Alle Aufgaben in diesem Abschnitt sind optional in dem Sinne, dass es nicht notwendig ist, dass alle Schüler sie lösen können. Verwenden Sie sie so viel, wie es für Ihre Schüler interessant ist, soweit Sie die Lernaktivitäten von Schulkindern organisieren können, die zu ihrer Entwicklung beitragen. Die ersten Aufgaben eignen sich gut für die Frontalarbeit mit der Klasse. Nach der Arbeit mit ihnen lernen die Schüler, besser zwischen direkter und umgekehrter Proportionalität zu unterscheiden, und haben weniger Schwierigkeiten mit Aufgaben nach einer einfachen Dreifachregel.
278 .* 3 Hühner legten 3 Eier in 3 Tagen. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen?
Die Schüler werden sehr überrascht sein, wenn sie erfahren, dass die „offensichtliche“ Antwort „12 Eier“ falsch ist. Die Lösung des ersten Problems aus diesem Abschnitt wird am besten gemeinsam analysiert, vielleicht nach einigen Überlegungen zu Hause. Leitfragen finden Sie im Abschnitt "Antworten und Tipps". Notieren Sie kurz den Zustand des Problems:
Hühnerei Tage
12 12x,
Während des Dialogs müssen Sie herausfinden, wie oft sich die Anzahl der Hühner erhöht hat (4-mal); Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert, wenn sich die Anzahl der Tage nicht geändert hat (um das 4-fache erhöht); wie oft hat sich die Anzahl der Tage erhöht (4-mal); wie sich die Anzahl der Eier verändert hat (4-mal erhöht). Als Ergebnis ist die Anzahl der Eier:
x = 3 4 4 = 48.
279 .* 100 Meisen in 100 Tagen fressen 100 kg Körner. Wie viel Kilogramm Getreide fressen 10 Meisen in 10 Tagen?
280 .* 3 Maler können in 5 Tagen 60 Fenster streichen.
a) Wie viele Maler sollen Fenster streichen, damit sie in 2 Tagen 64 Fenster streichen?
b) Wie viele Fenster streichen 5 Maler in 4 Tagen?
c) Wie viele Tage brauchen 2 Maler, um 48 Fenster zu streichen?
281 .* a) 2 Bagger für 2 h graben 2 m Gräben. Wie viele Bagger für 5 h graben 5 m Gräben?
b) 10 Pumpen für 10 Mindest abpumpen 10 t Wasser. Wie viele Minuten pumpen 25 Pumpen 25 ab t Wasser?
282 .* Fremdsprachenkurse mieten Unterrichtsräume in der Schule. In der ersten Jahreshälfte erhielt die Schule für die Anmietung von 4 Klassenzimmern für 6 Tage die Woche 336 R. im Monat. Wie hoch ist die monatliche Miete in der zweiten Jahreshälfte für 5 Klassenzimmer, 5 Tage die Woche zu gleichen Konditionen?
283 .* Aus "Arithmetik" L.F. Magnitsky. Jemand hatte 100 R. 1 Jahr bei den Händlern und erwarb nur 7 davon R. Und als er den Kaufleuten 1000 gab R. für 5 Jahre, wie viel werden sie gewinnen?
284 .* Aus I. Newtons "Allgemeiner Arithmetik". Wenn ein Schreiber 15 Blätter in 8 Tagen schreiben kann, wie viele Schreiber braucht man, um 405 Blätter in 9 Tagen zu schreiben?
285 .* Altes Problem. Ein Kopist kann innerhalb von 4 Tagen 40 Blätter kopieren und arbeitet an 9 h am Tag. In wie vielen Tagen kopiert er 60 Blatt und arbeitet 12 h am Tag?
286 .* Die Gastgeberin wurde gefragt:
Legen deine Hühner gut?
Überlegen Sie selbst, - war die Antwort, - anderthalb Hühner legen anderthalb Tage eineinhalb Eier, und insgesamt habe ich 12 Hühner.
Wie viele Eier legen Hühner pro Tag?
287 .* a) Das erste Baggerteam besteht aus 4 Personen - sie sind für 4 h gegraben 4 m Gräben. Es gibt 5 Leute in der zweiten Baggerbrigade - sie sind für 5 h gegraben 5 m Gräben. Welches Team funktioniert am besten?
b) Die 3 Hennen der ersten Gastgeberin legten 6 Eier in 3 Tagen und die 4 Hennen der zweiten Gastgeberin legten 8 Eier in 4 Tagen. Welche Gastgeberin hat bessere Hühner?
288 .* Alte Aufgaben. a) Der Unterhalt von 45 Personen wurde in 56 Tagen 2040 aufgewendet R. Wie viel sollte ausgegeben werden, um 75 Menschen 70 Tage lang zu unterstützen?
b) Um ein Buch mit 32 Zeilen pro Seite und 30 Buchstaben pro Zeile zu drucken, werden 24 Blatt Papier für jede Kopie benötigt. Wie viele Blätter Papier braucht man, um dieses Buch im gleichen Format zu drucken, aber mit 36 Zeilen pro Seite und 32 Buchstaben pro Zeile?
Betrachten Sie komplexere Probleme mit vier und sogar sechs Größen. Sie können den stärksten Schülern, die gerne Puzzleprobleme lösen, als optionale Hausaufgabe gegeben werden.
289 .* Aus „Arithmetik“ von A.P. Kiseleva.
a) 120 Pfund Kerosin wurden verwendet, um 18 Räume in 48 Tagen zu beleuchten, wobei in jedem Raum 4 Lampen brannten. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen?
b) Für 5 identische Petroleumkocher, die 24 Tage lang gebrannt haben, 6 h täglich 120 ausgegeben l Kerosin. Wie viele Tage sind genug 216 l Kerosin, wenn 9 des gleichen Kerosins 8 verbrennen h am Tag?
290 .* Alte Aufgabe. Ein Artel von Baggern mit 26 Personen, die mit Maschinen von 12 arbeiten h pro Tag, kann mit 96 einen Kanal graben m Länge, 20 m Breite und 12 dm Tiefe innerhalb von 40 Tagen. Wie lange kann ein Kanal von 39 Baggern gegraben werden, die 80 Tage bei 10 arbeiten h pro Tag, wenn die Kanalbreite 10 sein soll m, Tiefe 18 dm?
Aufgabe 290 S.I. Shokhor-Trotzki hielt es für unbefriedigend für die Lebensbedingungen und nicht für die Schulpraxis geeignet, er betrachtete es in seiner "Methode der Arithmetik" (1935) "für sich selbst". Wenden wir die von uns verbesserte „Endformel“ an. In einer starken Klasse kann diese Methode den Schülern gezeigt werden, aber nur mit ihrer aktiven Beteiligung an der Lösung - sonst wird die Arbeit sinnlos. Unten ist eine kurze Problemstellung und Argumentation angegeben, parallel dazu kann ein sukzessive ergänztes Protokoll, das rechts gezeigt wird, an der Tafel aufbewahrt werden.
Länge Pers. Tage Stunde. Shir. CH.
96 26 40 12 20 12
x 39 80 10 10 18
Die Kanallänge erhöht sich von
Zunahme der Personenzahl in 39 / 26 mal, x = 96· 39 / 26
aus der Erhöhung der Anzahl der Tage in 80 / 40 mal x = 96 39 / 26 80 / 40
und von der Verringerung der Breite in 20 / 10 mal; x = 96 39 / 26 80 / 40 .
Die Kanallänge nimmt ab ab
Verringerung der Stundenzahl 12 / 10 mal und x = 96 39 / 26 80 / 40 20 / 10: 12 / 10
und aus zunehmender Tiefe hinein 18 / 12 mal: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.
Schließlich haben wir: x = 320. Das bedeutet, dass 39 Bagger einen 320 m langen Kanal graben können.
Alle Aufgaben in diesem Abschnitt sind optional in dem Sinne, dass es nicht notwendig ist, dass alle Schüler sie lösen können. Verwenden Sie sie so oft, wie es für Ihre Schüler interessant ist.
Drei Hühner legten in 3 Tagen 3 Eier. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen?
Die Schüler werden sehr überrascht sein, wenn sie erfahren, dass die „offensichtliche“ Antwort „12 Eier“ falsch ist. Es ist besser, die Lösung der ersten Aufgabe aus diesem Abschnitt gemeinsam zu analysieren, vielleicht nach einer Überlegung zu Hause, und den Zustand der Aufgabe kurz aufzuschreiben:
Hühnertage Eier
3 33
12 12x
Während des Dialogs müssen Sie herausfinden, wie oft sich die Anzahl der Hühner erhöht hat (4-mal); Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert, wenn sich die Anzahl der Tage nicht geändert hat (um das 4-fache erhöht); wie oft hat sich die Anzahl der Tage erhöht (4-mal); wie sich die Anzahl der Eier verändert hat (4-mal erhöht). Die Anzahl der Eier ist: x = 3 4 4 = 48.
2. Drei Maler können in 5 Tagen 60 Fenster streichen. Wie viele Maler sollten zum Streichen von Fenstern eingesetzt werden, damit sie in 2 Tagen 64 Fenster streichen?
3. Fremdsprachenkurse mieten Räumlichkeiten für den Unterricht an der Schule. In der ersten Hälfte des Jahres erhielt die Schule 336 Rubel für die Anmietung von vier Klassenzimmern für 6 Tage in der Woche. im Monat. Wie hoch ist die monatliche Miete in der zweiten Jahreshälfte für 5 Klassenzimmer, 5 Tage die Woche zu gleichen Konditionen?
4. (Aus "Allgemeine Arithmetik" von I. Newton.) Wenn ein Schreiber 15 Blätter in 8 Tagen schreiben kann, wie viele Schreiber braucht man, um 405 Blätter in 9 Tagen zu schreiben?
5. (Ein altes Problem.) Für den Unterhalt von 45 Personen wurden in 56 Tagen 2040 Rubel ausgegeben. Wie viel sollte ausgegeben werden, um 75 Menschen 70 Tage lang zu unterstützen?
Betrachten Sie komplexere Probleme mit vier und sogar sechs Größen. Sie können den stärksten Schülern, die gerne Puzzleprobleme lösen, als optionale Hausaufgabe gegeben werden.
6. (Aus "Arithmetik" von A. Kiselyov.) Für die Beleuchtung von 18 Räumen wurden in 48 Tagen 120 Pfund Kerosin verbraucht und in jedem Raum brannten 4 Lampen. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen?
7. (Ein altes Problem.) Ein Artel von 26 Baggern, die 12 Stunden am Tag mit Maschinen arbeiten, kann in 40 Tagen einen 96 m langen, 20 m breiten und 12 dm tiefen Kanal graben. Wie lange kann ein Kanal von 39 Baggern gegraben werden, die 80 Tage lang 10 Stunden am Tag arbeiten, wenn die Breite des Kanals 10 m und die Tiefe 18 dm beträgt?
Gut zu ertragen, gut zu lehren,
Ziele durch Widrigkeiten erreichen
Diene der Wahrheit mit Liebe -
Ich nenne es Weisheit.
A. W. Elisov.
Das Bestehen einer Prüfung in Mathematik von Absolventen der Grundschule in neuer Form und von Absolventen der Sekundarstufe in Form des Einheitlichen Staatsexamens stellte die Lehrkräfte vor eine Reihe von Fragen: Wie unterrichten unter den neuen Bedingungen? Wie können Sie Ihren Unterricht so organisieren, dass die Schüler nach der Prüfung zufrieden sind und nicht sagen, dass „wir solche Probleme nicht gelöst haben“? Die Worte von L.G. Peterson: „Wert ist heute nicht dort, wo die Welt nach dem Schema „Ich weiß – ich weiß nicht, ich kann – ich kann nicht, ich besitze – ich weiß nicht“, sondern wo die These steht „Ich suche und finde, denke und lerne, trainiere und mache“. Die Persönlichkeit des Schülers, seine Einstellung zur Welt, die Fähigkeit zur kulturellen Kommunikation und Reflexion, ein angemessenes Selbstwertgefühl und Selbstentfaltung, der Fokus auf das Schaffen und das Gute stehen im Vordergrund.
Was sollte die moderne Lektion sein? Zunächst einmal ist dies eine interessante Lektion. Nur so bleibt eine hohe Motivation und emotionale Färbung des Unterrichts erhalten. Dies ist eine durchdachte Struktur des Unterrichts und die Logik des Lernens neuen Materials und die Vielfalt des didaktischen Materials und die Organisation der Arbeit der Schüler und die ständige Suche nach Formen und Methoden des Unterrichts und der technischen Ausstattung des Lektion.
Wo soll man anfangen? Zu Beginn jedes Schuljahres in den Klassen 5-9 führe ich Eingangskontrolltests durch, um das Restwissen der Schüler zu ermitteln. Je nach Restwissen setze ich die Kinder entsprechend den drei Ausbildungsstufen in bestimmte Reihen. Gleichzeitig wissen die Schüler, dass sie, wenn sie den Stoff beherrschen, in Bezug auf ihren Vorbereitungsstand in die nächste Gruppe wechseln können.
Um in jeder Lektion gute Ergebnisse zu erzielen, führe ich eine obligatorische mündliche Berechnung durch, unterrichte unabhängiges Arbeiten und Tests. In der 6. Klasse sollen die Schüler das Thema positive und negative Zahlen gut beherrschen, in der 7. Klasse sollen sie die Formeln der abgekürzten Multiplikation gut lernen, in der 8. Klasse sollen sie quadratische Gleichungen lösen. Dies sind globale Themen, die nicht ausgeführt werden können. In den Klassen 5-7 verwende ich Arbeitshefte mit Testaufgaben sowie Aufgabensammlungen mit Tests. Das Kennenlernen von Studenten mit Algorithmen zur Lösung von Problemen erfolgt in den Unterrichtsvorträgen. Die Jungs haben ein separates Notizbuch, in das sie Anweisungen und ein Beispiel der Aufgabe schreiben. Die Weiterentwicklung erfolgt im praktischen Unterricht mit verschiedenen Arbeitsformen (Frontal, Gruppe, Einzel). Um die Assimilation des Algorithmus schnell zu kontrollieren, führe ich sehr oft (jede oder jede Unterrichtsstunde) kleine unabhängige Arbeiten durch, deren Zweck nicht darin besteht, Noten zu vergeben, sondern diejenigen Schüler zu identifizieren, die etwas nicht verstehen. Diese Leute werden umgehend von Beratern unterstützt, oder ich erkläre es erneut und rufe den Vorstand an. Bei der Organisation der Arbeit in Gruppen erhalten einige Schüler Aufgaben, die auf das Erreichen obligatorischer Lernergebnisse abzielen, und einige haben eine Beispielaufgabe vor sich, während andere nur einen Algorithmus haben, während stärkere Schüler Aufgaben auf einem fortgeschrittenen Niveau erhalten. In einem solchen Unterricht konzentriert sich meine Arbeit auf schwächere Schüler, in einer starken Gruppe finden sie in der Regel immer die richtige Lösung durch gemeinsame Anstrengungen, indem sie Wissen und Handlungsmethoden in einer neuen Situation selbstständig anwenden. Bei der Bewertung von Schülern habe ich es nicht eilig, Noten in das Tagebuch einzutragen, ich gebe immer die Möglichkeit, eine bessere Note zu bekommen, und achte darauf, die "Zwei" zu korrigieren, dafür muss der Schüler die Arbeit an den Fehlern an seinem erledigen selbst oder mit Hilfe von Beratern (mit meiner Hilfe) und dann eine ähnliche Aufgabe im Unterricht lösen.
Die Hauptsache ist, dass die Jungs mit der Zeit keine Angst mehr vor "Zweien" haben, mutiger Fragen stellen und die Aufgaben des Pflichtniveaus bewältigen Die Atmosphäre im Unterricht ist freundlich und ruhig.
Das Lehren von Algorithmen ermöglicht das Erreichen eines verbindlichen Lernniveaus für die schwächsten Schüler und kann nicht zu einer Standardisierung des Denkens und einer Unterdrückung der kreativen Kräfte von Kindern führen, da die Entwicklung verschiedener automatisierter Handlungen (Fähigkeiten) ein notwendiger Bestandteil des kreativen Prozesses ist , ohne die es einfach nicht geht.
Das Erlernen von Algorithmen beschränkt sich nicht nur auf das Auswendiglernen, sondern beinhaltet auch das eigenständige Entdecken, Konstruieren und Gestalten von Algorithmen, und dies ist der kreative Prozess. Schließlich umfasst die Algorithmisierung nicht den gesamten Bildungsprozess, sondern nur diejenigen seiner Komponenten, wo es angemessen ist. Das System der Algorithmen - Programme ermöglicht es, den Bildungsprozess in der Phase der Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung typischer Probleme bis zu einem gewissen Grad zu automatisieren, und schafft zahlreiche Möglichkeiten für eine aktive unabhängige Arbeit der Schüler.
Am Ende der 7. Klasse und in der 8. Klasse führe ich die Schüler in die Aufgabensammlung zur Vorbereitung auf die staatliche Abschlussprüfung in der 9. Klasse von L. V. Kuznetsova, dem Prosveshchenie-Verlag 2007-2009, ein. Diese Sammlung dient der Vorbereitung auf die staatliche Abschlussprüfung in Algebra in einer neuen Form, die aus drei Hauptteilen und zwei Anhängen besteht.
In der 9. Klasse entwickle ich mein System der Prüfungsvorbereitung für den Kurs der Grundschule.
In der kalenderthematischen Planung des Algebraunterrichts für die 9. Klasse führe ich Themen ein, die wiederholt werden müssen
Die Haupteigenschaft der Proportion;
Probleme bei der Erstellung und Lösung von Proportionen;
Interessenaufgaben;
Abgekürzte Multiplikationsformeln;
Ausdrücke und ihre Transformationen
Gleichungen und Gleichungssysteme;
Ungleichheiten und Ungleichheitssysteme;
Arithmetische und geometrische Progressionen.
Ich führe die Wiederholung sowohl im Unterricht als auch nach dem Unterricht durch systemische Beratungen durch. Nachdem ich im Unterricht ein Mikroklima im Klassenzimmer geschaffen habe, arbeite ich die Algorithmisierung von Aktionen aus; Ich halte das Interesse der Schüler am Thema aufrecht und bilde Motivation zum Lernen. Die Studierenden lernen den erforderlichen Mindeststoff in Mathematik gut, wenn sie methodische Techniken anwenden:
Problemlösung nach Modell;
Berücksichtigung unterschiedlicher Lösungsansätze für dasselbe Problem;
Erstellung von Referenzdiagrammen und Verwendung anderer visueller Lehrmittel;
Korrekte Auswahl der Themen und des Aufgabenniveaus, um ihnen eine unterhaltsame Form zu geben;
Der Einsatz des Wettbewerbs wird durch folgende Lehrerfragen angeregt: „Wie löst man schneller?“, Wer hat die kürzeste Lösung?“. , Das einfachste?".
Ich führe die thematische Kontrolle durch Tests durch und befolge die Regeln für die Organisation der Arbeit mit Tests:
Die Schüler machen sich Notizen auf Antwortkarten;
Der Lehrer gibt Anweisungen zum korrekten Ausfüllen der Karte;
Bearbeitungszeiten und Bewertungsnormen sind den Studierenden vorab zu erläutern.
Im Unterricht verwende ich Kartenberater, mit deren Hilfe sie das gelernte Material wiederholen. Sie enthalten alle bedingten Momente des zu untersuchenden Themas sowie den Algorithmus zum Lösen von Aufgaben.
CARD-BERATER ZUM THEMA
"SYSTEM DER LINEAREN GLEICHUNGEN"
Lineares Gleichungssystem: 
:
Möglichkeiten, es zu lösen
| Grafischer Weg | Substitutionsmethode | Additionsmethode |
| 1. Drücken Sie in jeder Gleichung y durch x aus 2. Zeichnen Sie die Funktion jeder Gleichung 3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts | 1. Aus einer beliebigen Gleichung eine Variable durch eine andere ausdrücken. 2. Ersetzen Sie die erhaltenen Ausdrücke und lösen Sie sie. 3. Ersetzen Sie den gefundenen Wert der Variablen und berechnen Sie den Wert der zweiten Variablen. | 1. Module von Koeffizienten einer beliebigen Variablen ausgleichen. 2. Addiere (subtrahiere) die empfangenen Gleichungen des Systems. 3. Erstellen Sie ein neues System: Eine Gleichung ist neu, die andere ist eine der alten. 4. Lösen Sie eine neue Gleichung und finden Sie den Wert einer Variablen. 5. Setze den Wert der gefundenen Variablen in die alte Gleichung ein und finde den Wert einer anderen Variablen. |
Antwort: x \u003d _______; y =_______
In der Arbeit mit leistungsschwachen Kindern setze ich ein ganzes Arsenal an Karten ein, Arbeite nach dem Vorbild!“ , mit denen Sie den Algorithmus verschiedener Aktionen und mathematischer Operationen ausarbeiten können.
Beispielaufgaben.
| 1 Ausdruck | 2 Ausdruck | Das Produkt der Differenz dieser Ausdrücke durch ihre Summe | Die Differenz der Quadrate dieser Ausdrücke |
| Mit 3 Jahre 0,5 x ein V | Mit 5v 2 Jahre 2s | (c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v) | C 2 - x 2 9u2 - 25v2 |
Schüler müssen Aufgaben mit Lücken erledigen. Schlüsselwörter werden weggelassen, deren korrektes Auswendiglernen ein Verständnis des Stoffes anzeigt.
Aufgaben übergeben.
Quadratwurzeln.
Verwenden Sie thematische Tabellen für verschiedene Abschnitte des Schulkurses. Jede Tabelle umreißt kurz die Theorie eines bestimmten Themas (Definitionen, Theoreme, Folgerungen, Formeln); Zeichnungen, Grafiken sowie Beispiele zur Lösung der grundlegendsten Probleme werden gegeben.
Tabellen helfen, Wissen zu systematisieren, die Hauptpunkte eines bestimmten Themas schnell und vollständig zu wiederholen.
Tisch. Quadratwurzeln.
| Definition einer arithmetischen Wurzel  |  = 4, weil 4 0, 4 2 = 16;
−5, weil −5 0;
| 
2 0,8 |
| Identitäten | Grundeigenschaften |
|
| 
| 
|
7, weil 7 2 25;
unentschlossen. 
3;
0,9. 
Vergleiche bezogen auf Quadratwurzeln
Wenn a b 0, dann 
.
.
Wenn ein 1, dann ein und 1.
Wenn 0 eine 1, dann ein und 0 1.
| Entfernung unter der Wurzel
| Einführung unter der Wurzel
|
 ;
|  ;
|
, b 0
;
;
;Ich führe Unterricht zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen durch. Ohne Unterricht zur Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens, auch Unterricht zur verallgemeinernden Wiederholung genannt, kann der Prozess der Wiederholung von Unterrichtsmaterial durch Schüler nicht als abgeschlossen angesehen werden. Der Hauptzweck dieser Lektionen besteht darin, die Verbindungen und Beziehungen zwischen Konzepten und Theorien durch die Schüler zu assimilieren, um eine ganzheitliche Sicht der Schüler auf das gelernte Material, seine Bedeutung und Anwendung unter bestimmten Bedingungen zu bilden. Zusammenfassung und Wiederholung zielen darauf ab, den Erfolg der Mathematikprüfungen sicherzustellen. Ich gebe ein Beispiel für eine verallgemeinernde Wiederholung zum Thema: "Textprobleme lösen".
Fragen:
Einfache Proportionsprobleme.
Schwierige Verhältnisprobleme.
Versuch Nummer 1.
Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Prozent finden.
Versuch Nummer 2.
Komplexe Probleme mit Prozentsätzen. Übung.
Aufgaben für die Bewegung entlang des Flusses.
Bewegungsaufgaben.
Versuch Nummer 3.
Versuch Nummer 4.
Probleme zur Multiplikation und Division natürlicher Zahlen.
Teilaufgaben.
Aufgaben der Zusammenarbeit.
Problemlösung mit Gleichungen.
Versuch Nummer 5.
Mehrere Aufgaben. Fragen und Aufgaben.
Verwendete Quellen :
Algebra: Sa. Aufgaben zur Vorbereitung auf das Abschlusszeugnis in Klasse 9 / [L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich und andere]. M.: Bildung, 2007.
Pädagogische und methodische Zeitschrift Mathematik 2005, Nr. 18, 19, 20, 21, 22, 23, 2007 Nr. 18, 19; 2008 Nr. 11, 12.
Programme von Bildungseinrichtungen. Algebra 7-9. Moskau. Ausbildung. 2008 Zusammengestellt von: Burmistrova T. A.
Einfache Proportionsaufgaben
Die ersten Aufgaben bestehen darin, eine Antwort auf der Grundlage der erfahrenen Ideen der Schüler zu erhalten. Sie zielen darauf ab, die Konzepte der direkten und umgekehrten Proportionalität zu wiederholen.
Bei der Lösung der ersten Probleme ist es sinnvoll zu betonen, dass der Kaufpreis durch die Formel bestimmt wird
Kosten = Preis Menge,
und verfolgen Sie, wie sich bei mehrmaligem Erhöhen (Verringern) eines Wertes der zweite Wert ändert, während der dritte unverändert bleibt.
1°. Für mehrere identische Bleistifte bezahlt 8 Rubel. Wie viel sollten Sie für die gleichen Stifte bezahlen, wenn sie zweimal weniger gekauft würden?
2°. Für mehrere identische Bleistifte bezahlt 8 Rubel. Wie viel sollten Sie für die gleiche Anzahl von Bleistiften bezahlen, von denen jeder doppelt so teuer ist?
3°. Es gibt Geld, um 30 Bleistifte zu kaufen. Wie viele Notizbücher kann man mit dem gleichen Geld kaufen, wenn das Notizbuch doppelt so billig ist wie ein Bleistift?
Ein Radfahrer legte in wenigen Stunden 36 km zurück. Welche Strecke legt ein Fußgänger in derselben Zeit zurück, dessen Geschwindigkeit dreimal geringer ist als die Geschwindigkeit eines Fahrradfahrers?
Ein Radfahrer hat in 3 Stunden eine bestimmte Strecke zurückgelegt, in wie vielen Stunden legt ein Motorradfahrer diese Strecke zurück, dessen Geschwindigkeit 5-mal so schnell ist wie die eines Fahrradfahrers?
Fahren wir mit der Lösung von Problemen mit Proportionen fort. Der erste von ihnen enthält ganzzahlige Werte von Mengen, deren Verhältnis ebenfalls eine ganze Zahl ist.
6. In 6 Stunden legte der Zug 480 km zurück. Welche Strecke hat der Zug in den ersten 2 Stunden bei konstanter Geschwindigkeit zurückgelegt?
7. Um Kirschmarmelade für 6 kg Beeren herzustellen, nehmen Sie 4 kg Kristallzucker. Wie viel Kilogramm Kristallzucker sollten für 12 kg Beeren genommen werden?
100 g Lösung enthalten 4 g Salz. Wie viel Gramm Salz sind in 300 g Lösung enthalten?
9. Ein Personenzug legt die Strecke zwischen zwei Städten mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h in 3 Stunden zurück, wie viele Stunden würde ein Güterzug brauchen, um die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h zurückzulegen?
10. Fünf Maler konnten in 8 Tagen einen Zaun streichen. Wie viele Tage brauchen 10 Maler, um denselben Zaun zu streichen?
Bei Problem 10 wird, wie bei vielen anderen Problemen, davon ausgegangen, dass alle Arbeiter mit der gleichen Produktivität arbeiten und sich nicht gegenseitig stören. Es ist wünschenswert, dies jedes Mal festzulegen, damit die Schüler auf solche Bedingungen aufmerksamer werden.
Damit sie nicht den Eindruck bekommen, dass es nur zwei Arten von Sucht gibt – direkte oder umgekehrte Proportionalität – ist es sinnvoll, provokative Aufgaben in Betracht zu ziehen, bei denen die Sucht anderer Natur ist.
11. 1) 12 Karauschen wurden in 2 Stunden gefangen. Wie viele Karpfen werden in 3 Stunden gefangen?
Drei Hähne weckten 6 Personen. Wie viele Menschen werden von fünf Hähnen geweckt?
Wenn Vasya 10 Seiten des Buches gelesen hat, hat er 90 weitere Seiten zu lesen. Wie viele Seiten hat er noch zu lesen, wenn er 30 Seiten gelesen hat?
Die Beziehung zwischen der Anzahl der gelesenen Seiten in einem Buch und der Anzahl der verbleibenden Seiten wird oft als umgekehrte Beziehung angesehen: Je mehr Seiten gelesen werden, desto weniger bleibt zu lesen. Achten Sie darauf, dass die Zunahme des einen und die Abnahme des anderen Wertes nicht gleich oft erfolgt.
Stellen Sie sich ein Problem vor, bei dem die Abhängigkeit zwischen Mengen oft als direkte Proportionalität angesehen wird und die Antwort „in 4 Wochen“ als richtig angesehen wird.
12*. Der Teich ist mit Lilien bewachsen, und in einer Woche verdoppelt sich die mit Lilien bedeckte Fläche. In wie vielen Wochen ist der Teich halb mit Lilien bedeckt, wenn er in 8 Wochen komplett mit Lilien bedeckt ist?
Da sich die mit Lilien bedeckte Fläche in einer Woche verdoppelt, war der Teich in der Woche, bevor er vollständig mit Lilien bedeckt war, zur Hälfte von Lilien bedeckt. Das heißt, der Teich war in 7 Wochen halb mit Lilien bedeckt?
8 m Tuch kosten so viel wie 63 m Chintz. Wie viele Meter Chintz kann man statt 12 Meter Stoff kaufen?
(Ein altes Problem.) An einem heißen Tag haben 6 Mäher in 8 Stunden ein Fass Kwas getrunken. Wir müssen herausfinden, wie viele Mäher das gleiche Fass Kwas in 3 Stunden trinken werden?
(Aus Al. Kiselyovs "Arithmetik"?) 8 Arshins Stoff kosten 30 Rubel. Wie viel sind 15 Arshins dieses Stoffes wert?
Ein Lkw hat mit 60 km/h die Strecke zwischen den Städten in 8 Stunden zurückgelegt, in wie vielen Stunden fährt ein Auto mit 80 km/h die gleiche Strecke?
Der Autofahrer bemerkte, dass er mit einer Geschwindigkeit von 60 km / h in 40 Sekunden die Brücke über den Fluss fuhr. Auf dem Rückweg überquerte er die Brücke in 30 Sekunden. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Autos auf dem Rückweg.
Zwei Zahnräder kämmen mit Zähnen. Der erste, der 60 Zähne hat, macht 50 Umdrehungen pro Minute. Wie viele Umdrehungen pro Minute macht der zweite, der 40 Zähne hat?
Die oben betrachteten Probleme reichen völlig aus, damit die Schüler lernen, zwischen direkter und umgekehrter Proportionalität zu unterscheiden, Proportionen zu machen] und sie zu lösen.
(Aus "Arithmetik" von A. P. Kiselev.) 8 Arbeiter erledigen eine Arbeit in 18 Tagen; Wie viele Tage werden 9 Personen die gleiche Arbeit erledigen und so erfolgreich arbeiten wie die ersten?
20*. (Ein altes Problem.) Zehn Arbeiter müssen ihre Arbeit in 8 Tagen beenden. Als sie 2 Tage gearbeitet hatten, stellte es sich als notwendig heraus, die Arbeit nach 3 Tagen zu beenden. Wie viele Mitarbeiter müssen Sie noch einstellen?
(Aus „Arithmetik“ von L. F. Magnitsky.) Ein gewisser Herr rief einen Zimmermann und ließ den Hof bauen. Er gab ihm 20 Arbeiter und fragte, wie viele Tage sie seinen Hof bauen würden. Der Zimmermann antwortete: in 30 Tagen. Und der Meister muss in 5 Tagen bauen, weshalb er den Zimmermann fragte: Wie viele Leute braucht man, damit man mit ihnen in 5 Tagen einen Hof bauen kann; und ich bin ein zimmermann, fragt dich ratlos, ein arithmetiker: wie viele leute braucht er, um diesen hof in 5 tagen zu bauen?
22*. (Ein altes Problem.) Sie nahmen 560 Soldaten mit, um sie 7 Monate lang zu ernähren, und ihnen wurde befohlen, 10 Monate im Dienst zu sein; und sie wollten sich die Menschen wegnehmen, damit es für 10 Monate genug zu essen gab. Die Frage ist, wie viele Personen reduziert werden sollen.
(Ein altes Problem.) Eine Gruppe von Zimmerleuten, bestehend aus 28 Personen, kann ein Haus in 54 Tagen bauen, und eine andere - von 30 Personen - in 45 Tagen. Welche Artel funktioniert besser?
Zum Abschluss des Gesprächs über Probleme, die mit Hilfe von Proportionen gelöst werden, ist es notwendig, ein Beispiel für ein Problem zu geben, das nicht „auf die alte Art“ gelöst werden kann.
24. Ein Personenzug legt eine bestimmte Strecke in 3 Stunden und ein Schnellzug in 2 Stunden zurück, nachdem diese Züge zwei Städte gleichzeitig verlassen haben. Der Personenzug legte 120 km zurück, bevor er auf den Krankenwagen traf. Wie viele Kilometer legte der Schnellzug zurück, bevor er auf den Personenzug traf?
Hier können Sie 120 km nicht durch 3 Stunden teilen, da eine andere Strecke in 3 Stunden zurückgelegt wurde. Lassen Sie uns kurz den Zustand des Problems aufschreiben.
Zeitabstand
Express 2h x km
Passagier-SP 120 km
Beim ersten Mal fuhren die Züge denselben Weg, während die Geschwindigkeit umgekehrt proportional zur Zeit ist, dh die Geschwindigkeit des Schnellzugs ist doppelt so hoch wie die des Personenzugs.
Und beim zweiten Mal war die Bewegungszeit konstant, während die Entfernung direkt proportional zur Geschwindigkeit ist, dh die vom Schnellzug zurückgelegte Entfernung ist doppelt so groß wie die vom Personenzug zurückgelegte Entfernung.
Machen wir eine Proportion 
, wodurch wir x = 180 erhalten. Der Schnellzug legte 180 km zurück, bevor er auf den Personenzug traf.
Schwierige Proportionsaufgaben
Hühnertage Eier
3 33
12 12x
4.
5. (Ein altes Problem.)
6.
7.
(Ein altes Problem.)
Prüfung 1
Variante 1
Die beiden Bibliotheken hatten die gleiche Anzahl von Büchern. Ein Jahr später stieg die Anzahl der Bücher in der ersten Bibliothek um 50% und in der zweiten um das Zweifache. Welche Bibliothek hat mehr Bücher?
B. In der zweiten Bibliothek
BEI. Es gibt gleich viele Bücher
G
Beim Kauf einer Waschmaschine im Wert von 6500 R. Der Käufer legte eine aus der Zeitung ausgeschnittene Anzeige vor, die das Recht auf einen Rabatt von 5 % gewährte. Wie viel zahlt er für das Auto?
180 Personen können zum ersten Studiengang des Instituts zugelassen werden. Die Zahl der eingereichten Bewerbungen betrug 120 % der Zahl der Studienplätze. Wie viele Bewerbungen wurden eingereicht?
Der Wasserstand des Flusses lag bei rund 2,4 m. In den ersten Stunden des Hochwassers stieg er um 5 %. Welchen Pegel hat das Wasser im Fluss erreicht?
Option 2
Die beiden Bibliotheken hatten die gleiche Anzahl von Büchern. Ein Jahr später stieg die Anzahl der Bücher in der ersten Bibliothek um 50% und in der zweiten um das 1,5-fache. Welche Bibliothek hat mehr Bücher?
B. In der zweiten Bibliothek
BEI. Es gibt gleich viele Bücher
G. Nicht genügend Daten, um zu antworten
Die Stromrechnung beträgt 800 Rubel. Wie viel müssen Sie für Versorgungsunternehmen bezahlen, nachdem der Preis um 6 % gestiegen ist?
Im Dezember wurde jedem Mitarbeiter des Unternehmens eine Prämie in Höhe von 130 seines Monatsgehalts ausgezahlt. Welchen Bonus hat ein Mitarbeiter erhalten, dessen Gehalt 5500 Rubel beträgt?
Das Unternehmen platzierte 5 Millionen Rubel in der Bank. bei 8 % pro Jahr. Wie viel steht in einem Jahr auf dem Konto des Unternehmens?
B. 9 Millionen Rubel D. 0,4 Millionen Rubel
Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes
Glühbirnen wurden ins Elektrofachgeschäft gebracht. Darunter waren 16 kaputte Glühbirnen, was 2 % ihrer Anzahl ausmachte. Wie viele Glühbirnen wurden mitgebracht
Punktzahl?
Finden Sie eine Zahl, deren 110 % gleich 33 sind.
60 % der Klasse gingen ins Kino und die restlichen 12 Personen gingen in die Ausstellung. Wie viele Schüler sind in der Klasse?
4. Der Warenpreis ist um 30% gestiegen und beträgt jetzt 91 Rubel. Wie teuer war das Produkt vor der Preiserhöhung?
5. Das Werk plante, 10.000 Autos zu produzieren. Der Plan wurde um 2 % übertroffen. Wie viele Autos hat das Werk über den Plan hinaus produziert? Wie viele Autos hast du aus dem Wasser gelassen?
Problem 5 wird am besten auf zwei Arten gelöst. Zunächst die Beantwortung der gestellten Fragen:
10.000 0,02 = 200 (Maschine);
10.000 + 200 = 10.200 (Maschine),
dann weitere Fragen stellen:
-Zu wie viel Prozent hat die Anlage den Plan erfüllt?
- Auf 100 + 2 = 102 (%).
-Wie viele Autos machen 102 % aus?
10.000-1,02 = 10.200 (Maschine)
Gras verliert beim Trocknen 80 % seiner Masse. Wie viel Tonnen Heu werden aus 4 Tonnen frischem Gras gewonnen? Wie viele Tonnen Gras müssen geschnitten werden, um 4 Tonnen Heu zu trocknen?
100 - 80 \u003d 20 (%) - die Grasmasse ist die Heumasse;
4 0,2 \u003d 0,8 (t) - Heu wird aus 4 Tonnen Gras gewonnen;
4: 0,2 \u003d 20 (t) - Das Gras muss gemäht werden.
Der Preis des Albums wurde zuerst um 15% und dann um weitere 15 Rubel reduziert. Der neue Preis des Albums nach zwei Ermäßigungen von 19 Rubel. Bestimmen Sie seinen ursprünglichen Preis.
15 + 19 = 34 (p.) - das Album kostet bis zum zweiten
Preisnachlass;
100 - 15 \u003d 85 (%) - fällt auf 34 Rubel;
3) 
= 40 (p.) - das Album war ursprünglich wert.
Setze drei Zahlen zusammen. Der erste belief sich auf 25% des Betrags und der zweite auf 40%. Finde die dritte Zahl, wenn sie um 45 kleiner ist als die zweite.
100 - 25 - 40 = 35 (%) - abgerechnete Beträge
auf der dritten Nummer;
40 - 35 \u003d 5 (%) - der Betrag fällt auf 45;
3) 
= 315 ist die dritte Zahl.
30 % der Klasse und 5 weitere Personen gingen ins Kino, die restlichen 3 gingen in die Klasse und 8 weitere Personen machten einen Ausflug. Wie viele Leute sind in der Klasse?
Ein Drittel der Arbeitnehmer des Unternehmens hatte im Sommer Urlaub, 35 % der übrigen Arbeitnehmer hatten im Herbst Urlaub und weitere 2.314 Personen hatten im Winter und Frühjahr Urlaub. Wie viele Mitarbeiter sind im Unternehmen?
Beim Verkauf von Waren für 693 p. 10% Gewinn erhalten. Bestimmen Sie die Kosten des Artikels.
Prozent finden
Bei der Lösung der Aufgaben in diesem Abschnitt sollten die Schüler eine einfache Idee beherrschen: den Prozentsatz zweier Zahlen zu ermitteln, d. h. wie viel Prozent die erste Zahl von der zweiten ist, können Sie das Verhältnis der ersten Zahl zur zweiten in Prozent ausdrücken.
Die ersten Probleme dieser Art sollten einfach sein, dh das Zahlenverhältnis sollte als endlicher Dezimalbruch ausgedrückt werden.
Um den Prozentsatz zweier Zahlen zu ermitteln, kannst du die erste Zahl durch die zweite teilen und das Ergebnis mit 100 multiplizieren.
Aus 16 kg frischen Birnen wurden 4 kg getrocknete Birnen gewonnen. Welchen Bruchteil der Masse frischer Birnen lässt die Masse getrockneter Birnen übrig? Drücken Sie diesen Anteil in Prozent aus. Wie viel Prozent der Masse geht beim Trocknen verloren?
Wie viel Prozent von 50 sind 40? Wie viel Prozent der Zahl 40 ist die Zahl 50?
Mascha hat 120 Seiten gelesen und sie hat noch 130 Seiten des Buches zu lesen. Wie viel Prozent aller Seiten hat sie gelesen? Wie viel Prozent aller Seiten hat sie noch zu lesen?
Der Monat hatte 12 sonnige und 18 bewölkte Tage. Wie viel Prozent des Monats sind sonnige Tage? Wolkige Tage?
5. Wie viel Prozent ist 50 mehr als 40? 40 weniger als 50?
50 von 40 ist 
, oder 
% = 125% ;
50 mehr als 40 mal 125 - 100 = 25 (%);
40 von 50 ist 
, oder 
% = 80% ;
40 ist kleiner als 50 mal 100 - 80 = 20 (%).
6. Der Warenpreis ist von 40 Rubel gesunken. bis 30 r. Wie stark ist der Preis gefallen? Um wie viel Prozent ist der Preis gefallen?
Bei Aufgabe 6 fällt es den Schülern schwer zu bestimmen, welche Zahl sie als 100 % annehmen sollen. Sie müssen ihre Aufmerksamkeit auf die Zahl lenken, mit der sie eine andere Zahl vergleichen. Dabei hilft die Umformulierung des Problems: „Wie viel Prozent von 30 r. weniger als 40 Rubel? Vergleichen Sie mit der Summe von 40 Rubel, was 40 Rubel bedeutet. ist 100%.
Prüfung 2
Variante 1
Die Zahl der Verkehrsunfälle in der Sommerperiode betrug 0,7 der Zahl in der Winterperiode. Um wie viel Prozent ist die Zahl der Verkehrsunfälle im Sommer im Vergleich zum Winter gesunken?
A. 70 % B. 30 % C. 7 % D. 3 %
A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Option 2
Nach dem Abschlag des Fernsehers betrug sein Neupreis 0,8 des alten. Wie viel Prozent des alten Preises ist der neue?
A. 0,8 % B. 8 % C. 20 % D. 80 %
Ordnen Sie die Brüche, die die Brüche eines bestimmten Werts ausdrücken, und die ihnen entsprechenden Prozentsätze zu.
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Schwierige Proportionsaufgaben
Alle Aufgaben in diesem Abschnitt sind optional in dem Sinne, dass es nicht notwendig ist, dass alle Schüler sie lösen können. Verwenden Sie sie so oft, wie es für Ihre Schüler interessant ist.
Drei Hühner legten in 3 Tagen 3 Eier. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen?
Die Schüler werden sehr überrascht sein, wenn sie erfahren, dass die „offensichtliche“ Antwort „12 Eier“ falsch ist. Die Entscheidung des ErstenDatschen aus diesem Abschnitt werden am besten gemeinsam zerlegt,vielleicht, nach Überlegung zu Hause, aufschreibenkurze Bedingung der Aufgabe:
Hühnertage Eier
3 33
12 12x
Während des Dialogs müssen Sie herausfinden, wie oft sich die Anzahl der Hühner erhöht hat (4-mal); Wie hat sich die Anzahl der Eier verändert, wenn sich die Anzahl der Tage nicht geändert hat (um das 4-fache erhöht); wie oft hat sich die Anzahl der Tage erhöht (4-mal); wie sich die Anzahl der Eier verändert hat (4-mal erhöht). Die Anzahl der Eier ist: x = 3 4 4 = 48.
2. Drei Maler können in 5 Tagen 60 Fenster streichen. Wie viele Maler sollten zum Streichen von Fenstern eingesetzt werden, damit sie in 2 Tagen 64 Fenster streichen?
3. Fremdsprachenkurse mieten Räumlichkeiten für den Unterricht an der Schule. In der ersten Hälfte des Jahres erhielt die Schule 336 Rubel für die Anmietung von vier Klassenzimmern für 6 Tage in der Woche. im Monat. Wie hoch ist die monatliche Miete in der zweiten Jahreshälfte für 5 Klassenzimmer, 5 Tage die Woche zu gleichen Konditionen?
4. (Aus "Allgemeine Arithmetik" von I. Newton.) Wenn ein Schreiber 15 Blätter in 8 Tagen schreiben kann, wie viele Schreiber braucht man, um 405 Blätter in 9 Tagen zu schreiben?
5. (Ein altes Problem.) Für den Unterhalt von 45 Personen wurden in 56 Tagen 2040 Rubel ausgegeben. Wie viel sollte ausgegeben werden, um 75 Menschen 70 Tage lang zu unterstützen?
Betrachten Sie komplexere Probleme mit vier und sogar sechs Größen. Sie können den stärksten Schülern, die gerne Puzzleprobleme lösen, als optionale Hausaufgabe gegeben werden.
6. (Aus "Arithmetik" von A. Kiselyov.) Für die Beleuchtung von 18 Räumen wurden in 48 Tagen 120 Pfund Kerosin verbraucht und in jedem Raum brannten 4 Lampen. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen?
7.
(Ein altes Problem.) Ein Artel von 26 Baggern, die 12 Stunden am Tag mit Maschinen arbeiten, kann in 40 Tagen einen 96 m langen, 20 m breiten und 12 dm tiefen Kanal graben. Wie lange kann ein Kanal von 39 Baggern gegraben werden, die 80 Tage lang 10 Stunden am Tag arbeiten, wenn die Breite des Kanals 10 m und die Tiefe 18 dm beträgt?
Aufgaben für die Bewegung entlang des Flusses
Die Geschwindigkeiten flussabwärts und flussaufwärts sind die Summe und Differenz der eigenen Geschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit. Um sie zu finden, müssen Sie die zuvor gemeisterte Methode anwenden, zwei Größen durch ihre Summe und Differenz zu finden: Die Differenz der Geschwindigkeiten stromabwärts und stromaufwärts ist gleich der doppelten aktuellen Geschwindigkeit.
1. Auf dem Weg vom Punkt ABER zum Absatz BEI Das Schiff verbrachte 1 Stunde 40 Minuten und auf dem Rückweg - 2 Stunden In welche Richtung fließt der Fluss?
Die Geschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser beträgt 18 km/h. Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 2 km/h. Wie schnell bewegt sich das Boot den Fluss hinunter? Gegen den Strom?
Die Geschwindigkeit des Bootes in stillem Wasser (eigene Geschwindigkeit) beträgt 12 km/h und die Geschwindigkeit des Flusses 3 km/h. Bestimmen Sie: die Geschwindigkeit des Bootes mit der Strömung und gegen die Strömung des Flusses; der Weg des Bootes entlang des Flusses in 3 Stunden; der Weg des Bootes gegen die Strömung des Flusses in 5 Stunden.
Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt 27 km/h, die Flussgeschwindigkeit 3 km/h. Wie lange braucht das Schiff, um zwischen zwei Liegeplätzen flussabwärts zu fahren, wenn die Entfernung zwischen ihnen 120 km beträgt?
Ein Boot mit einer Eigengeschwindigkeit von 15 km/h fuhr 2 Stunden flussabwärts und 3 Stunden gegen den Strom. Wie weit ist er die ganze Zeit geschwommen, wenn die Geschwindigkeit des Flusses 2 km/h beträgt?
Die Entfernung zwischen den beiden Liegeplätzen beträgt 24 km. Wie lange hält der Motor
Die folgende Tabelle (mit anderen numerischen Daten) ist bequem für die unabhängige Arbeit zu verwenden.
Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten und füllen Sie die Tabelle aus:
| eigene Geschwindigkeit | Flussgeschwindigkeit | Schnell vorbei stromabwärts Flussfluss | Geschwindigkeit gegen den Strom |
|
| 1 | 12 km/h | 4 km/h | ||
| 2 | 25 km/h | 28 km/h | ||
| 3 | 24 km/h | 20 km/h |
||
| 4 | 5 km/h | 17 km/h | ||
| 5 | 3 km/h | 16 km/h |
||
| 6 | 48 km/h | 42 km/h |
Das Motorboot ist in 3 Stunden 48 km flussabwärts geschwommen und in 4 Stunden gegen die Strömung. Finden Sie die Geschwindigkeit der Strömung heraus.
Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 3 km/h. Wie viele Kilometer pro Stunde ist die Geschwindigkeit des Bootes flussabwärts höher als seine Geschwindigkeit flussaufwärts?
5 Entfernungsrate.)
Schließgeschwindigkeit.)
(Ein altes Problem.)
(Ein altes Problem.)
in der Weg des ersten Zuges;
8. Entfernung zwischen Städten ABER und BEI entspricht 720 km. Aus ABER in BEI
10. 1) Aus Absatz ABER zum Absatz BEI A und B gleich 30 km?
Von Punkt A nach Punkt BEI,
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Aufgaben zur Bewegung
1. Zwei Fußgänger verließen gleichzeitig denselben Punkt in entgegengesetzte Richtungen. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 4 km/h, die Geschwindigkeit des zweiten 5 km/h Wie weit werden sie nach 3 Stunden voneinander entfernt sein? Wie viele Kilometer pro Stunde entfernen sich Fußgänger voneinander? (Dieser Wert heißt Entfernungsrate.)
2. Aus zwei Dörfern, die 36 km voneinander entfernt sind, kamen zwei Fußgänger gleichzeitig aufeinander zu. Ihre Geschwindigkeit beträgt 4 km/h und 5 km/h. Wie viele Kilometer pro Stunde nähern sich Fußgänger einander? (Dieser Wert heißt Schließgeschwindigkeit.)
Wie weit werden sie nach 3 Stunden voneinander entfernt sein?
Zwei Radfahrer fuhren gleichzeitig von zwei Punkten aus aufeinander zu, der Abstand zwischen ihnen beträgt 36 km. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 10 km/h, die zweite 8 km/h. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?
1) Die Entfernung zwischen den beiden Städten beträgt 900 km. Zwei Züge verließen diese Städte mit Geschwindigkeiten von 60 km/h und 80 km/h. Wie weit waren die Züge 1 Stunde vor dem Treffen auseinander? Gibt es eine zusätzliche Bedingung in der Aufgabe?
3) Zwei Radfahrer fuhren gleichzeitig los und trafen sich aus zwei Dörfern, deren Entfernung 54 km betrug. Die Geschwindigkeit des ersten beträgt 12 km/h, die zweite 15 km/h. In wie vielen Stunden werden sie 27 km voneinander entfernt sein?
Ein Radfahrer und ein Motorradfahrer verließen denselben Ort zur selben Zeit in dieselbe Richtung. Die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers beträgt 40 km/h und die eines Fahrradfahrers 12 km/h. Wie schnell werden sie voneinander entfernt? In wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 56 km?
(Ein altes Problem.) Ein gewisser junger Mann ging von Moskau nach Wologda. Er ging jeden Tag 40 Meilen. Einen Tag später wurde ihm ein anderer junger Mann nachgeschickt, der täglich 45 Meilen zurücklegte. In wie vielen Tagen wird der Zweite den Ersten überholen?
(Ein altes Problem.) Zwei Züge verließen gleichzeitig Moskau nach Twer. Der erste passierte bei 39 Werst und traf zwei Stunden früher in Twer ein.
die zweite, die zu einer Stunde von 26 Werst verging. Wie viele Kilometer von Moskau nach Twer?
26 2 \u003d 52 (Werst) - wie viel der Zug hinter dem ersten zurückgeblieben ist;
39 - 26 \u003d 13 (Werst) - wie viel der zweite Zug in 1 Stunde hinter dem ersten Zug zurückblieb;
52: 13 \u003d 4 (h) - so viel Zeit war in der Weg des ersten Zuges;
39 4 \u003d 156 (Werst) - die Entfernung von Moskau nach Twer.
8. Entfernung zwischen Städten ABER und BEI entspricht 720 km. Aus ABER in BEI Ein Schnellzug fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h ab. Nach 2 Stunden fuhr ein Personenzug von B nach A mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h auf ihn zu. Wie viele Stunden nach Abfahrt des Schnellzugs treffen sie sich?
9. Zwei Züge fahren aufeinander zu – der eine mit 70 km/h, der andere mit 80 km/h. Ein Fahrgast, der im zweiten Zug saß, bemerkte, dass der erste Zug in 12 Sekunden an ihm vorbeifuhr. Wie lang ist der erste Zug?
10. 1) Aus Absatz ABER zum Absatz BEI Ein Fußgänger geht mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h davon. Gleichzeitig fuhr ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h von A nach B. Der Radfahrer fuhr zu B, drehte um und fuhr mit gleicher Geschwindigkeit auf den Fußgänger zu. In wie vielen Stunden nach Beginn der Bewegung treffen sie sich, wenn der Abstand zwischen ihnen liegt A und B gleich 30 km?
Von Punkt A nach Punkt BEI, der Abstand zwischen denen 17 km beträgt, fuhr ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 12 km / h ab. Gleichzeitig verlässt ein Fußgänger mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h A nach B. Der Radfahrer fuhr zu B, drehte um und fuhr mit gleicher Geschwindigkeit zurück.
Wie viele Stunden nach Beginn der Bewegung werden sie sich treffen?
Die Entfernung zwischen den beiden Punkten beträgt 12 km. Zwei Radfahrer fuhren gleichzeitig mit Geschwindigkeiten von 10 km/h und 8 km/h aufeinander zu. Jeder von ihnen erreichte einen anderen Punkt, drehte sich um und fuhr mit der gleichen Geschwindigkeit zurück. In wie vielen Stunden nach Beginn der Bewegung treffen sie sich zum zweiten Mal?
1)30:10 = 3(h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);
5-3 = 15 (km); 5) 15: 15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Prüfung Nr. 4
1. Finden Sie die Zeit heraus, die ein Radfahrer braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen
(siehe Diagramm in Abbildung 1).
υ=12 km/h
A| _________________________________________ BEI
s = 6 km
Reis. eines.
ABER. 72 Std B. 0,5 Std BEI. 2 Std
G. 5 Std D. ________________
Von zwei Punkten, die 10 km voneinander entfernt sind, sind zwei Touristen gleichzeitig in die gleiche Richtung abgereist. Die Geschwindigkeit des ersten Touristen beträgt 4 km/h, die Geschwindigkeit des nachfolgenden 6 km/h. Wie lange dauert es, bis der zweite Tourist den ersten überholt?
ABER. Nach 1 Stunde B. Nach 2,5 Stunden BEI. In 1
G. Nach 5 Stunden D. ________________________
Von einer Station zur anderen entlang des Flusses segelte das Boot 3 Stunden und benötigte 4 Stunden für den Rückweg.Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 1 km / h. Schreiben Sie eine Gleichung, um die eigene Geschwindigkeit des Bootes mit x km/h zu ermitteln.
Antworten: _____________________
Unterrichtsziele:
- Lösen komplexerer Probleme für proportionale Größen („Komplizierte Dreifachregel“);
- die Entwicklung nicht nur des logischen, sondern auch des figurativen Denkens, der Vorstellungskraft von Kindern und ihrer Fähigkeit zu argumentieren, Fragen zu stellen und zu beantworten, dh die Sprache der Auszubildenden;
- Erweiterung des Horizonts bei der Lösung alter praktischer (oder plausibler) Probleme;
- Ideenbildung über den Reichtum des kulturellen und historischen Erbes der Menschheit.
Während des Unterrichts
I. Organisatorischer Moment:
Heute beginnen wir, komplexere, aber nicht weniger interessante Probleme für proportionale Größen zu lösen.
Das Studium der Proportionen und dieser Abhängigkeiten ist für das spätere Studium der Mathematik von großer Bedeutung.
Später lösen Sie mit Hilfe von Proportionen Aufgaben in Chemie, Physik und Geometrie.
Womit haben sie angefangen?
- Machen Sie sich mit den Begriffen „Verhältnis“, „Anteil“ vertraut
(Verhältnis - ………., Anteil - ……… (Schülerantworten werden erwartet) - Wir haben gelernt, wie man Proportionen löst, und fanden heraus, dass der Hauptweg, sie zu lösen, auf …… basieren sollte. (Grundeigenschaft der Proportionen)
- Wir haben gelernt, zwei Größen in den Bedingungen von Problemen zu unterscheiden, um festzustellen Art der Sucht zwischen ihnen. (direkte oder umgekehrte Beziehung)
- Wir haben gelernt, wie man den Zustand des Problems kurz notiert und eine Proportion aufstellt (eine Abnahme des Werts wird mit einem Abwärtspfeil angezeigt, eine Zunahme mit einem Aufwärtspfeil).
Aber vergessen wir das nicht - analysierte die Methode zur Lösung von Problemen ohne Proportionen (der Anwendung dieser Technik sollten Fragen vorausgehen, die beim Lösen von Problemen gestellt werden: Wie oft hat sich der Wert erhöht oder verringert?)
Kommen wir von einfach zu komplex.
II. Mündliche Arbeit.
1. Wählen Sie aus diesen Werten diejenigen aus, die direkt oder umgekehrt proportional sind:
a) die Seitenlänge des Quadrats und der Umfang.
b) die Seitenlänge des Quadrats und seine Fläche.
c) die Länge und Breite eines Rechtecks für eine gegebene Fläche.
d) die Geschwindigkeit des Autos und die Strecke, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegen wird.
e) die Geschwindigkeit eines Touristen, der vom Campingplatz zum Bahnhof fährt, und die Zeit, die er benötigt, um den Bahnhof zu erreichen.
e) das Alter des Baumes und seine Höhe.
g) das Volumen der Stahlkugel und ihre Masse.
h) die Anzahl der im Buch gelesenen Seiten und die Anzahl der noch zu lesenden Seiten.
(Das Verhältnis zwischen der Anzahl der gelesenen Seiten in einem Buch und der Anzahl der verbleibenden Seiten wird oft als proportional angesehen: Je mehr Seiten gelesen werden, desto weniger bleibt zu lesen. Bitte beachten Sie, dass die Zunahme bei der einen und Abnahme bei der anderen nicht gilt gleich oft vorkommen.).
2. Lassen Sie uns das Problem analysieren:
Wenn Vasya 10 Seiten des Buches gelesen hat, hat er 90 weitere Seiten zu lesen. Wie viele Seiten hat er noch zu lesen, wenn er 30 Seiten gelesen hat?
3. Betrachten Sie die Aufgaben („provokanter Charakter“):
a) 12 Karauschen wurden in 2 Stunden gefangen. Wie viele Karpfen werden in 3 Stunden gefangen?
b) Drei Hähne weckten 6 Personen. Wie viele Menschen werden 5 Hähne aufwecken.
c) * Der Teich ist mit Lilien bewachsen, und in einer Woche verdoppelt sich die mit Lilien bedeckte Fläche. In wie vielen Wochen ist der Teich halb mit Lilien bedeckt, wenn er in 8 Wochen komplett mit Lilien bedeckt ist?
(Lösung: da sich die mit Lilien bedeckte Fläche in einer Woche verdoppelt, dann war eine Woche, bevor der Teich vollständig mit Lilien bedeckt ist, seine Fläche halb mit Lilien bedeckt, d.h. der Teich war in 7 Wochen halb mit Lilien bedeckt)
III. Probleme lösen:
(der Zustand der Aufgaben ist an der Tafel angegeben)
Eine kurze Bedingung und zwei Lösungen werden vorgeschlagen, um von den Schülern an der Tafel sehr schnell erledigt zu werden.
1 Weg:
Methode 2: Die Stoffmenge wird um das 15/8-fache erhöht, was bedeutet, dass sie 15/8-mal mehr Geld bezahlen
Х=30*15/8=56r25k
2. Ein gewisser Herr rief einen Zimmermann und befahl, einen Hof zu bauen. Er gab ihm 20 Arbeiter und fragte, wie viele Tage sie für ihn einen Hof bauen würden. Der Zimmermann antwortete: in 30 Tagen. Und der Meister muss in 5 Tagen bauen, und dafür fragte er den Zimmermann: Wie viele Leute braucht man, damit man mit ihnen in 5 Tagen einen Hof bauen kann; und der Zimmermann fragt dich, Rechenmeister, verwirrt: Wie viele Leute braucht er, um in 5 Tagen einen Hof zu bauen?
Eine unvollendete kurze Bedingung steht an der Tafel:
Vervollständigen Sie die Bedingung und lösen Sie das Problem auf zwei Arten.
Ich wähle: Anteil
Option II: ohne Proportionen
Gleichzeitig arbeiten zwei Studenten an der Tafel.
ICH. 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 Arbeiter
3. Sie nahmen 560 Soldaten Lebensmittel für 7 Monate, und ihnen wurde befohlen, 10 Monate im Dienst zu sein, und sie wollten Menschen von sich wegnehmen, damit es genug Lebensmittel für 10 Monate gab. Die Frage ist, wie viele Personen sollen reduziert werden?
Alte Aufgabe.
(auf die Tafel schreiben)
(Ausfüllen einer kurzen Notiz von Studenten)
Lösen Sie dieses Problem ohne Proportion:
(Die Anzahl der Monate erhöht sich um einen Faktor, was bedeutet, dass die Anzahl der Soldaten um einen Faktor abnimmt.
560 - 392 = 168 (Soldaten müssen reduziert werden)
In der Antike gab es für die Lösung vieler Arten von Problemen spezielle Regeln, um sie zu lösen. Uns bekannte Probleme für die direkte und umgekehrte Proportionalität, bei denen es notwendig ist, den vierten durch drei Werte zweier Größen zu finden, wurden als Probleme für die "Dreifachregel" bezeichnet.
Wenn für drei Werte fünf Werte angegeben wurden und der sechste gefunden werden musste, wurde die Regel "fünf" genannt. In ähnlicher Weise gab es für die vier Mengen eine "Regel der Siebenheit". Aufgaben zur Anwendung dieser Regeln wurden auch Aufgaben zur „komplexen Tripelregel“ genannt.
Lass es uns versuchen!!!
4. Nehmen Sie die Aufgabe an, die Ihnen als Zusatzaufgabe angeboten wurde.
Hausaufgabe.
Drei Hühner legten in 3 Tagen 3 Eier. Wie viele Eier legen 12 Hühner in 12 Tagen?
Die Antwort auf das Problem ist ………?
Wir werden die Lösung des Problems gemeinsam analysieren und den Zustand des Problems kurz aufschreiben:
Die Schüler versuchen, gemeinsam Fragen zu stellen und darauf zu antworten.
(Die Anzahl der Schreiber nimmt mit der Zunahme der Blätter mit der Zeit zu und ab
aus der Zunahme der Arbeitstage 
(Schreiber)).
Betrachten Sie ein komplexeres Problem mit vier Größen.
Nehmen Sie ein Problem mit sechs Werten als optionale Hausaufgabe für diejenigen Schüler, die gerne Puzzleprobleme lösen.
6. Für die Beleuchtung von 18 Räumen in 48 Tagen wurden 120 Tonnen Kerosin ausgegeben und in jedem Raum 4 Lampen verbrannt. Wie viele Tage reichen 125 Pfund Kerosin, wenn 20 Räume beleuchtet sind und in jedem Raum 3 Lampen brennen?
Es wird eine kurze Problemstellung niedergeschrieben und eine Argumentation gegeben, parallel dazu kann ein sukzessive ergänztes Protokoll X = ... .. an der Tafel geführt werden.
Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage steigt mit zunehmender Kerosinmenge
Zeiten und von der Reduzierung der Lampen um die Hälfte.
Die Anzahl der Kerosinverbrauchstage nimmt mit der Zunahme der Zimmer ab 20 mal.
X = 48 * * : = 60 (Tage)
Schließlich hat X = 60. Das bedeutet, dass 125 Pfund Kerosin für 60 Tage reichen.
IV. Zusammenfassung der Lektion.
Löst die gesamte Lektion nun fast vergessene Aufgaben. Wir sind von einfach zu komplex übergegangen. Es war offensichtlich, dass die alten Probleme von Interesse sind, es ist schön, Ihre harte Arbeit beim Lösen von Problemen zu sehen, wir hatten eine gute Ausbildung darin, zwischen direkter und umgekehrter Proportionalität zu unterscheiden.
Die Erklärungen des Lehrers scheinen klar zu sein, aber Sie müssen auch alleine vorankommen.
V. Hausaufgaben.
Tit Tage Getreide
X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg
2. Altes Problem.
Dirham-Einkommensbegriff
3. * Zusätzliche Aufgabe.
Ein Artel von 26 Baggern, die 12 Stunden am Tag mit Maschinen arbeiten, kann in 40 Tagen einen 96 Meter langen, 20 Meter breiten und 12 Meter tiefen Kanal graben. Wie lange kann ein Kanal von 30 Baggern gegraben werden, die 80 Tage lang 10 Stunden am Tag arbeiten, wenn die Breite sein soll
10 m, Tiefe 18 dm?
Lösung. 
Aufgaben für Zusammenarbeit und Produktivität
Aufgaben dieser Art enthalten normalerweise Informationen über die Ausführung einiger Arbeiten durch mehrere Subjekte (Arbeiter, Mechanismen, Pumpen usw.), deren Umfang nicht angegeben und nicht erforderlich ist (z. B. Nachdruck eines Manuskripts, Herstellung von Teilen, Graben). Gräben, Verfüllen durch die Rohre eines Reservoirs usw.). Es wird davon ausgegangen, dass die geleistete Arbeit gleichmäßig ausgeführt wird, d.h. mit einer konstanten Leistung für jedes Fach. Da uns die Menge der geleisteten Arbeit (oder beispielsweise das Volumen des zu füllenden Pools) nicht interessiert, dann das Volumen aller Arbeiten. oder Pool wird als Einheit genommen. Zeitterforderlich, um die ganze Arbeit zu erledigen, und P ist der ProduzentArbeitsintensität, also die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit, stehen in Beziehung
VerhältnisP= 1/t .Es ist hilfreich, das Standardschema zur Lösung typischer Probleme zu kennen.
Lassen Sie einen Arbeiter in x Stunden arbeiten und einen anderen Arbeiter in y Stunden. Dann werden sie in einer Stunde jeweils 1/xund 1/jTeil der Arbeit. Zusammen werden sie in einer Stunde 1/x +1/ jTeil der Arbeit. Wenn sie also zusammenarbeiten, wird die gesamte Arbeit in 1/ (1/x+ 1/ j)
Probleme bei der Zusammenarbeit sind für Studenten schwer zu lösen, daher können Sie bei der Vorbereitung auf eine Prüfung damit beginnen, die einfachsten Probleme zu lösen. Betrachten Sie die Art von Problemen, für die es ausreicht, nur eine Variable einzuführen.
Aufgabe 1. Ein Stuckateur kann eine Aufgabe 5 Stunden schneller erledigen als ein anderer. Gemeinsam erledigen sie diese Aufgabe in 6 Stunden. Wie viele Stunden wird jeder von ihnen die Aufgabe erledigen?
Lösung. Lassen Sie den ersten Stuckateur die Aufgabe für erledigenxStunden, dann erledigt der zweite Stuckateur diese Aufgabe inx+5 Stunden. In 1 Stunde gemeinsamer Arbeit werden sie 1/x + 1/( x+5) Aufgaben. Machen wir eine Gleichung
6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 oderx² - 7 x-30 = 0. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wirx= 10 undx= -3. Je nach Aufgabexist ein positiver Wert. Daher kann der erste Stuckateur die Arbeit in 10 Stunden und der zweite in 15 Stunden erledigen.
Aufgabe 2 . Zwei Arbeiter erledigten die Arbeit in 12 Tagen. In wie vielen Tagen kann jeder Arbeiter die Arbeit fertigstellen, wenn einer von ihnen 10 Tage länger benötigt, um die gesamte Arbeit zu erledigen als der andere?
Lösung . Lassen Sie den ersten Arbeiter für die ganze Arbeit aufwendenxTage, dann der zweite- (x-10 Tage. Für 1 Tag gemeinsamer Arbeit leisten sie 1/x+ 1/( x-10) Aufgaben. Machen wir eine Gleichung
12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 bzwx²- 34x+120=0. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wirx=30 undx= 4. Nurx= 30. Daher kann der erste Arbeiter den Auftrag in 30 Tagen und der zweite in 20 Tagen erledigen.
Aufgabe 3. Für 4 Tage gemeinsame Arbeit wurden 2/3 des Feldes von zwei Traktoren gepflügt. Wie viele Tage würde es dauern, mit jedem Traktor das ganze Feld zu pflügen, wenn der erste 5 Tage schneller gepflügt werden kann als der zweite?
Lösung. Lassen Sie den ersten Traktor ausgebenum die Aufgabe abzuschließen x Tage, dann der zweite - x + 5 Tage. Für 4 Tage gemeinsamer Arbeit pflügten beide Traktoren 4×(1/ x + 1/( x +5)) Aufgaben, also 2/3 des Feldes. Wir schreiben die Gleichung 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 oderx² -7x-30 = 0. . Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wirx= 10 undx= -3. Je nach Aufgabexist ein positiver Wert. Daher kann der erste Traktor das Feld in 10 Stunden und der zweite in 15 Stunden pflügen.
Aufgabe 4 . Masha kann 10 Seiten in 1 Stunde drucken, Tanya - 4 Seiten in 0,5 und Olya - 3 Seiten in 20 Minuten. Wie können die Mädchen 54 Textseiten untereinander verteilen, damit jede gleich lange arbeitet?
Lösung . Laut Bedingung druckt Tanya 4 Seiten in 0,5 Stunden, d.h. 8 Seiten in 1 Stunde und Olya - 9 Seiten in 1 Stunde. Wenn wir die Zeit, in der die Mädchen gearbeitet haben, mit X Stunden bezeichnen, erhalten wir die Gleichung
10X + 8X + 9X \u003d 54, von wo aus X \u003d 2.
Tanya muss also 20 Seiten drucken, Tanya 16 Seiten und Olya 18 Seiten.
Aufgabe 5. Auf zwei gleichzeitig arbeitenden Vervielfältigungsgeräten können Sie in 20 Minuten eine Kopie des Manuskripts erstellen. In welcher Zeit kann diese Arbeit an jedem Gerät einzeln durchgeführt werden, wenn bekannt ist, dass die Arbeit am ersten 30 Minuten weniger dauert als die Arbeit am zweiten?
Lösung. Sei X min die Zeit, die zum Erstellen einer Kopie auf der ersten Maschine benötigt wird, dann ist X + 30 min die Zeit, die zum Arbeiten auf der zweiten Maschine benötigt wird. Dann wird 1/X-Kopie durch das erste Gerät in 1 Minute durchgeführt, und 1/(X + 30) Kopien - das zweite Gerät.
Stellen wir die Gleichung auf: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, erhalten wirX²-10X-600= 0. Woher X = 30 und X = - 20. Die Bedingung des Problems erfüllt X = 30. Wir haben: 30 Minuten - die Zeit, in der das erste Gerät eine Kopie erstellt, 60 Minuten - das zweite.
Aufgabe 6. Firma A kann einen Auftrag zur Herstellung von Spielzeug 4 Tage schneller abschließen als Firma B. Wie lange kann jede Firma diesen Auftrag abschließen, wenn bekannt ist, dass sie, wenn sie in 24 Tagen zusammenarbeiten, einen 5-mal größeren Auftrag abschließen?
Lösung. Bezeichnen wir mit X Tagen die Zeit, die Unternehmen A benötigt, um den Auftrag abzuschließen, dann sind X + 4 Tage die Zeit für Unternehmen B. Bei der Erstellung der Gleichung muss berücksichtigt werden, dass in 24 Tagen gemeinsamer Arbeit und nicht in 1 Auftrag gearbeitet wird wird abgeschlossen, aber 5 Bestellungen. Wir bekommen, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Daraus folgt 5 X²-28X-96 = 0. Nachdem wir die quadratische Gleichung gelöst haben, erhalten wir X = 8 und X = - 12/5. Die erste Firma kann den Auftrag in 8 Tagen abschließen, Firma B in 12 Tagen.
Beim Lösen der folgenden Probleme müssen Sie mehr als eine Variable eingebenund Gleichungssysteme lösen.
Aufgabe 7 . Zwei Arbeiter erledigen einige Arbeiten. Nach 45 Minuten gemeinsamer Arbeit wurde der erste Arbeiter an einen anderen Arbeitsplatz versetzt, und der zweite Arbeiter erledigte den Rest der Arbeit in 2 Stunden und 15 Minuten. In welcher Zeit könnte jeder Arbeiter einzeln die ganze Arbeit erledigen, wenn bekannt ist, dass der zweite 1 Stunde länger braucht als der erste?
Lösung. Lassen Sie den ersten Arbeiter die ganze Arbeit in x Stunden erledigen und den zweiten Arbeiter in y Stunden. Aus der Bedingung des Problems ergibt sich x = y -1. 1 Stunde erstmal
der Arbeiter wird 1/xTeil der Arbeit und der zweite - 1/jTeil der Arbeit.T.zu. sie arbeiteten ¾ Stunden zusammen, dann absolvierten sie in dieser Zeit ¾ (1 /x + 1/ j)
Teil der Arbeit. Pro2i 1/4Arbeitsstunden, die zweite absolvierte 9/4× (1/j) Teil der Arbeit.T.zu. die Arbeit ist erledigt, dann stellen wir die Gleichung ¾ (1/x+1/ j)+9/4×1/j=1 bzw
¾×1/x+ 3 ×1/j =1
Wert ersetzenxin diese Gleichung bekommen wir ¾× 1/ (j-1)+ 3×1/j= 1. Wir reduzieren diese Gleichung auf die quadratische Gleichung 4y2 -19 Jahre + 12 =0, was hatEntscheidungen bei 1 = Handbei 2 = 4 Std. Die erste Lösung ist nicht geeignet (beideumdie nur ¾ Stunden zusammen gearbeitet haben!). Dann y \u003d 4 und x \u003d3.
Antworten. 3 Stunden, 4 Stunden.
Aufgabe 8. Der Pool kann über zwei Wasserhähne mit Wasser gefüllt werden. Wenn der erste Wasserhahn 10 Minuten lang und der zweite 20 Minuten lang geöffnet ist, wird der Pool gefüllt.
Wenn der erste Hahn 5 Minuten lang und der zweite 15 Minuten lang geöffnet ist, werden 3/5 gefüllt Schwimmbad.
Wie lange dauert es, bis jeder Wasserhahn den gesamten Pool gefüllt hat?
Lösung.
Lassen Sie ab dem ersten Hahn das Becken in x Minuten füllen, und ab dem zweiten - in y 1 Minute. Der erste Wasserhahn füllt sich Teil des Pools und der zweite . In 10 Minuten füllt sich der erste Hahn Teil des Pools und in 20 Minuten ab dem zweiten Wasserhahn - .
T.zu. Der Pool wird gefüllt, dann erhalten wir die erste Gleichung: 
. In ähnlicher Weise schreiben wir die zweite Gleichung 
(für das gesamte Becken gefüllt, aber nur sein Volumen). Um die Lösung des Problems zu vereinfachen, führen wir neue Variablen ein: 
Dann haben wir ein lineares Gleichungssystem:
10 u + 20 v = 1,
,dessen Lösung u = v = sein wird. Von hier erhalten wir die Antwort: x = min, y = 50 min.
Eine Aufgabe 9 . Zwei machen die Arbeit. Erste hat funktioniert die Zeit, die der andere braucht, um die ganze Arbeit zu erledigen. Dann funktionierte der zweite die Zeit, die der Erste brauchen würde, um den Rest der Arbeit zu erledigen. Beide traten nur auf Alle Arbeit. Wie lange braucht jeder, um diese Arbeit zu erledigen, wenn bekannt ist, dass sie es tun werden, wenn sie zusammenarbeiten3 h36 Mindest?
Lösung. Geben Sie mit x Stunden und y Stunden die Zeit an, in der der Erste bzw. der Zweite die gesamte Arbeit erledigt. Dann und
Die Teile der Arbeit, die sie tun1 StundeFunktioniert (nach Zustand)
Mal wird der erste ausgeführt
Teil der Arbeit. Bleibt unerfüllt Teil der Arbeit, für die der erste ausgeben würde Std. Per Bedingung funktioniert die zweite 1/3
diesmal. Dann wird er es tun 
Teil der Arbeit. Beide nur abgeschlossen Alle Arbeit. Daher erhalten wir die Gleichung 
.
Zusammenarbeit für1
beides geht +
Teil der Arbeit. Denn je nach Zustand des Problems übernehmen sie diese Arbeit für3
h36
Minute (d.h.a 3
Stunden), dann1
Stunde werden sie es tun Alle Arbeit. Daher 1/x + 1/
j = 5/18.
Bezeichnet in der ersten Gleichung , erhalten wir die quadratische Gleichung
6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , deren Wurzeln gleich sindt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Da nicht bekannt ist, wer schneller läuft, betrachten wir beide Fälle.
a)t = => y= X. Setze y in die zweite Gleichung ein: Offensichtlich ist dies keine Lösung.
Aufgaben, denn zusammen erledigen sie die Arbeit in mehr als 3 Stunden.
b) t=3/2 => j=3/2 x. Aus der zweiten Gleichung haben wir 1/x+2/3× 1/x\u003d 5 / 18. Von hierx=6,y=9.
Aufgabe 10. Das Wasser tritt aus zwei Rohren mit unterschiedlichen Durchmessern in den Tank ein. Am ersten Tag reichten beide Rohre, die gleichzeitig arbeiteten, 14 einm 3 Wasser. Am zweiten Tag wurde nur die kleine Trompete eingeschaltet. Sie reichte 14 m ein 3 Wasser, nachdem ich 5 Stunden länger gearbeitet habe als am ersten Tag. Am dritten Tag wurde die Arbeit genauso lange fortgesetzt wie am zweiten, aber zuerst funktionierten beide Rohre, was 21 m ergab 3 Wasser. Und dann funktionierte nur ein großes Rohr, das weitere 20 m ergab 3 Wasser. Finden Sie die Leistung jeder Pfeife.
Lösung. Bei diesem Problem gibt es kein abstraktes Konzept des "Volumens eines Reservoirs", sondern spezifische Wassermengen, die durch Rohre fließen, werden angegeben. Die Methodik zur Lösung des Problems bleibt jedoch tatsächlich dieselbe.
Lassen Sie die kleineren und größeren Rohre in 1 Stunde x und y m pumpen3 Wasser. Zusammen liefern beide Rohre x + y m3 Wasser.
Daher arbeiteten die Rohre am ersten Tag 14/(x+ j) Std. Am zweiten Tag arbeitete die kleine Pfeife 5 Stunden mehr, also 5+14/(x+ j) . Dafür
Mal reichte sie 14 m 3
Wasser. Von hier aus erhalten wir die erste Gleichung 
14 oder 5+14/(x+
j)=14/
x. Am dritten Tag arbeiteten beide Pfeifen zusammen21/(x+
j) Stunden und dann arbeitete die große Pfeife 20/xStd. Die Gesamtzeit der Rohre fällt mit der Betriebszeit des ersten Rohres am zweiten Tag zusammen, d.h.
5+14/( x+ j) =21/( x+ j)+ 20/ x. Da die linken Seiten der Gleichung gleich sind, haben wir . Wenn wir die Nenner loswerden, erhalten wir eine homogene Gleichung 20x 2 +27 xy-14 j 2 =0. Dividieren der Gleichung durchj 2 und benennenx/ j= t, wir haben 20t 2 +27 t-14=0. Aus den beiden Wurzeln dieser quadratischen Gleichung (t 1 = , t 2 = ) nach der Bedeutung des Problems ist nur geeignett= . Folglich,x= j. Ersetzenxin die erste Gleichung finden wirj=5. Dannx=2.
Eine Aufgabe 11. Die beiden Mannschaften arbeiteten zusammen und gruben den Graben in zwei Tagen aus. Danach begannen sie, einen Graben mit der gleichen Tiefe und Breite zu graben, aber fünfmal länger als der erste. Zuerst arbeitete nur die erste Brigade und dann nur die zweite Brigade, die anderthalbmal weniger Arbeit erledigt hatte als die erste Brigade. Das Ausheben des zweiten Grabens wurde in 21 Tagen abgeschlossen. In wie vielen Tagen könnte das zweite Team den ersten Graben ausheben, wenn bekannt ist, dass der Arbeitsaufwand des ersten Teams an einem Tag größer ist als der Arbeitsaufwand des zweiten Teams an einem Tag?
Lösung.Dieses Problem ist bequemer zu lösen, wenn Sie die geleistete Arbeit auf den gleichen Maßstab bringen. Wenn beide Mannschaften den ersten Graben gemeinsam in 2 Tagen ausgehoben hätten, hätten sie den zweiten Graben (fünfmal so lang) offensichtlich in 10 Tagen ausgehoben. Lassen Sie die erste Brigade diesen Graben in x Tagen ausheben und die zweite in y, d.h. in 1 tag hätte der erste gegraben Teil des Grabens, der zweite - für 1 /j , und zusammen -1/x+1/ j Teil des Grabens.
Dann haben wir 
.
Beim Ausheben des zweiten Grabens arbeiteten die Brigaden getrennt. Wenn das zweite Team den Arbeitsumfang abgeschlossen hatm, dann (je nach Zustand des Problems) - die erste Brigade .
Alsm +
m
=
m
gleich der Menge an Arbeit, die als Einheit genommen wird, dannm
=
.
Folglich grub die zweite Brigade
Gräben und dafür ausgegeben an den Tagen. Die erste Brigade grub
Gräben und verbraucht X
Tage. Daher haben wir 
oderX
=
35-
.
Durch Einsetzen von x in die erste Gleichung erhalten wir die quadratische Gleichung2 Jahre 2
- 95y +1050 = 0, dessen Wurzeln y sein werden 1
=
und
bei 2
= 30. Dann gilt jeweilsX 1
=
und
X 2
=15.
Von der Bedingung des Problems Wählen Sie den gewünschten aus: y \u003d 30. Da sich der gefundene Wert auf den zweiten Graben bezieht, wäre der erste Graben (fünfmal kürzer) vom zweiten Team in 6 Tagen gegraben worden.
Eine Aufgabe 12. Drei Bagger waren am Ausheben einer Grube mit einem Volumen von 340 m beteiligt 3 . In einer Stunde trägt der erste Bagger 40 m aus 3 Pfund, das zweite - weiter mit m 3 weniger als die erste und die dritte - 2s mehr als die erste. Zuerst arbeiteten der erste und der zweite Bagger gleichzeitig und gruben 140 m 3 Boden. Dann wurde der Rest der Grube ausgehoben, gleichzeitig arbeiteten der erste und der dritte Bagger. Werte ermitteln mit(0<с<15), bei dem die Grube in 4 Stunden ausgehoben wurde, wenn die Arbeiten ohne Unterbrechung durchgeführt wurden.
Lösung. Da nimmt der erste Bagger 40 m aus 3 Boden pro Stunde, dann die zweite - (40-s) m 3 , und der dritte - (40 + 2s) m 3 Pfund pro Stunde. Lassen Sie den ersten und den zweiten Bagger x Stunden lang zusammenarbeiten. Dann folgt aus der Bedingung des Problems (40+40-s)x = 140 oder (80-s)x = 140. Wenn der erste und der dritte Bagger zusammen auf die Uhr gearbeitet haben, dann haben wir (40+40+2s) y = 340-140 oder (80 + 2s) y - 200. Da die Gesamtbetriebszeit 4 Stunden beträgt, erhalten wir die folgende Gleichung zur Bestimmung mit x + y \u003d 4 oder
Diese Gleichung entspricht der quadratischen GleichungMit 2 -30s+ 200 =0, wessen Entscheidungen sein werden 1 = 10m 3 und mit 2 = 20m 3 . Nur je nach Zustand des Problemszu
c = 10m 3 .
Eine Aufgabe 10. Jeder der beiden Arbeiter wurde mit der Bearbeitung der gleichen Anzahl von Teilen beauftragt. Der Erste begann sofort mit der Arbeit und beendete sie in 8 Stunden Der Zweite verbrachte zunächst mehr als 2 Stunden damit, das Gerät einzustellen, und beendete die Arbeit dann mit seiner Hilfe 3 Stunden früher als der Erste. Es ist bekannt, dass der zweite Arbeiter eine Stunde nach Beginn seiner Arbeit so viele Details verarbeitet hat, wie der erste Arbeiter bis zu diesem Moment verarbeitet hatte. Wie oft erhöht die Vorrichtung die Produktivität der Maschine (d. h. die Anzahl der verarbeiteten Teile pro Arbeitsstunde)?
Lösung. Dies ist ein Beispiel für ein Problem, bei dem nicht alle Unbekannten gefunden werden müssen.
Bezeichnen wir die Rüstzeit der Maschine durch den zweiten Werker mit x (durch die Bedingung x>2). Angenommen, es wäre notwendig, jede zu verarbeitennEinzelheiten.
Dann wird der erste Arbeiter pro Stunde verarbeitet Details und die zweite Einzelheiten. Beide Arbeiter bearbeiteten eine Stunde nach Arbeitsbeginn des zweiten gleich viele Teile. Das bedeutet es Daraus erhalten wir die Gleichung zur Bestimmung von x: X 2 -4x + 3-0 dessen Wurzeln x sind 1 = 1 undX 2 = 3. Weil
x > 2, dann ist der erforderliche Wert x = 3. Daher verarbeitet der zweite Worker pro Stunde Einzelheiten. Denn der erste Arbeiter pro Stunde verarbeitet
Teile, dann finden wir von hier aus, dass das Gerät die Arbeitsproduktivität erhöht = 4 mal.
Eine Aufgabe 1 3. Drei Arbeiter müssen eine Anzahl von Teilen herstellen. Zuerst fing nur ein Arbeiter an zu arbeiten, und nach einer Weile kam ein zweiter dazu. Als 1/6 aller Teile fertig waren, begann auch der dritte Arbeiter mit der Arbeit. Sie beendeten die Arbeit zur gleichen Zeit und stellten jeweils die gleiche Anzahl von Teilen her. Wie lange hat der dritte Arbeiter gearbeitet, wenn bekannt ist, dass er zwei Stunden weniger gearbeitet hat als der zweite und dass der erste und der zweite zusammen 9 Stunden früher alle erforderlichen Teile produzieren konnten, als der dritte separat gearbeitet hätte?
Lösung. Lassen Sie den ersten Arbeiter x Stunden und den dritten Arbeiter x Stunden arbeiten. Dann arbeitete der zweite Arbeiter noch 2 Stunden, also y + 2 Stunden. Jeder von ihnen stellte die gleiche Anzahl von Teilen her, dh 1/3 aller Teile. Folglich würde der erste alle Details in 3 Stunden machen, der zweite in 3 (y + 2) Stunden und der dritte in 3y Stunden. Daher produziert der erste in einer Stunde Teil aller Details, der zweite - und drittens - .
Da alle drei während ihrer gemeinsamen Arbeit produzierten alle Details, dann bekommen wir die erste Gleichung (alle drei haben zusammen an der Uhr gearbeitet)
. (1)
Der erste und der zweite Arbeiter hätten bei gemeinsamer Arbeit alle Teile 9 Stunden früher zusammengebaut, als es der dritte Arbeiter allein getan hätte. Von hier aus erhalten wir die zweite Gleichung
.
(2)
Diese beiden Gleichungen lassen sich leicht auf ein äquivalentes System zurückführen
Wenn wir aus der zweiten Gleichung x ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir y 3 -5 Jahre 2 - 32y - 36 = 0. Diese Gleichung wird faktorisiert(j- 9) (y +2) 2 = 0.
Da y > 0 ist, hat die Gleichung nur eine gewünschte Wurzel y \u003d 9.Antworten:y = 9.
Eine Aufgabe 14. Wasser tritt gleichmäßig in die Grube ein, 10 identische Pumpen, die gleichzeitig wirken, können in 12 Stunden Wasser aus einer gefüllten Grube pumpen, und 15 solcher Pumpen - in 6h.Wie lange können 25 solcher Pumpen zusammenarbeiten, um Wasser aus einer gefüllten Grube zu pumpen?
Lösung.Lassen Sie das Volumen der Grubevm 3 , und die Leistung jeder Pumpe ist x m 3 in Stunde. Wasser fließt kontinuierlich in die Grube.T.k. Die Höhe der Quittung ist unbekannt, dann bezeichnen wir mit y m 3 pro Stunde - die Wassermenge, die in die Grube gelangt. Zehn Pumpen werden in 12 Stunden abpumpen X= 120x Wasser. Diese Wassermenge entspricht dem Gesamtvolumen der Grube und dem Volumen des Wassers, das in 12 Stunden in die Grube eintritt. Dieser gesamte Band istv+12 j. Wenn wir diese Volumina gleichsetzen, machen wir die erste Gleichung 120x =v + 12 j .
In ähnlicher Weise wird für 15 solcher Pumpen eine Gleichung aufgestellt:15-6 x = v + 6 joder 90x = v + 6 j. Aus der ersten Gleichung haben wir V = 120x - 12y. Setzen wir V in die zweite Gleichung ein, erhalten wir y = 5x.
Der Zeitraum, in dem 25 solcher Pumpen betrieben werden, ist unbekannt. Bezeichnen wir es mitt. Dann stellen wir unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems analog die letzte Gleichung zusammen. Wir haben 25tx=V+ty. Setzen wir y und V in diese Gleichung ein, finden wir 25tx= 120x -12 5x +t 5x oder 20tx= 60x. Von hier bekommen wirt= 3 Stunden.Antworten: für 3 Stunden.
Eine Aufgabe 15. Zwei Teams arbeiteten 15 Tage lang zusammen, dann kam ein drittes Team hinzu, und 5 Tage später waren alle Arbeiten abgeschlossen. Es ist bekannt, dass die zweite Brigade täglich 20 % mehr produziert als die erste. Die zweite und dritte Brigade könnten zusammen die ganze Arbeit erledigen die Zeit, die erforderlich ist, um alle Arbeiten des ersten und dritten Teams abzuschließen, wenn sie zusammenarbeiten. Wie lange würden alle drei Teams brauchen, um die ganze Arbeit zu erledigen und zusammenzuarbeiten?
Lösung. Lassen Sie die gesamte Arbeit getrennt arbeiten und von dem ersten, zweiten und dritten Team für x, y und ausführenzTage. Dann an dem Tag, an dem sie auftreten Teil der Arbeit. Wenn wir die erste Bedingung des Problems in eine Gleichung umwandeln und annehmen, dass der gesamte Arbeitsaufwand gleich eins ist, erhalten wir
15 oder
(1)
20
.
Da die zweite Brigade 120 % dessen produziert, was die erste Brigade tut (20 % mehr), haben wir oder . (2)
Die zweite und dritte Brigade würden die ganze Arbeit in 1 / Tag, und der erste und dritte - für 1/ Tage. Gemäß der Bedingung ist der erste Wert gleich
(3)
Die zweite, das heißt 1/ . Von hier aus erhalten wir die dritte Gleichung .In der Aufgabe ist es erforderlich, die Zeit für die Fertigstellung der gesamten Arbeit in drei zu bestimmen Teams zusammenarbeiten, das heißt, die Größenordnung1/ .
Es ist offensichtlich, dass es bequemer ist, das Gleichungssystem (1)–(3) zu lösen, wenn wir neue Variablen einführen: ,
Es ist erforderlich, den Wert zu finden
l/(u + v+ w) .Dann haben wir ein äquivalentes System
Wenn wir dieses lineare System lösen, finden wir leichtu= Dann ist der gewünschte Wert gleich 1/ SoZusammen werden alle drei Teams die gesamte Arbeit in 16 Tagen abschließen.
Antworten: für 16 Tage. Wenn sich die Produktivität der zweiten Fabrik verdoppelt, dann wäre sie gleich fast alle Arten von Performance-Aufgaben angetroffen.
Aufgaben
Zwei Arbeiter zusammen können einige Arbeiten in 10 Tagen erledigen. Nach 7 Tagen Zusammenarbeit wurde einer von ihnen krank und der andere beendete die Arbeit nach weiteren 9 Tagen. Wie viele TageKann jeder Arbeiter die ganze Arbeit separat erledigen?
Eine Reihe von Arbeitern erledigten die Arbeiten in wenigen Tagen. Wenn die Zahl der Arbeitnehmer erhöht wirdtsya um 3, dann wird die Arbeit 2 Tage früher erledigt, und wenn die Anzahl der Arbeiter um 12 steigt, dann 5 Tage früher. Bestimmen Sie die Anzahl der Arbeiter und die Zeit, die für diese Arbeit benötigt wird.
Zwei Pumpen unterschiedlicher Leistung, die zusammen arbeiten, füllen das Becken in 4 Stunden.Um die Hälfte des Beckens zu füllen, braucht die erste Pumpe 4 Stunden länger als die zweite Pumpe, um drei Viertel des Beckens zu füllen. Wie lange braucht jede einzelne Pumpe, um den Pool zu füllen?
10. Das Schiff ist mit Kränen beladen. Zuerst arbeiteten vier Kräne mit gleicher Leistung 2 Stunden lang, dann kamen zwei weitere Kräne mit geringerer Leistung dazu, und 3 Stunden später war die Verladung abgeschlossen. Wenn alle Kräne gleichzeitig anfangen würden zu arbeiten, wäre die Verladung verbleibende Arbeit. Die Produktivität des dritten Teams ist die Hälfte der Summe der Produktivität des ersten und zweiten Teams. Wie oft ist die Produktivität der zweiten Brigade größer als die Produktivität der dritten Brigade?
15. Zwei Stuckateur-Teams verputzten gemeinsam ein Wohnhaus in 6 Tagen. Bei einer anderen Gelegenheit verputzten sie einen Club und leisteten dreimal so viel Arbeit wie beim Putz eines Wohnhauses. Zuerst arbeitete die erste Brigade im Club, dann ersetzte die zweite Brigade sie und beendete die Arbeit, und die erste Brigade erledigte die Arbeit doppelt so viel wie die zweite. Sie haben den Club in 35 Tagen verputzt. In wie vielen Tagen würde die erste Brigade dazu in der Lage seinein Wohnhaus zu besichtigen, wenn bekannt ist, dass die zweite Brigade mehr als 14 Tage dafür aufwenden würde?
Die beiden Teams begannen um 8 Uhr mit der Arbeit, nachdem sie 72 Teile zusammen angefertigt hatten, begannen sie getrennt zu arbeiten. Um 15.00 Uhr stellte sich heraus, dass die erste Brigade während der Zeit der getrennten Arbeiten 8 Details mehr machte als die zweite. Am nächsten Tag erledigte die erste Brigade in 1 Stunde einen Teil mehr und die zweite Brigade in 1 Stunde einen Teil weniger als am ersten Tag. Die Arbeit der Brigade begann um 8 Uhr gemeinsam und nach 72 Teilen begannen sie wieder getrennt zu arbeiten. Jetzt, während der Zeit der getrennten Arbeit, hat die erste Brigade bis 13:00 Uhr 8 Teile mehr als die zweite hergestellt.Wie viele Teile pro Stunde hat jede Brigade hergestellt?
Drei Arbeiter müssen 80 identische Teile herstellen. Alle drei zusammen machen bekanntlich 20 Teile in einer Stunde. Der Erste begann zuerst mit der Arbeit.Arbeiten. Er fertigte 20 Teile an, für deren Herstellung mehr als 3 Stunden aufgewendet wurden, den Rest erledigten der zweite und dritte Arbeiter gemeinsam. Die ganze Arbeit dauerte 8 Stunden. Wie viele Stunden würde der erste Arbeiter brauchen, um alle 80 Teile herzustellen?
Das Becken wird durch das erste Rohr 5 Stunden schneller mit Wasser gefüllt als durch das zweite Rohr und 30 Stunden schneller als durch das dritte Rohr. Es ist bekannt, dass PrDie Absenkkapazität des dritten Rohrs ist 2,5-mal geringer als die Tragfähigkeit des ersten Rohrs und 24 m 3 /h ist kleiner als die Kapazität des zweiten Rohres. Ermitteln Sie die Kapazität des ersten und dritten Rohrs.
Mit zwei Baggern, von denen der erste eine geringere Produktivität hat, wurde gegrabengemeinsame Arbeitsgrube mit einem Volumen von 240 m 3 . Dann begann der erste, den zweiten Graben auszuheben, und der zweite fuhr fort, den ersten auszuheben. 7 Stunden nach Arbeitsbeginn betrug das Volumen der ersten Grube 480 m 3 mehr als das Volumen der zweiten Grube. Am nächsten Tag steigerte der zweite Bagger seine Produktivität um 10 m 3 / h, und der erste verringerte sich um 10 m 3 /h Zuerst gruben sie zusammen eine Grube 240 m 3 , woraufhin der erste begann, eine weitere Grube zu graben, und der zweite fuhr fort, die erste zu graben. Jetzt beträgt das Volumen der ersten Grube 480 m 3 bereits 5 Stunden nach Arbeitsbeginn der Bagger mehr als das Volumen der zweiten Grube. Wie viel Erde pro Stunde haben die Bagger am ersten Arbeitstag ausgehoben?
Drei Motorfahrzeuge transportieren Getreide und werden bei jeder Fahrt komplett beladen. Für einen Flug werden Erst- und Zweitwagen gemeinsam transportiert6 Tonnen Getreide, und der erste und der dritte tragen zusammen in 2 Flügen die gleiche Menge Getreide wie der zweite in 3 Flügen. Wie viel Getreide wird bei einer Fahrt vom zweiten Wagen transportiert, wenn bekannt ist, dass eine bestimmte Menge Getreide vom zweiten und dritten zusammen transportiert wirddreimal weniger Fahrten zu machen, als ein drittes Auto für den Transport der gleichen Menge Getreide benötigen würde?
Zwei Bagger unterschiedlicher Bauart müssen zwei Gräben des gleichen Kreuzes legenklarer Abschnitt mit einer Länge von 960mi180 m. Die gesamten Arbeiten dauerten 22 Tage, in denen der erste Bagger einen großen Graben legte. Der zweite Bagger begann 6 Tage später als der erste mit der Arbeit, hob einen kleineren Graben aus, reparierte ihn 3 Tage lang und half dann dem ersten. Wenn keine Zeit für Reparaturen aufgewendet werden müsste, wären die Arbeiten in 21 Tagen abgeschlossen. Wie viele Meter Graben kann jeder Bagger pro Tag ausheben?
Drei Brigaden pflügten zwei Felder mit einer Gesamtfläche von 120 Hektar. Das erste Feld wurde in 3 Tagen gepflügt, wobei alle drei Teams zusammenarbeiteten. Das zweite Feld wurde für 6 Tage der ersten und zweiten Br gepflügtigadas. Wenn alle drei Teams 1 Tag lang auf dem zweiten Feld arbeiteten, könnte das erste Team den Rest des zweiten Felds in 8 Tagen pflügen. Wie viele Hektar pro Tag hat die zweite Brigade gepflügt?
Zwei Rohre mit gleichem Durchmesser sind mit zwei Becken verbunden(zujeder Pool hat seine eigene Leitung). Eine bestimmte Wassermenge wurde durch das erste Rohr in das erste Becken gegossen, und unmittelbar danach wurde die gleiche Wassermenge durch das zweite Rohr in das zweite Becken gegossen, und das alles dauerte 16 Stunden, wenn Wasser durch das erste floss Rohr so lange wie durch das zweite und durch das zweite - so lange wie durch das erste, dann würde Wasser 320 m lang durch das erste Rohr gegossen 3 weniger als die zweite. Wenn durch den ersten würde es 10 m passieren 3 weniger und durch die zweite - um 10 m 3 mehr Wasser, dann würde es 20 Stunden dauern, um die anfänglichen Wassermengen in das Becken zu gießen (zuerst in das erste und dann in das zweite) Wie lange floss das Wasser durch jedes der Rohre?
Zwei Konvois, bestehend aus der gleichen Anzahl von Autos, transportieren Fracht. In jedem derFahrzeuge in der Nähe haben die gleiche Tragfähigkeit und sind während der Fahrt voll beladen. Die Tragfähigkeit der Autos in verschiedenen Kolonnen ist unterschiedlich, und für eine Fahrt befördert der erste Konvoi 40 Tonnen mehr Fracht als der zweite Konvoi. Wenn wir die Anzahl der Autos im ersten Konvoi um 2 und im zweiten Konvoi um 10 reduzieren, befördert der erste Konvoi 90 Tonnen Fracht in 1 Fahrt und der zweite Konvoi 90 Tonnen Fracht in 3 Fahrten . Welche Tragfähigkeit haben die Fahrzeuge des zweiten Konvois?
Ein Arbeiter kann eine Charge von Teilen in 12 Stunden herstellen, ein Arbeiter begann mit der Arbeit, ein anderer kam eine Stunde später dazu, ein dritter und so weiter, bis die Arbeit erledigt war. Wie lange hat der erste Arbeiter gearbeitet? (Die Arbeitsproduktivität aller Arbeiter ist gleich.)
Ein Team von Arbeitern mit den gleichen Qualifikationen musste eine Charge von Teilen herstellen. ZuerstAm Anfang machte sich ein Arbeiter an die Arbeit, eine Stunde später kam ein zweiter dazu, eine Stunde später ein dritter und so weiter, bis das ganze Team anfing zu arbeiten. Wenn alle Teammitglieder von Anfang an mitgearbeitet hätten, wäre die Arbeit 2 Stunden schneller erledigt gewesen. Wie viele Arbeiter sind im Team?
Drei Arbeiter gruben einen Graben aus. Zuerst arbeitete der erste Arbeiter die halbe Zeit, neodie anderen beiden benötigten, um den gesamten Graben auszuheben, dann arbeitete der zweite Arbeiter die Hälfte der Zeit, die die anderen beiden zum Ausheben des gesamten Grabens benötigten, und schließlich arbeitete der dritte Arbeiter die Hälfte der Zeit, die die anderen beiden zum Ausheben des gesamten Grabens benötigten. Als Ergebnis wurde der Graben ausgehoben. Wie viel schneller wäre der Graben ausgehoben, wenn alle drei Arbeiter von Anfang an gleichzeitig gearbeitet hätten?
