Napag-usapan ang ilang mahahalagang katangian ng mga problema sa computational, ibaling natin ang ating pansin sa mga pamamaraang iyon na ginagamit sa computational mathematics upang baguhin ang mga problema sa isang form na maginhawa para sa pagpapatupad sa isang computer at payagan ang pagbuo ng mga computational algorithm. Tatawagin natin ang mga pamamaraang ito na computational. Sa ilang antas ng kombensiyon, ang mga pamamaraan ng pagkalkula ay maaaring hatiin sa mga sumusunod na klase: 1) mga pamamaraan ng katumbas na pagbabago; 2)

mga pamamaraan ng pagtatantya; 3) direktang (eksaktong) pamamaraan; 4) umuulit na pamamaraan; 5) mga pamamaraan ng pagsusuri sa istatistika (mga pamamaraan ng Monte Carlo). Ang isang pamamaraan na kinakalkula ang isang solusyon sa isang tiyak na problema ay maaaring magkaroon ng isang medyo kumplikadong istraktura, ngunit ang mga pangunahing hakbang nito ay, bilang isang panuntunan, ang pagpapatupad ng mga tinukoy na pamamaraan. Magbigay tayo ng pangkalahatang ideya tungkol sa kanila.

1. Mga paraan ng katumbas na pagbabago.

Nagbibigay-daan sa iyo ang mga pamamaraang ito na palitan ang orihinal na problema ng isa pang may parehong solusyon. Ang pagsasagawa ng mga katumbas na pagbabago ay lumalabas na kapaki-pakinabang kung ang bagong problema ay mas simple kaysa sa orihinal o may mas mahusay na mga katangian, o mayroong isang kilalang paraan ng solusyon para dito, o marahil ay isang handa na programa.

Halimbawa 3.13. Ang katumbas na pagbabago ng quadratic equation upang mabuo (pagpili ng kumpletong parisukat) ay binabawasan ang problema sa problema ng pagkalkula ng square root at humahantong sa mga formula (3.2) na kilala sa mga ugat nito.

Ang mga katumbas na pagbabagong-anyo kung minsan ay ginagawang posible na bawasan ang solusyon ng orihinal na problema sa computational sa solusyon ng isang computational na problema ng isang ganap na naiibang uri.

Halimbawa 3.14. Ang problema sa paghahanap ng ugat ng isang nonlinear equation ay maaaring bawasan sa katumbas na problema ng paghahanap ng pandaigdigang minimum na punto ng function. Sa katunayan, ang function ay hindi negatibo at umabot sa isang minimum na halaga na katumbas ng zero para sa mga iyon at sa mga x lamang kung saan

2. Mga pamamaraan ng approximation.

Ginagawang posible ng mga pamamaraang ito na tantiyahin (tinatayang) ang orihinal na problema sa isa pa, ang solusyon nito ay sa isang tiyak na kahulugan na malapit sa solusyon ng orihinal na problema. Ang error na nagmumula sa naturang kapalit ay tinatawag na error sa approximation. Bilang isang patakaran, ang isang problema sa pagtatantya ay naglalaman ng ilang mga parameter na nagbibigay-daan sa iyong ayusin ang laki ng error sa pagtatantya o makaimpluwensya sa iba pang mga katangian ng problema. Nakaugalian na sabihin na ang isang paraan ng pagtatantya ay nagtatagpo kung ang error sa pagtatantya ay nagiging zero dahil ang mga parameter ng pamamaraan ay may posibilidad sa isang tiyak na halaga ng paglilimita.

Halimbawa 3.15. Isa sa mga pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang integral ay ang pagtatantya ng integral batay sa formula para sa mga parihaba ng laki

Ang hakbang ay isang parameter ng pamamaraan dito. Dahil ito ay isang espesyal na itinayong integral sum, ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang tiyak na integral na kapag ang rectangle method ay nagtatagpo,

Halimbawa 3.16. Isinasaalang-alang ang kahulugan ng derivative ng isang function, para sa tinatayang pagkalkula nito, maaari mong gamitin ang formula Ang tinatayang error ng numerical differentiation formula na ito ay nagiging zero kapag

Ang isa sa mga karaniwang paraan ng pagtatantya ay ang discretization - isang tinatayang kapalit ng orihinal na problema ng isang may hangganan na dimensyon na problema, i.e. isang problema kung saan ang data ng input at nais na solusyon ay maaaring natatanging tukuyin ng isang may hangganan na hanay ng mga numero. Para sa mga problemang hindi finite-dimensional, ang hakbang na ito ay kinakailangan para sa kasunod na pagpapatupad sa isang computer, dahil ang isang computer ay magagawang gumana lamang sa isang may hangganang bilang ng mga numero. Sa Mga Halimbawa 3.15 at 3.16 sa itaas, ginamit ang sampling. Kahit na ang eksaktong pagkalkula ng integral ay nagsasangkot ng paggamit ng isang walang katapusang bilang ng mga halaga (para sa lahat, ang tinatayang halaga nito ay maaaring kalkulahin gamit ang isang may hangganan na bilang ng mga halaga sa mga punto a). ang eksaktong solusyon kung saan ay nagsasangkot ng pagpapatakbo ng pagpasa sa limitasyon sa (at samakatuwid, ang paggamit ng isang walang katapusang bilang ng mga halaga ng function ay bumababa sa isang tinatayang pagkalkula ng derivative na may paggalang sa dalawang halaga ng function.

Kapag nilulutas ang mga nonlinear na problema, ang iba't ibang mga pamamaraan ng linearization ay malawakang ginagamit, na binubuo sa tinatayang pagpapalit ng orihinal na problema sa mas simpleng mga linear na problema. Halimbawa 3.17. Hayaang kinakailangan na humigit-kumulang kalkulahin ang halaga para sa isang computer na may kakayahang magsagawa ng mga simpleng operasyon ng aritmetika. Tandaan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang x ay isang positibong ugat ng isang hindi linear na equation Hayaang magkaroon ng ilang kilalang approximation upang Palitan natin ang parabola ng isang tuwid na linya na isang padaplis na iginuhit dito sa.

punto sa abscissa Ang punto ng intersection ng tangent na ito sa axis ay nagbibigay ng isang mas mahusay na approximation at matatagpuan mula sa isang linear equation

Halimbawa, kung kukuha ka, makakakuha ka ng isang pinong halaga

Kapag nilulutas ang iba't ibang klase ng mga problema sa computational, maaaring gumamit ng iba't ibang pamamaraan ng approximation; Kabilang dito ang mga pamamaraan para sa regularisasyon ng solusyon sa mga hindi magandang problema. Tandaan na ang mga paraan ng regularisasyon ay malawakang ginagamit upang malutas ang mga problemang hindi nakakondisyon.

3. Mga direktang pamamaraan.

Ang isang paraan para sa paglutas ng isang problema ay tinatawag na direkta kung ito ay nagpapahintulot sa isa na makakuha ng isang solusyon pagkatapos magsagawa ng isang may hangganang bilang ng mga elementarya na operasyon.

Halimbawa 3.18. Ang paraan ng pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang mga formula ay isang direktang paraan. Ang apat na aritmetika na operasyon at ang square root na operasyon ay itinuturing na elementarya dito.

Tandaan na ang isang elementarya na operasyon ng direktang pamamaraan ay maaaring medyo kumplikado (pagkalkula ng mga halaga ng isang elementarya o espesyal na pag-andar, paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, pagkalkula ng isang tiyak na integral, atbp.). Ang katotohanan na ito ay tinatanggap bilang elementarya ay nagpapahiwatig, sa anumang kaso, na ang pagpapatupad nito ay makabuluhang mas simple kaysa sa pagkalkula ng solusyon sa buong problema.

Kapag gumagawa ng mga direktang pamamaraan, ang malaking pansin ay binabayaran sa pagliit ng bilang ng mga elementarya na operasyon.

Halimbawa 3.19 (Horner diagram). Hayaan ang problema ay upang kalkulahin ang halaga ng isang polynomial

ayon sa ibinigay na mga coefficient at ang halaga ng argumento x. Kung direktang kalkulahin mo ang polynomial gamit ang formula (3.12), at hahanapin ito sa pamamagitan ng sequential multiplication sa x, kakailanganin mong magsagawa ng multiplication at addition operations.

Ang isang mas matipid na paraan ng pagkalkula ay tinatawag na Horner scheme. Ito ay batay sa pagsulat ng polynomial sa sumusunod na katumbas na anyo:

Ang paglalagay ng mga panaklong ay nagdidikta ng sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon: Dito, ang pagkalkula ng kinakailangang halaga ay gumaganap lamang ng pagpaparami at pagdaragdag.

Ang pamamaraan ni Horner ay kawili-wili dahil nagbibigay ito ng isang halimbawa ng isang pamamaraan na pinakamainam sa mga tuntunin ng bilang ng mga elementarya na operasyon. Sa pangkalahatan, ang isang halaga ay hindi maaaring makuha sa pamamagitan ng anumang paraan bilang resulta ng pagsasagawa ng mas kaunting pagpaparami at pagdaragdag ng mga operasyon.

Kung minsan ang mga direktang pamamaraan ay tinatawag na eksakto, ibig sabihin ay kung walang mga error sa data ng pag-input at kung ang elementarya ay isinasagawa nang tumpak, ang resulta ay magiging tumpak din. Gayunpaman, kapag ipinatupad ang pamamaraan sa isang computer, ang hitsura ng isang computational error ay hindi maiiwasan, ang magnitude nito ay nakasalalay sa sensitivity ng pamamaraan sa mga error sa pag-ikot. Maraming mga direktang (eksaktong) pamamaraan na binuo sa panahon ng pre-machine ay naging hindi angkop para sa mga kalkulasyon ng makina nang tumpak dahil sa labis na sensitivity sa mga error sa pag-ikot. Hindi lahat ng eksaktong pamamaraan ay ganito, ngunit nararapat na tandaan na ang hindi ganap na matagumpay na terminong "eksakto" ay nagpapakilala sa mga katangian ng perpektong pagpapatupad ng pamamaraan, ngunit hindi ang kalidad ng resulta na nakuha mula sa mga tunay na kalkulasyon.

4. Paulit-ulit na pamamaraan.

Ito ay mga espesyal na pamamaraan para sa pagbuo ng sunud-sunod na pagtatantya sa paglutas ng isang problema. Ang aplikasyon ng pamamaraan ay nagsisimula sa pagpili ng isa o ilang mga paunang pagtatantya. Upang makuha ang bawat isa sa mga kasunod na pagtatantya, ang isang katulad na hanay ng mga aksyon ay isinasagawa gamit ang naunang natagpuang mga pagtatantya - pag-ulit. Ang walang limitasyong pagpapatuloy ng umuulit na prosesong ito ayon sa teorya ay nagbibigay-daan sa amin na bumuo ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga pagtatantya sa solusyon

pagkakasunud-sunod ng pag-ulit. Kung ang pagkakasunud-sunod na ito ay nagtatagpo sa isang solusyon sa problema, ang umuulit na pamamaraan ay sinasabing nagtatagpo. Ang hanay ng mga paunang pagtatantya kung saan nagtatagpo ang pamamaraan ay tinatawag na rehiyon ng tagpo ng pamamaraan.

Tandaan na ang mga umuulit na pamamaraan ay malawakang ginagamit sa paglutas ng malawak na iba't ibang mga problema gamit ang mga computer.

Halimbawa 3.20. Isaalang-alang natin ang kilalang umuulit na pamamaraan na idinisenyo upang kalkulahin (kung saan ang pamamaraan ni Newton. Magtakda tayo ng isang arbitrary na paunang pagtatantya. Kinakalkula natin ang susunod na pagtatantya gamit ang pormula na hinango gamit ang paraan ng linearization sa halimbawa 3.17 (tingnan ang formula (3.11)). Pagpapatuloy ng prosesong ito higit pa, nakakakuha kami ng isang umuulit na pagkakasunud-sunod kung saan ang susunod na pagtatantya ay kinakalkula gamit ang paulit-ulit na formula

Alam na ang pamamaraang ito ay nagtatagpo sa anumang paunang pagtataya, kaya ang convergence region nito ay ang set ng lahat ng positibong numero.

Gamitin natin ito upang kalkulahin ang halaga sa isang -bit na decimal na computer. Itakda natin (tulad ng sa halimbawa 3.17). Kung gayon ang mga karagdagang kalkulasyon ay walang kabuluhan, dahil dahil sa limitadong katangian ng bit grid, lahat ng kasunod na mga pagpipino ay magbibigay ng parehong resulta. Gayunpaman, ang paghahambing sa eksaktong halaga ay nagpapakita na sa ikatlong pag-ulit 6 na tamang makabuluhang numero ang nakuha.

Gamit ang pamamaraan ni Newton bilang isang halimbawa, tatalakayin natin ang ilang karaniwang mga problema para sa umuulit na mga pamamaraan (at hindi lamang para sa kanila). Ang mga umuulit na pamamaraan ay likas na tinatayang; wala sa mga nagresultang pagtatantya ang eksaktong halaga ng solusyon. Gayunpaman, ang convergent na paraan ng pag-ulit ay ginagawang posible sa prinsipyo na makahanap ng solusyon sa anumang naibigay na katumpakan Samakatuwid, kapag ginagamit ang umuulit na paraan, ang kinakailangang katumpakan ay palaging tinukoy at ang umuulit na proseso ay nagambala sa sandaling ito ay nakamit.

Bagaman ang katotohanan na ang pamamaraan ay nagtatagpo ay tiyak na mahalaga, hindi sapat na irekomenda ang pamamaraan para sa paggamit sa pagsasanay. Kung ang pamamaraan ay nagtatagpo nang napakabagal (halimbawa, upang makakuha ng isang solusyon na may katumpakan na 1% kailangan mong gawin ang mga pag-ulit), kung gayon ito ay hindi angkop para sa mga kalkulasyon ng computer. Ang mga mabilis na convergent na pamamaraan, na kinabibilangan ng pamamaraan ni Newton, ay may praktikal na halaga (tandaan na ang katumpakan ng pagkalkula ay nakamit sa tatlong pag-ulit lamang). Upang theoretically pag-aralan ang rate ng convergence at ang mga kondisyon ng applicability ng umuulit pamamaraan, tinatawag na priori error pagtatantya ay nagmula, na ginagawang posible upang magbigay ng ilang konklusyon tungkol sa kalidad ng pamamaraan kahit na bago ang mga kalkulasyon.

Ipakita natin ang dalawang tulad ng isang priori na pagtatantya para sa pamamaraan ni Newton. Ipaalam ito na para sa lahat at ang mga pagkakamali ng dalawang magkasunod na pagtatantya ay nauugnay sa sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Narito ang isang halaga na nagpapakita ng kamag-anak na error ng approximation. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahiwatig ng napakataas na quadratic rate ng convergence ng pamamaraan: sa bawat pag-ulit, ang "error" ay naka-squad. Kung ipahayag natin ito sa pamamagitan ng pagkakamali ng paunang pagtatantya, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

mula sa kung saan ay ang papel na ginagampanan ng isang mahusay na pagpili ng paunang approximation. Kung mas maliit ang halaga, mas mabilis na magtatagpo ang pamamaraan.

Ang praktikal na pagpapatupad ng mga umuulit na pamamaraan ay palaging nauugnay sa pangangailangan na pumili ng isang pamantayan para sa pagtatapos ng umuulit na proseso. Ang mga pagkalkula ay hindi maaaring magpatuloy nang walang hanggan at dapat na maantala alinsunod sa ilang pamantayang nauugnay, halimbawa, sa pagkamit ng isang ibinigay na katumpakan. Ang paggamit ng isang priori na pagtatantya para sa layuning ito ay kadalasang nagiging imposible o hindi epektibo. Bagama't may husay na wastong paglalarawan sa pag-uugali ng pamamaraan, ang mga naturang pagtatantya ay labis na tinantya at nagbibigay ng napaka hindi mapagkakatiwalaang dami ng impormasyon. Kadalasan ang isang priori na pagtatantya ay naglalaman ng mga hindi alam

dami (halimbawa, ang mga pagtatantya (3.14), (3.15) ay naglalaman ng dami a), o nagpapahiwatig ng pagkakaroon at seryosong paggamit ng ilang karagdagang impormasyon tungkol sa solusyon. Kadalasan, ang naturang impormasyon ay hindi magagamit, at ang pagkuha nito ay nauugnay sa pangangailangan upang malutas ang mga karagdagang problema, kadalasang mas kumplikado kaysa sa orihinal.

Upang makabuo ng isang pamantayan sa pagwawakas sa pagkamit ng isang naibigay na katumpakan, bilang isang panuntunan, ang tinatawag na posterior error na mga pagtatantya ay ginagamit - mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang magnitude ng error ay tinatantya sa pamamagitan ng mga halaga na kilala o nakuha sa panahon ng proseso ng computational. Bagama't hindi magagamit ang mga naturang pagtatantya bago magsimula ang mga kalkulasyon, nagbibigay sila ng konkretong dami ng kawalan ng katiyakan sa panahon ng proseso ng pagkalkula.

Halimbawa, para sa pamamaraan ni Newton (3.13) ang sumusunod na pagtatantya sa posterior ay wasto:

Gumamit si S. Ulam ng mga random na numero upang gayahin ng computer ang pag-uugali ng mga neutron sa isang nuclear reactor. Ang mga pamamaraang ito ay maaaring maging lubhang kailangan kapag nagmomodelo ng malalaking sistema, ngunit ang kanilang detalyadong presentasyon ay nagsasangkot ng makabuluhang paggamit ng kagamitan ng probability theory at mathematical statistics at lampas sa saklaw ng aklat na ito.

Mga Determinant

Ang konsepto ng isang determinant

Anumang parisukat na matrix ng nth order ay maaaring iugnay sa isang numero na tinatawag pantukoy (determinant) matrix A at tinutukoy bilang mga sumusunod: , o , o det A.

Determinant ng isang first order matrix, o first-order determinant, ang elemento

Determinant ng pangalawang order(ang determinant ng isang second-order matrix) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

kanin. Scheme para sa pagkalkula ng second-order determinant

Kaya, ang pangalawang-order na determinant ay ang kabuuan 2=2! mga termino, ang bawat isa ay produkto ng 2 salik - mga elemento ng matrix A, isa mula sa bawat hilera at bawat hanay. Ang isa sa mga termino ay kinuha gamit ang isang "+" na palatandaan, ang isa ay may isang "-" na tanda.

Hanapin ang determinant

Ang third-order determinant (third-order determinant ng isang square matrix) ay ibinibigay ng:

Kaya, ang third-order determinant ay ang sum 6=3! mga termino, ang bawat isa ay produkto ng 3 mga kadahilanan - mga elemento ng matrix A, isa mula sa bawat hilera at bawat haligi. Ang kalahati ng mga termino ay kinuha gamit ang "+" sign, ang isa pang kalahati ay may "-" sign.

Ang pangunahing paraan para sa pagkalkula ng third-order determinant ay ang tinatawag na tuntuning tatsulok (Sarrus's rule): ang una sa tatlong termino na kasama sa kabuuan na may "+" sign ay ang produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal, ang pangalawa at pangatlo ay ang mga produkto ng mga elemento na matatagpuan sa vertices ng dalawang triangles na may mga base parallel sa pangunahing dayagonal; ang tatlong terminong kasama sa kabuuan na may "-" na senyas ay parehong tinukoy, ngunit nauugnay sa pangalawang (gilid) na dayagonal. Nasa ibaba ang 2 scheme para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order

b)

kanin. Mga scheme para sa pagkalkula ng 3rd order determinants

Hanapin ang determinant:

Ang determinant ng isang square matrix ng nth order (n 4) ay kinakalkula gamit ang mga katangian ng mga determinant.

Mga pangunahing katangian ng mga determinant. Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant

Ang mga determinant ng matrix ay may mga sumusunod na pangunahing katangian:

1. Hindi nagbabago ang determinant kapag nailipat ang matrix.

2. Kung ang dalawang row (o column) ay pinagpalit sa determinant, ang determinant ay magbabago ng sign.

3. Ang determinant na may dalawang proporsyonal (sa partikular, pantay) na mga hilera (column) ay katumbas ng zero.

4. Kung ang isang row (column) sa isang determinant ay binubuo ng mga zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

5. Ang karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang row (o column) ay maaaring alisin sa determinant sign.

6. Hindi magbabago ang determinant kung sa lahat ng elemento ng isang row (o column) ay idaragdag namin ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (o column), na pinarami ng parehong numero.

7. Ang determinant ng dayagonal at triangular (itaas at ibaba) matrice ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng dayagonal.

8. Ang determinant ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng kanilang mga determinants.

Mga patnubay para sa mga mag-aaral sa 1st year

Bazey Alexander Anatolievich

Odessa 2008

PANITIKAN

1 Hemming R.V. Numerical na pamamaraan para sa mga siyentipiko at inhinyero. – M.: Nauka, 1968. – 400 p.

2 Blazhko S.N. Kurso ng spherical astronomy. – Moscow, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 p.

3 Shchigolev B.M. Pagproseso ng matematika ng mga obserbasyon. – M.: Nauka, 1969. – 344 p.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Mga pamamaraan ng pagkalkula. – M.: Nauka, 1977. tomo I, tomo II – 400 p.

5 Hudson D. Mga istatistika para sa mga pisiko. – M.: Mir, 1967. – 244 p.

6.Berman G.N. Mga diskarte sa accounting. – Moscow, 1953. – 88 p.

7.Rumshinsky L.Z. Pagproseso ng matematika ng mga resultang pang-eksperimento. – Moscow, Nauka 1971. – 192 p.

8. Kalitkin N.N. Numerical na pamamaraan. – Moscow, Nauka 1978. – 512 p.

9. Filchakov P.F. Numerical at graphical na pamamaraan ng inilapat na matematika. – Kyiv, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 p.

10. Fikhtengolts G.M. Kurso ng differential at integral calculus, vol.1-3. – Moscow, Nauka 1966.

Tinatayang mga kalkulasyon 2

Tungkol sa pagpaplano

Nagpapakinis 10

Pagtataya 12

Pagtuwid (linearization) 13

Pinakamababang parisukat na pamamaraan 15

Interpolation 24

Lagrange interpolation polynomial 26

Ang natitirang termino ng Lagrange formula 29

Newton's interpolation polynomial para sa isang table na may variable na hakbang na 30

Interpolation mula sa isang table na may pare-parehong hakbang na 34

Interpolation polynomials ng Stirling, Bessel, Newton 37

Interpolating mula sa isang function table ng dalawang argumento 42

Pagkita ng kaibhan ayon sa talahanayan 44

Numerical na solusyon ng mga equation 46

Dichotomy (paraan ng bisection) 46

Simpleng paraan ng pag-ulit 47

Paraan ng Newton 50

Paghahanap ng minimum ng isang function ng isang variable 51

Paraan ng gintong ratio 51

Paraan ng parabola 54

Pagkalkula ng tiyak na integral 56

Trapezoid formula 59

Formula ng mga average o formula ng mga parihaba 61

Ang formula 62 ni Simpson

Paglutas ng mga ordinaryong differential equation. Cauchy na problema 64

Klasikong pamamaraan ng Euler 66

Pinong pamamaraan ng Euler 67

Paraan ng pagtataya at pagwawasto 69

Mga pamamaraan ng Runge-Kutta 71

Harmonic na pagsusuri 74

Orthogonal function system 78

Paraan 12 ordinates 79

TINATAYANG PAGKUKULANG

Lutasin natin ang isang simpleng problema. Sabihin nating nakatira ang isang estudyante sa layong 1247 m mula sa istasyon. Aalis ang tren sa 17:38. Gaano katagal bago umalis ang tren dapat umalis ang isang estudyante sa bahay kung ang kanyang average na bilis ay 6 km/h?

Nakukuha namin kaagad ang solusyon:

.

Gayunpaman, hindi malamang na kahit sino ay aktwal na gagamit ng mathematically tumpak na solusyon na ito, at narito kung bakit. Ang mga kalkulasyon ay ganap na tumpak, ngunit ang distansya sa istasyon ay nasusukat nang tumpak? Posible bang sukatin ang landas ng isang pedestrian nang hindi nagkakamali? Maaari bang maglakad ang isang pedestrian sa isang mahigpit na tinukoy na linya sa isang lungsod na puno ng mga tao at mga sasakyan na gumagalaw sa lahat ng uri ng direksyon? At ang bilis ng 6 km / h - natutukoy ba ito nang tumpak? At iba pa.

Ito ay lubos na malinaw na ang lahat ay magbibigay ng kagustuhan sa kasong ito hindi sa isang "mathematically exact" ngunit sa isang "praktikal" na solusyon sa problemang ito, iyon ay, tinatantya nila na ang paglalakad ay aabutin ng 12-15 minuto at magdagdag ng ilang higit pa. minuto para makasigurado.

Bakit, kung gayon, kalkulahin ang mga segundo at ang kanilang mga fraction at nagsusumikap para sa isang antas ng katumpakan na hindi magagamit sa pagsasanay?

Ang matematika ay isang eksaktong agham, ngunit ang konsepto ng "katumpakan" mismo ay nangangailangan ng paglilinaw. Upang gawin ito, dapat tayong magsimula sa konsepto ng numero, dahil ang katumpakan ng mga resulta ng pagkalkula ay higit sa lahat ay nakasalalay sa katumpakan ng mga numero at ang pagiging maaasahan ng paunang data.

Mayroong tatlong mga mapagkukunan para sa pagkuha ng mga numero: pagbibilang, pagsukat at pagsasagawa ng iba't ibang mga pagpapatakbo ng matematika

Kung ang bilang ng mga item na bibilangin ay maliit at kung ito ay pare-pareho sa paglipas ng panahon, pagkatapos ay makakakuha tayo ganap na tumpak resulta. Halimbawa, mayroong 5 daliri sa isang kamay, at mayroong 300 bearings sa isang kahon. Iba ang sitwasyon kapag sinabi nila: sa Odessa noong 1979 mayroong 1,000,000 na naninirahan. Pagkatapos ng lahat, ang mga tao ay ipinanganak at namamatay, dumating at umalis; ang kanilang numero ay nagbabago sa lahat ng oras, kahit na sa tagal ng panahon kung kailan ang bilang ay nakumpleto. Kaya ang talagang ibig nating sabihin ay mayroong humigit-kumulang 1,000,000 na naninirahan, marahil 999,125, o 1,001,263, o iba pang bilang na malapit sa 1,000,000 Sa kasong ito, 1,000,000 ang nagbibigay tinatayang bilang ng mga residente ng lungsod.

Ang anumang pagsukat ay hindi maaaring ganap na tumpak. Ang bawat aparato ay nagbibigay ng ilang uri ng error. Bilang karagdagan, ang dalawang tagamasid na sumusukat sa parehong dami na may parehong instrumento ay karaniwang nakakakuha ng bahagyang magkaibang mga resulta;

Kahit na ang isang simpleng aparato sa pagsukat bilang isang ruler ay may "error sa device" - ang mga gilid at eroplano ng ruler ay medyo naiiba mula sa perpektong tuwid na mga linya at eroplano, ang mga stroke sa ruler ay hindi maaaring mailapat sa ganap na pantay na mga distansya, at ang mga stroke mismo magkaroon ng isang tiyak na kapal; kaya kapag ang pagsukat ay hindi tayo makakakuha ng mga resulta na mas tumpak kaysa sa kapal ng mga stroke.

Kung sinukat mo ang haba ng talahanayan at nakatanggap ng isang halaga na 1360.5 mm, hindi ito nangangahulugan na ang haba ng talahanayan ay eksaktong 1360.5 mm - kung ang talahanayang ito ay sumusukat ng isa pa o inuulit mo ang pagsukat, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang halaga ng parehong 1360.4 mm at 1360.6 mm. Ang bilang na 1360.5 mm ay nagpapahayag ng haba ng talahanayan humigit-kumulang.

Hindi lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika ay maaaring isagawa nang walang mga error. Hindi laging posible na kunin ang ugat, hanapin ang sine o logarithm, kahit na hatiin nang may ganap na katumpakan.

Ang lahat ng mga sukat nang walang pagbubukod ay humahantong sa tinatayang mga halaga ng mga sinusukat na dami. Sa ilang mga kaso, ang mga pagsukat ay isinasagawa nang halos, pagkatapos ay ang mga malalaking error ay nakuha na may maingat na mga sukat, ang mga error ay mas maliit. Ang ganap na katumpakan sa mga sukat ay hindi kailanman nakakamit.

Isaalang-alang natin ngayon ang pangalawang bahagi ng tanong. Kailangan ba ang ganap na katumpakan sa pagsasanay at anong halaga ang tinatayang resulta?

Kapag kinakalkula ang isang linya ng kuryente o gas pipeline, walang sinuman ang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga suporta na may katumpakan ng isang milimetro o ang diameter ng isang tubo na may katumpakan ng isang micron. Sa teknolohiya at konstruksiyon, ang bawat bahagi o istraktura ay maaaring gawin lamang sa loob ng isang tiyak na katumpakan, na tinutukoy ng tinatawag na tolerances. Ang mga pagpapaubaya na ito ay mula sa mga bahagi ng isang micron hanggang millimeters at centimeters, depende sa materyal, sukat at layunin ng bahagi o istraktura. Samakatuwid, upang matukoy ang mga sukat ng isang bahagi, walang saysay na magsagawa ng mga kalkulasyon na may katumpakan na mas malaki kaysa sa kinakailangan.

1) Ang paunang data para sa mga kalkulasyon, bilang panuntunan, ay may mga error, iyon ay, ang mga ito ay tinatayang;

2) Ang mga error na ito, madalas na tumaas, ay napupunta sa mga resulta ng pagkalkula. Ngunit ang pagsasanay ay hindi nangangailangan ng tumpak na data, ngunit kuntento sa mga resulta na may ilang katanggap-tanggap na mga error, ang laki nito ay dapat na paunang natukoy.

3) Posible upang matiyak ang kinakailangang katumpakan ng resulta lamang kapag ang pinagmulan ng data ay sapat na tumpak at kapag ang lahat ng mga error na ipinakilala ng mga kalkulasyon mismo ay isinasaalang-alang.

4) Ang mga kalkulasyon na may tinatayang mga numero ay dapat isagawa nang humigit-kumulang, sinusubukan na makamit ang pinakamababang paggasta ng paggawa at oras kapag nilutas ang problema.

Karaniwan, sa mga teknikal na kalkulasyon, ang mga pinahihintulutang error ay mula sa 0.1 hanggang 5%, ngunit sa mga bagay na pang-agham maaari silang bawasan sa ikasampu ng isang porsyento. Halimbawa, kapag inilunsad ang unang artipisyal na satellite ng Buwan (Marso 31, 1966), ang bilis ng paglunsad na humigit-kumulang 11,200 m/sec ay kailangang tiyakin na may katumpakan ng ilang sentimetro bawat segundo upang ang satellite ay makapasok sa isang circumlunar sa halip. kaysa sa isang circumsolar orbit.

Tandaan, bilang karagdagan, na ang mga tuntunin ng aritmetika ay hinango sa ilalim ng pagpapalagay na ang lahat ng mga numero ay eksakto. Samakatuwid, kung ang mga kalkulasyon na may humigit-kumulang na mga numero ay isinagawa tulad ng mga eksaktong, kung gayon ang isang mapanganib at nakakapinsalang impresyon ng katumpakan ay nilikha kung saan sa katotohanan ay wala. Ang tunay na pang-agham, at, sa partikular, ang katumpakan ng matematika ay tiyak na binubuo sa pagturo ng pagkakaroon ng halos palaging hindi maiiwasang mga pagkakamali at pagtukoy sa kanilang mga limitasyon.

Batay sa mga konsepto ng mga determinant ng pangalawa at pangatlong order, maaari nating ipakilala ang konsepto ng isang determinant ng order. n. Ang mga determinant ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo ay kinakalkula, bilang panuntunan, gamit ang mga katangian ng mga determinant na binabalangkas sa talata 1.3., na may bisa para sa mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod.

Gamit ang property ng mga determinant number 9 0, ipinakilala namin ang kahulugan ng 4th order determinant:

Halimbawa 2. Kalkulahin gamit ang angkop na pagpapalawak.

Katulad nito, ipinakilala ang konsepto ng determinant ng ika-5, ika-6, atbp. utos. Kaya ang determinant ng order n:

.

Ang lahat ng mga katangian ng mga determinant ng ika-2 at ika-3 na order, na tinalakay kanina, ay may bisa din para sa mga determinant ng ika-10 order.

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant n-ika-utos.

Komento: Bago ilapat ang pamamaraang ito, ito ay kapaki-pakinabang, gamit ang mga pangunahing katangian ng mga determinant, upang maging zero ang lahat maliban sa isa sa mga elemento ng isang tiyak na hilera o haligi. (Mahusay na paraan ng pagbabawas ng order)

Paraan ng pagbabawas sa anyo ng tatsulok ay binubuo sa naturang pagbabago ng determinant kapag ang lahat ng mga elemento nito na nakahiga sa isang bahagi ng pangunahing dayagonal ay naging katumbas ng zero. Sa kasong ito, ang determinant ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal nito.

Halimbawa 3. Kalkulahin sa pamamagitan ng pagbawas sa triangular na anyo.

Halimbawa 4. Kalkulahin gamit ang epektibong paraan ng pagbabawas ng order

.

Solusyon: ayon sa pag-aari ng 4 0 determinants, aalisin natin ang factor 10 mula sa unang hilera, at pagkatapos ay sunud-sunod nating i-multiply ang pangalawang hilera ng 2, ng 2, ng 1 at idagdag ito sa una, ikatlo at ikaapat. mga hilera, ayon sa pagkakabanggit (property 8 0).

.

Ang resultang determinant ay maaaring palawakin sa mga elemento ng unang column. Ito ay mababawasan sa isang third-order determinant, na kinakalkula gamit ang Sarrus (tatsulok) na panuntunan.

Halimbawa 5. Kalkulahin ang determinant sa pamamagitan ng pagbabawas nito sa triangular form.

.

Halimbawa 3. Kalkulahin gamit ang mga recurrence relations.

.

.

Lecture 4. Inverse matrix. Ranggo ng matrix.

1. Ang konsepto ng isang inverse matrix

Kahulugan 1. Square matrix A ng order n ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang determinant nito | A| ≠ 0. Sa kaso kung kailan | A| = 0, ang matrix A ay tinatawag mabulok.

Para lamang sa square non-singular matrices A ang konsepto ng isang inverse matrix A -1 na ipinakilala.

Kahulugan 2 . Ang Matrix A -1 ay tinatawag reverse para sa isang square non-singular matrix A, kung A -1 A = AA -1 = E, kung saan ang E ay ang unit matrix ng order n.

Kahulugan 3 . Matrix tinawag nakadugtong ang mga elemento nito ay algebraic complements transposed matrix
.

Algorithm para sa pagkalkula ng inverse matrix gamit ang adjoint matrix method.

, Saan
.

Sinusuri namin ang kawastuhan ng pagkalkula A -1 A = AA -1 = E. (E ang identity matrix)

Matrices A at A -1 kapalit. Kung | A| = 0, kung gayon ang inverse matrix ay hindi umiiral.

Halimbawa 1. Given a matrix A. Siguraduhin na ito ay non-singular at hanapin ang inverse matrix
.

Solusyon:
. Samakatuwid ang matrix ay hindi isahan.

Hanapin natin ang inverse matrix. Bumuo tayo ng mga algebraic complement ng mga elemento ng matrix A.

Nakukuha namin

.

Pagtatanghal ng parehong paunang data sa problema at solusyon nito - bilang isang numero o hanay ng mga numero

Ito ay isang mahalagang bahagi sa sistema ng pagsasanay sa mga inhinyero ng mga teknikal na specialty.

Ang batayan para sa mga pamamaraan ng pagkalkula ay:

• paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
• interpolation at pagkalkula ng tinatayang function
• numerical solution ng ordinaryong differential equation
• numerical solution ng partial differential equation (equation ng mathematical physics)
• paglutas ng mga problema sa pag-optimize

Tingnan din

Mga Tala

Panitikan

• Kalitkin N. N. Numerical na pamamaraan. M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N. V. "Mga pamamaraan ng computational para sa mga inhinyero", 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, ed. Mundo, 1991, 504 pp.
• E. Alekseev "Paglutas ng mga problema ng computational mathematics sa Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9" na mga pakete, 2006, 496 na mga pahina.
• Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. "Mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problemang may problema" (1990)
• Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Mga hindi magandang naidulot na mga problema. Numerical Methods and Applications, ed. Moscow University Publishing House, 1989
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Mga kalkulasyon sa quasi-uniform grids. Moscow, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 pp.
• Yu. Ryzhikov "Mga Paraan ng Pagkalkula" ed. BHV, 2007, 400 pp., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods sa Applied Mathematics, International Journal, ISSN 1609-4840

Mga link

• Pang-agham na journal "Mga pamamaraan sa pagkalkula at programming. Mga bagong teknolohiya sa pag-compute"

Wikimedia Foundation. 2010.

• Computational mathematics at mathematical physics
• Computational pipeline

Tingnan kung ano ang "Computational method" sa ibang mga diksyunaryo:

Mga pamamaraan ng electroanalytical chemistry- Mga Nilalaman 1 Paraan ng electroanalytical chemistry 2 Panimula 3 Teoretikal na bahagi ... Wikipedia

Mga Paraan ng Digital Signal Coding- Ang artikulong ito ay walang mga link sa mga mapagkukunan ng impormasyon. Dapat na ma-verify ang impormasyon, kung hindi, maaari itong tanungin at tanggalin. Maaari mong... Wikipedia

GAS DYNAMICS NUMERICAL METHODS- mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa gas dynamics batay sa mga computational algorithm. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing aspeto ng teorya ng mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dynamics ng gas, pagsulat ng mga equation ng dynamics ng gas sa anyo ng mga batas sa konserbasyon sa inertial... ... Mathematical Encyclopedia

MGA PARAAN NG PAGSASAGAWA- mga pamamaraan para sa paglutas ng kinetics. neutron (o ibang particle) transport equation na nagbabago sa diffusion approximation equation. Dahil ang diffusion approximation ay nagbibigay ng tamang anyo ng asymptotic equation. paglutas ng transport equation (malayo sa mga pinagmumulan at... ... Mathematical Encyclopedia

GULISH FUNCTIONS MINIMIZATION PARAAN- numerical na pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamaliit na function ng maraming variable. Hayaang maibigay ang isang function, na naka-bound mula sa ibaba, dalawang beses na patuloy na naiba-iba patungkol sa mga argumento nito, kung saan ito ay kilala na para sa isang tiyak na vector (transpose sign) kinakailangan... ... Mathematical Encyclopedia

GOST R 53622-2009: Mga teknolohiya ng impormasyon. Mga sistema ng impormasyon at computing. Mga yugto at yugto ng ikot ng buhay, mga uri at pagkakumpleto ng mga dokumento- Mga Terminolohiya GOST R 53622 2009: Mga teknolohiya ng impormasyon. Mga sistema ng impormasyon at computing. Mga yugto at yugto ng ikot ng buhay, mga uri at pagkakumpleto ng mga dokumento orihinal na dokumento: 3.1 hardware software platform: Isang pinag-isang hanay ng mga tool... ...

Applicative computing system- Ang mga applicative computing system, o ABC, ay kinabibilangan ng object calculus system batay sa combinatorial logic at lambda calculus. Ang tanging bagay na makabuluhang binuo sa mga sistemang ito ay ang ideya ng bagay. Sa... ... Wikipedia

GOST 24402-88: Teleprocessing at mga network ng computer. Mga Tuntunin at Kahulugan- Mga Terminolohiya GOST 24402 88: Teleprocessing at mga network ng computer. Mga tuntunin at kahulugan orihinal na dokumento: MGA URI NG SYSTEMS AT NETWORKS 90. Subscriber data processing system Subscriber system Subscriber system Data processing system,… … Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

ST SEV 4291-83: Mga computing machine at data processing system. Mga pakete ng magnetic disk na may kapasidad na 100 at 200 MB. Mga teknikal na kinakailangan at pamamaraan ng pagsubok- Terminolohiya ST SEV 4291 83: Mga computing machine at data processing system. Mga pakete ng magnetic disk na may kapasidad na 100 at 200 MB. Mga teknikal na kinakailangan at pamamaraan ng pagsubok: 8. Signal amplitude mula sa VTAA information surface Na-average sa buong ... Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

Mga pamamaraan ng geophysical exploration- pag-aaral ng istraktura ng crust ng lupa gamit ang mga pisikal na pamamaraan para sa layunin ng paghahanap at paggalugad ng mga mineral; Ang geophysics ng exploration ay isang mahalagang bahagi ng geophysics (Tingnan ang Geophysics). G.m.r. batay sa pag-aaral ng pisikal na larangan... ... Great Soviet Encyclopedia

Mga libro

• Mga pamamaraan ng pagkalkula. Teksbuk, Andrey Avenirovich Amosov, Yuliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova. Tinatalakay ng libro ang mga pamamaraan ng pagkalkula na kadalasang ginagamit sa pagsasagawa ng inilapat at pang-agham-teknikal na mga kalkulasyon: mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng linear algebra, nonlinear equation,...