Wellenprozess. Wellengleichung

Eine Welle ist der Prozess der Ausbreitung einer Schwingung (oder eines anderen Signals) im Raum.

Stellen wir uns das zum Beispiel an allen Punkten der Ebene vor YOZ Einige physikalische Parameter ändern sich im Laufe der Zeit gemäß einem harmonischen Gesetz

Lassen Sie die Schwingungen dieses abstrakten Parameters sich entlang der Achse ausbreiten OCHSE mit Geschwindigkeit v(Abb. 13.1.). Dann in der Ebene mit Koordinaten X Die anfänglichen Vibrationen wiederholen sich erneut, jedoch mit einer Verzögerung von Sekunden:

Reis. 13.1.

Die Funktion (13.1) wird als ebene Wellengleichung bezeichnet. Diese wichtige Funktion wird oft in dieser Form geschrieben

Hier: E 0 und w - Amplitude und Frequenz der Schwingungen in der Welle,

(w T – kx+ - Wellenphase,

a - Anfangsphase,

Wellenzahl,

v- Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.

Die Menge aller Punkte im Raum, an denen Schwingungen in der gleichen Phase auftreten, bestimmt Phasenoberfläche. In unserem Beispiel handelt es sich um ein Flugzeug.

(w T – kx+ = F = const – Bewegungsgleichung der Phasenoberfläche während der Wellenausbreitung. Nehmen wir die Ableitung dieser Gleichung nach der Zeit:

w – k= 0.

Hier = v f - Bewegungsgeschwindigkeit der Phasenoberfläche - Phasengeschwindigkeit.

= v f = .

Somit ist die Phasengeschwindigkeit gleich der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.

Die Phasenfläche, die den vom Wellenprozess abgedeckten Raum von dem Teil trennt, den die Welle noch nicht erreicht hat, wird Wellenfront genannt. Auch die Wellenfront als eine der Phasenflächen bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit. Beispielsweise beträgt diese Geschwindigkeit einer akustischen Welle in Luft 330 m/s und einer Lichtwelle (elektromagnetischen Welle) im Vakuum 3×10 8 m/s.

Wellengleichung E = E 0 ×cos(w T – kx+ j) stellt die Lösung dar Differentialwellengleichung. Um diese Differentialgleichung zu finden, differenzieren wir die Wellengleichung (13.2) zweimal nach der Zeit und dann zweimal nach der Koordinate:

Wenn wir diese beiden Ausdrücke vergleichen, finden wir das

Aber die Wellenzahl k= , also

. (13.3)

Dies ist die Differentialgleichung des Wellenprozesses - Wellengleichung.

Das wollen wir noch einmal festhalten Wellengleichung(13.2) gibt es eine Lösung Wellengleichung (13.3).

Die Wellengleichung kann natürlich auch so geschrieben werden:

Nun ist es offensichtlich, dass in der Wellengleichung der Koeffizient der zweiten Ableitung nach der Koordinate gleich dem Quadrat der Phasengeschwindigkeit der Welle ist.

Wenn wir das Bewegungsproblem lösen, erhalten wir eine Differentialgleichung der Art

dann bedeutet dies, dass es sich um die untersuchte Bewegung handelt natürliche gedämpfte Schwingungen…

Wenn bei der Lösung eines regulären Problems eine Differentialgleichung entsteht

dann bedeutet das, dass es untersucht wird Wellenprozess und die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Welle.

Sicherheitshinweise

Bei der Durchführung von Laborarbeiten

Im Inneren der bei den Arbeiten eingesetzten elektrischen Messgeräte herrscht eine lebensgefährliche Netzwechselspannung von 220 V, 50 Hz.

Die gefährlichsten Stellen sind Netzschalter, Sicherungssteckdosen, Netzkabel von Geräten und spannungsführende Anschlussleitungen.

Studierende, die eine Schulung zu Sicherheitsmaßnahmen bei der Durchführung von Laborarbeiten absolviert haben, dürfen Laborarbeiten in einem Lehrlabor mit der obligatorischen Eintragung in das Protokollprotokoll zur Prüfung von Kenntnissen zu Sicherheitsmaßnahmen bei der Durchführung von Laborarbeiten durchführen.

Bevor die Schüler Laborarbeiten durchführen
notwendig:

Erlernen Sie die Methodik zur Durchführung von Laborarbeiten und die Regeln für deren sichere Durchführung.

Machen Sie sich mit dem Versuchsaufbau vertraut; kennen sichere Methoden und Techniken für den Umgang mit Instrumenten und Geräten bei der Durchführung dieser Laborarbeiten;

Überprüfen Sie die Qualität der Netzkabel; Stellen Sie sicher, dass alle spannungsführenden Teile der Geräte geschlossen und für Berührungen unzugänglich sind.

Überprüfen Sie die Zuverlässigkeit der Verbindung der Klemmen am Gerätegehäuse mit der Erdungsschiene;

Wenn eine Störung festgestellt wird, melden Sie diese sofort dem Lehrer oder Techniker.

Holen Sie die Erlaubnis des Lehrers zur Durchführung ein und bestätigen Sie damit, dass Sie den theoretischen Stoff beherrschen. Ein Student, der keine Erlaubnis zur Durchführung von Laborarbeiten erhalten hat, ist nicht zugelassen.

Das Einschalten der Geräte erfolgt durch einen Lehrer oder Techniker. Erst wenn er von der Gebrauchstauglichkeit der Instrumente und der korrekten Montage überzeugt ist, kann er mit der Laborarbeit beginnen.

Bei der Durchführung von Laborarbeiten müssen die Studierenden:

Lassen Sie eingeschaltete Geräte nicht unbeaufsichtigt;

Lehnen Sie sich nicht zu nah an sie heran, führen Sie keine Gegenstände hindurch und stützen Sie sich nicht darauf.

Wenn Sie mit Gewichten arbeiten, befestigen Sie diese sicher mit Befestigungsschrauben an den Achsen.

Der Austausch eines Elements der Installation, das Anschließen oder Trennen lösbarer Verbindungen sollte nur bei ausgeschalteter Stromversorgung und unter strenger Aufsicht eines Lehrers oder Ingenieurs durchgeführt werden.

Melden Sie alle bei der Laborarbeit festgestellten Mängel dem Lehrer oder Ingenieur.

Am Ende der Arbeit werden die Geräte und Geräte durch einen Lehrer oder Ingenieur vom Stromnetz getrennt.

Laborarbeit Nr. 5

BESTIMMUNG DER SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN DER LUFT MIT DER STEHWELLENMETHODE

Ziel der Arbeit:

sich mit den Hauptmerkmalen von Wellenprozessen vertraut machen;

Studieren Sie die Entstehungsbedingungen und Merkmale einer stehenden Welle.

Berufsziele

Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit in Luft mit der Stehwellenmethode.

Bestimmen Sie das Verhältnis der isobaren zur isochoren Wärmekapazität für Luft.

Das Konzept der Wellen.

Ein Körper, der mechanische Schwingungen ausführt, überträgt aufgrund von Reibungs- oder Widerstandskräften Wärme an die Umgebung, was die zufällige Bewegung von Partikeln der Umgebung verstärkt. In vielen Fällen kommt es jedoch aufgrund der Energie des Schwingungssystems zu einer geordneten Bewegung benachbarter Partikel der Umgebung – sie beginnen unter dem Einfluss elastischer Kräfte, die die Partikel miteinander verbinden, erzwungene Schwingungen relativ zu ihrer Ausgangsposition auszuführen. Das Raumvolumen, in dem diese Schwingungen auftreten, nimmt mit der Zeit zu. Solch Der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen in einem Medium wird Wellenbewegung oder einfach Welle genannt.
Im Allgemeinen ist das Vorhandensein elastischer Eigenschaften in einem Medium nicht erforderlich, damit sich Wellen darin ausbreiten können. Beispielsweise breiten sich elektromagnetische Wellen und Gravitationswellen auch im Vakuum aus. Daher werden in der Physik alle Störungen des Materie- oder Feldzustands, die sich im Raum ausbreiten, als Wellen bezeichnet. Unter Störung versteht man die Abweichung physikalischer Größen von ihren Gleichgewichtszuständen.

Unter einer Störung versteht man in Festkörpern eine sich periodisch ändernde Verformung, die durch Einwirkung einer periodischen Kraft erzeugt wird und dazu führt, dass die Teilchen des Mediums von der Gleichgewichtslage abweichen – ihre erzwungenen Schwingungen. Bei der Betrachtung der Prozesse der Wellenausbreitung in Körpern abstrahiert man üblicherweise von der molekularen Struktur dieser Körper und betrachtet Körper als ein kontinuierliches Medium, das kontinuierlich im Raum verteilt ist. Unter einem Teilchen eines Mediums, das erzwungene Schwingungen ausführt, versteht man ein kleines Element des Volumens des Mediums, dessen Abmessungen gleichzeitig um ein Vielfaches größer sind als die intermolekularen Abstände. Aufgrund der Einwirkung elastischer Kräfte breitet sich die Verformung im Medium mit einer bestimmten Geschwindigkeit, der sogenannten Wellengeschwindigkeit, aus.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Partikel des Mediums nicht von der sich bewegenden Welle mitgerissen werden. Die Geschwindigkeit ihrer oszillierenden Bewegung unterscheidet sich von der Geschwindigkeit der Welle. Die Flugbahn der Teilchen ist eine geschlossene Kurve und ihre Gesamtabweichung über die Periode ist Null. Daher führt die Ausbreitung von Wellen nicht zu einer Übertragung von Materie, obwohl Energie von der Schwingungsquelle in den umgebenden Raum übertragen wird.

Abhängig von der Richtung, in der Teilchenschwingungen auftreten, spricht man von Wellen longitudinaler oder transversaler Polarisation.

Wellen werden als Longitudinalwellen bezeichnet, wenn die Verschiebung der Partikel des Mediums entlang der Wellenausbreitungsrichtung erfolgt (z. B. bei periodischer elastischer Kompression oder Spannung eines dünnen Stabes entlang seiner Achse). Longitudinalwellen breiten sich in Medien aus, in denen bei Druck oder Zug elastische Kräfte entstehen (also in festen, flüssigen und gasförmigen Medien).

Schwingen die Teilchen senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung, nennt man die Wellen transversal. Sie breiten sich nur in Medien aus, in denen eine Scherverformung möglich ist (nur in Festkörpern). Darüber hinaus breiten sich Scherwellen auf der freien Oberfläche einer Flüssigkeit (z. B. Wellen auf der Wasseroberfläche) oder an der Grenzfläche zwischen zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten (z. B. an der Grenze von Süß- und Salzwasser) aus.

In einem gasförmigen Medium sind Wellen abwechselnde Bereiche mit höherem und niedrigerem Druck und niedrigerer Dichte. Sie entstehen durch erzwungene Schwingungen von Gasteilchen mit unterschiedlichen Phasen an verschiedenen Stellen. Unter dem Einfluss wechselnden Drucks führt das Trommelfell des Ohrs erzwungene Vibrationen aus, die über das einzigartige komplexe System des Hörgeräts dazu führen, dass Bioströme zum Gehirn fließen.

Ebene Wellengleichung. Phasengeschwindigkeit

Wellenoberfläche ist der geometrische Ort von Punkten, die in derselben Phase schwingen. Im einfachsten Fall haben sie die Form einer Ebene oder einer Kugel, und die entsprechende Welle wird ebene oder sphärische Welle genannt. Wellenfront ist der geometrische Ort der Punkte, die Schwingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erreichen. Die Wellenfront trennt die bereits am Wellenprozess beteiligten und die noch nicht beteiligten Raumregionen. Es gibt unendlich viele Wellenoberflächen und diese sind bewegungslos, aber es gibt nur eine Wellenfront und diese bewegt sich mit der Zeit.

Betrachten wir eine ebene Welle, die sich entlang der x-Achse ausbreitet. Lassen Sie die Partikel des Mediums in der Ebene liegen X= 0 , im Moment beginnen T=0, um gemäß dem harmonischen Gesetz relativ zur anfänglichen Gleichgewichtsposition zu schwingen. Dies bedeutet die Verschiebung von Partikeln aus ihrer ursprünglichen Position Fändert sich im Laufe der Zeit nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz, zum Beispiel:

Wo F- Verschiebung dieser Teilchen aus ihrer anfänglichen Gleichgewichtsposition zum jeweiligen Zeitpunkt T, A-maximaler Verschiebungswert (Amplitude); ω - zyklische Frequenz.

Unter Vernachlässigung der Dämpfung im Medium erhalten wir die Schwingungsgleichung von Teilchen, die sich in einer Ebene befinden und einem beliebigen Wert entsprechen X>0). Lassen Sie die Welle sich in Richtung zunehmender Koordinate ausbreiten X. Einen Weg vom Flugzeug aus einschlagen X=0 zur angegebenen Ebene, die Welle braucht Zeit

Wo v-Bewegungsgeschwindigkeit der Oberfläche mit konstanter Phase (Phasengeschwindigkeit).

Daher Schwingungen von Teilchen, die in der Ebene liegen X, wird im Moment beginnen T = τ und erfolgt nach dem gleichen Gesetz wie in der x=0-Ebene, jedoch mit einer zeitlichen Verzögerung des Betrags τ , nämlich:

(3)

Mit anderen Worten, die Verschiebung von Partikeln, die sich gerade befanden T=0 in der x-Ebene, im Moment T wird das gleiche sein wie im Flugzeug X=0, aber zu einem früheren Zeitpunkt

t 1= (4)

Unter Berücksichtigung von (4) wird Ausdruck (3) transformiert:

(5)

Gleichung (5) ist die Gleichung einer ebenen Wanderwelle, die sich entlang der positiven Richtung der Achse ausbreitet X. Daraus lässt sich an jedem Punkt im Raum mit der Koordinate die Abweichung der Teilchen des Mediums vom Gleichgewicht bestimmen X Und das zu jeder Zeit T wenn sich die angegebene Welle ausbreitet. Gleichung (5) entspricht dem Fall, dass den Teilchen im Anfangsmoment eine Anfangsgeschwindigkeit verliehen wurde. Wenn den Teilchen im Anfangsmoment eine Abweichung von der Gleichgewichtslage gegeben wird, ohne dass ihnen Geschwindigkeit verliehen wird, muss in (5) anstelle des Sinus ein Kosinus eingesetzt werden. Das Argument von Kosinus oder Sinus wird als Phase der Schwingung bezeichnet. Die Phase bestimmt den Zustand des Schwingungsprozesses zu einem bestimmten Zeitpunkt (das Vorzeichen und den Absolutwert der relativen Abweichung der Teilchen von ihrer Gleichgewichtsposition). Aus (5) geht hervor, dass die Schwingungsphase der Teilchen in der Ebene liegt X, kleiner als der entsprechende Wert für Partikel, die sich in der Ebene befinden X=0, um einen Betrag gleich .

Wenn sich eine ebene Welle in abnehmender Richtung ausbreitet X(nach links), dann wird Gleichung (5) in die Form umgewandelt:

(6)

Bedenkt, dass

Schreiben wir (6) in der Form:

(8)

Wo T- Schwingungsdauer, ν - Frequenz.

Die Distanz λ, über die sich die Welle während einer Periode ausbreitet T, heißt Wellenlänge.

Man kann die Wellenlänge auch als Abstand zwischen zwei nächstliegenden Punkten definieren, deren Schwingungsphasen sich um 2π unterscheiden (Abb. 1).

Wie oben erwähnt, sind elastische Wellen in Gasen abwechselnde Bereiche mit höherem und niedrigerem Druck und niedrigerer Dichte. Dies wird in Abb. 1 veranschaulicht, die für einen bestimmten Zeitpunkt die Verschiebung von Teilchen (a), ihre Geschwindigkeit (b), ihren Druck oder ihre Dichte (c) an verschiedenen Punkten im Raum zeigt. Teilchen des Mediums bewegen sich mit Geschwindigkeit (nicht zu verwechseln mit der Phasengeschwindigkeit v). Links und rechts der Punkte Eine 1, Eine 3, A5 und andere Teilchengeschwindigkeiten sind auf diese Punkte gerichtet. Daher bilden sich an diesen Stellen Dichte-(Druck-)Maxima. Rechts und links der Punkte Eine 2, Eine 4, Eine 6 und andere Teilchengeschwindigkeiten werden von diesen Punkten aus gerichtet und an ihnen bilden sich Minima der Dichte (Druck).

Die Verschiebung von Teilchen eines Mediums während der Ausbreitung einer Wanderwelle darin zu verschiedenen Zeiten ist in Abb. dargestellt. 2. Wie Sie sehen, gibt es eine Analogie zu Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit. Die Maxima und Minima der Abweichungen von der Gleichgewichtslage bewegen sich im Raum über die Zeit mit Phasengeschwindigkeit v. Die Maxima und Minima der Dichte (Druck) bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit.

Die Phasengeschwindigkeit der Welle hängt von den elastischen Eigenschaften und der Dichte des Mediums ab. Nehmen wir an, es gäbe einen langen elastischen Stab (Abb. 3) mit einer Querschnittsfläche von S, bei dem sich eine Längsstörung entlang der Achse ausbreitet X mit einer flachen Wellenfront Lassen Sie für einen bestimmten Zeitraum ab t 0 Vor t 0+Δt Die Front wird sich vom Punkt weg bewegen A auf den Punkt IN auf eine Distanz AB = vΔt, Wo v– Phasengeschwindigkeit der elastischen Welle. Dauer der Lücke Δt Nehmen wir es so klein, dass die Geschwindigkeit der Teilchenbewegung im gesamten Volumen (also zwischen Abschnitten, die senkrecht zur Achse verlaufen) ist X durch Punkte A Und IN) wird gleich und gleich sein u. Teilchen von einem Punkt A In einer bestimmten Zeitspanne wird eine Strecke zurückgelegt uΔt. An einem Punkt befindliche Teilchen IN, In dem Moment t 0+Δt beginnen sich erst zu bewegen und ihre Bewegung ist zu diesem Zeitpunkt gleich Null. Lassen Sie die anfängliche Länge des Abschnitts AB gleich l. Auf den Moment t 0+Δt es wird sich um den Betrag ändern uΔt, was der Wert der Verformung sein wird Δl. Masse des Stababschnitts zwischen Punkten A Und IN gleich Δm =ρSvΔt. Die Änderung des Impulses dieser Masse über einen bestimmten Zeitraum hinweg t 0 Vor t 0+Δt gleicht

Δр = ρSvuΔt(10).

Auf die Masse wirkende Kraft Δm, kann aus dem Hookeschen Gesetz bestimmt werden:

Nach Newtons zweitem Gesetz, oder. Gleichsetzen

auf der rechten Seite des letzten Ausdrucks und des Ausdrucks (10) erhalten wir:

Daraus folgt:

Scherwellengeschwindigkeit

Wo G- Schubmodul.

Schallwellen in der Luft sind longitudinal. Für Flüssigkeiten und Gase enthält Formel (1) anstelle des Elastizitätsmoduls das Druckabweichungsverhältnis ΔΡ zur relativen Lautstärkeänderung

(13)

Das Minuszeichen bedeutet, dass einer Druckerhöhung (dem Vorgang der Kompression des Mediums) eine Volumenverringerung entspricht und umgekehrt. Unter der Annahme, dass die Volumen- und Druckänderungen verschwindend gering sind, können wir schreiben

(14)

Wenn sich Wellen in Gasen ausbreiten, nehmen Druck und Dichte periodisch zu bzw. ab (während der Kompression bzw. Verdünnung), wodurch sich die Temperatur verschiedener Teile des Mediums ändert. Kompression und Verdünnung erfolgen so schnell, dass angrenzende Abschnitte keine Zeit zum Energieaustausch haben. Prozesse, die in einem System ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ablaufen, werden als adiabatisch bezeichnet. Bei einem adiabatischen Prozess wird die Zustandsänderung des Gases durch die Poisson-Gleichung beschrieben

(15)

Der Parameter γ wird als adiabatischer Exponent bezeichnet. Sie ist gleich dem Verhältnis der molaren Wärmekapazitäten des Gases bei konstantem Druck C p und konstantem Volumen C v:

Wenn wir das Differential von beiden Seiten der Gleichheit (15) bilden, erhalten wir

Daraus folgt:

Durch Einsetzen von (6) in (4) erhalten wir den Gaselastizitätsmodul

Wenn wir (7) in (1) einsetzen, finden wir die Geschwindigkeit elastischer Wellen in Gasen:

Aus der Mendeleev-Clapeyron-Gleichung Wir können die Dichte eines Gases ausdrücken

, (19)

Wo - Molmasse.

Durch Einsetzen von (9) in (8) erhalten wir die endgültige Formel zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in einem Gas:

Wo R- Universelle Gas Konstante, T- Gastemperatur.

Die Messung der Schallgeschwindigkeit ist eine der genauesten Methoden zur Bestimmung des Adiabatenindex.

Wenn wir Formel (10) umwandeln, erhalten wir:

Um den adiabatischen Index zu bestimmen, reicht es daher aus, die Gastemperatur und die Schallgeschwindigkeit zu messen.

In Zukunft wird es bequemer sein, den Kosinus in der Wellengleichung zu verwenden. Unter Berücksichtigung von (19 und 20) kann die Wanderwellengleichung wie folgt dargestellt werden:

(22)

Wo ist die Wellenzahl, die angibt, wie viele Wellenlängen in einen Abstand von 2π Metern passen?

Für eine Wanderwelle, die sich entgegen der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet, erhalten wir:

(23)

Eine besondere Rolle spielen harmonische Wellen (siehe z. B. Gleichungen (5, 6, 22, 23)). Dies liegt daran, dass jede sich ausbreitende Schwingung, egal in welcher Form, immer als Ergebnis einer Überlagerung (Addition) harmonischer Wellen mit entsprechend gewählten Frequenzen, Amplituden und Phasen betrachtet werden kann.

stehende Wellen.

Von besonderem Interesse ist das Ergebnis der Interferenz zweier Wellen mit gleicher Amplitude und Frequenz, die sich aufeinander zu ausbreiten. Dies kann experimentell durchgeführt werden, wenn auf dem Weg der Wanderwelle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung eine gut reflektierende Barriere platziert wird. Durch die Addition (Interferenz) der einfallenden und reflektierten Wellen entsteht eine sogenannte stehende Welle.

Die einfallende Welle sei durch Gleichung (22) und die reflektierte Welle durch Gleichung (23) beschrieben. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Gesamtverschiebung gleich der Summe der von beiden Wellen erzeugten Verschiebungen. Die Addition der Ausdrücke (22) und (23) ergibt

Diese Gleichung, die Stehwellengleichung genannt wird, kann bequem in der Form weiter analysiert werden:

, (25)

Wo ist der Multiplikator?

(26)

ist die Amplitude der stehenden Welle. Wie aus Ausdruck (26) ersichtlich ist, hängt die Amplitude einer stehenden Welle von der Koordinate des Punktes, aber nicht von der Zeit ab. Bei einer wandernden ebenen Welle hängt die Amplitude weder von der Koordinate noch von der Zeit ab (sofern keine Dämpfung vorliegt).

Aus (27) und (28) folgt, dass der Abstand zwischen benachbarten Knoten sowie der Abstand zwischen benachbarten Schwingungsbäuchen gleich ist und der Abstand zwischen benachbarten Knoten und einem Schwingungsbauch gleich ist.

Aus Gleichung (25) folgt, dass alle Punkte des Mediums, die zwischen zwei benachbarten Knoten liegen, in der gleichen Phase schwingen und der Phasenwert nur durch die Zeit bestimmt wird. Insbesondere erreichen sie zum gleichen Zeitpunkt die maximale Abweichung. Für eine Wanderwelle wird, wie aus (16) hervorgeht, die Phase sowohl durch Zeit- als auch durch Raumkoordinaten bestimmt. Dies ist ein weiterer Unterschied zwischen stehenden und wandernden Wellen. Beim Durchgang durch einen Knoten ändert sich die Phase der stehenden Welle schlagartig um 180 o.

Die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage für verschiedene Zeitpunkte in einer stehenden Welle ist in Abb. dargestellt. 4. Als Anfangszeitpunkt wird der Zeitpunkt angesehen, an dem die Partikel des Mediums maximal von der anfänglichen Gleichgewichtslage abweichen (Kurve 1).

Und , dargestellt durch die Kurven 6, 7, 8 und 9, stimmen mit den Abweichungen zu den entsprechenden Zeitpunkten des ersten Halbzyklus überein (d. h. Kurve 6 fällt mit Kurve 4 usw. zusammen). Wie man sieht, wechselt die Teilchenverschiebung ab dem Moment wieder das Vorzeichen.

Bei der Reflexion von Wellen an der Grenze zweier Medien entsteht entweder ein Knoten oder ein Schwingungsbauch (abhängig vom sogenannten akustischen Widerstand des Mediums). Der akustische Widerstand eines Mediums ist die Größe, in der . – Dichte des Mediums, – Geschwindigkeit elastischer Wellen im Medium. Wenn das Medium, von dem die Welle reflektiert wird, einen höheren akustischen Widerstand aufweist als das, in dem diese Welle angeregt wird, entsteht an der Grenzfläche ein Knoten (Abb. 5). In diesem Fall ändert sich die Phase der Welle bei der Reflexion ins Gegenteil (um 180°). Wenn eine Welle von einem Medium mit geringerem akustischen Widerstand reflektiert wird, ändert sich die Phase der Schwingungen nicht.

Im Gegensatz zu einer Wanderwelle, die Energie überträgt, findet bei einer stehenden Welle keine Energieübertragung statt. Eine Wanderwelle kann sich nach rechts oder links bewegen, eine stehende Welle hat jedoch keine Ausbreitungsrichtung. Unter dem Begriff „stehende Welle“ ist ein besonderer, durch interferierende Wellen gebildeter Schwingungszustand des Mediums zu verstehen.

In dem Moment, in dem die Teilchen des Mediums die Gleichgewichtslage passieren, ist die Gesamtenergie der durch die Schwingung eingefangenen Teilchen gleich der kinetischen Energie. Es konzentriert sich in der Nähe von Bäuchen. Im Gegenteil, in dem Moment, in dem die Abweichung der Teilchen von der Gleichgewichtslage maximal ist, ist ihre Gesamtenergie bereits potentiell. Es konzentriert sich in der Nähe der Knoten. Somit erfolgt zweimal pro Periode eine Energieübertragung von den Schwingungsbäuchen zu den Nachbarknoten und umgekehrt. Infolgedessen ist der zeitlich gemittelte Energiefluss in jedem Abschnitt einer stehenden Welle Null.

Als Manuskript

Physik

Vorlesungsnotizen

(Teil 5. Wellen, Wellenoptik)

Für Studierende der Richtung 230400

„Informationssysteme und Technologien“

Elektronische Bildungsressource

Zusammengestellt von: Ph.D., außerordentlicher Professor V.V. Konovalenko

Protokoll Nr. 1 vom 09.04.2013

Wellenprozesse

Grundlegende Konzepte und Definitionen

Betrachten wir ein elastisches Medium – fest, flüssig oder gasförmig. Wenn an einer beliebigen Stelle dieses Mediums Schwingungen seiner Teilchen angeregt werden, dann breiten sich die Schwingungen aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Teilchen, die von einem Teilchen des Mediums auf ein anderes übertragen werden, mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch das Medium aus. Verfahren Ausbreitung von Schwingungen im Raum nennt man Welle .

Wenn Teilchen in einem Medium in der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, spricht man von einer Welle längs Treten Teilchenschwingungen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle auf, so heißt die Welle quer . Transversale mechanische Wellen können nur in einem Medium mit einem Schubmodul ungleich Null entstehen. Daher können sie sich in flüssigen und gasförmigen Medien ausbreiten nur Longitudinalwellen . Am deutlichsten wird der Unterschied zwischen Longitudinal- und Transversalwellen am Beispiel der Schwingungsausbreitung in einer Feder – siehe Abbildung.

Zur Charakterisierung von Transversalschwingungen ist es notwendig, die Position im Raum festzulegen Ebene, die durch die Schwingungsrichtung und die Wellenausbreitungsrichtung verläuft - Polarisationsebene .

Man nennt den Raumbereich, in dem alle Teilchen des Mediums schwingen Wellenfeld . Die Grenze zwischen dem Wellenfeld und dem Rest des Mediums heißt Wellenfront . Mit anderen Worten, Wellenfront – die geometrische Lage der Punkte, die die Schwingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht haben. In einem homogenen und isotropen Medium ist die Richtung der Wellenausbreitung aufrecht zur Wellenfront.

Während im Medium eine Welle existiert, schwingen die Teilchen des Mediums um ihre Gleichgewichtslagen. Lassen Sie diese Schwingungen harmonisch sein, und die Periode dieser Schwingungen ist T. Durch einen Abstand getrennte Teilchen

entlang der Wellenausbreitungsrichtung schwingen auf die gleiche Weise, d.h. Zu jedem Zeitpunkt sind ihre Verschiebungen gleich. Der Abstand wird aufgerufen Wellenlänge . Mit anderen Worten, Wellenlänge ist die Distanz, die eine Welle in einer Schwingungsperiode zurücklegt .

Die geometrische Lage von Punkten, die in derselben Phase schwingen, wird aufgerufen Wellenoberfläche . Eine Wellenfront ist ein Sonderfall einer Wellenoberfläche. Wellenlänge - Minimum der Abstand zwischen zwei Wellenoberflächen, bei denen die Punkte auf die gleiche Weise schwingen, oder so kann man es sagen die Phasen ihrer Schwingungen unterscheiden sich um .

Wenn die Wellenoberflächen Ebenen sind, heißt die Welle Wohnung , und wenn durch Sphären, dann sphärisch. Eine ebene Welle wird in einem kontinuierlichen homogenen und isotropen Medium angeregt, wenn eine unendliche Ebene schwingt. Die Anregung einer Kugeloberfläche kann als Folge radialer Pulsationen einer Kugeloberfläche, aber auch als Folge der Einwirkung dargestellt werden Punktquelle, deren Abmessungen im Vergleich zur Entfernung zum Beobachtungspunkt vernachlässigbar sind. Da jede reale Quelle endliche Abmessungen hat, wird die Welle in einem ausreichend großen Abstand von ihr nahezu kugelförmig sein. Gleichzeitig nähert sich der Abschnitt der Wellenoberfläche einer Kugelwelle mit abnehmender Größe beliebig dem Abschnitt der Wellenoberfläche einer ebenen Welle an.

Gleichung einer sich ausbreitenden ebenen Welle

In irgendeine Richtung

Wir kriegen es hin. Die Schwingungen in einer Ebene parallel zu den Wellenoberflächen und durch den Koordinatenursprung hätten die Form:

In einer Ebene, die um einen Abstand vom Ursprung entfernt ist l, werden die Schwingungen zeitlich um verzögert. Daher hat die Schwingungsgleichung in dieser Ebene die Form:

Aus der analytischen Geometrie ist bekannt, dass der Abstand vom Ursprung zu einer bestimmten Ebene gleich dem Skalarprodukt des Radiusvektors eines bestimmten Punktes auf der Ebene und des Einheitsvektors normal zur Ebene ist: . Die Abbildung veranschaulicht diese Situation für einen zweidimensionalen Fall. Ersetzen wir den Wert l in Gleichung (22.13):

(22.14)

Der Vektor, dessen Absolutwert der Wellenzahl entspricht und entlang der Normalen zur Wellenoberfläche gerichtet ist, wird aufgerufen Wellenvektor . Die ebene Wellengleichung kann nun wie folgt geschrieben werden:

Die Funktion (22.15) gibt die Abweichung von der Gleichgewichtsposition eines Punktes mit einem Radiusvektor zum jeweiligen Zeitpunkt an T. Um die Abhängigkeit von Koordinaten und Zeit explizit darzustellen, ist es notwendig, dies zu berücksichtigen

. (22.16)

Nun hat die ebene Wellengleichung die Form:

Wird oft als nützlich erachtet stellen die Wellengleichung in Exponentialform dar . Dazu verwenden wir die Eulersche Formel:

wobei wir Gleichung (22.15) in der Form schreiben:

. (22.19)

Wellengleichung

Die Gleichung einer beliebigen Welle ist eine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung namens Welle . Um die Form dieser Gleichung festzulegen, ermitteln wir die zweiten Ableitungen in Bezug auf jedes der Argumente der ebenen Wellengleichung (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Addieren wir die ersten drei Gleichungen mit Ableitungen nach Koordinaten:

. (22.24)

Lassen Sie uns aus Gleichung (22.23) ausdrücken: , und berücksichtigen Sie Folgendes:

(22.25)

Wir stellen die Summe der zweiten Ableitungen auf der linken Seite von (22.25) als Ergebnis der Wirkung des Laplace-Operators auf dar und stellen sie in der endgültigen Form dar Wellengleichung als:

(22.26)

Das ist bemerkenswert In der Wellengleichung ergibt die Quadratwurzel des Kehrwerts des Koeffizienten der Zeitableitung die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.

Es kann gezeigt werden, dass die Wellengleichung (22.26) von jeder Funktion der Form erfüllt wird:

Und jeder von ihnen ist Wellengleichung und beschreibt eine bestimmte Welle.

Elastische Wellenenergie

Betrachten wir in einem Medium, in dem sich eine elastische Welle (22.10) ausbreitet, ein Elementarvolumen, das klein genug ist, dass die Verformung und Geschwindigkeit der darin enthaltenen Teilchen als konstant und gleich angesehen werden kann:

Aufgrund der Wellenausbreitung im Medium verfügt das Volumen über elastische Verformungsenergie

(22.38)

Gemäß (22.35) kann der Elastizitätsmodul als dargestellt werden. Deshalb:

. (22.39)

Das betrachtete Volumen hat auch kinetische Energie:

. (22.40)

Gesamtvolumenenergie:

Und die Energiedichte:

, A (22.43)

Ersetzen wir diese Ausdrücke in (22.42) und berücksichtigen wir Folgendes:

Auf diese Weise, Die Energiedichte ist an verschiedenen Punkten im Raum unterschiedlich und ändert sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz des Quadrats des Sinus.

Der Durchschnittswert des Quadrats des Sinus beträgt 1/2, was bedeutet Durchschnitt über die Zeit der Energiedichtewert an jedem Punkt im Medium , in dem sich die Welle ausbreitet:

. (22.45)

Ausdruck (22.45) gilt für alle Arten von Wellen.

Also, Das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, verfügt über einen zusätzlichen Energievorrat. Somit, Die Welle trägt Energie mit sich .

X.6 Dipolstrahlung

Oszillierender elektrischer Dipol, d.h. Ein Dipol, dessen elektrisches Moment sich beispielsweise nach einem harmonischen Gesetz periodisch ändert, ist das einfachste System, das elektromagnetische Wellen aussendet. Ein wichtiges Beispiel für einen oszillierenden Dipol ist ein System, das aus einer negativen Ladung besteht, die um eine positive Ladung oszilliert. Diese Situation entsteht, wenn eine elektromagnetische Welle auf ein Atom einer Substanz einwirkt, wenn unter der Wirkung des Wellenfeldes die Elektronen in der Nähe des Atomkerns schwingen.

Nehmen wir an, dass sich das Dipolmoment nach einem harmonischen Gesetz ändert:

wo ist der Radiusvektor der negativen Ladung, l- Schwingungsamplitude, - entlang der Dipolachse gerichteter Einheitsvektor.

Beschränken wir uns auf das Nachdenken elementarer Dipol , deren Abmessungen im Vergleich zur emittierten Wellenlänge klein sind und überlegen Wellenzone Dipole, d.h. Raumbereich, für den der Modul des Radiusvektors eines Punktes ist. In der Wellenzone eines homogenen und isotropen Mediums ist die Wellenfront kugelförmig – Abbildung 22.4.

Die elektrodynamische Berechnung zeigt, dass der Wellenvektor in einer Ebene liegt, die durch die Dipolachse und den Radiusvektor des betrachteten Punktes verläuft. Amplituden und Abstand sind abhängig R und der Winkel zwischen und der Achse des Dipols. In einem Vakuum

Da der Poynting-Vektor ist

, (22.33)

und es kann argumentiert werden, dass der Dipol am stärksten in die Richtungen strahlt, die , und entsprechen Strahlungsmuster Der Dipol hat die in Abbildung 22.5 dargestellte Form. Richtungsmuster ist eine grafische Darstellung der Verteilung der Strahlungsintensität in verschiedenen Richtungen in Form einer Kurve, die so konstruiert ist, dass die Länge eines Strahlsegments, das von einem Dipol in einer bestimmten Richtung zu einem Punkt auf der Kurve gezogen wird, proportional zur Strahlungsintensität ist.

Das zeigen auch Berechnungen Leistung R Dipolstrahlung ist proportional zum Quadrat der zweiten zeitlichen Ableitung des Dipolmoments :

Weil das

, (22.35)

Das Durchschnittsleistung

stellt sich heraus proportional zum Quadrat der Amplitude des Dipolmoments und vierte Potenz der Frequenz.

Andererseits, wenn man das bedenkt , das verstehen wir die Strahlungsleistung ist proportional zum Quadrat der Beschleunigung:

Diese Aussage gilt nicht nur für Ladungsschwingungen, sondern auch für beliebige Ladungsbewegungen.

Wellenoptik

In diesem Abschnitt werden wir solche Lichtphänomene betrachten, in denen sich die Wellennatur des Lichts manifestiert. Erinnern wir uns daran, dass Licht durch einen Welle-Teilchen-Dualismus gekennzeichnet ist und es Phänomene gibt, die nur auf der Grundlage der Vorstellung von Licht als einem Teilchenfluss erklärt werden können. Aber wir werden diese Phänomene in der Quantenoptik betrachten.

Allgemeine Informationen zum Thema Licht

Wir betrachten Licht also als elektromagnetische Welle. In einer elektromagnetischen Welle und schwingt. Es wurde experimentell festgestellt, dass die physiologischen, photochemischen, photoelektrischen und anderen Wirkungen von Licht durch den Lichtwellenvektor bestimmt werden, daher wird es als Licht bezeichnet. Dementsprechend gehen wir davon aus, dass die Lichtwelle durch die Gleichung beschrieben wird:

Wo ist die Amplitude,

- Wellenzahl (Wellenvektor),

Abstand entlang der Ausbreitungsrichtung.

Die Ebene, in der es schwingt, heißt Schwingungsebene. Eine Lichtwelle breitet sich mit Geschwindigkeit aus

, (2)

angerufen Brechungsindex und charakterisiert den Unterschied zwischen der Lichtgeschwindigkeit in einem bestimmten Medium und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (Leere).

In den meisten Fällen weisen transparente Stoffe eine magnetische Permeabilität auf, und es kann fast immer davon ausgegangen werden, dass der Brechungsindex durch die Dielektrizitätskonstante des Mediums bestimmt wird:

Bedeutung N zur Charakterisierung verwendet optische Dichte des Mediums: je größer n, desto optisch dichter wird das Medium bezeichnet .

Sichtbares Licht hat Wellenlängen im Bereich und Frequenzen

Echte Lichtempfänger sind nicht in der Lage, solche flüchtigen Vorgänge zu verfolgen und zu registrieren zeitlich gemittelter Energiefluss . A-Priorat , Lichtintensität wird als Modul des zeitlich gemittelten Werts der von der Lichtwelle getragenen Energieflussdichte bezeichnet :

(4)

Da in einer elektromagnetischen Welle

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

Ich ~ A 2(8)

Strahlen Wir nennen die Linien, entlang derer sich Lichtenergie ausbreitet.

Der Vektor des mittleren Energieflusses ist immer tangential zum Strahl gerichtet. In isotropen Medien fällt in Richtung mit der Normalen auf die Wellenoberflächen zusammen.

Im natürlichen Licht gibt es Wellen mit sehr unterschiedlicher Ausrichtung der Schwingungsebene. Trotz der transversalen Natur von Lichtwellen weist die Strahlung herkömmlicher Lichtquellen daher keine Asymmetrie in Bezug auf die Ausbreitungsrichtung auf. Diese Eigenschaft des (natürlichen) Lichts lässt sich folgendermaßen erklären: Die resultierende Lichtwelle aus der Quelle setzt sich aus Wellen zusammen, die von verschiedenen Atomen emittiert werden. Jedes Atom sendet innerhalb von Sekunden eine Welle aus. In dieser Zeit entsteht Raum Wellenzug (eine Abfolge von „Buckeln und Mulden“) mit einer Länge von etwa 3 Metern.

Die Schwingungsebene jedes Zuges ist ziemlich genau. Aber gleichzeitig sendet eine große Anzahl von Atomen ihre Züge aus, und die Schwingungsebene jedes Zuges ist unabhängig von den anderen auf zufällige Weise ausgerichtet. Deshalb in der resultierenden Welle vom Körper Schwingungen in verschiedene Richtungen werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit dargestellt. Es bedeutet, dass Wenn Sie ein Gerät verwenden, um die Intensität von Licht mit unterschiedlichen Vektorausrichtungen zu untersuchen, hängt die Intensität bei natürlichem Licht nicht von der Ausrichtung ab .

Die Messung der Intensität ist im Vergleich zur Wellenperiode ein langer Prozess, und die berücksichtigten Vorstellungen über die Natur des natürlichen Lichts sind praktisch, um ziemlich lange Prozesse zu beschreiben.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Punkt im Raum entsteht jedoch durch die Addition der Vektoren einzelner Züge ein bestimmter spezifischer Zug. Aufgrund des zufälligen „Ein“ und „Aus“ einzelner Atome Eine Lichtwelle regt an einem bestimmten Punkt eine Schwingung an, die einer harmonischen ähnelt. Amplitude, Frequenz und Phase der Schwingungen hängen jedoch von der Zeit ab und ändern sich chaotisch. Auch die Ausrichtung der Schwingungsebene ändert sich zufällig. jj. Somit können Schwingungen des Lichtvektors an einem bestimmten Punkt im Medium durch die Gleichung beschrieben werden:

(9)

Darüber hinaus und Es gibt Funktionen, die zeitlich chaotisch variieren ii. Diese Vorstellung von natürlichem Licht ist praktisch, wenn man Zeiträume betrachtet, die mit der Periode einer Lichtwelle vergleichbar sind.

Licht, in dem die Richtungen der Vektorschwingungen auf irgendeine Weise geordnet sind, wird genannt polarisiert.

Wenn Schwingungen des Lichtvektors auftreten nur in einer Ebene Durch den Strahl gehend, heißt das Licht Wohnung - oder linear polarisiert. Mit anderen Worten: Bei linear polarisiertem Licht hat die Schwingungsebene eine streng festgelegte Position. Auch andere Ordnungsarten, also Arten der Polarisation des Lichts, sind möglich.

Huygens-Prinzip

In der Näherung der geometrischen Optik sollte Licht nicht in den geometrischen Schattenbereich eindringen. Tatsächlich dringt Licht in diesen Bereich ein, und dieses Phänomen wird umso bedeutender, je kleiner die Hindernisse sind. Wenn die Abmessungen der Löcher oder Schlitze mit der Wellenlänge vergleichbar sind, ist die geometrische Optik nicht anwendbar.

Qualitativ wird das Verhalten von Licht hinter einem Hindernis durch das Huygens-Prinzip erklärt, das es ermöglicht, die Wellenfront zu einem bestimmten Zeitpunkt aus einer bekannten Position zu einem bestimmten Zeitpunkt zu konstruieren.

Nach dem Huygens-Prinzip wird jeder Punkt, den die Wellenbewegung erreicht, zu einer Punktquelle für Sekundärwellen. Die Einhüllende entlang der Fronten der Sekundärwellen gibt die Position der Wellenfront an.

Interferenz von Licht

An irgendeinem Punkt im Medium regen zwei Wellen (ebene polarisiert) zwei Schwingungen an gleiche Frequenz und gleiche Richtung:

Und . (24.14)

Die Amplitude der resultierenden Schwingung wird durch den Ausdruck bestimmt:

Bei inkohärenten Wellen ändert es sich zufällig und alle Werte sind gleich wahrscheinlich. Daher folgt aus (24.15):

6 Wenn die Wellen kohärent sind und , dann

Aber es hängt davon ab, - der Länge des Weges von den Wellenquellen zu einem bestimmten Punkt und unterschiedlich für verschiedene Punkte in der Umgebung. Somit, Bei der Überlagerung kohärenter Wellen kommt es zu einer Umverteilung des Lichtstroms im Raum, wodurch die Lichtintensität an einigen Stellen im Medium zunimmt, an anderen abnimmt - . Dieses Phänomen nennt man Interferenz.

Die Abwesenheit von Störungen im Alltag bei der Verwendung mehrerer Lichtquellen wird dadurch erklärt Zusammenhanglosigkeit. Einzelne Atome senden Impulse für c aus und die Länge des Zuges beträgt ≈ 3 Meter. Für den neuen Zug ist nicht nur die Ausrichtung der Polarisationsebene zufällig, sondern auch die Phase ist unvorhersehbar.

In Wirklichkeit erhält man kohärente Wellen, indem man die Strahlung einer Quelle in zwei Teile teilt. Bei der Überlagerung von Teilen können Interferenzen beobachtet werden. In diesem Fall sollte der Abstand der optischen Längen jedoch nicht in der Größenordnung der Zuglänge liegen. Sonst gibt es keine Störungen, denn verschiedene Züge überlagern sich.

Die Trennung erfolgt am Punkt O und die Überlagerung am Punkt P. Am P werden Schwingungen angeregt.

Und (24.17)

Geschwindigkeit der Wellenausbreitung in relevanten Medien.

Getrennte Phasen an einem Punkt R:

Wo ist die Wellenlänge des Lichts im Vakuum?

Der Wert, d.h. gleich der Differenz der optischen Weglängen zwischen den betrachteten Punkten heißt optischer Wegunterschied.

dann ist in (24.16) gleich eins und die Lichtintensität in ist maximal.

(24.20)

Das Schwingungen an einem Punkt erfolgen gegenphasig, was bedeutet, dass die Lichtintensität minimal ist.

KOHÄRENZ

Kohärenz - koordiniertes Auftreten von zwei oder mehr Wellenprozessen. Es gibt nie eine absolute Konsistenz, daher können wir von unterschiedlichen Graden der Kohärenz sprechen.

Es gibt zeitliche und räumliche Kohärenz.

Zeitliche Kohärenz

Echte Wellengleichung

Wir haben die Interferenz von Wellen betrachtet, die durch Gleichungen der Form beschrieben werden:

(1)

Allerdings handelt es sich bei solchen Wellen um eine mathematische Abstraktion, da die durch (1) beschriebene Welle zeitlich und räumlich unendlich sein muss. Nur dann können die Größen bestimmte Konstanten sein.

Eine reale Welle, die aus der Überlagerung von Zügen verschiedener Atome entsteht, enthält Komponenten, deren Frequenzen in einem endlichen Frequenzbereich liegen (bzw. Wellenvektoren in ), und A und a unterliegen kontinuierlichen chaotischen Veränderungen. Schwingungen werden irgendwann durch Überlagerung angeregt real Wellen können durch den Ausdruck beschrieben werden:

Und (2)

Darüber hinaus sind die chaotischen Funktionsänderungen mit der Zeit in (2) unabhängig.

Zur Vereinfachung der Analyse gehen wir davon aus, dass die Wellenamplituden konstant und identisch sind (diese Bedingung wird experimentell ganz einfach umgesetzt):

Frequenz- und Phasenänderungen können auf reine Frequenz- oder Phasenänderungen reduziert werden. Nehmen wir tatsächlich an, dass die Inharmonizität der Funktionen (2) auf Phasensprünge zurückzuführen ist. Sondern nach dem, was in der Mathematik bewiesen ist Satz von Fourier, jede nichtharmonische Funktion kann als Summe harmonischer Komponenten dargestellt werden, deren Frequenzen in einigen enthalten sind. Im Grenzfall geht die Summe in ein Integral über: Jede endliche und integrierbare Funktion kann durch das Fourier-Integral dargestellt werden:

, (3)

Wo ist die Amplitude der harmonischen Frequenzkomponente, analytisch bestimmt durch die Beziehung:

(4)

Eine Funktion, die aufgrund einer Phasenänderung nichtharmonisch ist, kann also als Überlagerung harmonischer Komponenten mit Frequenzen bei einigen dargestellt werden.

Andererseits kann eine Funktion mit variabler Frequenz und Phase auf eine Funktion mit nur variabler Phase reduziert werden:

Um die weitere Analyse einzudämmen, gehen wir daher von Folgendem aus:

d.h. wir setzen um Phasenansatz zum Konzept der „zeitlichen Kohärenz“.

Streifen mit gleichem Gefälle

Lassen Sie eine dünne planparallele Platte diffus beleuchten monochromatisch Licht. Platzieren Sie eine Sammellinse parallel zur Platte, in seiner Brennebene - Bildschirm. Streulicht enthält Strahlen aus den unterschiedlichsten Richtungen. In einem Winkel einfallende Strahlen erzeugen zwei reflektierte Strahlen, die im Punkt konvergieren. Dies gilt für alle Strahlen, die in einem bestimmten Winkel an allen Punkten der Platte auf die Oberfläche der Platte einfallen. Die Linse sorgt dafür, dass alle diese Strahlen in einem Punkt zusammenlaufen, da parallele Strahlen, die in einem bestimmten Winkel auf die Linse einfallen, von ihr in einem Punkt der Brennebene gesammelt werden, d.h. auf dem Bildschirm. Im Punkt O schneidet die optische Achse der Linse den Bildschirm. An diesem Punkt werden Strahlen gesammelt, die parallel zur optischen Achse verlaufen.

Strahlen, die in einem Winkel einfallen, jedoch nicht in der Zeichnungsebene, sondern in anderen Ebenen, werden an Punkten konvergieren, die im gleichen Abstand vom Punkt liegen wie der Punkt. Durch die Interferenz dieser Strahlen entsteht in einem bestimmten Abstand vom Punkt ein Kreis mit einer bestimmten Intensität des einfallenden Lichts. Unter einem anderen Winkel einfallende Strahlen bilden auf dem Bildschirm einen Kreis mit unterschiedlicher Beleuchtung, die von ihrem optischen Wegunterschied abhängt. Dadurch entstehen auf dem Bildschirm abwechselnd dunkle und helle Streifen in Form von Kreisen. Jeder der Kreise wird durch Strahlen gebildet, die in einem bestimmten Winkel einfallen, und sie werden genannt Streifen gleicher Steigung. Diese Bänder sind im Unendlichen lokalisiert.

Die Rolle der Linse kann von der Linse übernommen werden und die Rolle des Bildschirms kann von der Netzhaut übernommen werden. In diesem Fall muss das Auge bis ins Unendliche akkommodiert werden. Bei weißem Licht entstehen mehrfarbige Streifen.

Gleich dicke Streifen

Nehmen wir einen keilförmigen Teller. Lass es auf sie fallen paralleler Lichtstrahl. Betrachten wir die von der Ober- und Unterseite der Platte reflektierten Strahlen. Werden diese Strahlen durch eine Linse an einem Punkt zusammengeführt, kommt es zur Interferenz. Bei einem kleinen Winkel zwischen den Plattenflächen lässt sich mit der Formel der Unterschied im Strahlengang berechnen
le für eine planparallele Platte. Die Strahlen, die durch den Einfall des Strahls an einem anderen Punkt der Platte entstehen, werden von der Linse an diesem Punkt gesammelt. Der Unterschied in ihrem Hub wird durch die Dicke der Platte an der entsprechenden Stelle bestimmt. Es kann bewiesen werden, dass alle Punkte vom Typ P in derselben Ebene liegen, die durch den Scheitelpunkt des Keils verläuft.

Wenn Sie den Bildschirm so positionieren, dass er mit der Oberfläche konjugiert, auf der die Punkte P, P 1 P 2 liegen, erscheint darauf ein System aus hellen und dunklen Streifen, die jeweils durch Reflexionen von der Platte in entstehen Stellen einer bestimmten Dicke. Daher werden in diesem Fall die Streifen genannt Streifen gleicher Dicke.

Bei Betrachtung in weißem Licht sind die Streifen farbig. In der Nähe der Plattenoberfläche sind Bänder gleicher Dicke lokalisiert. Bei normalem Lichteinfall – auf der Oberfläche.

Unter realen Bedingungen werden bei der Beobachtung der Färbung von Seifen- und Ölfilmen gemischte Streifen beobachtet.

Lichtbeugung.

27.1. Lichtbeugung

Beugungangerufen eine Reihe von Phänomenen, die in einem Medium mit starken optischen Inhomogenitäten beobachtet werden und mit Abweichungen bei der Lichtausbreitung von den Gesetzen der geometrischen Optik verbunden sind .

Um die Beugung zu beobachten, wird entlang des Wegs einer Lichtwelle von einer bestimmten Quelle eine undurchsichtige Barriere platziert, die einen Teil der Wellenoberfläche der von der Quelle emittierten Welle abdeckt. Das resultierende Beugungsmuster wird auf einem Bildschirm beobachtet, der sich entlang der Fortsetzung der Strahlen befindet.

Es gibt zwei Arten der Beugung. Wenn die Strahlen, die von der Quelle und vom Hindernis zum Beobachtungspunkt kommen, als nahezu parallel angesehen werden können, dann sagt man dasFraunhofer-Beugung oder Beugung in parallelen Strahlen. Wenn die Fraunhofer-Beugungsbedingungen nicht erfüllt sind,Sprechen Sie über Fresnel-Beugung.

Es muss klar sein, dass es keinen grundlegenden physikalischen Unterschied zwischen Interferenz und Beugung gibt. Beide Phänomene werden durch die Umverteilung der Energie überlappender kohärenter Lichtwellen verursacht. Normalerweise, wenn man eine endliche Zahl betrachtet diskrete Quellen Licht, dann reden sie darüber Interferenz . Liegt die Überlagerung von Wellen vor kohärente Quellen, die kontinuierlich im Raum verteilt sind , dann reden sie darüber Beugung .

27.2. Huygens-Fresnel-Prinzip

Das Huygens-Prinzip erlaubt grundsätzlich, das Eindringen von Licht in den Bereich eines geometrischen Schattens zu erklären, sagt aber nichts über die Intensität von Wellen aus, die sich in verschiedene Richtungen ausbreiten. Fresnel ergänzte das Huygens-Prinzip um einen Hinweis darauf, wie die Strahlungsintensität eines Wellenoberflächenelements in verschiedene Richtungen berechnet werden sollte, sowie um einen Hinweis darauf, dass Sekundärwellen kohärent sind, und bei der Berechnung der Lichtintensität an einem bestimmten Punkt, Es ist notwendig, die Interferenz von Sekundärwellen zu berücksichtigen. .

Wellenprozesse

Grundlegende Konzepte und Definitionen

Gleichungen ebener und sphärischer Wellen

Wellengleichung ist ein Ausdruck, der die Verschiebung eines oszillierenden Punktes als Funktion der Koordinaten der Gleichgewichtslage des Punktes und der Zeit bestimmt:

Wenn die Quelle festschreibt Zeitschrift Schwingungen, dann muss die Funktion (22.2) eine periodische Funktion sowohl der Koordinaten als auch der Zeit sein. Die zeitliche Periodizität ergibt sich aus der Tatsache, dass die Funktion beschreibt periodische Schwingungen eines Punktes mit Koordinaten; Periodizität in Koordinaten - aus der Tatsache, dass Punkte, die in einem Abstand entlang der Wellenausbreitungsrichtung liegen, schwingen auf die gleiche Weise

Beschränken wir uns auf die Betrachtung harmonischer Wellen, bei denen Punkte im Medium harmonische Schwingungen ausführen. Es ist zu beachten, dass jede nichtharmonische Funktion als Ergebnis der Überlagerung harmonischer Wellen dargestellt werden kann. Daher führt die alleinige Betrachtung harmonischer Wellen nicht zu einer grundsätzlichen Verschlechterung der Allgemeingültigkeit der erzielten Ergebnisse.

Betrachten wir eine ebene Welle. Wählen wir ein Koordinatensystem mit der Achse Oh stimmt mit der Ausbreitungsrichtung der Welle überein. Dann stehen die Wellenoberflächen senkrecht zur Achse Oh und, da alle Punkte der Wellenoberfläche gleich schwingen, die Verschiebung von Punkten des Mediums aus Gleichgewichtspositionen wird nur davon abhängen x und t:

Schwingungen von Punkten, die in einer Ebene liegen, hätten die Form:

(22.4)

Schwingungen in einer Ebene in einiger Entfernung X vom Ursprung, zeitliche Verzögerung gegenüber den Schwingungen in der Zeitspanne, die die Welle benötigt, um die Strecke zurückzulegen X, und werden durch die Gleichung beschrieben

welches ist Gleichung einer ebenen Welle, die sich in Richtung der Ox-Achse ausbreitet.

Bei der Ableitung von Gleichung (22.5) haben wir angenommen, dass die Amplitude der Schwingungen an allen Punkten gleich ist. Im Falle einer ebenen Welle ist dies der Fall, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird.

Betrachten wir einen Wert der Phase in Gleichung (22.5):

(22.6)

Gleichung (22.6) gibt den Zusammenhang zwischen der Zeit an T und Platz - X, in dem der angegebene Phasenwert gerade umgesetzt wird. Nachdem wir aus Gleichung (22.6) ermittelt haben, ermitteln wir die Geschwindigkeit, mit der sich ein gegebener Phasenwert bewegt. Wenn wir (22.6) differenzieren, erhalten wir:

Wo folgt (22.7)

Wellengleichung ist eine Gleichung, die die Abhängigkeit der Verschiebung eines an einem Wellenprozess beteiligten oszillierenden Teilchens von der Koordinate seiner Gleichgewichtsposition und -zeit ausdrückt:

Diese Funktion muss sowohl in Bezug auf die Zeit als auch in Bezug auf die Koordinaten periodisch sein. Darüber hinaus liegen Punkte in einiger Entfernung l voneinander entfernt, schwingen auf die gleiche Weise.

Lassen Sie uns den Typ der Funktion finden X im Fall einer ebenen Welle.

Betrachten wir eine ebene harmonische Welle, die sich in einem Medium, das keine Energie absorbiert, entlang der positiven Achsenrichtung ausbreitet. In diesem Fall stehen die Wellenoberflächen senkrecht zur Achse. Alle Größen, die die Schwingungsbewegung von Partikeln des Mediums charakterisieren, hängen nur von Zeit und Koordinaten ab. Der Offset hängt nur von und ab: . Die Schwingung eines Punktes mit einer Koordinate (der Schwingungsquelle) sei durch die Funktion gegeben. Aufgabe: Finden Sie die Art der Schwingung von Punkten in der Ebene, die einem beliebigen Wert entspricht. Um von einer Ebene zur nächsten zu gelangen, benötigt eine Welle Zeit. Folglich sind die Schwingungen der in der Ebene liegenden Teilchen in ihrer Phase gegenüber den Schwingungen der Teilchen in der Ebene um eine Zeitverzögerung verzögert. Dann hat die Gleichung der Teilchenschwingungen in der Ebene die Form:

Als Ergebnis erhielten wir die Gleichung einer ebenen Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet:

. (3)

In dieser Gleichung ist die Amplitude der Welle; – zyklische Häufigkeit; – Anfangsphase, die durch die Wahl des Bezugspunkts bestimmt wird und ; – ebene Wellenphase.

Die Wellenphase sei ein konstanter Wert (wir legen den Phasenwert in der Wellengleichung fest):

Reduzieren wir diesen Ausdruck um und differenzieren wir ihn. Als Ergebnis erhalten wir:

oder .

Somit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Gleichung der ebenen Welle nichts anderes als die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer festen Phase der Welle. Diese Geschwindigkeit heißt Phasengeschwindigkeit .

Bei einer Sinuswelle ist die Geschwindigkeit der Energieübertragung gleich der Phasengeschwindigkeit. Aber eine Sinuswelle trägt keine Informationen und jedes Signal ist eine modulierte Welle, d.h. nicht sinusförmig (nicht harmonisch). Bei der Lösung einiger Probleme stellt sich heraus, dass die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Hier liegt kein Paradoxon vor, denn... Die Geschwindigkeit der Phasenbewegung ist nicht die Geschwindigkeit der Übertragung (Ausbreitung) von Energie. Energie und Masse können sich nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen C .

Normalerweise erhält die ebene Wellengleichung eine Form, die bezüglich und symmetrisch ist. Geben Sie dazu den Wert ein , Was heisst Wellenzahl . Lassen Sie uns den Ausdruck für die Wellenzahl umwandeln. Schreiben wir es in das Formular (). Setzen Sie diesen Ausdruck in die ebene Wellengleichung ein:

Endlich bekommen wir

Dies ist die Gleichung einer ebenen Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet. Die entgegengesetzte Richtung der Wellenausbreitung wird durch eine Gleichung charakterisiert, in der sich das Vorzeichen vor dem Term ändert.

Es ist zweckmäßig, die ebene Wellengleichung in der folgenden Form zu schreiben.

Normalerweise unterschreiben Re werden weggelassen, was bedeutet, dass nur der Realteil des entsprechenden Ausdrucks verwendet wird. Zusätzlich wird eine komplexe Zahl eingeführt.

Diese Zahl wird als komplexe Amplitude bezeichnet. Der Modul dieser Zahl gibt die Amplitude an und das Argument gibt die Anfangsphase der Welle an.

Somit kann die Gleichung einer ebenen kontinuierlichen Welle in der folgenden Form dargestellt werden.

Alles, was oben besprochen wurde, bezog sich auf ein Medium, in dem es keine Wellendämpfung gab. Bei der Wellendämpfung nimmt gemäß dem Bouguer-Gesetz (Pierre Bouguer, französischer Wissenschaftler (1698 - 1758)) die Amplitude der Welle bei ihrer Ausbreitung ab. Dann hat die ebene Wellengleichung die folgende Form.

A– Wellendämpfungskoeffizient. A0 – Amplitude der Schwingungen an einem Punkt mit Koordinaten . Dies ist der Kehrwert der Entfernung, um die die Wellenamplitude abnimmt e einmal.

Finden wir die Gleichung einer Kugelwelle. Wir betrachten die Schwingungsquelle als punktförmig. Dies ist möglich, wenn wir uns darauf beschränken, die Welle in einer Entfernung zu betrachten, die viel größer ist als die Größe der Quelle. Eine Welle von einer solchen Quelle in einem isotropen und homogenen Medium wird sein sphärisch . Punkte, die auf der Wellenoberfläche mit Radius liegen, schwingen mit der Phase

Die Schwingungsamplitude bleibt in diesem Fall nicht konstant, auch wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird. Sie nimmt laut Gesetz mit der Entfernung von der Quelle ab. Daher hat die Kugelwellengleichung die Form:

oder

Aufgrund der getroffenen Annahmen gilt die Gleichung nur für , die die Abmessungen der Wellenquelle deutlich überschreitet. Gleichung (6) gilt nicht für kleine Werte, weil die Amplitude würde gegen Unendlich tendieren, und das ist absurd.

Bei Vorliegen einer Dämpfung im Medium lautet die Gleichung für eine Kugelwelle wie folgt.

Gruppengeschwindigkeit

Eine streng monochromatische Welle ist eine endlose Abfolge von „Höckern“ und „Tälern“ in Zeit und Raum.

Die Phasengeschwindigkeit dieser Welle bzw (2)

Es ist unmöglich, mit einer solchen Welle ein Signal zu übertragen, weil An jedem Punkt der Welle sind alle „Höcker“ gleich. Das Signal muss unterschiedlich sein. Ein Zeichen (Markierung) auf der Welle sein. Dann ist die Welle aber nicht mehr harmonisch und kann nicht durch Gleichung (1) beschrieben werden. Das Signal (Impuls) kann nach dem Fourier-Theorem als Überlagerung harmonischer Wellen mit in einem bestimmten Intervall enthaltenen Frequenzen dargestellt werden Dw . Überlagerung von Wellen, die sich in der Frequenz kaum voneinander unterscheiden,

angerufen Wellenpaket oder Gruppe von Wellen .

Der Ausdruck für eine Wellengruppe kann wie folgt geschrieben werden.

(3)

Symbol w betont, dass diese Größen von der Frequenz abhängen.

Dieses Wellenpaket kann eine Summe von Wellen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen sein. Bei Phasenübereinstimmung der Wellen kommt es zu einer Amplitudenzunahme, bei entgegengesetzten Phasen zu einer Dämpfung der Amplitude (das Ergebnis von Interferenzen). Dieses Bild ist in der Abbildung dargestellt. Damit die Überlagerung von Wellen als Wellengruppe betrachtet werden kann, muss die folgende Bedingung erfüllt sein Dw<< w 0 .

In einem nichtdispersiven Medium breiten sich alle ebenen Wellen, die ein Wellenpaket bilden, mit der gleichen Phasengeschwindigkeit aus v . Dispersion ist die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer Sinuswelle in einem Medium von der Frequenz. Wir werden das Phänomen der Dispersion später im Abschnitt „Wellenoptik“ betrachten. Ohne Dispersion stimmt die Bewegungsgeschwindigkeit des Wellenpakets mit der Phasengeschwindigkeit überein v . In einem dispersiven Medium breitet sich jede Welle mit ihrer eigenen Geschwindigkeit aus. Daher breitet sich das Wellenpaket mit der Zeit aus und seine Breite nimmt zu.

Ist die Streuung gering, breitet sich das Wellenpaket nicht zu schnell aus. Daher kann der Bewegung des gesamten Pakets eine gewisse Geschwindigkeit zugeschrieben werden U .

Die Geschwindigkeit, mit der sich das Zentrum des Wellenpakets (der Punkt mit der maximalen Amplitude) bewegt, wird Gruppengeschwindigkeit genannt.

In einer dispersiven Umgebung v¹U . Zusammen mit der Bewegung des Wellenpakets selbst bewegen sich auch die „Höcker“ im Paket selbst. „Buckel“ bewegen sich mit hoher Geschwindigkeit im Raum v und das Paket als Ganzes mit Geschwindigkeit U .

Betrachten wir die Bewegung eines Wellenpakets genauer am Beispiel einer Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Amplitude und unterschiedlichen Frequenzen w (verschiedene Wellenlängen l ).

Schreiben wir die Gleichungen zweier Wellen auf. Nehmen wir der Einfachheit halber die Anfangsphasen an j 0 = 0.

Hier

Lassen Dw<< w , jeweils Dk<< k .

Addieren wir die Schwingungen und führen Transformationen mit der trigonometrischen Formel für die Kosinussumme durch:

Den ersten Kosinus vernachlässigen wir Dwt Und Dkx , die viel kleiner sind als andere Größen. Berücksichtigen wir das cos(–a) = cosa . Wir werden es endlich aufschreiben.

(4)

Der Multiplikator in eckigen Klammern ändert sich mit der Zeit und koordiniert viel langsamer als der zweite Multiplikator. Folglich kann Ausdruck (4) als Gleichung einer ebenen Welle mit einer durch den ersten Faktor beschriebenen Amplitude betrachtet werden. Grafisch wird die durch Ausdruck (4) beschriebene Welle in der oben gezeigten Abbildung dargestellt.

Die resultierende Amplitude ergibt sich aus der Addition von Wellen, daher werden Maxima und Minima der Amplitude beobachtet.

Die maximale Amplitude wird durch die folgende Bedingung bestimmt.

(5)

M = 0, 1, 2…

xmax– Koordinate der maximalen Amplitude.

Der Kosinus nimmt seinen maximalen Modulowert durch P .

Jedes dieser Maxima kann als Zentrum der entsprechenden Wellengruppe betrachtet werden.

(5) relativ auflösen xmax wir kriegen es hin.

Da die Phasengeschwindigkeit ist Gruppengeschwindigkeit genannt. Mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich die maximale Amplitude des Wellenpakets. Im Grenzfall hat der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit die folgende Form.

(6)

Dieser Ausdruck gilt für das Zentrum einer Gruppe beliebig vieler Wellen.

Es ist zu beachten, dass bei genauer Berücksichtigung aller Terme der Entwicklung (für eine beliebige Anzahl von Wellen) der Ausdruck für die Amplitude so erhalten wird, dass sich das Wellenpaket über die Zeit ausbreitet.
Der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit kann eine andere Form haben.

In Abwesenheit von Varianz

Die maximale Intensität tritt in der Mitte der Wellengruppe auf. Daher ist die Geschwindigkeit der Energieübertragung gleich der Gruppengeschwindigkeit.

Das Konzept der Gruppengeschwindigkeit ist nur unter der Voraussetzung anwendbar, dass die Wellenabsorption im Medium gering ist. Bei erheblicher Wellendämpfung verliert der Begriff der Gruppengeschwindigkeit seine Bedeutung. Dieser Fall wird im Bereich der anomalen Streuung beobachtet. Wir werden dies im Abschnitt „Wellenoptik“ betrachten.

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