siehe auch Grafisches Lösen eines linearen Programmierproblems, Kanonische Form von linearen Programmierproblemen

Das Beschränkungssystem für ein solches Problem besteht aus Ungleichungen in zwei Variablen:
und Zielfunktion hat die Form F = C 1 x + C 2 j, die maximiert werden soll.

Beantworten wir die Frage: Welche Zahlenpaare ( x; j) sind Lösungen des Systems der Ungleichungen, d.h. erfüllen sie alle Ungleichungen gleichzeitig? Mit anderen Worten, was bedeutet es, ein System grafisch zu lösen?
Zuerst müssen Sie verstehen, was die Lösung einer linearen Ungleichung mit zwei Unbekannten ist.
Eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten zu lösen bedeutet, alle Wertepaare der Unbekannten zu bestimmen, für die die Ungleichung erfüllt ist.
Zum Beispiel Ungleichheit 3 x – 5j≥ 42 erfüllen die Paare ( x , j) : (100, 2); (3, –10) usw. Das Problem besteht darin, alle diese Paare zu finden.
Betrachten Sie zwei Ungleichungen: Axt + von≤ c, Axt + von≥ c. Gerade Axt + von = c teilt die Ebene in zwei Halbebenen, so dass die Koordinaten der Punkte einer von ihnen die Ungleichung erfüllen Axt + von >c, und die andere Ungleichung Axt + +von <c.
Nehmen Sie in der Tat einen Punkt mit Koordinaten x = x 0; dann ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt und eine Abszisse hat x 0 , hat eine Ordinate

Lassen Sie für die Bestimmtheit a<0, b>0, c>0. Alle Punkte mit Abszisse x 0 oben P(zB Punkt M), haben y M>j 0 und alle Punkte unter dem Punkt P, mit Abszisse x 0, haben jN<j 0 . Soweit x 0 ist ein beliebiger Punkt, dann wird es immer Punkte auf einer Seite der Linie geben, für die Axt+ von > c, die eine Halbebene bilden, und andererseits Punkte für die Axt + von< c.

Bild 1

Das Ungleichheitszeichen in der Halbebene hängt von den Zahlen ab a, b , c.
Dies führt zu folgendem Verfahren grafische Lösung Systeme Lineare Ungleichungen aus zwei Variablen. Um das System zu lösen, benötigen Sie:

1. Schreiben Sie für jede Ungleichung die entsprechende Gleichung auf.
2. Konstruieren Sie Linien, die Graphen von Funktionen sind, die durch Gleichungen gegeben sind.
3. Bestimmen Sie für jede Gerade die Halbebene, die durch die Ungleichung gegeben ist. Nehmen Sie dazu beliebiger Punkt, die nicht auf einer geraden Linie liegen, setzen Sie ihre Koordinaten in die Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr ist, dann ist die Halbebene, die den gewählten Punkt enthält, die Lösung der ursprünglichen Ungleichung. Wenn die Ungleichung falsch ist, dann ist die Halbebene auf der anderen Seite der Geraden die Lösungsmenge dieser Ungleichung.
4. Um ein Ungleichungssystem zu lösen, ist es notwendig, den Schnittbereich aller Halbebenen zu finden, die die Lösung für jede Ungleichung im System darstellen.

Dieser Bereich kann sich als leer herausstellen, dann hat das System der Ungleichungen keine Lösungen, es ist inkonsistent. Ansonsten spricht man von einem konsistenten System.
Es kann endlich viele Lösungen geben und unendlicher Satz. Die Fläche kann ein geschlossenes Polygon oder unbegrenzt sein.

Schauen wir uns drei relevante Beispiele an.

Beispiel 1. Lösen Sie das System grafisch:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2j + 5 ≤ 0.

• Betrachten Sie die Gleichungen x+y–1=0 und –2x–2y+5=0, die den Ungleichungen entsprechen;
• Lassen Sie uns die durch diese Gleichungen gegebenen geraden Linien konstruieren.

Figur 2

Lassen Sie uns die durch die Ungleichungen gegebenen Halbebenen definieren. Nimm einen beliebigen Punkt, sei (0; 0). Prüfen x+ j– 1 0, wir ersetzen den Punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. also in der Halbebene, wo der Punkt (0; 0) liegt, x + j – 1 ≤ 0, d.h. die unter der Geraden liegende Halbebene ist die Lösung der ersten Ungleichung. Setzen wir diesen Punkt (0; 0) in den zweiten ein, erhalten wir: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, d.h. in der Halbebene, wo der Punkt (0; 0) liegt, -2 x – 2j+ 5≥ 0, und wir wurden gefragt, wo -2 x – 2j+ 5 ≤ 0, also in einer anderen Halbebene - in der über der Geraden.
Finden Sie den Schnittpunkt dieser beiden Halbebenen. Die Linien sind parallel, die Ebenen schneiden sich also nirgendwo, was bedeutet, dass das System dieser Ungleichungen keine Lösungen hat, es ist inkonsistent.

Beispiel 2. Finde graphische Lösungen für das Ungleichungssystem:

Figur 3
1. Schreiben Sie die den Ungleichungen entsprechenden Gleichungen auf und konstruieren Sie Geraden.
x + 2j– 2 = 0

x	2	0
j	0	1

j – x – 1 = 0

x	0	2
j	1	3

j + 2 = 0;
j = –2.
2. Nachdem wir den Punkt (0; 0) gewählt haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Ungleichungen in den Halbebenen:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, d.h. x + 2j– 2 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 – 0 – 1 ≤ 0, d.h. j –x– 1 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 + 2 =2 ≥ 0, d.h. j+ 2 ≥ 0 in der Halbebene über der Linie.
3. Der Schnittpunkt dieser drei Halbebenen ist eine Fläche, die ein Dreieck ist. Es ist nicht schwierig, die Scheitelpunkte des Gebiets als Schnittpunkte der entsprechenden Linien zu finden


Auf diese Weise, SONDERN(–3; –2), BEIM(0; 1), Mit(6; –2).

Betrachten wir noch ein Beispiel, bei dem der resultierende Lösungsbereich des Systems nicht eingeschränkt ist.

In dem Artikel werden wir darüber nachdenken Lösung von Ungleichungen. Reden wir offen darüber wie man eine Lösung für Ungleichheiten entwickelt mit anschaulichen Beispielen!

Bevor wir die Lösung von Ungleichungen anhand von Beispielen betrachten, wollen wir uns mit den grundlegenden Konzepten befassen.

Einführung in Ungleichheiten

Ungleichheit heißt ein Ausdruck, in dem Funktionen durch Beziehungszeichen >, verbunden sind. Ungleichheiten können sowohl numerisch als auch alphabetisch sein.
Ungleichungen mit zwei Beziehungszeichen heißen doppelt, mit drei - dreifach usw. Zum Beispiel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x)b(x).
a(x) Ungleichungen, die das Zeichen > oder oder enthalten, sind nicht streng.
Ungleichheitslösung ein beliebiger Wert der Variablen ist, für den diese Ungleichung gilt.
"Löse die Ungleichung" bedeutet, dass Sie die Menge aller Lösungen finden müssen. Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen. Für Ungleichheit Lösungen Verwenden Sie einen Zahlenstrahl, der unendlich ist. Zum Beispiel, Lösung der Ungleichung x > 3 ist ein Intervall von 3 bis +, und die Zahl 3 ist nicht in diesem Intervall enthalten, daher wird der Punkt auf der Linie durch einen leeren Kreis gekennzeichnet, weil die Ungleichheit ist streng.
+
Die Antwort lautet: x (3; +).
Der Wert x=3 ist nicht in der Menge der Lösungen enthalten, daher ist die Klammer rund. Das Unendlichkeitszeichen ist immer hervorgehoben Klammer. Das Zeichen bedeutet „Zugehörigkeit“.
Überlegen Sie, wie Sie Ungleichungen anhand eines anderen Beispiels mit dem Vorzeichen lösen können:
x2
-+
Der Wert x = 2 ist in der Lösungsmenge enthalten, daher werden die eckige Klammer und der Punkt auf der Geraden durch einen gefüllten Kreis gekennzeichnet.
Die Antwort lautet: x .

Die folgenden werden auf die gleiche Weise gelöst. Systeme der Ungleichheit.

Das System der Ungleichheiten Es ist üblich, jede Menge von zwei oder mehr Ungleichungen zu nennen, die eine unbekannte Größe enthalten.

Anschaulich wird diese Formulierung beispielsweise durch z Systeme der Ungleichheit:

Lösen Sie das System der Ungleichungen - bedeutet, alle Werte einer unbekannten Variablen zu finden, für die jede Ungleichung des Systems realisiert ist, oder zu beweisen, dass es keine solchen gibt .

Also für jeden Einzelnen Systemungleichheiten Berechne die unbekannte Variable. Wählt ferner aus den resultierenden Werten nur diejenigen aus, die sowohl für die erste als auch für die zweite Ungleichung wahr sind. Daher werden beim Ersetzen des gewählten Werts beide Ungleichungen des Systems richtig.

Analysieren wir die Lösung mehrerer Ungleichungen:

Platzieren Sie einen unter dem anderen Zahlenstrahlpaar; Setzen Sie den Wert auf die Spitze x, unter der die erste Ungleichung o ( x> 1) wahr werden und unten der Wert X, die die Lösung der zweiten Ungleichung ( X> 4).

Durch den Vergleich der Daten auf Zahlenreihen, beachten Sie, dass die Lösung für beide Ungleichheiten Wille X> 4. Antwort, X> 4.

Beispiel 2

Berechnung der ersten Ungleichheit wir bekommen -3 X< -6, или x> 2, die zweite - X> -8, oder X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, darunter die erste Systemungleichheit, und auf der unteren Zahlengeraden alle diese Werte X, unter der die zweite Ungleichung des Systems realisiert ist.

Beim Vergleich der Daten stellen wir fest, dass beides der Fall ist Ungleichheiten wird für alle Werte implementiert X Platz 2 bis 8. Sätze von Werten X bezeichnen Doppelte Ungleichheit 2 < X< 8.

Beispiel 3 Lass uns finden