Sehr oft stoßen wir auf Probleme mit erhöhter Komplexität trigonometrische Gleichungen mit Modul. Die meisten von ihnen erfordern einen heuristischen Lösungsansatz, der den meisten Schulkindern völlig unbekannt ist.
Die unten vorgeschlagenen Aufgaben sollen Sie mit den typischsten Techniken zur Lösung trigonometrischer Gleichungen vertraut machen, die einen Modul enthalten.
Aufgabe 1. Finden Sie die Differenz (in Grad) der kleinsten positiven und größten negativen Wurzeln der Gleichung 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Lösung.
Erweitern wir das Modul:
1) Wenn cos x ≥ 0, dann hat die ursprüngliche Gleichung die Form 1 + 2sin x cos x = 0.
Mit der Doppelwinkelsinusformel erhalten wir:
1 + Sünde 2x = 0; Sünde 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Da cos x ≥ 0, dann ist x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Wenn cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – Sünde 2x = 0; Sünde 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Da cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Die größte negative Wurzel der Gleichung: -π/4; kleinste positive Wurzel der Gleichung: 5π/4.
Die erforderliche Differenz: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Antwort: 270°.
Aufgabe 2. Finden Sie (in Grad) die kleinste positive Wurzel der Gleichung |tg x| + 1/cos x = tan x.
Lösung.
Erweitern wir das Modul:
1) Wenn tan x ≥ 0, dann
tan x + 1/cos x = tan x;
Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln.
2) Wenn tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 und cos x ≠ 0.
Unter Verwendung von Abbildung 1 und der Bedingung tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Die kleinste positive Wurzel der Gleichung ist 5π/6. Lassen Sie uns diesen Wert in Grad umrechnen:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Antwort: 150°.
Aufgabe 3. Finden Sie die Anzahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung sin |2x| = cos 2x auf dem Intervall [-π/2; π/2].
Lösung.
Schreiben wir die Gleichung in der Form sin|2x| – cos 2x = 0 und betrachten Sie die Funktion y = sin |2x| – denn 2x. Da die Funktion gerade ist, finden wir ihre Nullstellen für x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch cos 2x ≠ 0, wir erhalten:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Mithilfe der Parität der Funktion finden wir, dass die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung Zahlen der Form sind
± (π/8 + πn/2), wobei n € Z.
Intervall [-π/2; π/2] gehören zu den Zahlen: -π/8; π/8.
Zwei Wurzeln der Gleichung gehören also zum gegebenen Intervall.
Antwort: 2.
Diese Gleichung könnte auch durch Öffnen des Moduls gelöst werden.
Aufgabe 4. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x im Intervall [-π; 2π].
Lösung.
1) Betrachten Sie den Fall, wenn 2cos x – 1 > 0, d. h. cos x > 1/2, dann hat die Gleichung die Form:
Sünde x – Sünde 2 x = Sünde 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 oder 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 oder sin x = 1/2.
Unter Verwendung von Abbildung 2 und der Bedingung cos x > 1/2 finden wir die Wurzeln der Gleichung:
x = π/6 + 2πn oder x = 2πn, n € Z.
2) Betrachten Sie den Fall, wenn 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
Sünde x + Sünde 2 x = Sünde 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Unter Verwendung von Abbildung 2 und der cos x-Bedingung< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Wenn wir die beiden Fälle kombinieren, erhalten wir:
x = π/6 + 2πn oder x = πn.
3) Intervall [-π; 2π] gehören zu den Wurzeln: π/6; -π; 0; π; 2π.
Somit enthält das gegebene Intervall fünf Wurzeln der Gleichung.
Antwort: 5.
Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 im Intervall [-π; 2π].
Lösung.
1) Wenn sin x ≥ 0, dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die Form (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0 an. Nachdem wir den gemeinsamen Faktor sin x aus den Klammern herausgenommen haben, erhalten wir:
Sünde x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; da (x – 0,7) 2 + 1 > 0 für alle reellen x, dann ist sinx = 0, d.h. x = πn, n € Z.
2) Wenn Sünde x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 oder (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Da sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 oder x – 0,7 = -1, was x = 1,7 oder x = -0,3 bedeutet.
Unter Berücksichtigung der Bedingung sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, was bedeutet, dass nur die Zahl -0,3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
3) Intervall [-π; 2π] gehören zu den Zahlen: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Somit hat die Gleichung fünf Wurzeln in einem gegebenen Intervall.
Antwort: 5.
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Aufgabe Nr. 1
Die Logik ist einfach: Wir werden wie zuvor vorgehen, ungeachtet der Tatsache, dass trigonometrische Funktionen jetzt ein komplexeres Argument haben!
Wenn wir eine Gleichung der Form lösen würden:
Dann würden wir die folgende Antwort aufschreiben:
Oder (seitdem)
Aber jetzt spielt dieser Ausdruck unsere Rolle:
Dann können wir schreiben:
Unser Ziel ist es, gemeinsam mit Ihnen sicherzustellen, dass die linke Seite einfach und ohne „Verunreinigungen“ steht!
Lasst uns sie nach und nach loswerden!
Entfernen wir zunächst den Nenner bei: Multiplizieren Sie dazu unsere Gleichheit mit:
Lassen Sie uns es nun loswerden, indem wir beide Teile teilen:
Lassen Sie uns nun die Acht loswerden:
Der resultierende Ausdruck kann als zwei Lösungsreihen geschrieben werden (analog zu einer quadratischen Gleichung, bei der wir die Diskriminante entweder addieren oder subtrahieren).
Wir müssen die größte negative Wurzel finden! Es ist klar, dass wir Ordnung schaffen müssen.
Schauen wir uns zunächst die erste Folge an:
Es ist klar, dass wir, wenn wir sie nehmen, als Ergebnis positive Zahlen erhalten, aber sie interessieren uns nicht.
Man muss es also negativ sehen. Lassen.
Wenn die Wurzel schmaler wird:
Und wir müssen das größte Negativ finden!! Das bedeutet, dass es hier keinen Sinn mehr macht, in die negative Richtung zu gehen. Und die größte negative Wurzel für diese Reihe wird gleich sein.
Schauen wir uns nun die zweite Serie an:
Und wieder ersetzen wir: , dann:
Nicht interessiert!
Dann macht es keinen Sinn mehr zu steigern! Reduzieren wir es! Dann sei:
Passt!
Lassen. Dann
Dann - die größte negative Wurzel!
Antwort:
Aufgabe Nr. 2
Wir lösen erneut, unabhängig vom komplexen Kosinusargument:
Jetzt drücken wir noch einmal links aus:
Multiplizieren Sie beide Seiten mit
Teilen Sie beide Seiten durch
Jetzt müssen Sie ihn nur noch nach rechts verschieben und dabei sein Vorzeichen von Minus auf Plus ändern.
Wir erhalten wieder zwei Wurzelreihen, eine mit und die andere mit.
Wir müssen die größte negative Wurzel finden. Schauen wir uns die erste Folge an:
Es ist klar, dass wir die erste negative Wurzel erhalten werden, sie wird gleich der größten negativen Wurzel in 1 Reihe sein und diese sein.
Für die zweite Serie
Die erste negative Wurzel wird ebenfalls bei erhalten und ist gleich. Denn dann ist die größte negative Wurzel der Gleichung.
Antwort: .
Aufgabe Nr. 3
Wir lösen, unabhängig vom komplexen Tangentenargument.
Nun, es scheint nicht kompliziert zu sein, oder?
Wie zuvor drücken wir auf der linken Seite aus:
Nun, das ist großartig, es gibt hier nur eine Reihe von Wurzeln! Finden wir noch einmal das größte Negativ.
Es ist klar, dass es klappt, wenn man es hinlegt. Und diese Wurzel ist gleich.
Antwort:
Versuchen Sie nun, die folgenden Probleme selbst zu lösen.
Hausaufgaben oder 3 Aufgaben zur selbstständigen Lösung.
- Lösen Sie die Gleichung auf.
- Lösen Sie die Gleichung auf.
In der Antwort auf die pi-shi-th-die-kleinstmögliche Wurzel. - Lösen Sie die Gleichung auf.
In der Antwort auf die pi-shi-th-die-kleinstmögliche Wurzel.
Bereit? Lass uns das Prüfen. Ich werde nicht den gesamten Lösungsalgorithmus im Detail beschreiben; es scheint mir, dass ihm oben bereits genügend Aufmerksamkeit geschenkt wurde.
Na, ist alles in Ordnung? Oh, diese fiesen Nebenhöhlen, mit denen gibt es immer irgendwelche Probleme!
Nun können Sie einfache trigonometrische Gleichungen lösen!
Schauen Sie sich die Lösungen und Antworten an:
Aufgabe Nr. 1
Lassen Sie uns ausdrücken
Die kleinste positive Wurzel erhält man, wenn man seit, dann setzt
Antwort:
Aufgabe Nr. 2
Die kleinste positive Wurzel erhält man bei.
Es wird gleich sein.
Antwort: .
Aufgabe Nr. 3
Wann wir bekommen, wann wir haben.
Antwort: .
Dieses Wissen wird Ihnen helfen, viele Probleme zu lösen, auf die Sie in der Prüfung stoßen werden.
Wenn Sie sich für eine „5“-Bewertung bewerben, müssen Sie nur mit dem Lesen des Artikels fortfahren Mittlere Stufe die sich der Lösung komplexerer trigonometrischer Gleichungen widmet (Aufgabe C1).
DURCHSCHNITTSNIVEAU
In diesem Artikel werde ich beschreiben Lösung komplexerer trigonometrischer Gleichungen und wie man ihre Wurzeln auswählt. Dabei werde ich auf folgende Themen zurückgreifen:
- Trigonometrische Gleichungen für Anfänger (siehe oben).
Komplexere trigonometrische Gleichungen bilden die Grundlage für fortgeschrittene Probleme. Sie erfordern sowohl das Lösen der Gleichung selbst in allgemeiner Form als auch das Finden der Wurzeln dieser Gleichung, die zu einem bestimmten gegebenen Intervall gehören.
Das Lösen trigonometrischer Gleichungen besteht aus zwei Teilaufgaben:
- Lösung der Gleichung
- Wurzelauswahl
Es ist zu beachten, dass die zweite Option nicht immer erforderlich ist, in den meisten Beispielen jedoch dennoch eine Auswahl erforderlich ist. Aber wenn es nicht erforderlich ist, dann können wir Ihnen recht geben – das bedeutet, dass die Gleichung an sich recht komplex ist.
Meine Erfahrung bei der Analyse von C1-Problemen zeigt, dass sie normalerweise in die folgenden Kategorien unterteilt werden.
Vier Kategorien von Aufgaben mit erhöhter Komplexität (ehemals C1)
- Gleichungen, die auf Faktorisierung reduziert werden.
- Auf die Form reduzierte Gleichungen.
- Gleichungen, die durch Ändern einer Variablen gelöst werden.
- Gleichungen, die aufgrund von Irrationalität oder Nenner eine zusätzliche Auswahl von Wurzeln erfordern.
Vereinfacht gesagt: wenn man erwischt wird eine der Gleichungen der ersten drei Typen, dann können Sie sich glücklich schätzen. Für sie müssen Sie in der Regel zusätzlich Wurzeln auswählen, die zu einem bestimmten Intervall gehören.
Wenn Sie auf eine Gleichung vom Typ 4 stoßen, haben Sie weniger Glück: Sie müssen länger und sorgfältiger daran basteln, aber oft ist keine zusätzliche Auswahl von Wurzeln erforderlich. Dennoch werde ich diese Art von Gleichungen im nächsten Artikel analysieren und diesen werde ich der Lösung von Gleichungen der ersten drei Arten widmen.
Gleichungen, die auf Faktorisierung reduziert werden
Das Wichtigste, was Sie beachten müssen, um diese Art von Gleichung zu lösen, ist
Wie die Praxis zeigt, sind diese Kenntnisse in der Regel ausreichend. Schauen wir uns einige Beispiele an:
Beispiel 1. Gleichung reduziert auf Faktorisierung unter Verwendung der Reduktions- und Doppelwinkelsinusformeln
- Lösen Sie die Gleichung auf
- Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die über dem Schnitt liegen
Hier funktionieren, wie versprochen, die Reduktionsformeln:
Dann sieht meine Gleichung so aus:
Dann wird meine Gleichung die folgende Form annehmen:
Ein kurzsichtiger Student könnte sagen: Jetzt reduziere ich beide Seiten, bekomme die einfachste Gleichung und genieße das Leben! Und er wird sich bitter irren!
| Denken Sie daran: Sie können niemals beide Seiten einer trigonometrischen Gleichung durch eine Funktion reduzieren, die ein Unbekanntes enthält! SO VERLIEREN SIE IHRE WURZELN! |
Was also tun? Ja, es ist ganz einfach: Schieben Sie alles beiseite und entfernen Sie den gemeinsamen Faktor:
Nun, wir haben es in Faktoren eingerechnet, Hurra! Nun lasst uns entscheiden:
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und der zweite:
Damit ist der erste Teil des Problems abgeschlossen. Jetzt müssen Sie die Wurzeln auswählen:
Die Lücke sieht so aus:
Oder es kann auch so geschrieben werden:
Schauen wir uns die Wurzeln an:
Lassen Sie uns zunächst mit der ersten Episode arbeiten (und sie ist, gelinde gesagt, einfacher!)
Da unser Intervall vollständig negativ ist, besteht keine Notwendigkeit, nichtnegative Intervalle zu verwenden, sie ergeben immer noch nichtnegative Wurzeln.
Nehmen wir es also – es ist zu viel, es trifft nicht.
Dann lass es sein – ich habe nicht noch einmal zugeschlagen.
Noch ein Versuch – dann – ja, ich habe es geschafft! Die erste Wurzel wurde gefunden!
Ich schieße noch einmal: dann treffe ich erneut!
Na ja, noch einmal: : - das ist schon ein Flug.
Aus der ersten Reihe gibt es also zwei Wurzeln, die zum Intervall gehören: .
Wir arbeiten mit der zweiten Serie (wir bauen zur Potenz gemäß der Regel):
Unterschreiten!
Ich vermisse es schon wieder!
Ich vermisse es schon wieder!
Habe es!
Flug!
Somit hat mein Intervall die folgenden Wurzeln:
Dies ist der Algorithmus, den wir zur Lösung aller anderen Beispiele verwenden werden. Lasst uns gemeinsam mit einem weiteren Beispiel üben.
Beispiel 2. Gleichung mithilfe von Reduktionsformeln auf Faktorisierung reduziert
- Löse die Gleichung
Lösung:
Nochmals die berüchtigten Reduktionsformeln:
Versuchen Sie nicht, noch einmal einzuschränken!
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und der zweite:
Jetzt wieder die Suche nach Wurzeln.
Ich fange mit der zweiten Folge an, ich weiß bereits alles darüber aus dem vorherigen Beispiel! Schauen Sie und stellen Sie sicher, dass die zum Intervall gehörenden Wurzeln wie folgt lauten:
Jetzt die erste Folge und es ist einfacher:
Wenn - geeignet
Wenn das auch in Ordnung ist
Wenn es bereits ein Flug ist.
Dann lauten die Wurzeln wie folgt:
Selbstständige Arbeit. 3 Gleichungen.
Nun, ist Ihnen die Technik klar? Scheint das Lösen trigonometrischer Gleichungen nicht mehr so schwierig zu sein? Dann lösen Sie schnell selbst die folgenden Probleme, und dann lösen wir weitere Beispiele:
- Löse die Gleichung
Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die über dem Intervall liegen. - Lösen Sie die Gleichung auf
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, die über dem Schnitt liegen - Lösen Sie die Gleichung auf
Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zwischen ihnen liegen.
Gleichung 1.
Und noch einmal die Reduktionsformel:
Erste Wurzelserie:
Zweite Wurzelreihe:
Wir beginnen mit der Auswahl für die Lücke
Antwort: , .
Gleichung 2. Überprüfung selbstständiger Arbeit.
Eine ziemlich knifflige Gruppierung in Faktoren (ich verwende die Doppelwinkelsinusformel):
dann oder
Dies ist eine allgemeine Lösung. Jetzt müssen wir die Wurzeln auswählen. Das Problem besteht darin, dass wir den genauen Wert eines Winkels nicht bestimmen können, dessen Kosinus einem Viertel entspricht. Deshalb kann ich den Arkuskosinus nicht einfach loswerden – so schade!
Was ich tun kann, ist, das so, so, dann herauszufinden.
Erstellen wir eine Tabelle: Intervall:
Nun, durch mühsames Suchen kamen wir zu dem enttäuschenden Schluss, dass unsere Gleichung eine Wurzel im angegebenen Intervall hat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Gleichung 3: Unabhängiger Arbeitstest.
Eine erschreckend aussehende Gleichung. Es lässt sich jedoch ganz einfach lösen, indem man die Doppelwinkelsinusformel anwendet:
Reduzieren wir es um 2:
Lassen Sie uns den ersten Term mit dem zweiten und den dritten mit dem vierten gruppieren und die gemeinsamen Faktoren herausnehmen:
Es ist klar, dass die erste Gleichung keine Wurzeln hat, und nun betrachten wir die zweite:
Im Allgemeinen wollte ich etwas später auf das Lösen solcher Gleichungen eingehen, aber da es aufgetaucht ist, gibt es nichts zu tun, ich muss es lösen ...
Gleichungen der Form:
Diese Gleichung wird gelöst, indem beide Seiten geteilt werden durch:
Somit hat unsere Gleichung eine einzige Reihe von Wurzeln:
Wir müssen diejenigen finden, die zum Intervall gehören: .
Lassen Sie uns noch einmal eine Tabelle erstellen, wie ich es zuvor getan habe:
Antwort: .
Gleichungen reduziert auf die Form:
Nun ist es an der Zeit, mit dem zweiten Teil der Gleichungen fortzufahren, insbesondere da ich bereits ausführlich dargelegt habe, woraus die Lösung für trigonometrische Gleichungen eines neuen Typs besteht. Aber es lohnt sich zu wiederholen, dass die Gleichung die Form hat
Gelöst durch Division beider Seiten durch den Kosinus:
- Lösen Sie die Gleichung auf
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, die über dem Schnitt liegen. - Lösen Sie die Gleichung auf
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, die zwischen ihnen liegen.
Beispiel 1.
Der erste ist ganz einfach. Gehen Sie nach rechts und wenden Sie die Doppelwinkelkosinusformel an:
Ja! Gleichung der Form: . Ich dividiere beide Teile durch
Wir führen Root-Screening durch:
Lücke:
Antwort:
Beispiel 2.
Alles ist auch ganz trivial: Öffnen wir die Klammern rechts:
Grundlegende trigonometrische Identität:
Sinus des Doppelwinkels:
Schließlich erhalten wir:
Root-Screening: Intervall.
Antwort: .
Wie gefällt Ihnen die Technik? Ist sie nicht zu kompliziert? Ich hoffe nicht. Wir können sofort einen Vorbehalt machen: In ihrer reinen Form sind Gleichungen, die sich sofort auf eine Gleichung für den Tangens reduzieren lassen, recht selten. Typischerweise ist dieser Übergang (Division durch Kosinus) nur ein Teil eines komplexeren Problems. Hier ist ein Beispiel zum Üben:
- Lösen Sie die Gleichung auf
- Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die über dem Schnitt liegen.
Lass uns das Prüfen:
Die Gleichung kann sofort gelöst werden; es genügt, beide Seiten zu dividieren durch:
Wurzelscreening:
Antwort: .
Auf die eine oder andere Weise sind wir bisher noch nicht auf Gleichungen der Art gestoßen, die wir gerade untersucht haben. Allerdings ist es noch zu früh, um Schluss zu machen: Es gibt immer noch eine weitere „Schicht“ von Gleichungen, die wir nicht geklärt haben. Also:
Lösen trigonometrischer Gleichungen durch Ändern von Variablen
Hier ist alles transparent: Wir schauen uns die Gleichung genau an, vereinfachen sie so weit wie möglich, führen eine Substitution durch, lösen sie, führen eine umgekehrte Substitution durch! In Worten ist alles sehr einfach. Sehen wir es uns in Aktion an:
Beispiel.
- Löse die Gleichung: .
- Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die über dem Schnitt liegen.
Nun, hier bietet sich uns der Ersatz selbst an!
Dann sieht unsere Gleichung wie folgt aus:
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und das zweite ist so:
Lassen Sie uns nun die Wurzeln finden, die zum Intervall gehören
Antwort: .
Schauen wir uns gemeinsam ein etwas komplexeres Beispiel an:
- Lösen Sie die Gleichung auf
- Geben Sie die Wurzeln der gegebenen Gleichung an, die darüber liegen und zwischen ihnen liegen.
Hier ist der Ersatz nicht sofort sichtbar, außerdem ist er nicht sehr offensichtlich. Denken wir zunächst: Was können wir tun?
Wir können es uns zum Beispiel vorstellen
Und gleichzeitig
Dann wird meine Gleichung die Form annehmen:
Und nun Aufmerksamkeit, Fokus:
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch:
Plötzlich haben Sie und ich eine quadratische Gleichung relativ! Machen wir einen Ersatz, dann erhalten wir:
Die Gleichung hat die folgenden Wurzeln:
Unangenehme zweite Wurzelreihe, aber da kann man nichts machen! Wir wählen Wurzeln im Intervall.
Das müssen wir auch bedenken
Seitdem und dann
Antwort:
Um dies zu festigen, bevor Sie die Probleme selbst lösen, ist hier eine weitere Übung für Sie:
- Lösen Sie die Gleichung auf
- Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zwischen ihnen liegen.
Hier gilt es, die Augen offen zu halten: Wir haben jetzt Nenner, die Null sein können! Deshalb müssen Sie besonders auf die Wurzeln achten!
Zunächst muss ich die Gleichung umstellen, damit ich eine passende Substitution vornehmen kann. Mir fällt jetzt nichts Besseres ein, als den Tangens in Sinus und Cosinus umzuschreiben:
Jetzt werde ich vom Kosinus zum Sinus wechseln, indem ich die grundlegende trigonometrische Identität verwende:
Und zum Schluss bringe ich alles auf einen gemeinsamen Nenner:
Jetzt kann ich mit der Gleichung fortfahren:
Aber bei (das heißt bei).
Jetzt ist alles zum Austausch bereit:
Dann oder
Beachten Sie jedoch: Wenn, dann gleichzeitig!
Wer leidet darunter? Das Problem mit dem Tangens besteht darin, dass er nicht definiert ist, wenn der Kosinus gleich Null ist (Division durch Null erfolgt).
Somit sind die Wurzeln der Gleichung:
Nun sieben wir die Wurzeln im Intervall heraus:
| - passt | |
| - übertrieben |
Somit hat unsere Gleichung eine einzige Wurzel im Intervall und ist gleich.
Sie sehen: Das Erscheinen eines Nenners (führt genau wie der Tangens zu gewissen Schwierigkeiten mit den Wurzeln! Hier ist mehr Vorsicht geboten!).
Nun, Sie und ich haben die Analyse der trigonometrischen Gleichungen fast abgeschlossen; es bleibt nur noch sehr wenig übrig, um zwei Probleme alleine zu lösen. Hier sind sie.
- Löse die Gleichung
Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die über dem Schnitt liegen. - Lösen Sie die Gleichung auf
Geben Sie die Wurzeln dieser Gleichung an, die sich über dem Schnitt befinden.
Entschieden? Ist es nicht sehr schwierig? Lass uns das Prüfen:
- Wir arbeiten nach den Reduktionsformeln:
Setzen Sie in die Gleichung ein:
Schreiben wir alles durch Kosinus um, um die Ersetzung einfacher zu machen:
Jetzt ist es ganz einfach, einen Ersatz vorzunehmen:
Es ist klar, dass es sich um eine fremde Wurzel handelt, da die Gleichung keine Lösungen hat. Dann:
Wir suchen nach den Wurzeln, die wir im Intervall brauchen
Antwort: .
Hier ist der Ersatz sofort sichtbar:Dann oder
- passt! - passt! - passt! - passt! - viel! - auch viel! Antwort:
So, das war's jetzt! Aber damit ist das Lösen trigonometrischer Gleichungen noch nicht getan; wir bleiben in den schwierigsten Fällen zurück: wenn die Gleichungen Irrationalität oder verschiedene Arten von „komplexen Nennern“ enthalten. Wie man solche Aufgaben löst, schauen wir uns in einem Artikel für Fortgeschrittene an.
FORTGESCHRITTENES LEVEL
Zusätzlich zu den trigonometrischen Gleichungen, die in den beiden vorherigen Artikeln besprochen wurden, werden wir eine weitere Klasse von Gleichungen betrachten, die eine noch sorgfältigere Analyse erfordern. Diese trigonometrischen Beispiele enthalten entweder Irrationalität oder einen Nenner, was ihre Analyse erschwert. Allerdings kann es durchaus sein, dass Ihnen diese Gleichungen in Teil C der Prüfungsarbeit begegnen. Allerdings hat jede Wolke einen Lichtblick: Bei solchen Gleichungen stellt sich in der Regel nicht mehr die Frage, welche ihrer Wurzeln zu einem bestimmten Intervall gehört. Reden wir nicht um den heißen Brei herum, sondern gehen wir gleich zu den trigonometrischen Beispielen über.
Beispiel 1.
Lösen Sie die Gleichung und finden Sie die Wurzeln, die zum Segment gehören.
Lösung:
Wir haben einen Nenner, der nicht gleich Null sein sollte! Dann ist das Lösen dieser Gleichung dasselbe wie das Lösen des Systems
Lassen Sie uns jede der Gleichungen lösen:
Und jetzt der zweite:
Schauen wir uns nun die Serie an:
Es ist klar, dass diese Option nicht zu uns passt, da in diesem Fall unser Nenner auf Null zurückgesetzt wird (siehe Formel für die Wurzeln der zweiten Gleichung).
Wenn ja, dann ist alles in Ordnung und der Nenner ist nicht Null! Dann lauten die Wurzeln der Gleichung wie folgt: , .
Nun wählen wir die Wurzeln aus, die zum Intervall gehören.
| - ungeeignet | - passt | |
| - passt | - passt | |
| Overkill | Overkill |
Dann lauten die Wurzeln wie folgt:
Sie sehen, selbst das Auftreten einer kleinen Störung in der Form des Nenners hatte erhebliche Auswirkungen auf die Lösung der Gleichung: Wir haben eine Reihe von Wurzeln verworfen, die den Nenner zunichte gemacht haben. Noch komplizierter kann es werden, wenn Sie auf trigonometrische Beispiele stoßen, die irrational sind.
Beispiel 2.
Löse die Gleichung:
Lösung:
Nun, zumindest müssen Sie die Wurzeln nicht entfernen, und das ist gut so! Lösen wir zunächst die Gleichung, unabhängig von der Irrationalität:
Also, ist das alles? Nein, leider wäre es zu einfach! Wir müssen bedenken, dass unter der Wurzel nur nicht negative Zahlen erscheinen können. Dann:
Die Lösung dieser Ungleichung lautet:
Nun muss noch herausgefunden werden, ob ein Teil der Wurzeln der ersten Gleichung versehentlich dort gelandet ist, wo die Ungleichung nicht gilt.
Dazu können Sie wieder die Tabelle verwenden:
| : , Aber | Nein! | |
| Ja! | ||
| Ja! |
Somit ist eine meiner Wurzeln „herausgefallen“! Es stellt sich heraus, wenn man es hinlegt. Dann kann die Antwort wie folgt geschrieben werden:
Antwort:
Sie sehen, die Wurzel erfordert noch mehr Aufmerksamkeit! Machen wir es komplizierter: Jetzt habe ich eine trigonometrische Funktion unter meiner Wurzel.
Beispiel 3.
Wie zuvor: Zuerst werden wir jedes einzeln lösen und dann darüber nachdenken, was wir getan haben.
Nun die zweite Gleichung:
Am schwierigsten ist es nun herauszufinden, ob sich unter der arithmetischen Wurzel negative Werte ergeben, wenn wir dort die Wurzeln aus der ersten Gleichung einsetzen:
Die Zahl muss im Bogenmaß verstanden werden. Da ein Bogenmaß ungefähr Grad ist, liegt das Bogenmaß in der Größenordnung von Grad. Dies ist die Ecke des zweiten Viertels. Welches Vorzeichen hat der Kosinus des zweiten Viertels? Minus. Was ist mit Sinus? Plus. Was können wir also über den Ausdruck sagen:
Es ist weniger als Null!
Dies bedeutet, dass es nicht die Wurzel der Gleichung ist.
Jetzt ist es Zeit.
Vergleichen wir diese Zahl mit Null.
Kotangens ist eine Funktion, die in einem Viertel abnimmt (je kleiner das Argument, desto größer der Kotangens). Das Bogenmaß ist eine ungefähre Angabe in Grad. Gleichzeitig
seitdem, dann und deshalb
,
Antwort: .
Könnte es noch komplizierter werden? Bitte! Schwieriger wird es, wenn die Wurzel immer noch eine trigonometrische Funktion ist und der zweite Teil der Gleichung wiederum eine trigonometrische Funktion ist.
Je mehr trigonometrische Beispiele, desto besser, siehe unten:
Beispiel 4.
Die Wurzel ist aufgrund des begrenzten Kosinus nicht geeignet
Nun der Zweite:
Gleichzeitig gilt per Definition einer Wurzel:
Wir müssen uns an den Einheitskreis erinnern: nämlich an die Viertel, in denen der Sinus kleiner als Null ist. Was sind das für Viertel? Dritter und vierter. Dann interessieren uns diejenigen Lösungen der ersten Gleichung, die im dritten oder vierten Viertel liegen.
Die erste Reihe ergibt Wurzeln, die am Schnittpunkt des dritten und vierten Viertels liegen. Die zweite Reihe – diametral dazu – führt zu Wurzeln, die an der Grenze des ersten und zweiten Viertels liegen. Daher ist diese Serie für uns nicht geeignet.
Antwort: ,
Und wieder trigonometrische Beispiele mit „schwieriger Irrationalität“. Wir haben die trigonometrische Funktion nicht nur wieder unter der Wurzel, sondern jetzt auch im Nenner!
Beispiel 5.
Nun, es geht nichts – wir machen wie bisher.
Jetzt arbeiten wir mit dem Nenner:
Ich möchte die trigonometrische Ungleichung nicht lösen, also mache ich etwas Schlaues: Ich nehme meine Reihe von Wurzeln und setze sie in die Ungleichung ein:
Wenn - gerade ist, dann gilt:
da alle Blickwinkel im vierten Viertel liegen. Und wieder die heilige Frage: Welches Vorzeichen hat der Sinus im vierten Viertel? Negativ. Dann die Ungleichheit
Wenn -ungerade, dann:
In welchem Viertel liegt der Winkel? Dies ist die Ecke des zweiten Viertels. Dann sind alle Ecken wieder die Ecken des zweiten Viertels. Der Sinus dort ist positiv. Genau das, was Sie brauchen! Also die Serie:
Passt!
Mit der zweiten Wurzelreihe gehen wir genauso um:
Wir setzen in unsere Ungleichung ein:
Wenn – sogar, dann
Ecken im ersten Viertel. Der Sinus dort ist positiv, was bedeutet, dass die Reihe geeignet ist. Wenn nun – seltsam, dann:
passt auch!
Nun, jetzt schreiben wir die Antwort auf!
Antwort:
Nun, das war vielleicht der arbeitsintensivste Fall. Jetzt biete ich Ihnen Probleme an, die Sie selbst lösen können.
Ausbildung
- Lösen und finden Sie alle Wurzeln der Gleichung, die zum Segment gehören.
Lösungen:
Erste Gleichung:
oder
ODZ der Wurzel:Zweite Gleichung:
Auswahl der Wurzeln, die zum Intervall gehören
Antwort:
Oder
oder
Aber
Betrachten wir: . Wenn – sogar, dann
- ungeeignet!
Wenn - ungerade, : - passend!
Das bedeutet, dass unsere Gleichung die folgende Reihe von Wurzeln hat:
oder
Auswahl der Wurzeln im Intervall:
| - ungeeignet | - passt | |
| - passt | - viel | |
| - passt | viel |
Antwort: , .
Oder
Denn dann ist die Tangente nicht definiert. Diese Wurzelreihe verwerfen wir sofort!
Zweiter Teil:
Gleichzeitig sei dies laut DZ erforderlich
Wir überprüfen die in der ersten Gleichung gefundenen Wurzeln:
Wenn das Zeichen:
Erste Viertelwinkel, bei denen die Tangente positiv ist. Ungeeignet!
Wenn das Zeichen:
Ecke im vierten Viertel. Dort ist die Tangente negativ. Passt. Wir schreiben die Antwort auf:
Antwort: , .
Wir haben uns in diesem Artikel gemeinsam komplexe trigonometrische Beispiele angesehen, Sie sollten die Gleichungen jedoch selbst lösen.
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte streng unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht.
Es gibt zwei Möglichkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen:
Der erste Weg ist die Verwendung von Formeln.
Der zweite Weg führt über den trigonometrischen Kreis.
Ermöglicht das Messen von Winkeln, das Ermitteln ihrer Sinus- und Cosinuswerte usw.
