Der Satz des Pythagoras ist die wichtigste Aussage der Geometrie. Der Satz wird wie folgt formuliert: Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind.

Normalerweise wird die Entdeckung dieser Aussage dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras (VI Jahrhundert v. Chr.) Zugeschrieben. Aber ein Studium der babylonischen Keilschrifttafeln und alten chinesischen Manuskripte (Kopien noch älterer Manuskripte) zeigte, dass diese Aussage lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht ein Jahrtausend vor ihm. Das Verdienst von Pythagoras war, dass er den Beweis dieses Satzes entdeckte.

Wahrscheinlich wurde die im Satz des Pythagoras angegebene Tatsache zuerst für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke festgestellt. Es genügt, sich das in Abb. 1 gezeigte Mosaik aus schwarzen und hellen Dreiecken anzusehen. 1, um die Gültigkeit des Dreieckssatzes zu überprüfen: Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, enthält 4 Dreiecke, und ein Quadrat, das 2 Dreiecke enthält, wird auf jedem Bein aufgebaut. Um den allgemeinen Fall im alten Indien zu beweisen, hatten sie zwei Methoden: In einem Quadrat mit einer Seite wurden vier rechtwinklige Dreiecke mit langen Beinen und dargestellt (Abb. 2, a und 2, b), wonach sie eines schrieben Wort "Schau!". Und tatsächlich, wenn wir uns diese Figuren ansehen, sehen wir, dass links eine dreiecksfreie Figur ist, die aus zwei Quadraten mit Seiten besteht und deren Fläche jeweils gleich ist, und rechts - ein Quadrat mit einer Seite - ihre Fläche ist gleich. Daher ist , was die Aussage des Satzes von Pythagoras ist.

Zwei Jahrtausende lang wurde jedoch nicht dieser visuelle Beweis verwendet, sondern ein komplexerer Beweis, der von Euklid erfunden wurde und in seinem berühmten Buch „Anfänge“ platziert ist (siehe Euklid und seine „Anfänge“), von dem Euklid die Höhe absenkte der Scheitel des rechten Winkels zur Hypotenuse und bewies, dass seine Fortsetzung das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat in zwei Rechtecke teilt, deren Flächen gleich den Flächen der entsprechenden Quadrate sind, die auf den Beinen gebaut sind (Abb. 3). Die zum Beweis dieses Satzes verwendete Zeichnung wird scherzhaft "Pythagoräische Hose" genannt. Lange Zeit galt er als eines der Symbole der mathematischen Wissenschaft.

Heute sind mehrere Dutzend verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras bekannt. Einige von ihnen basieren auf einer Unterteilung von Quadraten, bei denen das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat aus Teilen besteht, die in den Unterteilungen von Quadraten enthalten sind, die auf den Beinen gebaut sind; andere - auf die Ergänzung zu gleichen Zahlen; der dritte - auf der Tatsache, dass die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse abgesenkt wird, das rechtwinklige Dreieck in zwei ähnliche Dreiecke teilt.

Der Satz des Pythagoras liegt den meisten geometrischen Berechnungen zugrunde. Schon im alten Babylon wurde es verwendet, um die Länge der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks durch die Längen der Basis und der Seite, den Pfeil des Segments durch den Durchmesser des Kreises und die Länge der Sehne zu berechnen und die Beziehung herzustellen zwischen den Elementen einiger regelmäßiger Polygone. Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras wird seine Verallgemeinerung bewiesen, die es ermöglicht, die Länge der einem spitzen oder stumpfen Winkel gegenüberliegenden Seite zu berechnen:

Aus dieser Verallgemeinerung folgt, dass das Vorhandensein eines rechten Winkels in nicht nur hinreichende, sondern auch notwendige Bedingung für die Erfüllung der Gleichheit ist. Formel (1) impliziert die Beziehung zwischen den Längen der Diagonalen und Seiten eines Parallelogramms, mit dem sich die Länge der Seitenhalbierenden eines Dreiecks leicht aus den Längen seiner Seiten ermitteln lässt.

Basierend auf dem Satz des Pythagoras wird auch eine Formel abgeleitet, die die Fläche eines beliebigen Dreiecks in Bezug auf die Längen seiner Seiten ausdrückt (siehe Formel von Heron). Natürlich wurde der Satz des Pythagoras auch zur Lösung verschiedener praktischer Probleme verwendet.

Anstelle von Quadraten auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks können Sie beliebige Formen bauen, die einander ähnlich sind (gleichseitige Dreiecke, Halbkreise usw.). In diesem Fall ist die Fläche der auf der Hypotenuse gebauten Figur gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Figuren. Eine andere Verallgemeinerung hängt mit dem Übergang von der Ebene in den Raum zusammen. Es wird wie folgt formuliert: Das Quadrat der Länge der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen (Länge, Breite und Höhe). Ein ähnlicher Satz gilt auch in mehrdimensionalen und sogar unendlich dimensionalen Fällen.

Der Satz des Pythagoras existiert nur in der euklidischen Geometrie. Sie findet weder in der Geometrie von Lobatschewski noch in anderen nicht-euklidischen Geometrien statt. Es gibt auch kein Analogon zum Satz des Pythagoras auf der Kugel. Zwei Meridiane, die einen Winkel von 90° bilden, und der Äquator begrenzen ein gleichseitiges sphärisches Dreieck auf der Kugel, die alle drei rechtwinklig sind. Für ihn nicht wie im Flugzeug.

Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras wird der Abstand zwischen Punkten und der Koordinatenebene durch die Formel berechnet

.

Nach der Entdeckung des Satzes des Pythagoras stellte sich die Frage, wie man alle Tripel natürlicher Zahlen findet, die Seiten rechtwinkliger Dreiecke sein können (siehe großer Satz von Fermat). Sie wurden von den Pythagoreern entdeckt, aber einige allgemeine Methoden, um solche Zahlentripel zu finden, waren sogar den Babyloniern bekannt. Eine der Keilschrifttafeln enthält 15 Drillinge. Unter ihnen gibt es Tripel, die aus so vielen Zahlen bestehen, dass von einem Auffinden durch Selektion keine Rede sein kann.

HIPPOKRATE HÖLLEN

Hippokratische Monde sind Figuren, die durch Bögen zweier Kreise begrenzt sind, und darüber hinaus so, dass Sie unter Verwendung der Radien und Längen der gemeinsamen Sehne dieser Kreise mit einem Kompass und einem Lineal Quadrate gleicher Größe zu ihnen bauen können.

Aus der Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf Halbkreise folgt, dass die Summe der Flächen der rosa Löcher in der Abbildung links gleich der Fläche des blauen Dreiecks ist. Wenn wir also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck nehmen, erhalten wir zwei Löcher, deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche des Dreiecks entspricht. Bei dem Versuch, das Problem der Quadratur eines Kreises zu lösen (siehe Klassische Probleme der Antike), fand der antike griechische Mathematiker Hippokrates (5. Jahrhundert v. Chr.) mehrere weitere Löcher, deren Flächen in Form der Flächen geradliniger Figuren ausgedrückt werden.

Eine vollständige Liste der hippomarginalen Löcher wurde erst im 19.-20. Jahrhundert erhalten. durch den Einsatz von Methoden der Galois-Theorie.

Das kreative Potenzial wird meist den Geisteswissenschaften zugeschrieben, übrig bleibt die naturwissenschaftliche Analyse, praktische Herangehensweise und trockene Formel- und Zahlensprache. Mathematik ist kein geisteswissenschaftliches Fach. Doch ohne Kreativität kommt man in der „Königin aller Wissenschaften“ nicht weit – das weiß man schon lange. Zum Beispiel seit der Zeit von Pythagoras.

Schulbücher erklären leider meist nicht, dass es in der Mathematik wichtig ist, nicht nur Sätze, Axiome und Formeln zu pauken. Es ist wichtig, seine Grundprinzipien zu verstehen und zu fühlen. Versuchen Sie gleichzeitig, Ihren Geist von Klischees und elementaren Wahrheiten zu befreien - nur unter solchen Bedingungen werden alle großen Entdeckungen geboren.

Zu diesen Entdeckungen gehört die, die wir heute als Satz des Pythagoras kennen. Mit ihrer Hilfe werden wir versuchen zu zeigen, dass Mathematik nicht nur Spaß machen kann, sondern auch soll. Und dass dieses Abenteuer nicht nur für Nerds in dicken Gläsern geeignet ist, sondern für alle, die einen starken Verstand und einen starken Geist haben.

Aus der Geschichte des Problems

Genau genommen heißt der Satz zwar "Satz des Pythagoras", Pythagoras selbst hat ihn aber nicht entdeckt. Das rechtwinklige Dreieck und seine besonderen Eigenschaften wurden lange vorher untersucht. Zu diesem Thema gibt es zwei polare Standpunkte. Einer Version zufolge war Pythagoras der erste, der einen vollständigen Beweis des Satzes fand. Nach einer anderen gehört der Beweis nicht zur Urheberschaft von Pythagoras.

Heute kann man nicht mehr nachprüfen, wer Recht und wer Unrecht hat. Es ist nur bekannt, dass der Beweis von Pythagoras, falls er jemals existiert hat, nicht überlebt hat. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass der berühmte Beweis aus Euklids Elementen möglicherweise Pythagoras gehört, und Euklid hat ihn nur aufgezeichnet.

Es ist heute auch bekannt, dass sich Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck in ägyptischen Quellen aus der Zeit von Pharao Amenemhet I., auf babylonischen Tontafeln aus der Regierungszeit von König Hammurabi, in der altindischen Abhandlung Sulva Sutra und dem altchinesischen Werk Zhou finden -bi suan jin.

Wie Sie sehen können, beschäftigt der Satz des Pythagoras die Köpfe der Mathematiker seit der Antike. Etwa 367 verschiedene Beweisstücke, die heute existieren, dienen als Bestätigung. Kein anderer Satz kann in dieser Hinsicht mit ihm konkurrieren. Bemerkenswerte Beweisautoren sind Leonardo da Vinci und der 20. Präsident der Vereinigten Staaten, James Garfield. All dies spricht für die außerordentliche Bedeutung dieses Satzes für die Mathematik: Die meisten Sätze der Geometrie sind von ihm abgeleitet oder auf die eine oder andere Weise damit verbunden.

Beweise des Satzes des Pythagoras

Schulbücher geben meistens algebraische Beweise. Aber die Essenz des Theorems liegt in der Geometrie, also betrachten wir zuerst die Beweise des berühmten Theorems, die auf dieser Wissenschaft basieren.

Beweis 1

Für den einfachsten Beweis des Satzes des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck müssen Sie ideale Bedingungen einstellen: Das Dreieck soll nicht nur rechtwinklig, sondern auch gleichschenklig sein. Es gibt Grund zu der Annahme, dass es ein solches Dreieck war, das ursprünglich von alten Mathematikern in Betracht gezogen wurde.

Aussage „Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind“ lässt sich mit folgender Zeichnung veranschaulichen:

Betrachten Sie das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck ABC: Auf der Hypotenuse AC können Sie ein Quadrat bauen, das aus vier Dreiecken gleich dem ursprünglichen ABC besteht. Und auf den Beinen AB und BC ist ein Quadrat aufgebaut, das jeweils zwei ähnliche Dreiecke enthält.

Übrigens bildete diese Zeichnung die Grundlage zahlreicher Anekdoten und Cartoons, die dem Satz des Pythagoras gewidmet waren. Das vielleicht berühmteste ist "Pythagoräische Hosen sind in alle Richtungen gleich":

Beweis 2

Diese Methode kombiniert Algebra und Geometrie und kann als Variante des altindischen Beweises des Mathematikers Bhaskari angesehen werden.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b und c(Abb. 1). Baue dann zwei Quadrate mit Seiten gleich der Summe der Längen der beiden Beine - (a+b). Machen Sie in jedem der Quadrate Konstruktionen wie in den Abbildungen 2 und 3.

Baue im ersten Quadrat vier der gleichen Dreiecke wie in Abbildung 1. Als Ergebnis erhältst du zwei Quadrate: eines mit Seite a, das zweite mit Seite b.

Im zweiten Quadrat bilden vier ähnliche konstruierte Dreiecke ein Quadrat mit einer Seite, die der Hypotenuse entspricht c.

Die Summe der Flächen der konstruierten Quadrate in Abb. 2 ist gleich der Fläche des Quadrats, das wir mit der Seite c in Abb. 3 konstruiert haben. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man die Flächeninhalte der Quadrate in Abb. 2 nach der Formel. Und die Fläche des eingeschriebenen Quadrats in Abbildung 3. durch Subtrahieren der Flächen von vier gleichwinkligen Dreiecken, die in das Quadrat eingeschrieben sind, von der Fläche eines großen Quadrats mit einer Seite (a+b).

Wenn wir all dies niederlegen, haben wir: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Erweitern Sie die Klammern, führen Sie alle notwendigen algebraischen Berechnungen durch und erhalten Sie das Ergebnis a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Gleichzeitig wird der Bereich der in Abb.3 eingeschriebenen. Quadrat kann auch mit der traditionellen Formel berechnet werden S=c2. Diese. a2+b2=c2 Sie haben den Satz des Pythagoras bewiesen.

Beweis 3

Derselbe altindische Beweis wird im 12. Jahrhundert in der Abhandlung „Die Krone des Wissens“ („Siddhanta Shiromani“) beschrieben, und als Hauptargument verwendet der Autor einen Appell an die mathematische Begabung und Beobachtungsgabe von Schülern und Studenten Follower: "Schaut!".

Aber wir werden diesen Beweis genauer analysieren:

Bauen Sie innerhalb des Quadrats vier rechtwinklige Dreiecke, wie in der Zeichnung angegeben. Die Seite des großen Quadrats, die auch die Hypotenuse ist, wird bezeichnet Mit. Nennen wir die Beine des Dreiecks a und b. Gemäß der Zeichnung ist die Seite des inneren Quadrats (ab).

Verwenden Sie die quadratische Flächenformel S=c2 um die Fläche des äußeren Quadrats zu berechnen. Und berechnen Sie gleichzeitig denselben Wert, indem Sie die Fläche des inneren Quadrats und die Fläche aller vier rechtwinkligen Dreiecke addieren: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Sie können beide Optionen verwenden, um die Fläche eines Quadrats zu berechnen, um sicherzustellen, dass sie dasselbe Ergebnis liefern. Und das gibt Ihnen das Recht, das aufzuschreiben c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Als Ergebnis der Lösung erhalten Sie die Formel des Satzes von Pythagoras c2=a2+b2. Der Satz ist bewiesen.

Beweis 4

Dieses kuriose altchinesische Zeugnis wurde „Bride’s Chair“ genannt – wegen der stuhlähnlichen Figur, die sich aus all den Konstruktionen ergibt:

Es verwendet die Zeichnung, die wir bereits in Abbildung 3 im zweiten Beweis gesehen haben. Und das innere Quadrat mit der Seite c ist genauso konstruiert wie in dem oben gegebenen altindischen Beweis.

Wenn Sie gedanklich zwei grüne rechtwinklige Dreiecke aus der Zeichnung in Abb. 1 abschneiden, sie auf gegenüberliegende Seiten des Quadrats mit der Seite c verschieben und die Hypotenusen an die Hypotenusen der lila Dreiecke anbringen, erhalten Sie eine Figur namens „Brautstuhl“. “ (Abb. 2). Der Übersichtlichkeit halber können Sie dasselbe mit Papierquadraten und -dreiecken tun. Sie werden sehen, dass der "Brautstuhl" aus zwei Quadraten besteht: kleinen mit einer Seite b und groß mit einer Seite a.

Diese Konstruktionen erlaubten es den alten chinesischen Mathematikern und uns, die ihnen folgen, zu dem Schluss zu kommen, dass c2=a2+b2.

Beweis 5

Dies ist eine weitere Möglichkeit, eine Lösung des Satzes des Pythagoras basierend auf Geometrie zu finden. Es heißt die Garfield-Methode.

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC. Das müssen wir beweisen BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Setzen Sie dazu das Bein fort AC und baue ein Segment CD, das gleich dem Bein ist AB. Untere Senkrechte ANZEIGE Liniensegment Ed. Segmente Ed und AC sind gleich. verbinde die Punkte E und BEI, und auch E und AUS und erhalten Sie eine Zeichnung wie das Bild unten:

Um den Turm zu beweisen, greifen wir wieder auf die bereits getestete Methode zurück: Wir finden die Fläche der resultierenden Figur auf zwei Arten und setzen die Ausdrücke einander gleich.

Finden Sie die Fläche eines Polygons EIN BETT kann durch Addieren der Flächen der drei Dreiecke erfolgen, die es bilden. Und einer von ihnen ERU, ist nicht nur rechteckig, sondern auch gleichschenklig. Vergessen wir das auch nicht AB=CD, AC=ED und BC=CE- Dadurch können wir die Aufnahme vereinfachen und nicht überladen. So, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Gleichzeitig ist das offensichtlich EIN BETT ist ein Trapez. Daher berechnen wir seine Fläche mit der Formel: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Für unsere Berechnungen ist es bequemer und übersichtlicher, das Segment darzustellen ANZEIGE als Summe der Segmente AC und CD.

Schreiben wir beide Möglichkeiten, um die Fläche einer Figur zu berechnen, indem wir ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Wir verwenden die uns bereits bekannte und oben beschriebene Segmentgleichheit, um die rechte Seite der Notation zu vereinfachen: AB*AC+1/2BC2 =1/2(AB+AC)2. Und jetzt öffnen wir die Klammern und transformieren die Gleichheit: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nachdem wir alle Transformationen abgeschlossen haben, bekommen wir genau das, was wir brauchen: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Wir haben den Satz bewiesen.

Natürlich ist diese Liste von Beweisen bei weitem nicht vollständig. Der Satz des Pythagoras kann auch mit Vektoren, komplexen Zahlen, Differentialgleichungen, Stereometrie usw. bewiesen werden. Und sogar Physiker: Wenn zum Beispiel Flüssigkeit in quadratische und dreieckige Volumen gegossen wird, ähnlich wie sie in den Zeichnungen dargestellt sind. Durch Gießen von Flüssigkeit ist es möglich, die Flächengleichheit und damit den Satz selbst zu beweisen.

Ein paar Worte zu pythagoreischen Drillingen

Dieses Thema wird im Schullehrplan wenig oder gar nicht behandelt. Mittlerweile ist es sehr interessant und von großer Bedeutung in der Geometrie. Pythagoreische Tripel werden verwendet, um viele mathematische Probleme zu lösen. Die Vorstellung davon kann Ihnen in der Weiterbildung nützlich sein.

Was sind pythagoreische Drillinge? Sogenannte natürliche Zahlen, zu dritt zusammengefasst, wobei die Summe der Quadrate von zweien gleich der dritten Zahl zum Quadrat ist.

Pythagoräische Tripel können sein:

• primitiv (alle drei Zahlen sind teilerfremd);
• nicht primitiv (wenn jede Zahl eines Tripels mit derselben Zahl multipliziert wird, erhält man ein neues Tripel, das nicht primitiv ist).

Schon vor unserer Zeitrechnung waren die alten Ägypter vom Zahlenwahn der pythagoreischen Drillinge fasziniert: Bei Aufgaben betrachteten sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3,4 und 5 Einheiten. Übrigens ist jedes Dreieck, dessen Seiten gleich den Zahlen des pythagoreischen Tripels sind, standardmäßig rechteckig.

Beispiele für pythagoräische Tripel: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) usw.

Praktische Anwendung des Theorems

Der Satz des Pythagoras findet nicht nur Anwendung in der Mathematik, sondern auch in der Architektur und im Bauwesen, in der Astronomie und sogar in der Literatur.

Zunächst zur Konstruktion: Der Satz des Pythagoras wird darin häufig bei Problemen unterschiedlicher Komplexität verwendet. Schauen Sie sich zum Beispiel das romanische Fenster an:

Lassen Sie uns die Breite des Fensters als bezeichnen b, dann kann der Radius des großen Halbkreises bezeichnet werden als R und durch ausdrücken b: R=b/2. Der Radius kleinerer Halbkreise kann auch in ausgedrückt werden b: r=b/4. Bei diesem Problem interessiert uns der Radius des inneren Kreises des Fensters (nennen wir es p).

Der Satz des Pythagoras ist einfach praktisch zum Berechnen R. Dazu verwenden wir ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Abbildung durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Die Hypotenuse eines Dreiecks besteht aus zwei Radien: b/4+p. Ein Bein ist ein Radius b/4, Ein weiterer b/2-p. Mit dem Satz des Pythagoras schreiben wir: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Als nächstes öffnen wir die Klammern und erhalten b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Lassen Sie uns diesen Ausdruck umwandeln in bp/2=b 2 /4-bp. Und dann teilen wir alle Begriffe in b, wir geben ähnliche zu bekommen 3/2*p=b/4. Und am Ende finden wir das p=b/6- was wir brauchten.

Mit dem Satz können Sie die Länge der Sparren für ein Satteldach berechnen. Bestimmen Sie, wie hoch ein Mobilfunkmast sein muss, damit das Signal eine bestimmte Siedlung erreicht. Und stellen Sie sogar ständig einen Weihnachtsbaum auf dem Stadtplatz auf. Wie Sie sehen können, lebt dieses Theorem nicht nur auf den Seiten von Lehrbüchern, sondern ist im wirklichen Leben oft nützlich.

Was die Literatur betrifft, hat der Satz des Pythagoras Schriftsteller seit der Antike inspiriert und tut dies bis heute. Zum Beispiel ließ sich der deutsche Schriftsteller Adelbert von Chamisso im 19. Jahrhundert von ihr zu einem Sonett inspirieren:

Das Licht der Wahrheit wird sich nicht bald auflösen,
Aber nachdem es geleuchtet hat, ist es unwahrscheinlich, dass es sich auflöst
Und wie vor Tausenden von Jahren
Wird keine Zweifel und Streitigkeiten verursachen.

Am klügsten, wenn es das Auge berührt
Licht der Wahrheit, danke den Göttern;
Und hundert Bullen, erstochen, lügen -
Das Gegengeschenk des glücklichen Pythagoras.

Seitdem brüllen die Bullen verzweifelt:
Erweckte den Stierstamm für immer
hier erwähnte Veranstaltung.

Sie denken, es ist an der Zeit
Und wieder werden sie geopfert
Irgendein großartiger Satz.

(übersetzt von Viktor Toporov)

Und im zwanzigsten Jahrhundert widmete der sowjetische Schriftsteller Yevgeny Veltistov in seinem Buch "The Adventures of Electronics" den Beweisen des Satzes des Pythagoras ein ganzes Kapitel. Und ein halbes Kapitel der Geschichte über die zweidimensionale Welt, die existieren könnte, wenn der Satz des Pythagoras zum Grundgesetz und sogar zur Religion einer einzigen Welt würde. Es wäre viel einfacher darin zu leben, aber auch viel langweiliger: Zum Beispiel versteht dort niemand die Bedeutung der Wörter „rund“ und „flauschig“.

Und in dem Buch „Die Abenteuer der Elektronik“ sagt der Autor durch den Mund des Mathematiklehrers Taratara: „Das Wichtigste in der Mathematik sind Gedankenbewegungen, neue Ideen.“ Es ist dieser kreative Gedankenflug, der den Satz des Pythagoras hervorbringt – nicht umsonst hat er so viele unterschiedliche Beweise. Es hilft, über das Gewohnte hinauszugehen und bekannte Dinge auf neue Weise zu betrachten.

Fazit

Dieser Artikel wurde erstellt, damit Sie über den Schullehrplan in Mathematik hinausblicken und nicht nur die Beweise des Satzes von Pythagoras lernen können, die in den Lehrbüchern "Geometrie 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) und "Geometrie 7 -11 “ (A. V. Pogorelov), aber auch andere merkwürdige Wege, um das berühmte Theorem zu beweisen. Und sehen Sie auch Beispiele, wie der Satz des Pythagoras im Alltag angewendet werden kann.

Erstens ermöglichen Ihnen diese Informationen, höhere Punktzahlen im Mathematikunterricht zu erreichen – Informationen zu diesem Thema aus zusätzlichen Quellen sind immer sehr willkommen.

Zweitens wollten wir Ihnen helfen, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie interessant Mathematik ist. Sich durch konkrete Beispiele davon überzeugen lassen, dass Kreativität immer Platz hat. Wir hoffen, dass der Satz des Pythagoras und dieser Artikel Sie zu eigenen Forschungen und spannenden Entdeckungen in Mathematik und anderen Wissenschaften inspirieren werden.

Teilen Sie uns in den Kommentaren mit, ob Sie die im Artikel präsentierten Beweise interessant fanden. Fanden Sie diese Informationen für Ihr Studium hilfreich? Teilen Sie uns Ihre Meinung zum Satz des Pythagoras und zu diesem Artikel mit – wir besprechen dies gerne mit Ihnen.

Site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

MESSEN DER FLÄCHE VON GEOMETRISCHEN FIGUREN.

§ 58. DER SATZ DES PYTHAGORERS 1 .

__________
1 Pythagoras ist ein griechischer Wissenschaftler, der vor etwa 2500 Jahren (564-473 v. Chr.) lebte.
_________

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten a, b und Mit(Entw. 267).

Lassen Sie uns Quadrate an seinen Seiten bauen. Die Flächen dieser Quadrate sind jeweils a 2 , b 2 und Mit 2. Lassen Sie uns das beweisen Mit 2 = ein 2 +b 2 .

Lassen Sie uns zwei Quadrate MKOR und M"K"O"R" (Abb. 268, 269) bauen, indem wir für die Seite von jedem ein Segment nehmen, das der Summe der Beine eines rechtwinkligen Dreiecks ABC entspricht.

Nachdem wir die in den Zeichnungen 268 und 269 gezeigten Konstruktionen in diesen Quadraten abgeschlossen haben, werden wir sehen, dass das MKOR-Quadrat in zwei Quadrate mit Flächen unterteilt ist a 2 und b 2 und vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes gleich dem rechtwinkligen Dreieck ABC ist. Das Quadrat M"K"O"R" ist in ein Viereck (es ist in Zeichnung 269 schraffiert) und vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen jedes auch gleich dem Dreieck ABC ist. Das schattierte Viereck ist ein Quadrat, da seine Seiten gleich sind (jede ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks ABC, d.h. Mit) und die Winkel stimmen / 1 + / 2 = 90°, woher / 3 = 90°).

Somit ist die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate (in Zeichnung 268 sind diese Quadrate schattiert) gleich der Fläche des MKOR-Quadrats ohne die Summe der Flächen von vier gleichen Dreiecken und der Fläche von Das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat (in Zeichnung 269 ist dieses Quadrat auch schattiert) ist gleich der Fläche des Quadrats M "K" O "R", gleich dem Quadrat von MKOR, ohne die Summe der Flächen von vier gleiche Dreiecke. Daher ist die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen gebaut sind.

Wir bekommen die Formel Mit 2 = ein 2 +b 2, wo Mit- Hypotenuse, a und b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Aus der Formel Mit 2 = ein 2 +b 2 können Sie die folgenden Formeln erhalten:

a 2 = Mit 2 - b 2 ;
b 2 = Mit 2 - a 2 .

Diese Formeln können verwendet werden, um die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn zwei seiner Seiten gegeben sind.
Zum Beispiel:

a) wenn Beine gegeben sind a= 4cm, b\u003d 3 cm, dann finden Sie die Hypotenuse ( Mit):
Mit 2 = ein 2 +b 2, d.h. Mit 2 = 4 2 + 3 2 ; mit 2 = 25, woher Mit= √25 =5 (cm);

b) wenn die Hypotenuse gegeben ist Mit= 17 cm und Bein a= 8 cm, dann kannst du ein anderes Bein finden ( b):

b 2 = Mit 2 - a 2, d.h. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, woher b= √225 = 15 (cm).

Folge: Wenn in zwei rechtwinkligen Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1 Hypotenuse Mit und Mit 1 sind gleich, und das Bein b Dreieck ABC ist größer als das Bein b 1 Dreieck A 1 B 1 C 1,
dann das Bein a Dreieck ABC kleiner als das Bein a 1 Dreieck A 1 B 1 C 1 . (Machen Sie eine Zeichnung, die diese Konsequenz veranschaulicht.)

Tatsächlich erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

a 2 = Mit 2 - b 2 ,
a 1 2 = Mit 1 2 - b 1 2

In den geschriebenen Formeln sind die Minuenden gleich und der Subtrahend in der ersten Formel ist größer als der Subtrahend in der zweiten Formel, daher ist die erste Differenz kleiner als die zweite.
d.h. a 2 < a 12 . Wo a< a 1 .

Übungen.

1. Beweisen Sie mit Hilfe von Zeichnung 270 den Satz des Pythagoras für ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

2. Ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist 12 cm lang, der andere 5 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks.

3. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang, einer der Schenkel 8 cm. Berechne die Länge des anderen Schenkels dieses Dreiecks.

4. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 37 cm lang, einer seiner Schenkel 35 cm. Berechne die Länge des anderen Schenkels dieses Dreiecks.

5. Konstruieren Sie ein Quadrat, das doppelt so groß ist wie das angegebene.

6. Konstruieren Sie ein Quadrat mit der doppelten Fläche des angegebenen. Anweisung. Zeichne Diagonalen in dieses Quadrat. Die Quadrate, die auf den Hälften dieser Diagonalen gebaut werden, sind die gewünschten.

7. Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm bzw. 15 cm lang Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks mit einer Genauigkeit von 0,1 cm.

8. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 20 cm lang, einer seiner Schenkel 15 cm. Berechne die Länge des anderen Schenkels auf 0,1 cm genau.

9. Wie lang muss die Leiter sein, damit sie an einem Fenster in 6 m Höhe befestigt werden kann, wenn das untere Ende der Leiter 2,5 m vom Gebäude entfernt sein soll? (Verdammt 271.)

Stellen Sie sicher, dass das gegebene Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Bei rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.

• Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein Quadrat anstelle einer Kurve angezeigt, die nicht rechte Winkel darstellt.

Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks. Bezeichne die Beine mit „a“ und „b“ (die Beine sind Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit „c“ (die Hypotenuse ist die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden möchten. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind). Bestimmen Sie, welche Seite (a, b, c) gefunden werden muss.

• Zum Beispiel bei einer Hypotenuse von 5 und einem Bein von 3. In diesem Fall müssen Sie das zweite Bein finden. Wir werden später auf dieses Beispiel zurückkommen.
• Wenn die anderen beiden Seiten unbekannt sind, muss die Länge einer der unbekannten Seiten ermittelt werden, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Verwenden Sie dazu die grundlegenden trigonometrischen Funktionen (wenn Sie den Wert eines der nicht rechten Winkel erhalten).

Ersetzen Sie in der Formel a 2 + b 2 \u003d c 2 die Ihnen gegebenen Werte (oder die von Ihnen gefundenen Werte). Denken Sie daran, dass a und b Beine sind und c die Hypotenuse ist.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 3² + b² = 5².

Quadriere jede bekannte Seite. Oder lassen Sie die Grade - Sie können die Zahlen später quadrieren.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 9 + b² = 25.

Isoliere die unbekannte Seite auf einer Seite der Gleichung.Übertragen Sie dazu die bekannten Werte auf die andere Seite der Gleichung. Wenn Sie die Hypotenuse finden, dann ist sie im Satz des Pythagoras bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert (also muss nichts getan werden).

• Verschieben Sie in unserem Beispiel 9 auf die rechte Seite der Gleichung, um das unbekannte b² zu isolieren. Sie erhalten b² = 16.

Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung, nachdem auf der einen Seite der Gleichung eine Unbekannte (Quadrat) und auf der anderen Seite ein Achsenabschnitt (Zahl) steht.

• In unserem Beispiel ist b² = 16. Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung und erhalten Sie b = 4. Das zweite Bein ist also 4.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras im Alltag, da er in einer Vielzahl praktischer Situationen angewendet werden kann. Lernen Sie dazu rechtwinklige Dreiecke im Alltag zu erkennen - in jeder Situation, in der sich zwei Objekte (oder Linien) im rechten Winkel schneiden und ein drittes Objekt (oder Linie) die Spitzen der ersten beiden Objekte (bzw Linien), können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die unbekannte Seite zu finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind).

• Beispiel: Gegeben sei eine Leiter, die an einem Gebäude lehnt. Der Fuß der Treppe ist 5 Meter vom Fuß der Mauer entfernt. Das obere Ende der Treppe befindet sich 20 Meter über dem Boden (die Wand hinauf). Wie lang ist die Leiter?
  • „5 Meter vom Fuß der Mauer“ bedeutet, dass a = 5; „ist 20 Meter vom Boden entfernt“ bedeutet, dass b = 20 ist (das heißt, Sie erhalten zwei Beine eines rechtwinkligen Dreiecks, da sich die Wand des Gebäudes und die Erdoberfläche rechtwinklig schneiden). Die Länge der Leiter ist die Länge der Hypotenuse, die unbekannt ist.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Somit beträgt die ungefähre Länge der Treppe 20,6 Meter.

In einer Sache können Sie hundertprozentig sicher sein, dass jeder Erwachsene auf die Frage, was das Quadrat der Hypotenuse ist, mutig antworten wird: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieses Theorem ist in den Köpfen jeder gebildeten Person fest verankert, aber es reicht aus, jemanden zu bitten, es zu beweisen, und dann können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns daher und betrachten verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Kurzer Überblick über die Biographie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biografie der Person, die ihn erstellt hat, nicht so beliebt. Wir werden es reparieren. Bevor Sie also die verschiedenen Möglichkeiten zum Beweis des Satzes des Pythagoras studieren, müssen Sie sich kurz mit seiner Persönlichkeit vertraut machen.

Pythagoras - ein Philosoph, Mathematiker, Denker, ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biografie von den Legenden zu unterscheiden, die sich in Erinnerung an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Schriften seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, zu deren Ehren der Junge benannt wurde. Nach ihrer Vorhersage sollte ein geborener Junge der Menschheit viele Vorteile und Gutes bringen. Was er tatsächlich tat.

Die Geburt eines Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort die berühmten ägyptischen Weisen zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen wurde er zum Studium zugelassen, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Dies mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Aber er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen anstellten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Technik zum Beweis dieses Satzes bekannt, sondern gleich mehrere. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen anstellten, daher werden wir hier verschiedene Möglichkeiten zum Beweis des Satzes des Pythagoras betrachten.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen wollen. Der Satz des Pythagoras lautet: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Insgesamt gibt es 15 verschiedene Wege Beweis des Satzes des Pythagoras. Dies ist eine ziemlich große Anzahl, also achten wir auf die beliebtesten von ihnen.

Methode eins

Lassen Sie uns zuerst definieren, was wir haben. Diese Daten gelten auch für andere Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen, also sollten Sie sich sofort alle verfügbaren Notationen merken.

Angenommen, ein rechtwinkliges Dreieck ist gegeben, mit Beinen a, b und Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert darauf, dass aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat gezogen werden muss.

Dazu müssen Sie ein dem Bein entsprechendes Segment in die Beinlänge a einzeichnen und umgekehrt. Es sollten also zwei gleiche Seiten des Quadrats herauskommen. Es bleiben nur noch zwei parallele Linien zu zeichnen, und das Quadrat ist fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat mit einer Seite zeichnen, die der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks entspricht. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ac und sv zwei parallele Segmente gleich c zeichnen. So erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Es bleibt nur noch das vierte Segment zu zeichnen.

Anhand der resultierenden Abbildung können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 ist. Wenn Sie in die Figur hineinschauen, sehen Sie, dass sie neben dem inneren Quadrat vier rechtwinklige Dreiecke hat. Die Fläche von jedem ist 0,5 av.

Daher ist die Fläche: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Daher (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Und daher mit 2 \u003d a 2 + in 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde aufgrund einer Aussage aus dem Abschnitt Geometrie über ähnliche Dreiecke hergeleitet. Es besagt, dass das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks der Mittelwert ist, der proportional zu seiner Hypotenuse und dem Hypotenuse-Segment ist, das von der Spitze eines Winkels von 90 ° ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also fangen wir gleich mit dem Beweis an. Zeichnen wir eine Strecke CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Beine der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch Quadrieren beider Ungleichungen geführt werden.

AC 2 \u003d AB * HÖLLE und SV 2 \u003d AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), wobei AD + DV \u003d AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Der Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Lösungsansätze erfordern eine vielseitige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Die Beschreibung verschiedener Möglichkeiten zum Beweis des Satzes von Pythagoras sagt vielleicht nichts aus, bis Sie anfangen, selbst zu üben. Viele Methoden beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

In diesem Fall muss ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD vom Bein des Flugzeugs aus vervollständigt werden. Somit gibt es jetzt zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Bein BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (von 2 bis 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

von 2 bis 2 \u003d eine 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Da diese Variante aus verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die Klasse 8 kaum geeignet ist, können Sie die folgende Technik anwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Bewertungen

Historiker glauben, dass diese Methode erstmals im antiken Griechenland zum Beweis eines Satzes verwendet wurde. Es ist das einfachste, da es absolut keine Berechnungen erfordert. Wenn Sie ein Bild richtig zeichnen, ist der Beweis für die Aussage, dass a 2 + b 2 \u003d c 2 deutlich sichtbar ist.

Die Bedingungen für diese Methode unterscheiden sich geringfügig von der vorherigen. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen seine drei Seiten. Außerdem müssen im resultierenden Quadrat zwei diagonale Linien gezeichnet werden. So erhalten Sie darin vier gleichschenklige Dreiecke.

Zu den Beinen AB und CB müssen Sie auch ein Quadrat zeichnen und in jedes eine diagonale Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite - von C.

Jetzt müssen Sie sich das resultierende Bild genau ansehen. Da es vier Dreiecke auf der Hypotenuse AC gibt, die gleich der ursprünglichen sind, und zwei auf den Beinen, zeigt dies die Richtigkeit dieses Theorems.

Übrigens, dank dieser Methode, den Satz des Pythagoras zu beweisen, wurde der berühmte Satz geboren: "Pythagoreische Hosen sind in alle Richtungen gleich."

Beweis von J. Garfield

James Garfield ist der 20. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er hat nicht nur als Herrscher der Vereinigten Staaten seine Spuren in der Geschichte hinterlassen, sondern war auch ein begabter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer Volksschule, wurde aber bald Direktor einer der höheren Bildungseinrichtungen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung erlaubte ihm, eine neue Beweistheorie des Satzes des Pythagoras anzubieten. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass das Bein eines von ihnen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Ecken dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um ein Trapez zu erhalten.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe seiner Grundflächen und der Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Wenn wir das resultierende Trapez als eine Figur betrachten, die aus drei Dreiecken besteht, kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Über den Satz des Pythagoras und wie man ihn beweist, kann man mehr als einen Band eines Lehrbuchs schreiben. Aber macht es Sinn, wenn dieses Wissen nicht in die Praxis umgesetzt werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Schullehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur bei geometrischen Problemen vor. Absolventen verlassen bald die Schulmauern, ohne zu wissen, wie sie ihr Wissen und Können in der Praxis anwenden können.

Tatsächlich kann jeder den Satz des Pythagoras in seinem täglichen Leben anwenden. Und das nicht nur bei beruflichen Tätigkeiten, sondern auch bei der normalen Hausarbeit. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und die Methoden seines Beweises äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang von Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Bewegung eines Lichtstrahls im Raum. Wir wissen, dass sich Licht in beide Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Wir nennen die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und die Hälfte der Zeit, die das Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen, sagen wir mal t. Und die Strahlgeschwindigkeit - c. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie denselben Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt, dann ändert sich bei einer solchen Beobachtung der Körper ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall bewegen sich auch stationäre Elemente mit einer Geschwindigkeit v in die entgegengesetzte Richtung.

Nehmen wir an, der Comic-Liner segelt nach rechts. Dann bewegen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl eilt, nach links. Wenn sich der Strahl von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A außerdem Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend kommt das Licht bereits an einem neuen Punkt C an. Um die halbe Entfernung zu finden, um die sich Punkt A verschoben hat, müssen Sie die multiplizieren Geschwindigkeit des Liners um die halbe Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit reisen könnte, müssen Sie den halben Weg der neuen Buche s bezeichnen und erhalten den folgenden Ausdruck:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann wird das Segment von Punkt A zum Liner es in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. Daher können Sie dank des Satzes des Pythagoras die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen könnte.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben, es in der Praxis auszuprobieren. Daher betrachten wir profanere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber was würden sie nützen, wenn sie die Teilnehmer nicht per Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit von einem Mobilfunkmast entfernt ein Telefon ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Angenommen, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern ausbreiten kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Radius der Signalübertragung) = 200 km;

OS (Globusradius) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras auch in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, wie zum Beispiel bei der Bestimmung der Höhe eines Schranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da Sie einfach mit einem Maßband Maß nehmen können. Viele sind jedoch überrascht, warum gewisse Probleme während des Montageprozesses auftreten, wenn alle Messungen mehr als genau durchgeführt wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert wird und sich erst dann erhebt und an der Wand installiert wird. Daher muss die Seitenwand des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl entlang der Höhe als auch diagonal des Raums frei verlaufen.

Angenommen, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke - 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm geringer sein sollte als die Höhe des Raums. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns bei idealen Abmessungen des Schranks die Funktion des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - alles läuft zusammen.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Installation in diesem Raum geeignet. Denn beim Anheben in eine senkrechte Position kann es zu Schäden am Körper kommen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Möglichkeiten zum Beweis des Satzes von Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler betrachtet haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben verwenden und absolut sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.