Komplexe Zahlen

Grundlegendes Konzept

Die anfänglichen Daten zur Nummer beziehen sich auf die Steinzeit - Paläomelit. Diese sind „eins“, „wenige“ und „viele“. Sie wurden in Form von Kerben, Knoten usw. aufgezeichnet. Die Entwicklung der Arbeitsprozesse und die Entstehung des Eigentums zwangen den Menschen, Zahlen und ihre Namen zu erfinden. Zuerst tauchten natürliche Zahlen auf N durch Zählen von Gegenständen erhalten. Dann mussten die Menschen neben dem Zählen auch Längen, Flächen, Volumina, Zeit und andere Größen messen, wobei Teile des verwendeten Maßes berücksichtigt werden mussten. So wurden Brüche geboren. Die formale Begründung der Konzepte einer gebrochenen und negativen Zahl erfolgte im 19. Jahrhundert. Satz von ganzen Zahlen Z sind natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mit Minuszeichen und Null. Ganzzahlen und Bruchzahlen bildeten eine Menge rationaler Zahlen Q, aber selbst es erwies sich als unzureichend, um sich ständig ändernde Variablen zu untersuchen. Die Genesis zeigte erneut die Unvollkommenheit der Mathematik: die Unmöglichkeit, eine Gleichung der Form zu lösen X 2 = 3, in dessen Zusammenhang irrationale Zahlen auftauchten ICH. Vereinigung der Menge rationaler Zahlen Q und irrationale Zahlen ich ist die Menge der reellen (oder reellen) Zahlen R. Als Ergebnis wurde der Zahlenstrahl gefüllt: Jede reelle Zahl entsprach einem Punkt darauf. Aber am Set R Es gibt keine Möglichkeit, die Gleichung zu lösen X 2 = – a 2. Folglich bestand erneut die Notwendigkeit, den Zahlenbegriff zu erweitern. So erschienen 1545 komplexe Zahlen. Ihr Schöpfer J. Cardano nannte sie „rein negativ“. Der Name „imaginär“ wurde 1637 von dem Franzosen R. Descartes eingeführt, 1777 schlug Euler vor, den ersten Buchstaben der französischen Zahl zu verwenden ich um die imaginäre Einheit zu bezeichnen. Dieses Symbol wurde dank K. Gauss allgemein verwendet.

Während des 17. und 18. Jahrhunderts wurde die Diskussion über die arithmetische Natur von Imaginären und ihre geometrische Interpretation fortgesetzt. Der Däne H. Wessel, der Franzose J. Argan und der Deutsche K. Gauss schlugen unabhängig voneinander vor, eine komplexe Zahl durch einen Punkt auf der Koordinatenebene darzustellen. Später stellte sich heraus, dass es noch bequemer war, die Zahl nicht durch den Punkt selbst darzustellen, sondern durch den Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt geht.

Erst Ende des 18. bis Anfang des 19. Jahrhunderts nahmen komplexe Zahlen ihren rechtmäßigen Platz in der mathematischen Analyse ein. Ihre erste Verwendung fand in der Theorie der Differentialgleichungen und in der Theorie der Hydrodynamik statt.

Bestimmung 1.komplexe Zahl heißt ein Ausdruck der Form , wobei x und j reelle Zahlen sind, und ich ist die imaginäre Einheit, .

zwei komplexe Zahlen und gleich dann und nur dann, wenn , .

Wenn , dann wird die Nummer angerufen rein eingebildet; Wenn , dann ist die Zahl eine reelle Zahl, was bedeutet, dass die Menge R AUS, wo AUS ist die Menge der komplexen Zahlen.

Konjugiert zu einer komplexen Zahl heißt komplexe Zahl.

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen.

Jede komplexe Zahl kann durch einen Punkt dargestellt werden. M(x, j) Flugzeug Oxy. Ein Paar reeller Zahlen bezeichnet auch die Koordinaten des Radiusvektors , d.h. zwischen der Menge der Vektoren in der Ebene und der Menge der komplexen Zahlen kann man eine Eins-zu-Eins-Beziehung herstellen: .

Bestimmung 2.Echter Teil X.

Bezeichnung: x= Re z(vom lateinischen Realis).

Bestimmung 3.Imaginärer Teil komplexe Zahl heißt reelle Zahl j.

Bezeichnung: j= Ich bin z(vom lateinischen Imaginarius).

Betreff z wird auf der Achse abgelagert ( Oh), Ich bin z wird auf der Achse abgelagert ( Ey), dann ist der der komplexen Zahl entsprechende Vektor der Radiusvektor des Punktes M(x, j), (oder M(Betreff z, Ich bin z)) (Abb. 1).

Bestimmung 4. Eine Ebene, deren Punkte einer Menge komplexer Zahlen zugeordnet sind, wird aufgerufen komplexe Ebene. Die Abszisse wird genannt echte Achse, da es reelle Zahlen enthält . Die y-Achse wird aufgerufen imaginäre Achse, es enthält rein imaginäre komplexe Zahlen . Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet AUS.

Bestimmung 5.Modul komplexe Zahl z = (x, j) ist die Länge des Vektors : , also .

Bestimmung 6.Streit komplexe Zahl heißt der Winkel zwischen der positiven Richtung der Achse ( Oh) und Vektor : .

Komplexe Zahlen

Imaginär und komplexe Zahlen. Abszisse und Ordinate

komplexe Zahl. Komplexe zahlen konjugieren.

Operationen mit komplexen Zahlen. Geometrisch

Darstellung komplexer Zahlen. komplexe Ebene.

Modul und Argument einer komplexen Zahl. trigonometrisch

Komplexe Zahlenform. Operationen mit komplexen

Zahlen in trigonometrischer Form. Moivre-Formel.

Grundlegende Informationen zu imaginär und komplexe Zahlen finden Sie im Abschnitt "Imaginäre und komplexe Zahlen". Die Notwendigkeit für diese Zahlen eines neuen Typs erschien beim Lösen quadratischer Gleichungen für den FallD< 0 (здесь Dist die Diskriminante der quadratischen Gleichung). Lange Zeit fanden diese Zahlen keine physische Verwendung, weshalb sie als „imaginäre“ Zahlen bezeichnet wurden. Mittlerweile sind sie jedoch in verschiedenen Bereichen der Physik sehr weit verbreitet.

und Technik: Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik, Elastizitätstheorie etc.

Komplexe Zahlen werden geschrieben als:a+bi. Hier a und b – reale Nummern , a ich – imaginäre Einheit. e. ich 2 = –1. Nummer a genannt Abszisse, a b - Ordinatekomplexe Zahla+b.Zwei komplexe Zahlena+bi und a-bi genannt konjugieren komplexe Zahlen.

Hauptvereinbarungen:

1. Reelle Zahlakann auch in das Formular geschrieben werdenkomplexe Zahl:ein + 0 ich oder a - 0 ich. Zum Beispiel Einträge 5 + 0ich und 5 - 0 ichmeine die gleiche Zahl 5 .

2. Komplexe Zahl 0 + Bigenannt rein eingebildet Nummer. AufzeichnungBibedeutet das gleiche wie 0 + Bi.

3. Zwei komplexe Zahlena+bi undc + digelten als gleich, wenna = c und b = d. Sonst Komplexe Zahlen sind nicht gleich.

Zusatz. Die Summe komplexer Zahlena+bi und c + diheißt komplexe Zahl (a+c ) + (b+t ) ich .Auf diese Weise, wenn hinzugefügt Bei komplexen Zahlen werden ihre Abszissen und Ordinaten separat addiert.

Diese Definition folgt den Regeln für den Umgang mit gewöhnlichen Polynomen.

Subtraktion. Der Unterschied zwischen zwei komplexen Zahlena+bi(reduziert) und c + di(subtrahiert) heißt komplexe Zahl (a-c ) + (b-d ) ich .

Auf diese Weise, Bei der Subtraktion zweier komplexer Zahlen werden ihre Abszissen und Ordinaten separat subtrahiert.

Multiplikation. Das Produkt komplexer Zahlena+bi und c + di heißt komplexe Zahl.

(ac-bd ) + (ad+bc ) ich .Diese Definition ergibt sich aus zwei Anforderungen:

1) Zahlen a+bi und c + disollte wie algebraisch multiplizieren Binome,

2) Nummer ichhat die Haupteigenschaft:ich 2 = – 1.

BEISPIEL ( ein + bi )(a-bi) = ein 2 +b 2 . Folglich, Arbeit

zwei konjugierte komplexe Zahlen sind gleich der reellen Zahl

positive Zahl.

Aufteilung. Dividiere eine komplexe Zahla+bi (teilbar) zu einem anderenc + di(Teiler) - bedeutet, die dritte Zahl zu findene + fi(Chat), die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert werdenc + di, was die Dividende ergibta+b.

Wenn der Divisor nicht Null ist, ist eine Division immer möglich.

BEISPIEL Finde (8+ich ) : (2 – 3 ich) .

Lösung: Schreiben wir dieses Verhältnis als Bruch um:

Multiplizieren von Zähler und Nenner mit 2 + 3ich

Und Nach Durchführung aller Transformationen erhalten wir:

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt:

Hier ist der Punkt EINbedeutet Zahl -3, PunktB ist die Zahl 2, und Ö- Null. Im Gegensatz dazu werden komplexe Zahlen durch Punkte auf der Koordinatenebene dargestellt. Dazu wählen wir rechtwinklige (kartesische) Koordinaten mit gleichen Maßstäben auf beiden Achsen. Dann die komplexe Zahla+bi wird durch einen Punkt dargestellt P mit Abszisse a und Ordinate b (siehe Abb.). Dieses Koordinatensystem heißt komplexe Ebene .

Modul komplexe Zahl heißt die Länge des VektorsOP, die eine komplexe Zahl auf der Koordinate darstellt ( umfassend) Flugzeug. Komplexer Zahlenmodula+bi bezeichnet mit | a+bi| oder Brief r

Komplexe Zahlen, ihre Darstellung in der Ebene. Algebraische Operationen auf komplexen Zahlen. Komplexe Konjugation. Modul und Argument einer komplexen Zahl. Algebraische und trigonometrische Formen einer komplexen Zahl. Wurzeln komplexer Zahlen. Die Exponentialfunktion eines komplexen Arguments. Euler-Formel. Die Exponentialform einer komplexen Zahl.

Beim Studium einer der wichtigsten Integrationsmethoden - der Integration rationaler Brüche - ist es erforderlich, Polynome im komplexen Bereich für strenge Beweise zu berücksichtigen. Lassen Sie uns daher zuerst einige Eigenschaften komplexer Zahlen und Operationen mit ihnen untersuchen.

Definition 7.1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b): z = (a, b) (der Begriff „geordnet“ bedeutet, dass die Reihenfolge der Zahlen a und b beim Schreiben einer komplexen Zahl wichtig ist: (a , b) )). In diesem Fall heißt die erste Zahl a Realteil der komplexen Zahl z und wird mit a = Re z bezeichnet, und die zweite Zahl b heißt Imaginärteil von z: b = Im z.

Definition 7.2. Zwei komplexe Zahlen z 1 \u003d (a 1, b 1) und z 2 \u003d (a 2, b 2) sind genau dann gleich, wenn sie gleiche Real- und Imaginärteile haben, dh a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Aktionen auf komplexen Zahlen.

1. Summe komplexe Zahlen z1 =(a1, b1) und z2 =(a2, b2 z=(ein, b) so dass a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Additionseigenschaften: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) es gibt eine komplexe Zahl 0 = (0,0): z + 0 =z für jede komplexe Zahl z.

2. Arbeit komplexe Zahlen z1 =(a1, b1) und z2 =(a2, b2) heißt komplexe Zahl z=(ein, b) so dass a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Multiplikationseigenschaften: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, in) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Kommentar. Eine Teilmenge der Menge komplexer Zahlen ist die Menge reeller Zahlen, die als komplexe Zahlen der Form ( a, 0). Es ist ersichtlich, dass in diesem Fall die Definition von Operationen auf komplexen Zahlen die bekannten Regeln der entsprechenden Operationen auf reellen Zahlen bewahrt. Außerdem behält die reelle Zahl 1 = (1,0) ihre Eigenschaft, wenn sie mit einer beliebigen komplexen Zahl multipliziert wird: 1∙ z = z.

Definition 7.3. Komplexe Zahl (0, b) wird genannt rein eingebildet. Insbesondere wird die Nummer (0,1) angerufen imaginäre Einheit und werden symbolisiert ich.

Eigenschaften der imaginären Einheit:

1) i∙i=i² = -1; 2) eine rein imaginäre Zahl (0, b) kann als Produkt einer reellen Zahl ( b, 0) und ich: (b, 0) = b∙i.

Daher kann jede komplexe Zahl z = (a,b) dargestellt werden als: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definition 7.4. Eine Schreibweise der Form z = a + ib heißt algebraische Form einer komplexen Zahl.

Kommentar. Die algebraische Notation komplexer Zahlen ermöglicht es, Operationen an ihnen nach den üblichen Regeln der Algebra durchzuführen.

Definition 7.5. Eine komplexe Zahl heißt die komplexe Konjugierte von z = a + ib.

3. Subtraktion komplexe Zahlen sind als Umkehroperation der Addition definiert: z=(ein, b) heißt Differenz komplexer Zahlen z1 =(a1, b1) und z2 =(a2, b2), wenn a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Aufteilung komplexe Zahlen sind als Umkehroperation der Multiplikation definiert: Zahl z = a + ib heißt Divisionsquotient z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) wenn z 1 = z∙z 2 . Daher können Real- und Imaginärteil des Quotienten aus der Lösung des Gleichungssystems gefunden werden: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Geometrische Interpretation komplexer Zahlen.

Komplexe Zahl z=(ein, b) kann als Punkt auf der Ebene mit Koordinaten ( ein, b) oder ein Vektor mit Ursprung am Ursprung und Ende am Punkt ( ein, b).

In diesem Fall wird das Modul des resultierenden Vektors aufgerufen Modul komplexe Zahl, und der Winkel, den der Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse bildet Streit Zahlen. Angesichts dessen a = s cos φ, b = ρ Sünde φ, wo ρ = |z| - Modul z, und φ = arg z ihr Argument ist, können wir eine andere Schreibweise einer komplexen Zahl erhalten:

Definition 7.6. Eintrag ansehen

z = p(Kos φ + ich Sünde φ ) (7.1)

genannt trigonometrische Form Notation einer komplexen Zahl.

Der Betrag und das Argument einer komplexen Zahl können wiederum durch ausgedrückt werden a und b: . Daher ist das Argument einer komplexen Zahl nicht eindeutig definiert, sondern bis auf einen Term, der ein Vielfaches von 2π ist.

Es ist leicht zu sehen, dass die Operation des Addierens komplexer Zahlen der Operation des Addierens von Vektoren entspricht. Betrachten Sie die geometrische Interpretation der Multiplikation. Lass dann

Daher ist der Modul des Produkts zweier komplexer Zahlen gleich dem Produkt ihrer Module, und das Argument ist die Summe ihrer Argumente. Dementsprechend ist beim Teilen der Modul des Quotienten gleich dem Verhältnis der Module des Dividenden und des Divisors, und das Argument ist die Differenz zwischen ihren Argumenten.

Ein Spezialfall der Multiplikationsoperation ist die Potenzierung:

- Die Formel von De Moivre.

Unter Verwendung der erhaltenen Beziehungen listen wir die Haupteigenschaften komplexer konjugierter Zahlen auf:

Komplexe Zahlen u
Koordinate
Flugzeug

Das geometrische Modell der Menge R der reellen Zahlen ist der Zahlenstrahl. Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt

auf der
Zahlenstrahl und jeder beliebige Punkt auf der Linie
nur einer passt
reelle Zahl!

Indem man zu dem Zahlenstrahl, der der Menge aller reellen Zahlen entspricht, eine weitere Dimension hinzufügt – einen Strich, der die Menge von rein m enthält

Hinzufügen zum Zahlenstrahl, der dem Satz entspricht
aller reellen Zahlen eine weitere Dimension -
Zeile, die die Menge der rein imaginären Zahlen enthält -
wir erhalten eine Koordinatenebene, in der jeder
Komplexe Zahl a + bi kann zugeordnet werden
Punkt (a; b) der Koordinatenebene.
i=0+1i entspricht Punkt (0;1)
2+3i entspricht Punkt (2;3)
-i-4 entspricht Punkt (-4;-1)
5=5+1i entspricht Melancholie (5;0)

Die geometrische Bedeutung der Konjugationsoperation

! Die Konjugationsoperation ist axial
Symmetrie um die x-Achse.
!! Verbunden miteinander
komplexe Zahlen sind äquidistant von
Ursprung der Koordinaten.
!!! Vektoren darstellen
konjugierte Zahlen, zur Achse geneigt
Abszisse im gleichen Winkel, aber
befindet sich auf gegenüberliegenden Seiten von
diese Achse.

Bild von reellen Zahlen

Bild von komplexen Zahlen

Algebraisch
Weg
Bilder:
Komplexe Zahl
a+bi wird angezeigt
ebener Punkt
mit Koordinaten
(a;b)

Beispiele für die Darstellung komplexer Zahlen auf der Koordinatenebene

(Wir sind interessiert an
komplexe Zahlen
z=x+yi , wofür
x=-4. Dies ist die Gleichung
gerade,
parallele Achse
Ordinate)
bei
X = - 4
Gültig
Teil ist -4
0
X

Zeichnen Sie auf der Koordinatenebene die Menge aller komplexen Zahlen, für die gilt:

Imaginärer Teil
ist gerade
eindeutig
natürlich
Nummer
(Wir sind interessiert an
komplexe Zahlen
z=x+yi
y=2,4,6,8.
Geometrisches Bild
besteht aus vier
gerade Linien, parallel
Abszisse)
bei
8
6
4
2
0
X