat ng mga punto sa coordinate plane na ang mga coordinate ay mga solusyon sa equation na ito.]

5. Alamin kung ano ang graph ng equation:

[Ipahayag natin ang variable na y hanggang x: y=-1.5x+3

Ang formula na y=-1.5x+3 ay isang linear function, na ang graph ay isang tuwid na linya. Dahil ang mga equation na 3x+2y=6 at y=-1.5x+3 ay katumbas, ang linyang ito ay isa ring graph ng equation na 3x+2y=6]

6. Ano ang graph ng equation na ax+bу=c na may mga variable na x at y, kung saan a0 o b0?

[Ang graph ng isang linear equation na may dalawang variable kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng mga variable ay hindi zero ay isang tuwid na linya.]

7. Ano ang tinatawag na paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable?

[Ang isang solusyon sa isang sistema ng mga equation na may dalawang variable ay isang pares ng mga halaga ng mga variable na lumiliko sa bawat equation ng system sa isang tunay na pagkakapantay-pantay]

8. Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga equation?

[Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o patunayan na walang mga solusyon.]

9. Alamin kung ang ganitong sistema ay palaging may mga solusyon at, kung gayon, kung ilan (graphically).

10. Ilang mga solusyon ang maaaring mayroon ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable?

[Ang tanging solusyon ay kung ang mga linya ay magsalubong; ay walang mga solusyon kung ang mga linya ay parallel; walang hanggan marami kung magkasabay ang mga linya]

11. Anong equation ang karaniwang tumutukoy sa isang tuwid na linya?

12. Magtatag ng koneksyon sa pagitan ng angular coefficient at mga libreng termino:

Pagpipilian I: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, walang solusyon;

Pagpipilian II: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , isang solusyon;

Pagpipilian III: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, maraming solusyon.

Konklusyon:

1. Kung ang mga angular coefficient ng mga linya na mga graph ng mga function na ito ay iba, kung gayon ang mga linyang ito ay magsalubong at ang system ay may natatanging solusyon.
2. Kung ang mga angular coefficient ng mga linya ay pareho, at ang mga punto ng intersection sa y-axis ay iba, kung gayon ang mga linya ay magkatulad, at ang sistema ay walang mga solusyon.
3. Kung ang mga angular coefficient at ang mga intersection point na may y-axis ay pareho, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma at ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.

May isang mesa sa pisara, na unti-unting pinupunan ng guro at mga mag-aaral.

III. Pagpapaliwanag ng bagong paksa.

Kahulugan: Tingnan ang sistema

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

kung saan ang A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 ay mga expression na depende sa mga parameter, at ang x at y ay hindi alam, ay tinatawag na isang sistema ng dalawang linear algebraic equation na may dalawang hindi alam sa mga parameter.

Posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon

2) Kung , kung gayon ang sistema ay walang mga solusyon

3) Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.

IV. Pagsasama-sama

Halimbawa 1.

Sa anong mga halaga ng parameter a ginagawa ng system

• 2x - 3y = 7
• ah - 6y = 14

a) may walang katapusang bilang ng mga solusyon;

b) may natatanging solusyon

Sagot:

a) kung a=4, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon;

b) kung a4, pagkatapos ay mayroon lamang isang solusyon.

Halimbawa 2.

Lutasin ang sistema ng mga equation

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Solusyon: a) , ibig sabihin. para sa m1 ang sistema ay may natatanging solusyon.

b), ibig sabihin. para sa m=1 (2=m+1) at n1 ang orihinal na sistema ay walang mga solusyon

c) , para sa m=1 at n=1 ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon.

Sagot: a) kung m=1 at n1, kung gayon walang mga solusyon

b) m=1 at n=1, kung gayon ang solusyon ay isang walang katapusang set

• y - kahit sino
• x=n-2y

c) kung ang m1 at n ay anuman, kung gayon

Halimbawa 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Solusyon: Mula sa equation II nakita natin ang x = 1-аy at i-substitute ang equation I sa equation

а(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Mga posibleng kaso:

1) a=0. Pagkatapos ang equation ay mukhang 0*y=3 [y ]

Samakatuwid, para sa a=0 ang sistema ay walang mga solusyon

2) a=-3. Pagkatapos 0*y=0.

Samakatuwid, y. Sa kasong ito x=1-ау=1+3у

3) a0 at a-3. Pagkatapos ay y=-, x=1-a(-=1+1=2

Sagot:

1) kung a=0, kung gayon (x; y)

2) kung a=-3, kung gayon x=1+3y, y

3) kung a0 at a?-3, pagkatapos x=2, y=-

Isaalang-alang natin ang pangalawang paraan ng paglutas ng sistema (1).

Lutasin natin ang system (1) gamit ang algebraic na paraan ng pagdaragdag: una, i-multiply ang unang equation ng system sa B 2, ang pangalawa sa B 1 at idagdag ang mga equation na ito sa pamamagitan ng term, kaya inaalis ang variable na y:

kasi A 1 B 2 -A 2 B 1 0, pagkatapos x =

Ngayon alisin natin ang variable na x. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation ng system (1) sa A 2, at ang pangalawa sa A 1, at idagdag ang parehong termino ng equation sa pamamagitan ng termino:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

kasi A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Para sa kaginhawahan ng sistema ng paglutas (1), ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon:

- pangunahing determinant

Ngayon ang solusyon sa system (1) ay maaaring isulat gamit ang mga determinant:

Ang mga ibinigay na formula ay tinatawag na Cramer's formula.

Kung , ang system (1) ay may natatanging solusyon: x=; y=

Kung , o , ang system (1) ay walang mga solusyon

Kung , , , , kung gayon ang sistema (1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Sa kasong ito, kailangang imbestigahan pa ang sistema. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ito ay nabawasan sa isang linear equation. Sa kasong ito, madalas na maginhawang pag-aralan ang system sa sumusunod na paraan: sa pamamagitan ng paglutas ng equation, nakakahanap kami ng mga tiyak na halaga ng mga parameter o ipahayag ang isa sa mga parameter sa mga tuntunin ng iba at pinapalitan ang mga halaga ng parameter na ito sa ang sistema. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang sistema na may mga tiyak na numerical coefficient o may mas maliit na bilang ng mga parameter, na dapat pag-aralan.

Kung ang mga coefficients A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ng system ay nakasalalay sa ilang mga parameter, kung gayon ito ay maginhawa upang pag-aralan ang system gamit ang mga determinant ng system.

Halimbawa 4.

Para sa lahat ng mga halaga ng parameter a, lutasin ang sistema ng mga equation

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Solusyon: Hanapin natin ang determinant ng system:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Aralin "Paglutas ng mga linear equation na may parameter na naglalaman ng module."

Layunin: upang bumuo ng kakayahang malutas ang mga linear na equation na may isang parameter na naglalaman ng isang module; bumuo ng lohikal na pag-iisip at independiyenteng mga kasanayan sa trabaho.

Kagamitan: presentasyon.

Sa panahon ng mga klase.

1. Upang mai-update ang kaalaman ng mga mag-aaral, kailangang ulitin ang konsepto ng modyul at lutasin ang ilang equation na may modyul: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.

Pagkatapos ay sabihin sa mga estudyante na sagutin ang tanong na: Ilang ugat ang maaaring magkaroon ng isang equation na may modulus at saan ito nakasalalay?

Ang konklusyon ay nakapaloob sa slide 2. Nakasulat ito sa isang notebook.

Pagsusuri ng solusyon sa equation |x - 2 |= 3

Pangharap na gawain kasama ang klase: paglutas ng equation 1. |x + 4 |= 0.

Paglutas ng mga equation sa iyong sarili:

2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. Suriin.

Pagsusuri ng solusyon ehersisyo 1 :

Tukuyin ang bilang ng mga ugat ng equation

||x| +5 - a |= 2. (slide 3)

Mga komento ng guro: ito ay isang equation na may isang parameter, i.e. may variable a. Depende sa halaga ng variable na ito, magbabago ang anyo ng equation. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga ugat ng equation ay nakasalalay sa a.

Anyayahan ang mga estudyante na sagutin ang gawaing tanong na “Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation ||x| Ang +5 - at |= 2 ay may eksaktong 3 ugat. (Kung mayroong higit sa isang halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan sa form ng sagot). Sagot: 7. (slide 4)

Lutasin sa board gawain 2: Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation ||x| - 3 + a |= 4 ay may eksaktong 3 ugat. Sagot: - 1.

Pansariling gawain.Mag-ehersisyo 3 .Hanapin ang lahat ng value ng a, para sa bawat isa kung saan ang equation ||x| -4+ at |= 3 ay may eksaktong 1 ugat. Sagot: 7.

Gawain 4 . Para sa anong mga halaga ng isang ginagawa ang equation

|a - 5 - |x||= Ang 3 ay may kakaibang bilang ng mga ugat (kung mayroong higit sa isang halaga ng a, pagkatapos ay isulat ang kanilang kabuuan sa sagutang papel). Sagot: 10.

Anyayahan ang mga estudyante na alamin kung paano lutasin ang problema gamit ang parity property ng isang function at isang graphical na pamamaraan.

7. Buod ng aralin. Ano ang ginawa mo sa klase ngayon? Mayroon bang bago at nakapagtuturo para sa iyo? Ano ang gusto mong gawin sa susunod mong aralin?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1.3 x − 4 y − 6 z = − 23.

I-equalize ang mga coefficient para sa x sa una at pangalawang equation, para magawa ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa 6, at ng pangalawang equation sa 10, nakukuha natin:

60x − 30 y − 18z = − 54.60x + 40 y − 50z = − 10.

Ibawas namin ang unang equation mula sa pangalawang equation ng resultang sistema.

Samakatuwid, nakukuha natin ang: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Mula sa pangalawang equation ng orihinal na sistema ay ibawas natin ang ikatlong equation na pinarami ng 2, nakukuha natin: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 y + 7z = 45.

Ngayon malulutas namin ang isang bagong sistema ng mga equation:

35y − 16z = 22.12y + 7z = 45.

Sa unang equation ng bagong system, na pinarami ng 7, idinagdag namin ang pangalawang equation, na pinarami ng 16, nakukuha namin:

35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Ngayon ay pinapalitan natin ang y = 2, z = 3 sa unang equation ng orihinal na sistema

mga paksa, nakukuha natin ang: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Sagot: (1; 2;3). ▲

§ 3. Solusyon ng mga system na may mga parameter at may mga module

ax + 4 y = 2 a,

Isaalang-alang ang sistema ng mga equation

x + ay = a.

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, ika-8 baitang. Mathematics. Mga sistema ng equation.

Mayroong talagang tatlong mga variable sa sistemang ito, katulad: a, x, y. x at y ay itinuturing na hindi kilala, ang a ay tinatawag na isang parameter. Kinakailangang maghanap ng mga solusyon (x, y) ng sistemang ito para sa bawat halaga ng parameter a.

Ipakita natin kung paano malulutas ang mga ganitong sistema. Ipahayag natin ang variable na x mula sa pangalawang equation ng system: x = a − ay. Pinapalitan namin ang halagang ito para sa x sa unang equation ng system, nakukuha namin ang:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Kung a = 2, pagkatapos ay makuha natin ang equation na 0 y = 0. Ang equation na ito ay nasiyahan ng anumang numero y, at pagkatapos ay x = 2 − 2 y, ibig sabihin, para sa a = 2, ang pares ng mga numero (2 − 2 y; y) ay isang solusyon sa sistema . Dahil maaari kang maging

anumang numero, kung gayon ang sistema na may a = 2 ay may walang katapusang maraming solusyon.

Kung a = − 2, makuha natin ang equation na 0 y = 8. Ang equation na ito ay walang solusyon.

Kung ngayon ay isang ≠ ± 2,				pagkatapos ay y =		a (2 − a)
						(2 − a )(2 + a )		2+a
x = a − ay = a −
				2+a

Sagot: Para sa a = 2, ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon sa anyong (2 − 2 y; y), kung saan ang y ay anumang numero;

para sa a = − 2 ang sistema ay walang mga solusyon;
para sa isang ≠ ± 2, ang sistema ay may natatanging solusyon						. ▲
		2+a		2+a

Nalutas namin ang sistemang ito at itinatag para sa kung anong mga halaga ng parameter a ang sistema ay may isang solusyon, kapag mayroon itong walang katapusang maraming mga solusyon, at para sa kung anong mga halaga ng parameter a wala itong mga solusyon.

Halimbawa 1: Lutasin ang sistema ng mga equation

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, ika-8 baitang. Mathematics. Mga sistema ng equation.

−3

y − 1

3x − 2 y = 5.

Mula sa pangalawang equation ng system ipinapahayag namin ang x hanggang y, nakukuha namin

2 taon + 5

pinapalitan namin ang halagang ito para sa x sa unang equation ng system

mga paksa, makukuha natin:

2y + 5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Pagpapahayag

y = −

y > −

; Kung

−5

= −y

Expression y − 1 = 0,

kung y = 1. Kung

y > 1, pagkatapos

y − 1

Y − 1, at es-

kung y< 1, то

y − 1

1 − y .

Kung y ≥ 1, kung gayon

y − 1

Y−1 at

makuha namin ang equation:

−3(y

− 1) = 3,

−3 y

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Ang bilang 2 > 1, kaya ang pares (3;2) ay muling-

pagbabago ng sistema.

Hayaan mo na

5 ≤ y<1,

y − 1

− y;

paghahanap

nakukuha namin

ang equation

3y−3

4 y + 10

3 y = 6,

13 taon = 8

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, ika-8 baitang. Mathematics. Mga sistema ng equation.

(2 y + 5) =

Ngunit mas mababa sa

kaya isang pares ng mga numero

ay isang solusyon sa sistema.

y< −

pagkatapos ay makuha namin ang equation:

3y−3

4 y −

3y = 6,

5 y =

28, y = 28.

ibig sabihin

kaya walang solusyon.

Kaya, ang sistema ay may dalawang solusyon (3;2) at 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Paglutas ng mga problema gamit ang mga sistema ng mga equation

Halimbawa 1. Isang sasakyan ang bumibiyahe mula sa isang lungsod patungo sa isang nayon sa loob ng 2.5 oras. Kung tataas niya ang kanyang bilis ng 20 km / h, pagkatapos ay sa loob ng 2 oras ay sasakupin niya ang layo na 15 km na mas malaki kaysa sa distansya mula sa lungsod hanggang sa nayon. Hanapin ang distansyang ito.

Tukuyin natin sa S ang distansya sa pagitan ng lungsod at nayon at sa V ang bilis ng sasakyan. Pagkatapos ay upang mahanap ang S, kumuha tayo ng isang sistema ng dalawang equation

2.5V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, ika-8 baitang. Mathematics. Mga sistema ng equation.

sa pangalawang equation:		S + 20 2	S +15,		S = 25,	S = 125.

Sagot: 125 km. ▲

Halimbawa 2. Ang kabuuan ng mga digit ng isang dalawang-digit na numero ay 15. Kung ang mga digit na ito ay pinagpalit, makakakuha ka ng isang numero na 27 higit pa kaysa sa orihinal. Hanapin ang mga numerong ito.

Hayaan ang ibinigay na numero ab, i.e. ang bilang ng sampu ay a, at ang bilang ng isa ay b. Mula sa unang kondisyon ng problema na mayroon tayo: a + b = 15. Kung ibawas natin ang numerong ab mula sa numerong ba, makakakuha tayo ng 27, kaya't makuha natin ang pangalawang equation: 10 b + a − (10 a + b) = 27. x

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, ika-8 baitang. Mathematics. Mga sistema ng equation.

I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa 20, makuha natin ang: x + 8 y = 840. Upang mahanap ang x at y nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

Sagot: 40 t, 100 t

Halimbawa 4. Ang isang computer operator, nagtatrabaho sa isang mag-aaral, ay nagpoproseso ng isang gawain sa loob ng 2 oras 24 minuto. Kung ang operator ay nagtatrabaho ng 2 oras, at ang mag-aaral sa loob ng 1 oras, kung gayon

natapos ng mga bata ang 2 3 ng buong gawain. Gaano katagal bago gumana

ru at ang mag-aaral nang hiwalay upang iproseso ang gawain?

Tukuyin natin ang lahat ng gawain sa pamamagitan ng 1, produktibidad ng operator sa pamamagitan ng x, at pagiging produktibo ng mag-aaral sa pamamagitan ng y. Isinasaalang-alang namin iyon

2 oras 24 minuto = 2 5 2 oras = 12 5 oras.

Mula sa unang kundisyon ng problema ay sumusunod na (x+y) 12 5 = 1. Mula sa pangalawang kundisyon ng problema ay sumusunod na 2 x + y = 2 3. Nakatanggap kami ng isang sistema ng mga equation

(x+y)

2 x + y =

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang paraan ng pagpapalit:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x =

; y=

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

1. Mga sistema ng mga linear na equation na may parameter

Ang mga sistema ng mga linear na equation na may isang parameter ay nalulutas ng parehong mga pangunahing pamamaraan tulad ng mga ordinaryong sistema ng mga equation: ang paraan ng pagpapalit, ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation, at ang graphical na paraan. Ang kaalaman sa graphical na interpretasyon ng mga linear system ay nagpapadali sa pagsagot sa tanong tungkol sa bilang ng mga ugat at ang kanilang pag-iral.

Halimbawa 1.

Hanapin ang lahat ng mga halaga para sa parameter a kung saan ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Solusyon.

Tingnan natin ang ilang paraan upang malutas ang gawaing ito.

1 paraan. Ginagamit namin ang pag-aari: ang sistema ay walang mga solusyon kung ang ratio ng mga coefficient sa harap ng x ay katumbas ng ratio ng mga coefficient sa harap ng y, ngunit hindi katumbas ng ratio ng mga libreng termino (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Pagkatapos mayroon kaming:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 o system

(at 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Mula sa unang equation a 2 = 4, samakatuwid, isinasaalang-alang ang kondisyon na a ≠ 2, makuha natin ang sagot.

Sagot: a = -2.

Paraan 2. Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Matapos kunin ang karaniwang factor y sa mga bracket sa unang equation, nakukuha natin ang:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Ang sistema ay walang mga solusyon kung ang unang equation ay walang mga solusyon, iyon ay

(at 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Malinaw, a = ±2, ngunit isinasaalang-alang ang pangalawang kundisyon, ang sagot ay may kasamang minus na sagot.

Sagot: a = -2.

Halimbawa 2.

Hanapin ang lahat ng mga halaga para sa parameter a kung saan ang sistema ng mga equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Solusyon.

Ayon sa ari-arian, kung ang ratio ng mga coefficient ng x at y ay pareho, at katumbas ng ratio ng mga libreng miyembro ng system, kung gayon mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon (i.e. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Samakatuwid 8/a = a/2 = 2/1. Ang paglutas ng bawat isa sa mga resultang equation, nakita namin na ang a = 4 ay ang sagot sa halimbawang ito.

Sagot: a = 4.

2. Mga sistema ng rational equation na may parameter

Halimbawa 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Solusyon.

I-multiply natin ang unang equation ng system sa 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Ang pagbabawas ng pangalawang equation mula sa una, makakakuha tayo ng 5|x| = 4 – a. Ang equation na ito ay magkakaroon ng natatanging solusyon para sa a = 4. Sa ibang mga kaso, ang equation na ito ay magkakaroon ng dalawang solusyon (para sa isang< 4) или ни одного (при а > 4).

Sagot: a = 4.

Halimbawa 4.

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Solusyon.

Ating lutasin ang sistemang ito gamit ang graphical na pamamaraan. Kaya, ang graph ng pangalawang equation ng system ay isang parabola na itinaas sa kahabaan ng Oy axis paitaas ng isang unit segment. Ang unang equation ay tumutukoy sa isang hanay ng mga linya na kahanay sa linyang y = -x (larawan 1). Malinaw na nakikita mula sa figure na ang sistema ay may solusyon kung ang tuwid na linya y = -x + a ay padaplis sa parabola sa isang punto na may mga coordinate (-0.5, 1.25). Ang pagpapalit ng mga coordinate na ito sa straight line equation sa halip na x at y, nakita namin ang halaga ng parameter a:

1.25 = 0.5 + a;

Sagot: a = 0.75.

Halimbawa 5.

Gamit ang paraan ng pagpapalit, alamin kung anong halaga ng parameter a, ang sistema ay may natatanging solusyon.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Solusyon.

Mula sa unang equation ipinapahayag namin ang y at pinapalitan ito sa pangalawa:

(y = palakol – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Bawasan natin ang pangalawang equation sa anyong kx = b, na magkakaroon ng natatanging solusyon para sa k ≠ 0. Mayroon tayong:

palakol + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

isang 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Kinakatawan namin ang square trinomial a 2 + 3a + 2 bilang isang produkto ng mga bracket

(a + 2)(a + 1), at sa kaliwa ay kinukuha namin ang x sa mga bracket:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Malinaw, ang isang 2 + 3a ay hindi dapat katumbas ng zero, samakatuwid,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, na nangangahulugang a ≠ 0 at ≠ -3.

Sagot: a ≠ 0; ≠ -3.

Halimbawa 6.

Gamit ang paraan ng graphical na solusyon, tukuyin kung anong halaga ng parameter a ang system ay may natatanging solusyon.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Solusyon.

Batay sa kondisyon, bumuo kami ng isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at isang radius ng 3 mga segment ng yunit, ito ang tinukoy ng unang equation ng system

x 2 + y 2 = 9. Ang pangalawang equation ng system (y = |x| + a) ay isang putol na linya. Sa pamamagitan ng paggamit Figure 2 Isinasaalang-alang namin ang lahat ng posibleng mga kaso ng lokasyon nito na nauugnay sa bilog. Madaling makita na a = 3.

Sagot: a = 3.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.