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Nachdem Sie eine allgemeine Vorstellung von Gleichheiten erhalten und sich mit einer ihrer Arten – numerischen Gleichheiten – vertraut gemacht haben, können Sie über eine andere Art von Gleichheiten sprechen, die aus praktischer Sicht sehr wichtig ist – Gleichungen. In diesem Artikel werden wir uns damit befassen Was ist eine Gleichung? und die sogenannte Wurzel der Gleichung. Hier geben wir die entsprechenden Definitionen sowie verschiedene Beispiele für Gleichungen und ihre Wurzeln.

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Was ist eine Gleichung?

Die gezielte Einführung in Gleichungen beginnt meist im Mathematikunterricht in der 2. Klasse. Zu diesem Zeitpunkt ist Folgendes gegeben Gleichungsdefinition:

Definition.

Die gleichung ist eine Gleichung, die eine unbekannte Zahl enthält, die gefunden werden muss.

Unbekannte Zahlen in Gleichungen werden normalerweise mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel p, t, u usw., am häufigsten werden jedoch die Buchstaben x, y und z verwendet.

Somit wird die Gleichung unter dem Gesichtspunkt der Schreibform bestimmt. Mit anderen Worten: Gleichheit ist eine Gleichung, wenn sie den angegebenen Schreibregeln gehorcht – sie enthält einen Buchstaben, dessen Wert gefunden werden muss.

Lassen Sie uns Beispiele für die allerersten und einfachsten Gleichungen geben. Beginnen wir mit Gleichungen der Form x=8, y=3 usw. Gleichungen, die neben Zahlen und Buchstaben auch Rechenzeichen enthalten, sehen etwas komplizierter aus, zum Beispiel x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Die Vielfalt der Gleichungen wächst, nachdem man sich damit vertraut gemacht hat – Gleichungen mit Klammern tauchen auf, zum Beispiel 2·(x−1)=18 und x+3·(x+2·(x−2))=3. Ein unbekannter Buchstabe in einer Gleichung kann mehrmals vorkommen, zum Beispiel x+3+3·x−2−x=9, außerdem können Buchstaben auf der linken Seite der Gleichung, auf ihrer rechten Seite oder auf beiden Seiten stehen die Gleichung, zum Beispiel x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 oder 3·x−4=2·(x+12) .

Darüber hinaus lernt man nach dem Studium der natürlichen Zahlen ganze, rationale und reelle Zahlen kennen, es werden neue mathematische Objekte untersucht: Potenzen, Wurzeln, Logarithmen usw., während immer mehr neue Arten von Gleichungen auftauchen, die diese Dinge enthalten. Beispiele dafür finden Sie im Artikel Grundtypen von Gleichungen in der Schule lernen.

In der 7. Klasse beginnen sie, neben Buchstaben, die bestimmte Zahlen bedeuten, auch Buchstaben zu berücksichtigen, die unterschiedliche Werte annehmen können; sie werden Variablen genannt (siehe Artikel). Gleichzeitig wird das Wort „Variable“ in die Definition der Gleichung eingeführt und sieht folgendermaßen aus:

Definition.

Gleichung wird als Gleichheit bezeichnet, die eine Variable enthält, deren Wert gefunden werden muss.

Beispielsweise ist die Gleichung x+3=6·x+7 eine Gleichung mit der Variablen x und 3·z−1+z=0 eine Gleichung mit der Variablen z.

Während des Algebraunterrichts in derselben 7. Klasse stoßen wir auf Gleichungen, die nicht nur eine, sondern zwei verschiedene unbekannte Variablen enthalten. Sie werden Gleichungen in zwei Variablen genannt. Zukünftig ist das Vorhandensein von drei oder mehr Variablen in den Gleichungen zulässig.

Definition.

Gleichungen mit eins, zwei, drei usw. Variablen– Dies sind Gleichungen, die in ihrer Schreibweise jeweils eine, zwei, drei, ... unbekannte Variablen enthalten.

Beispielsweise ist die Gleichung 3.2 x+0.5=1 eine Gleichung mit einer Variablen x, eine Gleichung der Form x−y=3 wiederum ist eine Gleichung mit zwei Variablen x und y. Und noch ein Beispiel: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Es ist klar, dass eine solche Gleichung eine Gleichung mit drei unbekannten Variablen x, y und z ist.

Was ist die Wurzel einer Gleichung?

Die Definition einer Gleichung steht in direktem Zusammenhang mit der Definition der Wurzel dieser Gleichung. Lassen Sie uns einige Überlegungen anstellen, die uns helfen, die Wurzel der Gleichung zu verstehen.

Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung mit einem Buchstaben (Variable). Wenn anstelle des im Eintrag dieser Gleichung enthaltenen Buchstabens eine bestimmte Zahl eingesetzt wird, wird die Gleichung zu einer numerischen Gleichheit. Darüber hinaus kann die resultierende Gleichheit entweder wahr oder falsch sein. Wenn Sie beispielsweise in der Gleichung a+1=5 die Zahl 2 anstelle des Buchstabens a einsetzen, erhalten Sie die falsche Zahlengleichung 2+1=5. Wenn wir in dieser Gleichung die Zahl 4 anstelle von a einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichung 4+1=5.

In der Praxis liegt das Interesse in den allermeisten Fällen an den Werten der Variablen, deren Einsetzen in die Gleichung die richtige Gleichheit ergibt; diese Werte werden Wurzeln oder Lösungen dieser Gleichung genannt.

Definition.

Wurzel der Gleichung- Dies ist der Wert des Buchstabens (Variable), bei dessen Ersetzung sich die Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit verwandelt.

Beachten Sie, dass die Wurzel einer Gleichung in einer Variablen auch als Lösung der Gleichung bezeichnet wird. Mit anderen Worten: Die Lösung einer Gleichung und die Wurzel der Gleichung sind dasselbe.

Lassen Sie uns diese Definition anhand eines Beispiels erläutern. Dazu kehren wir zur oben geschriebenen Gleichung a+1=5 zurück. Gemäß der angegebenen Definition der Wurzel einer Gleichung ist die Zahl 4 die Wurzel dieser Gleichung, da wir beim Einsetzen dieser Zahl anstelle des Buchstabens a die korrekte Gleichung 4+1=5 erhalten und die Zahl 2 nicht ihre ist Wurzel, da sie einer falschen Gleichheit der Form 2+1= 5 entspricht.

An diesem Punkt stellen sich natürlich einige Fragen: „Hat jede Gleichung eine Wurzel und wie viele Wurzeln hat eine gegebene Gleichung?“ Wir werden sie beantworten.

Es gibt sowohl Gleichungen mit Wurzeln als auch Gleichungen ohne Wurzeln. Zum Beispiel hat die Gleichung x+1=5 die Wurzel 4, aber die Gleichung 0 x=5 hat keine Wurzeln, da wir unabhängig von der Zahl, die wir in dieser Gleichung anstelle der Variablen x einsetzen, die falsche Gleichung 0=5 erhalten .

Was die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung betrifft, gibt es sowohl Gleichungen mit einer bestimmten endlichen Anzahl von Wurzeln (eins, zwei, drei usw.) als auch Gleichungen mit unendlich vielen Wurzeln. Beispielsweise hat die Gleichung x−2=4 eine einzelne Wurzel 6, die Wurzeln der Gleichung x 2 =9 sind zwei Zahlen −3 und 3, die Gleichung x·(x−1)·(x−2)=0 hat drei Wurzeln 0, 1 und 2, und die Lösung der Gleichung x=x ist eine beliebige Zahl, das heißt, sie hat unendlich viele Wurzeln.

Ein paar Worte sollten über die akzeptierte Notation für die Wurzeln der Gleichung gesagt werden. Wenn eine Gleichung keine Wurzeln hat, schreiben sie normalerweise „die Gleichung hat keine Wurzeln“ oder verwenden das leere Vorzeichen ∅. Wenn die Gleichung Wurzeln hat, werden diese durch Kommas getrennt oder als geschrieben Elemente der Menge in geschweiften Klammern. Wenn die Wurzeln der Gleichung beispielsweise die Zahlen −1, 2 und 4 sind, dann schreiben Sie −1, 2, 4 oder (−1, 2, 4). Es ist auch zulässig, die Wurzeln der Gleichung in Form einfacher Gleichungen aufzuschreiben. Wenn die Gleichung beispielsweise den Buchstaben x enthält und die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen 3 und 5 sind, können Sie x=3, x=5 schreiben, und oft werden Indizes x 1 =3, x 2 =5 hinzugefügt auf die Variable, als ob sie die Zahlenwurzeln der Gleichung angeben würden. Eine unendliche Menge von Wurzeln einer Gleichung wird normalerweise in der Form geschrieben; wenn möglich wird auch die Notation für Mengen natürlicher Zahlen N, ganze Zahlen Z und reelle Zahlen R verwendet. Wenn beispielsweise die Wurzel einer Gleichung mit der Variablen x eine beliebige ganze Zahl ist, dann schreiben Sie , und wenn die Wurzeln einer Gleichung mit der Variablen y eine beliebige reelle Zahl von 1 bis einschließlich 9 sind, dann schreiben Sie .

Bei Gleichungen mit zwei, drei oder mehr Variablen wird der Begriff „Wurzel der Gleichung“ in der Regel nicht verwendet; in diesen Fällen spricht man von „Lösung der Gleichung“. Wie nennt man das Lösen von Gleichungen mit mehreren Variablen? Geben wir die entsprechende Definition.

Definition.

Lösen einer Gleichung mit zwei, drei usw. Variablen genannt ein Paar, drei usw. Werte der Variablen, wodurch diese Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit umgewandelt wird.

Lassen Sie uns erklärende Beispiele zeigen. Betrachten Sie eine Gleichung mit zwei Variablen x+y=7. Ersetzen wir die Zahl 1 anstelle von x und die Zahl 2 anstelle von y, und wir haben die Gleichheit 1+2=7. Offensichtlich ist es falsch, daher ist das Wertepaar x=1, y=2 keine Lösung der geschriebenen Gleichung. Wenn wir ein Wertepaar x=4, y=3 nehmen, dann kommen wir nach dem Einsetzen in die Gleichung zur richtigen Gleichheit 4+3=7, daher ist dieses Variablenwertepaar per Definition eine Lösung zur Gleichung x+y=7.

Gleichungen mit mehreren Variablen können wie Gleichungen mit einer Variablen keine Wurzeln, eine endliche Anzahl von Wurzeln oder eine unendliche Anzahl von Wurzeln haben.

Paare, Drillinge, Vierlinge usw. Die Werte von Variablen werden oft kurz geschrieben, wobei ihre Werte durch Kommas getrennt in Klammern aufgeführt werden. In diesem Fall entsprechen die in Klammern geschriebenen Zahlen den Variablen in alphabetischer Reihenfolge. Lassen Sie uns diesen Punkt klären, indem wir zur vorherigen Gleichung x+y=7 zurückkehren. Die Lösung dieser Gleichung x=4, y=3 kann kurz als (4, 3) geschrieben werden.

Im Schulunterricht der Mathematik, Algebra und Anfänge der Analysis wird der Wurzelfindung von Gleichungen mit einer Variablen größte Aufmerksamkeit gewidmet. Wir werden die Regeln dieses Prozesses im Artikel ausführlich besprechen. Gleichungen lösen.

Referenzliste.

• Mathematik. 2 Klassen Lehrbuch für die Allgemeinbildung Institutionen mit Adj. pro Elektron Träger. Um 14 Uhr Teil 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova usw.] – 3. Aufl. - M.: Bildung, 2012. - 96 S.: Abb. - (Schule Russlands). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Das gilt nicht für die Bedeutung der darin enthaltenen Buchstaben, sondern nur für einige. Wir können auch sagen, dass die Gleichung eine Gleichung ist, die unbekannte Zahlen enthält, die durch Buchstaben gekennzeichnet sind.

Zum Beispiel die Gleichheit 10 - X= 2 ist eine Gleichung, da sie nur gültig ist, wenn X= 8. Gleichheit X 2 = 49 ist eine Gleichung, die für zwei Werte gültig ist X, nämlich wann X= +7 und X= -7, da (+7) 2 = 49 und (-7) 2 = 49.

Wenn stattdessen X Ersetzen Sie seinen Wert, dann wird die Gleichung zu einer Identität. Variablen wie X, die nur für bestimmte Werte die Gleichung in eine Identität verwandeln, werden aufgerufen Unbekannt Gleichungen Sie werden üblicherweise mit den letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet X, j Und z.

Jede Gleichung hat eine linke und eine rechte Seite. Der Ausdruck links vom =-Zeichen heißt linke Seite der Gleichung, und das rechte ist rechte Seite der Gleichung. Die Zahlen und algebraischen Ausdrücke, aus denen eine Gleichung besteht, werden aufgerufen Terme der Gleichung:

Wurzeln der Gleichung

Wurzel der Gleichung- Dies ist die Zahl, die, wenn sie in eine Gleichung eingesetzt wird, eine echte Gleichheit ergibt. Eine Gleichung kann nur eine Wurzel haben, sie kann mehrere Wurzeln haben oder sie kann überhaupt keine Wurzeln haben.

Zum Beispiel die Wurzel der Gleichung

10 - X = 2

ist die Zahl 8 und die Gleichung

X 2 = 49

zwei Wurzeln - +7 und -7.

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass sie nicht existieren.

Arten von Gleichungen

Außer numerisch Es gibt auch Gleichungen, die den oben angegebenen ähneln und bei denen alle bekannten Größen durch Zahlen angegeben sind alphabetisch Gleichungen, in denen es neben Buchstaben für Unbekannte auch Buchstaben für bekannte (oder vermeintlich bekannte) Größen gibt.

X - A = B + C
3X+ c = 2 A + 5

Entsprechend der Anzahl der Unbekannten werden Gleichungen in Gleichungen mit einer Unbekannten, mit zwei Unbekannten und mit drei oder mehr Unbekannten unterteilt.

7X + 2 = 35 - 2X- Gleichung mit einer Unbekannten
3X + j = 8X - 2j- Gleichung mit zwei Unbekannten

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Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele:

• Wissen zum Thema „Gleichungen“ verallgemeinern und systematisieren;
• fördern die Entwicklung des logischen Denkens und der Sprache der Schüler.

Technische Schulungshilfen: Multimedia-Projektor.

Während des Unterrichts

1. Hausaufgabe: Absatz 6, Nr. 113, 117, 120.

2. Mathematische Diktate(Durchschlag).

Kinder nehmen Diktate auf, tauschen Notizbücher aus, überprüfen gegenseitig die Arbeit. Die Antworten werden auf die Tafel projiziert.

3. Geben Sie das Thema der Lektion an.

Was war die letzte Aufgabe im Diktat? (Löse die Gleichung).

Sie haben in der Grundschule begonnen, das Lösen von Gleichungen zu lernen. Wir sind in den Klassen 5 und 6 auf dieses Thema gestoßen und haben jedes Mal etwas Neues über Gleichungen gelernt. Das Ziel unserer heutigen Lektion ist es, das Wissen über Gleichungen zu verallgemeinern und zu systematisieren.

4. Neues Material lernen(mittels Computerpräsentation).

1) – Schreiben Sie das Thema unserer Lektion „Gleichung und ihre Wurzeln“ auf. (Folie 1)

2) – Versuchen wir, die Gleichung zu definieren. Was ist es? (Folie 2)

Gleichheit, die eine Variable enthält, nennt man eine Gleichung mit einer Variablen oder eine Gleichung mit einer Unbekannten.

3) Erinnern Sie sich an die Definition einer Gleichung und bestimmen Sie, ob der gegebene Eintrag eine Gleichung ist:

a) x + 2 = 1,3;

d) 16 * 5 – 8 = 72;

e) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Folie 3)

Die Kinder erklären ihre Antworten, indem sie hervorheben, ob es sich bei dem Eintrag um eine Gleichheit handelt oder ob er eine Variable enthält.

4) - Bitte denken Sie daran, was man die Wurzel einer Gleichung nennt.

Wurzel der Gleichung ist der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung wahr wird.

Lassen Sie uns Ihre Antworten überprüfen. (Folie 4)

5) – Wie kann man herausfinden, ob eine bestimmte Zahl die Wurzel einer Gleichung ist oder nicht? (Sie müssen eine Zahl anstelle einer Variablen in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung dadurch zu einer echten Gleichheit wird oder nicht.)

Finden Sie heraus, ob die Zahl 2 die Wurzel der Gleichung ist:

a) 4 + 3x = 10;

b) (x – 5)(x + 1) = 11;

c) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Folie 5)

Die Schüler setzen in jede Gleichung die Zahl 2 ein, um zu sehen, ob die Gleichung dadurch wahr wird. Ziehen Sie die entsprechende Schlussfolgerung.

6) – Wir werden die folgende Aufgabe schriftlich erledigen.

Bestimmen Sie, welche der Zahlen – 2, - 1, 0, 2, 3 die Wurzel der Gleichung x 2 + 3x = 10 sind. (Folie 6)

Die Aufgabe wird von den Studierenden in einem Notizbuch bearbeitet. Einige Schüler machen abwechselnd entsprechende Notizen an der Tafel.

Beispielaufgabe:

Die Wurzel der Gleichung ist x 2 + 3x = 10 Zahl

a) -2 ist nicht, da (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2 und -2 10;

b) – 1 ist nicht, da (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, und – 2 10;

c) 0 ist nicht, da 0 2 + 3 * 0 = 0 und 0 10;

d) 2 ist, da 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10 und 10 = 10;

e) 3 ist nicht, da 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18 und 18 10.

7) Physik. Pause.

Jetzt ruhen wir uns ein wenig aus. Sitzen Sie bequem.

1. Wir machen vertikale Bewegungen mit den Augen nach oben und unten.

2. Horizontale Augenbewegungen von rechts nach links.

3. „Lasst uns mit unseren Augen eine Linie ziehen“ (das Plakat zeigt mehrere Linien, Kinder „führen“ daran mit den Augen von Punkt zu Punkt).

Die folgenden Übungen führen wir im Stehen durch.

4. – Heben Sie zuerst die rechte Schulter an, dann die linke, senken Sie zuerst die rechte Schulter, dann die linke. Also machen wir nacheinander weiter.

5. „Wir geben auf.“

6. „Schütteln Sie das Wasser von Ihren Händen.“

Versuchen Sie, selbst eine Gleichung zu erstellen, deren Wurzel die Zahl 3 wäre. (Folie 7)

Nach selbstständiger Bearbeitung der Aufgabe lesen einige Schülerinnen und Schüler die ermittelten Gleichungen vor und die Klasse stellt fest, ob die Aufgabe richtig gelöst wurde.

9) – Was bedeutet es Ihrer Meinung nach, eine Gleichung zu lösen?

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. (Folie 8)

10) – Welche dieser Gleichungen hat keine Wurzeln:

b) 4(x + 1) = 4x +7;

c) 3x + 12 = 3(x + 4). (Folie 9)

Kinder geben Antworten und begründen sie.

11) – Wie nennt man den Modul einer Zahl?

Was ist der Modul einer positiven Zahl?

Modul Null? Negative Zahl?

Kann der Modul einer Zahl gleich einer negativen Zahl sein?

Glauben Sie, dass diese Gleichungen Wurzeln haben und wenn ja, wie viele:

c) l x l = - 1;

d) l x l = 2,5. (Folie 10)

12) – Heute machen wir uns mit einem neuen Konzept für Sie vertraut – das ist eine äquivalente Gleichung. Versuchen Sie zu erraten, welche Gleichungen als äquivalent bezeichnet werden.

Gleichungen mit gleichen Wurzeln heißen äquivalente Gleichungen. (Folie 11)

13) – Welche Gleichung entspricht der Gleichung 3x – 10 = 50? (Folie 12)

Die Schüler erstellen Gleichungen, die dieser Gleichung entsprechen, schreiben sie in ein Notizbuch und einige der Gleichungen, die sie erstellen, werden von der Klasse vorgelesen und besprochen.

14) – Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir die Eigenschaften, die wir in der 6. Klasse gelehrt haben. Erinnern wir uns an sie. (Folie 13)

1) Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen in das Gegenteil ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist.

2) Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

15) – Ersetzen Sie die Gleichungen durch äquivalente Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten:

a) 0,1x = - 5;

b) – 0,19 y = 3;

c) - 0,7x = - 4,9. (Folie 14)

Ersetzen Sie die Gleichungen durch äquivalente Gleichungen der Form ax = b:

a) 8x + 15 = 39;

b) 16 – 2x = 10. (Folie 15)

5. Zusammenfassung der Lektion. (Folie 16)

Definieren Sie eine Gleichung mit einer Variablen.

Was ist die Wurzel einer Gleichung?

Haben alle Gleichungen Wurzeln?

Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

Welche Gleichungen heißen äquivalent?

Benennen Sie die Eigenschaften, die beim Lösen von Gleichungen verwendet werden.

Verweise.

Lehrbuch „Algebra. 7. Klasse“, herausgegeben von S. A. Telyakovsky, Moskau „Aufklärung“, 2009.

Unterrichtsthema: „Die Gleichung und ihre Wurzeln.“

Klasse 7

Mathematiklehrerin: Kobyza Tatyana Vasilievna

Ziele:

Lehrreich . Vermitteln Sie den Schülern ein Verständnis für die Gleichung und ihre Wurzeln. Vertiefung der Fähigkeiten zur Anwendung der Eigenschaften der Lösung von Gleichungen.

Entwicklung. Setzen Sie die Bildung von Elementen der algorithmischen Kultur fort, entwickeln Sie logisches Denken, Gedächtnis, bilden Sie kompetente mathematische Sprache, Analysefähigkeit und Selbstwertgefühl.

Lehrreich . Entwickeln Sie weiterhin Kommunikationsfähigkeiten, Toleranz und Verantwortung für Ihre Urteile.

Angestrebte Ziele der Studierenden: Denken Sie daran, Gleichungen mithilfe von Eigenschaften aus der 6. Klasse zu lösen. den Zusammenhang zwischen dem Typ der einfachsten Gleichung und ihrer Wurzel verstehen und lernen, äquivalente Gleichungen zu lösen.

Technische Schulungshilfen : Multimedia-Projektor, Handouts.

Während des Unterrichts

Organisation des Unterrichtsbeginns.

Ziele setzen.

2. Mathematische Diktate

Vervollständigen Sie den Satz: „Der Ausdruck 2x – 5 ist...“ (Buchstabe/Ziffer)

Ein numerischer Ausdruck ist ein Datensatz bestehend aus _______________________________________________________

Ein algebraischer Ausdruck ist ein Datensatz bestehend aus ____________________________________________________________

Bilden Sie einen Ausdruck basierend auf den Bedingungen des Problems: „Ein Bleistift kostet x Rubel und ein Notizbuch kostet 25 Rubel.“ Wie viel kosten 3 Bleistifte und 1 Notizbuch? (3x + 25 / x + +225)

Löse die Gleichung

5x – 4 = 6

(x = 2)

Die in eckigen Klammern angegebenen Aufgaben sind für die zweite Option vorgesehen.

3. Geben Sie das Thema der Lektion an.

Was war die letzte Aufgabe im Diktat? (Löse die Gleichung).

Sie haben in der Grundschule begonnen, das Lösen von Gleichungen zu lernen. Wir sind in den Klassen 5 und 6 auf dieses Thema gestoßen und haben jedes Mal etwas Neues über Gleichungen gelernt. Das Ziel unserer heutigen Lektion ist es, das Wissen über Gleichungen zu verallgemeinern und zu systematisieren.

4. Studieren von neuem Material (mithilfe einer Computerpräsentation).

– Öffnen Sie Ihre Notizbücher und schreiben Sie das Thema unserer Lektion „Gleichung und ihre Wurzeln“ auf. (Folie 1)

– Versuchen wir, die Gleichung zu definieren. Was ist es? (Folie 2)

Eine Gleichung, die eine Variable enthält, wird Gleichung mit einer Variablen oder Gleichung mit einer Unbekannten genannt.

3) Erinnern Sie sich an die Definition einer Gleichung und bestimmen Sie, ob der gegebene Eintrag eine Gleichung ist:

a) x + 2 = 1,3;

b) 3u – 4;

c) x = - 8,1;

d) 16 * 5 – 8 = 72;

e) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Folie 3)

Die Kinder erklären ihre Antworten, indem sie hervorheben, ob es sich bei dem Eintrag um eine Gleichheit handelt oder ob er eine Variable enthält.

4) - Bitte denken Sie daran, was man die Wurzel einer Gleichung nennt.

Die Wurzel einer Gleichung ist der Wert einer Variablen, bei dem die Gleichung eine echte Gleichheit wird.

Lassen Sie uns Ihre Antworten überprüfen. (Folie 4)

5) – Wie kann man herausfinden, ob eine bestimmte Zahl die Wurzel einer Gleichung ist oder nicht? (Sie müssen eine Zahl anstelle einer Variablen in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung zu einer echten Gleichheit wird oder nicht.)

Finden Sie heraus, ob die Zahl 2 die Wurzel der Gleichung ist:

a) 4 + 3x = 10;

b) (x – 5)(x + 1) = 11;

c) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Folie 5)

Die Schüler setzen in jede Gleichung die Zahl 2 ein, um zu sehen, ob die Gleichung dadurch wahr wird. Ziehen Sie die entsprechende Schlussfolgerung.

6) – Wir werden die folgende Aufgabe schriftlich erledigen.

Bestimmen Sie, welche der Zahlen – 2, - 1, 0, 2, 3 die Wurzel der Gleichung x2 + 3x = 10 sind. (Folie 6)

Die Aufgabe wird von den Studierenden in einem Notizbuch bearbeitet. Einige Schüler machen abwechselnd entsprechende Notizen an der Tafel.

Beispielaufgabe:

Die Wurzel der Gleichung x2 + 3x = 10 ist die Zahl

a) -2 ist nicht, da (-2)2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2 und -2 10;

b) – 1 ist nicht, da (- 1)2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, und – 2 10;

c) 0 ist nicht, da 02 + 3 * 0 = 0 und 0 10 ist;

d) 2 ist, da 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10 und 10 = 10;

e) 3 ist nicht, da 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18 und 18 10 ist.

7) Physik. Pause.

Jetzt ruhen wir uns ein wenig aus. Sitzen Sie bequem.

Zeichne mit deinen Augen ein Dreieck.

Drehen Sie es nun um

Von oben nach unten.

Und wieder mit meinen Augen

Sie führen um den Umfang herum.

Zeichnen Sie vertikal eine Acht.

Dreh nicht den Kopf

Seien Sie einfach vorsichtig mit Ihren Augen

Du folgst den Linien des Wassers.

Und legen Sie es auf die Seite.

Beobachten Sie nun horizontal

Und Sie bleiben in der Mitte stehen.

Schließe deine Augen fest, sei nicht faul.

Endlich öffnen wir unsere Augen

Der Ladevorgang ist beendet.

Gut gemacht!

Versuchen Sie, selbst eine Gleichung zu erstellen, deren Wurzel die Zahl 3 wäre. (Folie 7)

Nach selbstständiger Bearbeitung der Aufgabe lesen einige Schülerinnen und Schüler die ermittelten Gleichungen vor und die Klasse stellt fest, ob die Aufgabe richtig gelöst wurde.

9) – Was bedeutet es Ihrer Meinung nach, eine Gleichung zu lösen?

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. (Folie 8)

10) – Welche dieser Gleichungen hat keine Wurzeln:

a) 3x = 5x;

b) 4(x + 1) = 4x +7;

c) 3x + 12 = 3(x + 4). (Folie 9)

Kinder geben Antworten und begründen sie.

11) – Wie nennt man den Modul einer Zahl?

Was ist der Modul einer positiven Zahl?

Modul Null? Negative Zahl?

Kann der Modul einer Zahl gleich einer negativen Zahl sein?

Glauben Sie, dass diese Gleichungen Wurzeln haben und wenn ja, wie viele:

a) l x l = 7;

b) l x l = 0;

c) l x l = - 1;

d) l x l = 2,5. (Folie 10)

12) - Heute machen wir uns mit einem neuen Konzept für Sie vertraut – diesemäquivalente Gleichung . Versuchen Sie zu erraten, welche Gleichungen als äquivalent bezeichnet werden.

Gleichungen mit gleichen Wurzeln heißen äquivalente Gleichungen. (Folie 11)

13) – Welche Gleichung entspricht der Gleichung 3x – 10 = 50? (Folie 12)

Die Schüler erstellen Gleichungen, die dieser Gleichung entsprechen, schreiben sie in ein Notizbuch und einige der Gleichungen, die sie erstellen, werden von der Klasse vorgelesen und besprochen.

14) – Beim Lösen von Gleichungen verwenden wir die Eigenschaften, die wir in der 6. Klasse gelehrt haben. Erinnern wir uns an sie. (Folie 13)

1) Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen in das Gegenteil ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist.

2) Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

15) – Ersetzen Sie die Gleichungen durch äquivalente Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten:

a) 0,1x = - 5;

b) – 0,19 y = 3;

c) - 0,7x = - 4,9. (Folie 14)

Ersetzen Sie die Gleichungen durch äquivalente Gleichungen der Form ax = b:

a) 8x + 15 = 39;

b) 16 – 2x = 10. (Folie 15)

5. Zusammenfassung der Lektion. (Folie 16)

Definieren Sie eine Gleichung mit einer Variablen.

Was ist die Wurzel einer Gleichung?

Haben alle Gleichungen Wurzeln?

Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

Welche Gleichungen heißen äquivalent?

Benennen Sie die Eigenschaften, die beim Lösen von Gleichungen verwendet werden.

Hausaufgaben.