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Nachweisen:

• Gegebenes Dreieck ABC.
• Durch den Scheitelpunkt B ziehen wir eine Gerade DK parallel zur Basis AC.
• \angle CBK= \angle C als innere Kreuzlage mit Parallelen DK und AC und Sekante BC.
• \angle DBA = \angle A internes Kreuzliegen mit DK \parallel AC und Sekante AB. Der Winkel DBK ist umgekehrt und gleich
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Da der entfaltete Winkel gleich 180 ^\circ ist und \angle CBK = \angle C und \angle DBA = \angle A ist, erhalten wir 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Der Satz ist bewiesen

Folgerungen aus dem Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks:

1. Die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich 90°.
2. In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck ist jeder spitze Winkel gleich 45°.
3. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich 60°.
4. In jedem Dreieck sind entweder alle Winkel spitz oder zwei Winkel sind spitz und der dritte ist stumpf oder rechtwinklig.
5. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier Innenwinkel, die nicht an das Dreieck angrenzen.

Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks

Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden verbleibenden Winkel des Dreiecks, die nicht an diesen Außenwinkel angrenzen

Nachweisen:

• Gegeben sei ein Dreieck ABC, wobei BCD der Außenwinkel ist.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Aus den Gleichheiten der Winkel \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Wir bekommen \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Vorabinformationen

Schauen wir uns zunächst das Konzept eines Dreiecks direkt an.

Definition 1

Wir nennen ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die durch Segmente miteinander verbunden sind (Abb. 1).

Definition 2

Im Rahmen der Definition 1 nennen wir die Punkte die Eckpunkte des Dreiecks.

Definition 3

Im Rahmen der Definition 1 werden die Segmente Seiten des Dreiecks genannt.

Offensichtlich hat jedes Dreieck drei Eckpunkte und drei Seiten.

Satz über die Winkelsumme in einem Dreieck

Lassen Sie uns einen der wichtigsten Sätze im Zusammenhang mit Dreiecken einführen und beweisen, nämlich den Satz über die Winkelsumme in einem Dreieck.

Satz 1

Die Winkelsumme in jedem beliebigen Dreieck beträgt $180^\circ$.

Nachweisen.

Betrachten Sie das Dreieck $EGF$. Beweisen wir, dass die Winkelsumme in diesem Dreieck $180^\circ$ beträgt. Machen wir eine zusätzliche Konstruktion: Zeichnen Sie die gerade Linie $XY||EG$ (Abb. 2)

Da die Geraden $XY$ und $EG$ parallel sind, liegen $∠E=∠XFE$ kreuzweise an der Sekante $FE$ und $∠G=∠YFG$ kreuzweise an der Sekante $FG$

Der Winkel $XFY$ wird umgekehrt und beträgt daher $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Somit

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Der Satz ist bewiesen.

Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks

Ein weiterer Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks kann als Satz über den Außenwinkel betrachtet werden. Lassen Sie uns zunächst dieses Konzept vorstellen.

Definition 4

Wir nennen einen Außenwinkel eines Dreiecks einen Winkel, der an jeden Winkel des Dreiecks angrenzt (Abb. 3).

Betrachten wir nun den Satz direkt.

Satz 2

Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier Winkel des Dreiecks, die nicht an ihn angrenzend sind.

Nachweisen.

Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck $EFG$. Es soll einen Außenwinkel des Dreiecks $FGQ$ haben (Abb. 3).

Nach Satz 1 erhalten wir $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, also

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Da der Winkel $FGQ$ extern ist, grenzt er dann an den Winkel $∠G$

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Der Satz ist bewiesen.

Beispielaufgaben

Beispiel 1

Finden Sie alle Winkel eines Dreiecks, wenn es gleichseitig ist.

Da alle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich sind, sind auch alle Winkel darin gleich. Bezeichnen wir ihre Gradmaße mit $α$.

Dann erhalten wir nach Satz 1

$α+α+α=180^\circ$

Antwort: Alle Winkel sind gleich $60^\circ$.

Beispiel 2

Finden Sie alle Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn einer seiner Winkel gleich $100^\circ$ ist.

Führen wir die folgende Notation für Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck ein:

Da wir in der Bedingung nicht genau angeben, welcher Winkel $100^\circ$ gleich ist, sind zwei Fälle möglich:

Ein Winkel gleich $100^\circ$ ist der Winkel an der Basis des Dreiecks.

Mit dem Satz über Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks erhalten wir:

$∠2=∠3=100^\circ$

Dann wird aber nur ihre Summe größer als $180^\circ$ sein, was den Bedingungen von Satz 1 widerspricht. Dies bedeutet, dass dieser Fall nicht auftritt.

Ein Winkel gleich $100^\circ$ ist der Winkel zwischen gleichen Seiten

Im Anschluss an gestern:

Spielen wir mit einem Mosaik, das auf einem Geometriemärchen basiert:

Es waren einmal Dreiecke. So ähnlich, dass sie nur Kopien voneinander sind.
Sie standen irgendwie in einer geraden Linie nebeneinander. Und da sie alle gleich groß waren -
dann waren ihre Spitzen auf gleicher Höhe, unter dem Lineal:



Dreiecke liebten es, zu stolpern und auf dem Kopf zu stehen. Sie kletterten in die oberste Reihe und stellten sich wie Akrobaten an die Ecke.
Und wir wissen es bereits – wenn sie mit ihren Spitzen genau in einer Linie stehen,
dann folgen auch ihre Fußsohlen einem Lineal – denn wenn jemand gleich groß ist, dann sind sie auch auf dem Kopf gleich groß!



Sie waren in allem gleich – die gleiche Höhe und die gleichen Sohlen,
und die Rutschen an den Seiten – eine steiler, die andere flacher – sind gleich lang
und sie haben die gleiche Steigung. Nun ja, nur Zwillinge! (nur in unterschiedlicher Kleidung, jedes mit seinem eigenen Puzzleteil).



- Wo haben die Dreiecke identische Seiten? Wo sind die Ecken gleich?

Die Dreiecke stellten sich auf den Kopf, standen da und beschlossen, abzurutschen und sich in die unterste Reihe zu legen.
Sie rutschten und rutschten einen Hügel hinunter; aber ihre Folien sind die gleichen!
So passen sie genau und lückenlos zwischen die unteren Dreiecke und niemand hat jemanden beiseite geschoben.



Wir schauten uns in den Dreiecken um und bemerkten eine interessante Besonderheit.
Wo auch immer ihre Blickwinkel zusammenkommen, werden sich mit Sicherheit alle drei Blickwinkel treffen:
der größte ist der „Kopfwinkel“, der spitzeste Winkel und der drittgrößte der mittlere.
Sie banden sogar farbige Bänder fest, damit man sofort erkennen konnte, wer welcher war.

Und es stellte sich heraus, dass die drei Winkel des Dreiecks, wenn man sie kombiniert -
einen großen Winkel bilden, eine „offene Ecke“ – wie der Einband eines offenen Buches,

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man nennt es einen gedrehten Winkel.

Jedes Dreieck ist wie ein Reisepass: Drei Winkel zusammen ergeben den aufgeklappten Winkel.
Jemand klopft an deine Tür: - Klopf-klopf, ich bin ein Dreieck, lass mich die Nacht verbringen!
Und du sagst ihm - Zeigen Sie mir die Summe der Winkel in erweiterter Form!
Und es ist sofort klar, ob es sich um ein echtes Dreieck oder um einen Hochstapler handelt.
Verifizierung fehlgeschlagen – Drehen Sie sich um 180 Grad und gehen Sie nach Hause!



Wenn man „um 180° drehen“ sagt, bedeutet das, dass man sich rückwärts dreht und
in die entgegengesetzte Richtung gehen.

Das Gleiche in bekannteren Ausdrücken, ohne „Es war einmal“:



Führen wir eine Parallelverschiebung des Dreiecks ABC entlang der OX-Achse durch
zum Vektor AB gleich der Länge der Basis AB.
Linie DF, die durch die Eckpunkte C und C 1 von Dreiecken verläuft
parallel zur OX-Achse, da senkrecht zur OX-Achse
Die Segmente h und h 1 (Höhen gleicher Dreiecke) sind gleich.
Somit ist die Basis des Dreiecks A 2 B 2 C 2 parallel zur Basis AB
und gleich lang (da der Scheitelpunkt C 1 relativ zu C um den Betrag AB verschoben ist).
Die Dreiecke A 2 B 2 C 2 und ABC sind auf drei Seiten gleich.
Daher sind die Winkel ∠A 1 ∠B ∠C 2, die einen geraden Winkel bilden, gleich den Winkeln des Dreiecks ABC.
=> Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°

Bei Bewegungen – „Übersetzungen“ – ist der sogenannte Beweis kürzer und klarer,
Selbst ein Kind kann die Mosaiksteine ​​verstehen.

Aber traditionelle Schule:



basierend auf der Gleichheit der inneren, kreuzliegenden Winkel, die auf parallelen Linien abgeschnitten werden



wertvoll, weil es eine Vorstellung davon gibt, warum das so ist,
Warum Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist gleich dem Umkehrwinkel?

Denn sonst hätten parallele Linien nicht die Eigenschaften, die wir in unserer Welt kennen.

Die Theoreme funktionieren in beide Richtungen. Aus dem Axiom der parallelen Geraden folgt es
Gleichheit der quer liegenden und vertikalen Winkel und daraus - die Summe der Winkel eines Dreiecks.

Aber auch das Gegenteil ist der Fall: Solange die Winkel eines Dreiecks 180° betragen, gibt es parallele Linien
(so dass man durch einen Punkt, der nicht auf einer Geraden liegt, eine eindeutige Gerade || des gegebenen Punktes zeichnen kann).
Wenn eines Tages ein Dreieck auf der Welt erscheint, dessen Winkelsumme nicht dem aufgeklappten Winkel entspricht –
dann werden die Parallelen aufhören, parallel zu sein, die ganze Welt wird gebogen und schief sein.

Wenn Streifen mit Dreiecksmuster übereinander gelegt werden -
Sie können das gesamte Feld mit einem sich wiederholenden Muster bedecken, wie einen Boden mit Fliesen:




Sie können auf einem solchen Gitter verschiedene Formen nachzeichnen - Sechsecke, Rauten,
Sternpolygone und erhalten Sie eine Vielzahl von Parketten






Ein Flugzeug mit Parkett zu belegen ist nicht nur ein unterhaltsames Spiel, sondern auch ein relevantes mathematisches Problem:



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Da jedes Viereck ein Rechteck, ein Quadrat, eine Raute usw. ist,
kann aus zwei Dreiecken bestehen,
bzw. die Summe der Winkel eines Vierecks: 180° + 180° = 360°


Identische gleichschenklige Dreiecke werden auf unterschiedliche Weise zu Quadraten gefaltet.
Ein kleines Quadrat aus 2 Teilen. Durchschnittlich 4. Und der größte der 8.
Wie viele Figuren enthält die Zeichnung, bestehend aus 6 Dreiecken?