Quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung- algebraische Gleichung allgemeiner Form

wobei x eine freie Variable ist,

a, b, c sind Koeffizienten und

Ausdruck wird als quadratisches Trinom bezeichnet.

Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 10x - 24 = 0. Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 6x - 7 = 0. Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x 2 + 6x in folgender Form:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mit 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 3 2 addieren, da

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

x 2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 3 2. Wir haben:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 oder x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

b 2 - 4ac >0, Die gleichung Axt 2 + bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. b 2 - 4ac = 0, dann die Gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat eine einzelne Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. b 2 - 4ac< 0 , Die gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Gleichungen mit dem Satz von Vieta lösen.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

x 2 + px + c = 0.(1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( q > 0), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Und x 2 = 1, als q = 2 > 0 Und p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Und x 2 = - 1, als q = 7 > 0 Und p= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q< 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P< 0 , oder negativ wenn p > 0 .

Zum Beispiel,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Und x 2 = 1, als q= - 5< 0 Und p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Und x 2 = - 1, als q = - 9< 0 Und p = - 8< 0.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient b = 2k eine gerade Zahl ist, dann ist die Wurzelformel

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

IN. Reduzierte Gleichung

x 2 + px + q= 0

stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p Und c = q. Daher lautet die Wurzelformel für die reduzierte quadratische Gleichung

Nimmt die Form an:

Formel (3) ist besonders praktisch, wenn R- gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben: x 1,2 =7±

Antwort: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METHODE: Gleichungen grafisch lösen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x2 - 2x - 3 = 0.

Zeichnen wir die Funktion y = x2 - 2x - 3

1) Wir haben: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1; -4) und die Achse der Parabel die Gerade x = 1 ist.

2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Punkte x = -1 und x = 3.

Wir haben f(-1) = f(3) = 0. Konstruieren wir die Punkte (-1; 0) und (3; 0) auf der Koordinatenebene.

3) Durch die Punkte (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 68).

Die Wurzeln der Gleichung x2 - 2x - 3 = 0 sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: x1 = - 1, x2 - 3.

Erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften von Graden. Seien a > 0, b > 0, n, m beliebige reelle Zahlen. Dann
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, wenn a > 1, n > 0

8) ein n 1, n
9) a n > a m wenn 0

In der Praxis werden häufig Funktionen der Form y = a x verwendet, wobei a eine gegebene positive Zahl und x eine Variable ist. Solche Funktionen werden aufgerufen indikativ. Dieser Name erklärt sich aus der Tatsache, dass das Argument der Exponentialfunktion der Exponent ist und die Basis des Exponenten die gegebene Zahl ist.

Definition. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form y = a x, wobei a eine gegebene Zahl ist, a > 0, \(a \neq 1\)

Die Exponentialfunktion hat die folgenden Eigenschaften

1) Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist die Menge aller reellen Zahlen.
Diese Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dass die Potenz a x mit a > 0 für alle reellen Zahlen x definiert ist.

2) Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist die Menge aller positiven Zahlen.
Um dies zu überprüfen, müssen Sie zeigen, dass die Gleichung a x = b, wobei a > 0, \(a \neq 1\), keine Wurzeln hat, wenn \(b \leq 0\) und eine Wurzel für jedes b > hat 0 .

3) Die Exponentialfunktion y = a x steigt auf der Menge aller reellen Zahlen, wenn a > 1, und sinkt, wenn 0. Dies folgt aus den Eigenschaften des Grades (8) und (9).

Konstruieren wir Graphen von Exponentialfunktionen y = a x für a > 0 und für 0. Anhand der betrachteten Eigenschaften stellen wir fest, dass der Graph der Funktion y = a x für a > 0 durch den Punkt (0; 1) verläuft und darüber liegt die Ox-Achse.
Wenn x 0.
Wenn x > 0 und |x| zunimmt, steigt die Grafik schnell an.

Graph der Funktion y = a x bei 0 Wenn x > 0 und zunimmt, dann nähert sich der Graph schnell der Ox-Achse (ohne diese zu kreuzen). Somit ist die Ox-Achse die horizontale Asymptote des Diagramms.
Wenn x

Exponentialgleichungen

Betrachten wir einige Beispiele für Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Bei der Lösung von Exponentialgleichungen geht es oft darum, die Gleichung a x = a b zu lösen, wobei a > 0, \(a \neq 1\) und x eine Unbekannte ist. Diese Gleichung wird mithilfe der Potenzeigenschaft gelöst: Potenzen mit derselben Basis a > 0, \(a \neq 1\) sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.

Lösen Sie Gleichung 2 3x 3 x = 576
Da 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kann die Gleichung als 8 x 3 x = 24 2 oder als 24 x = 24 2 geschrieben werden, woraus x = 2 ist.
Antwort x = 2

Lösen Sie die Gleichung 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Wenn wir den gemeinsamen Faktor 3 x - 2 aus den Klammern auf der linken Seite nehmen, erhalten wir 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
daher 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Antwort x = 2

Lösen Sie die Gleichung 3 x = 7 x
Da \(7^x \neq 0 \) kann die Gleichung in der Form \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) geschrieben werden, woraus \(\left(\frac(3 )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Antwort x = 0

Lösen Sie die Gleichung 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Durch Ersetzen von 3 x = t wird diese Gleichung auf die quadratische Gleichung t 2 - 4t - 45 = 0 reduziert. Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln: t 1 = 9, t 2 = -5, woraus 3 x = 9, 3 x = -5 .
Die Gleichung 3 x = 9 hat eine Wurzel x = 2 und die Gleichung 3 x = -5 hat keine Wurzeln, da die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen kann.
Antwort x = 2

Lösen Sie Gleichung 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Schreiben wir die Gleichung in das Formular
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, daher
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Antwort x = 2

Lösen Sie Gleichung 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Da 3 > 0, \(3 \neq 1\), dann ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zur Gleichung |x-1| = |x+3|
Durch Quadrieren dieser Gleichung erhalten wir ihre Folgerung (x - 1) 2 = (x + 3) 2, woraus
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Die Überprüfung zeigt, dass x = -1 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
Antwort x = -1

Das Kabel LSV 2-7 16x0,12 gehört zu den Bandqualitäten, die erfolgreich für die geräteinterne und geräteübergreifende Installation von elektrischen und radioelektronischen Geräten eingesetzt werden, die in Stromnetzen mit 350 V Gleichstrom oder 250 V betrieben werden Wechselspannung mit Frequenzen bis 50 Hz. Die Hardware-Installation erfolgt unter Beteiligung verschiedener Arten von Steckverbindern, dem Einsatz von Crimp- und Kontaktverbindern, bei denen die Isolierung durch Löten durchstoßen werden kann, sowie Klebstoffen und Lacken, die die Isolierung nicht angreifen. Die Isolierung wird nicht beeinträchtigt, wenn die Adern durch eine Brücke getrennt werden. Die Marke hält dem Einfluss von Sinusvibrationen, akustischen Geräuschen, linearer Beschleunigung sowie einzelnen und mehreren mechanischen Stößen perfekt stand.

Erklärung zur Kennzeichnung LSV 2-7 16x0,12:

• L - Band
• S - seriell
• B - PVC-Isolierung

Strukturelemente des Kabels LSV 2-7 16x0,12

1. Eindrähtiger Innenleiter aus verzinntem Kupfer
2. Polymer-PVC-Isolierung

Technische Parameter des Kabels LSV 2-7 16x0,12

Zertifikate und Garantien

I. Axt 2 =0 – unvollständig quadratische Gleichung (b=0, c=0 ). Lösung: x=0. Antwort: 0.

Gleichungen lösen.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Lösung.Öffnen wir die Klammern durch Multiplikation 2x für jeden Begriff in Klammern:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Wir verschieben die Begriffe von rechts nach links:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Hier sind ähnliche Begriffe:

3x 2 =0, also x=0.

Antwort: 0.

II. Axt 2 +bx=0 –unvollständig quadratische Gleichung (c=0 ). Lösung: x (ax+b)=0 → x 1 =0 oder ax+b=0 → x 2 =-b/a. Antwort: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Lösung. Lassen Sie uns den gemeinsamen Faktor herausnehmen X außerhalb der Klammern:

x(5x-26)=0; Jeder Faktor kann gleich Null sein:

x=0 oder 5x-26=0→ 5x=26, dividiere beide Seiten der Gleichheit durch 5 und wir erhalten: x=5,2.

Antwort: 0; 5,2.

Beispiel 3. 64x+4x 2 =0.

Lösung. Lassen Sie uns den gemeinsamen Faktor herausnehmen 4x außerhalb der Klammern:

4x(16+x)=0. Wir haben also drei Faktoren, 4≠0, oder x=0 oder 16+x=0. Aus der letzten Gleichheit erhalten wir x=-16.

Antwort: -16; 0.

Beispiel 4.(x-3) 2 +5x=9.

Lösung. Wenn wir die Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke anwenden, öffnen wir die Klammern:

x 2 -6x+9+5x=9; in die Form transformieren: x 2 -6x+9+5x-9=0; Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen:

x 2 -x=0; wir nehmen es raus X Außerhalb der Klammern erhalten wir: x (x-1)=0. Von hier bzw x=0 oder x-1=0→ x=1.

Antwort: 0; 1.

III. Axt 2 +c=0 –unvollständig quadratische Gleichung (b=0 ); Lösung: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Wenn (-c/a)<0 , dann gibt es keine wirklichen Wurzeln. Wenn (-с/а)>0

Beispiel 5. x 2 -49=0.

Lösung.

x 2 =49, von hier x=±7. Antwort:-7; 7.

Beispiel 6. 9x 2 -4=0.

Lösung.

Oft muss man die Summe der Quadrate (x 1 2 +x 2 2) oder die Summe der Kubikzahlen (x 1 3 +x 2 3) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ermitteln, seltener – die Summe der Kehrwerte ​der Quadrate der Wurzeln oder die Summe der arithmetischen Quadratwurzeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung:

Der Satz von Vieta kann dabei helfen:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Lassen Sie uns ausdrücken durch P Und Q:

1) Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung x 2 +px+q=0;

2) Summe der Kuben der Wurzeln der Gleichung x 2 +px+q=0.

Lösung.

1) Ausdruck x 1 2 +x 2 2 erhält man durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; Öffne die Klammern: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; Wir drücken den erforderlichen Betrag aus: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Wir haben eine nützliche Gleichheit: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Ausdruck x 1 3 +x 2 3 Stellen wir die Summe der Würfel mit der Formel dar:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Eine weitere nützliche Gleichung: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Beispiele.

3) x 2 -3x-4=0. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks, ohne die Gleichung zu lösen x 1 2 +x 2 2.

Lösung.

x 1 +x 2 =-p=3, und die Arbeit x 1 ∙x 2 =q=im Beispiel 1) Gleichwertigkeit:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Wir haben -P=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Dann x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Antwort: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Berechnen Sie: x 1 3 +x 2 3 .

Lösung.

Nach dem Satz von Vieta beträgt die Summe der Wurzeln dieser reduzierten quadratischen Gleichung x 1 +x 2 =-p=2, und die Arbeit x 1 ∙x 2 =q=-4. Wenden wir an, was wir erhalten haben ( im Beispiel 2) Gleichwertigkeit: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Antwort: x 1 3 +x 2 3 =32.

Frage: Was wäre, wenn wir eine nichtreduzierte quadratische Gleichung erhalten würden? Antwort: Es kann immer „reduziert“ werden, indem Term für Term durch den ersten Koeffizienten dividiert wird.

5) 2x 2 -5x-7=0. Berechnen Sie, ohne sich zu entscheiden: x 1 2 +x 2 2.

Lösung. Wir erhalten eine vollständige quadratische Gleichung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch 2 (den ersten Koeffizienten) und erhalten Sie die folgende quadratische Gleichung: x 2 -2,5x-3,5=0.

Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Wurzeln gleich 2,5 ; das Produkt der Wurzeln ist gleich -3,5 .

Wir lösen es auf die gleiche Weise wie im Beispiel 3) unter Verwendung der Gleichheit: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Antwort: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Finden:

Lassen Sie uns diese Gleichheit transformieren und mithilfe des Satzes von Vieta die Summe der Wurzeln durch ersetzen -P und das Produkt der Wurzeln durch Q erhalten wir eine weitere nützliche Formel. Bei der Ableitung der Formel haben wir Gleichung 1) verwendet: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

In unserem Beispiel x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Wir setzen diese Werte in die resultierende Formel ein:

7) x 2 -13x+36=0. Finden:

Lassen Sie uns diese Summe transformieren und eine Formel erhalten, mit der Sie die Summe der arithmetischen Quadratwurzeln aus den Wurzeln einer quadratischen Gleichung ermitteln können.

Wir haben x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Wir setzen diese Werte in die resultierende Formel ein:

Beratung : Prüfen Sie immer die Möglichkeit, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit einer geeigneten Methode zu finden, denn 4 überprüft nützliche Formeln ermöglichen es Ihnen, eine Aufgabe schnell zu erledigen, insbesondere in Fällen, in denen die Diskriminante eine „unbequeme“ Zahl ist. Finden Sie in allen einfachen Fällen die Wurzeln und operieren Sie sie. Im letzten Beispiel wählen wir beispielsweise die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta aus: Die Summe der Wurzeln sollte gleich sein 13 und das Produkt der Wurzeln 36 . Was sind das für Zahlen? Sicherlich, 4 und 9. Berechnen Sie nun die Summe der Quadratwurzeln dieser Zahlen: 2+3=5. Das ist es!

I. Satz von Vieta für die reduzierte quadratische Gleichung.

Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Finden Sie die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.

Beispiel 1) x 2 -x-30=0. Dies ist die reduzierte quadratische Gleichung ( x 2 +px+q=0), zweiter Koeffizient p=-1, und das freie Mitglied q=-30. Stellen wir zunächst sicher, dass diese Gleichung Wurzeln hat und dass die Wurzeln (falls vorhanden) in ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Dazu reicht es aus, dass die Diskriminante ein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist.

Die Diskriminante finden D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nun muss nach dem Satz von Vieta die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten sein, der mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wird, d. h. ( -P), und das Produkt ist gleich dem freien Term, d.h. ( Q). Dann:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Wir müssen zwei Zahlen wählen, deren Produkt gleich ist -30 , und der Betrag ist Einheit. Das sind Zahlen -5 Und 6 . Antwort: -5; 6.

Beispiel 2) x 2 +6x+8=0. Wir haben die reduzierte quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten p=6 und kostenloses Mitglied q=8. Stellen wir sicher, dass es ganzzahlige Wurzeln gibt. Finden wir die Diskriminante D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Die Diskriminante D 1 ist das perfekte Quadrat der Zahl 1 , was bedeutet, dass die Wurzeln dieser Gleichung ganze Zahlen sind. Wählen wir die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta aus: Die Summe der Wurzeln ist gleich –ð=-6, und das Produkt der Wurzeln ist gleich q=8. Das sind Zahlen -4 Und -2 .

Tatsächlich: -4-2=-6=-ð; -4∙(-2)=8=q. Antwort: -4; -2.

Beispiel 3) x 2 +2x-4=0. In dieser reduzierten quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient p=2, und das freie Mitglied q=-4. Finden wir die Diskriminante D 1, da der zweite Koeffizient eine gerade Zahl ist. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat der Zahl, also tun wir es Abschluss: Die Wurzeln dieser Gleichung sind keine ganzen Zahlen und können nicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden. Das heißt, wir lösen diese Gleichung wie gewohnt mit den Formeln (in diesem Fall mit den Formeln). Wir bekommen:

Beispiel 4). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln if x 1 =-7, x 2 =4.

Lösung. Die erforderliche Gleichung wird in der Form geschrieben: x 2 +px+q=0, und, basierend auf dem Satz von Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Dann nimmt die Gleichung die Form an: x 2 +3x-28=0.

Beispiel 5). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln, wenn:

II. Satz von Vieta für eine vollständige quadratische Gleichung Axt 2 +bx+c=0.

Die Summe der Wurzeln ist minus B, geteilt durch A, das Produkt der Wurzeln ist gleich Mit, geteilt durch A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Beispiel 6). Finden Sie die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 2x 2 -7x-11=0.

Lösung.

Wir stellen sicher, dass diese Gleichung Wurzeln hat. Dazu reicht es aus, einen Ausdruck für die Diskriminante zu erstellen und, ohne ihn zu berechnen, einfach sicherzustellen, dass die Diskriminante größer als Null ist. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Jetzt lasst uns verwenden Satz Vieta für vollständige quadratische Gleichungen.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Beispiel 7). Finden Sie das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 3x 2 +8x-21=0.

Lösung.

Finden wir die Diskriminante D 1, da der zweite Koeffizient ( 8 ) ist eine gerade Zahl. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Die quadratische Gleichung hat 2 Wurzel, nach dem Satz von Vieta, das Produkt von Wurzeln x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– allgemeine quadratische Gleichung

Diskriminant D=b 2 - 4ac.

Wenn D>0, dann haben wir zwei echte Wurzeln:

Wenn D=0, dann haben wir eine einzelne Wurzel (oder zwei gleiche Wurzeln) x=-b/(2a).

Wenn D<0, то действительных корней нет.

Beispiel 1) 2x 2 +5x-3=0.

Lösung. A=2; B=5; C=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 echte Wurzeln.

4x 2 +21x+5=0.

Lösung. A=4; B=21; C=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 echte Wurzeln.

II. Axt 2 +bx+c=0 – quadratische Gleichung besonderer Form mit gerader Sekunde

Koeffizient B

Beispiel 3) 3x 2 -10x+3=0.

Lösung. A=3; B=-10 (gerade Zahl); C=3.

Beispiel 4) 5x 2 -14x-3=0.

Lösung. A=5; B= -14 (gerade Zahl); C=-3.

Beispiel 5) 71x 2 +144x+4=0.

Lösung. A=71; B=144 (gerade Zahl); C=4.

Beispiel 6) 9x 2 -30x+25=0.

Lösung. A=9; B=-30 (gerade Zahl); C=25.

III. Axt 2 +bx+c=0 – quadratische Gleichung privater Typ bereitgestellt: a-b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer gleich minus eins und die zweite Wurzel ist immer gleich minus Mit, geteilt durch A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Beispiel 7) 2x 2 +9x+7=0.

Lösung. A=2; B=9; C=7. Überprüfen wir die Gleichheit: a-b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Antwort: -1; -3,5.

IV. Axt 2 +bx+c=0 – quadratische Gleichung einer bestimmten Form, abhängig von : a+b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer gleich eins und die zweite Wurzel ist gleich Mit, geteilt durch A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Beispiel 8) 2x 2 -9x+7=0.

Lösung. A=2; B=-9; C=7. Überprüfen wir die Gleichheit: a+b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Antwort: 1; 3,5.

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Es besteht darin, dass mit starken Stahlrahmen verstärkter Beton ein hochfester Baustoff ist und keinen zahlreichen Umwelteinflüssen ausgesetzt ist, weshalb die Konstruktion des Fundaments einer Freileitungsstütze in der Lage ist, Stahl und Bewehrung zu tragen Beton-Stromleitungsstützen über Jahrzehnte ohne die Gefahr eines Umkippens. Haltbarkeit, Belastungsbeständigkeit und Festigkeit sind die Hauptvorteile der Verwendung von Stahlbetonfundamenten FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen im Energiebau.

Stahlbetonfundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen bestehen aus Schwerbeton mit einer Druckfestigkeitsklasse von mindestens B30, Güteklasse – ab M300. Die Betonqualität für Frostbeständigkeit beträgt nicht weniger als F150, für Wasserbeständigkeit - W4 - W6. Zement und Inerte, die zur Herstellung von Beton verwendet werden, müssen die Anforderungen von SNiP I-B.3-62 und TP4-68 erfüllen. Die Größtkorngröße im Betongefüge sollte 20-40 mm nicht überschreiten. Kontrolle der Betonfestigkeit von Stützfundamenten gemäß GOST 10180-67 „Schwerbeton. Methoden zur Festigkeitsbestimmung“ und GOST 10181-62 „Schwerbeton“. Methoden zur Bestimmung der Beweglichkeit und Steifigkeit einer Betonmischung.“

Als Bewehrung werden Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen verwendet: warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe der Klasse A-I, warmgewalzte Bewehrungsstahlstäbe von periodisches Profil der Klasse A-III, Bewehrungsstahl der periodischen Profilklasse A-IV und gewöhnlicher Bewehrungsdraht der Klasse B1. Für die Montageschlaufen wird ausschließlich warmgewalzte Stabbewehrung der Klasse A-I aus Kohlenstoff-Flussstahl verwendet.

Die Fundamente von Stromleitungsstützen für den Energiebau stehen vor einer verantwortungsvollen Aufgabe – die Stabilität und Festigkeit von Stromleitungsstützen über viele Jahre hinweg bei unterschiedlichen klimatischen Bedingungen, zu jeder Jahreszeit und bei jedem Wetter aufrechtzuerhalten. Daher werden an Stützfundamente sehr hohe Anforderungen gestellt. Vor dem Versand an den Kunden werden die Fundamente der FP2,7x2,7-A-Stützen für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen nach verschiedenen Parametern, beispielsweise dem Grad der Stabilität, geprüft , Festigkeit, Haltbarkeit und Verschleißfestigkeit, Beständigkeit gegen negative Temperaturen und atmosphärische Einflüsse. Vor dem Schweißen müssen die Verbindungsteile frei von Rost sein. Stahlbetonfundamente mit einer Betonschutzschichtdicke von weniger als 30 mm sowie Fundamente, die in aggressiven Böden errichtet werden, müssen durch eine Abdichtung geschützt werden.

Während des Betriebs unterliegen Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen einer sorgfältigen Überwachung, insbesondere in den ersten Betriebsjahren der Freileitung. Einer der schwerwiegendsten Mängel beim Bau von Fundamenten, der unter Betriebsbedingungen nur schwer zu beseitigen ist, ist ein Verstoß gegen technologische Standards bei der Herstellung: Verwendung von minderwertigem oder schlecht gewaschenem Kies, Verletzung der Proportionen bei der Herstellung einer Betonmischung usw . Ein ebenso schwerwiegender Mangel ist das schichtweise Betonieren von Fundamenten, wenn einzelne Elemente desselben Fundaments zu unterschiedlichen Zeitpunkten ohne vorherige Oberflächenvorbereitung betoniert werden. In diesem Fall bindet der Beton eines Fundamentelements nicht mit einem anderen und es kann zu einer Zerstörung des Fundaments bei äußeren Belastungen kommen, die deutlich geringer sind als die berechneten.

Auch bei der Herstellung von Stahlbetonfundamenten für Stützen kommt es manchmal zu Verstößen gegen Normen: Es wird minderwertiger Beton verwendet, die Bewehrung wird in den im Projekt vorgesehenen falschen Abmessungen verlegt. Beim Bau von Stromleitungen auf vorgefertigten oder gepfählten Stahlbetonfundamenten können gravierende Mängel auftreten, die vom Energiebau nicht zugelassen werden. Zu diesen Mängeln zählen die Installation gebrochener Stahlbetonfundamente, deren unzureichendes Eindringen in den Boden (insbesondere bei der Installation von Stützen an Hängen von Hügeln und Schluchten), unsachgemäße Verdichtung beim Verfüllen, Installation vorgefertigter Fundamente kleinerer Größe usw. Zu den Installationsfehlern zählen fehlerhafte Installation von Stahlbetonfundamenten, bei der einzelne vorgefertigte Fundamente, die als Basis für eine Metallstütze dienen sollen, unterschiedliche vertikale Höhen oder Verschiebungen einzelner Fundamente im Grundriss aufweisen. Bei unsachgemäßer Entlastung können die Fundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen, 330-kV-Einkreis-Freileitungen beschädigt werden, Betonsplitter und Bewehrung können freigelegt werden. Bei der Abnahme ist besonders auf die Übereinstimmung der Ankerbolzen und ihrer Muttern mit den Bemessungsmaßen zu achten.

Unter Betriebsbedingungen werden Stahlbetonfundamente FP2,7x2,7-A für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen sowohl durch Umwelteinflüsse als auch durch große äußere Belastungen beschädigt. Die Bewehrung von Fundamenten mit Porenbetonstruktur wird durch die aggressive Einwirkung des Grundwassers beschädigt. Risse, die sich an der Oberfläche von Fundamenten bilden, dehnen sich bei betriebsbedingten Wechselbelastungen sowie Wind, Feuchtigkeit und niedrigen Temperaturen aus, was letztlich zur Zerstörung des Betons und zur Freilegung der Bewehrung führt. In Bereichen in der Nähe von Chemiefabriken verschlechtern sich Ankerbolzen und der obere Teil von Metallfußstützen schnell.

Ein Bruch des Stützfundaments kann auch durch eine Fehlausrichtung mit den Regalen entstehen, was zu großen Biegemomenten führt. Ein ähnlicher Zusammenbruch kann auftreten, wenn der Fundamentsockel vom Grundwasser weggespült wird und von seiner vertikalen Position abweicht.

Während des Abnahmeprozesses werden FP2,7x2,7-A-Fundamente für Metallstützen von 220-kV-Einkreis-Freileitungen und 330-kV-Einkreis-Freileitungen auf Übereinstimmung mit der Konstruktion, Verlegetiefe, Betonqualität und Qualität überprüft Schweißen von Arbeitsbewehrungen und Ankerbolzen, Vorhandensein und Qualität des Schutzes gegen die Einwirkung aggressiver Gewässer. Die vertikalen Markierungen der Fundamente werden gemessen und die Lage der Ankerbolzen anhand der Schablone überprüft. Wenn eine Nichteinhaltung der Normen festgestellt wird, werden alle Mängel vor der Verfüllung der Gruben beseitigt. Fundamente mit abgesplittertem Beton und freiliegender Bewehrung im oberen Teil werden repariert. Dazu wird ein 10-20 cm dicker Betonrahmen eingebaut, der 20-30 cm unter der Erdoberfläche vergraben wird. Dabei ist zu beachten, dass im Energiebau kein Rahmen aus Schlackenbeton zulässig ist, da die Schlacke eine Beimischung enthält Schwefel, der zu starker Korrosion der Bewehrung und der Anker führt Bei größeren Schäden an Fundamenten (auch monolithischen) wird der beschädigte Teil mit einer an die Bewehrung des Hauptfundaments angeschweißten Bewehrung abgedeckt und nach dem Einbau der Schalung betoniert.