Und die duale Beziehung bleibt in allgemeineren projektiven Transformationen erhalten. Der in der affinen Geometrie erhaltene Begriff der Parallelität hat in der projektiven Geometrie keine Bedeutung. Durch die Trennung von Symmetriegruppen von Geometrien können also Beziehungen zwischen Symmetrien auf Gruppenebene hergestellt werden. Da die Gruppe der affinen Geometrie eine Untergruppe der projektiven Geometrie ist, ist jeder Begriff einer Invariante in der projektiven Geometrie a priori in der affinen Geometrie sinnvoll, was umgekehrt nicht gilt. Wenn Sie die erforderlichen Symmetrien hinzufügen, erhalten Sie eine stärkere Theorie, aber weniger Konzepte und Theoreme (die tiefer und allgemeiner sein werden).

Thurstons Standpunkt

Ungerade Funktionen

ƒ (x) = x 3 ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.

Wieder lassen f(x) ist eine Funktion einer reellen Variablen mit reellen Werten. f ist seltsam, falls im Definitionsbereich f

− f (x) = f (− x) , (\displaystyle -f(x)=f(-x)\,) f(x) + f(−x) = 0 . (\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.)

Geometrisch gesehen hat der Graph einer ungeraden Funktion eine Rotationssymmetrie um den Ursprung, in dem Sinne, dass sich der Graph der Funktion nicht ändert, wenn er um 180 Grad um den Ursprung gedreht wird.

Die ungeraden Funktionen sind x, x 3, Sünde ( x), Sünde ( x) und erf ( x).

Integrale

Galois-Theorie

Bei einem gegebenen Polynom ist es möglich, dass einige Wurzeln durch verschiedene algebraische Gleichungen in Beziehung stehen. Beispielsweise kann sich herausstellen, dass für zwei Wurzeln, sagen wir, EIN und B, A 2 + 5 B 3 = 7 (\displaystyle A^(2)+5B^(3)=7). Die zentrale Idee der Galois-Theorie ist die Tatsache, dass die Wurzeln, wenn sie neu angeordnet werden, weiterhin alle diese Gleichungen erfüllen. Wichtig ist, dass wir uns dabei auf algebraische Gleichungen beschränken, deren Koeffizienten rationale Zahlen sind. Daher untersucht die Galois-Theorie Symmetrien, die von algebraischen Gleichungen geerbt werden.

Automorphismen algebraischer Objekte

Für den Fall, dass die Ereignisse ein Intervall aus reellen Zahlen darstellen, entspricht die Symmetrie, die Permutationen von Teilintervallen gleicher Länge berücksichtigt, einer stetigen Gleichverteilung.

In anderen Fällen, wie z. B. "Wählen einer zufälligen ganzen Zahl" oder "Wählen einer zufälligen reellen Zahl", gibt es keine Symmetrie in der Wahrscheinlichkeitsverteilung, was Permutationen von Zahlen oder Intervallen gleicher Länge ermöglicht. Andere akzeptable Symmetrien führen nicht zu einer bestimmten Verteilung, oder mit anderen Worten, es gibt keine eindeutige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine maximale Symmetrie bietet.

Es gibt einen Typ eindimensionale Isometrie, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung unverändert lassen kann, ist eine Reflexion über einen Punkt, z. B. Null.

Eine mögliche Symmetrie für Zufallswerte mit positiver Wahrscheinlichkeit ist die, die für Logarithmen gilt, also wenn ein Ereignis und sein Kehrwert gleich verteilt sind. Diese Symmetrie führt jedoch nicht zu einer eindeutigen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für einen "zufälligen Punkt" in einer Ebene oder im Raum kann man einen Mittelpunkt wählen und die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung in Bezug auf einen Kreis oder eine Kugel berücksichtigen.

Das Bewegungskonzept

Betrachten wir zunächst einen solchen Begriff als Bewegung.

Bestimmung 1

Eine ebene Abbildung wird als ebene Bewegung bezeichnet, wenn die Abbildung Entfernungen beibehält.

Es gibt mehrere Theoreme, die sich auf dieses Konzept beziehen.

Satz 2

Das Dreieck geht beim Bewegen in ein gleiches Dreieck über.

Satz 3

Jede Figur geht, wenn sie sich bewegt, in eine ihr gleiche Figur über.

Achsen- und Zentralsymmetrie sind Beispiele für Bewegung. Betrachten wir sie genauer.

Achsensymmetrie

Bestimmung 2

Die Punkte $A$ und $A_1$ heißen symmetrisch zur Geraden $a$, wenn diese Gerade senkrecht auf der Strecke $(AA)_1$ steht und durch deren Mittelpunkt verläuft (Abb. 1).

Bild 1.

Betrachten Sie die axiale Symmetrie am Beispiel des Problems.

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein symmetrisches Dreieck für das gegebene Dreieck in Bezug auf eine seiner Seiten.

Lösung.

Gegeben sei uns ein Dreieck $ABC$. Wir konstruieren seine Symmetrie bezüglich der Seite $BC$. Die Seite $BC$ geht bei axialer Symmetrie in sich selbst über (folgt aus der Definition). Der Punkt $A$ geht wie folgt zum Punkt $A_1$: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Das Dreieck $ABC$ wird zum Dreieck $A_1BC$ (Abb. 2).

Figur 2.

Bestimmung 3

Eine Figur heißt symmetrisch zur Geraden $a$, wenn jeder Symmetriepunkt dieser Figur auf derselben Figur enthalten ist (Abb. 3).

Figur 3

Abbildung $3$ zeigt ein Rechteck. Es hat axiale Symmetrie in Bezug auf jeden seiner Durchmesser sowie in Bezug auf zwei gerade Linien, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten des gegebenen Rechtecks ​​verlaufen.

Zentrale Symmetrie

Bestimmung 4

Die Punkte $X$ und $X_1$ heißen symmetrisch zum Punkt $O$, wenn der Punkt $O$ das Zentrum der Strecke $(XX)_1$ ist (Abb. 4).

Figur 4

Betrachten wir die zentrale Symmetrie am Beispiel des Problems.

Beispiel 2

Konstruiere ein symmetrisches Dreieck für das gegebene Dreieck an irgendeiner seiner Ecken.

Lösung.

Gegeben sei uns ein Dreieck $ABC$. Wir konstruieren seine Symmetrie bezüglich der Ecke $A$. Der Knoten $A$ unter zentraler Symmetrie geht in sich selbst über (folgt aus der Definition). Der Punkt $B$ geht wie folgt zum Punkt $B_1$ $(BA=AB)_1$, und der Punkt $C$ geht wie folgt zum Punkt $C_1$: $(CA=AC)_1$. Das Dreieck $ABC$ geht in das Dreieck $(AB)_1C_1$ über (Abb. 5).

Abbildung 5

Bestimmung 5

Eine Figur ist bezüglich des Punktes $O$ symmetrisch, wenn jeder Symmetriepunkt dieser Figur auf derselben Figur enthalten ist (Abb. 6).

Abbildung 6

Abbildung $6$ zeigt ein Parallelogramm. Es hat zentrale Symmetrie um den Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Aufgabenbeispiel.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Segment $AB$. Konstruieren Sie seine Symmetrie in Bezug auf die Gerade $l$, die das gegebene Segment nicht schneidet, und in Bezug auf den Punkt $C$, der auf der Geraden $l$ liegt.

Lösung.

Lassen Sie uns den Zustand des Problems schematisch darstellen.

Abbildung 7

Stellen wir uns zunächst die Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $l$ vor. Da Achsensymmetrie eine Bewegung ist, wird nach Theorem $1$ das Segment $AB$ auf das ihm gleiche Segment $A"B"$ abgebildet. Um es zu konstruieren, gehen wir wie folgt vor: Ziehen Sie durch die Punkte $A\ und\ B$ die Linien $m\ und\ n$ senkrecht zur Linie $l$. Sei $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Als nächstes zeichnen Sie die Segmente $A"X=AX$ und $B"Y=BY$.

Abbildung 8

Lassen Sie uns nun die zentrale Symmetrie bezüglich des Punktes $C$ darstellen. Da die zentrale Symmetrie eine Bewegung ist, wird nach Theorem $1$ das Segment $AB$ auf das ihm gleiche Segment $A""B""$ abgebildet. Um es zu konstruieren, gehen wir wie folgt vor: Zeichnen Sie die Linien $AC\ und\ BC$. Als nächstes zeichnen Sie die Segmente $A^("")C=AC$ und $B^("")C=BC$.

Abbildung 9

Der Begriff der Materie als unzerstörbare und nicht erstellbare Grundlage alles Bestehenden wurde bereits in der Antike geprägt. Andererseits führte die Beobachtung ständiger Veränderungen in der Natur zu der Idee der ständigen Bewegung der Materie als ihrer wichtigsten Eigenschaft. Die Idee der „Bewahrung“ tauchte in der Wissenschaft als rein philosophische Vermutung über das Vorhandensein von etwas Beständigem in einer sich ständig verändernden Welt auf. Die Einheit von Veränderung und Bewahrung findet ihren Ausdruck im Begriff der „Symmetrie“. Symmetrie - Invarianz (Unveränderlichkeit) eines Objekts in Bezug auf die ihm auferlegten Transformationen. Transformationen, die ein symmetrisches Objekt ergeben, werden aufgerufen symmetrisch. Der Grad der Symmetrie wird durch die Anzahl (Spektrum) möglicher symmetrischer Transformationen bestimmt. Je homogener, ausgewogener das System, d.h. je proportionaler zu seinem Teil, desto größer die Anzahl möglicher symmetrischer Transformationen für ihn, d.h. desto symmetrischer ist es. Daher ist das Konzept der Symmetrie mit dem Gleichgewicht und der Proportionalität der Teile des Systems verbunden. Die Symmetrie physikalischer Systeme manifestiert sich in der Existenz von Erhaltungssätzen. Zunächst wurden die Erhaltungssätze ebenso wie das Relativitätsprinzip empirisch aufgestellt, indem eine große Zahl experimenteller Tatsachen verallgemeinert wurden. Viel später kam das Verständnis der tiefen Beziehung zwischen diesen Gesetzen und den Symmetrieeigenschaften physikalischer Systeme, die es ermöglichten, ihre Universalität zu verstehen. Unter Symmetrie wird dabei die Invarianz der Gesetze, der darin enthaltenen Größen und der durch sie beschriebenen Eigenschaften natürlicher Objekte gegenüber einer bestimmten Gruppe von Transformationen beim Übergang von einem Bezugsrahmen zu einem anderen verstanden. Zum Beispiel sind in der speziellen Relativitätstheorie für alle Trägheitsbezugssysteme, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, die elektrische Ladung und die Naturgesetze unveränderlich.

Das Vorhandensein von Symmetrie führt dazu, dass es für ein gegebenes System eine Erhaltungsgröße gibt. Sind also die Symmetrieeigenschaften eines Systems bekannt, lassen sich die Erhaltungssätze dafür bestimmen und umgekehrt.

Der Zusammenhang zwischen der Symmetrie der Raumzeit und den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Erhaltung wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts hergestellt. E. Noether (1882 - 1935). Raum und Zeit sind homogen und daher symmetrisch gegenüber beliebigen Verschiebungen des Ursprungs. Die Isotropie des Raums macht ihn symmetrisch in Bezug auf die Rotation der Koordinatenachsen.

Die wichtigste Symmetrie der Natur wurde in der relativistischen Theorie offenbart: Alle Naturphänomene sind unveränderlich unter Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen in einer einzigen vierdimensionalen Raumzeit. Diese Symmetrien sind von Natur aus "global" und decken die gesamte Raumzeit ab. Die Erhaltungssätze aufgrund globaler Symmetrie sind die grundlegendsten Naturgesetze. Diese beinhalten:

Gesetz der Impulserhaltung, Im Zusammenhang mit Homogenität des Raumes;

Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses, Im Zusammenhang mit Isotropie des Raumes;

Gesetz der Energieeinsparung, Im Zusammenhang mit Einheitlichkeit der Zeit.

Somit entspricht jede Transformation der globalen Raum-Zeit-Symmetrie dem Erhaltungssatz eines bestimmten Wertes. Für geschlossene Systeme, deren Körper miteinander interagieren, sind diese Gesetzmäßigkeiten erfüllt und äußere Einflüsse werden kompensiert.

In der klassischen Physik sind viele Größen (wie Impuls, Energie und Drehimpuls) erhalten. Auch in der Quantenmechanik gibt es Erhaltungssätze für die entsprechenden Größen. Das Schönste an der Quantenmechanik ist, dass sich Erhaltungssätze gewissermaßen aus etwas anderem ableiten lassen; in der klassischen Mechanik sind sie jedoch praktisch selbst Ausgangspunkt für andere Gesetze. (In der klassischen Mechanik kann man zwar genauso verfahren wie in der Quantenmechanik, aber nur auf sehr hohem Niveau.) In der Quantenmechanik sind die Erhaltungssätze jedoch sehr eng mit dem Superpositionsprinzip verbunden von Amplituden und zur Symmetrie physikalischer Systeme in Bezug auf verschiedene Änderungen. Dies ist das Thema dieses Vortrags. Obwohl wir diese Ideen hauptsächlich auf die Erhaltung des Drehimpulses anwenden werden, ist es hier wesentlich, dass alle Sätze über die Erhaltung beliebiger Größen immer – in der Quantenmechanik – mit den Symmetrien des Systems zusammenhängen.

Betrachten wir daher zunächst die Frage nach den Symmetrien von Systemen. Ein sehr einfaches Beispiel sind molekulare Wasserstoffionen (ebenso geeignet wären aber Ammoniakmoleküle), die jeweils zwei Zustände haben. Für das molekulare Wasserstoffion haben wir für einen Grundzustand einen solchen Zustand angenommen, in dem sich das Elektron in der Nähe von Proton Nr. 1 befindet, und für einen anderen Grundzustand denjenigen, in dem sich das Elektron in der Nähe von Proton Nr. 2 befindet. Diese beiden Zustände (wir nannten sie und ) zeigen wir noch einmal in Abb. 15.1, a. Da also beide Kerne genau gleich sind, gibt es eine gewisse Symmetrie in diesem physikalischen System. Mit anderen Worten, wenn wir das System in einer Ebene spiegeln müssten, die in der Mitte zwischen zwei Protonen liegt (also wenn sich alles auf einer Seite der Ebene symmetrisch auf die andere Seite bewegt), dann ergibt sich das in Abb. 15.1b. Und da die Protonen identisch sind, übersetzt sich die Reflexionsoperation in , und in . Lassen Sie uns diese Reflexionsoperation bezeichnen und schreiben

. (15.1)

Unserer ist also ein Operator in dem Sinne, dass er mit dem Zustand „etwas macht“, sodass ein neuer Zustand herauskommt. Interessant ist hier, dass das Einwirken auf einen beliebigen Zustand einen anderen Zustand des Systems erzeugt.

Feige. 15.1. Werden die Zustände und in der Ebene gespiegelt, gehen sie in die Zustände bzw. über.

sind die Matrixelemente, die man erhält, wenn und links mit multipliziert werden. Nach Gleichung (15.1) sind sie gleich

(15.2)

Auf die gleiche Weise erhalten Sie und , und . Die Matrix in Bezug auf das Grundsystem ist

Wir sehen wieder, dass die Wörter Operator und Matrix in der Quantenmechanik praktisch austauschbar sind. Natürlich gibt es kleine technische Unterschiede, etwa zwischen den Wörtern „Ziffer“ und „Zahl“, aber wir sind nicht so pedantisch, dass wir uns damit abmühen. Wir werden also entweder einen Operator oder eine Matrix nennen, unabhängig davon, ob er eine Operation definiert oder tatsächlich verwendet wird, um eine numerische Matrix zu erhalten.

Nun möchten wir Ihre Aufmerksamkeit auf etwas lenken. Nehmen wir an, dass die Physik des gesamten Systems des molekularen Wasserstoffions selbst symmetrisch ist. Das kann nicht sein - es hängt zum Beispiel davon ab, was neben ihr ist. Aber wenn das System symmetrisch ist, dann muss die folgende Idee notwendigerweise wahr sein. Nehmen wir an, dass sich das System zunächst im Zustand befindet, und nach einer gewissen Zeit stellen wir fest, dass sich das System in einer komplexeren Position befindet – in einer linearen Kombination beider Grundzustände. Denken Sie daran, dass in Kap. 6 (Ausgabe 8) haben wir verwendet, um "Evolution in der Zeit" durch Multiplikation mit dem Operator darzustellen. Dies bedeutet, dass sich das System in einem Moment (sagen wir zur Sicherheit in 15 Sekunden) in einem anderen Zustand befinden wird. Dieser state on kann zum Beispiel aus dem state bestehen und on aus dem state , und wir würden schreiben

Nun fragen wir: Was passiert, wenn wir das System zunächst in einem symmetrischen Zustand starten und unter gleichen Bedingungen 15 Sekunden warten? Es ist klar, dass wir, wenn die Welt symmetrisch ist (was wir annehmen), definitiv einen Zustand bekommen werden, der symmetrisch zu (15.4) ist:

Dieselben Ideen sind schematisch in Abb. 15.2. Wenn also die Physik des Systems in Bezug auf eine Ebene symmetrisch ist und wir das Verhalten des einen oder anderen Zustands berechnet haben, kennen wir auch das Verhalten des Zustands, der sich nach der Spiegelung des Anfangszustands in der Ebene von ergeben würde Symmetrie.

Feige. 15.2. Wenn sich in einem symmetrischen System der reine Zustand mit der Zeit entwickelt, wie in Teil (a) gezeigt, dann wird sich der reine Zustand mit der Zeit entwickeln, wie in Teil (b) gezeigt.

Dasselbe kann man etwas allgemeiner sagen, also etwas abstrakter. Let - jede der vielen Operationen, die Sie auf dem System ausführen können, ohne die Physik zu ändern. Zum Beispiel können wir die Reflexionsoperation in einer Ebene nehmen, die in der Mitte zwischen zwei Atomen des Wasserstoffmoleküls liegt. Oder in einem System mit zwei Elektronen könnte man den Vorgang des Austauschs zweier Elektronen meinen. Die dritte Möglichkeit wäre in einem kugelsymmetrischen System die Operation, das gesamte System um einen endlichen Winkel um eine Achse zu drehen; dies ändert nichts an der Physik. Natürlich würden wir in jedem Einzelfall auf unsere Weise benennen. Insbesondere werden wir normalerweise die Operation "Drehen des Systems um die Achse um einen Winkel" bezeichnen. Damit meinen wir einfach einen der genannten Operatoren oder jeden anderen, der die gesamte physikalische Situation unverändert lässt. Wir nennen den Operator den Symmetrieoperator für das System.

Hier sind einige weitere Beispiele für Symmetrieoperatoren. Wenn wir ein Atom haben und es kein externes magnetisches oder externes elektrisches Feld gibt, dann bleibt das physikalische System nach dem Drehen des Koordinatensystems um eine beliebige Achse dasselbe. Auch hier ist das Ammoniakmolekül spiegelsymmetrisch in einer Ebene parallel zu derjenigen, in der die drei Wasserstoffatome liegen (solange kein elektrisches Feld vorhanden ist). Wenn es ein elektrisches Feld gibt, dann müsste das Feld bei der Reflexion auch umgedreht werden, und das ändert das ganze physikalische Problem. Aber solange kein externes Feld vorhanden ist, ist das Molekül symmetrisch.

Betrachten Sie nun den allgemeinen Fall. Angenommen, wir haben mit dem Zustand begonnen und nach einiger Zeit oder unter dem Einfluss anderer physikalischer Bedingungen wurde daraus der Zustand . Lass uns schreiben

[Schauen Sie sich Formel (15.4) an.] Stellen Sie sich nun vor, dass wir auf dem gesamten System arbeiten. Der Zustand wird in den Zustand umgewandelt, der auch als geschrieben wird. Und der Staat wird . Und nun, wenn die Physik relativ symmetrisch ist (vergessen Sie das nicht, wenn dies keineswegs eine allgemeine Eigenschaft des Systems ist), dann sollten wir nach dem gleichen Warten unter den gleichen Bedingungen erhalten

[Wie in (45.5).] Aber man kann statt schreiben und stattdessen schreiben, also wird (15.7) in die Form umgeschrieben, gilt für Matrizen und .]

Übrigens, da wir für eine infinitesimale Zeit haben, wo ist der übliche Hamilton-Operator [siehe. CH. 6 (issue 8)], ist es leicht zu sehen, dass dann, wenn (15.10) erfüllt ist

(15.11) ist also eine mathematische Formulierung der Bedingungen für die Symmetrie der physikalischen Situation bezüglich des Operators . Es definiert Symmetrie.

Symmetrisches (asymmetrisches) Mehrphasen-Stromsystem nach GOST R 52002-2003

In dem sie in der Amplitude gleich (ungleich) und (oder) in gleichen (ungleichen) Winkeln gegeneinander verschoben sind. Anmerkungen:

1. In einem symmetrischen Mehrphasensystem elektrischer Ströme beträgt die Phasenverschiebung elektrischer Ströme relativ zueinander einen Winkel von 2 p / m, wobei m - Anzahl der Phasen.
2. Ebenso werden symmetrische (asymmetrische) Mehrphasensysteme definiert usw.

[aus Klausel 162 GOST R 52002-2003]

Symmetrisches Gegensystem (Ströme) nach GOST R 52002-2003

Die Reihenfolge ist umgekehrt zur Hauptreihenfolge. Anmerkungen:

1. Mit der umgekehrten Reihenfolge der Phasen verringern oder erhöhen sich die Phasenverschiebungen jeder der Phasen eines symmetrischen Mehrphasensystems elektrischer Ströme relativ zu der als erste genommenen Phase um den gleichen Betrag gleich 2 p (1-k ) / m, wobei m - Anzahl der Phasen; k = 1, 2, ..., m - Phasennummer.
2. Symmetrische Systeme umgekehrter Sequenzen werden ähnlich definiert und so weiter.

[aus Klausel 165 GOST R 52002-2003]

Symmetrisches Mitsystem (Ströme) nach GOST R 52002-2003

Die Reihenfolge wird als die wichtigste angesehen. Anmerkungen:

1. Bei der Hauptphasenreihenfolge nehmen die Phasenverschiebungen jeder der Phasen eines symmetrischen Mehrphasensystems elektrischer Ströme relativ zu der als erste genommenen Phase um den gleichen Betrag zu oder ab, der 2 p (1-k) / m, wo m - Anzahl der Phasen; k = 1, 2, ..., m - Phasennummer.
2. Symmetrische Mitsystemsysteme werden ähnlich definiert und so weiter.

[aus Klausel 164 GOST R 52002-2003]

Symmetrische Komponenten (asymmetrisches Phasensystem elektrischer Ströme) nach GOST R 52002-2003

Symmetrische m-Phasenfolgen, in die dieses asymmetrische m-Phasensystem elektrischer Ströme zerlegt werden kann, nämlich Folgen mit Indizes n=0, 1, ..., m-1, jeweils mit Phasenverschiebungen gegenüber der ersten Phase sind 2 p ( 1-k)n/m, wobei k = 1, 2, ... , m - Phasennummer. Anmerkungen:

1. Für die Bezeichnungen der Phasen A, B und C entsprechen die Werte k = 1, 2 und 3, und die Namen der Sequenzen als Null, Direkt und Rückwärts entsprechen den Werten n = 0, 1 und 2.
2. In ähnlicher Weise werden die symmetrischen Komponenten von asymmetrischen m-Phasen-Systemen bestimmt usw.

[aus Klausel 166 GOST R 52002-2003]