Sa sandaling makapagbigay ako ng mga lektura pagkatapos ng operasyon, ang unang tanong ng mga estudyante ay:

Kailan mo kami iguguhit ng 4-dimensional na kubo? Ipinangako sa amin ni Ilyas Abdulkhaevich!

Naaalala ko na ang aking mga mahal na kaibigan kung minsan ay tulad ng isang sandali ng mga aktibidad na pang-edukasyon sa matematika. Samakatuwid, magsusulat ako ng isang bahagi ng aking panayam para sa mga mathematician dito. At susubukan ko nang hindi nakakasawa. Sa ilang mga punto ay binasa ko ang lecture nang mas mahigpit, siyempre.

Magkasundo muna tayo. Ang 4-dimensional, at higit pa sa 5-6-7- at sa pangkalahatan ang k-dimensional na espasyo ay hindi ibinibigay sa atin sa mga pandama.
"Kami ay kahabag-habag dahil kami ay tatlong-dimensional lamang," sabi ng aking guro sa Sunday school, na unang nagsabi sa akin kung ano ang isang 4-dimensional na kubo. Ang Sunday school ay, natural, sobrang relihiyoso - matematika. That time nag-aaral kami ng hyper-cubes. Isang linggo bago ito, mathematical induction, isang linggo pagkatapos nito, Hamiltonian cycles sa mga graph - ayon dito, ito ay ika-7 baitang.

Hindi namin mahahawakan, maamoy, marinig o makita ang isang 4-dimensional na kubo. Ano ang magagawa natin dito? Maaari naming isipin ito! Dahil ang ating utak ay mas kumplikado kaysa sa ating mga mata at kamay.

Kaya, upang maunawaan kung ano ang isang 4-dimensional na kubo, unawain muna natin kung ano ang magagamit sa atin. Ano ang isang 3-dimensional na kubo?

SIGE SIGE! Hindi ako humihingi sa iyo ng isang malinaw na kahulugan ng matematika. Isipin na lang ang pinakasimple at pinaka-ordinaryong three-dimensional na kubo. Ipinakilala?

ayos lang.
Upang maunawaan kung paano i-generalize ang isang 3-dimensional na cube sa isang 4-dimensional na espasyo, alamin natin kung ano ang isang 2-dimensional na kubo. Ito ay napakasimple - ito ay isang parisukat!

Ang isang parisukat ay may 2 coordinate. Ang kubo ay may tatlo. Ang mga square point ay mga puntos na may dalawang coordinate. Ang una ay mula 0 hanggang 1. At ang pangalawa ay mula 0 hanggang 1. Ang mga punto ng kubo ay may tatlong coordinate. At ang bawat isa ay anumang numero mula 0 hanggang 1.

Lohikal na isipin na ang isang 4-dimensional na kubo ay isang bagay na mayroong 4 na coordinate at lahat ay mula 0 hanggang 1.

/* Kaagad na lohikal na isipin ang isang 1-dimensional na kubo, na hindi hihigit sa isang simpleng segment mula 0 hanggang 1. */

Kaya, teka, paano ka gumuhit ng 4-dimensional na kubo? Pagkatapos ng lahat, hindi tayo maaaring gumuhit ng 4-dimensional na espasyo sa isang eroplano!
Ngunit hindi rin kami gumuhit ng 3-dimensional na espasyo sa isang eroplano, iginuhit namin ito projection papunta sa isang 2-dimensional na drawing plane. Inilalagay namin ang ikatlong coordinate (z) sa isang anggulo, na iniisip na ang axis mula sa drawing plane ay "patungo sa amin".

Ngayon ay ganap na malinaw kung paano gumuhit ng isang 4-dimensional na kubo. Sa parehong paraan na ipinwesto natin ang ikatlong axis sa isang tiyak na anggulo, gawin natin ang ikaapat na axis at iposisyon din ito sa isang tiyak na anggulo.
At - voila! -- projection ng isang 4-dimensional na kubo papunta sa isang eroplano.

Ano? Ano naman ito? Palagi akong nakakarinig ng mga bulong sa likod ng mga mesa. Hayaan akong ipaliwanag nang mas detalyado kung ano ang paghalu-halong linya na ito.
Tumingin muna sa three-dimensional na kubo. Ano'ng nagawa natin? Kinuha namin ang parisukat at kinaladkad ito sa ikatlong axis (z). Ito ay tulad ng marami, maraming mga parisukat na papel na pinagsama sa isang stack.
Ito ay pareho sa isang 4-dimensional na kubo. Tawagin natin ang ikaapat na axis, para sa kaginhawahan at para sa science fiction, ang "time axis." Kailangan nating kumuha ng ordinaryong three-dimensional na kubo at i-drag ito sa oras mula sa oras "ngayon" hanggang sa oras "sa isang oras."

Mayroon kaming isang "ngayon" na kubo. Sa larawan ito ay kulay rosas.

At ngayon i-drag namin ito kasama ang ika-apat na axis - kasama ang axis ng oras (ipinakita ko ito sa berde). At nakukuha namin ang kubo ng hinaharap - asul.

Ang bawat tuktok ng "kubo ngayon" ay nag-iiwan ng isang bakas sa oras - isang segment. Pag-uugnay sa kanyang kasalukuyan sa kanyang hinaharap.

Sa madaling salita, nang walang anumang lyrics: gumuhit kami ng dalawang magkaparehong 3-dimensional na cube at ikinonekta ang kaukulang mga vertice.
Eksaktong tulad ng ginawa nila sa isang 3-dimensional na cube (gumuhit ng 2 magkaparehong 2-dimensional na cube at ikonekta ang mga vertices).

Upang gumuhit ng 5-dimensional na kubo, kakailanganin mong gumuhit ng dalawang kopya ng isang 4-dimensional na kubo (isang 4-dimensional na kubo na may ikalimang coordinate 0 at isang 4-dimensional na kubo na may ikalimang coordinate 1) at ikonekta ang kaukulang mga vertice na may mga gilid. Totoo, magkakaroon ng napakaraming mga gilid sa eroplano na halos imposibleng maunawaan ang anuman.

Kapag naisip na natin ang isang 4-dimensional na kubo at nagawang iguhit ito, maaari na nating tuklasin ito sa iba't ibang paraan. Pag-alala na tuklasin ito pareho sa iyong isip at mula sa larawan.
Halimbawa. Ang isang 2-dimensional na kubo ay nakatali sa 4 na panig ng 1-dimensional na mga cube. Ito ay lohikal: para sa bawat isa sa 2 mga coordinate ito ay may parehong simula at isang wakas.
Ang isang 3-dimensional na kubo ay nakatali sa 6 na panig ng 2-dimensional na mga cube. Para sa bawat isa sa tatlong mga coordinate ito ay may simula at isang wakas.
Nangangahulugan ito na ang isang 4-dimensional na cube ay dapat na limitado ng walong 3-dimensional na cube. Para sa bawat isa sa 4 na coordinate - sa magkabilang panig. Sa figure sa itaas ay malinaw na nakikita natin ang 2 mukha na naglilimita dito sa coordinate ng "oras".

Narito ang dalawang cube (sila ay bahagyang pahilig dahil mayroon silang 2 dimensyon na naka-project sa eroplano sa isang anggulo), nililimitahan ang aming hypercube sa kaliwa at kanan.

Madali ring mapansin ang "itaas" at "ibaba".

Ang pinakamahirap na bagay ay upang maunawaan kung nasaan ang "harap" at "likod". Ang harap ay nagsisimula mula sa harap na gilid ng "kubo ngayon" at sa harap na gilid ng "kubo ng hinaharap" - ito ay pula. Kulay lila ang likuran.

Ang mga ito ang pinakamahirap na mapansin dahil ang ibang mga cube ay nagkakagulo sa ilalim ng paa, na naglilimita sa hypercube sa ibang inaasahang coordinate. Ngunit tandaan na ang mga cube ay iba pa rin! Narito muli ang larawan, kung saan ang "kubo ng ngayon" at ang "kubo ng hinaharap" ay naka-highlight.

Siyempre, posibleng i-project ang isang 4-dimensional na kubo sa 3-dimensional na espasyo.
Ang unang posibleng spatial na modelo ay malinaw kung ano ang hitsura nito: kailangan mong kumuha ng 2 cube frame at ikonekta ang kanilang mga kaukulang vertices sa isang bagong gilid.
Wala akong stock na modelong ito sa ngayon. Sa lecture, ipinapakita ko sa mga mag-aaral ang isang bahagyang naiibang 3-dimensional na modelo ng isang 4-dimensional na kubo.

Alam mo kung paano naka-project ang isang cube sa isang eroplanong tulad nito.
Para kaming tumitingin sa isang cube mula sa itaas.

Ang malapit na gilid ay, siyempre, malaki. At ang malayong gilid ay mukhang mas maliit, nakikita natin ito sa malapit.

Ito ay kung paano mo mai-project ang isang 4-dimensional na kubo. Ang kubo ay mas malaki ngayon, nakikita natin ang kubo ng hinaharap sa malayo, kaya mas maliit ito.

Sa kabila. Mula sa itaas na bahagi.

Direktang eksakto mula sa gilid ng gilid:

Mula sa gilid ng tadyang:

At ang huling anggulo, asymmetrical. Mula sa seksyong "sabihin sa akin na tumingin ako sa pagitan ng kanyang mga tadyang."

Well, pagkatapos ay maaari kang makabuo ng kahit ano. Halimbawa, tulad ng pagkakaroon ng isang 3-dimensional na kubo sa isang eroplano (ito ay tulad ng paggupit ng isang sheet ng papel upang kapag nakatiklop ay makakakuha ka ng isang kubo), ganoon din ang nangyayari sa pagbuo ng isang 4-dimensional na kubo sa space. Ito ay tulad ng pagputol ng isang piraso ng kahoy upang sa pamamagitan ng pagtiklop nito sa 4-dimensional na espasyo ay makakakuha tayo ng isang tesseract.

Maaari kang mag-aral hindi lamang isang 4-dimensional na cube, ngunit n-dimensional na mga cube sa pangkalahatan. Halimbawa, totoo ba na ang radius ng isang sphere na nakapaligid sa isang n-dimensional na kubo ay mas mababa kaysa sa haba ng gilid ng kubo na ito? O narito ang isang mas simpleng tanong: gaano karaming mga vertex mayroon ang isang n-dimensional na kubo? Ilang gilid (1-dimensional na mukha)?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang four-dimensional na espasyo.

Ito ay isang one-dimensional na espasyo, iyon ay, simpleng axis ng OX. Ang anumang punto dito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang coordinate.

Ngayon, iguhit natin ang OY axis patayo sa OX axis. Kaya nakakakuha kami ng dalawang-dimensional na espasyo, iyon ay, ang XOY plane. Ang anumang punto dito ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang coordinate - abscissa at ordinate.

Iguhit natin ang OZ axis patayo sa OX at OY axes. Ang resulta ay isang three-dimensional na espasyo kung saan ang anumang punto ay may abscissa, ordinate at applicate.

Lohikal na ang ikaapat na axis, OQ, ay dapat na patayo sa OX, OY at OZ axes sa parehong oras. Ngunit hindi namin tumpak na makagawa ng gayong axis, at samakatuwid ay maaari lamang nating subukang isipin ito. Ang bawat punto sa four-dimensional na espasyo ay may apat na coordinate: x, y, z at q.

Ngayon tingnan natin kung paano lumitaw ang four-dimensional na kubo.

Ang larawan ay nagpapakita ng isang figure sa isang-dimensional na espasyo - isang linya.

Kung gumawa ka ng parallel na pagsasalin ng linyang ito sa kahabaan ng OY axis, at pagkatapos ay ikonekta ang mga katumbas na dulo ng dalawang resultang linya, makakakuha ka ng isang parisukat.

Katulad nito, kung gagawa ka ng parallel na pagsasalin ng parisukat sa kahabaan ng OZ axis at ikinonekta ang mga kaukulang vertices, makakakuha ka ng isang kubo.

At kung gumawa tayo ng parallel na pagsasalin ng kubo sa kahabaan ng OQ axis at ikonekta ang mga vertices ng dalawang cube na ito, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang four-dimensional na kubo. Siyanga pala, tinatawag tesseract.

Upang gumuhit ng isang kubo sa isang eroplano, kailangan mo ito proyekto. Biswal ito ay ganito:

Isipin natin na ito ay nakabitin sa hangin sa itaas ng ibabaw modelo ng wireframe cube, iyon ay, na parang "gawa sa alambre," at sa itaas nito ay isang bumbilya. Kung binuksan mo ang bombilya, subaybayan ang anino ng kubo gamit ang isang lapis, at pagkatapos ay patayin ang bombilya, ang isang projection ng kubo ay ilalarawan sa ibabaw.

Lumipat tayo sa isang bagay na medyo mas kumplikado. Tingnan muli ang guhit na may bombilya: tulad ng nakikita mo, ang lahat ng mga sinag ay nagtatagpo sa isang punto. Ito ay tinatawag na nawawalang punto at ginagamit sa pagtatayo projection ng pananaw(at ito ay nangyayari rin parallel, kapag ang lahat ng mga sinag ay parallel sa isa't isa. Ang resulta ay na ang sensasyon ng lakas ng tunog ay hindi nilikha, ngunit ito ay mas magaan, at higit pa rito, kung ang nawawalang punto ay medyo malayo sa inaasahang bagay, kung gayon ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang projection na ito ay maliit na kapansin-pansin). Upang i-proyekto ang isang ibinigay na punto sa isang partikular na eroplano gamit ang isang nawawalang punto, kailangan mong gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng nawawalang punto at ang ibinigay na punto, at pagkatapos ay hanapin ang intersection point ng nagresultang tuwid na linya at ang eroplano. At upang mai-proyekto ang isang mas kumplikadong pigura, sabihin nating, isang kubo, kailangan mong i-proyekto ang bawat isa sa mga vertice nito, at pagkatapos ay ikonekta ang mga kaukulang punto. Dapat ito ay nabanggit na algorithm para sa projecting space papunta sa subspace maaaring gawing pangkalahatan sa kaso ng 4D->3D, hindi lang 3D->2D.

Tulad ng sinabi ko, hindi natin maisip kung ano mismo ang hitsura ng OQ axis, tulad ng tesseract. Ngunit makakakuha tayo ng isang limitadong ideya tungkol dito kung i-proyekto natin ito sa isang volume at pagkatapos ay iguhit ito sa screen ng computer!

Ngayon pag-usapan natin ang tesseract projection.

Sa kaliwa ay ang projection ng cube papunta sa eroplano, at sa kanan ay ang tesseract papunta sa volume. Ang mga ito ay medyo magkatulad: ang projection ng isang kubo ay mukhang dalawang parisukat, maliit at malaki, isa sa loob ng isa, at kung saan ang mga kaukulang vertices ay konektado sa pamamagitan ng mga linya. At ang projection ng tesseract ay mukhang dalawang cube, maliit at malaki, isa sa loob ng isa, at kung saan ang mga kaukulang vertices ay konektado. Ngunit nakita nating lahat ang kubo, at masasabi natin nang may kumpiyansa na ang maliit na parisukat at ang malaki, at ang apat na trapezoid sa itaas, sa ibaba, sa kanan at kaliwa ng maliit na parisukat, ay talagang mga parisukat, at sila ay magkapantay. . At ang tesseract ay may parehong bagay. At isang malaking kubo, at isang maliit na kubo, at anim na pinutol na mga pyramid sa mga gilid ng isang maliit na kubo - lahat ito ay mga cube, at sila ay pantay.

Ang aking programa ay hindi lamang maaaring gumuhit ng projection ng isang tesseract sa isang volume, ngunit pati na rin i-rotate ito. Tingnan natin kung paano ito ginagawa.

Una, sasabihin ko sa iyo kung ano ito pag-ikot parallel sa eroplano.

Isipin na ang kubo ay umiikot sa paligid ng OZ axis. Pagkatapos, ang bawat isa sa mga vertice nito ay naglalarawan ng isang bilog sa paligid ng OZ axis.

Ang bilog ay isang patag na pigura. At ang mga eroplano ng bawat isa sa mga bilog na ito ay parallel sa bawat isa, at sa kasong ito ay parallel sa XOY plane. Iyon ay, maaari nating pag-usapan hindi lamang ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng OZ axis, kundi pati na rin ang tungkol sa pag-ikot parallel sa XOY plane. Gaya ng nakikita natin, para sa mga puntos na umiikot parallel sa XOY axis, tanging ang abscissa at ordinate ang nagbabago, habang ang applicate ay nananatili. At, sa katunayan, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya kapag nakikitungo tayo sa tatlong-dimensional na espasyo. Sa dalawang-dimensional na espasyo ang lahat ay umiikot sa paligid ng isang punto, sa apat na-dimensional na espasyo ang lahat ay umiikot sa paligid ng isang eroplano, sa limang-dimensional na espasyo pinag-uusapan natin ang tungkol sa pag-ikot sa paligid ng isang volume. At kung maaari nating isipin ang pag-ikot sa paligid ng isang punto, kung gayon ang pag-ikot sa paligid ng isang eroplano at dami ay isang bagay na hindi maiisip. At kung pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-ikot na kahanay sa eroplano, kung gayon sa anumang n-dimensional na espasyo ang isang punto ay maaaring paikutin parallel sa eroplano.

Marahil marami sa inyo ang nakarinig ng rotation matrix. Ang pagpaparami ng punto sa pamamagitan nito, makakakuha tayo ng isang punto na pinaikot parallel sa eroplano sa pamamagitan ng isang anggulo phi. Para sa dalawang-dimensional na espasyo, ganito ang hitsura:

Paano mag-multiply: x ng isang puntong pinaikot ng isang anggulo phi = cosine ng anggulo phi*ix ng orihinal na punto minus sine ng anggulo phi*ig ng orihinal na punto;
ig ng isang punto na pinaikot ng isang anggulo phi = sine ng anggulo phi * ix ng orihinal na punto kasama ang cosine ng anggulo phi * ig ng orihinal na punto.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, kung saan ang Xa at Ya ay ang abscissa at ordinate ng point na paiikutin, ang Xa` at Ya` ay ang abscissa at ordinate ng naiikot na point

Para sa tatlong-dimensional na espasyo, ang matrix na ito ay pangkalahatan tulad ng sumusunod:

Pag-ikot parallel sa XOY plane. Tulad ng nakikita mo, ang Z coordinate ay hindi nagbabago, ngunit ang X at Y lamang ang nagbabago
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (talaga, Za`=Za)

Pag-ikot parallel sa XOZ plane. Walang bago,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (talaga, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

At ang ikatlong matris.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (sa totoo lang, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

At para sa ikaapat na dimensyon, ganito ang hitsura nila:


Sa tingin ko naiintindihan mo na kung ano ang dapat i-multiply, kaya hindi na ako magdedetalye muli. Ngunit tandaan ko na ginagawa nito ang parehong bagay bilang isang matrix para sa pag-ikot parallel sa isang eroplano sa tatlong-dimensional na espasyo! Parehong nagbabago lamang ang ordinate at ang applicate, at huwag hawakan ang iba pang mga coordinate, kaya maaari itong magamit sa three-dimensional na kaso, hindi lamang binibigyang pansin ang ikaapat na coordinate.

Ngunit sa formula ng projection, hindi lahat ay napakasimple. Kahit gaano karaming mga forum ang nabasa ko, wala sa mga pamamaraan ng projection ang gumana para sa akin. Ang parallel ay hindi angkop para sa akin, dahil ang projection ay hindi magmumukhang three-dimensional. Sa ilang mga formula ng projection, upang makahanap ng isang punto kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga equation (at hindi ko alam kung paano magturo sa isang computer upang malutas ang mga ito), ang iba ay hindi ko maintindihan... Sa pangkalahatan, nagpasya akong gumawa ng sarili kong paraan. Para sa layuning ito, isaalang-alang ang 2D->1D projection.

Ang ibig sabihin ng pov ay "Point of view", ang ibig sabihin ng ptp ay "Point to project" (ang puntong ipapakita), at ang ptp` ay ang gustong punto sa OX axis.

Ang mga anggulo na povptpB at ptpptp`A ay katumbas ng katumbas (ang may tuldok na linya ay parallel sa OX axis, ang straight line na povptp ay isang secant).
Ang x ng point ptp` ay katumbas ng x ng point ptp na binawasan ang haba ng segment na ptp`A. Ang segment na ito ay makikita mula sa tatsulok na ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangent ng anggulo ptpptp`A. Mahahanap natin ang tangent na ito mula sa tatsulok na povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Sagot: Xptp`=Xptp-Yptp/tangent ng anggulo ptpptp`A.

Hindi ko inilarawan ang algorithm na ito nang detalyado dito, dahil maraming mga espesyal na kaso kapag medyo nagbabago ang formula. Kung may interesado, tingnan ang source code ng programa, ang lahat ay inilarawan doon sa mga komento.

Upang mai-proyekto ang isang punto sa three-dimensional na espasyo sa isang eroplano, isinasaalang-alang lang namin ang dalawang eroplano - XOZ at YOZ, at lutasin ang problemang ito para sa bawat isa sa kanila. Sa kaso ng four-dimensional space, kinakailangang isaalang-alang ang tatlong eroplano: XOQ, YOQ at ZOQ.

At sa wakas, tungkol sa programa. Ito ay gumagana tulad nito: simulan ang labing-anim na vertices ng tesseract -> depende sa mga utos na ipinasok ng user, i-rotate ito -> i-project ito sa volume -> depende sa mga command na ipinasok ng user, i-rotate ang projection nito -> project papunta sa eroplano -> gumuhit.

Ako mismo ang sumulat ng mga projection at rotations. Gumagana sila ayon sa mga formula na inilarawan ko. Ang OpenGL library ay gumuhit ng mga linya at pinangangasiwaan din ang paghahalo ng kulay. At ang mga coordinate ng tesseract vertices ay kinakalkula sa ganitong paraan:

Mga coordinate ng vertices ng isang linyang nakasentro sa pinanggalingan at haba 2 - (1) at (-1);
- " - " - parisukat - " - " - at isang gilid ng haba 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) at (-1; -1);
- " - " - kubo - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Gaya ng nakikita mo, ang parisukat ay isang linya sa itaas ng OY axis at isang linya sa ibaba ng OY axis; ang isang cube ay isang parisukat sa harap ng XOY plane, at isa sa likod nito; Ang tesseract ay isang cube sa kabilang panig ng volume ng XOYZ, at isa sa panig na ito. Ngunit mas madaling makita ang paghahalili ng isa at minus kung ito ay nakasulat sa isang hanay.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Sa unang column, isa at minus one ang kahalili. Sa pangalawang hanay, una mayroong dalawang plus, pagkatapos ay dalawang minus. Sa pangatlo - apat na plus, at pagkatapos ay apat na minus. Ito ang mga vertex ng kubo. Ang tesseract ay may dalawang beses na mas marami sa kanila, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang magsulat ng isang loop upang ipahayag ang mga ito, kung hindi, ito ay napakadaling malito.

Ang aking programa ay maaari ding gumuhit ng anaglyph. Ang mga masayang may-ari ng 3D na baso ay makakapagmasid ng isang stereoscopic na imahe. Walang nakakalito sa pagguhit ng larawan; gumuhit ka lang ng dalawang projection sa eroplano, para sa kanan at kaliwang mata. Ngunit ang programa ay nagiging mas visual at kawili-wili, at pinaka-mahalaga, nagbibigay ito ng isang mas mahusay na ideya ng four-dimensional na mundo.

Ang mga hindi gaanong makabuluhang pag-andar ay ang pag-iilaw ng isa sa mga gilid na pula upang mas makita ang mga pagliko, pati na rin ang mga menor de edad na kaginhawahan - regulasyon ng mga coordinate ng mga punto ng "mata", pagtaas at pagbaba ng bilis ng pag-ikot.

I-archive kasama ang program, source code at mga tagubilin para sa paggamit.

Kung may nangyaring hindi pangkaraniwang pangyayari sa iyo, nakakita ka ng kakaibang nilalang o hindi maintindihang kababalaghan, maaari mong ipadala sa amin ang iyong kwento at ito ay ilalathala sa aming website ===> .

Ang doktrina ng mga multidimensional na espasyo ay nagsimulang lumitaw sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Ang ideya ng four-dimensional na espasyo ay hiniram mula sa mga siyentipiko ng mga manunulat ng science fiction. Sa kanilang mga gawa sinabi nila sa mundo ang tungkol sa mga kamangha-manghang kababalaghan ng ikaapat na dimensyon.

Ang mga bayani ng kanilang mga gawa, gamit ang mga katangian ng four-dimensional na espasyo, ay makakain ng mga nilalaman ng isang itlog nang hindi nasisira ang shell, at uminom ng inumin nang hindi binubuksan ang takip ng bote. Inalis ng mga magnanakaw ang kayamanan mula sa ligtas sa pamamagitan ng ikaapat na dimensyon. Ang mga surgeon ay nagsagawa ng mga operasyon sa mga panloob na organo nang hindi pinuputol ang tisyu ng katawan ng pasyente.

Tesseract

Sa geometry, ang hypercube ay isang n-dimensional na pagkakatulad ng isang parisukat (n = 2) at isang kubo (n = 3). Ang four-dimensional na analogue ng aming karaniwang 3-dimensional na cube ay kilala bilang tesseract. Ang tesseract ay sa kubo bilang ang kubo ay sa parisukat. Sa mas pormal na paraan, ang isang tesseract ay maaaring ilarawan bilang isang regular na matambok na apat na dimensional na polyhedron na ang hangganan ay binubuo ng walong cubic cell.

Ang bawat pares ng hindi magkatulad na 3D na mukha ay nagsalubong upang bumuo ng mga 2D na mukha (mga parisukat), at iba pa. Panghuli, ang tesseract ay may 8 3D na mukha, 24 na 2D na mukha, 32 gilid at 16 na vertex.
Sa pamamagitan ng paraan, ayon sa Oxford Dictionary, ang salitang tesseract ay likha at ginamit noong 1888 ni Charles Howard Hinton (1853-1907) sa kanyang aklat na A New Age of Thought. Nang maglaon, tinawag ng ilang tao ang parehong figure na isang tetracube (Greek tetra - apat) - isang four-dimensional na kubo.

Konstruksyon at paglalarawan

Subukan nating isipin kung ano ang magiging hitsura ng hypercube nang hindi umaalis sa tatlong-dimensional na espasyo.
Sa isang isang-dimensional na "espasyo" - sa isang linya - pumili kami ng isang segment na AB ng haba L. Sa isang dalawang-dimensional na eroplano sa layo na L mula sa AB, gumuhit kami ng isang segment na DC parallel dito at ikinonekta ang kanilang mga dulo. Ang resulta ay isang parisukat na CDBA. Sa pag-uulit ng operasyong ito sa eroplano, nakakakuha kami ng isang three-dimensional cube CDBAGHFE. At sa pamamagitan ng paglilipat ng kubo sa ikaapat na dimensyon (patayo sa unang tatlo) sa layo na L, nakukuha natin ang hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Sa katulad na paraan, maaari nating ipagpatuloy ang ating pangangatwiran para sa mga hypercubes ng mas malaking bilang ng mga dimensyon, ngunit mas kawili-wiling makita kung paano tayo hahanapin ng isang four-dimensional na hypercube, mga residente ng three-dimensional na espasyo.

Kunin natin ang wire cube ABCDHEFG at tingnan ito gamit ang isang mata mula sa gilid ng gilid. Makikita natin at maaring gumuhit ng dalawang parisukat sa eroplano (ang malapit at malayong mga gilid nito), na konektado ng apat na linya - mga gilid sa gilid. Katulad nito, ang isang four-dimensional na hypercube sa three-dimensional na espasyo ay magmumukhang dalawang cubic na "kahon" na ipinasok sa isa't isa at konektado ng walong gilid. Sa kasong ito, ang mga "kahon" mismo - mga three-dimensional na mukha - ay ipapakita sa "aming" espasyo, at ang mga linya na nagkokonekta sa kanila ay aabot sa direksyon ng ika-apat na axis. Maaari mo ring subukang isipin ang kubo hindi sa projection, ngunit sa isang spatial na imahe.

Kung paanong ang isang three-dimensional na kubo ay nabuo sa pamamagitan ng isang parisukat na inilipat sa haba ng mukha nito, ang isang kubo na inilipat sa ikaapat na dimensyon ay bubuo ng isang hypercube. Ito ay limitado ng walong cube, na sa pananaw ay magmumukhang medyo kumplikadong pigura. Ang four-dimensional hypercube mismo ay maaaring hatiin sa isang walang katapusang bilang ng mga cube, tulad ng isang three-dimensional na kubo ay maaaring "hiwain" sa isang walang katapusang bilang ng mga flat square.

Sa pamamagitan ng pagputol ng anim na mukha ng isang three-dimensional na kubo, maaari mong mabulok ito sa isang patag na pigura - isang pag-unlad. Magkakaroon ito ng parisukat sa bawat gilid ng orihinal na mukha at isa pa - ang mukha sa tapat nito. At ang three-dimensional na pag-unlad ng isang four-dimensional hypercube ay bubuuin ng orihinal na cube, anim na cube na "lumalaki" mula dito, kasama ang isa pa - ang pangwakas na "hyperface".

Hypercube sa sining

Ang Tesseract ay isang kawili-wiling figure na ito ay paulit-ulit na nakakaakit ng atensyon ng mga manunulat at filmmaker.
Ilang beses binanggit ni Robert E. Heinlein ang mga hypercubes. Sa The House That Teal Built (1940), inilarawan niya ang isang bahay na itinayo bilang isang hindi nakabalot na tesseract at pagkatapos, dahil sa isang lindol, "natiklop" sa ikaapat na dimensyon upang maging isang "tunay" na tesseract. Ang nobelang Glory Road ni Heinlein ay naglalarawan ng isang hyper-sized na kahon na mas malaki sa loob kaysa sa labas.

Ang kuwento ni Henry Kuttner na "All Tenali Borogov" ay naglalarawan ng isang laruang pang-edukasyon para sa mga bata mula sa malayong hinaharap, na katulad ng istraktura sa isang tesseract.

Ang plot ng Cube 2: Hypercube ay nakasentro sa walong estranghero na nakulong sa isang "hypercube", o network ng mga konektadong cube.

Isang parallel na mundo

Ang mga abstraction sa matematika ay nagbunga ng ideya ng pagkakaroon ng magkatulad na mga mundo. Ang mga ito ay nauunawaan bilang mga katotohanan na umiiral nang sabay-sabay sa atin, ngunit hiwalay dito. Ang isang parallel na mundo ay maaaring magkaroon ng iba't ibang laki: mula sa isang maliit na heograpikal na lugar hanggang sa isang buong uniberso. Sa isang parallel na mundo, ang mga kaganapan ay nangyayari sa kanilang sariling paraan; maaaring naiiba ito sa ating mundo, kapwa sa mga indibidwal na detalye at sa halos lahat. Bukod dito, ang mga pisikal na batas ng isang parallel na mundo ay hindi kinakailangang katulad ng mga batas ng ating Uniberso.

Ang paksang ito ay matabang lupa para sa mga manunulat ng science fiction.

Ang pagpipinta ni Salvador Dali na "The Crucifixion" ay naglalarawan ng isang tesseract. Ang “Crucifixion or Hypercubic Body” ay isang painting ng Spanish artist na si Salvador Dali, na ipininta noong 1954. Inilalarawan ang ipinako sa krus na si Hesukristo sa isang tesseract scan. Ang pagpipinta ay itinatago sa Metropolitan Museum of Art sa New York

Nagsimula ang lahat noong 1895, nang buksan ni H.G. Wells, kasama ang kanyang kuwentong "The Door in the Wall," ang pagkakaroon ng magkatulad na mundo sa science fiction. Noong 1923, bumalik si Wells sa ideya ng magkatulad na mga mundo at inilagay sa isa sa mga ito ang isang utopian na bansa kung saan pumunta ang mga karakter sa nobelang Men Like Gods.

Hindi napapansin ang nobela. Noong 1926, lumabas ang kwento ni G. Dent na “The Emperor of the Country “If.” Sa kwento ni Dent, sa unang pagkakataon, umusbong ang ideya na maaaring mayroong mga bansa (mundo) na ang kasaysayan ay maaaring magkaiba sa kasaysayan ng mga tunay na bansa. sa ating mundo. At ang mga mundong ito ay hindi gaanong totoo kaysa sa atin.

Noong 1944, inilathala ni Jorge Luis Borges ang kuwentong "The Garden of Forking Paths" sa kanyang aklat na Fictional Stories. Dito ang ideya ng oras ng pagsasanga ay sa wakas ay ipinahayag nang may lubos na kalinawan.
Sa kabila ng hitsura ng mga gawa na nakalista sa itaas, ang ideya ng maraming mga mundo ay nagsimulang seryosong umunlad sa science fiction lamang sa huling bahagi ng apatnapu't ng ika-20 siglo, humigit-kumulang sa parehong oras nang lumitaw ang isang katulad na ideya sa pisika.

Isa sa mga nagpasimuno ng bagong direksyon sa science fiction ay si John Bixby, na nagmungkahi sa kuwentong "One Way Street" (1954) na sa pagitan ng mga mundo ay maaari ka lamang lumipat sa isang direksyon - sa sandaling pumunta ka mula sa iyong mundo patungo sa isang parallel, hindi ka babalik, ngunit lilipat ka mula sa isang mundo patungo sa susunod. Gayunpaman, ang pagbabalik sa sariling mundo ay hindi rin ibinukod - para dito kinakailangan na sarado ang sistema ng mga mundo.

Ang nobela ni Clifford Simak na A Ring Around the Sun (1982) ay naglalarawan ng maraming planetang Earth, bawat isa ay umiiral sa sarili nitong mundo, ngunit sa parehong orbit, at ang mga mundong ito at ang mga planetang ito ay nagkakaiba lamang sa pamamagitan ng bahagyang (microsecond) na pagbabago ng panahon . Ang maraming Earths na binisita ng bayani ng nobela ay bumubuo ng isang sistema ng mga mundo.

Si Alfred Bester ay nagpahayag ng isang kawili-wiling pananaw sa sangay ng mga mundo sa kanyang kwentong "The Man Who Killed Mohammed" (1958). "Sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraan," ang sabi ng bayani ng kuwento, "binago mo ito para sa iyong sarili lamang." Sa madaling salita, pagkatapos ng pagbabago sa nakaraan, lumitaw ang isang sangay ng kasaysayan kung saan para lamang sa karakter na gumawa ng pagbabago ang pagbabagong ito ay umiiral.

Ang kwento ng magkapatid na Strugatsky na "Monday Begins on Saturday" (1962) ay naglalarawan sa mga paglalakbay ng mga karakter sa iba't ibang bersyon ng hinaharap na inilarawan ng mga manunulat ng science fiction - taliwas sa mga paglalakbay sa iba't ibang bersyon ng nakaraan na umiral na sa science fiction.

Gayunpaman, kahit na ang isang simpleng listahan ng lahat ng mga gawa na nakakaapekto sa tema ng mga parallel na mundo ay aabutin ng masyadong maraming oras. At kahit na ang mga manunulat ng science fiction, bilang panuntunan, ay hindi nagpapatunay sa siyentipikong postulate ng multidimensionality, tama sila tungkol sa isang bagay - ito ay isang hypothesis na may karapatang umiral.
Ang pang-apat na dimensyon ng tesseract ay naghihintay pa rin sa aming pagbisita.

Victor Savinov

Kung fan ka ng mga pelikulang Avengers, ang unang bagay na maiisip mo kapag narinig mo ang salitang "Tesseract" ay ang transparent na hugis cube na sisidlan ng Infinity Stone na naglalaman ng walang limitasyong kapangyarihan.

Para sa mga tagahanga ng Marvel Universe, ang Tesseract ay isang kumikinang na asul na cube na nagpapabaliw sa mga tao hindi lamang sa Earth, kundi pati na rin sa ibang mga planeta. Kaya naman nagsama-sama ang lahat ng Avengers para protektahan ang Earthlings mula sa sobrang mapanirang kapangyarihan ng Tesseract.

Gayunpaman, ito ay kailangang sabihin: Ang Tesseract ay isang aktwal na geometric na konsepto, o mas partikular, isang hugis na umiiral sa 4D. Ito ay hindi lamang isang asul na cube mula sa Avengers ... ito ay isang tunay na konsepto.

Ang Tesseract ay isang bagay sa 4 na dimensyon. Ngunit bago natin ito ipaliwanag nang detalyado, magsimula tayo sa simula.

Ano ang "pagsukat"?

Narinig ng bawat tao ang mga terminong 2D at 3D, na kumakatawan sa dalawang-dimensional o tatlong-dimensional na bagay sa kalawakan. Ngunit ano ang mga sukat na ito?

Ang dimensyon ay isang direksyon na maaari mong puntahan. Halimbawa, kung gumuhit ka ng isang linya sa isang piraso ng papel, maaari kang pumunta sa kaliwa/kanan (x-axis) o pataas/pababa (y-axis). Kaya sinasabi namin na ang papel ay dalawang-dimensional dahil maaari ka lamang pumunta sa dalawang direksyon.

May sense of depth sa 3D.

Ngayon, sa totoong mundo, bukod sa dalawang direksyon na binanggit sa itaas (kaliwa/kanan at pataas/pababa), maaari ka ring pumunta sa "papunta/mula". Dahil dito, ang isang pakiramdam ng lalim ay idinagdag sa 3D na espasyo. Kaya nga sinasabi natin na ang totoong buhay ay 3-dimensional.

Ang isang punto ay maaaring kumatawan sa 0 dimensyon (dahil hindi ito gumagalaw sa anumang direksyon), ang isang linya ay kumakatawan sa 1 dimensyon (haba), isang parisukat ay kumakatawan sa 2 dimensyon (haba at lapad), at isang kubo ay kumakatawan sa 3 dimensyon (haba, lapad, at taas. ).

Kumuha ng 3D cube at palitan ang bawat mukha nito (na kasalukuyang mga parisukat) ng isang cube. At kaya! Ang hugis na makukuha mo ay ang tesseract.

Ano ang tesseract?

Sa madaling salita, ang tesseract ay isang cube sa 4-dimensional na espasyo. Maaari mo ring sabihin na ito ay isang 4D analogue ng isang kubo. Ito ay isang 4D na hugis kung saan ang bawat mukha ay isang cube.

Isang 3D projection ng isang tesseract na nagsasagawa ng dobleng pag-ikot sa paligid ng dalawang orthogonal na eroplano.
Larawan: Jason Hise

Narito ang isang simpleng paraan upang makonsepto ang mga sukat: ang isang parisukat ay dalawang-dimensional; samakatuwid, ang bawat sulok nito ay may 2 linya na umaabot mula dito sa isang anggulo na 90 degrees sa bawat isa. Ang kubo ay 3D, kaya ang bawat sulok nito ay may 3 linya na nagmumula rito. Gayundin, ang tesseract ay isang 4D na hugis, kaya ang bawat sulok ay may 4 na linya na umaabot mula dito.

Bakit mahirap isipin ang isang tesseract?

Dahil tayo bilang mga tao ay nag-evolve upang mailarawan ang mga bagay sa tatlong dimensyon, anumang bagay na napupunta sa mga dagdag na dimensyon tulad ng 4D, 5D, 6D, atbp. ay hindi gaanong saysay sa atin dahil hindi natin ito magagawang ipakilala. Hindi maintindihan ng ating utak ang ika-4 na dimensyon sa kalawakan. Hindi lang natin maisip.

Gayunpaman, dahil hindi natin maisalarawan ang konsepto ng mga multidimensional na espasyo ay hindi nangangahulugang hindi ito maaaring umiral.

Sa matematika, ang tesseract ay isang perpektong tumpak na hugis. Gayundin, lahat ng anyo sa mas matataas na dimensyon, ibig sabihin, 5D at 6D, ay mathematically plausible din.

Kung paanong ang isang cube ay maaaring palawakin sa 6 na parisukat sa 2D na espasyo, ang isang tesseract ay maaaring palawakin sa 8 cube sa 3D na espasyo.

Nakakagulat at hindi maintindihan, hindi ba?

Kaya ang tesseract ay isang "tunay na konsepto" na ganap na mathematically plausible, hindi lang ang makintab na asul na cube na pinaglalaban sa mga pelikulang Avengers.

Hypercube at Platonic solids

Magmodelo ng pinutol na icosahedron (“soccer ball”) sa “Vector” system
kung saan ang bawat pentagon ay napapaligiran ng mga heksagono

Pinutol na icosahedron ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagputol ng 12 vertices upang bumuo ng mga mukha sa anyo ng mga regular na pentagon. Sa kasong ito, ang bilang ng mga vertices ng bagong polyhedron ay tumataas ng 5 beses (12×5=60), 20 triangular na mukha ay nagiging regular na hexagons (sa kabuuan ang mga mukha ay nagiging 20+12=32), A ang bilang ng mga gilid ay tumataas sa 30+12×5=90.

Mga hakbang para sa pagbuo ng pinutol na icosahedron sa Vector system

Mga figure sa 4-dimensional na espasyo.

--à

--à ?

Halimbawa, binigyan ng cube at hypercube. Ang hypercube ay may 24 na mukha. Nangangahulugan ito na ang isang 4-dimensional na octahedron ay magkakaroon ng 24 na vertices. Bagama't hindi, ang hypercube ay may 8 mukha ng mga cube - bawat isa ay may sentro sa tuktok nito. Nangangahulugan ito na ang isang 4-dimensional na octahedron ay magkakaroon ng 8 vertices, na mas magaan pa.

4-dimensional na octahedron. Binubuo ito ng walong equilateral at pantay na tetrahedra,
konektado ng apat sa bawat taluktok.

kanin. Isang pagtatangkang gayahin
hypersphere-hypersphere sa Vector system

Harapan - likod na mukha - mga bola na walang pagbaluktot. Ang isa pang anim na bola ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga ellipsoid o parisukat na ibabaw (sa pamamagitan ng 4 na contour na linya bilang mga generator) o sa pamamagitan ng mga mukha (unang tinukoy sa pamamagitan ng mga generator).

Higit pang mga diskarte upang "bumuo" ng hypersphere
- ang parehong "soccer ball" sa 4-dimensional na espasyo

Appendix 2

Para sa convex polyhedra, mayroong isang ari-arian na nag-uugnay sa bilang ng mga vertices, gilid at mukha nito, na napatunayan noong 1752 ni Leonhard Euler, at tinawag na Euler's theorem.

Bago ito bumalangkas, isaalang-alang ang polyhedra na kilala sa amin at punan ang sumusunod na talahanayan, kung saan ang B ay ang bilang ng mga vertices, P - mga gilid at G - mga mukha ng isang ibinigay na polyhedron:

Pangalan ng polyhedron
Triangular na pyramid
Quadrangular pyramid
Triangular na prisma
Quadrangular prism
n-pyramid ng karbon	n+1	2n	n+1
n-carbon prism	2n	3n	n+2
n-pinutol ang karbon pyramid	2n	3n	n+2

Mula sa talahanayang ito ay agad na malinaw na para sa lahat ng napiling polyhedra ang pagkakapantay-pantay B - P + G = 2. Lumalabas na ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa hindi lamang para sa mga polyhedra na ito, kundi pati na rin para sa isang arbitrary na convex polyhedron.

Ang teorama ni Euler. Para sa anumang convex polyhedron ang pagkakapantay-pantay ay hawak

B - P + G = 2,

kung saan ang B ay ang bilang ng mga vertices, ang P ay ang bilang ng mga gilid at ang G ay ang bilang ng mga mukha ng isang binigay na polyhedron.

Patunay. Upang patunayan ang pagkakapantay-pantay na ito, isipin ang ibabaw ng polyhedron na ito na gawa sa isang nababanat na materyal. Alisin natin (gupitin) ang isa sa mga mukha nito at iunat ang natitirang ibabaw sa isang eroplano. Nakukuha namin ang isang polygon (nabuo ng mga gilid ng inalis na mukha ng polyhedron), nahahati sa mas maliliit na polygons (nabuo ng natitirang mga mukha ng polyhedron).

Tandaan na ang mga polygon ay maaaring i-deform, palakihin, bawasan, o kurbada ang kanilang mga gilid, hangga't walang mga puwang sa mga gilid. Hindi magbabago ang bilang ng mga vertex, gilid at mukha.

Patunayan natin na ang resultang pagkahati ng polygon sa mas maliliit na polygon ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

(*)B - P + G " = 1,

kung saan ang B ay ang kabuuang bilang ng mga vertices, ang P ay ang kabuuang bilang ng mga gilid at ang Г " ay ang bilang ng mga polygon na kasama sa partition. Malinaw na ang Г " = Г - 1, kung saan ang Г ay ang bilang ng mga mukha ng isang naibigay na polyhedron.

Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay (*) ay hindi nagbabago kung ang isang dayagonal ay iguguhit sa ilang polygon ng isang partikular na partisyon (Larawan 5, a). Sa katunayan, pagkatapos ng pagguhit ng gayong dayagonal, ang bagong partition ay magkakaroon ng mga B vertices, P+1 na mga gilid at ang bilang ng mga polygon ay tataas ng isa. Samakatuwid, mayroon kaming

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Gamit ang ari-arian na ito, gumuhit kami ng mga diagonal na naghahati sa mga papasok na polygon sa mga tatsulok, at para sa nagresultang pagkahati ay ipinapakita namin ang pagiging posible ng pagkakapantay-pantay (*) (Larawan 5, b). Upang gawin ito, aalisin namin ang mga panlabas na gilid nang sunud-sunod, na binabawasan ang bilang ng mga tatsulok. Sa kasong ito, posible ang dalawang kaso:

a) upang alisin ang isang tatsulok ABC ito ay kinakailangan upang alisin ang dalawang tadyang, sa aming kaso AB At B.C.;

b) upang alisin ang tatsulokMKNito ay kinakailangan upang alisin ang isang gilid, sa aming kasoMN.

Sa parehong mga kaso, ang pagkakapantay-pantay (*) ay hindi magbabago. Halimbawa, sa unang kaso, pagkatapos alisin ang tatsulok, ang graph ay bubuo ng B - 1 vertices, P - 2 edge at G "- 1 polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Isaalang-alang ang pangalawang kaso sa iyong sarili.

Kaya, ang pag-alis ng isang tatsulok ay hindi nagbabago sa pagkakapantay-pantay (*). Ang pagpapatuloy ng prosesong ito ng pag-alis ng mga tatsulok, sa kalaunan ay darating tayo sa isang partisyon na binubuo ng isang tatsulok. Para sa naturang partition, B = 3, P = 3, Г " = 1 at, samakatuwid, B – Р + Г " = 1. Nangangahulugan ito na ang pagkakapantay-pantay (*) ay mayroon din para sa orihinal na partisyon, kung saan nakuha namin iyon sa wakas para sa partition na ito ng polygon equality (*) ay totoo. Kaya, para sa orihinal na convex polyhedron ang pagkakapantay-pantay B - P + G = 2 ay totoo.

Isang halimbawa ng polyhedron kung saan hindi pinanghahawakan ang kaugnayan ni Euler, ipinapakita sa Figure 6. Ang polyhedron na ito ay may 16 vertices, 32 edges at 16 faces. Kaya, para sa polyhedron na ito ang pagkakapantay-pantay B - P + G = 0 ay humahawak.

Appendix 3.

Ang Film Cube 2: Hypercube ay isang science fiction na pelikula, isang sequel ng pelikulang Cube.

Walong estranghero ang gumising sa mga kwartong hugis cube. Matatagpuan ang mga kuwarto sa loob ng isang four-dimensional hypercube. Ang mga silid ay patuloy na gumagalaw sa pamamagitan ng "quantum teleportation", at kung umakyat ka sa susunod na silid, malamang na hindi ito bumalik sa nauna. Ang mga parallel na mundo ay nagsalubong sa hypercube, iba ang daloy ng oras sa ilang silid, at ang ilang kuwarto ay mga death traps.

Ang balangkas ng pelikula ay higit na inuulit ang kuwento ng unang bahagi, na makikita rin sa mga larawan ng ilan sa mga tauhan. Ang Nobel laureate na si Rosenzweig, na nagkalkula ng eksaktong oras ng pagkasira ng hypercube, ay namatay sa mga silid ng hypercube..

Pagpuna

Kung sa unang bahagi ang mga taong nakakulong sa isang labirint ay sinubukang tulungan ang isa't isa, sa pelikulang ito ito ay ang bawat tao para sa kanyang sarili. Mayroong maraming mga hindi kinakailangang mga espesyal na epekto (aka traps) na sa anumang paraan lohikal na ikonekta ang bahaging ito ng pelikula sa nauna. Iyon ay, lumalabas na ang pelikulang Cube 2 ay isang uri ng labirint ng hinaharap 2020-2030, ngunit hindi 2000. Sa unang bahagi, ang lahat ng mga uri ng mga bitag ay maaaring theoretically nilikha ng isang tao. Sa ikalawang bahagi, ang mga bitag na ito ay ilang uri ng computer program, ang tinatawag na "Virtual Reality".