Weiter geht es mit dem Lieblingsthema aller in der mathematischen Analyse – Derivaten. In diesem Artikel erfahren Sie, wie man es findet partielle Ableitungen einer Funktion von drei Variablen: erste Ableitungen und zweite Ableitungen. Was müssen Sie wissen und können, um den Stoff zu beherrschen? Ob Sie es glauben oder nicht: Erstens müssen Sie in der Lage sein, „gewöhnliche“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen zu finden – auf einem hohen oder zumindest durchschnittlichen Niveau. Wenn es mit ihnen wirklich schwierig ist, dann beginnen Sie mit einer Lektion Wie findet man die Ableitung? Zweitens ist es sehr wichtig, den Artikel zu lesen und die meisten Beispiele zu verstehen und zu lösen, wenn nicht alle. Wenn dies bereits geschehen ist, dann gehen Sie mit mir mit sicherem Gang, es wird interessant, es wird Ihnen sogar Spaß machen!

Methoden und Prinzipien des Findens partielle Ableitungen einer Funktion von drei Variablen sind tatsächlich partiellen Ableitungen von Funktionen zweier Variablen sehr ähnlich. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine Funktion zweier Variablen die Form hat, wobei „x“ und „y“ unabhängige Variablen sind. Geometrisch gesehen repräsentiert eine Funktion zweier Variablen eine bestimmte Fläche in unserem dreidimensionalen Raum.

Eine Funktion aus drei Variablen hat die Form und die Variablen werden aufgerufen unabhängigVariablen oder Argumente, die Variable heißt abhängige Variable oder Funktion. Zum Beispiel: – Funktion von drei Variablen

Und nun ein wenig über Science-Fiction-Filme und Außerirdische. Man hört oft von vierdimensional, fünfdimensional, zehndimensional usw. Räume. Unsinn oder nicht?
Schließlich impliziert die Funktion dreier Variablen die Tatsache, dass sich alle Dinge im vierdimensionalen Raum abspielen (tatsächlich gibt es vier Variablen). Der Graph einer Funktion von drei Variablen ist der sogenannte Hyperoberfläche. Man kann es sich nicht vorstellen, da wir im dreidimensionalen Raum (Länge/Breite/Höhe) leben. Damit es Dir bei mir nicht langweilig wird, biete ich ein Quiz an. Ich werde ein paar Fragen stellen, und jeder Interessierte kann versuchen, sie zu beantworten:

– Gibt es eine vierte, fünfte usw. auf der Welt? Maße im Sinne des spießbürgerlichen Raumverständnisses (Länge/Breite/Höhe)?

– Ist es möglich, ein vierdimensionales, fünfdimensionales usw. zu bauen? Raum im weitesten Sinne des Wortes? Geben Sie also ein Beispiel für einen solchen Raum in unserem Leben.

– Ist eine Reise in die Vergangenheit möglich?

– Ist es möglich, in die Zukunft zu reisen?

– Gibt es Außerirdische?

Für jede Frage können Sie eine von vier Antworten wählen:
Ja / Nein (die Wissenschaft verbietet dies) / Die Wissenschaft verbietet dies nicht / Ich weiß es nicht

Wer alle Fragen richtig beantwortet, hat die größte Wahrscheinlichkeit, etwas zu finden ;-)

Ich werde im Verlauf der Lektion nach und nach Antworten auf Fragen geben. Verpassen Sie nicht die Beispiele!

Tatsächlich sind sie geflogen. Und sofort die gute Nachricht: Für eine Funktion von drei Variablen gelten die Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle. Deshalb muss man gut im Umgang mit „Gewöhnlichen“ sein. Ableitungen von Funktionen eine Variable. Es gibt kaum Unterschiede!

Beispiel 1

Lösung: Es ist nicht schwer zu erraten – für eine Funktion aus drei Variablen gibt es drei drei Partielle Ableitungen erster Ordnung, die wie folgt bezeichnet werden:

Oder – partielle Ableitung nach „x“;
oder – partielle Ableitung nach „y“;
oder – partielle Ableitung nach „zet“.

Am gebräuchlichsten ist die Notation mit einem Strich, aber die Verfasser von Sammlungen und Schulungshandbüchern verwenden im Kontext von Problemen sehr gerne eine umständliche Notation – also verlieren Sie sich nicht! Vielleicht weiß nicht jeder, wie man diese „gefürchteten Brüche“ richtig laut vorliest. Beispiel: sollte wie folgt gelesen werden: „de u po de x.“

Beginnen wir mit der Ableitung nach „x“: . Wenn wir die partielle Ableitung nach finden , dann die Variablen Und gelten als Konstanten (konstante Zahlen). Und die Ableitung jeder Konstante, oh Gnade, ist gleich Null:

Achten Sie sofort auf den Index – niemand verbietet Ihnen, zu kennzeichnen, dass es sich um Konstanten handelt. Es ist sogar noch praktischer; Anfängern empfehle ich die Verwendung einer solchen Platte, da die Gefahr einer Verwechslung geringer ist.

(1) Wir nutzen die Linearitätseigenschaften der Ableitung, insbesondere nehmen wir alle Konstanten außerhalb des Vorzeichens der Ableitung. Bitte beachten Sie, dass im zweiten Term keine Notwendigkeit besteht, die Konstante zu entfernen: Da „Y“ eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante. Im Term werden die „gewöhnliche“ Konstante 8 und die Konstante „zet“ aus dem Ableitungszeichen entnommen.

(2) Wir finden die einfachsten Ableitungen, ohne zu vergessen, dass es sich dabei um Konstanten handelt. Als nächstes durchkämmen wir die Antwort.

Partielle Ableitung. Wenn wir die partielle Ableitung nach „y“ finden, dann die Variablen Und gelten als Konstanten:

(1) Wir nutzen die Eigenschaften der Linearität. Beachten Sie auch hier, dass die Terme Konstanten sind, was bedeutet, dass nichts aus dem Ableitungszeichen herausgenommen werden muss.

(2) Finden Sie Ableitungen und vergessen Sie nicht, dass es sich dabei um Konstanten handelt. Als nächstes vereinfachen wir die Antwort.

Und schließlich die partielle Ableitung. Wenn wir die partielle Ableitung nach „zet“ finden, dann die Variablen Und gelten als Konstanten:

Allgemeine Regel offensichtlich und unprätentiös: Wenn wir die partielle Ableitung findenaus irgendeinem Grund unabhängige Variable alsozwei andere Unabhängige Variablen gelten als Konstanten.

Bei der Ausführung dieser Aufgaben sollten Sie äußerst vorsichtig sein, insbesondere Sie können keine Indizes verlieren(die angeben, welche Variable zur Differenzierung verwendet wird). Der Verlust des Index wäre ein grober Fehler. Hmmm…. Es ist lustig, wenn ich sie nach einer solchen Einschüchterung irgendwo passieren lasse)

Beispiel 2

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Die beiden betrachteten Beispiele sind recht einfach und nach der Lösung mehrerer ähnlicher Probleme wird sich sogar eine Teekanne daran gewöhnen, sie mündlich zu lösen.

Um den Stress abzubauen, kehren wir zur ersten Frage des Quiz zurück: Gibt es einen vierten, fünften usw. auf der Welt? Maße im Sinne des spießbürgerlichen Raumverständnisses (Länge/Breite/Höhe)?

Korrekte Antwort: Die Wissenschaft verbietet dies nicht. Alle grundlegenden mathematischen Axiomatiken, Theoreme und mathematischen Apparate sind wunderschön und konsistent Arbeiten im Raum beliebiger Dimension. Es ist möglich, dass es irgendwo im Universum Hyperflächen gibt, die außerhalb der Kontrolle unseres Geistes liegen, zum Beispiel eine vierdimensionale Hyperfläche, die durch eine Funktion von drei Variablen definiert wird. Oder vielleicht sind die Hyperflächen neben uns oder sogar wir sind direkt in ihnen, es ist nur so, dass unsere Vision, andere Sinne und unser Bewusstsein nur in der Lage sind, drei Dimensionen wahrzunehmen und zu begreifen.

Kehren wir zu den Beispielen zurück. Ja, wenn jemand mit dem Quiz sehr beschäftigt ist, ist es besser, die Antworten auf die folgenden Fragen zu lesen, nachdem Sie gelernt haben, wie man die partiellen Ableitungen einer Funktion von drei Variablen ermittelt, sonst werde ich Sie im Laufe des Artikels umhauen =)

Neben den einfachsten Beispielen 1 und 2 gibt es in der Praxis Aufgaben, die man als kleines Rätsel bezeichnen kann. Zu meinem Leidwesen verschwanden solche Beispiele aus dem Blickfeld, als ich die Lektion erstellte Partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen. Lass uns das nachholen:

Beispiel 3

Lösung: Hier scheint „alles einfach“ zu sein, doch der erste Eindruck täuscht. Bei der Suche nach partiellen Ableitungen raten viele auf die Teeblätter und machen Fehler.

Schauen wir uns das Beispiel konsequent, klar und verständlich an.

Beginnen wir mit der partiellen Ableitung nach „x“. Wenn wir die partielle Ableitung nach „x“ finden, werden die Variablen als Konstanten betrachtet. Daher ist auch der Exponent unserer Funktion eine Konstante. Für Dummies empfehle ich folgende Lösung: Ändern Sie im Entwurf die Konstante in eine bestimmte positive ganze Zahl, zum Beispiel „fünf“. Das Ergebnis ist eine Funktion einer Variablen:
oder du kannst es auch so schreiben:

Das Leistung Funktion mit komplexer Basis (Sinus). Von :

Jetzt erinnern wir uns daran, also:

Im Endstadium sollte die Lösung natürlich wie folgt geschrieben werden:

Wir finden die partielle Ableitung nach „y“, sie werden als Konstanten betrachtet. Wenn „x“ eine Konstante ist, dann ist es auch eine Konstante. Beim Entwurf machen wir den gleichen Trick: Ersetzen Sie zum Beispiel durch 3 „Z“ – ersetzen Sie es durch dasselbe „Fünf“. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion einer Variablen:

Das indikativ Funktion mit einem komplexen Exponenten. Von Differenzierungsregel komplexer Funktionen:

Erinnern wir uns nun an unseren Ersatz:

Auf diese Weise:

Auf der letzten Seite sollte das Design natürlich gut aussehen:

Und der Spiegelfall mit der partiellen Ableitung nach „zet“ (-Konstanten):

Mit etwas Erfahrung kann die Analyse mental durchgeführt werden.

Lassen Sie uns den zweiten Teil der Aufgabe abschließen – ein Differential erster Ordnung bilden. Es ist ganz einfach, analog zu einer Funktion zweier Variablen wird ein Differential erster Ordnung mit der Formel geschrieben:

In diesem Fall:

Und das ist Geschäft. Ich stelle fest, dass bei praktischen Problemen die Konstruktion eines vollständigen Differentials 1. Ordnung für eine Funktion aus drei Variablen viel seltener erforderlich ist als für eine Funktion aus zwei Variablen.

Ein lustiges Beispiel zum Selberlösen:

Beispiel 4

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen und konstruieren Sie ein vollständiges Differential erster Ordnung

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Wenn Sie auf Schwierigkeiten stoßen, verwenden Sie den besprochenen „Chaynikovsky“-Algorithmus, er hilft garantiert. Und noch ein nützlicher Tipp – Beeil dich nicht. Selbst ich kann solche Beispiele nicht schnell lösen.

Lassen Sie uns abschweifen und uns die zweite Frage ansehen: Ist es möglich, ein vierdimensionales, fünfdimensionales usw. zu bauen? Raum im weitesten Sinne des Wortes? Geben Sie also ein Beispiel für einen solchen Raum in unserem Leben.

Korrekte Antwort: Ja. Außerdem ist es sehr einfach. Beispielsweise fügen wir der Länge/Breite/Höhe eine vierte Dimension hinzu – die Zeit. Die beliebte vierdimensionale Raumzeit und die bekannte Relativitätstheorie, die Einstein geschickt von Lobatschewski, Poincaré, Lorentz und Minkowski gestohlen hat. Auch nicht jeder weiß es. Warum hat Einstein den Nobelpreis gewonnen? Es gab einen schrecklichen Skandal in der wissenschaftlichen Welt, und das Nobelkomitee formulierte die Verdienste des Plagiators etwa wie folgt: „Für seinen Gesamtbeitrag zur Entwicklung der Physik.“ Das war's. Die Marke des C-Studenten Einstein ist reine Werbung und PR.

Es ist leicht, dem betrachteten vierdimensionalen Raum eine fünfte Dimension hinzuzufügen, zum Beispiel den Atmosphärendruck. Und so weiter, so weiter, so weiter, so viele Dimensionen, wie Sie in Ihrem Modell angeben – so viele werden es sein. Im weitesten Sinne des Wortes leben wir in einem multidimensionalen Raum.

Schauen wir uns noch ein paar typische Aufgaben an:

Beispiel 5

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung an einem Punkt

Lösung: Eine Aufgabenstellung dieser Formulierung kommt in der Praxis häufig vor und beinhaltet folgende zwei Handlungen:
– Sie müssen partielle Ableitungen erster Ordnung finden;
– Sie müssen die Werte der partiellen Ableitungen 1. Ordnung an diesem Punkt berechnen.

Wir entscheiden:

(1) Vor uns liegt eine komplexe Funktion, und im ersten Schritt sollten wir die Ableitung des Arkustangens bilden. In diesem Fall verwenden wir tatsächlich ruhig die Tabellenformel für die Ableitung des Arkustangens. Von Differenzierungsregel komplexer Funktionen Das Ergebnis muss mit der Ableitung der internen Funktion multipliziert werden (Einbettung): .

(2) Wir nutzen die Eigenschaften der Linearität.

(3) Und wir nehmen die restlichen Ableitungen, ohne zu vergessen, dass sie Konstanten sind.

Gemäß den Zuweisungsbedingungen ist es notwendig, den Wert der gefundenen partiellen Ableitung an der Stelle zu ermitteln. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes in die gefundene Ableitung:

Der Vorteil dieser Aufgabe besteht darin, dass andere partielle Ableitungen nach einem sehr ähnlichen Schema gefunden werden:

Wie Sie sehen, ist die Lösungsvorlage nahezu identisch.

Berechnen wir den Wert der gefundenen partiellen Ableitung an der Stelle:

Und schließlich die Ableitung nach „zet“:

Bereit. Die Lösung hätte auch anders formuliert werden können: Finden Sie zuerst alle drei partiellen Ableitungen und berechnen Sie dann ihre Werte an der Stelle. Mir scheint jedoch, dass die obige Methode bequemer ist: Finden Sie einfach die partielle Ableitung und berechnen Sie sofort, ohne die Registrierkasse zu verlassen, ihren Wert an diesem Punkt.

Es ist interessant festzustellen, dass ein Punkt geometrisch gesehen ein sehr realer Punkt in unserem dreidimensionalen Raum ist. Die Werte der Funktion und der Ableitungen sind bereits die vierte Dimension, und niemand weiß, wo sie geometrisch liegt. Wie man sagt, kroch niemand mit einem Maßband durch das Universum oder überprüfte es.

Da das philosophische Thema wieder im Kommen ist, beschäftigen wir uns mit der dritten Frage: Ist eine Reise in die Vergangenheit möglich?

Korrekte Antwort: Nein. Eine Reise in die Vergangenheit widerspricht dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik über die Irreversibilität physikalischer Prozesse (Entropie). Also bitte nicht in ein Becken ohne Wasser springen, das Ereignis kann nur in einem Video nachgespielt werden =) Nicht umsonst hat die Volksweisheit das gegenteilige Alltagsgesetz erfunden: „Zweimal messen, einmal schneiden.“ Obwohl das Traurige daran ist, dass die Zeit einseitig und unumkehrbar ist, wird keiner von uns morgen jünger sein. Und diverse Science-Fiction-Filme wie „Terminator“ sind aus wissenschaftlicher Sicht völliger Unsinn. Aus philosophischer Sicht ist es auch absurd, wenn die Wirkung, die in die Vergangenheit zurückkehrt, ihre eigene Ursache zerstören kann. .

Interessanter ist es mit dem „zet“-Derivat, obwohl es immer noch fast dasselbe ist:

(1) Wir entnehmen die Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung.

(2) Auch hier handelt es sich um das Produkt zweier Funktionen: jedes davon hängt davon ab aus der „Live“-Variable „zet“. Im Prinzip können Sie die Formel für die Ableitung eines Quotienten verwenden, es ist jedoch einfacher, den umgekehrten Weg zu gehen und die Ableitung des Produkts zu ermitteln.

(3) Die Ableitung ist eine tabellarische Ableitung. Der zweite Term enthält die bereits bekannte Ableitung einer komplexen Funktion.

Beispiel 9

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Überlegen Sie, wie Sie diese oder jene partielle Ableitung rationaler finden können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Bevor wir zu den letzten Beispielen der Lektion übergehen und sie uns ansehen Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Funktionen von drei Variablen, ich werde alle noch einmal mit der vierten Frage aufmuntern:

Kann man in die Zukunft reisen?

Korrekte Antwort: Die Wissenschaft verbietet dies nicht. Paradoxerweise gibt es kein mathematisches, physikalisches, chemisches oder sonstiges naturwissenschaftliches Gesetz, das eine Reise in die Zukunft verbieten würde! Scheint Unsinn zu sein? Aber fast jeder im Leben hatte eine Vorahnung (die nicht durch logische Argumente gestützt wurde), dass dieses oder jenes Ereignis eintreten wird. Und es ist passiert! Woher kamen die Informationen? Von der Zukunft? Daher können Science-Fiction-Filme über Reisen in die Zukunft und übrigens auch die Vorhersagen aller Arten von Wahrsagern und Hellsehern nicht als solcher Unsinn bezeichnet werden. Zumindest hat die Wissenschaft dies nicht widerlegt. Alles ist möglich! Als ich in der Schule war, kamen mir CDs und Flachbildschirme aus Filmen unglaublich vor.

Die berühmte Komödie „Iwan Wassiljewitsch wechselt seinen Beruf“ ist (höchstens) eine halbe Fiktion. Kein wissenschaftliches Gesetz verbietet Iwan dem Schrecklichen, in der Zukunft zu sein, aber es ist unmöglich, dass zwei Paprikaschoten in der Vergangenheit landen und die Pflichten eines Königs erfüllen.

Konzept einer Funktion vieler Variablen

Es gebe n-Variablen und jedem x 1, x 2 ... x n aus einer bestimmten Menge von x sei eine Definition zugewiesen. Zahl Z, dann ist die Funktion Z = f (x 1, x 2 ... x n) vieler Variablen auf der Menge x gegeben.

X – Bereich der Funktionsdefinition

x 1, x 2 ... x n – unabhängige Variable (Argumente)

Z – Funktion Beispiel: Z=P x 2 1 *x 2 (Zylindervolumen)

Betrachten Sie Z=f(x;y) – die Funktion von 2 Variablen (x 1, x 2 ersetzt durch x,y). Die Ergebnisse werden analog auf andere Funktionen vieler Variablen übertragen. Der Bereich zur Bestimmung der Funktion von 2 Variablen ist die gesamte Schnur (OH) oder ein Teil davon. Die Anzahl der Werte der Funktion von 2 Variablen ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.

Techniken zur Erstellung von Diagrammen: - Betrachten Sie den Querschnitt der Oberfläche in Quadraten || Koordinatenquadrate.

Beispiel: x = x 0, zn. Quadrat X || 0уz y = y 0 0хz Funktionstyp: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Zum Beispiel: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabelumrandung(Mitte(0,1)

Grenzen und Stetigkeit von Funktionen zweier Variablen

Sei Z=f(x;y) gegeben, dann ist A der Grenzwert der Funktion in t.(x 0 ,y 0), falls für jede beliebig kleine Menge. Zahl E>0 ist eine positive Zahl b>0, die für alle x, y |x-x 0 | erfüllt<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) ist stetig in einem t. (x 0 ,y 0), wenn: - es in diesem t definiert ist; - hat ein Finale Grenze bei x, tendierend zu x 0 und y zu y 0; - dieser Grenzwert = Wert

Funktionen in t. (x 0 ,y 0), d.h. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Wenn die Funktion in jedem stetig ist t. mn-va X, dann ist es in diesem Bereich stetig

Differentialfunktion, ihre geometrische Bedeutung. Anwendung des Differentials in Näherungswerten.

dy=f’(x)∆x – Differentialfunktion

dy=dx, d.h. dy=f ’(x)dx wenn y=x

Aus geologischer Sicht ist das Differential einer Funktion das Inkrement der Ordinate der Tangente, die an den Graphen der Funktion im Punkt mit der Abszisse x 0 gezogen wird

Dif-l wird zur Berechnung von ca. verwendet. Werte der Funktion gemäß der Formel: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Je näher ∆x an x ​​liegt, desto genauer ist das Ergebnis

Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung

Ableitung erster Ordnung (die man partielle Ableitung nennt)

A. Sei x, y die Inkremente der unabhängigen Variablen x und y an einem Punkt aus der Region X. Dann wird der Wert gleich z = f(x+ x, y+ y) = f(x, y) als Gesamtwert bezeichnet Inkrement am Punkt x 0, y 0. Wenn wir die Variable x fixieren und der Variablen y das Inkrement y geben, dann erhalten wir zó = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Die partielle Ableitung der Variablen y wird auf ähnliche Weise bestimmt, d.h.

Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen wird nach denselben Regeln ermittelt wie für Funktionen einer Variablen.

Der Unterschied besteht darin, dass bei der Differenzierung einer Funktion nach der Variablen x y als konstant betrachtet wird und bei der Differenzierung nach y, x als konstant betrachtet wird.

Isolierte Konstanten werden mithilfe von Additions-/Subtraktionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Gebundene Konstanten werden durch Multiplikations-/Divisionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Ableitung von isoliert const = 0

1.4.Vollständige Differentialfunktion zweier Variablen und ihre Anwendungen

Dann sei z = f(x,y).

tz = - wird als vollständiges Inkrement bezeichnet

Partielle Ableitung 2. Ordnung

Für stetige Funktionen zweier Variablen fallen die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung zusammen.

Die Anwendung partieller Ableitungen zur Bestimmung der partiellen Ableitungen von Max- und Min-Funktionen werden als Extrema bezeichnet.

A. Punkte heißen max oder min z = f(x,y), wenn es einige Segmente gibt, so dass für alle x und y aus dieser Umgebung f(x,y)

T. Wenn ein Extrempunkt einer Funktion von 2 Variablen gegeben ist, dann ist der Wert der partiellen Ableitungen an diesem Punkt gleich 0, d.h. ,

Die Punkte, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung auftreten, werden als stationär oder kritisch bezeichnet.

Um die Extrempunkte einer Funktion von zwei Variablen zu finden, werden daher ausreichende Extremumbedingungen verwendet.

Sei die Funktion z = f(x,y) zweimal differenzierbar und ein stationärer Punkt,

1) und maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Volles Differential. Geometrische Bedeutung des Differentials. Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen

A. Die Funktion y = f(x) sei in einer bestimmten Umgebung an den Punkten definiert. Eine Funktion f(x) heißt an einem Punkt differenzierbar, wenn ihr Inkrement an diesem Punkt gleich ist , wo es in der Form (1) dargestellt wird

Wobei A ein konstanter Wert ist, unabhängig von an einem festen Punkt x, und bei unendlich klein ist. Eine relativ lineare Funktion A heißt Differential der Funktion f(x) an einem Punkt und wird mit df() oder dy bezeichnet.

Somit kann Ausdruck (1) geschrieben werden als ().

Das Differential der Funktion in Ausdruck (1) hat die Form dy = A. Wie jede lineare Funktion ist sie für jeden Wert definiert während das Inkrement der Funktion nur für diejenigen berücksichtigt werden muss, für die + zum Definitionsbereich der Funktion f(x) gehört.

Um das Differential einfacher schreiben zu können, wird das Inkrement mit dx bezeichnet und als Differential der unabhängigen Variablen x bezeichnet. Daher wird das Differential als dy = Adx geschrieben.

Wenn die Funktion f(x) an jedem Punkt eines bestimmten Intervalls differenzierbar ist, dann ist ihr Differential eine Funktion zweier Variablen – des Punktes x und der Variablen dx:

T. Damit die Funktion y = g(x) irgendwann differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie an dieser Stelle eine Ableitung hat, und

(*)Nachweisen. Notwendigkeit.

Die Funktion f(x) sei im Punkt differenzierbar, d.h. . Dann

Daher existiert die Ableitung f’() und ist gleich A. Daher ist dy = f’()dx

Angemessenheit.

Es gebe eine Ableitung f’(), d.h. = f'(). Dann ist die Kurve y = f(x) ein Tangentensegment. Um den Wert einer Funktion an einem Punkt x zu berechnen, nehmen Sie einen Punkt in der Nähe davon, so dass es nicht schwierig ist, f() und f’()/ zu finden.

Das allgemeine Prinzip, partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion von drei Variablen zu finden, ähnelt dem Prinzip, partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion von zwei Variablen zu finden.

Um partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu finden, müssen Sie zunächst partielle Ableitungen erster Ordnung finden oder, in einer anderen Schreibweise:

Es gibt neun partielle Ableitungen zweiter Ordnung.

Die erste Gruppe sind die zweiten Ableitungen nach denselben Variablen:

Oder – die zweite Ableitung nach „x“;

Oder – die zweite Ableitung nach „Y“;

Oder – die zweite Ableitung nach „zet“.

Die zweite Gruppe ist gemischt Partielle Ableitungen 2. Ordnung, davon gibt es sechs:

Oder - gemischt Ableitung „von x igrek“;

Oder - gemischt Ableitung „nach Spiel x“;

Oder - gemischt Ableitung „nach x z“;

Oder - gemischt Ableitung „von zt x“;

Oder - gemischt Ableitung „in Bezug auf igrek z“;

Oder - gemischt Ableitung „von zt igrek“.

Wie bei einer Funktion zweier Variablen können Sie sich bei der Lösung von Problemen auf die folgenden Gleichungen gemischter Ableitungen zweiter Ordnung konzentrieren:

Hinweis: Streng genommen ist dies nicht immer der Fall. Damit gemischte Ableitungen gleich sind, muss die Anforderung ihrer Kontinuität erfüllt sein.

Für alle Fälle hier ein paar Beispiele, wie man diese Schande richtig laut vorlesen kann:

- „Zwei Schläge haben zweimal ein Spiel“;

– „de zwei y mal de z Quadrat“;

– „Es gibt zwei Striche in X und Z“;

- „de two y po de zet po de igrek.“

Beispiel 10

Finden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für eine Funktion von drei Variablen:

.

Lösung: Finden wir zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „Y“:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „x“:

Die Gleichheit ist erfüllt. Bußgeld.

Befassen wir uns mit dem zweiten Paar gemischter Ableitungen.

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „z“:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „x“:

Die Gleichheit ist erfüllt. Bußgeld.

Mit dem dritten Paar gemischter Ableitungen gehen wir auf ähnliche Weise um:

Die Gleichheit ist erfüllt. Bußgeld.

Nach getaner Arbeit können wir garantieren, dass wir erstens alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung korrekt gefunden haben und zweitens auch die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung korrekt gefunden haben.

Es bleiben noch drei weitere partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu finden; hier sollten Sie, um Fehler zu vermeiden, Ihre Aufmerksamkeit so weit wie möglich konzentrieren:

Bereit. Ich wiederhole, die Aufgabe ist weniger schwierig als vielmehr umfangreich. Die Lösung kann gekürzt und auf Gleichungen gemischter partieller Ableitungen bezogen werden, in diesem Fall erfolgt jedoch keine Überprüfung. Daher ist es besser, Zeit zu investieren und zu finden Alle Ableitungen (zusätzlich kann der Lehrer dies verlangen) oder als letzten Ausweg den Entwurf überprüfen.

Beispiel 11

Finden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für eine Funktion von drei Variablen

.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:Lösung:

Beispiel 4:Lösung: Finden wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Erstellen wir ein vollständiges Differential erster Ordnung:

Beispiel 6:Lösung: M(1, -1, 0):

Beispiel 7:Lösung: Berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung an diesem PunktM(1, 1, 1):

Beispiel 9:Lösung:

Beispiel 11:Lösung: Finden wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Finden wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

.

Integrale

8.1. Unbestimmtes Integral. Detaillierte Beispiellösungen

Beginnen wir mit dem Studium des Themas. Unbestimmtes Integral", und wir werden auch Beispiele für Lösungen der einfachsten (und nicht so einfachen) Integrale im Detail analysieren. Wie üblich beschränken wir uns auf das Minimum an Theorie, das in zahlreichen Lehrbüchern enthalten ist; unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man Integrale löst.

Was müssen Sie wissen, um das Material erfolgreich zu beherrschen? Um mit der Integralrechnung zurechtzukommen, müssen Sie in der Lage sein, Ableitungen zumindest auf einem mittleren Niveau zu finden. Es wird keine Erfahrungsverschwendung sein, wenn Sie mehrere Dutzend oder besser noch Hunderte von unabhängig gefundenen Derivaten auf dem Buckel haben. Zumindest sollten Sie sich nicht durch Aufgaben zur Unterscheidung der einfachsten und gebräuchlichsten Funktionen verwirren lassen.

Es scheint, was haben Ableitungen damit zu tun, wenn es in dem Artikel um Integrale geht?! Hier ist das Ding. Tatsache ist, dass das Finden von Ableitungen und das Finden unbestimmter Integrale (Differenzierung und Integration) zwei zueinander inverse Vorgänge sind, wie etwa Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division. Ohne Geschick und Erfahrung in der Suche nach Derivaten kommt man leider nicht weiter.

Hierzu benötigen wir folgende Lehrmaterialien: Derivatetabelle Und Tabelle der Integrale.

Was ist die Schwierigkeit beim Lernen unbestimmter Integrale? Wenn es bei Ableitungen streng 5 Differenzierungsregeln, eine Ableitungstabelle und einen ziemlich klaren Aktionsalgorithmus gibt, dann ist bei Integralen alles anders. Es gibt Dutzende von Integrationsmethoden und -techniken. Und wenn die Integrationsmethode anfangs falsch gewählt wurde (d. h. Sie wissen nicht, wie man sie löst), können Sie das Integral tagelang buchstäblich wie ein echtes Puzzle „stechen“ und versuchen, verschiedene Techniken und Tricks zu erkennen. Manche Leute mögen es sogar.

Übrigens hörten wir von Studenten (ohne Hauptfach Geisteswissenschaften) ziemlich oft eine Meinung wie: „Ich hatte nie Interesse daran, einen Grenzwert oder eine Ableitung zu lösen, aber Integrale sind eine ganz andere Sache, es ist faszinierend, es gibt immer eine.“ Wunsch, ein komplexes Integral zu „hacken“. Stoppen. Genug des schwarzen Humors, kommen wir zu diesen sehr unbestimmten Integralen.

Da es viele Möglichkeiten gibt, es zu lösen, stellt sich die Frage, wo man mit dem Studium unbestimmter Integrale beginnen sollte? In der Integralrechnung gibt es unserer Meinung nach drei Säulen bzw. eine Art „Achse“, um die sich alles andere dreht. Zunächst sollten Sie die einfachsten Integrale (dieser Artikel) gut verstehen.

Anschließend müssen Sie die Lektion im Detail durcharbeiten. DAS IST DIE WICHTIGSTE TECHNIK! Vielleicht sogar der wichtigste Artikel aller Artikel über Integrale. Und drittens sollten Sie unbedingt lesen Integration nach Teilemethode, da es eine breite Klasse von Funktionen integriert. Wenn Sie mindestens diese drei Lektionen beherrschen, werden Ihnen zwei nicht mehr zur Verfügung stehen. Es kann Ihnen verziehen werden, wenn Sie es nicht wissen Integrale trigonometrischer Funktionen, Integrale von Brüchen, Integrale gebrochenrationaler Funktionen, Integrale irrationaler Funktionen (Wurzeln), aber wenn Sie mit der Ersetzungsmethode oder der Methode der partiellen Integration „in Schwierigkeiten geraten“, wird es sehr, sehr schlecht sein.

Fangen wir also einfach an. Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an. Wie bei Ableitungen bemerken wir mehrere Integrationsregeln und eine Tabelle mit Integralen einiger Elementarfunktionen. Jedes Tabellenintegral (und tatsächlich jedes unbestimmte Integral) hat die Form:

Lassen Sie uns die Notationen und Begriffe sofort verstehen:

– Integrales Symbol.

– Integrandenfunktion (geschrieben mit dem Buchstaben „s“).

– Differentialsymbol. Wir werden uns sehr bald ansehen, was das ist. Die Hauptsache ist, dass es beim Schreiben des Integrals und während der Lösung wichtig ist, dieses Symbol nicht zu verlieren. Es wird einen auffälligen Fehler geben.

– Integrandenausdruck oder „Füllung“ des Integrals.

– Stammfunktion Funktion.

– . Es ist nicht nötig, sich zu sehr mit Begriffen zu befassen; das Wichtigste dabei ist, dass in jedem unbestimmten Integral eine Konstante zur Antwort hinzugefügt wird.

Ein unbestimmtes Integral zu lösen bedeutet, zu findenviele primitive Funktionen aus dem gegebenen Integranden

Schauen wir uns den Eintrag noch einmal an:

Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an.

Was ist los? Wir haben die linken Teile einbiegen in zu anderen Funktionen: .

Vereinfachen wir unsere Definition:

Lösen Sie unbestimmte Integrale - das bedeutet, es in eine undefinierte (bis hin zu einer konstanten) Funktion umzuwandeln , unter Verwendung einiger Regeln, Techniken und einer Tabelle.

Nehmen wir zum Beispiel das Tabellenintegral . Was ist passiert? Die symbolische Notation hat sich zu vielen primitiven Funktionen entwickelt.

Um zu lernen, wie man Integrale findet, ist es wie bei Ableitungen nicht notwendig, aus theoretischer Sicht zu wissen, was eine Integral- oder Stammfunktion ist. Es reicht aus, Transformationen einfach nach einigen formalen Regeln durchzuführen. Also für den Fall Es ist überhaupt nicht notwendig zu verstehen, warum das Integral zu wird. Sie können diese und andere Formeln als selbstverständlich betrachten. Jeder nutzt Elektrizität, aber nur wenige Menschen denken darüber nach, wie sich Elektronen durch Drähte bewegen.

Da Differentiation und Integration gegensätzliche Operationen sind, gilt für jede korrekt gefundene Stammfunktion Folgendes:

Mit anderen Worten: Wenn Sie die richtige Antwort differenzieren, müssen Sie die ursprüngliche Integrandenfunktion erhalten.

Kehren wir zum gleichen Tabellenintegral zurück .

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel überprüfen. Wir bilden die Ableitung der rechten Seite:

ist die ursprüngliche Integrandenfunktion.

Es ist übrigens klarer geworden, warum einer Funktion immer eine Konstante zugewiesen wird. Bei der Differenzierung geht die Konstante immer gegen Null.

Lösen Sie unbestimmte Integrale- es bedeutet finden ein Haufen alle Stammfunktionen und nicht nur eine Funktion. Im betrachteten Tabellenbeispiel sind , , , usw. alle diese Funktionen Lösungen des Integrals. Da es unendlich viele Lösungen gibt, schreiben wir es kurz auf:

Daher ist jedes unbestimmte Integral recht einfach zu überprüfen. Dies ist eine gewisse Kompensation für eine große Anzahl von Integralen unterschiedlichen Typs.

Betrachten wir nun konkrete Beispiele. Beginnen wir wie beim Studium der Ableitung mit zwei Integrationsregeln:

– konstant C kann (und sollte) aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

– Das Integral der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) zweier Integrale. Diese Regel gilt für beliebig viele Begriffe.

Wie Sie sehen, gelten grundsätzlich dieselben Regeln wie für Derivate. Manchmal werden sie aufgerufen Linearitätseigenschaften Integral.

Beispiel 1

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Prüfung durchführen.

Lösung: Es ist bequemer, es so zu konvertieren.

(1) Wenden Sie die Regel an . Wir vergessen, das Differentialsymbol aufzuschreiben dx unter jedem Integral. Warum unter jedem? dx– das ist ein vollwertiger Multiplikator. Wenn wir es im Detail beschreiben, sollte der erste Schritt so geschrieben werden:

.

(2) Gemäß der Regel Wir verschieben alle Konstanten über die Vorzeichen der Integrale hinaus. Bitte beachten Sie, dass im letzten Semester tg 5 ist eine Konstante, wir nehmen sie auch heraus.

Darüber hinaus bereiten wir in diesem Schritt Wurzeln und Kräfte für die Integration vor. Ebenso wie bei der Differenzierung müssen die Wurzeln in der Form dargestellt werden . Verschieben Sie die Wurzeln und Potenzen, die im Nenner stehen, nach oben.

Notiz: Im Gegensatz zu Ableitungen sollten Wurzeln in Integralen nicht immer auf die Form reduziert werden , und verschieben Sie die Gradzahl nach oben.

Zum Beispiel, - Dies ist ein vorgefertigtes Tabellenintegral, das bereits vor Ihnen berechnet wurde, und alle möglichen chinesischen Tricks mögen völlig unnötig. Ebenfalls: – Dies ist auch ein Tabellenintegral; es macht keinen Sinn, den Bruch in der Form darzustellen . Studieren Sie die Tabelle sorgfältig!

(3) Alle unsere Integrale sind tabellarisch. Wir führen die Transformation anhand einer Tabelle mit den Formeln durch: , Und

für eine Potenzfunktion - .

Es ist zu beachten, dass das Tabellenintegral ein Sonderfall der Formel für eine Potenzfunktion ist: .

Konstante C Es reicht aus, einmal am Ende des Ausdrucks hinzuzufügen

(anstatt sie nach jedem Integral zu setzen).

(4) Wir schreiben das erhaltene Ergebnis in eine kompaktere Form, wenn alle Potenzen die Form haben

Wieder stellen wir sie in Form von Wurzeln dar und setzen die Potenzen mit einem negativen Exponenten wieder in den Nenner zurück.

Untersuchung. Um die Prüfung durchzuführen, müssen Sie die erhaltene Antwort differenzieren:

Habe das Original erhalten Integrand, d. h. das Integral wurde korrekt gefunden. Wovon sie tanzten, ist das, wozu sie zurückgekehrt sind. Es ist gut, wenn die Geschichte mit dem Integral so endet.

Von Zeit zu Zeit gibt es einen etwas anderen Ansatz zur Überprüfung eines unbestimmten Integrals, wenn nicht die Ableitung, sondern das Differential aus der Antwort genommen wird:

.

Als Ergebnis erhalten wir keine Integrandenfunktion, sondern einen Integrandenausdruck.

Haben Sie keine Angst vor dem Konzept des Differentials.

Das Differential ist die Ableitung multipliziert mit dx.

Was für uns jedoch wichtig ist, sind nicht die theoretischen Feinheiten, sondern was als nächstes mit dieser Differenz zu tun ist. Das Differential wird wie folgt angezeigt: Symbol D Wir entfernen es, setzen rechts über der Klammer eine Primzahl und fügen am Ende des Ausdrucks einen Faktor hinzu dx :

Original erhalten Integrand, das heißt, das Integral wurde korrekt gefunden.

Wie Sie sehen, kommt es bei der Differenzierung darauf an, die Ableitung zu finden. Die zweite Prüfmethode gefällt mir weniger, da ich zusätzlich große Klammern zeichnen und das Differentialsymbol ziehen muss dx bis zum Ende der Prüfung. Obwohl es korrekter oder „respektabler“ oder so ist.

Über die zweite Verifizierungsmethode konnte tatsächlich Stillschweigen bewahrt werden. Der Punkt liegt nicht in der Methode, sondern in der Tatsache, dass wir gelernt haben, das Differential zu öffnen. Noch einmal.

Der Unterschied ergibt sich wie folgt:

1) Symbol D entfernen;

2) rechts über der Klammer setzen wir einen Strich (Bezeichnung der Ableitung);

3) Am Ende des Ausdrucks weisen wir einen Faktor zu dx .

Zum Beispiel:

Merk dir das. Wir werden diese Technik sehr bald brauchen.

Beispiel 2

.

Wenn wir ein unbestimmtes Integral finden, versuchen wir IMMER, es zu überprüfen Darüber hinaus besteht hierfür eine große Chance. Unter diesem Gesichtspunkt sind nicht alle Arten von Problemen in der höheren Mathematik ein Geschenk. Es spielt keine Rolle, dass in Testaufgaben häufig keine Überprüfungen erforderlich sind; niemand und nichts hindert Sie daran, dies bei einem Entwurf zu tun. Eine Ausnahme kann nur gemacht werden, wenn die Zeit nicht ausreicht (z. B. während einer Prüfung oder Prüfung). Persönlich überprüfe ich Integrale immer und betrachte das Fehlen einer Überprüfung als Hackerjob und als schlecht erledigte Aufgabe.

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral:

. Prüfung durchführen.

Lösung: Wenn wir das Integral analysieren, sehen wir, dass wir unter dem Integral das Produkt zweier Funktionen und sogar die Potenzierung eines gesamten Ausdrucks haben. Leider im Bereich der integralen Schlacht Nein gut und komfortabel Formeln zur Integration des Produkts und des Quotienten als: oder .

Wenn also ein Produkt oder ein Quotient angegeben ist, ist es immer sinnvoll zu prüfen, ob es möglich ist, den Integranden in eine Summe umzuwandeln? Das betrachtete Beispiel ist der Fall, wenn dies möglich ist.

Zunächst stellen wir die Komplettlösung vor, Kommentare folgen weiter unten.

(1) Wir verwenden die gute alte Formel des Quadrats der Summe für alle reellen Zahlen und verzichten dabei auf den Grad über der gemeinsamen Klammer. außerhalb der Klammern und Anwendung der abgekürzten Multiplikationsformel in die entgegengesetzte Richtung: .

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort und die vollständige Lösung finden Sie am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

. Prüfung durchführen.

In diesem Beispiel ist der Integrand ein Bruch. Wenn wir einen Bruch im Integranden sehen, sollte der erste Gedanke die Frage sein: „Ist es möglich, diesen Bruch irgendwie loszuwerden oder ihn zumindest zu vereinfachen?“

Wir stellen fest, dass der Nenner eine einzelne Wurzel von „X“ enthält. Einer auf dem Feld ist kein Krieger, was bedeutet, dass wir den Zähler durch den Nenner Term für Term dividieren können:

Wir kommentieren Aktionen mit gebrochenen Potenzen nicht, da sie schon oft in Artikeln über die Ableitung einer Funktion diskutiert wurden.

Wenn Sie immer noch verwirrt sind über ein Beispiel wie

und auf keinen Fall kommt die richtige Antwort heraus,

Beachten Sie auch, dass der Lösung ein Schritt fehlt, nämlich die Anwendung der Regeln , . Mit etwas Erfahrung in der Lösung von Integralen werden diese Regeln normalerweise als offensichtliche Tatsache angesehen und nicht im Detail beschrieben.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort und die vollständige Lösung finden Sie am Ende der Lektion.

Im allgemeinen Fall ist bei Brüchen in Integralen nicht alles so einfach; zusätzliches Material zur Integration von Brüchen einiger Typen finden Sie im Artikel: Einige Brüche integrieren. Bevor Sie jedoch mit dem obigen Artikel fortfahren, müssen Sie sich mit der Lektion vertraut machen: Substitutionsmethode im unbestimmten Integral. Der Punkt ist, dass die Subsumierung einer Funktion unter einer Differential- oder Variablenersetzungsmethode sinnvoll ist Kernpunkt im Studium des Themas, da es nicht nur „in reinen Aufgaben zur Ersetzungsmethode“, sondern auch in vielen anderen Arten von Integralen vorkommt.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung:

Beispiel 4: Lösung:

In diesem Beispiel haben wir die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet

Beispiel 6: Lösung:

Methode zum Ändern einer Variablen in einem unbestimmten Integral. Beispiele für Lösungen

In dieser Lektion lernen wir eine der wichtigsten und gebräuchlichsten Techniken kennen, die bei der Lösung unbestimmter Integrale verwendet wird – die Variablenänderungsmethode. Die erfolgreiche Beherrschung des Stoffes erfordert erste Kenntnisse und Integrationsfähigkeiten. Wenn Sie in der Integralrechnung das Gefühl haben, ein leerer, voller Kessel zu sein, dann sollten Sie sich zunächst mit dem Stoff vertraut machen Unbestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen, wo in verständlicher Form erklärt wird, was ein Integral ist und grundlegende Beispiele für Anfänger im Detail analysiert werden.

Technisch gesehen wird die Methode zum Ändern einer Variablen in einem unbestimmten Integral auf zwei Arten implementiert:

– Subsumieren der Funktion unter dem Differentialvorzeichen.

– Tatsächlich die Variable ändern.

Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um dasselbe, das Design der Lösung sieht jedoch anders aus. Beginnen wir mit einem einfacheren Fall.

Partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen sind Funktionen derselben Variablen. Diese Funktionen wiederum können partielle Ableitungen haben, die wir zweite partielle Ableitungen (oder partielle Ableitungen zweiter Ordnung) der ursprünglichen Funktion nennen.

Beispielsweise hat eine Funktion zweier Variablen vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung, die wie folgt definiert und bezeichnet werden:

Eine Funktion aus drei Variablen hat neun partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

Partielle Ableitungen dritter und höherer Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen werden ähnlich definiert und bezeichnet: Die partielle Ableitung der Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen ist die partielle Ableitung erster Ordnung der partiellen Ableitung der Ordnung derselben Funktion.

Beispielsweise ist die partielle Ableitung dritter Ordnung einer Funktion die partielle Ableitung erster Ordnung nach y der partiellen Ableitung zweiter Ordnung

Eine partielle Ableitung zweiter oder höherer Ordnung nach mehreren verschiedenen Variablen wird als gemischte partielle Ableitung bezeichnet.

Zum Beispiel partielle Ableitungen

sind gemischte partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen.

Beispiel. Finden Sie gemischte partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion

Lösung. Partielle Ableitungen erster Ordnung finden

Dann finden wir die gemischten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung

Wir sehen, dass gemischte partielle Ableitungen, die sich nur in der Reihenfolge der Differenzierung, also der Reihenfolge, in der nach verschiedenen Variablen differenziert wird, voneinander unterscheiden, sich als identisch gleich erwiesen. Dieses Ergebnis ist kein Zufall. Für gemischte partielle Ableitungen gilt der folgende Satz, den wir ohne Beweis akzeptieren.

Funktionen zweier Variablen, partielle Ableitungen, Differentiale und Gradienten

Thema 5.Funktionen zweier Variablen.

partielle Ableitungen

Definition einer Funktion zweier Variablen, Einstellungsmethoden.

Partielle Ableitungen.

Gradient einer Funktion einer Variablen

Finden der größten und kleinsten Werte einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen begrenzten Bereich

1. Definition einer Funktion mehrerer Variablen, Einstellungsmethoden

Für Funktionen zweier Variablen
Definitionsbereich ist einiges Menge von Punkten auf einer Ebene
, und der Wertebereich ist das Intervall auf der Achse
.

Zur visuellen Darstellung Funktionen von zwei Änderungen nyh werden angewendet ebene Linien.

Beispiel . Für die Funktion
Erstellen Sie ein Diagramm und nivellieren Sie die Linien. Schreiben Sie die Gleichung der durch den Punkt verlaufenden Höhenlinie auf
.

Graph einer linearen Funktion Ist Flugzeug im Weltraum.

Für eine Funktion ist der Graph eine Ebene, die durch die Punkte verläuft
,
,
.

Linien auf Funktionsebene sind parallele Geraden, deren Gleichung lautet
.

Für lineare Funktion zweier Variablen
Die Pegellinien sind durch die Gleichung gegeben
und vertreten eine Familie paralleler Linien auf einer Ebene.

4

Graph einer Funktion 0 1 2 X

Linien auf Funktionsebene

Private Projekteabgeleitete Funktionen zweier Variablen

Betrachten Sie die Funktion
. Geben wir die Variable an am Punkt
willkürliches Inkrement
, Verlassen variabler Wert unverändert. Entsprechendes Funktionsinkrement

angerufen privates Inkrement einer Funktion durch eine Variable am Punkt
.

Ähnlich definiert Teilfunktionsinkrementnach Variable: .

Bezeichnungpartielle Ableitung nach: , ,
,
.

Partielle Ableitung einer Funktion nach einer Variablen wird als Endgrenze bezeichnet :

Bezeichnungen: , ,
,
.

Um die partielle Ableitung zu finden
nach Variable werden die Regeln zur Differenzierung einer Funktion einer Variablen verwendet, vorausgesetzt, die Variable ist konstant.

Ebenso die partielle Ableitung nach einer Variablen ermitteln Eine Variable gilt als konstant .

Beispiel . Für die Funktion
Finden Sie partielle Ableitungen
,
und berechnen Sie ihre Werte an der Stelle
.

Partielle Ableitung einer Funktion
nach Variable setzt voraus, dass sie konstant ist:

Finden wir die partielle Ableitung der Funktion nach unter der Annahme einer Konstante:

Berechnen wir die Werte partieller Ableitungen bei
,
:

;
.

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Funktionen mehrerer Variablen werden partielle Ableitungen partieller Ableitungen erster Ordnung genannt.

Schreiben wir die partiellen Ableitungen 2. Ordnung für die Funktion auf:

;
;

;
.

;
usw.

Wenn gemischte partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen irgendwann stetig sind
, dann werden sie einander gleich an dieser Stelle. Dies bedeutet, dass für eine Funktion zweier Variablen die Werte gemischter partieller Ableitungen nicht von der Reihenfolge der Differenzierung abhängen:

.

Beispiel. Finden Sie für die Funktion die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
Und
.

Lösung

Die gemischte partielle Ableitung wird ermittelt, indem zunächst die Funktion sukzessive differenziert wird durch (Konstante annehmen) und dann die Ableitung differenzieren
durch (unter Berücksichtigung der Konstante).

Die Ableitung wird gefunden, indem man zuerst die Funktion nach differenziert und dann die Ableitung nach .

Gemischte partielle Ableitungen sind einander gleich:
.

3. Gradient einer Funktion zweier Variablen

Verlaufseigenschaften

Beispiel . Gegeben eine Funktion
. Finden Sie den Farbverlauf
am Punkt
und baue es.

Lösung

Finden wir die Koordinaten des Gradienten – partielle Ableitungen.

Am Punkt
Gradient gleich . Anfang des Vektors
am Punkt und das Ende am Punkt.

5

4. Finden der größten und kleinsten Werte einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen begrenzten Bereich

Formulierung des Problems. Es sei ein geschlossener begrenzter Bereich auf der Ebene vorhanden
ist durch ein System von Ungleichungen der Form gegeben
. Es müssen Punkte im Bereich gefunden werden, an denen die Funktion die größten und kleinsten Werte annimmt.

Wichtig ist Problem, ein Extremum zu finden, dessen mathematisches Modell enthält linear Einschränkungen (Gleichungen, Ungleichungen) und linear Funktion
.

Formulierung des Problems. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion
(2.1)

unter Einschränkungen

(2.2)

. (2.3)

Da es für eine lineare Funktion vieler Variablen keine kritischen Punkte gibt innen Region
, dann wird nur die optimale Lösung erreicht, die ein Extremum zur Zielfunktion liefert an der Grenze der Region. Für einen durch lineare Einschränkungen definierten Bereich sind die Punkte möglicher Extrema Eckpunkte. Dies ermöglicht es uns, über die Lösung des Problems nachzudenken grafische Methode.

Grafische Lösung eines Systems linearer Ungleichungen

Um dieses Problem grafisch zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen grafisch zu lösen.

Verfahren:

Beachten Sie, dass die Ungleichung
definiert rechte Koordinatenhalbebene(von Achse
) und die Ungleichung
- obere Koordinatenhalbebene(von Achse
).

Beispiel. Lösen Sie die Ungleichung grafisch
.

Schreiben wir die Gleichung der Grenzlinie auf
und bauen Sie es basierend auf zwei Punkten auf, zum Beispiel:
Und
. Eine Gerade teilt eine Ebene in zwei Halbebenen.

Punktkoordinaten
erfüllen die Ungleichung (
– wahr), was bedeutet, dass die Koordinaten aller Punkte der Halbebene, die den Punkt enthält, die Ungleichung erfüllen. Die Lösung der Ungleichung sind die Koordinaten der Punkte der Halbebene, die sich rechts von der Grenzlinie befinden, einschließlich der Punkte auf der Grenze. Die gewünschte Halbebene ist in der Abbildung hervorgehoben.

Lösung
System der Ungleichungen heißt akzeptabel, wenn seine Koordinaten nicht negativ sind, . Die Menge der zulässigen Lösungen des Ungleichungssystems bildet einen Bereich, der im ersten Viertel der Koordinatenebene liegt.

Beispiel. Konstruieren Sie den Lösungsbereich des Ungleichungssystems

Die Lösungen der Ungleichungen sind:

1)
- Halbebene, die sich relativ zur Geraden links und unten befindet ( )
;

2)
– Halbebene, die sich in der unteren rechten Halbebene relativ zur Geraden befindet ( )
;

3)
- Halbebene rechts von der Geraden ( )
;

4) - Halbebene über der x-Achse, also gerade Linie ( )
.

0

Auswahl an realisierbaren Lösungen eines gegebenen Systems linearer Ungleichungen ist eine Menge von Punkten, die sich innerhalb und auf der Grenze des Vierecks befinden
, welches ist Überschneidung vier Halbebenen.

Geometrische Darstellung einer linearen Funktion

(Ebenenlinien und Farbverlauf)

Lassen Sie uns den Wert festlegen
, wir erhalten die Gleichung
, was geometrisch eine gerade Linie definiert. An jedem Punkt der Geraden nimmt die Funktion den Wert an und ist ebene Linie. Geben unterschiedliche Bedeutungen, zum Beispiel

, ... , wir bekommen viele ebene Linien - Satz von Parallelen Direkte.

Lass uns bauen Gradient- Vektor
, deren Koordinaten gleich den Werten der Koeffizienten der Variablen in der Funktion sind
. Dieser Vektor: 1) steht senkrecht auf jeder Geraden (Ebenenlinie)
; 2) zeigt die Anstiegsrichtung der Zielfunktion.

Beispiel . Zeichnen Sie Höhenlinien und Verlaufsfunktionen
.

Die Höhenlinien bei , sind gerade

,
,

, parallel zueinander. Der Gradient ist ein Vektor senkrecht zu jeder Höhenlinie.

Grafisches Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer linearen Funktion in einer Fläche

Geometrische Formulierung des Problems. Finden Sie im Lösungsbereich des Systems linearer Ungleichungen den Punkt, durch den die Niveaulinie verläuft, der dem größten (kleinsten) Wert einer linearen Funktion mit zwei Variablen entspricht.

Reihenfolge:

4. Finden Sie die Koordinaten von Punkt A, indem Sie das Gleichungssystem der Linien lösen, die sich im Punkt A schneiden, und berechnen Sie den kleinsten Wert der Funktion
. Ebenso – für Punkt B und den größten Wert der Funktion
. aufgebaut auf Punkten.Variablen PrivatDerivateFunktionen mehrere Variablen und Differenzierungstechnik. Extremum FunktionenzweiVariablen und es ist notwendig...