Isa sa pinakamahalagang agham, ang aplikasyon nito ay makikita sa mga disiplina tulad ng kimika, pisika at maging biology, ay ang matematika. Ang pag-aaral ng agham na ito ay nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng ilang mga katangian ng pag-iisip, pagbutihin ang kakayahang mag-concentrate. Isa sa mga paksang nararapat na espesyal na pansin sa kursong "Matematika" ay ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga praksiyon. Maraming estudyante ang nahihirapang mag-aral. Marahil ay makakatulong ang aming artikulo upang mas maunawaan ang paksang ito.

Paano ibawas ang mga fraction na ang mga denominador ay pareho

Ang mga fraction ay ang parehong mga numero kung saan maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga aksyon. Ang kanilang pagkakaiba sa mga integer ay nasa pagkakaroon ng isang denominator. Iyon ang dahilan kung bakit kapag nagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction, kailangan mong pag-aralan ang ilan sa kanilang mga tampok at panuntunan. Ang pinakasimpleng kaso ay ang pagbabawas ng mga ordinaryong fraction, ang mga denominador na kung saan ay kinakatawan bilang parehong numero. Hindi magiging mahirap gawin ang pagkilos na ito kung alam mo ang isang simpleng panuntunan:

• Upang ibawas ang pangalawa sa isang fraction, kailangang ibawas ang numerator ng fraction na ibawas mula sa numerator ng pinababang fraction. Isinulat namin ang numerong ito sa numerator ng pagkakaiba, at iwanan ang denominator na pareho: k / m - b / m = (k-b) / m.

Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction na ang mga denominador ay pareho

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Mula sa numerator ng pinababang fraction na "7" ibawas ang numerator ng bawas na fraction na "3", makakakuha tayo ng "4". Isinulat namin ang numerong ito sa numerator ng sagot, at inilalagay sa denominator ang parehong numero na nasa denominator ng una at pangalawang fraction - "19".

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng ilan pang katulad na mga halimbawa.

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa kung saan ang mga fraction na may parehong denominator ay ibinabawas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Mula sa numerator ng pinababang bahagi na "29" sa pamamagitan ng pagbabawas naman ng mga numerator ng lahat ng kasunod na mga praksiyon - "3", "8", "2", "7". Bilang isang resulta, nakuha namin ang resulta na "9", na isinulat namin sa numerator ng sagot, at sa denominator ay isinulat namin ang numero na nasa denominator ng lahat ng mga praksiyon na ito - "47".

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isinasagawa ayon sa parehong prinsipyo.

• Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang mga numerator. Ang resultang numero ay ang numerator ng kabuuan, at ang denominator ay nananatiling pareho: k/m + b/m = (k + b)/m.

Tingnan natin kung ano ang hitsura nito sa isang halimbawa:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Sa numerator ng unang termino ng fraction - "1" - idinagdag namin ang numerator ng pangalawang termino ng fraction - "2". Ang resulta - "3" - ay nakasulat sa numerator ng halaga, at ang denominator ay naiwang katulad ng naroroon sa mga fraction - "4".

Mga fraction na may iba't ibang denominator at pagbabawas nito

Napag-isipan na namin ang aksyon na may mga fraction na may parehong denominator. Tulad ng nakikita mo, ang pag-alam sa mga simpleng patakaran, ang paglutas ng mga naturang halimbawa ay medyo madali. Ngunit paano kung kailangan mong magsagawa ng isang aksyon na may mga fraction na may iba't ibang denominator? Maraming estudyante sa high school ang nalilito sa mga ganitong halimbawa. Ngunit kahit dito, kung alam mo ang prinsipyo ng solusyon, ang mga halimbawa ay hindi na magiging mahirap para sa iyo. Mayroon ding isang panuntunan dito, kung wala ang solusyon ng naturang mga fraction ay imposible lamang.

Upang ibawas ang mga fraction na may magkakaibang denominator, dapat silang bawasan sa parehong pinakamaliit na denominator.



Pag-uusapan natin nang mas detalyado kung paano ito gagawin.

Fraction property

Upang mabawasan ang ilang mga fraction sa parehong denominator, kailangan mong gamitin ang pangunahing katangian ng fraction sa solusyon: pagkatapos hatiin o i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero, makakakuha ka ng isang fraction na katumbas ng ibinigay na isa.

Kaya, halimbawa, ang fraction na 2/3 ay maaaring magkaroon ng mga denominator tulad ng "6", "9", "12", atbp., iyon ay, maaari itong magmukhang anumang numero na isang multiple ng "3". Pagkatapos nating i-multiply ang numerator at denominator sa "2", makakakuha tayo ng fraction ng 4/6. Pagkatapos nating i-multiply ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa "3", makakakuha tayo ng 6/9, at kung gagawa tayo ng katulad na aksyon na may numerong "4", makakakuha tayo ng 8/12. Sa isang equation, maaari itong isulat bilang:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Paano magdala ng maramihang mga fraction sa parehong denominator

Isaalang-alang kung paano bawasan ang ilang mga fraction sa parehong denominator. Halimbawa, kunin ang mga fraction na ipinapakita sa larawan sa ibaba. Una kailangan mong matukoy kung anong numero ang maaaring maging denominator para sa lahat ng mga ito. Upang gawing mas madali, i-decompose natin ang mga available na denominator sa mga salik.

Ang denominator ng fraction 1/2 at ang fraction na 2/3 ay hindi maisasaliksik. Ang denominator ng 7/9 ay may dalawang salik 7/9 = 7/(3 x 3), ang denominator ng fraction na 5/6 = 5/(2 x 3). Ngayon ay kailangan mong matukoy kung aling mga salik ang magiging pinakamaliit para sa lahat ng apat na fraction na ito. Dahil ang unang fraction ay may numerong "2" sa denominator, nangangahulugan ito na dapat itong naroroon sa lahat ng denominator, sa fraction 7/9 mayroong dalawang triple, na nangangahulugan na dapat din silang naroroon sa denominator. Dahil sa nabanggit sa itaas, tinutukoy namin na ang denominator ay binubuo ng tatlong salik: 3, 2, 3 at katumbas ng 3 x 2 x 3 = 18.



Isaalang-alang ang unang bahagi - 1/2. Ang denominator nito ay naglalaman ng "2", ngunit walang isang "3", ngunit dapat mayroong dalawa. Upang gawin ito, i-multiply natin ang denominator sa pamamagitan ng dalawang triple, ngunit, ayon sa pag-aari ng fraction, dapat nating i-multiply ang numerator ng dalawang triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Katulad nito, nagsasagawa kami ng mga aksyon kasama ang natitirang mga fraction.

• 2/3 - isa tatlo at isa dalawa ang nawawala sa denominator:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 o 7/(3 x 3) - kulang ang denominator ng dalawa:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 o 5/(2 x 3) - kulang ng triple ang denominator:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sa kabuuan, ganito ang hitsura:



Paano magbawas at magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Tulad ng nabanggit sa itaas, upang magdagdag o magbawas ng mga fraction na may magkakaibang denominator, dapat silang bawasan sa parehong denominator, at pagkatapos ay gamitin ang mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, na inilarawan na.

Isaalang-alang ito sa isang halimbawa: 4/18 - 3/15.

Paghahanap ng multiple ng 18 at 15:

• Ang bilang na 18 ay binubuo ng 3 x 2 x 3.
• Ang bilang na 15 ay binubuo ng 5 x 3.
• Ang common multiple ay bubuuin ng mga sumusunod na salik 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Matapos matagpuan ang denominator, kinakailangang kalkulahin ang isang salik na magkakaiba para sa bawat fraction, iyon ay, ang bilang kung saan kinakailangan upang i-multiply hindi lamang ang denominator, kundi pati na rin ang numerator. Para magawa ito, hinahati namin ang numerong nakita namin (common multiple) sa denominator ng fraction kung saan kailangang matukoy ang mga karagdagang salik.

• 90 na hinati sa 15. Ang resultang numerong "6" ay magiging multiplier para sa 3/15.
• 90 na hinati ng 18. Ang resultang numerong "5" ay magiging multiplier para sa 4/18.

Ang susunod na hakbang sa aming solusyon ay dalhin ang bawat fraction sa denominator na "90".

Napag-usapan na natin kung paano ito ginagawa. Tingnan natin kung paano ito isinulat sa isang halimbawa:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kung ang mga fraction na may maliliit na numero, maaari mong matukoy ang karaniwang denominator, tulad ng sa halimbawang ipinapakita sa larawan sa ibaba.



Katulad na ginawa at pagkakaroon ng iba't ibang denominator.

Pagbabawas at pagkakaroon ng mga bahaging integer

Ang pagbabawas ng mga fraction at ang kanilang karagdagan, nasuri na namin nang detalyado. Ngunit paano ibawas kung ang fraction ay may bahaging integer? Muli, gumamit tayo ng ilang panuntunan:

• I-convert ang lahat ng fraction na may integer na bahagi sa mga hindi wasto. Sa simpleng salita, alisin ang buong bahagi. Upang gawin ito, ang bilang ng bahagi ng integer ay pinarami ng denominator ng fraction, ang nagresultang produkto ay idinagdag sa numerator. Ang numerong makukuha pagkatapos ng mga pagkilos na ito ay ang numerator ng isang hindi wastong fraction. Ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.
• Kung ang mga fraction ay may magkakaibang denominator, dapat silang bawasan sa pareho.
• Magsagawa ng pagdaragdag o pagbabawas na may parehong denominator.
• Kapag tumatanggap ng hindi wastong bahagi, piliin ang buong bahagi.



May isa pang paraan kung saan maaari kang magdagdag at magbawas ng mga fraction na may mga bahaging integer. Para dito, ang mga aksyon ay isinasagawa nang hiwalay na may mga bahagi ng integer, at hiwalay na may mga fraction, at ang mga resulta ay naitala nang magkasama.



Ang halimbawa sa itaas ay binubuo ng mga fraction na may parehong denominator. Sa kaso kapag ang mga denominator ay iba, dapat silang bawasan sa pareho, at pagkatapos ay sundin ang mga hakbang tulad ng ipinapakita sa halimbawa.

Pagbabawas ng mga fraction mula sa isang buong bilang

Ang isa pang uri ng mga aksyon na may mga fraction ay ang kaso kapag ang fraction ay dapat ibawas sa Sa unang tingin, ang ganitong halimbawa ay tila mahirap lutasin. Gayunpaman, ang lahat ay medyo simple dito. Upang malutas ito, kinakailangan na i-convert ang isang integer sa isang fraction, at may tulad na denominator, na nasa fraction na ibawas. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabawas na katulad ng pagbabawas na may parehong denominator. Halimbawa, ganito ang hitsura:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ang pagbabawas ng mga fraction na ibinigay sa artikulong ito (Grade 6) ay ang batayan para sa paglutas ng mas kumplikadong mga halimbawa, na isinasaalang-alang sa mga susunod na klase. Ang kaalaman sa paksang ito ay ginamit pagkatapos upang malutas ang mga function, derivatives, at iba pa. Samakatuwid, napakahalagang maunawaan at maunawaan ang mga aksyon na may mga fraction na tinalakay sa itaas.

Isaalang-alang ang fraction na $\frac63$. Ang halaga nito ay 2, dahil $\frac63 =6:3 = 2$. Ano ang mangyayari kung ang numerator at denominator ay i-multiply sa 2? $\frac63 \beses 2=\frac(12)(6)$. Malinaw, ang halaga ng fraction ay hindi nagbago, kaya ang $\frac(12)(6)$ ay katumbas din ng 2 bilang y. multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng $\frac(18)(9)$, o sa pamamagitan ng 27 at makakuha ng $\frac(162)(81)$ o sa pamamagitan ng 101 at makakuha ng $\frac(606)(303)$. Sa bawat isa sa mga kasong ito, ang halaga ng fraction na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati ng numerator sa denominator ay 2. Nangangahulugan ito na hindi ito nagbago.

Ang parehong pattern ay sinusunod sa kaso ng iba pang mga fraction. Kung ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(120)(60)$ (katumbas ng 2) ay hinati ng 2 (ang resulta ng $\frac(60)(30)$), o ng 3 (ang resulta ng $\frac(40)(20) $), o ng 4 (ang resulta ng $\frac(30)(15)$) at iba pa, pagkatapos ay sa bawat kaso ang halaga ng fraction ay nananatiling hindi nagbabago at katumbas ng 2.

Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga fraction na hindi pantay. buong bilang.

Kung ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(1)(3)$ ay pinarami ng 2, makakakuha tayo ng $\frac(2)(6)$, ibig sabihin, ang halaga ng fraction ay hindi nagbago. At sa katunayan, kung hahatiin mo ang cake sa 3 bahagi at kunin ang isa sa mga ito, o hatiin ito sa 6 na bahagi at kumuha ng 2 bahagi, makakakuha ka ng parehong halaga ng pie sa parehong mga kaso. Samakatuwid, ang mga numerong $\frac(1)(3)$ at $\frac(2)(6)$ ay magkapareho. Bumuo tayo ng pangkalahatang tuntunin.

Ang numerator at denominator ng anumang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong numero, at ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.

Ang panuntunang ito ay lubhang kapaki-pakinabang. Halimbawa, pinapayagan nito sa ilang mga kaso, ngunit hindi palaging, upang maiwasan ang mga operasyon na may malalaking numero.

Halimbawa, maaari nating hatiin ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(126)(189)$ ng 63 at makuha ang fraction na $\frac(2)(3)$ na mas madaling kalkulahin. Isa pang halimbawa. Maaari nating hatiin ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(155)(31)$ sa 31 at makuha ang fraction na $\frac(5)(1)$ o 5, dahil 5:1=5.

Sa halimbawang ito, una tayong nakatagpo isang fraction na ang denominator ay 1. Ang mga nasabing fraction ay may mahalagang papel sa mga kalkulasyon. Dapat tandaan na ang anumang numero ay maaaring hatiin ng 1 at ang halaga nito ay hindi magbabago. Ibig sabihin, ang $\frac(273)(1)$ ay katumbas ng 273; $\frac(509993)(1)$ ay katumbas ng 509993 at iba pa. Samakatuwid, hindi natin kailangang hatiin ang mga numero sa , dahil ang bawat buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may denominator na 1.

Sa ganitong mga fraction, ang denominator nito ay katumbas ng 1, maaari kang magsagawa ng parehong mga operasyon sa arithmetic tulad ng sa lahat ng iba pang mga fraction: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Maaari mong itanong kung ano ang silbi ng kumakatawan sa isang integer bilang isang fraction, na magkakaroon ng isang yunit sa ilalim ng bar, dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa isang integer. Ngunit ang katotohanan ay ang representasyon ng isang integer bilang isang fraction ay nagbibigay sa amin ng pagkakataon na magsagawa ng iba't ibang mga aksyon nang mas mahusay kapag nakikipag-usap kami sa parehong mga integer at fractional na numero sa parehong oras. Halimbawa, upang matuto magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Ipagpalagay na kailangan nating magdagdag ng $\frac(1)(3)$ at $\frac(1)(5)$.

Alam namin na maaari ka lamang magdagdag ng mga fraction na ang mga denominator ay pantay. Kaya, kailangan nating matutunan kung paano dalhin ang mga fraction sa ganoong anyo kapag ang kanilang mga denominator ay pantay. Sa kasong ito, muli naming kailangan ang katotohanan na maaari mong i-multiply ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero nang hindi binabago ang halaga nito.

Una, i-multiply natin ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(1)(3)$ sa 5. Nakukuha natin ang $\frac(5)(15)$, hindi nagbago ang value ng fraction. Pagkatapos ay i-multiply namin ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(1)(5)$ sa 3. Nakukuha namin ang $\frac(3)(15)$, muli ang halaga ng fraction ay hindi nagbago. Samakatuwid, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Ngayon subukan nating ilapat ang sistemang ito sa pagdaragdag ng mga numero na naglalaman ng parehong integer at fractional na mga bahagi.

Kailangan nating magdagdag ng $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Una, iko-convert namin ang lahat ng termino sa mga fraction at makuha ang: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Ngayon kailangan nating dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator, para dito pinarami natin ang numerator at denominator ng unang fraction sa pamamagitan ng 12, ang pangalawa sa pamamagitan ng 4, at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Bilang resulta, makakakuha tayo ng $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, na katumbas ng $\frac(55)(12)$. Kung gusto mong tanggalin hindi wastong bahagi, maaari itong gawing numero na binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ o $4\frac( 7)( 12)$.

Ang lahat ng mga patakaran na nagpapahintulot mga operasyon na may mga fraction, na ating pinag-aralan, ay may bisa rin sa kaso ng mga negatibong numero. Kaya, ang -1: 3 ay maaaring isulat bilang $\frac(-1)(3)$, at 1: (-3) bilang $\frac(1)(-3)$.

Dahil pareho ang paghahati ng negatibong numero sa positibong numero at paghahati ng positibong numero sa negatibong resulta sa mga negatibong numero, sa parehong pagkakataon ay makukuha natin ang sagot sa anyo ng negatibong numero. I.e

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ o $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Ang minus sign kapag nakasulat sa ganitong paraan ay tumutukoy sa buong fraction sa kabuuan, at hindi hiwalay sa numerator o denominator.

Sa kabilang banda, (-1) : (-3) ay maaaring isulat bilang $\frac(-1)(-3)$, at dahil ang paghahati ng negatibong numero sa negatibong numero ay nagbibigay ng positibong numero, pagkatapos ay $\frac Ang (-1 )(-3)$ ay maaaring isulat bilang $+\frac(1)(3)$.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga negatibong praksiyon ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga positibong praksiyon. Halimbawa, ano ang $1- 1\frac13$? Katawanin natin ang parehong mga numero bilang mga fraction at makakuha ng $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Bawasan natin ang mga fraction sa isang common denominator at makuha ang $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, ibig sabihin, $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, o $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga buong numero. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.

Isasaalang-alang namin ang tatlong mga kaso nang magkakasunod:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1 / 5 + 2 / 5 .

Kunin ang segment AB (Larawan 17), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 5 pantay na bahagi, kung gayon ang bahagi ng AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.

Makikita mula sa pagguhit na kung kukunin natin ang segment na AD, kung gayon ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya, maaari tayong sumulat:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang nagresultang halaga, nakikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, dapat mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.

Magdagdag tayo ng mga fraction: 3/4 + 3/8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:

Ang intermediate link 6/8 + 3/8 ay hindi maaaring naisulat; isinulat namin ito dito para sa higit na kalinawan.

Kaya, upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan ang common denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa (magsusulat kami ng mga karagdagang salik sa mga kaukulang fraction):

3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.

Idagdag natin ang mga numero: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:

Ngayon idagdag ang integer at fractional na mga bahagi sa pagkakasunud-sunod:

§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.

Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon kung saan, dahil sa kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ang matatagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso nang magkakasunod:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

13 / 15 - 4 / 15

Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang AC na bahagi ng segment na ito ay magiging 1/15 ng AB, at ang AD na bahagi ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED, katumbas ng 4/15 AB.

Kailangan nating ibawas ang 4/15 sa 13/15. Sa drawing, nangangahulugan ito na ang segment na ED ay dapat ibawas sa segment AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari nating isulat:

Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, at ang denominator ay nanatiling pareho.

Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.

2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.

Halimbawa. 3/4 - 5/8

Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamaliit na common denominator:

Ang intermediate link 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaari itong laktawan sa hinaharap.

Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

3. Pagbabawas ng magkahalong numero.

Halimbawa. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dalhin natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at ang subtrahend sa pinakamababang common denominator:

Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa integer na bahagi ng pinababa, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag sa fractional na bahagi ng binawasan. At pagkatapos ang pagbabawas ay isasagawa sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:

§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang multiplikasyon ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.

Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang integer sa isang integer. Ang pagpaparami ng fraction (multiplicand) sa isang integer (multiplier) ay nangangahulugan ng pagbubuo ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.

Kaya, kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:

Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Kaya naman,

Ang pagsasaalang-alang sa pagkilos na ito ay nagpapakita na ang pag-multiply ng isang fraction sa isang integer ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang kasing dami ng may mga unit sa integer. At dahil ang pagtaas sa fraction ay nakakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito

o sa pamamagitan ng pagpapababa ng denominator nito , pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer, o hatiin ang denominator nito, kung posible ang gayong dibisyon.

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong i-multiply ang numerator sa integer na ito at iwanan ang parehong denominator o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong ito, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.

Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero. Mayroong maraming mga problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga gawaing ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong hanapin ang isang bahagi ng numerong ito, na ipinahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay ipakilala ang paraan ng paglutas ng mga ito.

Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; 1 / 3 nitong perang ginastos ko sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?

Gawain 2. Dapat saklawin ng tren ang distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B, katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 ng distansyang iyon. Ilang kilometro ito?

Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Ilang brick house ang mayroon?

Narito ang ilan sa maraming problema na kailangan nating harapin upang makahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema para sa paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero.

Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 rubles. Gumastos ako ng 1 / 3 sa mga libro; Kaya, upang mahanap ang halaga ng mga libro, kailangan mong hatiin ang numero 60 sa 3:

Problema 2 solusyon. Ang kahulugan ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2 / 3 ng 300 km. Kalkulahin ang unang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).

Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, iyon ay, i-multiply sa 2:

100 x 2 = 200 (2/3 iyon ng 300).

Solusyon sa problema 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house, na 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,

400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).

Upang makalkula ang tatlong quarter ng 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, iyon ay, i-multiply sa 3:

100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).

Batay sa solusyon ng mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:

Upang mahanap ang halaga ng isang fraction ng isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.

3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.

Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Sa talatang ito (talata 1) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.

Sa parehong mga kaso, ang multiplikasyon ay binubuo sa paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.

Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makikilala natin ang tulad, halimbawa, pagpaparami: 9 2 / 3. Ito ay lubos na halata na ang nakaraang kahulugan ng multiplikasyon ay hindi naaangkop sa kasong ito. Ito ay maliwanag sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.

Dahil dito, kailangan nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, upang masagot ang tanong kung ano ang dapat na maunawaan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.

Ang kahulugan ng pagpaparami ng integer sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: upang i-multiply ang isang integer (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugan na mahanap ang fraction na ito ng multiplier.

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na napupunta tayo sa 6.

Ngunit ngayon ang isang kawili-wili at mahalagang tanong ay lumitaw: bakit ang mga tila magkakaibang mga aksyon tulad ng paghahanap ng kabuuan ng pantay na mga numero at paghahanap ng bahagi ng isang numero ay tinatawag na parehong salitang "multiplikasyon" sa aritmetika?

Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng numero na may mga termino nang maraming beses) at ang bagong aksyon (paghahanap ng fraction ng isang numero) ay nagbibigay ng sagot sa mga homogenous na tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang mga homogenous na tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng isa at parehong aksyon.

Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).

Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang fractional na numero: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 3/4 m ng naturang tela?

Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng metro (3/4).

Maaari mo ring baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.

Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.

Paano na-multiply ang isang buong bilang sa isang fraction?

Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:

Ayon sa kahulugan, dapat nating hanapin ang 3 / 4 ng 50. Una ay makikita natin ang 1 / 4 ng 50, at pagkatapos ay 3 / 4.

1/4 ng 50 ay 50/4;

3/4 ng 50 ay .

Kaya naman.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 = ?

1/8 ng 12 ay 12/8,

Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .

Kaya naman,

Mula dito nakuha namin ang panuntunan:

Upang i-multiply ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.

Isinulat namin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38

Dapat tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga hiwa, Halimbawa:

4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang integer sa isang fraction, iyon ay, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction sa multiplier mula sa unang fraction (multiplier).

Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.

Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?

Kumuha tayo ng isang halimbawa: 3/4 beses 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5 / 7 mula sa 3 / 4 . Hanapin ang unang 1/7 ng 3/4 at pagkatapos ay 5/7

Ang 1/7 ng 3/4 ay ipapahayag nang ganito:

Ang 5 / 7 na mga numero 3 / 4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:

kaya,

Isa pang halimbawa: 5/8 beses 4/9.

1/9 ng 5/8 ay ,

4/9 bilang 5/8 ay .

kaya,

Mula sa mga halimbawang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.

Ito ang panuntunan sa pangkalahatang pananaw maaaring isulat na ganito:

Kapag nagpaparami, kinakailangang gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Isaalang-alang ang mga halimbawa:

5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay kadalasang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kasong iyon kung saan ang multiplicand, o ang multiplier, o ang parehong mga salik ay ipinahayag bilang magkahalong mga numero, pagkatapos ay papalitan ang mga ito ng mga hindi wastong fraction. I-multiply, halimbawa, ang mga pinaghalong numero: 2 1/2 at 3 1/5. Ginagawa namin ang bawat isa sa kanila sa isang hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply namin ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction:

Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa mga hindi wastong fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.

Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:

6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at kapag nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit dapat isaisip ng isang tao na maraming dami ang umamin hindi anuman, ngunit natural na mga subdibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang sentimos, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang dime. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit sila ay halos don. 't kumuha, halimbawa, 2/7 rubles dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.

Ang yunit ng pagsukat para sa timbang, ibig sabihin, ang kilo, ay nagbibigay-daan, una sa lahat, ng mga decimal subdivision, halimbawa, 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/ 13 ay hindi karaniwan.

Sa pangkalahatan ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga decimal subdivision.

Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "hundredth" na dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa mga pinaka-magkakaibang lugar ng kasanayan ng tao.

1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.

Halimbawa. Ang nakaraang presyo ng libro ay 10 rubles. Bumaba siya ng 1 ruble. 20 kop.

2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa taon sa mga depositor ng 2/100 ng halaga na inilalagay sa mga ipon.

Halimbawa. Ang 500 rubles ay inilalagay sa cash desk, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.

HALIMBAWA 1,200 na estudyante lamang ang nag-aral sa paaralan, 60 sa kanila ang nagtapos sa paaralan.

Ang ikadaan ng isang numero ay tinatawag na porsyento..

Ang salitang "porsiyento" ay hiniram mula sa wikang Latin at ang salitang "sentimo" ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng pananalitang ito ay sumusunod sa katotohanan na sa una sa sinaunang interes ng Roma ay ang pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram "para sa bawat daan". Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: centner (isang daang kilo), sentimetro (sabi nila centimeter).

Halimbawa, sa halip na sabihin na ang planta ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produkto na ginawa nito noong nakaraang buwan, sasabihin namin ito: ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga pagtanggi noong nakaraang buwan. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.

Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:

1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.

2. Binabayaran ng mga savings bank ang mga nagdedeposito ng 2 porsiyento bawat taon ng halagang inilalagay sa mga ipon.

3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5 porsiyento ng bilang ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.

Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang% sign sa halip na ang salitang "porsiyento".

Gayunpaman, dapat tandaan na ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat sa mga kalkulasyon, maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang integer na may icon na ito.

Kailangan mong mapalitan ang isang integer ng tinukoy na icon na may isang fraction na may denominator na 100:

Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may ipinahiwatig na icon sa halip na isang fraction na may denominator na 100:

7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero.

Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch na panggatong na accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na birch doon?

Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay bahagi lamang ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 30 / 100. Kaya, nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang bahagi ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30 / 100 (ang mga gawain para sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero sa isang fraction.).

Kaya 30% ng 200 ay katumbas ng 60.

Ang fraction na 30 / 100 na nakatagpo sa problemang ito ay maaaring bawasan ng 10. Posibleng maisagawa ang pagbawas na ito sa simula pa lamang; hindi magbabago ang solusyon sa problema.

Gawain 2. Mayroong 300 bata sa iba't ibang edad sa kampo. Ang mga batang may edad na 11 ay 21%, ang mga batang may edad na 12 ay 61% at sa wakas ay 13 taong gulang ay 18%. Ilang bata sa bawat edad ang nasa kampo?

Sa problemang ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, iyon ay, sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang, at sa wakas ay 13 taong gulang.

Kaya, dito ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang bahagi ng isang numero ng tatlong beses. Gawin natin:

1) Ilang bata ang 11 taong gulang?

2) Ilang bata ang 12 taong gulang?

3) Ilang bata ang 13 taong gulang?

Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:

63 + 183 + 54 = 300

Dapat mo ring bigyang pansin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa kondisyon ng problema ay 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuang bilang ng mga bata sa kampo ay kinuha bilang 100%.

3 at cha 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Sa mga ito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa isang apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangangailangang pangkultura at 15% ang kanyang naipon. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa gawain?

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maghanap ng isang bahagi ng bilang na 1,200 5 beses. Gawin natin ito.

1) Magkano ang ginagastos sa pagkain? Sinasabi ng gawain na ang gastos na ito ay 65% ​​ng lahat ng kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:

2) Gaano karaming pera ang binayaran para sa isang apartment na may pagpainit? Ang pagtatalo tulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:

3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?

4) Magkano ang perang ginagastos sa mga pangangailangang pangkultura?

5) Magkano ang naipon ng manggagawa?

Para sa pag-verify, kapaki-pakinabang na idagdag ang mga numerong makikita sa 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.

Tatlong problema ang nalutas namin. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawaing ito ay tungkol sa iba't ibang bagay (paghahatid ng panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, ang mga gastos ng manggagawa), nalutas ang mga ito sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga gawain ay kailangang maghanap ng ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.

§ 90. Dibisyon ng mga fraction.

Kapag pinag-aaralan ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.

1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.

Gaya ng ipinahiwatig sa seksyon ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (ang dibidendo) at isa sa mga salik na ito (ang divisor), isa pang salik ang natagpuan.

Ang paghahati ng isang integer sa pamamagitan ng isang integer na aming isinasaalang-alang sa departamento ng mga integer. Nakilala namin doon ang dalawang kaso ng paghahati: paghahati nang walang nalalabi, o "buong" (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 sa natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi palaging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor at ng integer. Pagkatapos ng pagpapakilala ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer hangga't maaari (tanging dibisyon sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).

Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto ay 12 ay magiging 7. Ang numerong ito ay ang fraction na 7/12 dahil 7/12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14/25 dahil 14/25 25 = 14.

Kaya, upang hatiin ang isang integer sa isang integer, kailangan mong gumawa ng isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer.

Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon tayo dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); kinakailangan na makahanap ng pangalawang salik na, kapag pinarami ng 3, ay magbibigay sa ibinigay na produkto ng 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa harap natin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.

Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Samakatuwid, maaari kang sumulat:

Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:

Batay dito, maaari nating sabihin ang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa pamamagitan ng integer na iyon(kung maaari), iiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.

3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, humanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong bahagi, at kapag nagpaparami ng isang numero sa isang wastong fraction, ang produkto ay dapat na mas mababa kaysa sa multiplicand. Upang maging mas malinaw, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , kaya x 1 / 2 \u003d 5.

Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kapag pinarami ng 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, 1/2 ng hindi kilalang numero X ay 5, at ang buong bilang X dalawang beses na mas marami, i.e. 5 2 \u003d 10.

Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10

Suriin natin:

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 6 sa 2 / 3 . Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).

Fig.19

Gumuhit ng segment AB, katumbas ng 6 ng ilang unit, at hatiin ang bawat unit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat unit, ang tatlong-katlo (3 / 3) sa buong segment AB ay 6 na beses na mas malaki, i.e. e. 18/3. Kumonekta kami sa tulong ng mga maliliit na bracket 18 nakuha na mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction na 2/3 ay nakapaloob sa b units ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 na beses na mas mababa sa 6 integer units. Kaya naman,

Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit lamang ang mga kalkulasyon? Magtatalo tayo bilang mga sumusunod: kinakailangang hatiin ang 6 sa 2 / 3, ibig sabihin, kinakailangang sagutin ang tanong, kung gaano karaming beses ang 2 / 3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: kung gaano karaming beses ang 1 / 3 nakapaloob sa 6? Sa isang buong unit - 3 thirds, at sa 6 units - 6 na beses pa, i.e. 18 thirds; upang mahanap ang numerong ito, dapat nating i-multiply ang 6 sa 3. Kaya, ang 1/3 ay nakapaloob sa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b unit hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9 Samakatuwid , kapag hinahati ang 6 sa 2 / 3 ginawa namin ang sumusunod:

Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang integer sa isang fraction. Upang hatiin ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.

Isinulat namin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Tandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.

Hayaang kailanganin na hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang magsasaad ng bilang na makukuha bilang resulta ng paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).

Kunin ang segment na AB, kunin ito bilang isang yunit, hatiin ito sa 4 pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad ng mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na unang segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikinonekta namin ang 3 tulad ng mga segment na may mga arko, pagkatapos ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa segment na katumbas ng 3/4 nang eksakto 2 beses; Kaya ang resulta ng dibisyon ay maaaring isulat tulad nito:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 15/16 sa 3/32:

Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos na i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 hindi kilalang numero X gumawa ng 15/16

1/32 hindi kilalang numero X ay ,

32 / 32 na mga numero X magkasundo .

Kaya naman,

Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ang denominator.

Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:

Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:

5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.

Kapag hinahati ang mga pinaghalong numero, dapat munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, at pagkatapos ay ang mga resultang fraction ay dapat hatiin ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fractional na numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:

Ngayon, hatiin natin:

Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.

6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.

Kabilang sa iba't ibang mga gawain sa mga fraction, minsan may mga kung saan ang halaga ng ilang fraction ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at kinakailangan upang mahanap ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran sa problema ng paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero; mayroong isang numero na ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang ilang bahagi ng numerong ito, dito isang fraction ng isang numero ay ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito mismo. Ang ideyang ito ay magiging mas malinaw kung babaling tayo sa solusyon sa ganitong uri ng problema.

Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang nasa bahay na ito?

Desisyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.

Ang bahay ay may 150 na bintana.

Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina sa tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?

Desisyon. Makikita sa kalagayan ng problema na ang nabentang 1,500 kg ng harina ay bumubuo sa 3/8 ng kabuuang stock; nangangahulugan ito na ang 1/8 ng stock na ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito, kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:

1,500: 3 = 500 (1/8 iyon ng stock).

Malinaw, ang buong stock ay magiging 8 beses na mas malaki. Kaya naman,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Ang unang supply ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.

Mula sa pagsasaalang-alang ng problemang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin.

Upang mahanap ang isang numero sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.

Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, dahil ito ay lalo na nakikita mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag ang isang bahagi ay natagpuan) at pagpaparami (kapag ang buong bilang ay natagpuan).

Gayunpaman, pagkatapos nating pag-aralan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.

Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:

Sa hinaharap, malulutas namin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng fraction nito sa isang aksyon - dibisyon.

7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.

Sa mga gawaing ito, kakailanganin mong maghanap ng numero, alam ang ilang porsyento ng numerong ito.

Gawain 1. Sa simula ng taong ito, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Magkano pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga tanggapan ng pera ay nagbibigay sa mga deposito ng 2% ng kita bawat taon.)

Ang kahulugan ng problema ay ang isang tiyak na halaga ng pera ay inilagay ko sa isang savings bank at nakahiga doon sa loob ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. income, which is 2/100 of the money I put in. Magkano pera ang aking idineposito?

Samakatuwid, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at sa mga praksyon), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, 3,000 rubles ang inilagay sa savings bank.

Gawain 2. Sa loob ng dalawang linggo, natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64%, na nakapaghanda ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?

Mula sa kalagayan ng problema, nabatid na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Ilang toneladang isda ang kailangang anihin ayon sa plano, hindi natin alam. Ang solusyon sa problema ay binubuo sa paghahanap ng numerong ito.

Ang ganitong mga gawain ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati:

Kaya, ayon sa plano, kailangan mong maghanda ng 800 toneladang isda.

Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga hanggang Moscow. Nang malagpasan niya ang ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang dumaan na konduktor kung gaano na ba katagal ang biyahe nila. Sumagot dito ang konduktor: "Nasakyan na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?

Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang 30% ng paglalakbay mula Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:

§ 91. Mga katumbas na numero. Ang pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.

Kunin ang fraction 2/3 at muling ayusin ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakakuha kami ng isang fraction, ang kapalit ng isang ito.

Upang makakuha ng isang fraction reciprocal ng isang naibigay na isa, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng fraction na katumbas ng anumang fraction. Halimbawa:

3 / 4 , baligtad 4 / 3 ; 5 / 6 , baligtad 6 / 5

Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa ay tinatawag magkabaligtaran.

Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Hinahanap ang kapalit nito, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:

1 / 3, kabaligtaran 3; 1 / 5, baligtad 5

Dahil kapag ang paghahanap ng mga kapalit ay nakilala din namin ang mga integer, sa hinaharap ay hindi namin pag-uusapan ang tungkol sa mga katumbasan, ngunit tungkol sa mga katumbasan.

Alamin natin kung paano isulat ang kapalit ng isang buong numero. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa lugar ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang reciprocal ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Kaya ang kapalit ng 7 ay magiging 1 / 7, dahil 7 \u003d 7 / 1; para sa numero 10 ang reverse ay 1/10 dahil 10 = 10/1

Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa ibinigay na numero. Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga integer, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung nais mong magsulat ng isang numero na katumbas ng bahagi ng 5 / 9, maaari naming kunin ang 1 at hatiin ito sa 5 / 9, i.e.

Ngayon ay ituro natin ang isa ari-arian magkatumbas na mga numero, na magiging kapaki-pakinabang sa atin: ang produkto ng magkabilang katumbas na mga numero ay katumbas ng isa. talaga:

Gamit ang property na ito, makakahanap tayo ng mga kapalit sa sumusunod na paraan. Hanapin natin ang kapalit ng 8.

Tukuyin natin ito ng titik X , pagkatapos ay 8 X = 1, samakatuwid X = 1 / 8 . Maghanap tayo ng isa pang numero, ang kabaligtaran ng 7/12, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng isang titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .

Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.

Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3 / 5, pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod:

Bigyang-pansin ang ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na isa: .

Kung kukuha tayo ng expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso ang resulta ay pareho. Kaya masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring mapalitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kapalit ng divisor.

Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.

Nilalaman ng aralin

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may dalawang uri:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Magsimula tayo sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa, idagdag natin ang mga fraction at . Idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung magdagdag ka ng pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:

Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction at .

Ang sagot ay isang improper fraction. Kung ang katapusan ng gawain ay dumating, pagkatapos ay kaugalian na mapupuksa ang mga hindi wastong fraction. Upang mapupuksa ang isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito. Sa aming kaso, ang bahagi ng integer ay madaling ilalaan - dalawang hinati sa dalawa ay katumbas ng isa:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa dalawang bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza:

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction at .

Muli, idagdag ang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Ang mga numerator ay dapat idagdag at ang denominator ay iwanang hindi nagbabago:

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza at magdagdag ng higit pang mga pizza, makakakuha ka ng 1 buong pizza at higit pang mga pizza.

Tulad ng nakikita mo, ang pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay hindi mahirap. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;

Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Ngayon ay matututunan natin kung paano magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Kapag nagdadagdag ng mga fraction, ang mga denominator ng mga fraction na iyon ay dapat na pareho. Ngunit hindi sila palaging pareho.

Halimbawa, ang mga fraction ay maaaring idagdag dahil mayroon silang parehong denominator.

Ngunit ang mga fraction ay hindi maaaring idagdag nang sabay-sabay, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Mayroong ilang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang isa sa mga ito, dahil ang natitirang mga pamamaraan ay maaaring mukhang kumplikado para sa isang baguhan.

Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang una (LCM) ng mga denominador ng parehong mga fraction ay hinahanap. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha. Ganoon din ang ginagawa nila sa pangalawang fraction - ang LCM ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik.

Pagkatapos ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction at

Una sa lahat, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominator ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 6

LCM (2 at 3) = 6

Ngayon bumalik sa fractions at . Una, hinahati namin ang LCM sa denominator ng unang fraction at makuha ang unang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 6 sa 3, makakakuha tayo ng 2.

Ang resultang numero 2 ay ang unang karagdagang kadahilanan. Isulat namin ito hanggang sa unang bahagi. Upang gawin ito, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng fraction at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction at makuha ang pangalawang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 3.

Ang resultang numero 3 ay ang pangalawang karagdagang kadahilanan. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi. Muli, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng pangalawang bahagi at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ngayon ay handa na tayong magdagdag. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang kadahilanan:

Tingnan mong mabuti kung ano ang aming narating. Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Kaya nagtatapos ang halimbawa. Upang idagdag ito ay lumalabas.

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza at isa pang ikaanim ng isang pizza:

Ang pagbabawas ng mga fraction sa parehong (karaniwang) denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Dinadala ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang mga fraction at . Ang dalawang fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza. Ang pagkakaiba lamang ay sa pagkakataong ito ay mahahati sila sa pantay na bahagi (binawasan sa parehong denominator).

Ang unang drawing ay nagpapakita ng fraction (apat na piraso sa anim) at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng fraction (tatlong piraso sa anim). Ang pagsasama-sama ng mga pirasong ito ay makukuha natin (pitong piraso sa anim). Mali ang fraction na ito, kaya na-highlight namin ang bahaging integer dito. Ang resulta ay (isang buong pizza at isa pang ikaanim na pizza).

Tandaan na ipininta namin ang halimbawang ito nang masyadong detalyado. Sa mga institusyong pang-edukasyon ay hindi kaugalian na magsulat sa ganoong detalyadong paraan. Kailangan mong mabilis na mahanap ang LCM ng parehong mga denominator at karagdagang mga kadahilanan sa kanila, pati na rin mabilis na i-multiply ang mga karagdagang kadahilanan na makikita ng iyong mga numerator at denominator. Habang nasa paaralan, kailangan nating isulat ang halimbawang ito tulad ng sumusunod:

Ngunit mayroon ding kabilang panig ng barya. Kung ang mga detalyadong tala ay hindi ginawa sa mga unang yugto ng pag-aaral ng matematika, pagkatapos ay mga tanong ng uri "Saan nagmula ang numerong iyon?", "Bakit ang mga fraction ay biglang nagiging ganap na magkakaibang mga fraction? «.

Upang gawing mas madaling magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, maaari mong gamitin ang sumusunod na sunud-sunod na mga tagubilin:

1. Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction;
2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction;
3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa kanilang mga karagdagang salik;
4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator;
5. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito;

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression .

Gamitin natin ang mga tagubilin sa itaas.

Hakbang 1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng parehong fraction. Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 2, 3 at 4

Hakbang 2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction

Hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 12 sa 2, makuha namin ang 6. Nakuha namin ang unang karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon, hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makuha namin ang 4. Nakuha namin ang pangalawang karagdagang salik 4. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Nakuha namin ang ikatlong karagdagang salik 3. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Hakbang 3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa iyong mga karagdagang salik

Pinaparami namin ang mga numerator at denominator sa aming mga karagdagang salik:

Hakbang 4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. Ito ay nananatiling idagdag ang mga fraction na ito. Magdagdag ng:

Ang karagdagan ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inilipat namin ang natitirang expression sa susunod na linya. Ito ay pinapayagan sa matematika. Kapag ang isang expression ay hindi magkasya sa isang linya, ito ay dinadala sa susunod na linya, at ito ay kinakailangan upang maglagay ng isang pantay na tanda (=) sa dulo ng unang linya at sa simula ng isang bagong linya. Ang equal sign sa pangalawang linya ay nagpapahiwatig na ito ay isang pagpapatuloy ng expression na nasa unang linya.

Hakbang 5. Kung ang sagot ay naging isang hindi tamang bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi dito

Ang aming sagot ay isang improper fraction. Dapat nating isa-isa ang buong bahagi nito. I-highlight namin:

Nakakuha ng sagot

Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator

Mayroong dalawang uri ng pagbabawas ng fraction:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Una, alamin natin kung paano ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression . Upang malutas ang halimbawang ito, kinakailangang ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Gawin natin ito:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression.

Muli, mula sa numerator ng unang fraction, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Mula sa numerator ng unang fraction, kailangan mong ibawas ang mga numerator ng natitirang mga fraction:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
2. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito.

Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring ibawas mula sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may parehong denominator. Ngunit ang isang fraction ay hindi maaaring ibawas sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Ang karaniwang denominator ay matatagpuan ayon sa parehong prinsipyo na ginamit namin kapag nagdaragdag ng mga fraction na may magkakaibang denominator. Una sa lahat, hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha, na nakasulat sa unang fraction. Katulad nito, ang LCM ay nahahati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik, na isinusulat sa pangalawang fraction.

Ang mga fraction ay pagkatapos ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga operasyong ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng isang expression:

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mong dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Una, nakita natin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito ay 12

LCM (3 at 4) = 12

Ngayon bumalik sa fractions at

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makakakuha tayo ng 4. Isinulat namin ang apat sa unang fraction:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Sumulat ng triple sa pangalawang fraction:

Ngayon ay handa na kaming lahat para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Nakakuha ng sagot

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza.

Ito ang detalyadong bersyon ng solusyon. Sa pagiging nasa paaralan, kailangan nating lutasin ang halimbawang ito sa mas maikling paraan. Ang ganitong solusyon ay magiging ganito:

Ang pagbabawas ng mga fraction at sa isang karaniwang denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagdadala ng mga fraction na ito sa isang common denominator, makukuha natin ang mga fraction at . Ang mga fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza, ngunit sa pagkakataong ito ay hahatiin ang mga ito sa parehong mga fraction (babawasan sa parehong denominator):

Ang unang guhit ay nagpapakita ng isang fraction (walong piraso sa labindalawa), at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (tatlong piraso sa labindalawa). Sa pamamagitan ng pagputol ng tatlong piraso mula sa walong piraso, makakakuha tayo ng limang piraso sa labindalawa. Inilalarawan ng fraction ang limang pirasong ito.

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 10, 3 at 5. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang mga kadahilanan para sa bawat fraction. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng bawat fraction.

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 10. Hatiin ang 30 sa 10, makuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 3. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang kadahilanan para sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 30 sa 3, makuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 10. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang salik para sa ikatlong bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 5. Hatiin ang 30 sa 5, makuha namin ang ikatlong karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Ngayon ang lahat ay handa na para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Tapusin natin ang halimbawang ito.

Ang pagpapatuloy ng halimbawa ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inililipat namin ang pagpapatuloy sa susunod na linya. Huwag kalimutan ang tungkol sa equal sign (=) sa bagong linya:

Ang sagot ay naging isang tamang bahagi, at ang lahat ay tila nababagay sa amin, ngunit ito ay masyadong masalimuot at pangit. Dapat nating gawing mas madali. Ano ang maaaring gawin? Maaari mong bawasan ang fraction na ito.

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa (gcd) sa mga numerong 20 at 30.

Kaya, nakita namin ang GCD ng mga numero 20 at 30:

Ngayon ay bumalik tayo sa ating halimbawa at hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa GCD na natagpuan, iyon ay, sa pamamagitan ng 10

Nakakuha ng sagot

Pagpaparami ng fraction sa isang numero

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng ibinigay na fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa 1. I-multiply ang fraction sa numero 1.

I-multiply ang numerator ng fraction sa numero 1

Ang entry ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahating 1 beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 1 beses, makakakuha ka ng pizza

Mula sa mga batas ng pagpaparami, alam natin na kung ang multiplicand at ang multiplier ay ipinagpalit, kung gayon ang produkto ay hindi magbabago. Kung ang expression ay nakasulat bilang , kung gayon ang produkto ay magiging katumbas pa rin ng . Muli, gumagana ang panuntunan para sa pagpaparami ng integer at fraction:

Ang entry na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahati ng unit. Halimbawa, kung mayroong 1 buong pizza at kunin namin ang kalahati nito, magkakaroon kami ng pizza:

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng fraction sa 4

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang quarters 4 na beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 4 na beses, makakakuha ka ng dalawang buong pizza.

At kung ipagpalit natin ang multiplicand at ang multiplier sa mga lugar, makukuha natin ang expression. Katumbas din ito ng 2. Ang ekspresyong ito ay mauunawaan bilang pagkuha ng dalawang pizza mula sa apat na buong pizza:

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator. Kung ang sagot ay hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi nito.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression.

Nakakuha ng sagot. Ito ay kanais-nais na bawasan ang fraction na ito. Ang fraction ay maaaring bawasan ng 2. Pagkatapos ang huling solusyon ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng isang pizza mula sa kalahati ng isang pizza. Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Paano kumuha ng dalawang-katlo mula sa kalahating ito? Una kailangan mong hatiin ang kalahating ito sa tatlong pantay na bahagi:

At kumuha ng dalawa sa tatlong pirasong ito:

Kukuha tayo ng pizza. Tandaan kung ano ang hitsura ng pizza na nahahati sa tatlong bahagi:

Ang isang slice mula sa pizza na ito at ang dalawang hiwa na kinuha namin ay magkakaroon ng parehong sukat:

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang parehong laki ng pizza. Samakatuwid, ang halaga ng expression ay

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Tamang fraction pala ang sagot, pero maganda kung babawasan. Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa greatest common divisor (GCD) ng mga numerong 105 at 450.

Kaya, hanapin natin ang GCD ng mga numerong 105 at 450:

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng aming sagot sa GCD na natagpuan na namin ngayon, iyon ay, sa pamamagitan ng 15

Kinakatawan ang isang integer bilang isang fraction

Anumang buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, ang numero 5 ay maaaring katawanin bilang . Mula dito, hindi mababago ng lima ang kahulugan nito, dahil ang expression ay nangangahulugang "ang bilang ng limang hinati ng isa", at ito, tulad ng alam mo, ay katumbas ng lima:

Baliktarin ang mga numero

Ngayon ay makikilala natin ang isang napaka-kagiliw-giliw na paksa sa matematika. Ito ay tinatawag na "reverse number".

Kahulugan. Baliktarin sa numeroa ay ang bilang na, kapag pinarami nga nagbibigay ng unit.

Palitan natin ang kahulugang ito sa halip na isang variable a numero 5 at subukang basahin ang kahulugan:

Baliktarin sa numero 5 ay ang bilang na, kapag pinarami ng 5 nagbibigay ng unit.

Posible bang makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 5, ay nagbibigay ng isa? Kaya mo pala. Katawanin natin ang lima bilang isang fraction:

Pagkatapos ay i-multiply ang fraction na ito sa sarili nito, palitan lamang ang numerator at denominator. Sa madaling salita, i-multiply natin ang fraction sa sarili nito, baligtad lamang:

Ano ang magiging resulta nito? Kung patuloy nating lutasin ang halimbawang ito, makakakuha tayo ng isa:

Nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ng numero 5 ay ang numero, dahil kapag ang 5 ay pinarami ng isa, ang isa ay nakuha.

Ang reciprocal ay maaari ding matagpuan para sa anumang iba pang integer.

Maaari mo ring mahanap ang reciprocal para sa anumang iba pang fraction. Upang gawin ito, sapat na upang ibalik ito.

Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang numero

Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Hatiin natin ito ng pantay sa dalawa. Ilang pizza ang makukuha ng bawat isa?

Makikita na pagkatapos hatiin ang kalahati ng pizza, dalawang pantay na hiwa ang nakuha, na bawat isa ay bumubuo ng isang pizza. Kaya lahat ay nakakakuha ng pizza.

Ang paghahati ng mga fraction ay ginagawa gamit ang reciprocals. Pinahihintulutan ka ng mga reciprocal na palitan ang paghahati ng multiplikasyon.

Upang hatiin ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor.

Gamit ang panuntunang ito, isusulat namin ang paghahati ng aming kalahati ng pizza sa dalawang bahagi.

Kaya, kailangan mong hatiin ang fraction sa numero 2. Dito ang dibidendo ay isang fraction at ang divisor ay 2.

Upang hatiin ang isang fraction sa numero 2, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor 2. Ang reciprocal ng divisor 2 ay isang fraction. Kaya kailangan mong magparami

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may parehong denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Ang kakayahang gumawa ng mga fraction na may parehong denominator ay isa sa mga pundasyon sa pag-aaral ng mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga algebraic fraction. Sa partikular, ang pag-unawa sa paksang ito ay magpapadali sa pag-master ng isang mas kumplikadong paksa - pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator, gayundin ang pag-aaral ng ilang karaniwang mga halimbawa.

Panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey na may one-on-to-you - mi-know-on-te-la-mi (ito ay co-pa-yes-et na may ana-logic right-of-thumb para sa ordinary-but-ven-nyh-dr-bay): Iyon ay para sa karagdagan o you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey na may one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi ay kailangan -ho-di-mo with -tumayo sa-from-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum ng bilang ng-li-te-lei, at ang sign-me-on-tel ay umalis nang walang iz-me- hindi-ny.

Susuriin natin ang right-vi-lo na ito kapwa sa halimbawa ng ordinary-but-vein-shot-beats, at sa halimbawa ng al-geb-ra-and-che-dro-bey.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga ordinaryong fraction

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction:.

Desisyon

Idagdag natin ang numero-kung-sila-mag-draw-beat man, at hayaan natin ang sign-me-on-tel na pareho. Pagkatapos nito, hinahati namin ang numer-li-tel at ang sign-me-on-tel sa mga simpleng multiplier at so-kra-tim. Kunin natin: .

Tandaan: karaniwang error, magsisimula ako ng isang bagay kapag nagresolba sa isang magandang uri ng halimbawa, para sa -key-cha-et-sya sa sumusunod na-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Isa itong malaking pagkakamali, dahil ang sign-on-tel ay nananatiling pareho sa orihinal na mga fraction.

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction:.

Desisyon

This za-da-cha is nothing from-whether-cha-et-sya from the previous one:.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga algebraic fraction

Mula sa usual-but-vein-nyh dro-bay per-rey-dem hanggang sa al-geb-ra-i-che-skim.

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon: gaya ng nasabi na sa itaas, ang pagdaragdag ng al-geb-ra-and-che-dro-bey ay wala sa-is-cha-is-sya mula sa zhe-niya kadalasan-ngunit-vein-nyh dro-bay. Samakatuwid, ang paraan ng solusyon ay pareho:.

Halimbawa 4. You-honor fractions:.

Desisyon

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey from-whether-cha-et-sya from the complication only by the fact that in the number of pi-sy-va-et-sya pagkakaiba sa bilang ng-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Kaya .

Halimbawa 5. You-honor fractions:.

Desisyon: .

Halimbawa 6. Pasimplehin:.

Desisyon: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang sinusundan ng pagbabawas

Sa isang fraction, ang isang tao-paraiso ay nasa isang re-zul-ta-mga karagdagan o you-chi-ta-nia, ito ay posible na co-beautifully niya. Bilang karagdagan, hindi mo dapat kalimutan ang tungkol sa ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Halimbawa 7. Pasimplehin:.

Desisyon: .

Kung saan . Sa pangkalahatan, kung ang ODZ ng out-of-hot-drow-bay owls-pa-yes-et na may ODZ ng total-go-howl, hindi mo ito maipahiwatig (pagkatapos ng lahat, isang fraction, sa isang lu-chen-naya sa from-ve-those, hindi rin iiral kasama ang co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Ngunit kung ang ODZ ang pinagmulan ng tumatakbong dro-bay at from-ve-na hindi co-pa-yes-et, ang ODZ ay nagpapahiwatig ng need-ho-di-mo.

Halimbawa 8. Pasimplehin:.

Desisyon: . Kasabay nito, y (ODZ ng papalabas na draw-bay ay hindi tumutugma sa ODZ ng re-zul-ta-ta).

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator

Upang mag-imbak at you-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions na may iba't ibang-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu mula sa karaniwan- but-ven-ny-mi dro-bya-mi at re-re-not-sem it into al-geb-ra-and-che-fractions.

Ras-tingnan ang pinakasimpleng halimbawa para sa ordinaryong venous shots.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction:.

Desisyon:

Tandaan natin ang right-vi-lo-slo-drow-bay. Para sa mga fraction na na-cha-la, kailangang magdagdag-ve-sti sa karaniwang sign-me-to-te-lu. Sa papel ng isang pangkalahatang sign-me-on-te-la para sa ordinary-but-vein-draw-beats, you-stu-pa-et hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOK) ang pinagmulan ng signs-me-on-the-lei.

Kahulugan

Ang pinakamaliit na-neck-to-tu-ral-number, someone-swarm ay sabay-sabay na de-lit sa mga numero at.

Upang mahanap ang NOC, kailangan mong i-de-lo-live know-me-on-the-kung sa mga simpleng multiplier, at pagkatapos ay piliin na kunin ang lahat ng pro- maraming, marami, ang ilan sa mga ito ay kasama sa pagkakaiba sa pagitan ng dalawa signs-me-on-the-lei.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang dalawa at dalawang tatlo:.

Matapos mahanap ang pangkalahatang sign-on-te-la, kinakailangan para sa bawat isa sa mga dro-bay na maghanap ng karagdagang multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, sa pag-de-bubuhos ng karaniwang sign-me- on-tel sa sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

Pagkatapos, ang bawat fraction ay pinarami ng semi-chen-ny hanggang-half-no-tel-ny multiplier. Mga fraction na may parehong-sa-you-know-me-on-te-la-mi, mga bodega at you-chi-tat na isang tao na ating kinaroroonan - na pinag-aralan sa mga nakaraang aralin.

By-lu-cha-eat: .

Sagot:.

Ras-look-rim ngayon ang fold ng al-geb-ra-and-che-dro-bey na may iba't ibang signs-me-on-te-la-mi. Sleep-cha-la, we-look at the fractions, know-me-on-the-kung ang ilan sa kanila ay-la-yut-sya number-la-mi.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction:.

Desisyon:

Al-go-ritmo ng re-she-niya ab-so-lyut-ngunit ana-lo-gi-chen dati-du-sche-mu p-me-ru. Madaling kumuha ng common denominator sa mga ibinigay na fraction: at mga add-to-full multiplier para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

Kaya, sfor-mu-li-ru-em al-go-rhythm of complication at you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-beats na may iba't ibang-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Hanapin ang pinakamaliit na karaniwang sign-me-on-tel draw-bay.

2. Maghanap ng mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa mga fraction ng draw-bay).

3. Mag-multiply-live na mga numero-kung-ang-kung sa co-ot-vet-stu-u-s-hanggang-half-no-tel-nye-multiple-those.

4. Add-to-live o you-honor ang mga fraction, gamitin ang right-wi-la-mi ng fold at you-chi-ta-niya draw-bay na may one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim na ngayon ay isang halimbawa sa dro-bya-mi, sa kilala-ako-sa-sa-may-may-may-may-beech-ven-nye-sa-pareho mo - tion.