Die Familie von Georg Kantor (1845-1918) zog bereits als Kind von Russland nach Deutschland. Dort begann er, Mathematik zu studieren. 1868 verteidigte er seine Dissertation über Zahlentheorie und promovierte an der Universität Berlin. Im Alter von 27 Jahren veröffentlichte Kantor einen Artikel, der eine allgemeine Lösung für ein sehr komplexes mathematisches Problem enthielt – und Ideen, die später zu seiner berühmten Theorie – der Mengenlehre – heranwuchsen. 1878 führte er eine beträchtliche Anzahl neuer Konzepte ein und formulierte sie, gab die Definition einer Menge und die erste Definition eines Kontinuums und entwickelte die Prinzipien des Vergleichs von Mengen. In den Jahren 1879-1884 gab er eine systematische Darstellung der Prinzipien seiner Unendlichkeitslehre.

Cantors Beharren darauf, die Unendlichkeit als etwas tatsächlich Gegebenes zu betrachten, war für die damalige Zeit eine große Neuigkeit. Kantor verstand seine Theorie als einen völlig neuen Kalkül der unendlichen, „transfiniten“ (d. h. „superendlichen“) Mathematik. Die Schaffung eines solchen Kalküls sollte nach seiner Vorstellung nicht nur die Mathematik, sondern auch die Metaphysik und Theologie revolutionieren, die Cantor fast mehr interessierten als die wissenschaftliche Forschung selbst. Er war der einzige Mathematiker und Philosoph, der glaubte, dass die tatsächliche Unendlichkeit nicht nur existiert, sondern auch für den Menschen im vollen Sinne fassbar ist, und dieses Verständnis wird die Mathematiker und nach ihnen die Theologen höher und näher zu Gott erheben. Dieser Aufgabe widmete er sein Leben. Der Wissenschaftler glaubte fest daran, dass er von Gott auserwählt war, eine große Revolution in der Wissenschaft zu machen, und dieser Glaube wurde durch mystische Visionen gestützt. Der titanische Versuch von Georg Cantor endete jedoch seltsam: In der Theorie wurden schwer zu überwindende Paradoxien entdeckt, die die Bedeutung von Cantors Lieblingsidee – der „Alephleiter“, einer fortlaufenden Reihe transfiniter Zahlen – in Frage stellten. (Diese Zahlen sind in der von ihm angenommenen Bezeichnung weithin bekannt: in Form des Buchstabens Aleph - dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets.)

Die Unerwartetheit und Originalität seines Standpunkts führte trotz aller Vorteile des Ansatzes zu einer scharfen Ablehnung seiner Arbeit durch die meisten Wissenschaftler. Er führte jahrzehntelang einen hartnäckigen Kampf mit fast allen seinen Zeitgenossen, Philosophen und Mathematikern, die die Legitimität leugneten, Mathematik auf der Grundlage des Wirklich-Unendlichen aufzubauen. Dies wurde von einigen als Herausforderung angesehen, da Cantor die Existenz von Mengen oder Folgen von Zahlen mit unendlich vielen Elementen annahm. Der berühmte Mathematiker Poincaré nannte die Theorie der transfiniten Zahlen eine „Krankheit“, von der die Mathematik eines Tages geheilt werden müsse. L. Kronecker – Cantors Lehrer und einer der angesehensten Mathematiker Deutschlands – griff Cantor sogar an und nannte ihn einen „Scharlatan“, „Abtrünnigen“ und „Jugendschänder“! Erst 1890, als Anwendungen der Mengenlehre auf Analysis und Geometrie erreicht wurden, wurde Cantors Theorie als eigenständiger Zweig der Mathematik anerkannt.

Es ist wichtig anzumerken, dass Kantor zur Gründung eines Berufsverbandes beigetragen hat - der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, die zur Entwicklung der Mathematik in Deutschland beigetragen hat. Er glaubte, dass seine wissenschaftliche Karriere unter Vorurteilen gegen seine Arbeit gelitten hatte, und er hoffte, dass eine unabhängige Organisation es jungen Mathematikern ermöglichen würde, neue Ideen unabhängig zu beurteilen und zu entwickeln. Er war auch der Initiator der Einberufung des ersten Internationalen Mathematikkongresses in Zürich.

Kantor tat sich schwer mit den Widersprüchen seiner Theorie und der Schwierigkeit, sie zu akzeptieren. Seit 1884 litt er an einer tiefen Depression und zog sich nach einigen Jahren aus der wissenschaftlichen Tätigkeit zurück. Kantor starb an Herzversagen in einer psychiatrischen Klinik in Halle.

Kantor bewies die Existenz einer Hierarchie von Unendlichkeiten, von denen jede „größer“ ist als die vorherige. Seine Theorie der transfiniten Mengen, die jahrelange Zweifel und Angriffe überstanden hatte, entwickelte sich schließlich zu einer grandiosen revolutionären Kraft in der Mathematik des 20. Jahrhunderts. und wurde zu seinem Eckpfeiler.

Der Beginn des 19. Jahrhunderts war geprägt von der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie. 1825 - Nikolai Vasilyevich Lobachevsky, etwas später, 1831 - Janos Bolyai. Und das Schicksal dieser Entdeckungen war sehr tragisch. Weder die eine noch die zweite Entdeckung wurde anerkannt. Bis in die 1860er Jahre, bevor andere nichteuklidische Geometrien entdeckt wurden – Riemann und andere – und die Entdecker der nichteuklidischen Geometrie sind bereits gestorben! Und jetzt - die Mengenlehre, die auch nicht anerkannt wird, schimpfte ... Oh, dieses seltsame 19. Jahrhundert ...

Cantor), Georg (3. März 1845 - 6. Januar 1918) - Mathematiker und Denker, Schöpfer der Mengenlehre, die ihre eigene Grundlage hat. Gegenstand unendlicher Mengen. Gattung. In Petersburg. Ab 1872 - Prof. Universität Halle. Er starb in Halle in einer psychiatrischen Klinik. Klinik. Zur Schaffung der Mengenlehre (1870) wurde er durch Studien der Trigonometrie geführt. Reihen. Die Schaffensperiode im Leben K.s, die bis 1897 andauerte (unterbrochen durch eine seelische Krise 1885), wird durch Op. „Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten“, 1879–84, „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“, 1895–97 ), usw. K. legte die Grundlagen als abstrakte Mengenlehre [Mengen nur unter dem Gesichtspunkt studierend. ihre "Zahlen" (Kardinalität der Menge) und Ordnungsbeziehungen zwischen ihren Elementen (Ordnungstypen von Mengen)] und die Theorie der Punktmengen (d.h. Mengen, die aus Punkten der Zahlengeraden und allgemein der Zahl n- dimensionaler Raum). K. war einer der ersten, der die Theorie der reellen Zahlen aufstellte, die noch heute (zusammen mit den Theorien der deutschen Wissenschaftler R. Dedekind und K. Weierstrass) als Grundlage für die Konstruktion mathematischer Theorien verwendet wird. Analyse. Cantors Mengenlehre markierte einen wichtigen Schritt vorwärts in der Untersuchung des Konzepts der Unendlichkeit; seine Entstehung war eine Revolution in allem Mathematischen. Wissen. Am Anfang. 20. Jahrhundert die gesamte Mathematik wurde auf der Grundlage der Mengenlehre umstrukturiert; seine Entwicklung und sein Eindringen in verschiedene Bereiche der Mathematik führten zur Entstehung neuer wissenschaftlicher. Disziplinen zum Beispiel. Topologie, abstrakte Algebra usw. Später wurden in der Mengenlehre Paradoxien entdeckt, die dem Studium der Logik neue Impulse verliehen. Grundlagen der Mathematik und führte zur Entstehung neuer Trends in ihrer Philosophie. Interpretation (z. B. Intuitionismus). Eines der ersten Paradoxien dieser Art (verbunden mit dem Begriff der Potenz der Menge aller Mengen) wurde 1899 von K. selbst entdeckt. Mathematik, basierend auf der unbedingten Anwendung der Mengenlehre von K., in der Gegenwart. Zeit wird oft als klassisch bezeichnet. Siehe Mathematik, Mengenlehre, Mathematische Unendlichkeit. Philos. Aspekt der Ideen von K. bestand in der Anerkennung der vollen Legitimität des Begriffs des tatsächlich Unendlichen. K. unterschied zwei Arten von Mathematik. Unendlichkeit: das uneigentlich Unendliche (potentiell oder synkategorematisch, unendlich) und das eigentlich Unendliche (eigentlich unendlich), von K. als etwas Vollständiges, als streng begrenztes Ganzes verstanden. Im Zusammenhang mit der Frage nach der Realität, dem Mathematischen Begriffe, die K. unterschied: ihre intrasubjektive oder immanente Realität (ihre innere logische. Konsistenz) und ihrer transsubjektiven oder vergänglichen Realität, worunter er die Entsprechung zwischen mathematisch verstand. Konzepte und Prozesse der realen Welt. Im Gegensatz zu Kronecker, der jene Methoden des mathematischen Existenzbeweises ablehnte. Objekte, die nicht mit ihrer Konstruktion oder Berechnung in Verbindung gebracht werden, stellte K. die These auf: "Das Wesen der Mathematik - in ihrer Freiheit", DOS. was to-rogo bedeutet, wurde auf die Annahme der Konstruktion einer logisch konsistenten abstrakten Mathematik reduziert. Systemen wird die Frage der "vergänglichen Realität" to-rykh gelöst, indem sie mit den Prozessen der Realität verglichen werden. Die Fruchtbarkeit dieses Gedankens von K. wurde durch die Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert bestätigt, die viele Beispiele für die Anwendung neu aufkommender abstrakter mathematischer Konzepte brachte. und logisch. Theorien in Physik, Technologie, Linguistik und anderen Bereichen. Durch ihre Philosophie. Ansichten K. war ein objektiver Idealist. Er betrachtete das wirklich Unendliche in der Mathematik nur als eine der Existenzformen des wirklich Unendlichen überhaupt; letzteres erwirbt die "höchste Vollständigkeit" in einem völlig unabhängigen, außerweltlichen Dasein - in Gott; Gott ist absolut unendlich oder absolut; außerdem existiert nach K. das eigentliche Unendliche objektiv in der Außenwelt. K. kritisierte Hegel und lehnte seine Dialektik mit der Begründung ab, ihr Kern sei ein Widerspruch. Daher widmete K. besonders in seiner letzten Lebensphase der Theologie Aufmerksamkeit. Seine religiöse Philosophie. Ansichten bildeten sich unter dem Einfluss von Aristoteles, Plato und den Scholastikern. Betrieb: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. Lit.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930. A. Konoplyankin. Moskau.

Großartige Definition

Unvollständige Definition ↓

KANTOR Georg (1845-1918)

Deutscher Mathematiker, Logiker, Theologe, Begründer der Theorie der transfiniten (unendlichen) Mengen, die die Entwicklung der mathematischen Wissenschaften an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert entscheidend beeinflusste. Absolvent der Universität Berlin (1867), Professor an der Universität Halle (1879-1913). Hauptwerk: „Grundlagen der Allgemeinen Sortenlehre“ (1902). K.s Forschungen, initiiert durch die Notwendigkeit, drängende Probleme in der Theorie der unendlichen Fourier-Reihen zu lösen, wurden zur Grundlage für weitere Grundlagenforschungen in Richtung der Theorie numerischer Mengen, wo er einführte: die allgemeine Definition einer Menge, transfinite Zahlen, das allgemeine Konzept der "Macht einer Menge" (als Anzahl der Elemente einer Menge), Kardinalitäten verschiedener transfiniter Mengen. Unter der Menge verstand K. „... im Allgemeinen beliebig viele Dinge, die man sich als eines vorstellen kann, also jede Menge bestimmter Elemente, die mit Hilfe irgendeines Gesetzes zu einem Ganzen verbunden werden können ...“ . Grundlegend für das Konzept einer Menge ist der Vorgang, verschiedene Objekte zu einem einzigen Ganzen zu kombinieren, das als Menge definiert wird. Elemente von Mengen können beliebige Objekte der realen Realität, der menschlichen Intuition oder des Intellekts sein. Das Vorhandensein des Ausdrucks "... eine Menge bestimmter Elemente, die mit Hilfe eines bestimmten Gesetzes zu einem Ganzen verbunden werden können ..." in der Definition von K. bestimmt vollständig die Menge seiner Elemente oder seines Gesetzes (charakteristische Merkmale , Eigenschaften), wonach der Akt der Vereinigung verschiedener Objekte zu einem Ganzen - einer Multitude - stattfindet. Daher ist das Grundkonzept der Mengenlehre nicht das Konzept einer Menge selbst, sondern die Relation der Zugehörigkeit von Objekten zu einer Menge. Die Tradition der Einteilung der Unendlichkeit in tatsächliche und potentielle geht auf Aristoteles zurück: "Es bleibt die Alternative, wonach das Unendliche eine potentielle Existenz hat ... Tatsächlich existiert das Unendliche nicht" (Aristoteles, "Physik"). Diese Tradition wurde von Descartes („Unendlichkeit ist erkennbar, aber nicht erkennbar“) und sogar zu Zeiten von K. Gauß („In der Mathematik kann ein unendlicher Wert niemals als etwas Endgültiges verwendet werden; Unendlichkeit ist nichts anderes als facon de parle / Ausdrucksweise - С.С / , was die Grenze bedeutet, zu der einige Größen tendieren, während andere unendlich abnehmen"). K. wich, wie M. Kline schrieb, von einer langen Tradition „schon dadurch ab, dass er unendliche Mengen als einzelne Entitäten betrachtete, außerdem als Entitäten, die dem menschlichen Geist zugänglich sind“. In seinen Ansichten über die mathematische Unendlichkeit widersprach K. motivierte die Notwendigkeit, tatsächlich unendliche Mengen einzuführen, durch die Tatsache, dass "potentielle Unendlichkeit tatsächlich von der tatsächlichen Unendlichkeit abhängt, die ihr logisch vorausgeht". Ein klassisches Beispiel für eine eigentlich unendliche Menge nach K. sind die Dezimalentwicklungen irrationaler Zahlen, da jedes "endliche Segment einer solchen Zerlegung gibt nur eine endliche Annäherung an eine irrationale Zahl." 1873 begann K. mit Forschungen zur Klassifikation tatsächlich unendlicher Mengen. Etwas später definierte K. eine unendliche Menge als eine Menge, für die es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit ihrer eigenen Teilmenge gibt (d. h. verschieden von der Gesamtmenge). Eine der Konsequenzen dieses Ansatzes war beispielsweise die Möglichkeit, eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen Punkten einer geraden Linie und Punkten einer Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension herzustellen. Auf der Grundlage seiner eigenen Definition unendlicher Mengen konnte K. für jedes Paar von ihnen das Äquivalenzverhältnis (gleiche Potenz) aufstellen. 1874 bewies K. die Abzählbarkeit der Menge aller reellen Zahlen, indem er die Existenz von Paaren unendlicher Mengen mit unterschiedlichen Kardinalitäten (nicht äquivalente Mengen) nachwies. Systematisch die Grundlagen seiner Theorie der mathematischen Unendlichkeit skizzierte K. 1879-1884. Die Grundlage der Hierarchie der Unendlichkeiten K. wurde in der ersten Hälfte der 1890er Jahre durch den bekannten Satz von K.-Bernstein bewiesen: „Wenn zwei Mengen A und B so sind, dass zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz besteht der Menge A und einer Teilmenge der Menge B und zwischen der Menge B und der Teilmenge der Menge A , dann ist es auch möglich, eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Menge A und der Menge B herzustellen", d.h. Stellen Sie die Äquivalenz (Äquivalenz) der Mengen A und B her. Gleichzeitig stellte K. fest, dass, wenn die Menge A in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit ihrer eigenen Teilmenge B gebracht werden kann, die Menge B nicht eingesetzt werden kann Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit der eigenen Teilmenge A, dann ist die Menge B laut Definition größer als die Menge A. Laut M. Klein verallgemeinert eine solche Definition auf den Fall unendlicher Mengen, was „in diesem Fall unmittelbar offensichtlich ist von endlichen Mengen." Diesem Ansatz folgend bewies K., dass es für jede "gegebene Menge immer eine Menge gibt, die größer ist als die ursprüngliche" (zB ist die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge größer als die ursprüngliche Menge). Die Tatsache, dass es möglich ist, zwischen zwei Mächten die Beziehungen „Gleichheit“, „mehr“ und „weniger“ herzustellen, gab K. Es gibt Grund, "Zahlen" die Symbole zur Bezeichnung der Kardinalitäten unendlicher Mengen zu nennen (bei endlichen Mengen sind die Symbole zur Bezeichnung ihrer Kardinalitäten die Zahlen der natürlichen Reihen, die die Anzahl der Elemente in jeder der äquivalenten endlichen Mengen bestimmen). Im Gegensatz zu den Zahlen der natürlichen Reihe [Ordnungszahlen / von ihm. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - ordinal numbers - C.C.I, K. genannt cardinal numbers (from German Die Kardinalzahl - cardinal numbers)] "Zahlen", die die Kardinalität unendlicher Mengen bezeichnen. K. glaubte, dass der Bereich bestimmter Werte nicht auf endliche Werte beschränkt ist, tk. über "das tatsächliche Unendliche ist auch demonstratives Wissen möglich". Wenn der Begriff der Kardinalität ein erweiterter Begriff der "Menge" für unendliche Mengen war, dann wurde der Begriff der Kardinalzahl zu einer erweiterten Verallgemeinerung des Begriffs der "Zahlen im Allgemeinen". K. Erweiterung des Zahlenbegriffs in den Bereich des Unendlichen markierte den Übergang der Mathematik auf eine qualitativ neue Denkebene. Tatsächlich spiegelt die Macht der Mengen nach K. im Kopf eines menschlichen Forschers bestimmte Mengenbeziehungen wider, d.h. die Mächtigkeit von Mengen in K. ist die allgemeinste Eigenschaft äquivalenter unendlicher Mengen. Bozen im frühen 19. Jahrhundert. kam zum Konzept einer Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen Mengen (und folglich zum Konzept der Kardinalitäten von Mengen und deren Ausdruck durch Kardinalzahlen). Allerdings unter der "Menge" bis Mitte des 19. Jahrhunderts. Größe wurde verstanden. Und da es möglich ist, jede Menge mittels der gewählten Maßeinheit durch eine Zahl auszudrücken, wurde der Mengenbegriff mit dem Zahlenbegriff verbunden. Der Dichter Bozen musste sich vor den ernsthaften Schwierigkeiten zurückziehen, die sich aus dem Begriff der "Quantität" ergeben. Die Mathematik dieser Zeit wurde allgemein als eine Wissenschaft definiert, die die Beziehungen zwischen Größen und den sie ausdrückenden Zahlen untersucht. Jedoch, wie VA Volkov schreibt, "egal wie wichtig verschiedene Arten von Größen und Beziehungen zwischen ihnen für praktische Anwendungen der Mathematik sind, sie decken nicht den ganzen Reichtum verschiedener quantitativer Beziehungen und räumlicher Formen der realen Welt ab." K. führte auch den Begriff „Grenzpunkt einer abgeleiteten Menge“ in die Mathematik ein, konstruierte ein Beispiel für eine perfekte Menge („Menge K.“) und formulierte eines der Stetigkeitsaxiome („Axiom K.“). Konsequenzen aus der Theorie von K. offenbarten Widersprüche in recht ernsthaft untersuchten Bereichen der Grundlagen der Mathematik. Die damaligen Führer der Mathematik nannten diese Widersprüche Paradoxien (Antinomien) aus dem einzigen Grund, dass das Paradox "erklärt werden kann und die Mathematiker die Hoffnung nicht aufgegeben haben, dass sie schließlich alle Schwierigkeiten lösen können, auf die sie gestoßen sind". Die Theorie der mathematischen Unendlichkeit von K. wurde im Gegensatz zu den meisten führenden Mathematikern dieser Zeit von Russell und Hilbert unterstützt. Russell, der K. für einen der großen Denker des 19. Jahrhunderts hielt, schrieb 1910, dass die Lösung von K.-Problemen, „die lange Zeit das Geheimnis der mathematischen Unendlichkeit verhüllt haben, wahrscheinlich die größte Errungenschaft ist, die unser Jahrhundert / 20. Jahrhundert sein sollte stolz auf - S.S ./". Hilbert dachte 1926, dass die Theorie von K. - "die herrlichste Blüte des mathematischen Denkens und eine der größten Errungenschaften der menschlichen Tätigkeit auf dem Gebiet des reinen Denkens" ist. Und E. Borel und A. Lebesgue schon ganz am Anfang des 20. Jahrhunderts. verallgemeinerte das Konzept des Integrals und entwickelte die Theorie des Maßes und der Messung, die auf der Theorie von K. basierte. Bis 1897 musste K. die aktive mathematische Forschung aufgrund des scharfen Widerstands gegen seine Ideen (insbesondere von L. Kronecker, der K. einen Scharlatan nannte), nannte das „Gesetz der Erhaltung des Unwissens“: „Es ist nicht leicht, einen einmal gezogenen und hinreichend verbreiteten Fehlschluss zu widerlegen, und umso weniger verstanden wird, desto hartnäckiger wird daran festgehalten." K. teilte immer die philosophischen Ideen von Platon und glaubte, dass in der Welt um uns herum "Ideen unabhängig vom Menschen existieren. Und um die Realität dieser Ideen zu erkennen, muss man nur über sie nachdenken." K., der gemäß der langen religiösen Tradition seiner Familie ein eifriger Lutheraner war, verwendete in seinen Äußerungen oft theologische Argumente. Besonders deutlich wurde dies nach seinem Abschied von der Mathematik.

Georg Cantor (Foto wird später im Artikel gegeben) ist ein deutscher Mathematiker, der die Mengenlehre geschaffen und das Konzept der transfiniten Zahlen eingeführt hat, unendlich groß, aber voneinander verschieden. Er definierte auch Ordnungs- und Kardinalzahlen und schuf ihre Arithmetik.

Georg Kantor: eine Kurzbiographie

Geboren am 03.03.1845 in St. Petersburg. Sein Vater war ein Däne evangelischen Glaubens, Georg-Valdemar Kantor, der im Handel tätig war, unter anderem an der Börse. Seine Mutter Maria Bem war Katholikin und stammte aus einer prominenten Musikerfamilie. Als Georgs Vater 1856 erkrankte, zog die Familie auf der Suche nach einem milderen Klima zunächst nach Wiesbaden und dann nach Frankfurt. Bereits vor seinem 15. Geburtstag zeigte sich die mathematische Begabung des Jungen während seines Studiums an Privatschulen und Gymnasien in Darmstadt und Wiesbaden. Am Ende überzeugte Georg Cantor seinen Vater von seiner festen Absicht, Mathematiker und nicht Ingenieur zu werden.

Nach einem kurzen Studium an der Universität Zürich wechselte Kantor 1863 an die Universität Berlin, um Physik, Philosophie und Mathematik zu studieren. Dort wurde ihm beigebracht:

• Karl Theodor Weierstraß, dessen Spezialisierung auf Analyse Georg wahrscheinlich am stärksten beeinflusste;
• Ernst Eduard Kummer, der höhere Arithmetik lehrte;
• Leopold Kronecker, Zahlentheoretiker, der später gegen Cantor war.

Nachdem er 1866 ein Semester an der Universität Göttingen verbracht hatte, schrieb Georg im folgenden Jahr eine Dissertation mit dem Titel „In der Mathematik ist die Kunst des Fragens wertvoller als das Lösen von Problemen“ über ein Problem, das Carl Friedrich Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae ungelöst ließ (1801) . Nach einer kurzen Lehrtätigkeit an der Berliner Mädchenschule trat Kantor zunächst als Lehrer, ab 1872 als Assistenzprofessor und ab 1879 als Professor an die Universität Halle, wo er bis zu seinem Lebensende blieb.

Forschung

Am Anfang einer Reihe von 10 Arbeiten von 1869 bis 1873 betrachtete Georg Cantor die Zahlentheorie. Die Arbeit spiegelte seine Leidenschaft für das Thema, sein Studium von Gauß und den Einfluss von Kronecker wider. Auf Anregung von Cantors Kollegen in Halle, Heinrich Eduard Heine, der seine mathematische Begabung erkannte, wandte er sich der Theorie der trigonometrischen Reihen zu, in der er den Begriff der reellen Zahlen erweiterte.

Basierend auf der Arbeit des deutschen Mathematikers Bernhard Riemann über die Funktion einer komplexen Variablen aus dem Jahr 1854 zeigte Kantor 1870, dass eine solche Funktion nur auf eine Weise dargestellt werden kann - durch trigonometrische Reihen. Die Überlegung einer Menge von Zahlen (Punkten), die einer solchen Darstellung nicht widersprechen würde, führte ihn 1872 zunächst zu einer Definition in Form von rationalen Zahlen (Bruchzahlen) und dann zum Beginn der Arbeit an seinem Lebenswerk Menge Theorie und das Konzept der transfiniten Zahlen.

Mengenlehre

Georg Cantor, dessen Mengenlehre im Briefwechsel mit dem Mathematiker der Technischen Hochschule Braunschweig Richard Dedekind entstand, war seit seiner Kindheit mit ihm befreundet. Sie kamen zu dem Schluss, dass Mengen, ob endlich oder unendlich, Ansammlungen von Elementen (z. B. Zahlen, (0, ±1, ±2 . . .)) sind, die eine bestimmte Eigenschaft haben, aber ihre Individualität behalten. Aber als Georg Cantor eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz (z. B. (A, B, C) zu (1, 2, 3)) verwendete, um ihre Eigenschaften zu untersuchen, erkannte er schnell, dass sie sich im Grad ihrer Zugehörigkeit unterscheiden, selbst wenn es unendliche Mengen wären, d. h. Mengen, von denen ein Teil oder eine Teilmenge so viele Objekte enthält wie sie selbst. Seine Methode lieferte bald erstaunliche Ergebnisse.

1873 zeigte Georg Cantor (Mathematiker), dass rationale Zahlen, obwohl unendlich, zählbar sind, weil sie in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit natürlichen Zahlen (d. h. 1, 2, 3 usw.) gebracht werden können. Er zeigte, dass die Menge der reellen Zahlen, bestehend aus irrationalen und rationalen, unendlich und nicht abzählbar ist. Paradoxerweise bewies Cantor, dass die Menge aller algebraischen Zahlen genauso viele Elemente enthält wie die Menge aller ganzen Zahlen, und dass die nicht-algebraischen transzendenten Zahlen, die eine Teilmenge der irrationalen Zahlen sind, nicht abzählbar und daher zahlreicher sind als ganze Zahlen. und sollte als unendlich behandelt werden.

Gegner und Unterstützer

Kantors Aufsatz, in dem er diese Ergebnisse erstmals vortrug, wurde jedoch nicht in der Zeitschrift Krell veröffentlicht, da einer der Rezensenten, Kronecker, kategorisch dagegen war. Aber nach der Intervention von Dedekind wurde es 1874 unter dem Titel Über die charakteristischen Eigenschaften aller reellen algebraischen Zahlen veröffentlicht.

Wissenschaft und Privatleben

Im selben Jahr lernte Kantor während seiner Hochzeitsreise mit seiner Frau Valli Gutman Dedekind kennen, der sich positiv über seine neue Theorie äußerte. Georges Gehalt war gering, aber mit dem Geld seines Vaters, der 1863 starb, baute er ein Haus für seine Frau und fünf Kinder. Viele seiner Aufsätze wurden in Schweden in der neuen Zeitschrift Acta Mathematica veröffentlicht, herausgegeben und gegründet von Gesta Mittag-Leffler, die als eine der ersten das Talent des deutschen Mathematikers erkannte.

Verbindung zur Metaphysik

Cantors Theorie wurde zu einem völlig neuen Studiengegenstand in Bezug auf die Mathematik des Unendlichen (z. B. Reihen 1, 2, 3 usw. und komplexere Mengen), die stark von einer Eins-zu-eins-Korrespondenz abhing. Die Entwicklung neuer Methoden zur Fragestellung von Kontinuität und Unendlichkeit durch Cantor verlieh seiner Forschung einen zwiespältigen Charakter.

Als er argumentierte, dass unendliche Zahlen wirklich existieren, wandte er sich der antiken und mittelalterlichen Philosophie in Bezug auf tatsächliche und potenzielle Unendlichkeit sowie der frühen religiösen Erziehung zu, die ihm seine Eltern gaben. 1883 kombinierte Cantor in seinem Buch Grundlagen der allgemeinen Mengenlehre sein Konzept mit Platons Metaphysik.

Kronecker, der behauptete, dass nur ganze Zahlen „existieren“ („Gott schuf die ganzen Zahlen, der Rest ist Menschenwerk“), wies seine Argumentation jahrelang vehement zurück und verhinderte seine Berufung an die Universität Berlin.

transfinite Zahlen

1895-97. Georg Cantor hat seinen Begriff von Kontinuität und Unendlichkeit, einschließlich unendlicher Ordnungs- und Kardinalzahlen, in seinem berühmtesten Werk, das als Beiträge zur Gründung der Theorie der transfiniten Zahlen (1915) veröffentlicht wurde, vollständig formuliert. Dieser Aufsatz enthält sein Konzept, zu dem er geführt wurde, indem er zeigte, dass eine unendliche Menge in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit einer ihrer Teilmengen gebracht werden kann.

Mit der am wenigsten transfiniten Kardinalzahl meinte er die Kardinalität jeder Menge, die in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit den natürlichen Zahlen gebracht werden kann. Cantor nannte es Aleph-Null. Große transfinite Mengen werden bezeichnet usw. Er entwickelte die Arithmetik der transfiniten Zahlen weiter, die der endlichen Arithmetik analog war. Damit bereicherte er das Konzept der Unendlichkeit.

Der Widerstand, auf den er stieß, und die Zeit, die es brauchte, bis seine Ideen vollständig akzeptiert wurden, erklärt sich aus der Schwierigkeit, die alte Frage, was eine Zahl ist, neu zu bewerten. Cantor hat gezeigt, dass die Menge der Punkte auf einer Linie eine höhere Kardinalität hat als Aleph-Null. Dies führte zu dem bekannten Problem der Kontinuumshypothese - es gibt keine Kardinalzahlen zwischen Aleph-Null und der Potenz von Punkten auf der Linie. Dieses Problem erregte in der ersten und zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts großes Interesse und wurde von vielen Mathematikern untersucht, darunter Kurt Gödel und Paul Cohen.

Depression

Die Biographie von Georg Kantor wurde seit 1884 von seiner Geisteskrankheit überschattet, aber er arbeitete weiterhin aktiv. 1897 half er bei der Durchführung des ersten internationalen mathematischen Kongresses in Zürich. Teilweise weil er von Kronecker abgelehnt wurde, sympathisierte er oft mit jungen Mathematikanfängern und suchte nach einem Weg, sie vor der Belästigung durch Lehrer zu bewahren, die sich durch neue Ideen bedroht fühlten.

Geständnis

Um die Jahrhundertwende wurde seine Arbeit als Grundlage für Funktionentheorie, Analysis und Topologie anerkannt. Darüber hinaus dienten die Bücher von Kantor Georg als Anstoß für die Weiterentwicklung der intuitionistischen und formalistischen Schule der logischen Grundlagen der Mathematik. Dies hat das Lehrsystem erheblich verändert und wird oft mit der „neuen Mathematik“ in Verbindung gebracht.

1911 gehörte Kantor zu den Gästen, die zur Feier des 500-jährigen Jubiläums der University of St. Andrews in Schottland eingeladen wurden. Er reiste dorthin in der Hoffnung, sich mit ihm zu treffen, den er in seiner kürzlich erschienenen Principia Mathematica wiederholt auf den deutschen Mathematiker bezog, was jedoch nicht geschah. Die Universität verlieh Kantor die Ehrendoktorwürde, die er jedoch krankheitsbedingt nicht persönlich entgegennehmen konnte.

Kantor ging 1913 in den Ruhestand, lebte in Armut und hungerte während des Ersten Weltkriegs. Die Feierlichkeiten zu seinem 70. Geburtstag im Jahr 1915 wurden kriegsbedingt abgesagt, aber in seinem Haus fand eine kleine Zeremonie statt. Er starb am 01.06.1918 in Halle, in einer psychiatrischen Anstalt, wo er seine letzten Lebensjahre verbrachte.

Georg Kantor: Biographie. Die Familie

Am 9. August 1874 heiratete der deutsche Mathematiker Wally Gutman. Das Paar hatte 4 Söhne und 2 Töchter. Das letzte Kind wurde 1886 in einem von Kantor neu gekauften Haus geboren. Das Erbe seines Vaters half ihm, seine Familie zu ernähren. Kantors Gesundheitszustand wurde durch den Tod seines jüngsten Sohnes im Jahr 1899 stark in Mitleidenschaft gezogen – seitdem hat ihn die Depression nicht mehr losgelassen.

Hrsg., Gesammelte Abhandlungen mathematisch und philosophisch inhalts, mit Erlä uternden anmerkungen sowie mit Ergä zungen aus dem kurzwechsel Kantor- Dedekind, Berlin, Verlag von JuliusSpringer, 1932

1. Entwicklungszeitraum (1845−1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor, der Schöpfer der Mengenlehre, eines der größten neuen Phänomene in der Welt der Wissenschaft, wurde am 19. Februar o.s. in St. Petersburg geboren. Stil (3. März, neuer Stil) 1845. Sein Vater Georg Voldemar Kantor, ursprünglich aus Kopenhagen, kam in seiner Jugend nach St. Petersburg; er unterhielt dort eine Maklerfirma unter seinem eigenen Namen, manchmal unter dem Namen "Kantor und K." Als fleißiger und erfolgreicher Geschäftsmann erzielte er große Erfolge und hinterließ nach seinem Tod (1863) ein sehr bedeutendes Vermögen; anscheinend genoss er sowohl in St. Petersburg als auch später in Deutschland hohes Ansehen. Aufgrund einer Lungenerkrankung übersiedelte er 1856 mit seiner Familie nach Deutschland; dort entschied er sich bald für einen Verbleib in Frankfurt am Main, wo er als Rentier lebte. Kantors Mutter, Maria geb. Boehm, stammte aus einer Familie, deren Mitglieder vielfach auf verschiedenen Gebieten der Kunst begabt waren; ihr Einfluss war zweifellos in der reichen Fantasie ihres Sohnes offensichtlich. Sein Großvater Ludwig Böhm war Kapellmeister; Großvaters Bruder Joseph, der in Wien lebte, war Lehrer des berühmten Cellisten Joachim; Maria Kantors Bruder war ebenfalls Musiker, und ihre Schwester Annette hatte eine Künstlertochter, die an der Münchener Kunstgewerbeschule unterrichtete. Eine künstlerische Ader ist auch bei Georg Kantors Bruder Konstantin, der ein begabter Pianist war, und bei seiner Schwester Sophia, die besonders gern zeichnete, erkennbar.

Ein begabter Junge, der die Grundschule in St. Petersburg besuchte, zeigte schon sehr früh den leidenschaftlichen Wunsch, mit dem Studium der Mathematik zu beginnen. Sein Vater war damit jedoch nicht einverstanden, da er den Beruf des Ingenieurs für verdienstversprechender hielt. Der Sohn gehorchte zunächst; zeitweilig besuchte er das Gymnasium in Wiesbaden sowie Privatschulen in Frankfurt am Main; dann trat er im Frühjahr 1859 in die Landesrealschule des Großherzogtums Hessen in Darmstadt ein, wo auch Latein unterrichtet wurde; von dort wechselte er 1860 in den allgemeinen Kurs der Höheren Handwerksschule (später Höhere Technische Schule). Sein Vater leitete seine Ausbildung mit ungewöhnlich hohen Standards; er legte besonderen Wert auf die Erziehung von Energie, Charakterfestigkeit und Religiosität, die alles Leben durchdringt; insbesondere betonte er die Bedeutung einer vollständigen Beherrschung der wichtigsten modernen Sprachen. Sein Vater wies ihn (in seinem Bestätigungsschreiben 1860) an, trotz aller Feindschaft standhaft zu bleiben und sich immer durchzusetzen; an diesen Ruf erinnerte sich der Sohn in den Stunden schwerer Prüfungen mehr als einmal, und vielleicht verdanken wir es dieser väterlichen Erziehung, dass sein schöpferischer Geist nicht vorzeitig gebrochen wurde und seine Früchte der Nachwelt nicht verloren gingen.

Im Laufe der Zeit musste die tiefe Hingezogenheit des Sohnes zur Mathematik seinen Vater beeinflussen, dessen Briefe ebenfalls von seinem Respekt vor der Wissenschaft zeugen. In einem Brief aus Darmstadt vom 25. Mai 1862, der den ersten erhaltenen Brief von Kantor darstellt, konnte sich der Sohn bereits bei seinem Vater für die Zustimmung zu seinen Plänen bedanken: „Lieber Papa! Sie können sich vorstellen, wie mich Ihr Brief gefreut hat; es bestimmt meine Zukunft. Ich habe die letzten Tage in Zweifel und Ungewissheit verbracht; und konnte keine Entscheidung treffen. Pflicht und Anziehungskraft standen sich ständig gegenüber. Jetzt freue ich mich zu sehen, dass ich Sie nicht betrüben werde, indem ich bei meiner Wahl meiner eigenen Neigung folge. Ich hoffe, lieber Vater, dass ich dir noch Freude bereiten kann, denn meine Seele, mein ganzes Wesen lebt in meiner Berufung; ein Mensch tut, was er will und kann, und wozu ihn seine unbekannte, geheimnisvolle Stimme führt! .. "

Im Herbst 1862 begann Kantor sein Studium in Zürich, das er jedoch nach dem ersten Semester aufgrund des Todes seines Vaters verließ. Seit Herbst 1863 studierte er Mathematik, Physik und Philosophie in Berlin, wo das Triumvirat Kummer, Weierstraß und Kronecker die besten Talente anzog und die Gemüter des (damals noch recht engen) Zuhörerkreises in den unterschiedlichsten Richtungen begeisterte. Er verbrachte nur das Frühjahrssemester 1866 in Göttingen. Weierstrass hatte zweifellos den stärksten Einfluss auf seine wissenschaftliche Entwicklung. Es ist bemerkenswert und bezeichnend für die Weite von Weierstraß' Ansichten, für sein vorurteilsfreies und einsichtiges Urteil, mit welch verständnisvollem Verständnis und wie früh er die unkonventionellen Ideen seines Schülers schätzte und damit auf die tiefe Achtung reagierte, die er ihm Zeit seines Lebens stets entgegenbrachte, trotz vorübergehender Streitereien. Während seiner Berliner Jahre war Kantor nicht nur Mitglied der Mathematischen Gesellschaft, sondern auch eines engeren Kreises junger Kollegen, die sich wöchentlich in Remels Wirtshaus trafen; zu diesem Kreis gehörten, abgesehen von gelegentlichen Gästen, Henoch (der spätere Verleger der Fortschritte), Lampe, Mertens, Max Simon, Thoma; letzterer stand Kantor besonders nahe. Ferner G. A. Schwartz, der zwei Jahre alt war älter, später aber begegnete er, im Gegensatz zu seinem Lehrer Weierstraß, den Ideen Cantors mit größtem Mißtrauen und warnte wie Kronecker bis an sein Lebensende besonders seine Schüler davor -zweijährige Studentin hat an der Universität Berlin eine Dissertation abgeschlossen, die aus einer eingehenden Beschäftigung mit Legendres Disquisitiones arithmeticae (Studien zur Arithmetik) und Legendres Zahlentheorie hervorgegangen ist und von der Fakultät als "dissertatio docta et ingeniosa" bewertet wurde " (Wissenschaftliche und geniale Argumentation) * Diese Arbeit schließt an die Gaußschen Formeln zur Lösung der Diophantischen Gleichung an Axt 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; darin wird eine Beziehung hergestellt, die Gauß nicht ausdrücklich gibt. Eine ausführliche Erörterung von Cantors Werk ist in einer ausführlichen Biographie enthalten, die ich über ihn geschrieben habe, veröffentlicht im Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 39 (1930), S. 189–266, sowie in einem separaten Buch: Georg Kantor, Leipzig und Berlin , 1930; er widmete es seinen Vormündern (zugleich den Vormündern seines Bruders und seiner Schwester). In der mündlichen Prüfung erhielt er „magna cum laude“ („mit besonderer Auszeichnung“). Von den drei Thesen, die er zu verteidigen vorschlug, ist die dritte besonders charakteristisch: „In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solventi“ (In der Mathematik ist die Kunst, Fragen zu stellen, wichtiger als die Kunst, sie zu lösen.) Vielleicht selbst die Ergebnisse, die er in der Mengenlehre erzielt hat, sind den revolutionären Formulierungsproblemen unterlegen, die in ihrem Einfluss so weit über seine eigenen Schriften hinausreichen.

Es scheint, dass Kantor für kurze Zeit in einer Mädchenschule in Berlin unterrichtet hat; jedenfalls trat er 1868 nach bestandenem Staatsexamen in das bekannte Schelbacher Priesterseminar ein, das Mathematiklehrer ausbildete.

Die Doktorarbeit, die Kantor im Frühjahr 1869 die Möglichkeit gab, Privatdozent an der Universität Halle zu werden, gehört zusammen mit einigen kurzen Notizen, die 1868-72 veröffentlicht wurden, zu seinem ersten, arithmetischen Interessenkreis, dem er selten angehörte Diese Studien zur Zahlentheorie unter der Leitung und mit Billigung von Kronecker waren jedoch für Cantor keine zufällige Episode. Im Gegenteil, er erlebte die tiefe innere Wirkung dieser Disziplin mit ihrer besonderen Reinheit und Anmut. Das beweist neben der ersten auch die dritte These, die er zur Verteidigung vorlegte: „Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere“ („Ganzzahlige Zahlen sollten wie Himmelskörper als eine einzige interpretiert werden Ganzes, gebunden an Gesetze und Beziehungen"). Auch die Herstellung von Zusammenhängen zwischen verschiedenen zahlentheoretischen Funktionen und der Riemannschen Zetafunktion (angrenzend an Riemanns Arbeiten über Primzahlen) gehört in eine frühe Zeit, möglicherweise schon in diese Zeit; diese Arbeit wurde von Kantor erst 1880 unter dem Einfluss von Lipschitz' Notiz in den Pariser Comptes Rendus ("Berichte") veröffentlicht. Cantors weitere zahlentheoretische Interessen sind neben seiner Zahlentafel auch der bis 1884 erhaltene, aber nicht verwirklichte Plan, in Acta Mathematica ein Werk über quadratische Formen zu veröffentlichen.

E. Heine, der zu der Zeit, als Kantor dort seine Dissertation verteidigte, ordentlicher Professor in Halle war, erkannte sofort, dass sich in seinem jungen Kollegen eine außerordentliche Geistesschärfe mit reichster Phantasie glücklich verband. Von entscheidender Bedeutung war, dass Cantor bald nach seinem Umzug nach Halle von Heine angeregt wurde, sich mit der Theorie der trigonometrischen Reihen zu beschäftigen. Die eifrige Arbeit an diesem Thema führte nicht nur zu einer Reihe bedeutender Errungenschaften, sondern führte Cantor auch auf den Weg zur Theorie der Punktmengen und transfiniten Ordnungszahlen. Die Arbeiten , , und widmen sich der Verfeinerung einer von Riemanns Behauptungen über trigonometrische Reihen (und der begleitenden Kontroverse mit Appel, in der das Konzept der gleichmäßigen Konvergenz ausführlich behandelt wurde); in seiner Arbeit beweist Kantor einen Satz über die Eindeutigkeit der trigonometrischen Darstellung * Überraschend ist, dass Kronecker, der dem Eindeutigkeitssatz von Cantor zunächst positiv gegenüberstand (vgl. ), dieses Ergebnis später völlig ignoriert; beispielsweise stellt er in "Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale" (1894) die Frage der Eindeutigkeit als noch offen dar!. Er versucht, dieses Ergebnis zu verallgemeinern, indem er alle Annahmen über das Verhalten der Reihe auf einer außergewöhnlichen Menge aufgibt; dies zwingt ihn, in der Arbeit einen kurzen Abriß von Gedanken darzulegen, "die zur Klärung der Beziehungen nützlich sein können, die sich in allen Fällen ergeben, wenn numerische Größen in endlicher oder unendlicher Zahl gegeben sind. Hier für Punktmengen, Grenzpunkte und Ableitungen ( endlicher Ordnung) eingeführt. Dazu entwickelt Cantor einerseits seine Theorie der irrationalen Zahlen * . In Heines Elemente der Funktionentheorie (J. Math., 74, S. 172-188, 1872) werden irrationale Zahlen genau nach Cantors Ideen eingeführt; vgl. eine Einleitung zu Heines Artikel sowie Kantors Werk „Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten“, die in Anlehnung an die Mengenlehre seinen Namen verewigte, wo irrationale Zahlen als fundamentale Reihen gelten. Andererseits führt er für den Übergang zur Geometrie ein spezielles Axiom (Cantors Axiom) ein, das gleichzeitig und unabhängig in etwas anderer Formulierung in Dedekinds Buch Kontinuität und Irrationale Zahlen auftaucht.