TRABAHO NG KURSO

sa paksa ng:

"Praktikal na aplikasyon ng mga katangian ng mga kahanga-hangang kurba"

Panimula

Kaugnayan ng paksa ay upang ipakita ang aplikasyon ng kaalaman sa matematika sa mga praktikal na aktibidad ng tao. Ang kurso sa analytical geometry ay hindi kasama ang pagsasaalang-alang sa mga katangian ng kahanga-hangang mga kurba na malawakang ginagamit sa buhay.

Hypothesis : Ang paggamit ng materyal na ito ay nagpapalawak ng mga abot-tanaw ng mga mag-aaral sa mga kurba at kanilang mga katangian, at nagpapakita ng kanilang praktikal na aplikasyon sa buhay ng tao.

Ang layunin ng gawaing ito : Kolektahin ang materyal na gagamitin sa panahon ng independiyenteng pag-aaral ng mga magagandang kurba.

Mga gawain : Upang matulungan ang mag-aaral. Gamit ang pinakamababang oras, magdala ng pinakamataas na benepisyo.

Praktikal na kahalagahan ng gawain: Naniniwala ako na ang aking trabaho ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral na maunawaan ang materyal sa isang madaling paraan at malinaw na paraan. Ipapakita ang praktikal na aplikasyon ng mga katangian ng mga kahanga-hangang kurba, ituro kung paano bumuo ng mga kurba.

Pagpili ng tema

Sa kasalukuyang antas ng pag-unlad ng teknikal na pag-iisip, may pangangailangan para sa kaalaman tungkol sa mga kahanga-hangang kurba. Hindi sila bihira sa kalikasan; mayroon silang praktikal na mga aplikasyon sa buhay ng tao. Ang kaalaman sa kanilang mga kahanga-hangang katangian ay ginagamit sa iba't ibang mekanismo na ginagamit ng mga tao sa buhay.

Pinili ko ang paksang ito dahil sa tingin ko ito ay kawili-wili at makabuluhan, nagkakaroon ng cognitive interest sa analytical geometry, na nagbukas ng praktikal na aplikasyon ng geometry sa buhay. Ang paggamit ng materyal na ito sa mga geometry na lektura ay nagpapalawak ng mga abot-tanaw ng mga mag-aaral sa mga curve na pinag-aralan sa programa. Sa iba't ibang seksyon ng matematika at sa iba't ibang yugto ng pag-aaral, nakatagpo kami ng mga kurba ng parehong pangatlo at pangalawang pagkakasunud-sunod. Ngunit wala kahit saan na sinasabi tungkol sa mga kahanga-hangang katangian ng mga kurba na ito, higit na hindi tungkol sa kanilang praktikal na aplikasyon. Naniniwala ako na napakahalaga para sa mga mag-aaral na malaman ang magagandang katangian ng mga kurbatang ito, na malawakang ginagamit sa buhay. Sa pamamagitan ng pag-aaral at maging pamilyar lamang sa mga katangiang ito, nakikita ng mga estudyante ang tunay na praktikal na mga aplikasyon ng geometry.

Upang gawin ito, nakilala ko ang materyal tungkol sa mga kahanga-hangang kurba at ang kanilang mga katangian sa iba't ibang mga aklat-aralin at encyclopedia sa matematika.

1. Mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng mga linya

Ang konsepto ng isang linya ay lumitaw sa kamalayan ng tao noong sinaunang panahon. Ang tilapon ng isang itinapon na bato, ang mga balangkas ng mga bulaklak at dahon ng mga halaman, ang paikot-ikot na linya ng isang pampang ng ilog at iba pang mga natural na phenomena ay nakakaakit ng pansin ng mga tao sa mahabang panahon. Napagmasdan nang maraming beses, sila ay nagsilbing batayan para sa unti-unting pagtatatag ng konsepto ng isang linya. Ngunit tumagal ng isang makabuluhang yugto ng panahon upang simulan ng ating mga ninuno na ihambing ang mga hugis ng mga hubog na linya sa bawat isa. Ang mga unang guhit sa mga dingding ng mga kuweba at mga primitive na burloloy sa mga kagamitan sa sambahayan ay nagpapakita na ang mga tao ay hindi lamang nakikilala ang isang tuwid na linya mula sa isang kurba, kundi pati na rin upang makilala sa pagitan ng mga indibidwal na kurba. Ang mga monumento ng sinaunang panahon ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga tao, sa ilang yugto ng kanilang pag-unlad, ay may mga konsepto ng isang tuwid na linya at kanilang bilog. Upang bumuo ng mga linyang ito, ginamit ang mga simpleng tool.

Gayunpaman, sa paglitaw lamang ng mga teoryang matematikal nagsimulang umunlad ang pag-aaral ng mga linya. Ang mga Greek scientist ay lumikha ng teorya ng second order lines. Ang mga linyang ito ay itinuturing na isang seksyon ng isang kono ng isang eroplano, bilang isang resulta kung saan noong sinaunang panahon sila ay tinatawag na mga seksyon ng conic. Ang mga seksyon ng conic ay unang isinasaalang-alang ni Menaechmus, na nabuhay noong ika-4 na siglo BC. Ang unang sistematikong pagtatanghal ng teorya ng mga linyang ito ay ibinigay ni Apollonius ng Perga (III-II na siglo BC) sa kanyang akdang "Conic Sections", na halos ganap na nakarating sa amin. Sa paghahanap ng mga solusyon sa iba't ibang problema, isinasaalang-alang din ng mga Greek scientist ang ilang transendental na linya.

Sa panahon ng medieval, nakalimutan ang mahahalagang tagumpay ng mga siyentipikong Greek. Ang agham ng matematika ay muling bumaling sa pag-aaral ng mga kurba lamang noong ika-7 siglo. Para sa pag-aaral ng mga linya, ang pagtuklas ng coordinate method nina Descartes at Fermat, na nag-ambag sa paglitaw ng infinitesimal calculus, ay pinakamahalaga. Ang paraan ng coordinate, na sinamahan ng pagsusuri ng mga infinitesimal, ay naging posible na magpatuloy sa pag-aaral ng mga linya sa pangkalahatang paraan. Ang iba't ibang mga problema ng mekanika, astronomiya, geodesy, optika, na lumitaw noong ika-7-8 siglo, ay humantong sa pagtuklas ng maraming mga bagong linya at pag-aaral ng kanilang mga geometric na mekanikal na katangian. Ang pinakadakilang mathematician ng panahon - Descartes, Huygens, Leibniz, at ang mga kapatid na Bernoulli - ay humarap sa mga isyung ito nang may malaking sigasig.

Ang susunod na mahalagang hakbang sa pag-aaral ng mga linya ay ginawa ni Newton, na nagsimulang bumuo ng teorya ng third-order curves. Kasunod nito, ang mga sumusunod na gawain ay itinakda: upang pag-aralan ang mga curve ng ikaapat at mas mataas na mga order, upang lumikha ng isang pangkalahatang teorya ng algebraic curves sa eroplano, upang simulan ang sistematikong pag-aaral ng mga algebraic na ibabaw, na nagsisimula sa pangalawang-order na mga ibabaw. Sa paglutas ng huling problema, isang malaking kontribusyon ang ginawa ng sikat na mathematician na si VIII Leonard Euler, akademiko ng St. Petersburg Academy of Sciences. Inilarawan niya ang unang manwal sa analytical geometry, na binalangkas ang teorya ng mga linya at ibabaw ng pangalawang order.

. Kapansin-pansin na mga linya ng ikatlong order

Ang lahat ng tuwid na linya at second-order curve (mga bilog, ellipse, parabola, hyperbola) ay mga espesyal na kaso ng mga third-order na curve.

Sa pangkalahatan, ang equation ng isang third-order curved line ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Ipinapalagay na ang mga coefficient ay hindi sabay-sabay na nawawala (kung hindi, ang resulta ay isang equation ng pangalawang degree). Kung ang lahat ng hindi nabubulok na linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay naubos ng isang bilog, ellipse, hyperbola, parabola, kung gayon ang hanay ng ang mga linya ng ikatlong order ay mas mayaman - naglalaman ito. Higit sa 70 uri ng mga linyang ito. Ilan lamang sa kanila, na kapansin-pansin sa kanilang mga pag-aari at aplikasyon, ang tinalakay dito.

Cartesian sheet

. Mga tampok ng form. Cartesian sheet ay isang 3rd order curve na ang equation sa isang rectangular system ay may anyo

Minsan ito ay maginhawa upang gamitin ang parametric Cartesian equation, na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagtatakda y= tx, pagdaragdag ng pagkakapantay-pantay (1) sa pagkakapantay-pantay na ito at paglutas sa resultang sistema na may kinalaman sa X At y, bilang resulta magkakaroon tayo ng:

kung saan sumusunod na ang Cartesian sheet ay isang rational curve.

Tandaan din na ang polar equation ng Cartesian sheet ay may anyo

(3)

Mga coordinate X At sa ipasok ang Cartesian equation nang simetriko, na nangangahulugan na ang kurba ay simetriko tungkol sa bisector y=x. Ang karaniwang pag-aaral ng mga singular na puntos ay humahantong sa konklusyon na ang pinagmulan ay ang nodal point ng Cartesian sheet. Ang mga equation ng tangents sa isang algebraic curve sa kanyang singular point na tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate ay maaaring makuha, gaya ng nalalaman, sa pamamagitan ng equating sa zero ang pangkat ng mga termino ng pinakamababang degree mula sa equation ng curve na ito. Sa aming kaso mayroon kami Z ahu = 0, mula sa kung saan nakukuha natin ang x = 0 at y = 0 - ang mga kinakailangang equation para sa mga tangent sa nodal point. Ang mga tangent na ito ay nag-tutugma sa mga coordinate axes at, samakatuwid, sa pinanggalingan ang curve ay nagsalubong sa sarili nito sa isang tamang anggulo. Madaling makita na sa unang anggulo ng coordinate ang kurba ay gumagawa ng isang loop na sumasalubong sa tuwid na linya y = X sa punto

Ang mga punto ng loop na ito kung saan ang mga tangent ay parallel sa mga coordinate axes ay may mga coordinate

At (tingnan ang Fig. 1)

Upang makagawa ng pangwakas na konklusyon tungkol sa hugis ng curve, kailangan din nating hanapin ang asymptote.Sa pamamagitan ng pagpapalit ng y sa equation ng curve, tinutumbasan natin sa zero sa resultang equation ang mga coefficient ng dalawang termino na may mas mataas na kapangyarihan. X. Nakukuha namin

at b = - a. Kaya, ang dahon ng Cartesian ay may asymptote

y = - x - a; samakatuwid, sa 2nd at 4th coordinate angles, ang mga sanga ng Cartesian sheet ay napupunta sa infinity.

kanin. 1

Ang isang curve rotated 135 degrees ay madalas na isinasaalang-alang. Ang kanyang mga equation ay ganito ang hitsura. Sa isang hugis-parihaba na sistema: , Saan

Parametric:

Derivation ng mga equation ng rotated curve:

Ang XOY coordinate system ay na-convert sa UOV coordinate system, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng OX at OY axes sa clockwise ng isang anggulo at muling pag-orient sa OX axis sa kabaligtaran ng direksyon:

Ang pagpapahayag ng lumang XY coordinate sa mga tuntunin ng mga bagong UV ay ganito ang hitsura:

Matapos palitan ang mga expression ng mga lumang coordinate sa pamamagitan ng mga bago, ang Cartesian equation ay binago sa sumusunod na anyo: .

Ipinakilala namin ang parameter, ang huling equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

O kaya .

Pinapalitan namin ang mga variable na u at v ng karaniwang x at y at makuha ang Cartesian equation sa bagong coordinate system:

Ang pagpapalit ng nauna sa equation, makuha namin ang Cartesian sheet equation sa polar coordinate system:

Ang paglutas ng expression na ito para sa ρ, nakukuha natin:

.

2. Mga Katangian. Ayon sa teorama ni Maclaurin, kung ang mga tangent sa kurba na ito ay iguguhit sa tatlong punto ng algebraic na kurba ng ika-3 pagkakasunud-sunod na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kung gayon ang kanilang mga punto ng intersection sa kurba ay matatagpuan din sa isang tuwid na linya. Kaugnay ng Cartesian sheet, ang teorama na ito ay napatunayan nang simple. Para sa layuning ito, nakukuha namin ang isang paunang kondisyon para sa pagkakaroon ng tatlong puntos ng Cartesian sheet na naaayon sa mga halaga. t 1 , t 2 At t 3 parameter, sa isang tuwid na linya. Kung ang equation ng isang tuwid na linya ay may anyo y= kx+ b, kung gayon ang mga halaga ng parameter na tumutugma sa mga punto ng intersection ng linyang ito na may curve ay dapat masiyahan ang system

Ang sistemang ito ay humahantong sa equation

ang mga ugat nito ay ang nais na mga halaga t 1 , t 2 At t 3 parameter, na nangangahulugang iyon

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang kondisyon para sa pagkakaroon ng tatlong puntos M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), M 3 (t 3) Cartesian sheet sa isang tuwid na linya.

Dahil sa kondisyong ito, ipapakita namin ang bisa ng teorama ni Maclaurin para sa isang Cartesian sheet. Sa katunayan, ang padaplis sa punto M 1 (t 1 ) ay maaaring ituring bilang isang tuwid na linya na nag-intersect sa Cartesian sheet sa dalawang punto na nagtutugma sa bawat isa, kung saan t 2 = t 1 , at sa ikatlong punto, kung saan ang katumbas na halaga ng parameter ay tinutukoy ng T 1 . Kundisyon (4) ang kukuha ng form t 1 2 T 1 = - 1. Para sa mga tangent sa mga punto M 2 At M 3 nakakakuha tayo ng magkatulad na relasyon t 2 2 T 2 = -1 at t 3 2 T 3 = -1 . Ang pagpaparami ng tatlong pagkakapantay-pantay na ito, mayroon tayo

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . mula sa kung saan, batay sa (4), napagpasyahan namin iyon T 1 T 2 T 3 = -1, mga. puntos N 1 (T 1 ), Ang N 2 (T 2) at N 3 (T 3) ay nasa parehong tuwid na linya.

Ang pagtukoy sa lugar na limitado ng loop ng Cartesian sheet, nakuha namin:

. Paraan ng pagtatayo. Tandaan muna natin na kung ang symmetry axis ng Cartesian sheet ay kinuha bilang abscissa axis, kung gayon ang equation nito ay kukuha ng anyo

(5)

Hayaan ngayon na magkaroon ng isang bilog na may radius r at sentro sa punto

at tuwid x= -h. Kumuha tayo ng arbitrary point Q ng bilog na ito at gumuhit ng tuwid na linya QA at direktang QN, patayo sa abscissa axis (Larawan 2). Mula sa intersection point R tuwid QA na may tuwid na linya x= - h nagsasagawa kami ng direktang R.O. hanggang sa magsalubong ito sa punto Q 1 na may tuwid na linya QN. Kaya, punto Q isang punto ang itatalaga sa bilog Q 1. Ang locus ng mga puntos Q 1 ay isang Cartesian sheet.

Upang patunayan ito, tandaan na ang mga coordinate ng punto Q maaaring isulat sa anyo

ang anggulo na ginawa ng radius ng isang bilog na iginuhit sa isang punto Q, na may positibong direksyon ng x-axis. Alinsunod dito, ang equation ng tuwid na linya QA maaaring isulat bilang

Ipagpalagay sa equation na ito x= -h, hanapin ang ordinate

puntos R. Ito ay sumusunod na ang equation ng linya RQ 1 isusulat sa form

(6)

Kasabay nito, ang equation ng tuwid na linya Q 1 N parang

(7)

Hindi kasama ang parameter mula sa mga equation (6) at (7) w, nakita natin ang equation ng locus ng mga puntos Q 1 sa anyo

Kung ikukumpara ito sa equation (5), napagpasyahan namin na ang natagpuang locus ng mga puntos ay isang Cartesian leaf.

Ang pagbabagong-anyo ng mga punto ng isang bilog sa mga punto ng isang Cartesian sheet, na isinasagawa sa panahon ng pagtatayo nito sa ganitong paraan, ay tinatawag na Pagbabago ng Maclaurin.

4. Kaligirang pangkasaysayan. Sa unang pagkakataon sa kasaysayan ng matematika, ang isang kurba, na kalaunan ay tinawag na isang dahon ng Cartesian, ay tinukoy sa isang liham mula kay Descartes hanggang Fermat noong 1638 bilang isang kurba kung saan ang kabuuan ng mga volume ng mga cube ay itinayo sa abscissa at ordinate ng bawat isa. punto ay katumbas ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa abscissa, ordinate at ilang pare-pareho. Ang hugis ng curve ay unang itinatag ni Roberval, na nakahanap ng nodal point ng curve, ngunit sa kanyang representasyon ang curve ay binubuo lamang ng isang loop. Sa pamamagitan ng pag-uulit ng loop na ito sa apat na quadrants, nakakakuha siya ng figure na nagpapaalala sa kanya ng isang bulaklak na may apat na petals. Ang patula na pangalan ng curve na "jasmine petal", gayunpaman, ay hindi nakuha. Ang buong anyo ng kurba na may presensya ng isang asymptote ay natukoy nang maglaon (1692) nina Huygens at I. Bernoulli. Ang pangalan na "Cartesian sheet" ay matatag na itinatag lamang mula sa simula ng ika-18 siglo.

Cissoid Diocles

1. Mga tampok ng form. Kabilang sa maraming paraan ng edukasyon cissoids - curve, na natuklasan ng mga sinaunang tao sa paghahanap ng solusyon sa sikat na problema ng pagdodoble ng kubo, tututukan muna natin ang pinakasimpleng isa. Kumuha tayo ng isang bilog (tinatawag na paggawa) na may diameter OA=2a at padaplis AB Sa kanya. Sa pamamagitan ng punto O gumuhit kami ng isang ray OB at nag-plot ng isang segment dito OM=VS. Ang puntong M na itinayo sa ganitong paraan ay kabilang sa cissoid. Pinihit ang sinag 0V sa isang tiyak na anggulo at nakumpleto ang ipinahiwatig na konstruksiyon, makikita natin ang pangalawang punto ng cissoid, atbp. (Larawan 3).

Kung ang punto O ay kinuha bilang isang poste, kung gayon saan natin makukuha ang polar equation ng cissoid

Gamit ang mga formula para sa paglipat mula sa polar hanggang sa mga coordinate ng Cartesian, nakita namin ang equation ng cissoid sa rectangular system:

(2)

Ang mga parametric equation ng cissoid ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-aakalang x=ty, pagkatapos, batay sa equation (2), nakarating tayo sa system

kanin. 3

Ang equation (2) ay nagpapakita na ang cissoid ay isang algebraic curve ng 3rd order, at mula sa equation (3) ito ay sumusunod na ito ay isang rational curve.

Ang cissoid ay simetriko tungkol sa x-axis at may walang katapusang mga sanga; padaplis sa pagbuo ng bilog, i.e. tuwid x = 2a ay nagsisilbing isang asymptote para dito; ang pinagmulan ay isang cusp point ng 1st kind.

2. Mga Katangian. Kinematically, ang cissoid ay maaaring makuha bilang trajectory ng gitna M binti Araw tatsulok ABC, gumagalaw sa eroplano ng drawing upang ang vertex nito SA dumudulas sa kahabaan ng ordinate axis, at sa kabilang binti AC palaging dumadaan sa isang nakapirming punto E sa abscissa axis. (Larawan 4)

Sa katunayan, na itinalaga ang gitna ng segment OE sa pamamagitan ng D, napapansin natin na mula noon BC=EO,ê LAHAT=ê VEO, saan /_ VEO = /_ SVE, at samakatuwid ê NBE - isosceles, at mula noon ED=EO/2=BC/2=VM, tapos yung segment DM parallel sa segment MAGING. Hayaan, higit pa, ituro SA may punto ng intersection sa pagpapatuloy ng segment DM tuwid na linya na dumadaan sa isang punto SA parallel sa x-axis. Ilarawan natin ang isang bilog na may sentro sa pinanggalingan at isang radius na katumbas ng OD , at gumuhit ng tangent dito sa pangalawang punto ng intersection sa linya EO. Malinaw na dadaan ito sa punto SA. Pagmamarka sa punto ng intersection ng linya DMK na may bilog F, tandaan na ang mga tatsulok DOF At MVK ay pantay sa isa't isa. Mula sa kanilang pagkakapantay-pantay ay sinusundan iyon DF= MK, at samakatuwid DM= FK. Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapakita na ang locus ng mga puntos M magiging cissoid.

Ang iba pang paraan ng pagbuo ng cissoid ay batay sa mga kaugnayan nito sa isang parabola. Ipakita muna natin iyan Ang cissoid ay ang sub-era ng isang parabola na nauugnay sa tuktok nito.

Ang equation ng parabola na ito. Equation ng isang tangent sa isang arbitrary na punto M(x, h ) ang parabola na ito ay maaaring isulat sa anyo ang equation ng isang patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa padaplis na ito ay ang mga coordinate ng punto N ang intersection nito sa tangent ay matutukoy ng mga formula

(4)

Inaalis ang parameter h mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito, nakuha namin ang equation

Pagpapahayag ng cissoid.

Tandaan pa na ang mga coordinate ng isang punto ay simetriko sa pinanggalingan na may paggalang sa padaplis sa parabola sa 2 = 2 px, ay makukuha kung ang kanang bahagi ng mga formula (4) ay dinoble, at, samakatuwid, tinutukoy ng mga formula

Hindi kasama ang parameter h mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito, muli tayong kumuha ng cissoid na may equation. Susunod na ang cissoid ay ang locus ng mga puntong simetriko sa vertex ng parabola na may paggalang sa mga tangent nito.

Dapat pansinin na ang locus ng mga puntos na simetriko sa pinanggalingan na may kaugnayan sa tangent sa parabola ay maaaring ituring bilang tilapon ng vertex ng isa pang parabola, na kapareho ng isang ito, na gumulong sa parabola na ito. Kaya, lumitaw ang isang bagong paraan ng kinematic formation ng isang cissoid tulad ng tilapon ng tuktok ng isang parabola, na gumugulong kasama ng isa pang katulad na parabola nang hindi nadudulas.

Strophoid

Strophoid (mula sa Greek stróphos - twisted ribbon at éidos - view)

Hayaang magkaroon ng isang nakapirming tuwid na linya AB at isang punto C sa labas nito sa layo na CO = A; ang isang tuwid na linya na nagsasalubong sa AB sa isang variable na punto N ay umiikot sa paligid ng C. Kung mula sa punto N ay i-plot natin ang mga segment NM = NM" = NO sa magkabilang panig ng tuwid na linya AB, kung gayon ang locus ng mga puntos na M at M" para sa lahat ng posisyon ng ang umiikot na sinag na CN ay ang strophoid. Equation sa rectangular coordinates: ; sa polar coordinate: r = - a cos 2j/cosj. Ang Strophoida ay unang pinag-aralan ni E. Torricelli (1645); ang pangalan ay ipinakilala noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo. kanin. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( minsan ang kulot ni Agnesi) ay isang patag na kurba, ang locus ng mga puntos na M kung saan ang kaugnayan ay nasiyahan, kung saan ang OA ay ang diameter ng bilog, ang BC ay ang semichord ng bilog na ito na patayo sa OA. Nakuha ng Versière Agnesi ang pangalan nito bilang parangal sa Italian mathematician na si Maria Gaetana Agnesi, na nag-aral ng curve na ito.

Mga equation

O = (0,0), A = (0, a)

Sa isang rectangular coordinate system:

Ang mga coordinate ng point M na nakahiga sa bersyon ay x = BM, y = OB. OA = a at sa pamamagitan ng kahulugan ay binubuo namin ang proporsyon

Mula rito

Sa kabilang banda, ang BC ay matatagpuan mula sa equation ng isang bilog:

Alam namin ang y = OB, kaya ipinapahayag namin:

Itinutumbas namin ang parehong mga expression para sa BC:

I-square namin ito, isinasalin at inilagay sa labas ng mga bracket:

Ipinapahayag namin ang y (y=0 ay hindi angkop ayon sa kahulugan):

, nasaan ang anggulo sa pagitan ng OA at OC.

Ari-arian:

1. Verzière - third order curve.

Ang diameter OA ay ang tanging axis ng symmetry ng curve.

Ang curve ay may isang maximum - A (0; a) at dalawang inflection point -

Sa paligid ng vertex A, ang verzière ay lumalapit sa isang bilog na may diameter na OA. Sa puntong A mayroong isang kontak at ang kurba ay tumutugma sa bilog. Ito ay ipinapakita ng halaga ng radius ng curvature sa punto A: .

Lugar sa ilalim ng graph S = πa2. Kinakalkula ito sa pamamagitan ng pagsasama ng equation sa lahat.

Ang dami ng katawan ng pag-ikot ng bersyon sa paligid ng asymptote nito (OX axis).

Anhé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), b. 05/16/1718, Milan - d. 01/09/1799, ibid. Italian mathematician, propesor sa Unibersidad ng Bologna (mula noong 1750). Ang akda ni Agnesi na “Foundations of Analysis for the Use of Italian Youth” (“Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana”, v. 1-2, Mil., 1748) ay naglalaman ng pagtatanghal ng analytical geometry, sa partikular, isinasaalang-alang nito ang ikatlong- order curve na tinatawag na "Agnesi curl" (o verzier), ang equation nito ay y=a 3 / (x 2 +a 2).

Upang mabuo ang linyang ito, kailangan mong gumuhit ng bilog na radius a na may sentro sa punto (0, a). Pagkatapos ay iguguhit ang mga tuwid na linya mula sa pinanggalingan at dalawang puntos ang minarkahan. Ang punto A (x1, y1) ay ang punto ng intersection ng linya at ng bilog, ang punto B (x2,2a) ay ang punto ng intersection ng linya at ang itaas na pahalang na padaplis sa bilog. Pagkatapos ay naka-plot ang curve point (x2, y1).

Ang English mathematician na si John Colson ay kinuha sa kanyang sarili na isalin ang "Principia of Analysis" mula sa Italyano. Gayunpaman, para sa kanya, isang 18th-century European, hindi madaling makita na ang may-akda ng libro ay isang babae, at para sa kanya, para sa may-akda, ang isang curve ay maaaring maiugnay sa isang hairstyle. Bilang resulta, sa panitikan sa wikang Ingles ang kurba ay tinawag na mangkukulam ni Agnesi. - isang bagay mula sa larangan ng paglipad sa Kalbong Bundok...

3. Kapansin-pansin na mga linya ng ikaapat at mas mataas na mga order

Linya (curve) ng ikaapat na ayos tinatawag na isang linya na tinukoy ng isang algebraic equation ng ikaapat na degree na may paggalang sa Cartesian rectangular coordinates. Ang mga linya (curves) ng ikalima, ikaanim at iba pang mga order ay tinutukoy nang katulad.

Ang hanay ng mga linya (curve) ng ikaapat na ayos ay hindi na naglalaman ng sampu, ngunit libu-libong linya ng isang partikular na uri. Ang mas magkakaibang ay ang mga hanay ng mga linya ng ikalima at ikaanim na pagkakasunud-sunod. Dito isinasaalang-alang namin ang ilang uri ng mga linya ng ikaapat at mas mataas na mga order, na may mga kagiliw-giliw na katangian at praktikal na mga aplikasyon.

Bernoulli's Lemniscate

Lumiko tayo sa kurba na inilarawan ng punto M sa eroplano sa paraang ang produkto p ng mga distansya ng puntong ito sa dalawang tiyak na mga punto F 1 at F 2 ng parehong eroplano ay nananatiling hindi nagbabago. Ang ganitong kurba ay tinatawag na lemniscate (lemniscate sa Griyego ay nangangahulugang "laso"). Kung ang haba ng segment F 1 F 2 ay c, kung gayon ang mga distansya mula sa gitna O ng segment F 1 F 2 hanggang F1 at F2 ay katumbas ng c/2 at ang produkto ng mga distansyang ito ay katumbas ng c 2 /4 . Hihilingin muna natin na ang halaga ng p ng hindi nabagong produkto ay katumbas ng eksaktong c 2/4; Pagkatapos

Ang puntong O ay nakahiga sa lemniscate, at ang lemniscate mismo ay magmumukhang isang "lying figure eight" (Fig. 8). Kung ipagpapatuloy natin ang segment F 1 F 2 sa magkabilang direksyon hanggang sa mag-intersect ito sa lemniscate, makakakuha tayo ng dalawang puntos A 1 at A 2. Ipahayag natin ang distansya sa pagitan ng A 1 A 2 = x sa kilalang distansya c:

Ang foci ng lemniscate ay F1 (− c; 0) at F2 (c; 0). Kumuha tayo ng di-makatwirang punto M (x; y). Ang produkto ng mga distansya mula sa foci hanggang sa puntong M ay

At sa pamamagitan ng kahulugan ito ay katumbas ng c2:

Namin parisukat ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay:

Palawakin ang mga bracket sa kaliwang bahagi:

Buksan ang mga bracket at tiklupin ang isang bagong sum square:

Inalis namin ang karaniwang kadahilanan at dinadala ito:

Sa kasong ito, ang a ay ang radius ng bilog na naglalarawan sa lemniscate. Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga simpleng pagbabago, makakakuha tayo ng isang tahasang equation:

Kami ay parisukat at binubuksan ang mga bracket:

Isaisip natin ito

Ito ay isang quadratic equation para sa y." Ang paglutas nito, nakukuha natin

Ang pagkuha ng ugat at pagtatapon ng opsyon na may negatibong pangalawang termino, makukuha natin:

kung saan ang positibong opsyon ay tumutukoy sa itaas na kalahati ng lemniscate, ang negatibo - ang mas mababa.

Kung ang halaga ng pare-parehong produkto p ay hindi katumbas ng c 2/4, ang lemniscate ay magbabago sa hitsura nito. At kapag ang p ay mas mababa sa c 2 /4, ang lemniscate ay binubuo ng dalawang ovals, ang bawat isa ay naglalaman ng mga puntos F 1 at F 2, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 9).

yun. Sa pamamagitan ng pagtatakda ng iba't ibang kundisyon para sa p at c 2/4 makakakuha tayo ng mga lemniscate ng iba't ibang uri (Larawan 10).

kanin. 10

Kunin natin ngayon ang anumang bilang ng mga punto sa eroplano. F 1, F 2,…, F n at gawin ang puntong M na ilipat upang para dito ang produkto ng mga distansya sa bawat isa sa mga kinuhang punto ay mananatiling hindi nagbabago. Makakakuha tayo ng isang Curve, ang hugis nito ay depende sa kung paano matatagpuan ang mga puntos na F 1, F 2,..., F n na may kaugnayan sa isa't isa at kung ano ang halaga ng pare-parehong produkto. Ang kurba na ito ay tinatawag na isang lemniscate na may n foci.

Sa itaas ay isinasaalang-alang namin ang mga lemniscate na may dalawang foci. Sa pamamagitan ng pagkuha ng ibang bilang ng foci, pag-aayos ng mga ito sa iba't ibang paraan at pagtatalaga ng isa o ibang halaga sa produkto ng mga distansya, makakakuha ang isa ng mga lemniscate ng pinaka kakaibang hugis. Iguguhit namin ang punto ng lapis mula sa isang tiyak na punto A, nang hindi inaangat ito mula sa papel, upang sa kalaunan ay bumalik ito sa panimulang punto A. Pagkatapos ay ilalarawan nito ang isang tiyak na kurba; hinihiling lamang namin na ang kurba na ito ay hindi bumalandra kahit saan

sarili mo. Malinaw, sa ganitong paraan maaaring makuha ang mga kurba na mayroong, halimbawa, ang balangkas ng ulo ng tao o ibon (Larawan 11). Lumalabas na, sa pagkakaroon ng ganoong arbitrary curve, maaari nating piliin ang numero n at ang lokasyon ng foci tulad nito:

F 1, F 2,…, F n

at magtalaga ng ganoong halaga para sa pare-parehong produkto ng mga distansya

MF 1 MF 2 … MF n = p

na ang kaukulang lemniscate sa pamamagitan ng mata ay hindi mag-iiba sa kurba na ito. Sa madaling salita, ang mga posibleng paglihis ng punto M, na naglalarawan sa lemniscate, mula sa iginuhit na kurba ay hindi lalampas sa lapad ng isang stroke ng lapis (ang lapis ay maaaring patalasin nang maaga pati na rin ang nais upang ang stroke ay magiging napakakitid). Ang kapansin-pansing katotohanang ito, na nagsasalita ng pambihirang pagkakaiba-iba at kayamanan ng mga form ng lemniscate na may maraming mga trick, ay napatunayan nang mahigpit, ngunit napakahirap, sa tulong ng mas mataas na matematika.

Ang kuhol ni Pascal

Ang geometric na locus ng mga puntos na M at M" na matatagpuan sa mga tuwid na linya ng beam (ang gitna kung saan ang O ay nasa isang bilog na radius R) sa layo na a sa magkabilang panig ng punto P ng intersection ng mga tuwid na linya na may bilog; ibig sabihin, PM = PM" = A. equation sa rectangular coordinates: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - isang 2(x 2 + y 2) = 0, sa mga polar coordinates: r = 2 R kasi j + A. Sa a = 2R ang loop ay umuurong sa isang punto, sa kasong ito ang cochlea ni Pascal ay nagiging cardioid. Ang pangalan ay ipinangalan sa Pranses na siyentipiko na si B. Pascal (1588-1651), na unang nag-aral nito.

Mga cycloidal curve

Isipin natin na ang isang curve ay gumulong nang hindi dumudulas sa isa pang curve; anumang puntong palaging nauugnay sa unang kurba ay maglalarawan ng bagong kurba. Kaya maaari mong isipin ang isang ellipse na lumiligid sa isa pang ellipse, at suriin ang linya kung saan lilipat ang sentro nito, o matukoy ang tilapon ng pokus ng isang parabola na gumulong sa isang tuwid na linya, atbp.

Kabilang sa mga kurba na nabuo sa pamamaraang ito, may mga kurba na mga trajectory ng isang punto na palaging konektado ng isang bilog na gumulong nang hindi dumudulas sa isa pang bilog. Ang mga resultang linya ay tinatawag cycloidal.

Kapag nabuo ang mga cycloidal curve, ang punto ng pagguhit ay matatagpuan sa isang tiyak na distansya mula sa gitna ng pagbuo (gumagalaw) na bilog. Sa isang partikular na kaso, ito ay matatagpuan sa circumference ng pagbuo ng bilog. Sa ilalim ng kondisyong ito, ang mga resultang kurba ay nahahati sa mga epicycloids at hypocycloids, depende sa kung ang bumubuo ng bilog ay matatagpuan sa labas o sa loob ng nakatigil na bilog.

Kasama sa mga algebraic curve ang mga kilalang curve gaya ng cardioid at astroid; isaalang-alang natin ang mga curve na ito.

Cardioid

1. Ang equation. Ang isang cardioid ay maaaring tukuyin bilang ang tilapon ng isang punto na nakahiga sa circumference ng isang bilog ng radius r, na gumulong sa kahabaan ng circumference ng isang nakatigil na bilog na may parehong radius. Kaya ito ay kumakatawan sa isang epicycloid na may modulus m katumbas ng 1.

Ang sitwasyong ito ay nagpapahintulot sa amin na agad na isulat ang mga parametric equation ng cardioid, na pinapalitan ang modulus m ng isa sa naunang ibinigay na parametric equation ng epicycloid. Magkakaroon:

(1)

Upang makuha ang polar equation ng cardioid, maginhawang kunin ang point A bilang pole (Fig. 13), at idirekta ang polar axis sa kahabaan ng abscissa axis. Dahil ang quadrilateral AOO 1 M ay magiging isosceles trapezoid, ang polar angle j ng point M ay magiging katumbas ng anggulo ng pag-ikot ng bumubuo ng bilog, i.e. parameter t. Isinasaalang-alang ang pangyayaring ito, palitan natin ang y sa pangalawang equation ng system (1) ng r sin t. Ang pagbabawas ng pagkakapantay-pantay na nakuha ng sin t, nakuha natin ang polar equation ng cardioid

Ayon sa anyo ng equation na ito

mahihinuha natin na ang cardioid ay isa sa mga kuhol ni Pascal. Ito ay maaaring tukuyin bilang isang conchoid ng isang bilog.

Mula sa equation na ito ay sumusunod na ang cardioid ay isang algebraic curve ng ika-4 na order.

2. Mga Katangian. Una sa lahat, dahil ang cardioid ay isang epicycloid na may m=1, ang lahat ng mga katangian ng mga epicycloids na aming isinasaalang-alang sa nakaraang talata ay maaaring ilipat dito.

Ito ang mga katangian at katangian.

Ang padaplis sa isang di-makatwirang punto ng cardioid ay dumadaan sa punto ng bilog ng pagbuo ng bilog, diametrically kabaligtaran sa punto ng contact ng mga bilog, at ang normal - sa pamamagitan ng punto ng kanilang contact.

Ang anggulo m na ginawa ng tangent sa cardioid na may radius vector ng tangent point ay katumbas ng kalahati ng anggulo na nabuo ng radius vector na ito na may polar axis. Talaga

Mula sa relasyong ito ay direktang sumusunod na ang anggulo na ginawa ng tangent sa cardioid na may abscissa axis ay pantay (bilang ang panlabas na anggulo ng tatsulok AMN Fig. 14). Gamit ang formula, maaari nating patunayan na ang mga tangent sa cardioid na iginuhit sa mga dulo ng chord na dumadaan sa poste ay magkaparehong patayo.

Sa katunayan, mula noong

kanin. 14

Tandaan din natin na ang geometric na locus ng mga intersection point ng mga tangent na ito ay isang bilog.

At ang pangalawang tangent.Pag-alis ng parameter mula sa mga equation na ito, nakuha namin ang equation ng ipinahiwatig na bilog.

Ang radius ng curvature sa isang arbitrary point ng cardioid ay tinutukoy ng formula

Maaari din itong ipakita na ang radius ng curvature ay katumbas ng 2/3 ng polar normal na N sa isang naibigay na punto.

Sa katunayan, mula sa kung saan, batay sa (4), nakuha namin Ang kaugnayan na ito ay maaaring magamit upang mabuo ang sentro ng curvature ng cardioid.

Ang evolute ng isang cardioid, ayon sa pangkalahatang pag-aari ng epicycloid evolutes, ay magiging isang cardioid din na katulad ng ibinigay, na may koepisyent ng pagkakatulad na katumbas ng 1/3, at pinaikot na nauugnay sa ibinigay na isa sa pamamagitan ng isang anggulo na 180°.

Ang haba ng cardioid arc mula sa punto A hanggang sa isang di-makatwirang punto M ay tinutukoy ng formula

Kung ang haba ng arko ay sinusukat mula sa punto A 1, diametrically kabaligtaran sa punto A, kung gayon ang formula para sa pagtukoy ng haba ng arko ay maaaring isulat sa anyo

(6)

Ang natural na equation ng cardioid ay nakuha kung ang parameter ay inalis mula sa equalities (4) at (6). Magiging parang

(7)

Ang lugar na limitado ng cardioid ay tinutukoy ng formula

at, tulad ng makikita, ay katumbas ng anim na tiklop na lugar ng pagbuo ng bilog.

Ang haba ng buong cardioid ay tinutukoy ng formula

at, tulad ng makikita, ay katumbas ng walong diameters ng bumubuo ng bilog. Ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng cardioid sa paligid ng axis nito ay katumbas ng

Ang ibabaw ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng cardioid sa paligid ng axis nito ay katumbas ng

Nakita natin na ang cardioid ay organikong nauugnay sa bilog. Siya ay isang conchoid ng bilog at isang epicycloid. Ito ay may ibang kaugnayan sa bilog - ang cardioid ay isang subera ng bilog na may kaugnayan sa isang puntong kabilang sa bilog na ito.

Sa katunayan, hayaan ang OM na isang patayo na bumaba sa isang tangent sa isang bilog na may radius na katumbas ng 2r na iginuhit sa puntong N.

Dahil ang OM = OB + BM, o r == 2r cos j + 2r, kung gayon ang geometric na locus ng mga puntos M ay magiging isang cardioid na may equation r = 2r (1 + cos j)

Tandaan natin sa konklusyon na ang cardioid ay kabilang din sa pamilya ng sinusoidal spirals, at ang mga indibidwal na katangian nito ay inuulit ang mga pangkalahatang katangian ng mga curve na ito. Mula sa mga pag-aari na ito ay sumusunod, sa partikular, na ang inversion ng isang cardioid na may kaugnayan sa cusp point ay nagbibigay ng isang parabola.

Astroid

1. Mga Katangian. Ang astroid ay isang espesyal na kaso ng isang hypocycloid, ibig sabihin, isang hypocycloid na may modulus m na katumbas ng 1/4. Ito ay kumakatawan, samakatuwid, ang tilapon ng isang punto na nakahiga sa circumference ng isang bilog ng radius r, na gumulong sa loob ng isa pa, nakatigil na bilog, na ang radius R ay apat na beses na mas malaki.

Ang mga parametric equation para sa astroid ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-aakalang ang hypocycloid sa mga equation, m=1/4. Ito ang mga equation:

kung saan ang t, tulad ng dati, ay ang anggulo ng pag-ikot ng bumubuo ng bilog (Larawan 16)

Hindi kasama ang parameter t mula sa mga equation (1), nakukuha namin ang:

Mula sa equation (2) sumusunod na ang astroid ay isang algebraic curve ng ika-6 na order.

Ang mga parametric equation (1) ng astroid ay maaaring bawasan sa anyo

(3)

Hindi kasama ang parameter t mula sa mga equation na ito, nakuha namin ang madalas na ginagamit na anyo ng astroid equation

(4)

Sa pag-aakalang sa dating hinangong pangkalahatang mga ugnayan para sa mga cycloidal curve ang modulus

m = -1/4, nakukuha namin ang kaukulang mga ugnayan para sa astroid:

) ang radius ng curvature sa isang arbitrary point sa astroid ay tinutukoy ng formula

(5)

) ang haba ng astroid arc mula sa punto A hanggang sa isang di-makatwirang punto M(t) ay tinutukoy ng formula

ang haba ng isang sangay ay katumbas ng at ang haba ng buong kurba ay 6R;

) upang makuha ang natural na equation ng astroid, una nating tandaan na kung ang pinagmulan ng haba ng arko ay kinuha hindi sa punto A, kung saan t = 0, ngunit sa punto kung saan t = p, kung gayon ang haba ng arko ay tinutukoy ng formula

hindi kasama ang parameter t mula sa mga equation (5) at (6), nakuha namin ang natural na equation ng astroid

) ang evolute ng isang astroid ay isa ding astroid na katulad ng ibinigay, na may koepisyent ng pagkakatulad na katumbas ng 2, pinaikot na may kaugnayan sa ibinigay sa pamamagitan ng isang anggulo p/4 (Fig. 16)

) ang lugar na nililimitahan ng buong astroid ay katumbas ng volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng astroid, katumbas ng 32/105p R 3

ang ibabaw ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay katumbas ng

Bumaling tayo ngayon sa isang pagsasaalang-alang ng ilang partikular na katangian ng astroid.

Ang astroid ay ang sobre ng isang segment ng pare-pareho ang haba, ang mga dulo. na dumudulas sa dalawang magkaparehong patayo na tuwid na linya.

Kinukuha namin ang mga tuwid na linya na ito bilang coordinate axes at, na nagsasaad ng anggulo ng pagkahilig ng sliding segment ND=R sa pamamagitan ng isang (Larawan 4), magkakaroon kami ng equation ng tuwid na linya ND sa anyo

Ang pagkakaiba-iba ng equation na ito na may paggalang sa parameter a, nakuha namin ang:

Sa pagsasagawa, ang paggalaw ng ND segment ay maaaring magawa gamit ang tinatawag na cardan circles. Ang isa sa mga bilog na ito na may radius R ay nakatigil, at ang isa, na may radius r, kalahati ang laki, ay gumulong sa panloob na bahagi ng nakatigil na bilog. Anumang dalawang diametrically opposite point N at D ng isang rolling circle ay lilipat sa dalawang magkaparehong perpendicular diameters Ox at Oy ng isang nakatigil na bilog. Malinaw na ang sobre ng diameter ng rolling circle ay ang astroid.

kanin. 17

kanin. 18

Ang itinuturing na paraan ng pagbuo ng astroid ay maaari ding bigyang kahulugan bilang mga sumusunod. Ang parihaba na ODCN, na ang dalawang gilid ay nakahiga sa dalawang magkaparehong patayo na linya, ay deformed upang ang dayagonal nito ay mapanatili ang haba na katumbas ng R, ang sobre ng dayagonal ay magiging isang astroid. Dahil sa kasong ito ang patayo na bumaba mula sa vertex C hanggang sa dayagonal na DN ay nagsisilbing normal sa sobre, ang astroid ay ang geometric na locus ng mga base ng mga perpendicular na bumaba mula sa vertex C ng rectangle hanggang sa dayagonal nito.

Kapag ipinahayag ng mga equation na ito ang dating itinuturing na straight astroid.

. Ilang transendental na linya

Transendental ay mga linya na ang mga equation sa rectangular Cartesian coordinate ay hindi algebraic. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng transendental na linya ay ang mga graph ng mga function, y=, y= at iba pang trigonometriko function. Tingnan natin ang ilang iba pang transendental na linya.

Archimedes spiral

Isipin natin ang isang walang katapusang mahabang second hand kung saan, simula sa gitna ng dial, isang maliit na bug ang walang sawang tumatakbo sa pare-parehong bilis v cm/s. Sa isang minuto ang bug ay nasa layong 60v cm mula sa gitna, sa loob ng dalawang minuto - 120v, atbp. Sa pangkalahatan, t segundo pagkatapos ng pagsisimula ng pagtakbo, ang distansya ng bug mula sa gitna ay magiging katumbas ng vt cm. Sa panahong ito, lilipat ang arrow sa isang anggulo na naglalaman ng 6 t° (pagkatapos ng lahat, sa isang segundo ito namamahala upang lumiko sa isang anggulo ng 360°: 60 = 6°). Samakatuwid, ang posisyon ng bug sa eroplano ng dial pagkatapos ng anumang numero t segundo pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw ay matatagpuan tulad nito. Kinakailangang magtabi ng isang anggulo a na naglalaman ng 6t° mula sa unang posisyon ng arrow sa direksyon ng pag-ikot nito, at sukatin ang distansya r = vt cm mula sa gitna kasama ang bagong posisyon ng arrow. Dito ay aabutan natin ang bug (Larawan 21).

kanin. 21.

Malinaw, ang ugnayan sa pagitan ng anggulo ng pag-ikot a ng arrow (sa mga degree) at ang distansya na nilakbay r (sa sentimetro) ay magiging ganito:

Sa madaling salita, ang r ay direktang proporsyonal sa a, na may koepisyent ng proporsyonalidad k = v/6.

Maglakip tayo ng isang maliit ngunit hindi mauubos na garapon ng itim na pintura sa ating runner at ipagpalagay na ang pintura, na umaagos sa isang maliit na butas, ay nag-iiwan ng marka sa papel mula sa bug na natangay kasama ng arrow. Pagkatapos ay unti-unting lalabas sa papel ang kurba na unang pinag-aralan ni Archimedes (287 - 212 BC). Tinatawag itong Archimedes spiral sa kanyang karangalan. Kailangan lamang sabihin na si Archimedes ay hindi nagsasalita tungkol sa alinman sa isang pangalawang kamay (sa oras na iyon ay walang mga orasan na may tagsibol: sila ay naimbento lamang noong ika-17 siglo) o isang bug. Isinama namin sila dito para sa kalinawan.

kanin. 22 Fig. 23.

Ang Archimedes spiral ay binubuo ng walang katapusang maraming pagliko. Nagsisimula ito sa gitna ng dial, at papalayo nang palayo dito habang dumarami ang bilang ng mga rebolusyon. Sa Fig. 22 ay nagpapakita ng unang pagliko at bahagi ng pangalawa.

Marahil ay narinig mo na ang paggamit ng compass at ruler, imposibleng hatiin ang isang random na kinuhang anggulo sa tatlong pantay na bahagi (sa mga espesyal na kaso, kapag ang anggulo ay naglalaman, halimbawa, 180°, 135° o 90°, ang problemang ito. ay madaling malutas). Ngunit kung gumamit ka ng isang maingat na iginuhit na Archimedean spiral, kung gayon ang anumang anggulo ay maaaring hatiin sa anumang bilang ng mga pantay na bahagi.

Hatiin natin, halimbawa, ang anggulo ng AOB sa tatlong pantay na bahagi (Larawan 23). Kung ipagpalagay namin na ang arrow ay eksaktong lumiko sa anggulong ito, ang bug ay matatagpuan sa punto N sa gilid ng anggulo. Ngunit kapag ang anggulo ng pag-ikot ay tatlong beses na mas maliit, kung gayon ang bug ay tatlong beses na mas malapit sa gitnang O. Upang mahanap ang posisyong ito, hatiin muna ang segment ON sa tatlong pantay na bahagi. Magagawa ito gamit ang isang compass at ruler. Nakakuha kami ng segment na ON 1, ang haba nito ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa ON. Para ibalik ang bug sa spiral, kailangan mong gumawa ng notch sa curve na ito na may radius ON 1 (compass muli!). Nakukuha namin ang puntong M. Ang anggulo ng AOM ay magiging tatlong beses na mas mababa kaysa sa anggulo ng AON.

Cycloid

Maglagay tayo ng ruler sa ilalim na gilid ng pisara at pagulungin ang isang singsing o bilog (karton o kahoy) kasama nito, idiin ito sa ruler at sa board. Kung ikabit mo ang isang piraso ng chalk sa isang hoop o bilog (sa punto ng pakikipag-ugnay sa ruler), ang chalk ay gumuhit ng isang curve (Larawan 24), na tinatawag na cycloid (na nangangahulugang "pabilog" sa Greek). Ang isang rebolusyon ng hoop ay tumutugma sa isang "arch" ng cycloid MM"M""N", kung ang hoop ay gumulong pa, pagkatapos ay mas maraming mga arko ng parehong cycloid ang makukuha.

kanin. 24.

Upang bumuo sa papel ng humigit-kumulang isang arko ng isang cycloid, na inilarawan sa pamamagitan ng pag-roll ng isang singsing na may diameter na katumbas ng, halimbawa, tatlong sentimetro, i-plot natin ito sa isang tuwid na segment na katumbas ng 3x3.14 = 9.42 cm.

Kumuha kami ng isang segment na ang haba ay katumbas ng haba ng hoop rim, i.e. ang haba ng isang bilog na may diameter na tatlong sentimetro. Hatiin pa natin ang segment na ito sa isang tiyak na bilang ng mga pantay na bahagi, halimbawa 6, at para sa bawat punto ng dibisyon ay ilalarawan natin ang ating hoop sa posisyon nito kapag ito ay nakasalalay sa partikular na puntong ito (Larawan 24), na binibilang ang mga posisyong ito ng mga numero. :

Ay, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Upang lumipat mula sa isang posisyon patungo sa susunod, ang hoop ay dapat lumiko sa ikaanim na bahagi ng isang buong rebolusyon (dahil ang distansya sa pagitan ng mga katabing dibisyon ay katumbas ng ikaanim na bahagi ng bilog). Samakatuwid, kung sa posisyon 0 ang chalk ay nasa punto M 0, pagkatapos ay sa posisyon 1 ito ay namamalagi sa punto M 1 - sa isang ikaanim ng bilog mula sa punto ng contact, sa posisyon 2 - sa punto M 2 - dalawang ikaanim mula sa ang punto ng kontak, atbp. .d. Upang makakuha ng mga puntos na M 1, M 2, M 3, atbp., kailangan mo lamang gumawa ng mga notch ng kaukulang bilog, simula sa punto ng contact, na may radius na katumbas ng

kanin. 25.

5 cm, at sa posisyon 1 kailangan ang isang bingaw, sa posisyon 2 - dalawang bingaw na ginawa ng isa-isa, sa posisyon 3 - tatlong bingaw, atbp. Ngayon upang gumuhit ng isang cycloid ang natitira ay upang ikonekta ang mga tuldok

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

makinis na kurba (sa pamamagitan ng mata).

Pinakamaikling descent curve

Kabilang sa maraming mga kahanga-hangang katangian ng cycloid, napapansin namin ang isa, dahil sa kung saan ito ay nakakuha ng isang malakas na tunog, sopistikadong pangalan: "brachistochrone". Ang pangalang ito ay binubuo ng dalawang salitang Griyego na nangangahulugang "pinakamaikling" at "panahon".

Isaalang-alang ang sumusunod na tanong: anong hugis ang dapat ibigay sa isang mahusay na pinakintab na metal channel na nagkokonekta sa dalawang ibinigay na mga punto A at B (Larawan 26.) upang ang pinakintab na bolang metal ay gumulong sa kahabaan ng channel na ito mula sa punto A hanggang sa punto B sa pinakamaikling posibleng panahon. oras? Sa unang sulyap, tila kailangan mong huminto sa isang tuwid na uka, dahil kasama lamang nito ang bola ay maglalakbay sa pinakamaikling landas mula A hanggang B. Gayunpaman, hindi namin pinag-uusapan ang pinakamaikling landas, ngunit tungkol sa pinakamaikling oras; ang oras ay nakasalalay hindi lamang sa haba ng landas, kundi pati na rin sa bilis kung saan tumatakbo ang bola. Kung ang chute ay nakayuko, kung gayon ang bahagi nito, simula sa punto A, ay bababa nang mas matarik kaysa sa kaso ng isang tuwid na chute, at ang bola, na bumabagsak dito, ay magkakaroon ng bilis na mas malaki kaysa sa isang seksyon ng parehong haba. ng isang tuwid na chute. Ngunit kung gagawin mong napakatarik at medyo mahaba ang unang bahagi, kung gayon ang bahaging katabi ng puntong B ay magiging napaka-flat at medyo mahaba din; Mabilis na ipapasa ng bola ang unang bahagi, ang pangalawa ay napakabagal at ang bola ay maaaring huli sa pagdating sa punto B. Kaya, ang chute, tila, ay kailangang bigyan ng isang malukong hugis, ngunit ang liko ay hindi dapat masyadong makabuluhan.

kanin. 26.

kanin. 27.

Ang Italyano physicist at astronomer na si Galileo (1564-1642) ay naisip na ang trench ng pinakamaikling oras ay dapat na baluktot sa isang pabilog na arko. Ngunit ang mga Swiss mathematician na si Bernoulli brothers, mga tatlong daang taon na ang nakalilipas, ay pinatunayan na may tumpak na mga kalkulasyon na hindi ito ganoon at na ang trench ay dapat na baluktot sa kahabaan ng arko ng isang cycloid (nabaligtad, Fig. 27.). Simula noon, nakuha ng cycloid ang palayaw na brachistochrone, at ang mga patunay ni Bernoulli ay nagsilbing simula ng isang bagong sangay ng matematika - ang calculus ng mga pagkakaiba-iba. Ang huli ay nakikibahagi sa paghahanap ng uri ng mga kurba kung saan ang isa o isa pang dami ng interes sa atin ay umabot sa pinakamababa (at sa ilang mga kaso, ang pinakamalaking) halaga nito.

Logarithmic spiral

Ang kurba na ito ay maaaring tawagin sa pangalan ni Descartes, dahil ito ay unang nabanggit sa isa sa kanyang mga liham (1638). Gayunpaman, ang isang detalyadong pag-aaral ng mga ari-arian nito ay isinagawa lamang pagkatapos ng kalahating siglo ni Jacob Bernoulli. Ang mga pag-aari na ito ay gumawa ng isang malakas na impresyon sa mga mathematician ng kanyang panahon. Ang stone slab na itinayo sa libingan ng sikat na mathematician na ito ay naglalarawan ng mga pagliko ng isang logarithmic spiral.

Ang isang Archimedean spiral ay inilarawan sa pamamagitan ng isang punto na gumagalaw kasama ang isang ray ("walang katapusan na arrow") upang ang distansya mula sa simula ng ray ay tumataas sa proporsyon sa anggulo ng pag-ikot nito: r = ka. Makukuha ang isang logarithmic spiral kung kailangan natin na hindi ang distansya mismo, ngunit ang logarithm nito ay tumaas sa direktang proporsyon sa anggulo ng pag-ikot. Karaniwan ang equation ng isang logarithmic spiral ay isinusulat gamit ang non-feather number na e bilang base ng sistema ng logarithms (seksyon 25). Ang logarithm na ito ng numerong r ay tinatawag na natural na logarithm at tinutukoy sa r. Kaya, ang logarithmic spiral equation ay nakasulat bilang ln r = ka

Siyempre, ang anggulo ng pag-ikot a ay maaari pa ring masukat sa mga degree. Ngunit mas gusto ng mga mathematician na sukatin ito sa radians, i.e. kunin bilang sukatan ng anggulo ang ratio ng haba ng arko ng isang bilog sa pagitan ng mga gilid ng gitnang anggulo sa radius ng bilog na ito. Pagkatapos ang isang pagliko ng arrow sa pamamagitan ng isang kanang anggulo ay susukatin ng numero l 1.57, ang isang pagliko sa pamamagitan ng dami ng nakabukas na anggulo ay susukatin ng numero l 3.14, at isang kumpletong pagliko, na sinusukat sa mga degree ng numerong 360, ay susukatin sa radians ng numerong 2 l 6.28.

kanin. 28.

Sa maraming mga katangian ng isang logarithmic spiral, tandaan namin ang isa: anumang sinag na umuusbong mula sa simula ay intersect sa anumang pagliko ng spiral sa parehong anggulo. Ang magnitude ng anggulong ito ay nakasalalay lamang sa bilang na k sa spiral equation. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng ray at ng spiral ay nauunawaan bilang anggulo sa pagitan ng sinag na ito at ang padaplis sa spiral na iginuhit sa intersection point (Larawan 28).

Konklusyon

Kapag isinasaalang-alang ang mga kurba ng ikatlo at ikaapat na mga order

nakilala namin ang ilang tunay na kahanga-hangang mga kurba na naninirahan sa kamangha-manghang mundo ng analytical geometry, na matatagpuan sa ating buhay nang mas madalas kaysa sa tila. Sinuri namin ang kanilang praktikal na aplikasyon sa buhay ng tao, ang kahalagahan ng kanilang mga kahanga-hangang katangian sa iba't ibang mekanismo na ginagamit ng mga tao sa buhay. Sa gawaing ito, nakolekta namin ang materyal na may pagtuon sa praktikal na pagtatayo ng mga kurba.

Kaya, ang itinakdang layunin ay nakamit at ang mga gawaing natukoy ayon sa layunin ay nalutas.

Panitikan

line order transendental spiral

1. Markushevich A.I. Kahanga-hangang mga kurba. - M.: Krasnoproletarskaya, 1951. -23 p.; 1978., - 48 pp. na may ilustrasyon.

Kasaysayan ng matematika mula sa sinaunang panahon hanggang sa simula ng ika-19 na siglo / Ed. A.P. Yushkevich. - M.: Nauka, 1970, tomo 1. - 352 pp.; 1970, tomo 2. - 300 pp.; 1972, tomo 3 - 496 p.

Nikiforovsky V.A., Freiman L.S. Ang pagsilang ng isang bagong matematika. - M.: Nauka, 1976. - 198 p.

Savelov A.A. Mga patag na kurba. - M.: Fizmatgiz, 1960 - 294 p.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytic geometry. - M.: Nauka, 1971. - 232 p.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Linear algebra at analytical geometry. - 2nd ed. - Minsk: Vysh. Paaralan, 1976.544 p.

Sagutin ang trajectory ng point B - astroid s t)

Kasama sa mga cycloid curve hindi lamang ang cycloid, epi- at ​​hypocycloid, kundi pati na rin ang trochoid, cardioid, at astroid, na inilarawan sa ibaba.

Ang mga coordinate X, y ay nagbibigay-kasiyahan sa kasong ito ang astroid equation (Fig. 91)

Nagbibigay ng pagbubukod (astroid)

Kapag p = r = (m = 3) ang hypocycloid ay tinatawag na astroid (Fig. 64), at ang mga equation ay nasa anyo na x = R os i y = R sin "i o x -y = R.

Kapag p = r = - (t = 3) ang hypocycloid ay tinatawag na astroid (Fig. 64), at ang mga equation ay nasa anyo

Sa Fig. 72 segment AB = I ay naayos sa link AB = I sa isang anggulo 0 = 180°. Samakatuwid, ang astroid na iginuhit ng puntong Bi ay pinaikot na may kaugnayan sa astroid na iginuhit ng punto B ng isang anggulo t6,

Suriin natin ang tanong ng pagguhit ng mga tangent sa kurba na ito gamit ang mekanismong isinasaalang-alang. Alinsunod sa panuntunang binalangkas sa itaas, ang tangent sa astroid ay magpuputol ng isang segment sa crank line OA na katumbas ng denominator ng fraction sa kanang bahagi ng expression (160). Kaugnay ng mekanismo na ipinakita sa Fig. 72, ang laki ng cut segment ay tinutukoy ng formula (172)

Sa pagsasagawa, para sa pagtatayo ng mga astroid sa mga kondisyon ng produksyon, ang bawat tuwid na linya kung saan gumagalaw

Sa Fig. 72 nagpakita kami ng isang mekanismo na nagbibigay ng mga dulo ng S at Si ng link 10 na may paggalaw kasama ang dalawang astroid, pinaikot ang isang kamag-anak sa isa pa ng 45 °.

Ang curve na inilarawan ng mga equation (57) at (58) ay magiging isang astroid-type na curve. Ang symmetry axes ng curve na ito ay nabuo gamit ang Ax axes

Ipakita natin, tulad ng ginawa noong , ang panlabas ng astroid sa kalahating eroplano na Re5>0

Ang pagkuha ng = p = 1, itinatayo namin ang tabas kung saan ang astroid ay na-deform (Larawan 24).

Mga slider / at 2 slide sa mga nakapirming gabay p at q, ang mga axes na kung saan ay magkaparehong patayo. Ang mga proseso a at 6 na slider 1 hanggang 2 ay dumudulas sa cross-shaped na slider 3, na ang mga axes ay pare-pareho ring patayo. Ang link 4 ay pumapasok sa isang rotational pair C na may slider 3 at dumudulas sa isang cross-shaped na slider 5, na dumudulas sa kahabaan ng axis ng link 6, na kasama sa rotational pairs L at B na may slider I at 2. Kapag slider I hanggang 2 gumagalaw kasama ang mga gabay at ang puntong K ay naglalarawan ng isang arko astroid, na ang equation = kung saan 1 - AB. Ang tuwid na linya ay yumuko

Ang hypocycloid ay may n - -1 cusp point, na ang bawat isa, mula sa punto ng view ng stress concentration, ay katumbas ng dulo ng crack (Fig. PZO ay nagpapakita ng isang astroid na may n = 3). Ang mga depekto ng ganitong uri ay maaaring matukoy ang lakas ng malutong

Hanapin ang equation ng tangent sa astroid.

Sa Fig. Ang 72 ay nagpapakita ng sampung-link na mekanismo na idinisenyo upang magparami ng mga astroid. Ang astroid ay isang ordinaryong hypocycloid na may modulus m = at isang algebraic curve ng ika-6 na order. Pangalan ng Astroid

Kaya, ang padaplis sa isa sa mga astroid na ipinapakita sa pagguhit ay dadaan sa mga punto C at 5, at ang padaplis sa isa pa - sa pamamagitan ng mga punto C at S. Ngunit ang mga punto B at B ay ang mga dulo ng connecting rod B B ng lambda -hugis na pangkat sa tuwid na linya ng Harte. Samakatuwid, ang dulo B ay palaging dumudulas sa link DDj, at dulo B - kasama ang patayo na naibalik sa DDj mula sa punto C. Kasunod nito na ang astroid na iginuhit ng punto B ay ang sobre ng lahat ng mga posisyon ng link DD. Ang nasa itaas ay maaari ding i-extend sa mga astroid na na-reproduce ng point B o anumang punto sa bilog na naka-circumscribed mula sa A ng radius I.

Tulad ng nalalaman, ang bulaklak ng isang astroid, kung ang sentro ng simetrya ng huli ay napili bilang poste, ay isang apat na petalled na rosas. Kaya, sapat na upang pahabain ang mga segment na ABi = AB sa Fig. 72 (o sa Fig. 73) sa laki AB = ABi = L, upang makuha ito

KUL ISIO-RY MAHALAGANG VYATKIN MECHANISM PARA SA ASTROID REPRODUCTION

Upang matapos ang gawaing direktang nauugnay sa teorya ng pakpak, napapansin natin ang gawain ni G.N. Babaeva On Flettner rotors (Scientific note. Saratov State University, Faculty of Pedagogy. T. VH. Issue 11, 1929), kung saan inilalapat ng may-akda ang karaniwang paraan ng pag-aaral ng mga pakpak sa kaso ng dalawang Flettner rotors. Sa pamamagitan ng paraan, ipinakita ng may-akda na ang linya ng mga sandali sa kasong ito ay isang astroid. Tungkol sa

Bakit ang ganda ng mundo natin? Dahil ang mga anyo at kulay ng buhay na kalikasan ay higit na sumusunod sa mga pangkalahatang batas ng pagkakaisa, na ipinahayag sa pamamagitan ng mahigpit na pagsusuri sa matematika. Kapag nag-aaral ng kalikasan, nakakahanap kami ng higit pa at higit pang mga aesthetic na tampok sa loob nito, na, bilang isang patakaran, ay ipinahayag hindi kaagad, ngunit pagkatapos ng isang detalyadong pagsusuri sa matematika.

Nakikilala ng isang tao ang mga bagay sa paligid niya sa pamamagitan ng kanilang hugis. Ang interes sa hugis ng isang bagay ay maaaring idikta ng mahahalagang pangangailangan, o maaaring sanhi ito ng kagandahan ng hugis. Ang anyo, ang pagtatayo nito ay batay sa isang kumbinasyon ng mahusay na proporsyon at ang ginintuang ratio, ay nag-aambag sa pinakamahusay na visual na pang-unawa at ang hitsura ng isang pakiramdam ng kagandahan at pagkakaisa.

Ang kabuuan ay palaging binubuo ng mga bahagi, ang mga bahagi ng iba't ibang laki ay nasa isang tiyak na kaugnayan sa bawat isa at sa kabuuan. Ang prinsipyo ng gintong ratio ay ang pinakamataas na pagpapakita ng istruktura at pagganap na pagiging perpekto ng kabuuan at mga bahagi nito sa sining, agham, teknolohiya at kalikasan.

Kapag ginagamit ang mga batas ng natural na geometry sa isang bagong sitwasyon, upang pag-aralan ang mga kurso sa mga paksang nauugnay sa mga geometric na konstruksyon, muling iniisip namin ang mga pinag-aralan na geometric na batas at bumuo ng geometric na intuition.

Sa proseso ng pagsasagawa ng mga malikhaing gawain ng iba't ibang nilalaman, nakilala namin ang mga posibleng lugar ng aplikasyon ng kaalaman sa geometriko (mga artista, arkitekto, taga-disenyo, atbp.).

Ang mga graphic na paraan ng pagpapakita ng impormasyon ay ginagamit sa lahat ng larangan ng lipunan. Mayroon silang kumpletong imahe, nailalarawan sa pamamagitan ng simbolismo, pagiging compactness, at kadalian ng pagbabasa. Ang mga katangiang ito ng mga graphic na larawan ang tumutukoy sa kanilang pinalawak na paggamit. Sa malapit na hinaharap, higit sa kalahati ng impormasyong ipinakita ay ipapakita nang grapiko. Ang pagbuo ng mga teoretikal na pundasyon ng mapaglarawang geometry, engineering graphics at iba pang kaugnay na agham ay nagpalawak ng mga pamamaraan ng pagkuha ng mga graphic na imahe. Kasama ng mga manu-manong pamamaraan ng pagbuo ng mga graphic na imahe at pagguhit ng dokumentasyon ng disenyo, ang mga pamamaraan ng computer ay lalong ginagamit. Tinitiyak ng paggamit ng mga bagong teknolohiya ng impormasyon ang paglikha, pag-edit, pag-iimbak, at pagkopya ng mga graphic na larawan gamit ang iba't ibang mga tool sa software.

I. Pangunahing impormasyon tungkol sa algebraic curves

1. Astroid

Ang astroid (mula sa Greek >-star) ay isang kurba na inilalarawan ng isang punto sa isang gumagalaw na bilog na dumadampi mula sa loob ng isang nakapirming bilog na apat na beses ang radius at gumulong kasama nito nang hindi nadudulas. Ang lugar na nililimitahan ng astroid ay isang-ikawalo ng lugar ng nakapirming bilog, at ang kabuuang haba ng astroid ay katumbas ng anim na beses sa radius ng bilog na ito.

Equation ng astroid sa Cartesian rectangular coordinates:

x + y = R.

Ang astroid graph ay ginawa sa > sumusunod na paraan:

:: Gumawa ng graph ng function para sa y > 0 (radius R = 5);

:: Nakagawa ng graph ng function.

2. Cardioid

Ang Cardioid (mula sa Greek >-heart at eidos-view) ay isang patag na kurba na inilalarawan ng isang nakapirming punto sa isang bilog, na mula sa labas ay dumadampi sa isang nakapirming bilog na may parehong radius at gumulong kasama nito nang hindi nadudulas. Nakuha ng curve ang pangalan nito dahil sa pagkakahawig nito sa isang puso.

Ang pagbuo ng mga cardioid graph ay isinagawa din sa >.

3. Nephroid

Ang Nephroid (mula sa Greek na hephros-kidney, eidos-species) ay isang kurba na inilalarawan ng isang nakapirming punto ng isang bilog na gumugulong sa labas kasama ang dalawang beses na mas malaking bilog. Ang mga katangian ng nephroid ay unang pinag-aralan noong ika-17 siglo ng Saxon nobleman na si E. V. Tschirnhaus. Ang nephroid ay binubuo ng dalawang cardioids.

4. Ang kuhol ni Pascal.

Ang snail ni Pascal ay isang plane algebraic curve. Pinangalanan si Etienne Pascal (ama ni Blaise Pascal), na unang nagsuri nito. Equation sa polar coordinate. Kapag l = 2a, isang cardioid ang nakuha.

II. Application ng mathematical modelling.

1. Kasaysayan ng paglikha ng mga string graphics

Ang thread graphics (o isothread) ay isang graphic na imahe na ginawa sa isang espesyal na paraan na may mga thread sa karton o iba pang solidong base. Ang mga thread na graphics ay tinatawag ding isographics o pagbuburda sa karton.

Ang terminong > (thread graphics o isothread) ay ginagamit sa Russia, sa mga bansang nagsasalita ng Ingles ang parirala ay ginagamit - pagbuburda sa papel, sa mga bansang nagsasalita ng Aleman - ang termino.

Ang mga thread na graphics, bilang isang uri ng pandekorasyon at inilapat na sining, ay unang lumitaw sa England noong ika-17 siglo. Ang mga English weavers ay gumawa ng isang espesyal na paraan ng paghabi ng mga thread. Pinutol nila ang mga pako sa mga tabla at hinila ang mga sinulid sa mga ito sa isang tiyak na pagkakasunod-sunod. Ang resulta ay mga produktong openwork lace na ginamit para palamutihan ang bahay. (May lumabas na bersyon na ang mga gawang ito ay ilang uri ng sketch para sa mga pattern sa tela). Ginagawang posible ng mga modernong consumable na makakuha ng napakakahanga-hangang mga produkto.

Kasama ang orihinal na pamamaraan ng thread graphics, mayroong isa pang direksyon ng disenyo ng thread - pagbuburda sa karton (isothread) gamit ang parehong mga diskarte (teknikal ng pagpuno ng mga sulok at bilog).

Ang interes sa filament graphics ay lumitaw at pagkatapos ay nawala. Ang isa sa mga tuktok ng katanyagan ay sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. Nai-publish ang mga libro sa pananahi, na naglalarawan ng isang hindi pangkaraniwang paraan ng pagbuburda sa papel, simple at madali, naa-access ng mga bata. Gumamit ang trabaho ng mga butas-butas na card (ready-made na mga template) at ang pamamaraan ng pagpuno sa sulok, mga tahi >, > (para sa pagbuburda ng mga kurba). Gamit ang pinakamababang pondo, sinuman (at higit sa lahat ang mga bata) ay maaaring gumawa ng magagarang souvenir para sa mga pista opisyal.

Ngayon ang sining na ito ay ginagawa sa maraming bansa sa buong mundo.

Sa ating bansa, mayroong isang maliit na halaga ng impormasyon sa isothread, pangunahin para sa mga layuning pang-impormasyon: mga indibidwal na publikasyon sa mga magasin > Noong 1995, isang libro ni Minsk professor G. A. Branitsky ang nai-publish > at isang libro ni M. I. Nagibina > na may maliit na kabanata sa isothread. .

Matapos suriin ang magagamit na impormasyon, nalaman namin na maraming mga libro ang nai-publish sa ganitong uri ng karayom ​​sa anyo ng mga sunud-sunod na tagubilin at mga album ng mga ideya, kung saan ginagamit lamang ang paraan ng paggawa ng reproduktibo sa lahat ng dako.

Ang bentahe ng isothread ay mabilis itong nagagawa at maaari kang makabuo ng maraming kawili-wiling pattern. Ang ganitong uri ng pagkamalikhain ay bubuo ng imahinasyon, mata, pinong mga kasanayan sa motor ng mga daliri, artistikong kakayahan at aesthetic na lasa. Gamit ang pamamaraan ng thread graphics, maaari kang gumawa ng hindi lamang mga pandekorasyon na panel, kundi pati na rin ang mga greeting card, souvenir cover, at mga bookmark.

Isothread (thread graphics o thread design) ay maaaring magkaroon ng ilang direksyon:

1) pamamaraan ng reproduktibo: gumana ayon sa isang template, sunud-sunod na mga tagubilin, pamamahagi ng mga yari na pattern at mga kit ng pagbuburda

2) bahagyang paghahanap (proyekto): pag-aaral na kalkulahin sa karton (i.e. paglikha ng iyong sariling mga obra maestra), paghahanap para sa iyong sariling mga diskarte at kumbinasyon, "paglalaro" sa background, mga thread - gamit ang materyal ng pagpapatupad

3) pinagsama - kapag nagsimula ang lahat sa "ABC", nagtatrabaho kami sa mga yari na diagram, ngunit binabago ang uri ng materyal (kulay) at naabot ang "obra maestra".

2. Mga pangunahing pamamaraan ng string graphics

Ang thread graphics ay kilala rin sa ilalim ng iba pang mga pangalan: isothread (ibig sabihin, larawang may thread), graphic na pagbuburda. Upang makabisado ang pamamaraan, sapat na malaman kung paano napuno ang isang anggulo, bilog at arko.

Pamamaraan 1. Pagpuno sa sulok.

Gumuhit ng isang anggulo sa likod ng karton at hatiin ang bawat panig sa pantay na bilang ng mga bahagi. Tinusok namin ang mga punto gamit ang isang pin o isang manipis na awl, sinulid ang karayom ​​at punan ayon sa diagram.

Pamamaraan 2. Pagpuno sa bilog.

Gumuhit tayo ng bilog na may compass. Hatiin natin ito sa 12 pantay na bahagi at punan ito ayon sa diagram.

Pamamaraan 3. Pagpuno ng arko.

Gumuhit tayo ng isang arko, hatiin ito sa pantay na mga bahagi at gumawa ng mga pagbutas sa mga punto ng paghahati. I-thread ang karayom ​​at punan ayon sa diagram

III. Gawaing pananaliksik.

Mga konstruksyon sa programa >.

Suliranin 1. Paghahati ng segment sa n pantay na bahagi.

Solusyon 1. Ang paghahati sa 2, 4, 8, 16, atbp. na mga bahagi ay isinagawa sa > sa pamamagitan ng pagbuo ng mga midpoint ng segment.

Solusyon 2. Ginawa rin namin ang paghahati ng isang segment sa isang arbitrary na bilang ng mga bahagi gamit ang theorem ni Thales.

Gawain 2. Paghahati ng bilog sa 6, 12, 24 na bahagi.

Solusyon 1. Kami ay naghahanap ng iba't ibang paraan upang hatiin ang isang bilog sa mga bahagi. Sa programa > gumuhit kami ng isang bilog, naglagay ng mga puntos sa random na pagkakasunud-sunod, sinukat ang mga resultang anggulo, at pagkatapos ay > inilipat ang mga puntos sa bilog hanggang sa makuha ang nais na halaga. Ito ay monotonous at hindi kawili-wiling trabaho. Ang error ng unang dibisyon sa 12 bahagi ay + 0.15 cm sa haba ng mga chord. Sinimulan naming pag-aralan ang sitwasyon at maghanap ng pinakamainam na paraan upang malutas ang mga problema. Bilang resulta, nakakita kami ng ilang mga solusyon para sa paghahati ng isang bilog sa 6, 12, 24 na bahagi.

Solusyon 2. Markahan ang 6 na puntos sa bilog, sukatin ang lahat ng mga anggulo, ihanay ang mga punto upang ang bawat anggulo ay katumbas ng 60 [o]. Pagkatapos, gamit ang programa, iginuhit namin ang mga bisector ng bawat anggulo. Ang resulta ay isang dibisyon sa 12 bahagi. At upang hatiin sa 24 na bahagi, iginuhit namin muli ang mga bisector ng mga resultang anggulo. Ang error ng construction na ito ay naging +0.01 degrees.

Solusyon 3. Gamit ang programa, nagtayo kami ng 3 bilog ng parehong radius (gamit ang pagkopya), pinagsama ang mga ito tulad ng ipinapakita sa figure. Markahan ang mga intersection point ng mga bilog. Sinukat namin ang mga nagresultang anggulo, sila ay naging katumbas ng 60 [o]. Susunod, nagtayo kami ng mga bisector ng anggulo para sa paghahati sa 12 at 24 na bahagi. Ang error ng naturang solusyon ay zero.

Suliranin 3. Paghahati ng bilog sa 9, 18, 36 na bahagi.

Ang pagkakaroon ng natagpuan ang pinakamainam na paraan upang malutas ang nakaraang problema, pareho kaming nagsimulang maghanap ng mga paraan upang hatiin ang isang bilog sa 9, 18 at 36 na bahagi. Ang paghahati sa 18 at 36 na bahagi ay maaaring isagawa lamang pagkatapos magtayo ng 9 na puntos, gamit ang pagtatayo ng mga bisector.

Solusyon. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Hinati namin ang kalahating bilog sa 4 na arko na humigit-kumulang 40 [o] at isang arko na 20 [o]. Gamit ang programa, isinagawa namin ang lahat ng kinakailangang sukat ng anggulo sa pamamagitan ng paglipat ng mga puntos. Susunod, pinili namin ang mga constructed point at, gamit ang > command, ipinapakita ang mga puntos na 180 degrees na may kaugnayan sa gitna ng bilog papunta sa pangalawang kalahating bilog. Ang error ng construction na ito ay + 0.04 degrees.

Suliranin 4. Pagbubuo ng algebraic curves

Astroid

Solusyon 1. Ang astroid ay itinayo sa coordinate plane gamit ang sumusunod na algorithm:

:: Kinakailangang ikonekta ang mga punto ng ordinate axis sa mga punto ng abscissa axis upang ang kabuuan ng mga numero ng dibisyon ay nagbibigay ng 10 (halimbawa: 1 at 9, 2 at 8, 3 at 7, atbp.).

:: Ikonekta ang mga punto sa parehong pagkakasunud-sunod sa natitirang quarter ng coordinate plane.

Solusyon 2. Gumuhit ng bilog, bumuo ng mga perpendikular na diameter, at hatiin ang bawat radius sa pantay na bilang ng mga bahagi. Ikinonekta namin ang mga puntos na may mga segment ayon sa nakaraang algorithm.

Solusyon 3. Ang pagkakaroon ng pinagkadalubhasaan ang pinakamainam na pamamaraan ng paghahati ng isang bilog sa 6 na bahagi, gumawa kami ng isang 6-star na astroid.

Solusyon 4. Ang pagtatayo ng isang 8-star na astroid ay isinagawa sa pamamagitan ng pagbuo ng mga bisector ng mga tamang anggulo.

Cardioid

Solusyon. Upang makabuo ng isang cardioid, ang base ay magiging isang bilog. Ang cardioid ay itinayo ayon sa sumusunod na plano:

:: gumuhit ng bilog at hinati ito sa 36 na bahagi (10 degrees bawat isa);

:: binilang ang mga panlabas na puntos mula 1 hanggang 36 pakaliwa;

:: ang mga panloob na puntos ay binibilang alinsunod sa diagram 1;

:: konektadong mga tuldok na may parehong panloob at panlabas na mga numero;

:: ang sobre ay magiging cardioid.

Scheme 1 Scheme 2

IV. Ang aming pagkamalikhain.

Sa pagkakaroon ng mastered sa mga pangunahing diskarte ng disenyo at pagmomodelo sa >, sinubukan naming mapagtanto ang aming sarili bilang mga designer at artist. Binuo at isinasabuhay namin ang mga sumusunod na gawain:

Konklusyon, konklusyon

>,” sabi ni Aristotle 2500 taon na ang nakalilipas. Naniniwala ang ating kontemporaryong Sukhomlinsky na >. At ang matematika ay isang kahanga-hangang paksa para sa sorpresa.

Ang pagkakaroon ng malalim na pag-aaral ng magagamit na materyal, nakilala namin ang isang bagong paraan ng pagbuo ng mga kurba - matematikal na pagbuburda, gamit ang mga pamilyar na pamamaraan para sa pagbuo ng mga geometric na figure (pagbuo ng isang anggulo, paghahati ng isang segment sa pantay na mga bahagi, pagkonekta ng mga punto sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, paghahati ng isang bilog sa pantay na bahagi sa programa >). Nakakita kami ng kamangha-manghang pagkakatulad sa pagitan ng mathematical embroidery at isang kilalang uri ng pandekorasyon at inilapat na sining - isothread.

Mayroong maraming mga larawan na may isothread embroidery sa Internet at espesyal na panitikan, ngunit walang mga diagram na nakalakip sa kanila. Nakarating kami sa konklusyon na ang mathematical embroidery ay isang malikhaing proseso. Alam ang mga pangunahing kaalaman sa pagmomodelo ng matematika, na itinakda sa aming trabaho, gamit ang malikhaing pag-iisip, lohika, at pasensya, maaari kang gumawa ng indibidwal > inilapat na sining.

Ang matematikal na pagbuburda ay interesado hindi lamang sa amin, kundi pati na rin sa maraming mga mag-aaral sa paaralan (parehong babae at lalaki). Naniniwala kami na gagawing posible ng mga modernong teknolohiya ng impormasyon na pagsamahin ang matematika at sining.

Ang curve o linya ay isang geometric na konsepto na naiiba ang kahulugan sa iba't ibang seksyon.

CURVE (linya), isang bakas na iniwan ng isang gumagalaw na punto o katawan. Karaniwan ang isang kurba ay kinakatawan lamang bilang isang maayos na kurbadong linya, tulad ng isang parabola o isang bilog. Ngunit ang mathematical na konsepto ng isang curve ay sumasaklaw sa parehong tuwid na linya at mga figure na binubuo ng mga tuwid na segment, halimbawa, isang tatsulok o isang parisukat.

Ang mga kurba ay maaaring nahahati sa eroplano at spatial. Ang isang kurba ng eroplano, tulad ng isang parabola o isang tuwid na linya, ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang eroplano o isang eroplano at isang katawan at samakatuwid ay namamalagi nang buo sa isang eroplano. Ang isang spatial curve, halimbawa, isang helix na hugis tulad ng isang helical spring, ay hindi maaaring makuha bilang intersection ng ilang ibabaw o katawan na may isang eroplano, at hindi ito nakahiga sa parehong eroplano. Ang mga kurba ay maaari ding nahahati sa sarado at bukas. Ang isang saradong kurba, tulad ng isang parisukat o bilog, ay walang mga dulo, i.e. ang gumagalaw na punto na bumubuo ng naturang kurba ay pana-panahong umuulit sa landas nito.

Ang curve ay isang locus, o set, ng mga puntos na nakakatugon sa ilang mathematical na kundisyon o equation.

Halimbawa, ang isang bilog ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na katumbas ng distansya mula sa isang naibigay na punto. Ang mga curve na tinukoy ng algebraic equation ay tinatawag na algebraic curves.

Halimbawa, ang equation ng isang tuwid na linya na y = mx + b, kung saan ang m ay ang slope at ang b ay ang segment na naharang sa y-axis, ay algebraic.

Ang mga curve na ang mga equation ay naglalaman ng mga transendental na function, gaya ng logarithms o trigonometric function, ay tinatawag na transendental curves.

Halimbawa, ang y = log x at y = tan x ay mga equation ng transcendental curves.

Ang hugis ng isang algebraic curve ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng antas ng equation nito, na tumutugma sa pinakamataas na antas ng mga termino ng equation.

Kung ang equation ay nasa unang degree, halimbawa Ax + By + C = 0, kung gayon ang curve ay may hugis ng isang tuwid na linya.

Kung ang pangalawang degree na equation ay, halimbawa,

Ax 2 + By + C = 0 o Ax 2 + By 2 + C = 0, pagkatapos ang curve ay quadratic, i.e. kumakatawan sa isa sa mga conic na seksyon; Kasama sa mga kurba na ito ang mga parabola, hyperbola, ellipse at bilog.

Ilista natin ang mga pangkalahatang anyo ng mga equation ng mga conic section:

x 2 + y 2 = r 2 - bilog,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - ellipse,

y = ax 2 - parabola,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hyperbola.

Mga kurba na tumutugma sa mga equation ng ikatlo, ikaapat, ikalima, ikaanim, atbp. Ang mga degree ay tinatawag na mga kurba ng ikatlo, ikaapat, ikalima, ikaanim, atbp. utos. Sa pangkalahatan, mas mataas ang antas ng equation, mas maraming baluktot ang magkakaroon ng bukas na kurba.

Maraming mga kumplikadong kurba ang nakatanggap ng mga espesyal na pangalan.

Ang cycloid ay isang kurba ng eroplano na inilarawan ng isang nakapirming punto sa isang bilog na gumugulong sa isang tuwid na linya na tinatawag na generator ng cycloid; ang isang cycloid ay binubuo ng isang serye ng mga paulit-ulit na arko.

Ang epicycloid ay isang kurba ng eroplano na inilarawan ng isang nakapirming punto sa isang bilog na gumugulong sa isa pang nakapirming bilog sa labas nito.

Ang hypocycloid ay isang kurba ng eroplano na inilarawan ng isang nakapirming punto sa isang bilog na lumiligid mula sa loob kasama ang isang nakapirming bilog.

Ang spiral ay isang patag na kurba na umaalis, paikot-ikot, mula sa isang nakapirming punto (o bumabalot sa paligid nito).

Pinag-aaralan ng mga mathematician ang mga katangian ng mga kurba mula noong sinaunang panahon, at ang mga pangalan ng maraming hindi pangkaraniwang mga kurba ay nauugnay sa mga pangalan ng mga unang nag-aral sa kanila. Ito ay, halimbawa, ang Archimedes spiral, ang Agnesi curl, ang Diocles cissoid, ang Nicomedes cochoid, at ang Bernoulli lemniscate.

Sa loob ng balangkas ng elementarya na geometry, ang konsepto ng isang kurba ay hindi nakakatanggap ng isang malinaw na pagbabalangkas at kung minsan ay tinutukoy bilang "haba na walang lapad" o bilang "ang hangganan ng isang pigura." Mahalaga, sa elementarya na geometry, ang pag-aaral ng mga kurba ay bumaba sa pagsasaalang-alang ng mga halimbawa (, , , at iba pa.). Walang pangkalahatang pamamaraan, ang elementarya na geometry ay tumagos nang malalim sa pag-aaral ng mga katangian ng mga partikular na kurba (, ilanat saka), gamit ang mga espesyal na pamamaraan sa bawat kaso.

Kadalasan, ang isang curve ay tinutukoy bilang isang tuluy-tuloy na pagmamapa mula sa isang segment hanggang sa:

Kasabay nito, ang mga kurba ay maaaring magkaiba, kahit na silamagkatugma. Ang ganitong mga kurba ay tinatawagmga parameterized na kurbao kaya[ a , b ] = , mga paraan.

Minsan ang curve ay tinutukoy hanggang sa , iyon ay, hanggang sa pinakamababang katumbas na ugnayan upang ang mga parametric curve

ay katumbas kung mayroong tuluy-tuloy (minsan hindi bumababa) h mula sa segment [ a 1 ,b 1 ] bawat segment [ a 2 ,b 2], ganoon

Ang mga tinukoy ng relasyong ito ay tinatawag na simpleng mga kurba.

Analytical na mga kahulugan

Sa mga kursong analytical geometry, napatunayan na kabilang sa mga linyang nakasulat sa Cartesian rectangular (o kahit general affine) na mga coordinate sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng pangalawang degree

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficient A, B, C ay naiiba sa zero) tanging ang mga sumusunod na walong uri ng mga linya ang matatagpuan:

a) ellipse;

b) hyperbole;

c) parabola (mga di-degenerate na kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod);

d) isang pares ng mga intersecting na linya;

e) isang pares ng magkatulad na linya;

f) isang pares ng magkatulad na linya (isang tuwid na linya);

g) isang punto (degenerate na mga linya ng pangalawang pagkakasunud-sunod);

h) isang "linya" na walang mga puntos sa lahat.

Sa kabaligtaran, ang anumang linya ng bawat isa sa walong uri na ipinahiwatig ay nakasulat sa Cartesian rectangular coordinates ng ilang second-order equation. (Sa mga kursong analytical geometry, karaniwan nilang pinag-uusapan ang tungkol sa siyam (hindi walong) uri ng mga conic section, dahil nakikilala nila ang pagitan ng "imaginary ellipse" at isang "pair of imaginary parallel lines" - geometrically ang mga "lines" na ito ay pareho, dahil pareho silang ginagawa. hindi naglalaman ng isang solong punto, ngunit analytically sila ay nakasulat sa pamamagitan ng iba't ibang mga equation.) Samakatuwid, (degenerate at non-degenerate) conic seksyon ay maaari ding tukuyin bilang mga linya ng pangalawang order.

SAang isang kurba sa isang eroplano ay tinukoy bilang isang hanay ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equationF ( x , y ) = 0 . Kasabay nito, para sa pag-andarF ang mga paghihigpit ay ipinapataw na nagbibigay garantiya na ang equation na ito ay may walang katapusang bilang ng mga divergent na solusyon at

ang hanay ng mga solusyon na ito ay hindi pumupuno sa "piraso ng eroplano".

Algebraic curves

Ang isang mahalagang klase ng mga kurba ay ang mga kung saan ang functionF ( x , y ) meronmula sa dalawang variable. Sa kasong ito, ang curve na tinukoy ng equationF ( x , y ) = 0 , tinawag.

Ang mga algebraic curve na tinukoy ng isang equation ng 1st degree ay .

Ang isang equation ng degree 2, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon, ay tumutukoy sa , iyon ay, degenerate at non-degenerate.

Mga halimbawa ng mga kurba na tinukoy ng mga equation ng 3rd degree: , .

Mga halimbawa ng 4th degree curves: at.

Halimbawa ng 6th degree curve: .

Halimbawa ng isang curve na tinukoy ng isang equation ng even degree: (multifocal).

Ang mga algebraic curve na tinukoy ng mga equation ng mas mataas na degree ay isinasaalang-alang sa. Kasabay nito, ang kanilang teorya ay nagiging mas magkatugma kung ang pagsasaalang-alang ay isinasagawa. Sa kasong ito, ang algebraic curve ay tinutukoy ng isang equation ng form

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

saan F- isang polynomial ng tatlong variable na mga puntos.

Mga uri ng kurba

Ang kurba ng eroplano ay isang kurba kung saan ang lahat ng mga punto ay nasa parehong eroplano.

(simpleng linya o Jordan arc, contour din) - isang hanay ng mga punto ng isang eroplano o espasyo na nasa isa-sa-isa at magkaparehong tuluy-tuloy na pagsusulatan sa mga segment ng linya.

Ang path ay isang segment sa .

analytic curves na hindi algebraic. Mas tiyak, mga kurba na maaaring tukuyin sa pamamagitan ng linya ng antas ng isang analytical function (o, sa multidimensional na kaso, isang sistema ng mga function).

Sine wave,

cycloid,

Archimedes spiral,

traktor,

linya ng kadena,

Hyperbolic spiral, atbp.

1. Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga kurba:

analytical - ang curve ay ibinibigay ng isang mathematical equation;

graphic - ang curve ay tinukoy nang biswal sa isang graphical na carrier ng impormasyon;

tabular - ang curve ay tinukoy ng mga coordinate ng isang sunud-sunod na serye ng mga puntos.

parametric (ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang equation ng isang curve):

saan - makinis na mga function ng parametert, at

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (kondisyon ng regular).

Madalas na maginhawang gumamit ng invariant at compact na representasyon ng equation ng isang curve gamit ang:

kung saan sa kaliwang bahagi ay may mga punto ng curve, at ang kanang bahagi ay tumutukoy sa pagtitiwala nito sa ilang parameter t. Ang pagpapalawak ng entry na ito sa mga coordinate, makakakuha tayo ng formula (1).

1. Cycloid.

Ang kasaysayan ng pag-aaral ng cycloid ay nauugnay sa mga pangalan ng mga dakilang siyentipiko, pilosopo, mathematician at physicist bilang Aristotle, Ptolemy, Galileo, Huygens, Torricelli at iba pa.

Cycloid(mula saκυκλοειδής - bilog) -, na maaaring tukuyin bilang ang tilapon ng isang punto na nakahiga sa hangganan ng isang bilog na lumiligid nang hindi dumudulas sa isang tuwid na linya. Ang bilog na ito ay tinatawag na pagbuo.

Ang isa sa mga pinakalumang paraan ng pagbuo ng mga kurba ay ang kinematic na pamamaraan, kung saan ang kurba ay nakuha bilang tilapon ng isang punto. Ang isang kurba na nakuha bilang trajectory ng isang punto na nakapirming sa isang bilog, na gumugulong nang hindi dumudulas sa isang tuwid na linya, kasama ang isang bilog o iba pang kurba, ay tinatawag na cycloidal, na isinalin mula sa Griyego ay nangangahulugang bilog, nakapagpapaalaala sa isang bilog.

Isaalang-alang muna natin ang kaso kapag ang bilog ay gumulong sa isang tuwid na linya. Ang kurba na inilalarawan ng isang puntong nakapirmi sa isang bilog na gumugulong nang hindi dumudulas sa isang tuwid na linya ay tinatawag na cycloid.

Hayaang gumulong ang isang bilog na radius R sa isang tuwid na linya a. Ang C ay isang punto na naayos sa isang bilog, sa unang sandali ng oras na matatagpuan sa posisyon A (Larawan 1). Ilagay natin sa linya ang isang segment AB na katumbas ng haba ng bilog, i.e. AB = 2 π R. Hatiin ang segment na ito sa 8 pantay na bahagi sa pamamagitan ng mga puntos na A1, A2, ..., A8 = B.

Malinaw na kapag ang bilog, na lumiligid sa tuwid na linya a, ay gumagawa ng isang rebolusyon, i.e. umiikot ng 360, pagkatapos ay kukuha ito ng posisyon (8), at ang punto C ay lilipat mula sa posisyon A patungo sa posisyon B.

Kung ang bilog ay gumagawa ng kalahating buong rebolusyon, i.e. magiging 180, pagkatapos ay kukuha ito ng posisyon (4), at ang punto C ay lilipat sa pinakamataas na posisyon C4.

Kung ang bilog ay umiikot sa isang anggulo na 45, ang bilog ay lilipat sa posisyon (1), at ang punto C ay lilipat sa posisyon C1.

Ipinapakita rin ng Figure 1 ang iba pang mga punto ng cycloid na naaayon sa natitirang mga anggulo ng pag-ikot ng bilog, mga multiple ng 45.

Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga itinayong punto na may makinis na kurba, nakakakuha kami ng isang seksyon ng cycloid na tumutugma sa isang buong rebolusyon ng bilog. Sa susunod na mga rebolusyon, ang parehong mga seksyon ay makukuha, i.e. Ang cycloid ay bubuo ng isang paulit-ulit na seksyon na tinatawag na arko ng cycloid.

Bigyang-pansin natin ang posisyon ng tangent sa cycloid (Larawan 2). Kung ang isang siklista ay sumakay sa isang basang kalsada, kung gayon ang mga patak na lumalabas sa gulong ay lilipad nang magkadikit patungo sa cycloid at, kung walang mga kalasag, ay maaaring tumalsik sa likod ng siklista.

Ang unang taong nag-aral ng cycloid ay si Galileo Galilei (1564 – 1642). Nakaisip din siya ng pangalan nito.

Mga katangian ng cycloid:

Ang Cycloid ay may isang bilang ng mga kahanga-hangang katangian. Banggitin natin ang ilan sa kanila.

Ari-arian 1. (Ice mountain.) Noong 1696, si I. Bernoulli ay nagbigay ng problema sa paghahanap ng curve ng pinakamatarik na pagbaba, o, sa madaling salita, ang problema sa kung ano ang dapat na hugis ng isang ice slide upang gumulong pababa para magawa ang paglalakbay. mula sa panimulang punto A hanggang sa pagtatapos na punto B sa pinakamaikling oras (Larawan 3, a). Ang nais na kurba ay tinawag na "brachistochrone", i.e. pinakamaikling time curve.

Malinaw na ang pinakamaikling landas mula sa punto A hanggang sa punto B ay segment AB. Gayunpaman, sa gayong paggalaw ng rectilinear, ang bilis ay nakuha nang dahan-dahan at ang oras na ginugol sa pagbaba ay lumalabas na malaki (Larawan 3, b).

Ang mas matarik na pagbaba, mas mabilis ang pagtaas ng bilis. Gayunpaman, sa isang matarik na pagbaba, ang landas sa kahabaan ng curve ay humahaba at sa gayon ay pinapataas ang oras na kinakailangan upang makumpleto ito.

Kabilang sa mga mathematician na nakalutas sa problemang ito ay sina: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital at J. Bernoulli. Pinatunayan nila na ang nais na kurba ay isang baligtad na cycloid (Larawan 3, a). Ang mga pamamaraan na binuo ng mga siyentipikong ito sa paglutas ng problema ng brachistochrone ay naglatag ng pundasyon para sa isang bagong direksyon sa matematika - ang calculus ng mga pagkakaiba-iba.

Ari-arian 2. (Orasan na may pendulum.) Ang isang orasan na may ordinaryong pendulum ay hindi maaaring tumakbo nang tumpak, dahil ang panahon ng oscillation ng isang pendulum ay nakasalalay sa amplitude nito: kung mas malaki ang amplitude, mas malaki ang panahon. Ang Dutch scientist na si Christiaan Huygens (1629 – 1695) ay nagtaka kung anong kurba ng bola sa string ng isang pendulum ang dapat sundin upang ang panahon ng mga oscillations nito ay hindi nakasalalay sa amplitude. Tandaan na sa isang ordinaryong pendulum, ang kurba kung saan gumagalaw ang bola ay isang bilog (Larawan 4).

Ang curve na hinahanap namin ay naging inverted cycloid. Kung, halimbawa, ang isang trench ay ginawa sa hugis ng isang baligtad na cycloid at isang bola ay inilunsad kasama nito, kung gayon ang panahon ng paggalaw ng bola sa ilalim ng impluwensya ng grabidad ay hindi nakasalalay sa paunang posisyon at amplitude nito (Larawan 5). ). Para sa ari-arian na ito, ang cycloid ay tinatawag ding "tautochrone" - isang kurba ng pantay na oras.

Gumawa si Huygens ng dalawang kahoy na tabla na may mga gilid sa hugis ng isang cycloid, na nililimitahan ang paggalaw ng thread sa kaliwa at kanan (Larawan 6). Sa kasong ito, ang bola mismo ay lilipat kasama ang isang baligtad na cycloid at, sa gayon, ang panahon ng mga oscillations nito ay hindi nakasalalay sa amplitude.

Mula sa pag-aari na ito ng cycloid, sa partikular, ito ay sumusunod na kahit saang lugar sa ice slide sa hugis ng isang baligtad na cycloid ay sinimulan natin ang ating pagbaba, gugugol tayo ng parehong oras hanggang sa dulong punto.

Cycloid equation

1. Maginhawang isulat ang cycloid equation sa mga tuntunin ng α - ang anggulo ng pag-ikot ng bilog, na ipinahayag sa radians, tandaan na ang α ay katumbas din ng landas na dinaraanan ng bumubuo ng bilog sa isang tuwid na linya.

x=rα– r kasalanan α

y=r – r cos α

2. Kunin natin ang horizontal coordinate axis bilang tuwid na linya kung saan umiikot ang bumubuong bilog ng radius r.

Ang cycloid ay inilalarawan ng mga parametric equation

x = rt – r kasalanan t,

y = r – r cos t.

Equation sa:

Ang cycloid ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglutas ng differential equation:

Mula sa kwento ng cycloid

Ang unang siyentipiko na nagbigay pansin sa cycloidV, ngunit ang seryosong pananaliksik sa kurba na ito ay nagsimula lamang sa.

Ang unang taong nag-aral ng cycloid ay si Galileo Galilei (1564-1642), ang sikat na Italyano na astronomo, pisiko at tagapagturo. Nakabuo din siya ng pangalang "cycloid," na nangangahulugang "nagpapaalaala sa isang bilog." Si Galileo mismo ay hindi sumulat ng anuman tungkol sa cycloid, ngunit ang kanyang trabaho sa direksyon na ito ay binanggit ng mga mag-aaral at tagasunod ni Galileo: Viviani, Toricelli at iba pa. Si Toricelli, isang sikat na physicist at imbentor ng barometer, ay nagtalaga ng maraming oras sa matematika. Sa panahon ng Renaissance, walang makitid na dalubhasang siyentipiko. Isang mahuhusay na tao ang nag-aral ng pilosopiya, pisika, at matematika, at saanman nakatanggap siya ng mga kawili-wiling resulta at nakagawa ng malalaking pagtuklas. Ilang sandali kaysa sa mga Italyano, kinuha ng mga Pranses ang cycloid, tinawag itong "roulette" o "trochoid". Noong 1634, kinakalkula ni Roberval - ang imbentor ng sikat na sistema ng mga kaliskis - ang lugar na hangganan ng arko ng isang cycloid at ang base nito. Ang isang malaking pag-aaral ng cycloid ay isinagawa ng isang kontemporaryo ng Galileo. Kabilang sa , iyon ay, mga kurba na ang equation ay hindi maaaring isulat sa anyo ng x , y, ang cycloid ang una sa mga pinag-aralan.

Sumulat tungkol sa cycloid:

Ang roulette ay isang linya na karaniwan na pagkatapos ng tuwid na linya at bilog ay walang linya na mas madalas na nakatagpo; ito ay madalas na nakabalangkas sa harap ng mga mata ng lahat na ang isa ay dapat mabigla na ang mga sinaunang tao ay hindi isinasaalang-alang ito ... dahil ito ay walang iba kundi isang landas na inilarawan sa hangin sa pamamagitan ng kuko ng isang gulong.

Ang bagong curve ay mabilis na nakakuha ng katanyagan at sumailalim sa malalim na pagsusuri, na kasama, , Newton,, ang magkapatid na Bernoulli at iba pang luminaries ng agham noong ika-17-18 siglo. Sa cycloid, ang mga pamamaraan na lumitaw sa mga taong iyon ay aktibong nahasa. Ang katotohanan na ang analytical na pag-aaral ng cycloid ay naging kasing matagumpay ng pagsusuri ng algebraic curves ay gumawa ng isang mahusay na impresyon at naging isang mahalagang argumento pabor sa "pantay na karapatan" ng algebraic at transendental curves. Epicycloid

Ilang uri ng cycloids

Epicycloid - ang tilapon ng punto A, na nakahiga sa isang bilog na may diameter na D, na gumulong nang hindi dumudulas sa isang gabay na bilog ng radius R (panlabas na kontak).

Ang pagtatayo ng epicycloid ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Mula sa center 0, gumuhit ng auxiliary arc na may radius na katumbas ng 000=R+r;

Mula sa mga puntos na 01, 02, ... 012, tulad ng mula sa mga sentro, gumuhit ng mga bilog ng radius r hanggang sa magsalubong sila sa mga auxiliary arc sa mga puntong A1, A2, ... A12, na kabilang sa epicycloid.

Hypocycloid

Ang hypocycloid ay ang trajectory ng point A na nakahiga sa isang bilog na may diameter na D, na gumugulong nang hindi dumudulas sa isang guide circle ng radius R (internal tangency).

Ang pagtatayo ng isang hypocycloid ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Ang pagbuo ng bilog ng radius r at ang nagdidirekta na bilog ng radius R ay iginuhit upang magkadikit sila sa punto A;

Ang pagbuo ng bilog ay nahahati sa 12 pantay na bahagi, ang mga puntos 1, 2, ... 12 ay nakuha;

Mula sa sentro 0, gumuhit ng auxiliary arc na may radius na katumbas ng 000=R-r;

Ang gitnang anggulo a ay tinutukoy ng formula a =360r/R.

Hatiin ang arko ng bilog na gabay, na nililimitahan ng anggulo a, sa 12 pantay na bahagi, pagkuha ng mga puntos na 11, 21, ...121;

Mula sa sentro 0, ang mga tuwid na linya ay iginuhit sa mga punto 11, 21, ...121 hanggang sa magsalubong ang mga ito sa auxiliary arc sa mga puntos na 01, 02, ...012;

Mula sa center 0, ang mga auxiliary arc ay iginuhit sa pamamagitan ng division points 1, 2, ... 12 ng pagbuo ng bilog;

Mula sa mga puntos na 01, 02, ...012, tulad ng mula sa mga sentro, gumuhit ng mga bilog ng radius r hanggang sa mag-intersect sila sa mga auxiliary arc sa mga puntong A1, A2, ... A12, na nabibilang sa hypocycloid.

1. Cardioid.

Cardioid ( καρδία - puso, Ang cardioid ay isang espesyal na kaso. Ang terminong "cardioid" ay ipinakilala ni Castillon noong 1741.

Kung kukuha tayo ng isang bilog at isang punto dito bilang isang poste, makakakuha lamang tayo ng cardioid kung mag-plot tayo ng mga segment na katumbas ng diameter ng bilog. Para sa iba pang laki ng mga nakadeposito na segment, ang conchoids ay pahahaba o pinaikling cardioids. Ang mga pinahaba at pinaikling cardioid na ito ay tinatawag na Pascal's cochlea.

Ang Cardioid ay may iba't ibang mga aplikasyon sa teknolohiya. Ang mga hugis ng cardioid ay ginagamit upang gumawa ng mga sira-sira at cam para sa mga kotse. Minsan ginagamit ito kapag gumuhit ng mga gear. Bilang karagdagan, ginagamit ito sa optical technology.

Mga katangian ng isang cardioid

Cardioid -Ang B M sa isang gumagalaw na bilog ay maglalarawan ng isang saradong tilapon. Ang flat curve na ito ay tinatawag na cardioid.

2) Maaaring makuha ang cardioid sa ibang paraan. Markahan ang isang punto sa bilog TUNGKOL SA at gumuhit tayo ng isang sinag mula dito. Kung mula sa punto A intersection ng ray na ito sa isang bilog, mag-plot ng isang segment AM, ang haba ay katumbas ng diameter ng bilog, at ang ray ay umiikot sa paligid ng punto TUNGKOL SA, pagkatapos ay ituro M lilipat sa kahabaan ng cardioid.

3) Ang isang cardioid ay maaari ding ilarawan bilang isang curve tangent sa lahat ng mga bilog na may mga sentro sa isang partikular na bilog at dumadaan sa nakapirming punto nito. Kapag ang ilang mga bilog ay itinayo, ang cardioid ay lilitaw na itinayo na parang mismo.

4) Mayroon ding parehong eleganteng at hindi inaasahang paraan upang makita ang cardioid. Sa figure, makikita mo ang isang point source ng liwanag sa isang bilog. Matapos maipakita ang mga sinag ng liwanag sa unang pagkakataon mula sa bilog, naglalakbay sila ng tangent patungo sa cardioid. Isipin ngayon na ang bilog ay ang mga gilid ng isang tasa; ang isang maliwanag na bombilya ay makikita sa isang punto. Ang itim na kape ay ibinuhos sa tasa, na nagbibigay-daan sa iyo upang makita ang maliwanag na sinasalamin na sinag. Bilang resulta, ang cardioid ay na-highlight ng mga sinag ng liwanag.

1. Astroid.

Astroid (mula sa Greek astron - star at eidos - view), isang patag na kurba na inilarawan ng isang punto sa isang bilog na dumadampi mula sa loob ng isang nakapirming bilog na apat na beses ang radius at gumulong sa tabi nito nang hindi nadudulas. Nabibilang sa hypocycloids. Ang Astroid ay isang algebraic curve ng ika-6 na order.

Astroid.

Ang haba ng buong astroid ay katumbas ng anim na radii ng nakapirming bilog, at ang lugar na nililimitahan nito ay tatlong-ikawalo ng nakapirming bilog.

Ang tangent segment sa astroid, na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkaparehong patayo na radii ng nakapirming bilog na iginuhit sa mga dulo ng astroid, ay katumbas ng radius ng nakapirming bilog, anuman ang napiling punto.

Mga katangian ng astroid

Mayroong apatkaspa .

Haba ng arko mula sa punto 0 hanggang sa sobre

mga pamilya ng mga segment ng pare-pareho ang haba, ang mga dulo nito ay matatagpuan sa dalawang magkaparehong patayo na linya.

Ang Astroid ay ika-6 na order.

Mga equation ng Astroid

Equation sa Cartesian rectangular coordinates:| x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3parametric equation:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Paraan para sa pagbuo ng isang astroid

Gumuhit kami ng dalawang magkaparehong patayo na tuwid na linya at gumuhit ng isang serye ng mga segment ng habaR , na ang mga dulo ay nasa mga linyang ito. Ang figure ay nagpapakita ng 12 tulad na mga segment (kabilang ang mga segment ng magkaparehong patayo na mga tuwid na linya mismo). Kung mas maraming mga segment ang iginuhit natin, mas tumpak na makukuha natin ang curve. Buuin natin ngayon ang sobre ng lahat ng mga segment na ito. Ang sobreng ito ang magiging astroid.

1. Konklusyon

Ang gawain ay nagbibigay ng mga halimbawa ng mga problema sa iba't ibang uri ng mga kurba, na tinukoy ng iba't ibang mga equation o nagbibigay-kasiyahan sa ilang mathematical na kondisyon. Sa partikular, ang mga cycloidal curves, mga paraan ng pagtukoy sa kanila, iba't ibang paraan ng pagtatayo, mga katangian ng mga curve na ito.

Ang mga katangian ng cycloidal curves ay madalas na ginagamit sa mga mekanika sa mga gears, na makabuluhang pinatataas ang lakas ng mga bahagi sa mga mekanismo.