Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es darum geht, Probleme bei der Bestimmung der Populationsgröße zu lösen.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulkurs Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie das Graphik- und Matrizenverfahren, die Lösung nach dem Gauß-Verfahren.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und erlaubt Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Term-für-Term-Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Anwendungen dieser Methode erfordern Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet, um ein lineares Gleichungssystem kurz niederzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Das Matrixverfahren zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit vielen Variablen und Gleichungen zu reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gaußsche Methode ist für Mittelschüler schwer verständlich, aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu entwickeln.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

Lineare Gleichungen sind ein ziemlich harmloses und verständliches Thema in der Schulmathematik. Aber seltsamerweise ist die Anzahl der Fehler aus heiterem Himmel beim Lösen linearer Gleichungen nur geringfügig geringer als in anderen Themen - quadratische Gleichungen, Logarithmen, Trigonometrie und andere. Die Ursachen der meisten Fehler sind banale identische Transformationen von Gleichungen. Dies ist vor allem eine Zeichenverwirrung beim Übertragen von Termen von einem Teil der Gleichung in einen anderen sowie Fehler beim Arbeiten mit Brüchen und Bruchkoeffizienten. Ja Ja! Auch Brüche in linearen Gleichungen kommen vor! Überall. Etwas weiter unten werden wir auch solche bösen Gleichungen analysieren.)

Nun, lass uns nicht die Katze am Schwanz ziehen und anfangen, es herauszufinden, oder? Dann lesen und verstehen wir.)

Was ist eine lineare Gleichung? Beispiele.

Typischerweise hat eine lineare Gleichung die folgende Form:

Axt + b = 0,

Wobei a und b beliebige Zahlen sind. Alles: ganzzahlig, gebrochen, negativ, irrational – jeder kann sein!

Zum Beispiel:

7x + 1 = 0 (hier a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (hier a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (hier a = 1/2, b = -1,1)

Im Allgemeinen verstehen Sie, hoffe ich.) Alles ist einfach, wie in einem Märchen. Vorerst… Und wenn wir uns die gängige Notation ax+b=0 genauer ansehen und ein wenig nachdenken? Denn a und b irgendwelche Zahlen! Und wenn wir, sagen wir, a = 0 und b = 0 haben (es können beliebige Zahlen genommen werden!), was bekommen wir dann?

0 = 0

Aber das ist nicht alles Spaß! Und wenn, sagen wir, a = 0, b = -10? Dann stellt sich ziemlicher Unsinn heraus:

0 = 10.

Was sehr, sehr ärgerlich ist und das durch Schweiß und Blut erkämpfte Vertrauen in die Mathematik untergräbt ... Vor allem bei Tests und Prüfungen. Aber von diesen unverständlichen und seltsamen Gleichheiten müssen Sie auch X finden! Was es gar nicht gibt! Und hier können selbst gut vorbereitete Schüler manchmal, wie man so schön sagt, in Ohnmacht fallen ... Aber keine Sorge! In dieser Lektion werden wir auch all diese Überraschungen betrachten. Und x aus solchen Gleichheiten wird man sicher auch finden.) Außerdem wird genau dieses x sehr, sehr einfach gesucht. Ja Ja! Überraschend, aber wahr.)

Okay, das ist verständlich. Aber wie können Sie am Aussehen der Aufgabe erkennen, dass wir eine lineare Gleichung haben und keine andere? Leider ist es bei weitem nicht immer möglich, die Art der Gleichung nur am Aussehen zu erkennen. Die Sache ist, dass nicht nur Gleichungen der Form ax + b = 0 als linear bezeichnet werden, sondern auch alle anderen Gleichungen, die durch identische Transformationen auf die eine oder andere Weise auf diese Form reduziert werden. Woher weißt du, ob es passt oder nicht? Bis Sie das Beispiel fast lösen - fast nichts. Es ist ärgerlich. Aber bei manchen Gleichungstypen ist es möglich, mit einem schnellen Blick sofort mit Sicherheit zu sagen, ob sie linear sind oder nicht.

Dazu wenden wir uns noch einmal der allgemeinen Struktur einer beliebigen linearen Gleichung zu:

Axt + b = 0

Beachten Sie, dass in einer linearen Gleichung stets es gibt nur die Variable x im ersten Grad und ein paar Zahlen! Und alle! Nichts mehr. Gleichzeitig gibt es kein x zum Quadrat, zur Kubik, unter der Wurzel, unter dem Logarithmus und anderen Exoten. Und (am wichtigsten!) keine Brüche mit x im Nenner! Sondern Brüche mit Zahlen im Nenner oder Division pro Zahl- leicht!

Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Die Gleichung enthält nur x zur ersten Potenz und Zahlen. Und es gibt keine Xe in höheren Potenzen – quadriert, hochgewürfelt und so weiter. Ja, hier gibt es Brüche, aber gleichzeitig sitzen sie in den Nennern von Brüchen nur Zahlen. Nämlich zwei und drei. Mit anderen Worten, es gibt keine Division durch x.

Und hier ist die Gleichung

Linear kann man es nicht mehr nennen, obwohl es auch hier nur Zahlen und X ersten Grades gibt. Denn unter anderem gibt es auch Brüche mit x im Nenner. Und nach Vereinfachungen und Transformationen kann eine solche Gleichung alles werden: linear und quadratisch - jeder.

Wie löst man lineare Gleichungen? Beispiele.

Wie löst man also lineare Gleichungen? Lesen Sie weiter und lassen Sie sich überraschen.) Die gesamte Lösung linearer Gleichungen basiert auf nur zwei Hauptdingen. Lassen Sie uns sie auflisten.

1) Eine Reihe von elementaren Aktionen und Regeln der Mathematik.

Dies ist die Verwendung von Klammern, das Öffnen von Klammern, das Arbeiten mit Brüchen, das Arbeiten mit negativen Zahlen, das Einmaleins und so weiter. Diese Kenntnisse und Fähigkeiten sind nicht nur für das Lösen linearer Gleichungen notwendig, sondern für die gesamte Mathematik im Allgemeinen. Und wenn das ein Problem ist, denken Sie an die niedrigeren Noten. Sonst wirst du es schwer haben...

2)

Es gibt nur zwei von ihnen. Ja Ja! Darüber hinaus liegen diese sehr grundlegenden identischen Transformationen der Lösung nicht nur linearer, sondern überhaupt aller Gleichungen der Mathematik zugrunde! Mit einem Wort, die Lösung jeder anderen Gleichung - quadratisch, logarithmisch, trigonometrisch, irrational usw. - beginnt in der Regel mit diesen sehr grundlegenden Transformationen. Aber die Lösung von genau linearen Gleichungen endet tatsächlich mit ihnen (Transformationen). Fertige Antwort.) Seien Sie also nicht faul und machen Sie einen Spaziergang durch den Link.) Außerdem werden dort auch lineare Gleichungen ausführlich analysiert.

Nun, ich denke, es ist an der Zeit, mit der Analyse von Beispielen zu beginnen.

Betrachten Sie zunächst zum Aufwärmen einige elementare Übungen. Ohne Brüche und sonstigen Schnickschnack. Zum Beispiel diese Gleichung:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Dies ist eine klassische lineare Gleichung. Alle x sind maximal zur ersten Potenz und es gibt nirgendwo eine Division durch x. Das Lösungsschema bei solchen Gleichungen ist immer gleich und erschreckend einfach: Alle Terme mit x müssen links gesammelt werden, und alle Terme ohne x (also Zahlen) müssen rechts gesammelt werden. Fangen wir also an zu sammeln.

Dazu starten wir die erste identische Transformation. Wir müssen uns -5x nach links bewegen und -2, um uns nach rechts zu bewegen. Natürlich mit Vorzeichenwechsel.) Wir übertragen also:

x + 5x = 4 + 2

Bitte schön. Die halbe Miete ist geschafft: Die xs werden auf einem Stapel gesammelt, die Zahlen auch. Jetzt geben wir ähnliche auf der linken Seite und wir zählen auf der rechten Seite. Wir bekommen:

6x = 6

Was fehlt uns jetzt zum vollkommenen Glück? Ja, damit links ein sauberes X bleibt! Und die Sechs mischt sich ein. Wie kann man es loswerden? Jetzt starten wir die zweite identische Transformation – wir teilen beide Seiten der Gleichung durch 6. Und – voila! Antwort bereit.)

x = 1

Natürlich ist das Beispiel ziemlich primitiv. Um die allgemeine Vorstellung zu bekommen. Nun, lasst uns etwas Substanzielleres tun. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Gleichung:

Lassen Sie es uns im Detail analysieren.) Dies ist auch eine lineare Gleichung, obwohl es den Anschein hat, dass es hier Brüche gibt. Aber bei Brüchen gibt es eine Division durch zwei und eine Division durch drei, aber keine Division durch einen Ausdruck mit einem x! Also entscheiden wir. Verwenden Sie alle die gleichen identischen Transformationen, ja.)

Was werden wir zuerst tun? Mit X - nach links, ohne X - nach rechts? Im Prinzip ist es möglich und so. Fliegen Sie über Wladiwostok nach Sotschi.) Oder Sie nehmen den kürzesten Weg, sofort mit der universellen und leistungsstarken Methode. Wenn Sie die identischen Transformationen kennen, natürlich.)

Zunächst stelle ich eine Schlüsselfrage: Was fällt Ihnen an dieser Gleichung am meisten auf und was missfällt Ihnen? 99 von 100 Personen sagen: Brüche! Und sie werden Recht haben.) Also lasst uns sie zuerst loswerden. Sicher für die Gleichung selbst.) Beginnen wir also gleich mit zweite identische Transformation- aus Multiplikation. Womit muss die linke Seite multipliziert werden, damit der Nenner sicher reduziert wird? Richtig, doppelt. Und die rechte Seite? Für drei! Aber ... Mathematik ist eine kapriziöse Dame. Sie erfordert nämlich nur die Multiplikation beider Teile für die gleiche Nummer! Multiplizieren Sie jedes Teil mit seiner eigenen Zahl - es funktioniert nicht ... Was werden wir tun? Etwas... Suchen Sie nach einem Kompromiss. Um unsere Wünsche zu erfüllen (Brüche loszuwerden) und die Mathematik nicht zu beleidigen.) Und lasst uns beide Teile mit sechs multiplizieren!) Das heißt, mit dem gemeinsamen Nenner aller in der Gleichung enthaltenen Brüche. Dann werden auf einen Schlag die zwei reduziert und die drei!)

Hier multiplizieren wir. Die gesamte linke Seite und die gesamte rechte Seite komplett! Daher verwenden wir Klammern. So sieht der Ablauf aus:

Lassen Sie uns nun diese Klammern öffnen:

Stellen Sie nun 6 als 6/1 dar und multiplizieren Sie die 6 mit jedem der Brüche auf der linken und rechten Seite. Dies ist die übliche Multiplikation von Brüchen, aber wie dem auch sei, ich werde im Detail schreiben:

Und hier - Achtung! Ich habe den Zähler (x-3) in Klammern gesetzt! Das alles liegt daran, dass beim Multiplizieren von Brüchen der Zähler in seiner Gesamtheit multipliziert wird, vollständig und vollständig! Und mit dem Ausdruck x-3 muss man wie mit einer festen Konstruktion arbeiten. Aber wenn man den Zähler so schreibt:

6x - 3,

Aber wir haben alles richtig gemacht und wir müssen es zu Ende bringen. Was macht man als nächstes? Offene Klammern im Zähler links? Auf keinen Fall! Sie und ich haben beide Teile mit 6 multipliziert, um Brüche loszuwerden und kein Dampfbad mit öffnenden Klammern zu nehmen. In dieser Phase brauchen wir reduzieren unsere Fraktionen. Mit einem Gefühl tiefer Befriedigung reduzieren wir alle Nenner und erhalten die Gleichung ohne Brüche in einem Lineal:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

Und jetzt können die restlichen Klammern geöffnet werden:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Die Gleichung wird immer besser und besser! Jetzt erinnern wir uns wieder an die erste identische Transformation. Mit einem Steingesicht wiederholen wir den Zauber aus den unteren Klassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts. Und wenden Sie diese Transformation an:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Wir geben links ähnliche an und zählen rechts:

13x = 39

Es bleibt, beide Teile durch 13 zu teilen. Das heißt, wenden Sie die zweite Transformation erneut an. Wir dividieren und erhalten die Antwort:

x = 3

Die Arbeit ist erledigt. Wie Sie sehen, mussten wir in dieser Gleichung die erste Transformation (Termübertragung) einmal und die zweite zweimal anwenden: Am Anfang der Lösung haben wir die Multiplikation (mit 6) verwendet, um Brüche loszuwerden, und Am Ende der Lösung haben wir die Division (durch 13) verwendet, um den Koeffizienten vor x loszuwerden. Und die Lösung jeder (ja, jeder!) linearen Gleichung besteht aus einer Kombination dieser gleichen Transformationen in der einen oder anderen Folge. Wo genau Sie anfangen müssen, hängt von der spezifischen Gleichung ab. Irgendwo ist es rentabler, mit einer Übertragung zu beginnen, und irgendwo (wie in diesem Beispiel) - mit Multiplikation (oder Division).

Wir arbeiten von einfach bis komplex. Betrachten Sie jetzt Frank Tin. Mit vielen Brüchen und Klammern. Und ich sage dir, wie du dich nicht überanstrengst.)

Hier ist zum Beispiel eine Gleichung:

Wir schauen kurz auf die Gleichung, wir sind entsetzt, aber wir reißen uns trotzdem zusammen! Das Hauptproblem ist, wo anfangen? Auf der rechten Seite kannst du Brüche addieren. Sie können Brüche in Klammern subtrahieren. Du kannst beide Teile mit etwas multiplizieren. Oder teilen ... Was ist also noch möglich? Antwort: Alles ist möglich! Mathematik verbietet keine der aufgeführten Handlungen. Und egal für welche Abfolge von Aktionen und Transformationen Sie sich entscheiden, die Antwort wird immer dieselbe sein – die richtige. Es sei denn natürlich, Sie verletzen irgendwann nicht die Identität Ihrer Transformationen und machen dadurch keine Fehler ...

Und um keine Fehler zu machen, ist es bei so ausgefallenen Beispielen wie diesem immer am nützlichsten, sein Aussehen zu bewerten und sich vorzustellen, was man in einem Beispiel so machen kann maximal in einem Schritt vereinfachen?

Hier raten wir. Links sind die Sechser im Nenner. Mir persönlich gefallen sie nicht, aber sie lassen sich sehr leicht entfernen. Lassen Sie mich beide Seiten der Gleichung mit 6 multiplizieren! Dann werden die Sechser auf der linken Seite sicher reduziert, die Brüche in Klammern gehen noch nirgendwo hin. Nun, keine große Sache. Wir werden uns später damit befassen.) Aber auf der rechten Seite werden die Nenner 2 und 3 kleiner.Mit dieser Aktion (Multiplikation mit 6) erreichen wir maximale Vereinfachungen in einem Schritt!

Nach der Multiplikation sieht unsere ganze böse Gleichung so aus:

Wenn Sie nicht genau verstehen, wie diese Gleichung ausgegangen ist, dann haben Sie die Analyse des vorherigen Beispiels nicht gut verstanden. Und ich habe es übrigens versucht ...

Also öffnen wir es:

Jetzt wäre der logischste Schritt, die Brüche auf der linken Seite zu isolieren und 5x auf die rechte Seite zu schicken. Gleichzeitig geben wir ähnliche auf der rechten Seite an. Wir bekommen:

Schon viel besser. Jetzt hat sich die linke Seite für die Multiplikation vorbereitet. Was sollte mit der linken Seite multipliziert werden, damit sowohl die Fünf als auch die Vier sofort reduziert werden? Mit 20! Aber wir haben auch Nachteile auf beiden Seiten der Gleichung. Daher ist es am bequemsten, beide Seiten der Gleichung nicht mit 20, sondern mit -20 zu multiplizieren. Dann verschwinden auf einen Schlag die Minuszeichen und die Brüche.

Hier multiplizieren wir:

Für diejenigen, die diesen Schritt immer noch nicht verstehen, bedeutet dies, dass die Probleme nicht in den Gleichungen liegen. Probleme sind der Kern! Denken Sie auch hier an die goldene Regel zum Öffnen von Klammern:

Wenn die Zahl mit einem Ausdruck in Klammern multipliziert wird, muss diese Zahl sukzessive mit jedem Glied dieses Ausdrucks multipliziert werden. Wenn die Zahl positiv ist, bleiben außerdem die Vorzeichen der Ausdrücke nach der Erweiterung erhalten. Wenn sie negativ sind, werden sie umgekehrt:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Die Minuspunkte verschwanden, nachdem beide Teile mit -20 multipliziert wurden. Und jetzt multiplizieren wir die Klammern mit Brüchen ganz links ganz von uns positive Zahl 20. Daher bleiben beim Öffnen dieser Klammern alle darin enthaltenen Zeichen erhalten. Aber woher die Klammern in den Zählern von Brüchen kommen, habe ich bereits im vorigen Beispiel ausführlich erklärt.

Und jetzt können Sie Brüche kürzen:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Erweitern Sie die verbleibenden Klammern. Auch hier öffnen wir richtig. Die ersten Klammern werden mit einer positiven Zahl 4 multipliziert und somit bleiben beim Öffnen alle Vorzeichen erhalten. Aber die zweiten Klammern werden mit multipliziert Negativ die Zahl ist -5 und daher sind alle Vorzeichen vertauscht:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Es bleiben Leerstellen. Mit x nach links, ohne x nach rechts:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Das ist fast alles. Auf der linken Seite benötigen Sie ein sauberes X, und die Zahl -35 steht im Weg. Also dividieren wir beide Teile durch (-35). Ich erinnere Sie daran, dass die zweite Identitätstransformation es uns ermöglicht, beide Teile zu multiplizieren und zu dividieren wie auch immer Nummer. Einschließlich der negativen.) Wenn nur nicht auf Null! Fühlen Sie sich frei zu teilen und erhalten Sie die Antwort:

X=2/35

Dieses Mal stellte sich heraus, dass X gebrochen war. Macht nichts. So ein Beispiel.)

Wie wir sehen können, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen (selbst der verdrehtesten) ganz einfach: Wir nehmen die ursprüngliche Gleichung und vereinfachen sie sequentiell durch identische Transformationen bis zur Lösung. Natürlich mit den Basics! Die Hauptprobleme liegen hier gerade in der Nichteinhaltung der Grundlagen (z. B. ein Minus vor den Klammern und sie haben vergessen, die Vorzeichen beim Öffnen zu ändern) sowie in der banalen Arithmetik. Vernachlässigen Sie also nicht die Grundlagen! Sie sind die Grundlage aller übrigen Mathematik!

Einige Tricks zum Lösen linearer Gleichungen. Oder besondere Anlässe.

Alles wäre nichts. Allerdings ... Unter den linearen Gleichungen gibt es auch so lustige Perlen, die sie beim Lösen in einen starken Stupor treiben können. Sogar ein ausgezeichneter Schüler.)

Hier ist zum Beispiel eine harmlos aussehende Gleichung:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Gähnend und leicht gelangweilt sammeln wir links alle X und rechts alle Zahlen:

7x-4x-3x = 5-2-3

Wir geben ähnliche, betrachten und erhalten:

0 = 0

Das ist es! Ausgestellter Primerchik-Fokus! An sich ist diese Gleichheit unbedenklich: Null ist tatsächlich gleich Null. Aber X ist weg! Ohne jede Spur! Und wir müssen in die Antwort schreiben, was ist x gleich. Andernfalls wird die Entscheidung nicht berücksichtigt, ja.) Was tun?

Keine Panik! In solchen nicht standardmäßigen Fällen werden die allgemeinsten Konzepte und Prinzipien der Mathematik gespeichert. Was ist eine Gleichung? Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen?

Eine Gleichung lösen heißt finden alle Werte der Variablen x, die beim Einsetzen in Original Gleichung gibt uns die richtige Gleichheit (Identität)!

Aber wir haben die richtige Gleichheit schon erledigt! 0=0, oder eher nirgendwo!) Es bleibt zu erraten, an welchen x's wir diese Gleichheit erhalten. Welche Art von x kann ersetzt werden Original Gleichung, wenn sie alle ersetzen immer noch auf null schrumpfen? Hast du es noch nicht herausgefunden?

Ja, natürlich! Xs können ersetzt werden irgendein!!! Absolut beliebig. Was immer Sie wollen, setzen Sie sie ein. Mindestens 1, mindestens -23, mindestens 2,7 - egal! Sie werden noch reduziert und dadurch wird die reine Wahrheit bleiben. Probieren Sie es aus, ersetzen Sie es und überzeugen Sie sich selbst.)

Hier ist Ihre Antwort:

x ist eine beliebige Zahl.

In wissenschaftlicher Schreibweise wird diese Gleichheit wie folgt geschrieben:

Dieser Eintrag liest sich wie folgt: "X ist eine beliebige reelle Zahl."

Oder in anderer Form, in Abständen:

Wie Sie möchten, arrangieren Sie es. Dies ist die richtige und vollständig vollständige Antwort!

Und jetzt werde ich nur eine Zahl in unserer ursprünglichen Gleichung ändern. Lösen wir jetzt diese Gleichung:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Wir übertragen die Terme erneut, zählen und erhalten:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Und wie gefällt dir dieser Witz? Es gab eine gewöhnliche lineare Gleichung, aber es gab eine unverständliche Gleichheit

0 = 1…

In wissenschaftlicher Hinsicht haben wir falsche Gleichheit. Aber auf Russisch ist es nicht wahr. Quatsch. Quatsch.) Denn null ist nicht gleich eins!

Und jetzt überlegen wir uns wieder, welche Art von x wir beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung erhalten richtige Gleichheit? Die? Aber kein! Welches X Sie auch immer ersetzen, alles wird immer noch reduziert und es wird Mist geben.)

Hier ist die Antwort: keine Lösungen.

In mathematischer Notation wird eine solche Antwort wie folgt erstellt:

Es lautet: "X gehört zur leeren Menge."

Solche Antworten sind auch in der Mathematik weit verbreitet: Nicht immer hat jede Gleichung eine prinzipielle Wurzel. Einige Gleichungen haben möglicherweise überhaupt keine Wurzeln. Überhaupt.

Hier sind zwei Überraschungen. Ich hoffe, dass das plötzliche Verschwinden von X in der Gleichung Sie nicht für immer verwirren wird. Der Fall ist ziemlich bekannt.)

Und dann höre ich eine logische Frage: Werden sie in der OGE oder der USE sein? Auf der Prüfung selbst als Aufgabe - nein. Zu einfach. Aber im OGE oder bei Textproblemen - problemlos! Also jetzt - wir trainieren und entscheiden:

Antworten (in Unordnung): -2; -eines; irgendeine Nummer; 2; keine Lösungen; 7/13.

Es hat alles geklappt? Exzellent! Sie haben gute Chancen in der Prüfung.

Etwas passt nicht? Hm ... Traurigkeit natürlich. Irgendwo sind also Lücken. Entweder in Basen oder in identischen Transformationen. Oder es handelt sich um eine banale Unaufmerksamkeit. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Denn das ist kein Thema, auf das man in der Mathematik so einfach verzichten kann ...

Viel Glück! Sie wird dich bestimmt anlächeln, glaub mir!)

Gleichungen. Mit anderen Worten beginnt die Lösung aller Gleichungen mit diesen Transformationen. Beim Lösen linearer Gleichungen geht es (Lösung) um identische Transformationen und endet mit der endgültigen Antwort.

Der Fall eines Nicht-Null-Koeffizienten für eine unbekannte Variable.

ax+b=0, a ≠ 0

Wir übertragen Elemente mit x auf die eine Seite und Zahlen auf die andere Seite. Denken Sie daran, dass Sie beim Übertragen der Terme auf die gegenüberliegende Seite der Gleichung das Vorzeichen ändern müssen:

ax:(a)=-b:(a)

Wir reduzieren a bei X und wir bekommen:

x=-b:(a)

Das ist die Antwort. Wenn Sie überprüfen möchten, ob eine Nummer vorhanden ist -b:(a) Wurzel unserer Gleichung, dann müssen wir in der Anfangsgleichung statt ersetzen X das ist die gleiche nummer:

a(-b:(a))+b=0 ( diese. 0=0)

Da diese Gleichheit ist also wahr -b:(a) und Wahrheit ist die Wurzel der Gleichung.

Antworten: x=-b:(a), a ≠ 0.

Erstes Beispiel:

5x+2=7x-6

Wir übertragen einseitig die AGB ab X, und auf der anderen Seite der Zahl:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Mit einem unbekannten Koeffizienten reduzierten sie ihn und erhielten die Antwort:

Das ist die Antwort. Wenn Sie überprüfen müssen, ob die Zahl 4 wirklich die Wurzel unserer Gleichung ist, ersetzen wir diese Zahl anstelle von x in der ursprünglichen Gleichung:

5*4+2=7*4-6 ( diese. 22=22)

Da diese Gleichheit wahr ist, dann ist 4 die Wurzel der Gleichung.

Zweites Beispiel:

Löse die Gleichung:

5x+14=x-49

Wenn wir die Unbekannten und die Zahlen in verschiedene Richtungen übertragen, erhalten wir:

Wir dividieren die Teile der Gleichung durch den Koeffizienten at x(auf 4) und erhalten:

Drittes Beispiel:

Löse die Gleichung:

Zuerst beseitigen wir die Irrationalität im Koeffizienten der Unbekannten, indem wir alle Terme multiplizieren mit:

Dieses Formular wird als vereinfacht betrachtet, weil die Zahl hat die Wurzel der Zahl im Nenner. Wir müssen die Antwort vereinfachen, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, wir haben dies:

Der Fall ohne Lösungen.

Löse die Gleichung:

2x+3=2x+7

Für alle x unsere Gleichung wird keine echte Gleichheit. Das heißt, unsere Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Ein Spezialfall sind unendlich viele Lösungen.

Löse die Gleichung:

2x+3=2x+3

Wenn wir x und Zahlen in verschiedene Richtungen übertragen und ähnliche Terme bringen, erhalten wir die Gleichung:

Auch hier ist es nicht möglich, beide Teile durch 0 zu teilen, weil es ist verboten. Allerdings setzen X jede Zahl, wir erhalten die richtige Gleichheit. Das heißt, jede Zahl ist eine Lösung einer solchen Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Antwort: unendlich viele Lösungen.

Der Fall der Gleichheit zweier vollständiger Formen.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Antworten: x=(d-b):(a-c), wenn d≠b und a≠c, sonst gibt es unendlich viele Lösungen, aber wenn a = c, a d≠b, dann gibt es keine Lösungen.

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung, deren vollständiger Polynomgrad gleich eins ist. Das Lösen linearer Gleichungen ist Teil des Schullehrplans und nicht der schwierigste. Einige haben jedoch immer noch Schwierigkeiten bei der Passage dieses Themas. Wir hoffen, dass nach dem Lesen dieses Materials alle Schwierigkeiten für Sie in der Vergangenheit bleiben. Also, lass es uns herausfinden. wie man lineare gleichungen löst.

Generelle Form

Die lineare Gleichung wird dargestellt als:

• ax + b = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind.

Auch wenn a und b eine beliebige Zahl sein können, beeinflussen ihre Werte die Anzahl der Lösungen der Gleichung. Es gibt mehrere Sonderfälle der Lösung:

• Wenn a=b=0, hat die Gleichung unendlich viele Lösungen;
• Wenn a=0, b≠0, hat die Gleichung keine Lösung;
• Wenn a≠0, b=0, hat die Gleichung eine Lösung: x = 0.

Für den Fall, dass beide Zahlen Werte ungleich Null haben, muss die Gleichung gelöst werden, um den endgültigen Ausdruck für die Variable abzuleiten.

Wie entscheiden?

Das Lösen einer linearen Gleichung bedeutet, herauszufinden, womit eine Variable gleich ist. Wie es geht? Ja, es ist sehr einfach - es werden einfache algebraische Operationen verwendet und die Übertragungsregeln befolgt. Wenn die Gleichung in allgemeiner Form vor Ihnen erschien, haben Sie Glück, alles, was Sie tun müssen, ist:

1. Verschieben Sie b auf die rechte Seite der Gleichung und vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern (Übertragungsregel!). Aus einem Ausdruck der Form ax + b = 0 sollte also ein Ausdruck der Form ax = -b erhalten werden.
2. Wende die Regel an: Um einen der Faktoren zu finden (x - in unserem Fall), musst du das Produkt (-b in unserem Fall) durch einen anderen Faktor (a - in unserem Fall) dividieren. Daher sollte ein Ausdruck der Form erhalten werden: x \u003d -b / a.

Das ist alles - die Lösung ist gefunden!

Schauen wir uns nun ein konkretes Beispiel an:

1. 2x + 4 = 0 - bewege b, das in diesem Fall 4 ist, nach rechts
2. 2x = -4 - dividiere b durch a (Minuszeichen nicht vergessen)
3. x=-4/2=-2

Das ist alles! Unsere Lösung: x = -2.

Wie Sie sehen können, ist es ziemlich einfach, eine Lösung für eine lineare Gleichung mit einer Variablen zu finden, aber alles ist so einfach, wenn wir das Glück haben, der Gleichung in einer allgemeinen Form zu begegnen. In den meisten Fällen ist es vor dem Lösen der Gleichung in den beiden oben beschriebenen Schritten auch notwendig, den bestehenden Ausdruck in eine allgemeine Form zu bringen. Dies ist jedoch auch keine entmutigende Aufgabe. Sehen wir uns einige Spezialfälle mit Beispielen an.

Sonderfälle lösen

Lassen Sie uns zunächst einen Blick auf die Fälle werfen, die wir am Anfang des Artikels beschrieben haben, und erklären, was es bedeutet, unendlich viele Lösungen und keine Lösung zu haben.

• Wenn a=b=0, sieht die Gleichung so aus: 0x + 0 = 0. Wenn wir den ersten Schritt ausführen, erhalten wir: 0x = 0. Was bedeutet dieser Unsinn, rufst du! Denn egal, welche Zahl Sie mit Null multiplizieren, Sie erhalten immer Null! Recht! Daher sagen sie, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat - egal wie viele Sie nehmen, die Gleichheit ist wahr, 0x \u003d 0 oder 0 \u003d 0.
• Wenn a=0, b≠0, sieht die Gleichung so aus: 0x + 3 = 0. Wir führen den ersten Schritt aus, wir erhalten 0x = -3. Schon wieder Unsinn! Es ist offensichtlich, dass diese Gleichheit niemals wahr sein wird! Deshalb sagen sie, dass die Gleichung keine Lösungen hat.
• Wenn a≠0, b=0, sieht die Gleichung so aus: 3x + 0 = 0. Im ersten Schritt erhalten wir: 3x = 0. Was ist die Lösung? Es ist einfach, x = 0.

Übersetzungsschwierigkeiten

Die beschriebenen Sonderfälle sind nicht alles, womit uns lineare Gleichungen überraschen können. Manchmal ist die Gleichung im Allgemeinen auf den ersten Blick schwer zu erkennen. Nehmen wir ein Beispiel:

• 12x - 14 = 2x + 6

Ist das eine lineare Gleichung? Aber was ist mit der Null auf der rechten Seite? Wir werden keine voreiligen Schlussfolgerungen ziehen, wir werden handeln - wir werden alle Komponenten unserer Gleichung auf die linke Seite übertragen. Wir bekommen:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Wenn wir nun Gleiches von Gleichem subtrahieren, erhalten wir:

• 10x - 20 = 0

Gelernt? Die linearste Gleichung aller Zeiten! Dessen Lösung: x = 20/10 = 2.

Was wäre, wenn wir dieses Beispiel hätten:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, das ist auch eine lineare Gleichung, es müssen nur weitere Transformationen durchgeführt werden. Lassen Sie uns zuerst die Klammern erweitern:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nun die Übertragung durchführen:
4. 25x - 4 = 0 - es bleibt eine Lösung nach dem bereits bekannten Schema zu finden:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Wie Sie sehen, ist alles gelöst, die Hauptsache ist, sich keine Sorgen zu machen, sondern zu handeln. Denken Sie daran, wenn Ihre Gleichung nur Variablen ersten Grades und Zahlen enthält, handelt es sich um eine lineare Gleichung, die, egal wie sie zunächst aussieht, auf eine allgemeine Form gebracht und gelöst werden kann. Wir hoffen, bei dir klappt alles! Viel Glück!

In diesem Artikel betrachten wir das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen als lineare Gleichungen. Lassen Sie uns die Definition dieser Gleichungen aufschreiben und die allgemeine Form festlegen. Wir analysieren alle Bedingungen zur Lösung linearer Gleichungen, unter anderem anhand praktischer Beispiele.

Bitte beachten Sie, dass das folgende Material Informationen zu linearen Gleichungen mit einer Variablen enthält. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen werden in einem separaten Artikel betrachtet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Was ist eine lineare gleichung

Bestimmung 1

Lineare Gleichung ist eine Gleichung, die so geschrieben ist:
ein x = b, wo x- variabel, a und b- einige Zahlen.

Diese Formulierung wird im Algebra-Lehrbuch (Klasse 7) von Yu.N. Makarychev verwendet.

Beispiel 1

Beispiele für lineare Gleichungen wären:

3x=11(eine variable Gleichung x bei a = 5 und b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( lineare Gleichung mit Variable j, wo a \u003d - 3, 1 und b = 0);

x = -4 und − x = 5 , 37(lineare Gleichungen, wobei die Zahl a explizit geschrieben und gleich 1 bzw. -1. Für die erste Gleichung b = - 4 ; zum zweiten - b = 5, 37) usw.

Unterschiedliche Unterrichtsmaterialien können unterschiedliche Definitionen enthalten. Vilenkin N.Ya. linear umfasst auch jene Gleichungen, die in die Form transformiert werden können ein x = b indem Sie Terme von einem Teil in einen anderen mit Vorzeichenwechsel übertragen und ähnliche Terme einbringen. Wenn wir dieser Interpretation folgen, ist die Gleichung 5 mal = 2 mal + 6 – auch linear.

Und hier ist das Lehrbuch der Algebra (Klasse 7) Mordkovich A.G. legt die folgende Beschreibung fest:

Bestimmung 2

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form a x + b = 0, wo a und b sind einige Zahlen, die Koeffizienten der linearen Gleichung genannt werden.

Beispiel 2

Ein Beispiel für lineare Gleichungen dieser Art kann sein:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Es gibt aber auch Beispiele für lineare Gleichungen, die wir oben bereits verwendet haben: ein x = b, zum Beispiel, 6 x = 35.

Wir werden sofort zustimmen, dass wir in diesem Artikel unter einer linearen Gleichung mit einer Variablen die Schreibgleichung verstehen werden a x + b = 0, wo x– variabel; a, b sind Koeffizienten. Wir sehen diese Form einer linearen Gleichung als am ehesten gerechtfertigt an, da lineare Gleichungen algebraische Gleichungen ersten Grades sind. Und die anderen oben angegebenen Gleichungen und die Gleichungen, die durch äquivalente Transformationen in die Form gegeben sind a x + b = 0, definieren wir als Gleichungen, die auf lineare Gleichungen reduziert werden.

Bei diesem Ansatz ist die Gleichung 5 x + 8 = 0 linear, und 5 x = −8- eine Gleichung, die sich auf eine lineare reduziert.

Das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen

Überlegen Sie, wie Sie feststellen können, ob eine gegebene lineare Gleichung Wurzeln haben wird, und wenn ja, wie viele und wie Sie sie bestimmen können.

Bestimmung 3

Die Tatsache des Vorhandenseins der Wurzeln einer linearen Gleichung wird durch die Werte der Koeffizienten bestimmt a und b. Schreiben wir diese Bedingungen:

• bei a ≠ 0 die lineare Gleichung hat eine einzige Wurzel x = -b a ;
• bei a = 0 und b ≠ 0 eine lineare Gleichung hat keine Wurzeln;
• bei a = 0 und b = 0 Eine lineare Gleichung hat unendlich viele Wurzeln. Tatsächlich kann in diesem Fall jede Zahl zur Wurzel einer linearen Gleichung werden.

Lassen Sie uns eine Erklärung geben. Wir wissen, dass es beim Lösen einer Gleichung möglich ist, eine gegebene Gleichung in eine äquivalente umzuwandeln, was bedeutet, dass sie dieselben Wurzeln wie die ursprüngliche Gleichung hat oder auch keine Wurzeln hat. Wir können die folgenden äquivalenten Transformationen vornehmen:

• Verschieben Sie den Begriff von einem Teil zum anderen und ändern Sie das Vorzeichen in das Gegenteil.
• Multiplizieren oder dividieren Sie beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null.

Also transformieren wir die lineare Gleichung a x + b = 0, Verschiebung des Begriffs b von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel. Wir bekommen: ein · x = - b .

Also dividieren wir beide Teile der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null a, was zu einer Gleichheit der Form x = -b a führt. Das ist wenn a ≠ 0 ursprüngliche Gleichung a x + b = 0 ist äquivalent zur Gleichheit x = - b a , in der die Wurzel - b a offensichtlich ist.

Durch Widerspruch kann gezeigt werden, dass die gefundene Wurzel die einzige ist. Wir setzen die Bezeichnung der gefundenen Wurzel - b a as x 1 . Nehmen wir an, dass es eine weitere Wurzel der linearen Gleichung mit der Notation gibt x 2 . Und natürlich: x 2 ≠ x 1, und diese wiederum, aufgrund der Definition gleicher Zahlen durch die Differenz, ist äquivalent zur Bedingung x 1 - x 2 ≠ 0. In Anbetracht des Obigen können wir die folgenden Gleichungen bilden, indem wir die Wurzeln ersetzen:
a x 1 + b = 0 und a · x 2 + b = 0 .
Die Eigenschaft numerischer Gleichheiten ermöglicht es, Teile von Gleichheiten gliedweise zu subtrahieren:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, von hier: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 und darüber hinaus a (x 1 - x 2) = 0 . Gleichberechtigung a (x 1 − x 2) = 0 ist falsch, da die Bedingung zuvor so gegeben war a ≠ 0 und x 1 - x 2 ≠ 0. Der erhaltene Widerspruch dient als Beweis dafür, dass at a ≠ 0 lineare Gleichung a x + b = 0 hat nur eine Wurzel.

Lassen Sie uns zwei weitere Klauseln der Bedingungen enthalten a = 0 .

Wann a = 0 lineare Gleichung a x + b = 0 wird geschrieben als 0 x + b = 0. Die Eigenschaft, eine Zahl mit Null zu multiplizieren, gibt uns das Recht zu behaupten, dass es egal ist, als welche Zahl genommen wird x, indem Sie es in die Gleichheit einsetzen 0 x + b = 0, erhalten wir b = 0 . Gleichheit gilt für b = 0; in anderen Fällen, wenn b ≠ 0 Gleichheit wird ungültig.

Wann also a = 0 und b = 0 , Jede Zahl kann die Wurzel einer linearen Gleichung sein a x + b = 0, da unter diesen Bedingungen ersetzen statt x jede Zahl, wir erhalten die richtige numerische Gleichheit 0 = 0 . Wann a = 0 und b ≠ 0 lineare Gleichung a x + b = 0 wird überhaupt keine Wurzeln haben, da unter den angegebenen Bedingungen ersetzt statt x jede Zahl, erhalten wir eine falsche numerische Gleichheit b = 0.

Alle obigen Überlegungen geben uns die Möglichkeit, einen Algorithmus zu schreiben, der es ermöglicht, eine Lösung für jede lineare Gleichung zu finden:

• Durch die Art der Aufzeichnung bestimmen wir die Werte der Koeffizienten a und b und analysieren;
• bei a = 0 und b = 0 die Gleichung wird unendlich viele Wurzeln haben, d.h. jede Zahl wird zur Wurzel der gegebenen Gleichung;
• bei a = 0 und b ≠ 0
• bei a, verschieden von Null, beginnen wir mit der Suche nach der einzigen Wurzel der ursprünglichen linearen Gleichung:

1. Übertragungskoeffizient b auf die rechte Seite mit einem Vorzeichenwechsel zum Gegenteil, wodurch die lineare Gleichung auf die Form gebracht wird ein x = –b;
2. Teilen Sie beide Teile der resultierenden Gleichheit durch die Zahl a, was uns die gewünschte Wurzel der gegebenen Gleichung liefert: x = - b a .

Eigentlich ist der beschriebene Handlungsablauf die Antwort auf die Frage, wie man eine Lösung einer linearen Gleichung findet.

Schließlich klären wir, dass Gleichungen der Form ein x = b werden durch einen ähnlichen Algorithmus gelöst, mit dem einzigen Unterschied, dass die Zahl b in einer solchen Notation bereits auf den gewünschten Teil der Gleichung übertragen wurde, und wann a ≠ 0 Sie können die Teile der Gleichung sofort durch eine Zahl teilen a.

Also, um eine Lösung für die Gleichung zu finden ein x = b, Wir verwenden den folgenden Algorithmus:

• bei a = 0 und b = 0 die Gleichung wird unendlich viele Wurzeln haben, d.h. jede Zahl kann ihre Wurzel werden;
• bei a = 0 und b ≠ 0 die gegebene Gleichung wird keine Wurzeln haben;
• bei a, ungleich Null, beide Seiten der Gleichung sind durch die Zahl teilbar a, wodurch es möglich ist, eine einzelne Wurzel zu finden, die gleich ist b ein.

Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

Beispiel 3

Es ist notwendig, eine lineare Gleichung zu lösen 0 x - 0 = 0.

Lösung

Indem wir die gegebene Gleichung schreiben, sehen wir das a = 0 und b = -0(oder b = 0 das ist das gleiche). Somit kann eine gegebene Gleichung unendlich viele Wurzeln oder eine beliebige Zahl haben.

Antworten: x- irgendeine Nummer.

Beispiel 4

Es muss festgestellt werden, ob die Gleichung Wurzeln hat 0 x + 2, 7 = 0.

Lösung

Aus der Aufzeichnung stellen wir fest, dass a \u003d 0, b \u003d 2, 7. Somit wird die gegebene Gleichung keine Wurzeln haben.

Antworten: Die ursprüngliche lineare Gleichung hat keine Wurzeln.

Beispiel 5

Gegeben sei eine lineare Gleichung 0 , 3 x − 0 , 027 = 0 . Es muss gelöst werden.

Lösung

Indem wir die Gleichung schreiben, stellen wir fest, dass a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , was uns erlaubt zu behaupten, dass die gegebene Gleichung eine einzelne Wurzel hat.

Nach dem Algorithmus übertragen wir b auf die rechte Seite der Gleichung, ändern das Vorzeichen und erhalten: 0,3 x = 0,027. Als nächstes teilen wir beide Teile der resultierenden Gleichheit durch a \u003d 0, 3, dann: x \u003d 0, 027 0, 3.

Teilen wir Dezimalzahlen:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Das erhaltene Ergebnis ist die Wurzel der gegebenen Gleichung.

Schreibe die Lösung kurz wie folgt auf:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

Antworten: x = 0 , 09 .

Zur Verdeutlichung stellen wir die Lösung der Rekordgleichung vor ein x = b.

Beispiel N

Gleichungen sind gegeben: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Es ist notwendig, sie zu lösen.

Lösung

Alle angegebenen Gleichungen entsprechen dem Datensatz ein x = b. Betrachten wir es der Reihe nach.

In der Gleichung 0 x = 0 , a = 0 und b = 0, was bedeutet: jede Zahl kann die Wurzel dieser Gleichung sein.

In der zweiten Gleichung 0 x = − 9: a = 0 und b = − 9 , somit wird diese Gleichung keine Wurzeln haben.

Durch die Form der letzten Gleichung - 3 8 x = - 3 3 4 schreiben wir die Koeffizienten: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , d.h. Die Gleichung hat eine einzelne Wurzel. Lassen Sie uns ihn finden. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch a , erhalten wir als Ergebnis: x = - 3 3 4 - 3 8 . Vereinfachen wir den Bruch, indem wir die Regel zum Teilen negativer Zahlen anwenden, dann die gemischte Zahl in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln und gewöhnliche Brüche dividieren:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Schreibe die Lösung kurz wie folgt auf:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Antworten: 1) x- eine beliebige Zahl, 2) die Gleichung hat keine Wurzeln, 3) x = 10 .

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