Vorlesung 6. Anwendung von Ableitungen auf das Studium von Funktionen

Wenn die Funktion F(X) hat an jedem Punkt des Segments eine Ableitung [ A, B], dann kann sein Verhalten mithilfe der Ableitung untersucht werden F"(X).

Schauen wir uns die grundlegenden Theoreme der Differentialrechnung an, die den abgeleiteten Anwendungen zugrunde liegen.

Satz von Fermat

Satz(Bauernhof) ( über die Gleichheit der Ableitung mit Null ). Wenn Funktion f(X), differenzierbar auf dem Intervall (A, B) und erreicht am Punkt c seinen größten bzw. kleinsten Wert є ( A, B), dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt Null, d.h. F"(Mit) = 0.

Nachweisen. Lassen Sie die Funktion F(X) ist auf dem Intervall ( A, B) und an der Stelle X = Mit nimmt den größten Wert ein M bei Mit є ( A, B) (Abb. 1), d. h.

F(Mit) ≥ F(X) oder F(X) – F(C) ≤ 0 oder F(s +Δ X) – F(Mit) ≤ 0.

Derivat F"(X) am Punkt X = Mit: .

Wenn X> C, Δ X> 0 (d. h. Δ X→ 0 rechts vom Punkt Mit), Das Und deswegen F"(Mit) ≤ 0.

Wenn X< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 links vom Punkt Mit), Das , woraus folgt F"(Mit) ≥ 0.

Nach Bedingung F(X) ist an der Stelle differenzierbar Mit, daher liegt seine Grenze bei X→ Mit hängt nicht von der Wahl der Ansatzrichtung des Arguments ab X auf den Punkt Mit, d.h. .

Wir erhalten ein System, aus dem es folgt F"(Mit) = 0.

Falls F(Mit) = T(diese. F(X) nimmt an Punkt Mit kleinster Wert), ist der Beweis ähnlich. Der Satz ist bewiesen.

Geometrische Bedeutung des Satzes von Fermat: Im Punkt des größten bzw. kleinsten innerhalb des Intervalls erreichten Wertes verläuft die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur x-Achse.

Datei FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Zertifikat der Ukraine Nr. 27312

KURZER BEWEIS DES letzten Satzes von FERmat

Der letzte Satz von Fermat ist wie folgt formuliert: Diophantische Gleichung (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A N + B N = C N * /1/

Wo N- Eine positive ganze Zahl größer als zwei hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen A , B , MIT .

NACHWEISEN

Aus der Formulierung des letzten Satzes von Fermat folgt: if N ist eine positive ganze Zahl größer als zwei, vorausgesetzt, dass zwei der drei Zahlen sind A , IN oder MIT- positive ganze Zahlen, eine dieser Zahlen ist keine positive ganze Zahl.

Wir konstruieren den Beweis auf der Grundlage des Grundsatzes der Arithmetik, der „Eindeutigkeitsfaktorisierungssatz“ oder „Eindeutigkeitssatz der Faktorisierung zusammengesetzter ganzer Zahlen“ genannt wird. Es sind ungerade und gerade Exponenten möglich N . Betrachten wir beide Fälle.

1. Fall eins: Exponent N - ungerade Zahl.

In diesem Fall wird der Ausdruck /1/ nach bekannten Formeln wie folgt transformiert:

A N + IN N = MIT N /2/

wir glauben das A Und B- positive ganze Zahlen.

Zahlen A , IN Und MIT müssen zueinander Primzahlen sein.

Aus Gleichung /2/ folgt das für gegebene Zahlenwerte A Und B Faktor ( A + B ) N , MIT.

Nehmen wir an, dass die Zahl MIT - positive ganze Zahl. Unter Berücksichtigung der akzeptierten Bedingungen und des Grundsatzes der Arithmetik muss die Bedingung erfüllt sein :

MIT N = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

Wo ist der Faktor? Dn D

Aus Gleichung /3/ folgt:

Aus Gleichung /3/ folgt auch, dass die Zahl [ Cn = Ein + Mrd ] vorausgesetzt, dass die Nummer MIT ( A + B ) N. Es ist jedoch bekannt, dass:

Ein + Mrd < ( A + B ) N /5/

Somit:

- eine Bruchzahl kleiner als eins. /6/

Eine Bruchzahl.

N

Für ungerade Exponenten N >2 Nummer:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Aus der Analyse der Gleichung /2/ folgt dies für einen ungeraden Exponenten N Nummer:

MIT N = A N + IN N = (A+B)

besteht aus zwei spezifischen algebraischen Faktoren und für jeden Wert des Exponenten N der algebraische Faktor bleibt unverändert ( A + B ).

Somit hat der letzte Satz von Fermat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen für ungerade Exponenten N >2.

2. Fall zwei: Exponent N - gerade Zahl .

Der Kern des letzten Satzes von Fermat ändert sich nicht, wenn wir Gleichung /1/ wie folgt umschreiben:

Ein = Cn - Mrd /7/

In diesem Fall wird Gleichung /7/ wie folgt transformiert:

A n = C n - B n = ( MIT +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Mrd -2 + Mrd -1 ). /8/

Wir akzeptieren das MIT Und IN- ganze Zahlen.

Aus Gleichung /8/ folgt das für gegebene Zahlenwerte B Und C Faktor (C+ B ) hat für jeden Wert des Exponenten den gleichen Wert N , daher ist es ein Teiler der Zahl A .

Nehmen wir an, dass die Zahl A- ganze Zahl. Unter Berücksichtigung der akzeptierten Bedingungen und des Grundsatzes der Arithmetik muss die Bedingung erfüllt sein :

A N = C N - Mrd =(C+ B ) N ∙ Dn , / 9/

Wo ist der Faktor? Dn muss eine ganze Zahl und daher die Zahl sein D muss ebenfalls eine ganze Zahl sein.

Aus Gleichung /9/ folgt:

/10/

Aus Gleichung /9/ folgt auch, dass die Zahl [ A N = MIT N - Mrd ] vorausgesetzt, dass die Nummer A– eine ganze Zahl, muss durch eine Zahl teilbar sein (C+ B ) N. Es ist jedoch bekannt, dass:

MIT N - Mrd < (С+ B ) N /11/

Somit:

- eine Bruchzahl kleiner als eins. /12/

Eine Bruchzahl.

Daraus folgt dies für einen ungeraden Wert des Exponenten N Gleichung /1/ des letzten Satzes von Fermat hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen.

Für gerade Exponenten N >2 Nummer:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Somit hat der letzte Satz von Fermat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen und für gerade Exponenten N >2.

Aus dem oben Gesagten folgt die allgemeine Schlussfolgerung: Gleichung /1/ des letzten Satzes von Fermat hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen A, B Und MIT vorausgesetzt, dass der Exponent n >2 ist.

ZUSÄTZLICHE BEGRÜNDUNG

Für den Fall, dass der Exponent N – gerade Zahl, algebraischer Ausdruck ( Cn - Mrd ) zerlegt sich in algebraische Faktoren:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Lassen Sie uns Beispiele in Zahlen nennen.

BEISPIEL 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

BEISPIEL 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Aus der Analyse der Gleichungen /13/, /14/, /15/ und /16/ und den entsprechenden Zahlenbeispielen folgt:

Für einen gegebenen Exponenten N , wenn es eine gerade Zahl ist, die Zahl A N = C N - Mrd zerfällt in eine genau definierte Anzahl wohldefinierter algebraischer Faktoren;

Für jeden Exponenten N , wenn es eine gerade Zahl ist, im algebraischen Ausdruck ( Cn - Mrd ) es gibt immer Multiplikatoren ( C - B ) Und ( C + B ) ;

Jeder algebraische Faktor entspricht einem völlig bestimmten numerischen Faktor;

Für gegebene Zahlen IN Und MIT Numerische Faktoren können Primzahlen oder zusammengesetzte numerische Faktoren sein;

Jeder zusammengesetzte numerische Faktor ist ein Produkt von Primzahlen, die in anderen zusammengesetzten numerischen Faktoren teilweise oder vollständig fehlen.

Die Größe der Primzahlen in der Zusammensetzung zusammengesetzter numerischer Faktoren nimmt mit der Zunahme dieser Faktoren zu;

Der größte zusammengesetzte numerische Faktor, der dem größten algebraischen Faktor entspricht, umfasst die größte Primzahl mit einer Potenz kleiner als der Exponent N(am häufigsten im ersten Grad).

SCHLUSSFOLGERUNGEN: Zusätzliche Beweise stützen die Schlussfolgerung, dass Fermats letzter Satz keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat.

Maschinenbauingenieur

Gemessen an der Beliebtheit der Abfrage „Satz von Fermat – kurzer Beweis" Dieses mathematische Problem interessiert wirklich viele Menschen. Dieser Satz wurde erstmals 1637 von Pierre de Fermat am Rand einer Kopie von Arithmetik aufgestellt, in der er behauptete, er hätte eine Lösung, die zu groß sei, um auf den Rand zu passen.

Der erste erfolgreiche Beweis wurde 1995 veröffentlicht, ein vollständiger Beweis des Satzes von Fermat durch Andrew Wiles. Es wurde als „atemberaubender Fortschritt“ beschrieben und führte dazu, dass Wiles 2016 den Abel-Preis erhielt. Obwohl der Beweis des Satzes von Fermat relativ kurz beschrieben wurde, bewies er auch einen Großteil des Modularitätssatzes und eröffnete neue Ansätze für zahlreiche andere Probleme und wirksame Methoden zur Erhöhung der Modularität. Diese Errungenschaften brachten die Mathematik um 100 Jahre voran. Der Beweis des kleinen Satzes von Fermat ist heute nichts Außergewöhnliches.

Das ungelöste Problem regte die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie im 19. Jahrhundert und die Suche nach einem Beweis des Modularitätssatzes im 20. Jahrhundert an. Es ist einer der bemerkenswertesten Sätze in der Geschichte der Mathematik und stand vor dem vollständigen Beweis von Fermats letztem Satz durch Division im Guinness-Buch der Rekorde als „schwierigstes mathematisches Problem“, zu dessen Merkmalen auch gehört dass es die größte Anzahl fehlgeschlagener Beweise hat.

Historische Referenz

Die pythagoräische Gleichung x 2 + y 2 = z 2 hat unendlich viele positive ganzzahlige Lösungen für x, y und z. Diese Lösungen werden als pythagoreische Trinitäten bezeichnet. Um 1637 schrieb Fermat am Rand eines Buches, dass die allgemeinere Gleichung a n + b n = c n keine Lösungen in natürlichen Zahlen habe, wenn n eine ganze Zahl größer als 2 sei. Obwohl Fermat selbst behauptete, eine Lösung für sein Problem zu haben, tat er dies Keine Details zu ihrem Beweis hinterlassen. Der von seinem Schöpfer vorgelegte elementare Beweis des Satzes von Fermat war eher seine prahlerische Erfindung. Das Buch des großen französischen Mathematikers wurde 30 Jahre nach seinem Tod entdeckt. Diese Gleichung, Fermats letzter Satz genannt, blieb in der Mathematik dreieinhalb Jahrhunderte lang ungelöst.

Der Satz wurde schließlich zu einem der bemerkenswertesten ungelösten Probleme der Mathematik. Versuche, dies zu beweisen, führten zu bedeutenden Entwicklungen in der Zahlentheorie, und im Laufe der Zeit wurde Fermats letzter Satz als ungelöstes Problem in der Mathematik bekannt.

Kurze Beweisgeschichte

Wenn n = 4, wie Fermat selbst bewiesen hat, reicht es aus, den Satz für Indizes n, die Primzahlen sind, zu beweisen. In den nächsten zwei Jahrhunderten (1637–1839) wurde die Vermutung nur für die Primzahlen 3, 5 und 7 bewiesen, obwohl Sophie Germain einen Ansatz aktualisierte und bewies, der auf die gesamte Klasse der Primzahlen anwendbar war. Mitte des 19. Jahrhunderts erweiterte Ernst Kummer dies und bewies den Satz für alle regulären Primzahlen, wodurch unregelmäßige Primzahlen einzeln analysiert wurden. Aufbauend auf Kummers Arbeit und mithilfe ausgefeilter Computerforschung konnten andere Mathematiker die Lösung des Theorems erweitern, mit dem Ziel, alle Hauptexponenten bis zu vier Millionen abzudecken, aber der Beweis für alle Exponenten war noch nicht verfügbar (was bedeutet, dass Mathematiker im Allgemeinen die Lösung in Betracht zogen). des Satzes unmöglich, extrem schwierig oder mit dem aktuellen Wissen unerreichbar).

Arbeit von Shimura und Taniyama

1955 vermuteten die japanischen Mathematiker Goro Shimura und Yutaka Taniyama, dass es einen Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven und Modulformen gebe, zwei völlig unterschiedlichen Bereichen der Mathematik. Damals als Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung und (später) als Modularitätssatz bekannt, stand er für sich allein und hatte keine erkennbare Verbindung zu Fermats letztem Satz. Es wurde weithin als wichtiger eigenständiger mathematischer Satz angesehen, galt jedoch (wie der Satz von Fermat) als unmöglich zu beweisen. Gleichzeitig wurde der Beweis des großen Satzes von Fermat (durch die Methode der Division und die Verwendung komplexer mathematischer Formeln) erst ein halbes Jahrhundert später durchgeführt.

Im Jahr 1984 stellte Gerhard Frey einen offensichtlichen Zusammenhang zwischen diesen beiden bis dahin unabhängigen und ungelösten Problemen fest. Der vollständige Beweis dafür, dass die beiden Theoreme eng miteinander verbunden sind, wurde 1986 von Ken Ribet veröffentlicht, der auf einem Teilbeweis von Jean-Pierre Serres aufbaute, der alle bis auf einen Teil bewies, der sogenannten „Epsilon-Vermutung“. Einfach ausgedrückt zeigten diese Arbeiten von Frey, Serres und Ribe, dass, wenn der Modularitätssatz für mindestens eine semistabile Klasse elliptischer Kurven bewiesen werden könnte, früher oder später auch der Beweis von Fermats letztem Satz entdeckt werden würde. Jede Lösung, die dem letzten Satz von Fermat widersprechen kann, kann auch verwendet werden, um dem Modularitätssatz zu widersprechen. Wenn sich also herausstellt, dass der Modularitätssatz wahr ist, kann es per Definition keine Lösung geben, die dem letzten Satz von Fermat widerspricht, was bedeutet, dass er bald hätte bewiesen werden müssen.

Obwohl es sich bei beiden Theoremen um schwierige Probleme der Mathematik handelte, die als unlösbar galten, war die Arbeit der beiden Japaner der erste Vorschlag, wie Fermats letzter Satz für alle Zahlen, nicht nur für einige, erweitert und bewiesen werden könnte. Wichtig für die Forscher, die das Forschungsthema wählten, war die Tatsache, dass der Modularitätssatz im Gegensatz zu Fermats letztem Satz ein großes aktives Forschungsgebiet war, für das ein Beweis entwickelt worden war, und nicht nur eine historische Kuriosität, so die aufgewendete Zeit Die Arbeit daran könnte aus fachlicher Sicht gerechtfertigt sein. Es bestand jedoch allgemeiner Konsens darüber, dass die Lösung der Taniyama-Shimura-Vermutung nicht praktikabel sei.

Fermats letzter Satz: Wiles‘ Beweis

Nachdem er erfahren hatte, dass Ribet die Richtigkeit von Freys Theorie bewiesen hatte, beschloss der englische Mathematiker Andrew Wiles, der sich seit seiner Kindheit für Fermats letzten Satz interessierte und Erfahrung in der Arbeit mit elliptischen Kurven und verwandten Feldern hatte, zu versuchen, die Taniyama-Shimura-Vermutung als Möglichkeit zu beweisen Beweisen Sie den letzten Satz von Fermat. Im Jahr 1993, sechs Jahre nach Bekanntgabe seines Ziels, gelang es Wiles, während er heimlich an der Lösung des Theorems arbeitete, eine verwandte Vermutung zu beweisen, die ihm wiederum beim Beweis von Fermats letztem Theorem helfen sollte. Das Dokument von Wiles war enorm in Umfang und Umfang.

Der Fehler wurde in einem Teil seiner ursprünglichen Arbeit während des Peer-Reviews entdeckt und erforderte ein weiteres Jahr der Zusammenarbeit mit Richard Taylor, um das Theorem gemeinsam zu lösen. Infolgedessen ließ Wiles‘ endgültiger Beweis von Fermats letztem Satz nicht lange auf sich warten. Im Jahr 1995 wurde es in viel kleinerem Umfang veröffentlicht als Wiles‘ frühere mathematische Arbeit, was deutlich zeigt, dass er sich in seinen früheren Schlussfolgerungen über die Möglichkeit, den Satz zu beweisen, nicht geirrt hatte. Über Wiles‘ Leistung wurde in der populären Presse ausführlich berichtet und in Büchern und Fernsehsendungen populär gemacht. Die verbleibenden Teile der Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung, die inzwischen bewiesen sind und als Modularitätssatz bekannt sind, wurden anschließend von anderen Mathematikern bewiesen, die zwischen 1996 und 2001 auf Wiles‘ Arbeiten bauten. Für seine Leistung wurde Wiles geehrt und erhielt zahlreiche Auszeichnungen, darunter den Abel-Preis 2016.

Wiles‘ Beweis des letzten Satzes von Fermat ist ein Sonderfall einer Lösung des Modularitätssatzes für elliptische Kurven. Dies ist jedoch der berühmteste Fall einer so großen mathematischen Operation. Neben der Lösung des Satzes von Ribet erlangte der britische Mathematiker auch einen Beweis für den letzten Satz von Fermat. Der letzte Satz von Fermat und der Modularitätssatz galten bei modernen Mathematikern fast überall als unbeweisbar, aber Andrew Wiles konnte der gesamten wissenschaftlichen Welt beweisen, dass selbst Experten sich irren können.

Wiles gab seine Entdeckung erstmals am Mittwoch, dem 23. Juni 1993, in einem Vortrag in Cambridge mit dem Titel „Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations“ bekannt. Im September 1993 stellte sich jedoch heraus, dass seine Berechnungen einen Fehler enthielten. Ein Jahr später, am 19. September 1994, stieß Wiles in dem, wie er es nannte, „wichtigsten Moment seines Arbeitslebens“ auf eine Offenbarung, die es ihm ermöglichte, die Lösung des Problems so weit zu korrigieren, dass sie den mathematischen Anforderungen genügen konnte Gemeinschaft.

Merkmale der Arbeit

Andrew Wiles‘ Beweis des Satzes von Fermat nutzt viele Techniken aus der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie und hat viele Auswirkungen auf diese Bereiche der Mathematik. Er verwendet auch Standardkonstrukte der modernen algebraischen Geometrie, wie die Kategorie der Schemata und die Iwasawa-Theorie, sowie andere Methoden des 20. Jahrhunderts, die Pierre Fermat nicht zur Verfügung standen.

Die beiden Artikel mit den Beweisen umfassen insgesamt 129 Seiten und wurden über einen Zeitraum von sieben Jahren geschrieben. John Coates beschrieb diese Entdeckung als eine der größten Errungenschaften der Zahlentheorie und John Conway bezeichnete sie als die wichtigste mathematische Errungenschaft des 20. Jahrhunderts. Um Fermats letzten Satz zu beweisen, indem er den Modularitätssatz für den Spezialfall semistabiler elliptischer Kurven bewies, entwickelte Wiles leistungsstarke Methoden zur Aufhebung der Modularität und entdeckte neue Ansätze für zahlreiche andere Probleme. Für die Lösung des letzten Satzes von Fermat wurde er zum Ritter geschlagen und erhielt weitere Auszeichnungen. Als bekannt gegeben wurde, dass Wiles den Abel-Preis gewonnen hatte, beschrieb die norwegische Akademie der Wissenschaften seine Leistung als „einen wunderbaren und elementaren Beweis für Fermats letzten Satz“.

Wie war es

Einer der Leute, die Wiles‘ Originalmanuskript zur Lösung des Theorems analysierten, war Nick Katz. Während seiner Rezension stellte er dem Briten eine Reihe klärender Fragen, die Wiles dazu zwangen, zuzugeben, dass seine Arbeit eindeutig eine Lücke enthielt. In einem kritischen Teil des Beweises, der eine Schätzung für die Ordnung einer bestimmten Gruppe lieferte, gab es einen Fehler: Das Euler-System, das zur Erweiterung der Kolyvagin- und Flach-Methode verwendet wurde, war unvollständig. Der Fehler machte seine Arbeit jedoch nicht nutzlos – jeder Teil von Wiles‘ Werk war für sich genommen sehr bedeutsam und innovativ, ebenso wie viele der Entwicklungen und Methoden, die er im Laufe seiner Arbeit entwickelte und die nur einen Teil davon betrafen das Manuskript. Dieses 1993 veröffentlichte Originalwerk lieferte jedoch keinen wirklichen Beweis für Fermats letzten Satz.

Wiles verbrachte fast ein Jahr damit, die Lösung des Theorems wiederzuentdecken, zunächst allein und dann in Zusammenarbeit mit seinem ehemaligen Schüler Richard Taylor, aber alles schien vergeblich zu sein. Ende 1993 kursierten Gerüchte, Wiles‘ Beweis sei bei Tests gescheitert, doch wie schwerwiegend das Scheitern war, war nicht bekannt. Mathematiker begannen, Druck auf Wiles auszuüben, die Einzelheiten seiner Arbeit offenzulegen, unabhängig davon, ob sie abgeschlossen war oder nicht, damit die breitere Gemeinschaft der Mathematiker alles erforschen und nutzen konnte, was er erreicht hatte. Anstatt seinen Fehler schnell zu korrigieren, entdeckte Wiles nur zusätzliche Komplexitäten im Beweis von Fermats letztem Satz und erkannte schließlich, wie schwierig dieser war.

Wiles gibt an, dass er am Morgen des 19. September 1994 kurz davor stand, immer weiter aufzugeben, und sich fast damit abgefunden hatte, dass er versagt hatte. Er war bereit, sein unvollendetes Werk zu veröffentlichen, damit andere darauf aufbauen und herausfinden konnten, wo er einen Fehler gemacht hatte. Der englische Mathematiker beschloss, sich noch eine letzte Chance zu geben und analysierte den Satz ein letztes Mal, um zu versuchen, die Hauptgründe zu verstehen, warum sein Ansatz nicht funktionierte, als ihm plötzlich klar wurde, dass der Kolyvagin-Flac-Ansatz nicht funktionieren würde, bis er auch den Beweis einbezog Der Prozess setzt Iwasawas Theorie um und sorgt dafür, dass sie funktioniert.

Am 6. Oktober bat Wiles drei Kollegen (darunter Faltins), seine neue Arbeit zu begutachten, und am 24. Oktober 1994 reichte er zwei Manuskripte ein: „Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz“ und „Theoretische Eigenschaften des Rings einiger Hecke-Algebren“. “, den zweiten Teil, den Wiles gemeinsam mit Taylor verfasste und der argumentierte, dass bestimmte Bedingungen erfüllt seien, die zur Rechtfertigung des korrigierten Schritts im Hauptartikel erforderlich seien.

Diese beiden Arbeiten wurden überprüft und schließlich als Volltextausgabe in der Maiausgabe 1995 der Annals of Mathematics veröffentlicht. Andrews neue Berechnungen wurden umfassend analysiert und schließlich von der wissenschaftlichen Gemeinschaft akzeptiert. Diese Arbeiten begründeten den Modularitätssatz für semistabile elliptische Kurven, den letzten Schritt zum Beweis von Fermats letztem Satz, 358 Jahre nach seiner Erstellung.

Geschichte des großen Problems

Die Lösung dieses Theorems galt viele Jahrhunderte lang als das größte Problem der Mathematik. 1816 und erneut 1850 lobte die Französische Akademie der Wissenschaften einen Preis für einen allgemeinen Beweis von Fermats letztem Satz aus. 1857 verlieh die Akademie Kummer für seine Forschungen zu Idealzahlen 3.000 Franken und eine Goldmedaille, obwohl er sich nicht um den Preis bewarb. Ein weiterer Preis wurde ihm 1883 von der Brüsseler Akademie verliehen.

Wolfskehl-Preis

Im Jahr 1908 vermachte der deutsche Industrielle und Amateurmathematiker Paul Wolfskehl der Göttinger Akademie der Wissenschaften 100.000 Goldmark (eine große Summe für die damalige Zeit) als Preis für den vollständigen Beweis von Fermats letztem Satz. Am 27. Juni 1908 veröffentlichte die Akademie neun Vergaberegeln. Diese Regeln erforderten unter anderem die Veröffentlichung der Beweise in einer von Experten begutachteten Zeitschrift. Der Preis sollte erst zwei Jahre nach Veröffentlichung verliehen werden. Der Wettbewerb sollte am 13. September 2007 enden – etwa ein Jahrhundert nach seinem Beginn. Am 27. Juni 1997 erhielt Wiles das Preisgeld von Wolfschel und anschließend weitere 50.000 US-Dollar. Im März 2016 erhielt er von der norwegischen Regierung im Rahmen des Abel-Preises 600.000 Euro für seinen „atemberaubenden Beweis von Fermats letztem Satz unter Verwendung der Modularitätsvermutung für semistabile elliptische Kurven, der eine neue Ära in der Zahlentheorie einleitete“. Es war ein Welttriumph für den bescheidenen Engländer.

Vor Wiles‘ Beweis galt der Satz von Fermat, wie bereits erwähnt, jahrhundertelang als absolut unlösbar. Dem Wolfskehl-Ausschuss wurden zu verschiedenen Zeitpunkten Tausende falscher Beweise vorgelegt, die sich auf etwa drei Meter Korrespondenz beliefen. Allein im ersten Jahr des Bestehens des Preises (1907-1908) wurden 621 Bewerbungen mit der Behauptung eingereicht, das Theorem lösen zu wollen, obwohl diese Zahl in den 1970er Jahren auf etwa 3-4 Bewerbungen pro Monat zurückgegangen war. Laut F. Schlichting, Wolfschels Gutachter, basierten die meisten Beweise auf rudimentären Methoden, die in Schulen gelehrt wurden, und wurden oft von „Menschen mit technischem Hintergrund, aber einer erfolglosen Karriere“ vorgelegt. Laut dem Mathematikhistoriker Howard Aves stellte Fermats letzter Satz eine Art Rekord auf – er ist der Satz mit den meisten falschen Beweisen.

Die Lorbeeren von Fermat gingen an die Japaner

Wie bereits erwähnt, entdeckten die japanischen Mathematiker Goro Shimura und Yutaka Taniyama um 1955 eine mögliche Verbindung zwischen zwei scheinbar völlig unterschiedlichen Zweigen der Mathematik – elliptischen Kurven und Modulformen. Der aus ihrer Forschung resultierende Modularitätssatz (damals als Taniyama-Shimura-Vermutung bekannt) besagt, dass jede elliptische Kurve modular ist, was bedeutet, dass ihr eine einzigartige modulare Form zugeordnet werden kann.

Die Theorie wurde zunächst als unwahrscheinlich oder höchst spekulativ abgetan, wurde jedoch ernster genommen, als der Zahlentheoretiker Andre Weyl Beweise fand, die die Ergebnisse der Japaner stützten. Daher wurde die Vermutung oft als Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung bezeichnet. Es wurde Teil des Langlands-Programms, einer Liste wichtiger Hypothesen, die in Zukunft bewiesen werden müssen.

Selbst nach ernsthafter Betrachtung erkannten moderne Mathematiker, dass die Vermutung äußerst schwierig oder vielleicht sogar unmöglich zu beweisen war. Nun ist es dieser Satz, der auf Andrew Wiles wartet, der mit seiner Lösung die ganze Welt überraschen könnte.

Satz von Fermat: Beweis von Perelman

Trotz des weit verbreiteten Mythos hat der russische Mathematiker Grigory Perelman trotz seines Genies nichts mit dem Satz von Fermat zu tun. Was seinen zahlreichen Verdiensten für die wissenschaftliche Gemeinschaft jedoch keinen Abbruch tut.

Der letzte Satz von Fermat (oft als Fermats letzter Satz bezeichnet), der 1637 vom brillanten französischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert wurde, ist also von Natur aus sehr einfach und für jeden mit einer Sekundarschulbildung verständlich. Darin heißt es, dass die Formel a hoch n + b hoch n = c hoch n keine natürlichen (also keine gebrochenen) Lösungen für n > 2 hat. Alles scheint einfach und klar, aber die Die besten Mathematiker und gewöhnlichen Amateure kämpften mehr als dreieinhalb Jahrhunderte lang mit der Suche nach einer Lösung.

Warum ist sie so berühmt? Jetzt werden wir es herausfinden...



Gibt es viele bewiesene, unbewiesene und noch unbewiesene Theoreme? Der Punkt hier ist, dass Fermats letzter Satz den größten Kontrast zwischen der Einfachheit der Formulierung und der Komplexität des Beweises darstellt. Der letzte Satz von Fermat ist ein unglaublich schwieriges Problem, und dennoch kann seine Formulierung von jedem in der 5. Klasse der High School verstanden werden, aber nicht einmal jeder professionelle Mathematiker kann den Beweis verstehen. Weder in der Physik, noch in der Chemie, noch in der Biologie, noch in der Mathematik gibt es ein einziges Problem, das so einfach formuliert werden könnte, aber so lange ungelöst blieb. 2. Woraus besteht es?

Beginnen wir mit der Pythagoräischen Hose. Der Wortlaut ist eigentlich einfach – auf den ersten Blick. Wie wir aus der Kindheit wissen, „sind die Hosen des Pythagoras auf allen Seiten gleich.“ Das Problem sieht so einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage basierte, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebildete Quadrat gleich der Summe der auf den Schenkeln gebildeten Quadrate.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. Pythagoras gründete die Pythagoräer-Bruderschaft. Die Pythagoräer untersuchten unter anderem ganzzahlige Tripel, die die Gleichheit x²+y²=z² erfüllen. Sie bewiesen, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und erhielten allgemeine Formeln, um sie zu finden. Sie haben wahrscheinlich versucht, nach Cs und höheren Abschlüssen zu suchen. In der Überzeugung, dass dies nicht funktionierte, gaben die Pythagoräer ihre nutzlosen Versuche auf. Die Mitglieder der Bruderschaft waren eher Philosophen und Ästhetiker als Mathematiker.


Das heißt, es ist einfach, eine Menge von Zahlen auszuwählen, die die Gleichheit x²+y²=z² perfekt erfüllen

Beginnend mit 3, 4, 5 – tatsächlich versteht ein junger Student, dass 9 + 16 = 25.

Oder 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Großartig.

Und so weiter. Was wäre, wenn wir eine ähnliche Gleichung x³+y³=z³ nehmen würden? Vielleicht gibt es auch solche Zahlen?




Und so weiter (Abb. 1).

Es stellt sich also heraus, dass dies NICHT der Fall ist. Hier beginnt der Trick. Einfachheit ist offensichtlich, weil es schwierig ist, nicht die Anwesenheit von etwas, sondern im Gegenteil seine Abwesenheit zu beweisen. Wenn Sie nachweisen müssen, dass es eine Lösung gibt, können und sollten Sie diese Lösung einfach präsentieren.

Der Nachweis der Abwesenheit ist schwieriger: Beispielsweise sagt jemand: Für diese und jene Gleichung gibt es keine Lösungen. Ihn in eine Pfütze stecken? Ganz einfach: Bam – und hier ist sie, die Lösung! (Lösung angeben). Und das war's, der Gegner ist besiegt. Wie kann man Abwesenheit nachweisen?

Sagen Sie: „Ich habe solche Lösungen nicht gefunden“? Oder hast du vielleicht nicht gut ausgesehen? Was wäre, wenn es sie gäbe, nur sehr groß, sehr groß, so dass selbst ein superstarker Computer immer noch nicht genug Kraft hätte? Das ist das Schwierige.

Anschaulich lässt sich das so darstellen: Nimmt man zwei Quadrate geeigneter Größe und zerlegt sie in Einheitsquadrate, so erhält man aus diesem Bündel von Einheitsquadraten ein drittes Quadrat (Abb. 2):


Aber machen wir das Gleiche mit der dritten Dimension (Abb. 3) – es funktioniert nicht. Es sind nicht genügend Würfel vorhanden oder es sind noch mehr übrig:





Doch der französische Mathematiker Pierre de Fermat aus dem 17. Jahrhundert beschäftigte sich mit Begeisterung mit der allgemeinen Gleichung x n +y n =z n . Und schließlich kam ich zu dem Schluss: Für n>2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen. Fermats Beweis ist unwiederbringlich verloren. Manuskripte brennen! Übrig bleibt nur seine Bemerkung in der Arithmetik des Diophantus: „Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diesen Satz gefunden, aber der Rand hier ist zu eng, um ihn zu fassen.“

Tatsächlich wird ein Satz ohne Beweis als Hypothese bezeichnet. Aber Fermat hat den Ruf, niemals Fehler zu machen. Auch wenn er keine Beweise für eine Aussage hinterließ, wurde diese nachträglich bestätigt. Darüber hinaus hat Fermat seine These für n=4 bewiesen. So ging die Hypothese des französischen Mathematikers als Fermats letzter Satz in die Geschichte ein.

Nach Fermat arbeiteten so große Köpfe wie Leonhard Euler an der Suche nach einem Beweis (1770 schlug er eine Lösung für n = 3 vor),

Adrien Legendre und Johann Dirichlet (diese Wissenschaftler fanden 1825 gemeinsam den Beweis für n = 5), Gabriel Lamé (der den Beweis für n = 7 fand) und viele andere. Mitte der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts wurde klar, dass die wissenschaftliche Welt auf dem Weg zur endgültigen Lösung von Fermats letztem Satz war, aber erst 1993 sahen und glaubten Mathematiker, dass das dreihundertjährige Epos der Suche nach einem Beweis für Fermats letzter Satz war praktisch vorbei.

Es lässt sich leicht zeigen, dass es ausreicht, den Satz von Fermat nur für einfaches n zu beweisen: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Für zusammengesetztes n bleibt der Beweis gültig. Aber es gibt unendlich viele Primzahlen...

Im Jahr 1825 bewiesen die Mathematikerinnen Dirichlet und Legendre unabhängig voneinander mit der Methode von Sophie Germain den Satz für n=5. Im Jahr 1839 zeigte der Franzose Gabriel Lame mit der gleichen Methode die Wahrheit des Theorems für n=7. Nach und nach wurde der Satz für fast alle n kleiner als einhundert bewiesen.


Schließlich zeigte der deutsche Mathematiker Ernst Kummer in einer brillanten Studie, dass der Satz im Allgemeinen nicht mit den Methoden der Mathematik des 19. Jahrhunderts bewiesen werden kann. Der 1847 für den Beweis des Satzes von Fermat gestiftete Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften blieb unbesetzt.

1907 beschloss der wohlhabende deutsche Industrielle Paul Wolfskehl aus unerwiderter Liebe, sich das Leben zu nehmen. Wie ein echter Deutscher legte er Datum und Uhrzeit des Selbstmordes fest: genau auf Mitternacht. Am letzten Tag verfasste er ein Testament und schrieb Briefe an Freunde und Verwandte. Die Sache endete vor Mitternacht. Man muss sagen, dass Paulus sich für Mathematik interessierte. Da er nichts anderes zu tun hatte, ging er in die Bibliothek und begann, Kummers berühmten Artikel zu lesen. Plötzlich schien es ihm, als hätte Kummer in seiner Überlegung einen Fehler gemacht. Wolfskel begann mit einem Bleistift in der Hand diesen Teil des Artikels zu analysieren. Mitternacht ist vergangen, der Morgen ist gekommen. Die Beweislücke ist geschlossen. Und der eigentliche Grund für den Selbstmord sah jetzt völlig lächerlich aus. Paulus zerriss seine Abschiedsbriefe und schrieb sein Testament um.

Er starb bald eines natürlichen Todes. Die Erben waren ziemlich überrascht: 100.000 Mark (mehr als 1.000.000 heutige Pfund Sterling) wurden auf das Konto der Königlichen Wissenschaftlichen Gesellschaft zu Göttingen überwiesen, die im selben Jahr einen Wettbewerb um den Wolfskehl-Preis ausschrieb. 100.000 Mark wurden der Person verliehen, die den Satz von Fermat bewies. Für die Widerlegung des Theorems wurde kein Pfennig belohnt...

Die meisten professionellen Mathematiker hielten die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz für eine hoffnungslose Aufgabe und weigerten sich entschieden, Zeit mit einer solch nutzlosen Aufgabe zu verschwenden. Aber die Amateure hatten viel Spaß. Wenige Wochen nach der Ankündigung erschütterte eine Lawine von „Beweisen“ die Universität Göttingen. Professor E.M. Landau, dessen Aufgabe es war, die übermittelten Beweise zu analysieren, verteilte Karten an seine Studenten:


Lieb. . . . . . . .

Vielen Dank, dass Sie mir das Manuskript mit dem Beweis von Fermats letztem Satz geschickt haben. Der erste Fehler ist auf Seite ... in Zeile ... . Dadurch verliert der gesamte Beweis seine Gültigkeit.
Professor E. M. Landau











Im Jahr 1963 bewies Paul Cohen, gestützt auf Gödels Erkenntnisse, die Unlösbarkeit eines von Hilberts 23 Problemen – der Kontinuumshypothese. Was wäre, wenn Fermats letzter Satz ebenfalls unentscheidbar wäre?! Aber echte Fanatiker des Großen Theorems wurden keineswegs enttäuscht. Das Aufkommen von Computern bot Mathematikern plötzlich eine neue Beweismethode. Nach dem Zweiten Weltkrieg bewiesen Teams aus Programmierern und Mathematikern Fermats letzten Satz für alle Werte von n bis 500, dann bis 1.000 und später bis 10.000.

In den 1980er Jahren erhöhte Samuel Wagstaff die Grenze auf 25.000, und in den 1990er Jahren erklärten Mathematiker, dass Fermats letzter Satz für alle Werte von n bis zu 4 Millionen wahr sei. Aber wenn man auch nur eine Billion Billionen von der Unendlichkeit abzieht, wird es nicht kleiner. Mathematiker lassen sich von Statistiken nicht überzeugen. Den Großen Satz zu beweisen bedeutete, ihn für ALLE bis ins Unendliche zu beweisen.




Im Jahr 1954 begannen zwei junge befreundete japanische Mathematiker mit der Erforschung modularer Formen. Diese Formen erzeugen Zahlenreihen, jede mit ihrer eigenen Reihe. Zufällig verglich Taniyama diese Reihen mit Reihen, die durch elliptische Gleichungen erzeugt wurden. Sie passten zusammen! Aber modulare Formen sind geometrische Objekte und elliptische Gleichungen sind algebraische. Es wurde noch nie eine Verbindung zwischen so unterschiedlichen Objekten gefunden.

Nach sorgfältiger Prüfung stellten Freunde jedoch eine Hypothese auf: Jede elliptische Gleichung hat einen Zwilling – eine Modulform und umgekehrt. Es war diese Hypothese, die zur Grundlage einer ganzen Richtung in der Mathematik wurde, aber bis die Taniyama-Shimura-Hypothese bewiesen war, könnte das gesamte Gebäude jeden Moment einstürzen.

Im Jahr 1984 zeigte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung, sofern sie existiert, in eine elliptische Gleichung einbezogen werden kann. Zwei Jahre später bewies Professor Ken Ribet, dass diese hypothetische Gleichung kein Gegenstück in der modularen Welt haben konnte. Von nun an war Fermats letzter Satz untrennbar mit der Taniyama-Shimura-Vermutung verbunden. Nachdem wir bewiesen haben, dass jede elliptische Kurve modular ist, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine elliptische Gleichung mit einer Lösung für die Fermat-Gleichung gibt und Fermats letzter Satz sofort bewiesen wäre. Doch dreißig Jahre lang gelang es nicht, die Taniyama-Shimura-Hypothese zu beweisen, und die Hoffnung auf Erfolg wurde immer geringer.

Bereits 1963, als er gerade einmal zehn Jahre alt war, war Andrew Wiles von der Mathematik fasziniert. Als er vom Großen Satz erfuhr, wurde ihm klar, dass er ihn nicht aufgeben durfte. Als Schüler, Student und Doktorand bereitete er sich auf diese Aufgabe vor.

Nachdem er von Ken Ribets Erkenntnissen erfahren hatte, stürzte sich Wiles kopfüber in den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung. Er beschloss, in völliger Isolation und Geheimhaltung zu arbeiten. „Mir wurde klar, dass alles, was mit Fermats letztem Satz zu tun hat, zu viel Interesse weckt … Zu viele Zuschauer stören offensichtlich das Erreichen des Ziels.“ Sieben Jahre harter Arbeit zahlten sich aus; Wiles vollendete schließlich den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Im Jahr 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles der Welt seinen Beweis von Fermats letztem Satz (Wiles las seinen sensationellen Aufsatz auf einer Konferenz am Sir Isaac Newton Institute in Cambridge), an dem mehr als sieben Jahre gearbeitet wurde.







Während der Hype in der Presse anhielt, begannen ernsthafte Arbeiten zur Überprüfung der Beweise. Jedes Beweisstück muss sorgfältig geprüft werden, bevor es als schlüssig und genau angesehen werden kann. Wiles verbrachte einen unruhigen Sommer damit, auf das Feedback der Rezensenten zu warten, in der Hoffnung, ihre Zustimmung zu gewinnen. Ende August befanden Experten, dass das Urteil nicht ausreichend untermauert sei.

Es stellte sich heraus, dass diese Entscheidung einen groben Fehler enthält, obwohl sie im Großen und Ganzen richtig ist. Wiles gab nicht auf, nahm die Hilfe des berühmten Spezialisten für Zahlentheorie Richard Taylor in Anspruch und veröffentlichte bereits 1994 einen korrigierten und erweiterten Beweis des Theorems. Das Erstaunlichste ist, dass diese Arbeit in der Mathematikzeitschrift „Annals of Mathematics“ ganze 130 (!) Seiten einnahm. Aber damit war die Geschichte noch nicht zu Ende – der endgültige Punkt wurde erst im nächsten Jahr, 1995, erreicht, als die endgültige und aus mathematischer Sicht „ideale“ Version des Beweises veröffentlicht wurde.

„...eine halbe Minute nach Beginn des festlichen Abendessens anlässlich ihres Geburtstages überreichte ich Nadya das Manuskript des vollständigen Beweises“ (Andrew Wales). Habe ich nicht schon gesagt, dass Mathematiker seltsame Menschen sind?






Diesmal gab es keinen Zweifel an den Beweisen. Zwei Artikel wurden einer sorgfältigsten Analyse unterzogen und im Mai 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Seitdem ist viel Zeit vergangen, aber in der Gesellschaft herrscht immer noch die Meinung vor, dass Fermats letzter Satz unlösbar sei. Aber selbst diejenigen, die über die gefundenen Beweise Bescheid wissen, arbeiten weiter in dieser Richtung – nur wenige sind zufrieden damit, dass der Große Satz eine Lösung von 130 Seiten erfordert!

Daher konzentrieren sich nun die Bemühungen vieler Mathematiker (hauptsächlich Amateure, keine professionellen Wissenschaftler) auf die Suche nach einem einfachen und prägnanten Beweis, aber dieser Weg wird höchstwahrscheinlich nirgendwohin führen ...

Für ganze Zahlen n größer als 2 hat die Gleichung x n + y n = z n keine von Null verschiedenen Lösungen in natürlichen Zahlen.

Du erinnerst dich wahrscheinlich noch aus deiner Schulzeit Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Vielleicht erinnern Sie sich auch an das klassische rechtwinklige Dreieck mit Seiten, deren Längen im Verhältnis 3:4:5 stehen. Dafür sieht der Satz des Pythagoras so aus:

Dies ist ein Beispiel für die Lösung der verallgemeinerten pythagoräischen Gleichung in ganzen Zahlen ungleich Null mit N= 2. Fermats letzter Satz (auch „Fermats letzter Satz“ und „Fermats letzter Satz“ genannt) ist die Aussage für die Werte N> 2 Gleichungen der Form x n + y n = z n haben keine von Null verschiedenen Lösungen in natürlichen Zahlen.

Die Geschichte von Fermats letztem Satz ist nicht nur für Mathematiker sehr interessant und lehrreich. Pierre de Fermat trug zur Entwicklung verschiedener Gebiete der Mathematik bei, der Großteil seines wissenschaftlichen Nachlasses wurde jedoch erst posthum veröffentlicht. Tatsache ist, dass Mathematik für Fermat eine Art Hobby und keine berufliche Tätigkeit war. Er korrespondierte mit den führenden Mathematikern seiner Zeit, strebte jedoch keine Veröffentlichung seiner Arbeiten an. Fermats wissenschaftliche Schriften finden sich hauptsächlich in Form privater Korrespondenz und fragmentarischer Notizen, oft am Rand verschiedener Bücher. Es steht am Rande (des zweiten Bandes der antiken griechischen „Arithmetik“ des Diophantus. - Notiz Übersetzer) Kurz nach dem Tod des Mathematikers entdeckten die Nachkommen die Formulierung des berühmten Theorems und das Nachwort:

« Ich habe dafür einen wirklich wunderbaren Beweis gefunden, aber diese Felder sind dafür zu eng».

Leider machte sich Fermat offenbar nie die Mühe, den „wundersamen Beweis“, den er gefunden hatte, niederzuschreiben, und seine Nachkommen suchten mehr als drei Jahrhunderte lang erfolglos danach. Von all dem verstreuten wissenschaftlichen Erbe Fermats, das viele überraschende Aussagen enthält, war es das Große Theorem, das sich hartnäckig weigerte, gelöst zu werden.

Wer auch immer versucht hat, Fermats letzten Satz zu beweisen, ist vergebens! Ein anderer großer französischer Mathematiker, René Descartes (1596–1650), nannte Fermat einen „Angeber“, und der englische Mathematiker John Wallis (1616–1703) nannte ihn einen „verdammten Franzosen“. Fermat selbst hinterließ jedoch für diesen Fall noch einen Beweis seines Theorems N= 4. Mit Beweis für N= 3 wurde vom großen schweizerisch-russischen Mathematiker des 18. Jahrhunderts, Leonhard Euler (1707–83), gelöst, woraufhin er keine Beweise mehr dafür finden konnte N> 4, schlug scherzhaft vor, Fermats Haus zu durchsuchen, um den Schlüssel zu den verlorenen Beweisen zu finden. Im 19. Jahrhundert ermöglichten neue Methoden der Zahlentheorie, die Aussage für viele ganze Zahlen innerhalb von 200 zu beweisen, aber wiederum nicht für alle.

Für die Lösung dieses Problems wurde 1908 ein Preisgeld von 100.000 Deutschen Mark gestiftet. Der Preisfonds wurde vom deutschen Industriellen Paul Wolfskehl vermacht, der der Legende nach Selbstmord begehen wollte, aber von Fermats letztem Satz so begeistert war, dass er seine Meinung über das Sterben änderte. Mit dem Aufkommen der Additionsmaschinen und dann der Computer entwickelte sich die Wertleiste N begann immer höher zu steigen – auf 617 zu Beginn des Zweiten Weltkriegs, auf 4001 im Jahr 1954 und auf 125.000 im Jahr 1976. Ende des 20. Jahrhunderts wurden die leistungsstärksten Computer in Militärlabors in Los Alamos (New Mexico, USA) so programmiert, dass sie Fermats Problem im Hintergrund lösten (ähnlich dem Bildschirmschonermodus eines Personalcomputers). Somit konnte gezeigt werden, dass der Satz für unglaublich große Werte gilt x, y, z Und N, aber dies konnte nicht als strenger Beweis dienen, da keiner der folgenden Werte N oder Tripel natürlicher Zahlen könnten den Satz als Ganzes widerlegen.

Schließlich veröffentlichte der in Princeton tätige englische Mathematiker Andrew John Wiles (geb. 1953) 1994 einen Beweis für Fermats letzten Satz, der nach einigen Modifikationen als umfassend galt. Der Beweis umfasste mehr als hundert Zeitschriftenseiten und basierte auf der Verwendung moderner Geräte der höheren Mathematik, die zu Fermats Zeiten noch nicht entwickelt wurden. Was meinte Fermat dann, als er am Rand des Buches eine Nachricht hinterließ, dass er den Beweis gefunden habe? Die meisten Mathematiker, mit denen ich über dieses Thema sprach, wiesen darauf hin, dass es im Laufe der Jahrhunderte mehr als genug falsche Beweise für Fermats letzten Satz gegeben habe und dass Fermat höchstwahrscheinlich selbst einen ähnlichen Beweis gefunden, den Fehler jedoch nicht erkannt habe drin. Es ist jedoch möglich, dass es noch einen kurzen und eleganten Beweis für Fermats letzten Satz gibt, den noch niemand gefunden hat. Nur eines lässt sich mit Sicherheit sagen: Heute wissen wir mit Sicherheit, dass der Satz wahr ist. Ich denke, die meisten Mathematiker würden Andrew Wiles vorbehaltlos zustimmen, der zu seinem Beweis bemerkte: „Jetzt ist mein Geist endlich in Frieden.“