jede Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die dieselbe unbekannte Größe enthalten, wird aufgerufen

Hier sind Beispiele für solche Systeme:

Das Schnittintervall zweier Strahlen ist unsere Lösung. Daher ist die Lösung dieser Ungleichung alles X liegt zwischen zwei und acht.

Antworten: X

Die Anwendung dieser Art der Abbildung der Lösung eines Systems von Ungleichungen wird manchmal genannt Dach Methode.

Definition: Der Schnittpunkt zweier Mengen SONDERN und BEIM wird eine solche dritte Menge genannt, die alle Elemente enthält, die in und in enthalten sind SONDERN und in BEIM. Dies ist die Bedeutung der Schnittmenge von Mengen beliebiger Natur. Wir betrachten jetzt numerische Mengen im Detail, daher sind solche Mengen beim Auffinden linearer Ungleichungen Strahlen - gleich gerichtet, gegen gerichtet und so weiter.

Lass es uns in echt herausfinden Beispiele Finden von linearen Systemen von Ungleichungen, wie man den Schnittpunkt der Mengen von Lösungen für einzelne Ungleichungen bestimmt, die im System enthalten sind.

Berechnen System der Ungleichheiten:

Legen wir zwei Kraftlinien untereinander. Ganz oben setzen wir diese Werte X, die die erste Ungleichung erfüllen x>7 , und unten - die als Lösung für die zweite Ungleichung dienen x>10 Wir korrelieren die Ergebnisse der Zahlenstrahlen, finden heraus, dass beide Ungleichungen erfüllt sein werden x>10.

Antwort: (10;+∞).

Wir tun analog zur ersten Probe. Zeichnen Sie alle diese Werte auf einer bestimmten numerischen Achse X für die das erste existiert Systemungleichheit, und auf der zweiten numerischen Achse, platziert unter der ersten, all diese Werte X, für die die zweite Ungleichung des Systems erfüllt ist. Lassen Sie uns diese beiden Ergebnisse vergleichen und feststellen, dass beide Ungleichungen gleichzeitig für alle Werte erfüllt werden X zwischen 7 und 10 gelegen, unter Berücksichtigung der Vorzeichen, erhalten wir 7<x≤10

Antwort: (7; 10).

Die folgenden werden auf die gleiche Weise gelöst. Systeme der Ungleichheit.

Dieser Artikel hat erste Informationen zu Ungleichheitssystemen zusammengetragen. Hier geben wir eine Definition eines Systems von Ungleichungen und eine Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen. Außerdem werden die wichtigsten Arten von Systemen aufgeführt, mit denen Sie im Algebraunterricht in der Schule am häufigsten arbeiten müssen, und es werden Beispiele gegeben.

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Was ist ein Ungleichheitssystem?

Es ist bequem, Ungleichheitssysteme auf die gleiche Weise zu definieren, wie wir die Definition eines Gleichungssystems eingeführt haben, d. h. gemäß der Art der Aufzeichnung und der darin eingebetteten Bedeutung.

Definition.

System der Ungleichheiten ist ein Datensatz, der eine bestimmte Anzahl von Ungleichungen darstellt, die untereinander geschrieben sind, links durch eine geschweifte Klammer verbunden sind und die Menge aller Lösungen bezeichnen, die gleichzeitig Lösungen für jede Ungleichung des Systems sind.

Lassen Sie uns ein Beispiel für ein System von Ungleichheiten geben. Nimm zwei beliebige , zum Beispiel 2 x−3>0 und 5−x≥4 x−11 , schreibe sie untereinander
2x−3>0 ,
5−x≥4x−11
und vereinigen Sie sich mit dem Vorzeichen des Systems - einer geschweiften Klammer. Als Ergebnis erhalten wir ein Ungleichungssystem der folgenden Form:

Ebenso wird eine Vorstellung von Ungleichheitssystemen in Schulbüchern gegeben. Es ist erwähnenswert, dass die Definitionen in ihnen enger gefasst sind: für Ungleichungen mit einer Variablen oder mit zwei Variablen.

Die wichtigsten Arten von Ungleichheitssystemen

Es ist klar, dass es unendlich viele verschiedene Systeme von Ungleichungen gibt. Um sich in dieser Vielfalt nicht zu verlieren, empfiehlt es sich, sie in Gruppen zu betrachten, die ihre eigenen Besonderheiten haben. Alle Ungleichheitssysteme lassen sich nach folgenden Kriterien in Gruppen einteilen:

• durch die Anzahl der Ungleichheiten im System;
• durch die Anzahl der an der Aufzeichnung beteiligten Variablen;
• durch die Natur der Ungleichheiten.

Je nach Anzahl der im Datensatz enthaltenen Ungleichheiten werden Zweier-, Dreier-, Vierersysteme usw. unterschieden. Ungleichheiten. Im vorherigen Absatz haben wir ein Beispiel für ein System gegeben, das ein System aus zwei Ungleichungen ist. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel eines Systems von vier Ungleichungen zeigen .

Unabhängig davon sagen wir, dass es keinen Sinn macht, über ein System einer Ungleichheit zu sprechen. In diesem Fall sprechen wir tatsächlich über die Ungleichheit selbst und nicht über das System.

Schaut man sich die Anzahl der Variablen an, dann gibt es Ungleichungssysteme mit eins, zwei, drei usw. Variablen (oder, wie sie sagen, Unbekannte). Schauen Sie sich das letzte Ungleichungssystem an, das zwei Absätze weiter oben steht. Dies ist ein System mit drei Variablen x , y und z . Beachten Sie, dass ihre ersten beiden Ungleichungen nicht alle drei Variablen enthalten, sondern nur eine davon. Im Kontext dieses Systems sind sie als Ungleichungen mit drei Variablen der Form x+0 y+0 z≥−2 bzw. 0 x+y+0 z≤5 zu verstehen. Beachten Sie, dass sich die Schule auf Ungleichheiten mit einer Variablen konzentriert.

Es bleibt zu diskutieren, welche Arten von Ungleichheiten in Schreibsystemen enthalten sind. In der Schule betrachten sie hauptsächlich Systeme mit zwei Ungleichungen (seltener - drei, noch seltener - vier oder mehr) mit einer oder zwei Variablen, und die Ungleichungen selbst sind es normalerweise ganzzahlige Ungleichungen ersten oder zweiten Grades (seltener - höhere Grade oder teilweise rational). Aber wundern Sie sich nicht, wenn Sie in den Materialien zur Vorbereitung auf die OGE auf Ungleichungssysteme stoßen, die irrationale, logarithmische, exponentielle und andere Ungleichungen enthalten. Als Beispiel stellen wir das System der Ungleichheiten vor , es ist entnommen aus .

Was ist die Lösung eines Systems von Ungleichungen?

Wir führen eine andere Definition ein, die sich auf Systeme von Ungleichungen bezieht – die Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen:

Definition.

Lösen eines Systems von Ungleichungen mit einer Variablen wird ein solcher Wert einer Variablen genannt, der jede der Ungleichungen des Systems wahr macht, mit anderen Worten, die Lösung für jede Ungleichung des Systems ist.

Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären. Nehmen wir ein System von zwei Ungleichungen mit einer Variablen . Nehmen wir den Wert der Variablen x gleich 8 , es ist per Definition eine Lösung für unser Ungleichungssystem, da seine Substitution in die Ungleichungen des Systems zwei korrekte numerische Ungleichungen 8>7 und 2−3 8≤0 ergibt. Im Gegenteil, die Einheit ist keine Lösung des Systems, denn wenn sie die Variable x ersetzt, wird die erste Ungleichung zu einer falschen numerischen Ungleichung 1>7 .

In ähnlicher Weise können wir die Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen mit zwei, drei oder mehr Variablen einführen:

Definition.

Lösen eines Systems von Ungleichungen mit zwei, drei usw. Variablen genannt ein Paar, Tripel usw. Werte dieser Variablen, was gleichzeitig eine Lösung für jede Ungleichung des Systems ist, das heißt, es verwandelt jede Ungleichung des Systems in eine echte numerische Ungleichung.

Beispielsweise ist ein Wertepaar x=1 , y=2 , oder in einer anderen Notation (1, 2) eine Lösung für ein Ungleichungssystem mit zwei Variablen, da 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systeme von Ungleichungen können keine Lösungen haben, können eine endliche Anzahl von Lösungen haben oder können unendlich viele Lösungen haben. Man spricht oft von einer Menge von Lösungen für ein System von Ungleichungen. Wenn ein System keine Lösungen hat, dann gibt es eine leere Menge seiner Lösungen. Wenn es endlich viele Lösungen gibt, dann enthält die Lösungsmenge endlich viele Elemente, und wenn es unendlich viele Lösungen gibt, dann besteht die Lösungsmenge aus unendlich vielen Elementen.

Einige Quellen führen Definitionen einer bestimmten und allgemeinen Lösung für ein System von Ungleichungen ein, wie zum Beispiel in Mordkovichs Lehrbüchern. Unter eine bestimmte Lösung für das System der Ungleichungen verstehe seine eine einzige Lösung. Wiederum allgemeine Lösung des Systems der Ungleichungen- das sind alles ihre privaten Entscheidungen. Sinnvoll sind diese Begriffe allerdings nur, wenn betont werden soll, um welche Lösung es sich handelt, was aber meist schon aus dem Kontext klar wird, daher ist es viel gebräuchlicher, einfach „Lösung eines Systems von Ungleichungen“ zu sagen.

Aus den in diesem Artikel eingeführten Definitionen eines Ungleichungssystems und seiner Lösungen folgt, dass die Lösung eines Ungleichungssystems der Schnittpunkt der Lösungsmengen aller Ungleichungen dieses Systems ist.

Referenzliste.

1. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkowitsch A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. BENUTZEN-2013. Mathematik: typische Prüfungsoptionen: 30 Optionen / Ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Verlag "National Education", 2012. - 192 p. - (USE-2013. FIPI - Schule).

Lösen einer Ungleichung mit zwei Variablen, und noch mehr Systeme von Ungleichungen mit zwei Variablen, scheint eine ziemliche Herausforderung zu sein. Es gibt jedoch einen einfachen Algorithmus, der hilft, scheinbar sehr komplexe Probleme dieser Art einfach und mühelos zu lösen. Versuchen wir es herauszufinden.

Angenommen, wir haben eine Ungleichung mit zwei Variablen eines der folgenden Typen:

y > f(x); y ≥ f(x); j< f(x); y ≤ f(x).

Um die Menge der Lösungen einer solchen Ungleichung auf der Koordinatenebene darzustellen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Wir bauen einen Graphen der Funktion y = f(x), der die Ebene in zwei Bereiche teilt.

2. Wir wählen einen der erhaltenen Bereiche aus und betrachten einen beliebigen Punkt darin. Wir prüfen die Erfüllbarkeit der ursprünglichen Ungleichung für diesen Punkt. Wenn als Ergebnis der Überprüfung eine korrekte numerische Ungleichung erhalten wird, schließen wir daraus, dass die ursprüngliche Ungleichung im gesamten Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt gehört, erfüllt ist. Somit ist die Menge der Lösungen der Ungleichung der Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt gehört. Wenn als Ergebnis der Überprüfung eine falsche numerische Ungleichung erhalten wird, dann wird die Lösungsmenge der Ungleichung der zweite Bereich sein, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.

3. Wenn die Ungleichung streng ist, werden die Grenzen des Bereichs, dh die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), nicht in die Lösungsmenge aufgenommen und die Grenze wird als gepunktete Linie dargestellt. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, sind die Grenzen des Bereichs, dh die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), in der Lösungsmenge dieser Ungleichung enthalten, und in diesem Fall ist die Grenze als durchgezogene Linie dargestellt.
Sehen wir uns nun einige Probleme zu diesem Thema an.

Aufgabe 1.

Welche Menge von Punkten ist durch die Ungleichung x gegeben · y ≤ 4?

Entscheidung.

1) Wir bauen einen Graphen der Gleichung x · y = 4. Dazu transformieren wir ihn zunächst. Offensichtlich wird x in diesem Fall nicht zu 0, da sonst 0 · y = 4 wäre, was nicht stimmt. Also können wir unsere Gleichung durch x teilen. Wir erhalten: y = 4/x. Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel. Es teilt die gesamte Ebene in zwei Bereiche: den zwischen den beiden Ästen der Hyperbel und den außerhalb davon.

2) Wir wählen einen beliebigen Punkt aus der ersten Region, sei es der Punkt (4; 2).
Überprüfung der Ungleichung: 4 2 ≤ 4 ist falsch.

Das bedeutet, dass die Punkte dieser Region die ursprüngliche Ungleichung nicht erfüllen. Dann können wir schlussfolgern, dass die Menge der Lösungen der Ungleichung der zweite Bereich sein wird, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.

3) Da die Ungleichung nicht streng ist, zeichnen wir die Randpunkte, also die Punkte des Graphen der Funktion y = 4/x, mit einer durchgezogenen Linie.

Lassen Sie uns die Menge von Punkten, die die ursprüngliche Ungleichung definiert, mit gelber Farbe einfärben (Abb. 1).

Aufgabe 2.

Zeichnen Sie den vom System definierten Bereich auf der Koordinatenebene
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Entscheidung.

Wir bauen zunächst Graphen der folgenden Funktionen (Abb. 2):

y \u003d x 2 + 2 - Parabel,

y + x = 1 - Gerade

x 2 + y 2 \u003d 9 ist ein Kreis.

1) y > x 2 + 2.

Wir nehmen den Punkt (0; 5), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Überprüfung der Ungleichung: 5 > 0 2 + 2 ist wahr.

Daher erfüllen alle Punkte, die oberhalb der gegebenen Parabel y = x 2 + 2 liegen, die erste Ungleichung des Systems. Färben wir sie gelb.

2) y + x > 1.

Wir nehmen den Punkt (0; 3), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Überprüfung der Ungleichung: 3 + 0 > 1 ist wahr.

Daher erfüllen alle Punkte, die oberhalb der Linie y + x = 1 liegen, die zweite Ungleichung des Systems. Färben wir sie grün.

3) x2 + y2 ≤ 9.

Wir nehmen einen Punkt (0; -4), der außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegt.
Überprüfung der Ungleichung: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 ist falsch.

Daher sind alle außerhalb des Kreises liegenden Punkte x 2 + y 2 = 9, erfüllen nicht die dritte Ungleichung des Systems. Dann können wir schlussfolgern, dass alle innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegenden Punkte die dritte Ungleichung des Systems erfüllen. Malen wir sie mit violetter Schattierung.

Vergessen Sie nicht, dass bei einer strengen Ungleichung die entsprechende Grenzlinie mit einer gepunkteten Linie gezeichnet werden sollte. Wir erhalten folgendes Bild (Abb. 3).

(Abb. 4).

Aufgabe 3.

Zeichnen Sie die vom System definierte Fläche auf der Koordinatenebene ein:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x2 + y2 ≥ 4.

Entscheidung.

Zunächst erstellen wir Graphen der folgenden Funktionen:

x 2 + y 2 \u003d 16 - Kreis,

x \u003d -y - gerade

x 2 + y 2 \u003d 4 - Kreis (Abb. 5).

Nun behandeln wir jede Ungleichung separat.

1) x2 + y2 ≤ 16.

Wir nehmen den Punkt (0; 0), der innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 16 liegt.
Überprüfung der Ungleichung: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 ist richtig.

Daher erfüllen alle innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 16 liegenden Punkte die erste Ungleichung des Systems.
Färben wir sie rot.

Wir nehmen den Punkt (1; 1), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Wir prüfen die Ungleichung: 1 ≥ -1 - wahr.

Daher erfüllen alle Punkte, die oberhalb der Geraden x = -y liegen, die zweite Ungleichung des Systems. Färben wir sie blau.

3) x2 + y2 ≥ 4.

Wir nehmen den Punkt (0; 5), der außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 4 liegt.
Wir prüfen die Ungleichung: 0 2 + 5 2 ≥ 4 ist richtig.

Daher erfüllen alle Punkte außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 4 die dritte Ungleichung des Systems. Färben wir sie blau.

Bei diesem Problem sind alle Ungleichungen nicht streng, was bedeutet, dass wir alle Grenzen mit einer durchgezogenen Linie ziehen. Wir erhalten folgendes Bild (Abb. 6).

Der interessierende Bereich ist der Bereich, in dem sich alle drei farbigen Bereiche schneiden. (Abb. 7).

Haben Sie irgendwelche Fragen? Nicht sicher, wie man ein Ungleichungssystem mit zwei Variablen löst?
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Das System der Ungleichheiten.
Beispiel 1. Finden Sie den Gültigkeitsbereich eines Ausdrucks
Entscheidung. Unter dem Quadratwurzelzeichen muss eine nicht negative Zahl stehen, was bedeutet, dass zwei Ungleichungen gleichzeitig gelten müssen: In solchen Fällen wird das Problem auf die Lösung des Systems der Ungleichungen reduziert

Aber wir sind noch nicht auf ein solches mathematisches Modell (System von Ungleichungen) gestoßen. Das bedeutet, dass wir die Lösung des Beispiels noch nicht abschließen können.

Die Ungleichungen, die ein System bilden, werden mit einer geschweiften Klammer verbunden (dasselbe gilt für Gleichungssysteme). Zum Beispiel der Eintrag

bedeutet, dass die Ungleichungen 2x - 1 > 3 und 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Manchmal wird das Ungleichungssystem als doppelte Ungleichung geschrieben. Zum Beispiel das System der Ungleichheiten

kann als doppelte Ungleichung 3 geschrieben werden<2х-1<11.

Im Algebrakurs der 9. Klasse werden wir nur Systeme von zwei Ungleichungen betrachten.

Betrachten Sie das System der Ungleichheiten

Sie können mehrere seiner speziellen Lösungen aufgreifen, zum Beispiel x = 3, x = 4, x = 3,5. Tatsächlich hat für x = 3 die erste Ungleichung die Form 5 > 3 und die zweite die Form 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Gleichzeitig ist der Wert x = 5 keine Lösung des Ungleichungssystems. Für x = 5 nimmt die erste Ungleichung die Form 9 > 3 an – die korrekte numerische Ungleichung, und die zweite – die Form 13< 11- неверное числовое неравенство .
Ein System von Ungleichungen zu lösen bedeutet, alle seine speziellen Lösungen zu finden. Es ist klar, dass ein solches Raten, wie es oben gezeigt wurde, keine Methode zum Lösen eines Systems von Ungleichungen ist. Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man üblicherweise argumentiert, wenn man ein System von Ungleichungen löst.

Beispiel 3 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Entscheidung.

a) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir 2x > 4, x > 2; Lösen wir die zweite Ungleichung des Systems, finden wir Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x > 2; Lösung der zweiten Ungleichung des Systems finden wir Wir markieren diese Lücken auf einer Koordinatenlinie, indem wir die obere Schraffur für die erste Lücke und die untere Schraffur für die zweite verwenden (Abb. 23). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Im betrachteten Beispiel erhalten wir einen Strahl

in) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Lassen Sie uns die im betrachteten Beispiel durchgeführte Überlegung verallgemeinern. Angenommen, wir müssen ein System von Ungleichungen lösen

Sei zum Beispiel das Intervall (a, b) die Lösung der Ungleichung fx 2 > g (x) und das Intervall (c, d) die Lösung der Ungleichung f 2 (x) > s 2 (x ). Wir markieren diese Lücken auf einer Koordinatenlinie, indem wir die obere Schraffur für die erste Lücke und die untere Schraffur für die zweite verwenden (Abb. 25). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Auf Abb. 25 ist das Intervall (s, b).

Jetzt können wir das Ungleichungssystem, das wir oben in Beispiel 1 erhalten haben, leicht lösen:

Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x > 2; Wenn wir die zweite Ungleichung des Systems lösen, finden wir x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Natürlich muss das Ungleichungssystem nicht wie bisher aus linearen Ungleichungen bestehen; jede rationale (und nicht nur rationale) Ungleichheit kann auftreten. Technisch gesehen ist es natürlich schwieriger, mit einem System rationaler nichtlinearer Ungleichungen zu arbeiten, aber es ist nichts grundlegend Neues (im Vergleich zu Systemen linearer Ungleichungen).

Beispiel 4 Lösen Sie das System der Ungleichungen

Entscheidung.

1) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Beachten Sie die Punkte -3 und 3 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 27). Sie teilen die Linie in drei Intervalle, und in jedem Intervall behält der Ausdruck p (x) = (x - 3) (x + 3) ein konstantes Vorzeichen - diese Vorzeichen sind in Abb. 27. Uns interessieren die Intervalle, in denen die Ungleichung p(x) > 0 erfüllt ist (sie sind in Abb. 27 schraffiert), und die Punkte, in denen die Gleichheit p(x) = 0 erfüllt ist, d. h. Punkte x \u003d -3, x \u003d 3 (sie sind in Abb. 2 7 mit dunklen Kreisen markiert). So in Abb. 27 zeigt ein geometrisches Modell zum Lösen der ersten Ungleichung.

2) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Beachten Sie die Punkte 0 und 5 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 28). Sie teilen die Linie in drei Intervalle und in jedem Intervall den Ausdruck<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (in Fig. 28 schraffiert), und die Punkte, an denen die Gleichheit g (x) - O erfüllt ist, d. h. Punkte x = 0, x = 5 (sie sind in Abb. 28 durch dunkle Kreise markiert). So in Abb. 28 zeigt ein geometrisches Modell zum Lösen der zweiten Ungleichung des Systems.

3) Wir markieren die gefundenen Lösungen für die erste und zweite Ungleichung des Systems auf derselben Koordinatenlinie, wobei wir die obere Schraffur für die Lösungen der ersten Ungleichung und die untere Schraffur für die Lösungen der zweiten verwenden (Abb. 29). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Ein solches Intervall ist ein Segment.

Beispiel 5 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Entscheidung:

a) Aus der ersten Ungleichung finden wir x > 2. Betrachten Sie die zweite Ungleichung. Das quadratische Trinom x 2 + x + 2 hat keine reellen Wurzeln, und sein führender Koeffizient (der Koeffizient bei x 2) ist positiv. Das bedeutet, dass für alle x die Ungleichung x 2 + x + 2 > 0 erfüllt ist und daher die zweite Ungleichung des Systems keine Lösungen hat. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass das System keine Lösungen hat.

b) Aus der ersten Ungleichung finden wir x > 2, und die zweite Ungleichung gilt für alle Werte von x. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass seine Lösung die Form x>2 hat, d.h. fällt mit der Lösung der ersten Ungleichung zusammen.

Antworten:

a) es gibt keine Entscheidungen; b) x>2.

Dieses Beispiel ist zur Veranschaulichung für das Folgende nützlich

1. Wenn in einem System von mehreren Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung keine Lösungen hat, dann hat das System keine Lösungen.

2. Wenn in einem System aus zwei Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung für beliebige Werte der Variablen erfüllt ist, dann ist die Lösung des Systems die Lösung der zweiten Ungleichung des Systems.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Abschnitts auf das Problem der zu Beginn gegebenen gedachten Zahl zurückkommen und es, wie sie sagen, nach allen Regeln lösen.

Beispiel 2(siehe S. 29). Denken Sie an eine natürliche Zahl. Es ist bekannt, dass, wenn 13 zum Quadrat der gedachten Zahl addiert wird, die Summe größer ist als das Produkt aus der gedachten Zahl und der Zahl 14. Wenn 45 zum Quadrat der gedachten Zahl addiert wird, wird die Summe kleiner sein als das Produkt aus der gedachten Zahl und der Zahl 18. Welche Zahl wird gedacht?

Entscheidung.

Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells.
Die beabsichtigte Zahl x muss, wie wir oben gesehen haben, dem Ungleichungssystem genügen

Zweite Phase. Arbeiten mit dem kompilierten mathematischen Modell Lassen Sie uns die erste Ungleichung des Systems in die Form umwandeln
x2- 14x+ 13 > 0.

Lassen Sie uns die Wurzeln des Trinoms x 2 - 14x + 13 finden: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Unter Verwendung der Parabel y \u003d x 2 - 14x + 13 (Abb. 30) schließen wir, dass die Ungleichung von Interesse für uns ist für x erfüllt< 1 или x > 13.

Lassen Sie uns die zweite Ungleichung des Systems in die Form x2 - 18 2 + 45 umwandeln< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Schauen wir uns Beispiele an, wie man ein System linearer Ungleichungen löst.

4x - 19 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Um ein System zu lösen, wird jede seiner konstituierenden Ungleichungen benötigt. Es wird nur die Entscheidung getroffen, nicht getrennt, sondern zusammen aufzuschreiben und sie mit einer geschweiften Klammer zu kombinieren.

In jeder der Ungleichungen des Systems übertragen wir die Unbekannten auf die eine Seite, die Bekannten auf die andere mit umgekehrtem Vorzeichen:

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Nach der Vereinfachung müssen beide Teile der Ungleichung durch die Zahl vor dem x dividiert werden. Wir dividieren die erste Ungleichung durch eine positive Zahl, damit sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht ändert. Wir dividieren die zweite Ungleichung durch eine negative Zahl, also muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden:

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Wir markieren die Lösung von Ungleichungen auf den Zahlenstrahlen:

Als Antwort schreiben wir den Schnittpunkt der Lösungen auf, dh den Teil, an dem sich die Schattierung auf beiden Linien befindet.

Antwort: x∈[-2;1).

Lassen Sie uns den Bruch in der ersten Ungleichung loswerden. Dazu multiplizieren wir beide Teile Glied für Glied mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 2. Bei der Multiplikation mit einer positiven Zahl ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht.

Öffne die Klammern in der zweiten Ungleichung. Das Produkt aus Summe und Differenz zweier Ausdrücke ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Ausdrücke. Auf der rechten Seite ist das Quadrat der Differenz zwischen den beiden Ausdrücken.

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Wir übertragen die Unbekannten auf die eine Seite, die Bekannten auf die andere mit umgekehrtem Vorzeichen und vereinfachen:

Teilen Sie beide Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem x. Bei der ersten Ungleichung dividieren wir durch eine negative Zahl, das Vorzeichen der Ungleichung wird also umgekehrt. Im zweiten dividieren wir durch eine positive Zahl, das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht:

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Beide Ungleichungen sind mit „kleiner als“ gekennzeichnet (es ist nicht unbedingt erforderlich, dass ein Zeichen streng „kleiner als“, das andere nicht streng „kleiner oder gleich“ ist). Wir können nicht beide Lösungen markieren, sondern die Regel "" verwenden. Die kleinste ist 1, daher reduziert sich das System auf die Ungleichung

Wir markieren seine Lösung auf dem Zahlenstrahl:

Antwort: x∈(-∞;1).

Wir öffnen die Klammern. In der ersten Ungleichung - . Es ist gleich der Summe der Kubikzahlen dieser Ausdrücke.

Im zweiten - das Produkt der Summe und der Differenz zweier Ausdrücke, das gleich der Differenz der Quadrate ist. Da hier vor den Klammern ein Minuszeichen steht, ist es besser, sie in zwei Schritten zu öffnen: Verwenden Sie zuerst die Formel und öffnen Sie erst dann die Klammern, wobei Sie das Vorzeichen jedes Begriffs in das Gegenteil ändern.

Wir übertragen die Unbekannten auf die eine Seite, die Bekannten auf die andere mit umgekehrtem Vorzeichen:

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Beide sind größer als Zeichen. Mit der Mehr-als-mehr-Regel reduzieren wir das System der Ungleichungen auf eine Ungleichung. Die größere der beiden Zahlen ist also 5

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Wir markieren die Lösung der Ungleichung auf einem Zahlenstrahl und schreiben die Lösung auf:

Antwort: x∈(5;∞).

Da Systeme linearer Ungleichungen in der Algebra nicht nur als eigenständige Aufgaben, sondern auch im Zuge des Lösens verschiedenster Arten von Gleichungen, Ungleichungen etc. vorkommen, ist es wichtig, sich rechtzeitig mit diesem Thema auseinanderzusetzen.

Das nächste Mal werden wir Beispiele für die Lösung von Systemen linearer Ungleichungen in speziellen Fällen betrachten, in denen eine der Ungleichungen keine Lösung hat oder ihre Lösung eine beliebige Zahl ist.

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