Viele, die mit dem Konzept der „Wahrscheinlichkeitstheorie“ konfrontiert sind, haben Angst und denken, dass dies etwas Überwältigendes, sehr Komplexes ist. Aber so tragisch ist es wirklich nicht. Heute werden wir das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten und anhand konkreter Beispiele lernen, wie man Probleme löst.

Die Wissenschaft

Was untersucht ein Zweig der Mathematik wie die „Wahrscheinlichkeitstheorie“? Sie notiert Muster und Größenordnungen. Wissenschaftler interessierten sich erstmals im 18. Jahrhundert für dieses Thema, als sie sich mit dem Glücksspiel befassten. Das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis. Es ist jede Tatsache, die durch Erfahrung oder Beobachtung festgestellt wird. Aber was ist Erfahrung? Ein weiteres Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das bedeutet, dass diese Zusammenstellung von Umständen nicht zufällig, sondern zu einem bestimmten Zweck geschaffen wurde. Was die Beobachtung betrifft, hier nimmt der Forscher selbst nicht am Experiment teil, sondern ist einfach Zeuge dieser Ereignisse, er beeinflusst das Geschehen in keiner Weise.

Entwicklungen

Wir haben gelernt, dass das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Ereignis ist, haben aber die Klassifizierung nicht berücksichtigt. Alle fallen in die folgenden Kategorien:

• Zuverlässig.
• Unmöglich.
• Zufällig.

Ganz gleich, welche Art von Ereignissen beobachtet oder im Laufe der Erfahrung geschaffen werden, sie alle unterliegen dieser Klassifizierung. Wir bieten an, sich mit jeder der Arten separat vertraut zu machen.

Glaubwürdiges Ereignis

Dies ist ein Umstand, vor dem die erforderlichen Maßnahmen ergriffen wurden. Um die Essenz besser zu verstehen, ist es besser, einige Beispiele zu geben. Physik, Chemie, Wirtschaftswissenschaften und höhere Mathematik unterliegen diesem Gesetz. Die Wahrscheinlichkeitstheorie beinhaltet ein so wichtiges Konzept wie ein bestimmtes Ereignis. Hier sind einige Beispiele:

• Wir arbeiten und erhalten eine Vergütung in Form von Lohn.
• Wir haben die Prüfungen gut bestanden, den Wettbewerb bestanden, dafür erhalten wir eine Belohnung in Form der Zulassung zu einer Bildungseinrichtung.
• Wir haben Geld bei der Bank angelegt, notfalls bekommen wir es zurück.

Solche Ereignisse sind zuverlässig. Wenn wir alle notwendigen Bedingungen erfüllt haben, werden wir definitiv das erwartete Ergebnis erzielen.

Unmögliche Ereignisse

Wir betrachten nun Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir schlagen vor, zur Erklärung des nächsten Ereignistyps überzugehen, nämlich des Unmöglichen. Zunächst stellen wir die wichtigste Regel auf - die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Von dieser Formulierung kann bei der Problemlösung nicht abgewichen werden. Zur Verdeutlichung hier Beispiele für solche Ereignisse:

• Das Wasser gefror bei einer Temperatur von plus zehn (das ist unmöglich).
• Der Mangel an Strom beeinträchtigt die Produktion in keiner Weise (genauso unmöglich wie im vorherigen Beispiel).

Weitere Beispiele sollen nicht genannt werden, da die oben beschriebenen sehr deutlich die Essenz dieser Kategorie widerspiegeln. Das unmögliche Ereignis wird unter keinen Umständen während der Erfahrung eintreten.

zufällige Geschehnisse

Beim Studium der Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie sollte dieser besonderen Art von Ereignissen besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden. Das studiert die Wissenschaft. Als Ergebnis der Erfahrung kann etwas passieren oder auch nicht. Außerdem kann der Test unbegrenzt oft wiederholt werden. Prominente Beispiele sind:

• Das Werfen einer Münze ist ein Erlebnis oder ein Test, Kopfball ist ein Ereignis.
• Den Ball blind aus dem Sack zu ziehen ist ein Test, das Fangen eines roten Balls ist ein Ereignis und so weiter.

Es kann eine unbegrenzte Anzahl solcher Beispiele geben, aber im Allgemeinen sollte das Wesentliche klar sein. Um die gewonnenen Erkenntnisse über Ereignisse zusammenzufassen und zu systematisieren, wird eine Tabelle gegeben. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht nur den letzten Typ von allen vorgestellten.

Titel	Definition
Glaubwürdig	Ereignisse, die mit 100%iger Garantie eintreten, unterliegen bestimmten Bedingungen.	Aufnahme in eine Bildungseinrichtung mit gutem Bestehen der Aufnahmeprüfung.
Unmöglich	Ereignisse, die unter keinen Umständen stattfinden werden.	Es schneit bei einer Lufttemperatur von plus dreißig Grad Celsius.
Zufällig	Ein Ereignis, das während eines Experiments/Tests auftreten kann oder auch nicht.	Hit or Miss beim Werfen eines Basketballs in den Korb.

Rechtsvorschriften

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wissenschaft, die die Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses untersucht. Wie die anderen hat es einige Regeln. Es gibt folgende Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie:

• Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen.
• Das Gesetz der großen Zahlen.

Bei der Berechnung der Möglichkeit des Komplexes kann ein Komplex einfacher Ereignisse verwendet werden, um das Ergebnis einfacher und schneller zu erreichen. Beachten Sie, dass die Gesetze mit Hilfe einiger Sätze leicht bewiesen werden können. Beginnen wir mit dem ersten Gesetz.

Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen

Beachten Sie, dass es mehrere Arten von Konvergenz gibt:

• Die Folge von Zufallsvariablen ist in der Wahrscheinlichkeit konvergent.
• Nahezu unmöglich.
• RMS-Konvergenz.
• Verteilungskonvergenz.

So ist es im laufenden Betrieb sehr schwer, dem auf den Grund zu gehen. Hier sind einige Definitionen, die Ihnen helfen sollen, dieses Thema zu verstehen. Beginnen wir mit dem ersten Blick. Die Sequenz wird aufgerufen konvergent in der Wahrscheinlichkeit, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: n strebt gegen unendlich, die Zahl, gegen die die Folge strebt, ist größer als null und nahe bei eins.

Kommen wir zum nächsten, Fast sicher. Die Folge soll konvergieren Fast sicher zu einer Zufallsvariablen, bei der n gegen unendlich strebt und P gegen einen Wert nahe Eins strebt.

Der nächste Typ ist RMS-Konvergenz. Bei der Verwendung von SC-Konvergenz wird die Untersuchung von Vektor-Zufallsprozessen auf die Untersuchung ihrer koordinierten Zufallsprozesse reduziert.

Der letzte Typ bleibt, analysieren wir ihn kurz, um direkt zur Problemlösung überzugehen. Verteilungskonvergenz hat einen anderen Namen - „schwach“, wir werden weiter unten erklären, warum. Schwache Konvergenz ist die Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitspunkten der Grenzverteilungsfunktion.

Wir werden das Versprechen auf jeden Fall erfüllen: Schwache Konvergenz unterscheidet sich von all dem oben Gesagten dadurch, dass die Zufallsvariable nicht auf dem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dies ist möglich, weil die Bedingung ausschließlich über Verteilungsfunktionen gebildet wird.

Gesetz der großen Zahlen

Hervorragende Helfer beim Beweis dieses Gesetzes werden Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie sein, wie zum Beispiel:

• Chebyshevs Ungleichung.
• Chebyshevs Theorem.
• Verallgemeinerter Satz von Tschebyscheff.
• Satz von Markov.

Wenn wir all diese Theoreme berücksichtigen, kann sich diese Frage über mehrere zehn Blätter hinziehen. Unsere Hauptaufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis anzuwenden. Wir laden Sie ein, dies jetzt zu tun. Aber lassen Sie uns vorher die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten, sie werden die Haupthelfer bei der Lösung von Problemen sein.

Axiome

Den ersten trafen wir bereits, als wir über das unmögliche Ereignis sprachen. Erinnern wir uns: Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null. Wir haben ein sehr anschauliches und einprägsames Beispiel gegeben: Schnee fiel bei einer Lufttemperatur von dreißig Grad Celsius.

Die zweite lautet wie folgt: Ein bestimmtes Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von eins auf. Lassen Sie uns nun zeigen, wie man es in mathematischer Sprache aufschreibt: P(B)=1.

Drittens: Ein zufälliges Ereignis kann eintreten oder auch nicht, aber die Wahrscheinlichkeit reicht immer von null bis eins. Je näher der Wert bei eins liegt, desto größer ist die Chance; nähert sich der Wert Null, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering. Schreiben wir es in mathematischer Sprache: 0<Р(С)<1.

Betrachten Sie das letzte, vierte Axiom, das so klingt: Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Wir schreiben in mathematischer Sprache: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die einfachsten Regeln, die man sich leicht merken kann. Lassen Sie uns versuchen, einige Probleme zu lösen, basierend auf dem bereits erworbenen Wissen.

Lotterieschein

Betrachten Sie zunächst das einfachste Beispiel - die Lotterie. Stellen Sie sich vor, Sie hätten einen Lottoschein als Glücksbringer gekauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwanzig Rubel gewinnen? Insgesamt sind tausend Tickets im Umlauf, von denen eines einen Preis von fünfhundert Rubel, zehn von hundert Rubel, fünfzig von zwanzig Rubel und einhundert von fünf hat. Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren darauf, die Möglichkeit des Glücks zu finden. Schauen wir uns gemeinsam die Lösung für das obige Problem an.

Wenn wir mit dem Buchstaben A einen Gewinn von fünfhundert Rubel bezeichnen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, A zu erhalten, 0,001. Wie haben wir es bekommen? Sie müssen nur die Anzahl der "glücklichen" Tickets durch ihre Gesamtzahl teilen (in diesem Fall: 1/1000).

B ist ein Gewinn von hundert Rubel, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,01. Jetzt haben wir nach dem gleichen Prinzip gehandelt wie bei der vorherigen Aktion (10/1000)

C - der Gewinn beträgt zwanzig Rubel. Wir finden die Wahrscheinlichkeit, sie ist gleich 0,05.

Die restlichen Lose sind für uns uninteressant, da ihr Preisgeld geringer ist als in der Bedingung angegeben. Wenden wir das vierte Axiom an: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwanzig Rubel zu gewinnen, ist P(A)+P(B)+P(C). Der Buchstabe P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses, wir haben sie bereits in den vorherigen Schritten gefunden. Es müssen nur noch die notwendigen Daten hinzugefügt werden, in der Antwort erhalten wir 0,061. Diese Nummer ist die Antwort auf die Frage der Aufgabe.

Kartendeck

Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind auch komplexer, nehmen Sie zum Beispiel die folgende Aufgabe. Vor Ihnen liegt ein Kartenspiel mit sechsunddreißig Karten. Ihre Aufgabe ist es, zwei Karten hintereinander zu ziehen, ohne den Stapel zu mischen, die erste und zweite Karte müssen Asse sein, die Farbe spielt keine Rolle.

Zunächst ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, dazu teilen wir vier durch sechsunddreißig. Sie haben es beiseite gelegt. Wir ziehen die zweite Karte heraus, es wird ein Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von drei Fünfunddreißigstel sein. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses hängt davon ab, welche Karte wir zuerst gezogen haben, uns interessiert, ob es ein Ass war oder nicht. Daraus folgt, dass Ereignis B von Ereignis A abhängt.

Der nächste Schritt besteht darin, die Wahrscheinlichkeit der gleichzeitigen Implementierung zu finden, dh wir multiplizieren A und B. Ihr Produkt wird wie folgt ermittelt: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der bedingten Wahrscheinlichkeit eines anderen, die wir unter der Annahme berechnen, dass das erste Ereignis eingetreten, das heißt, wir haben mit der ersten Karte ein Ass gezogen.

Um alles klarzustellen, lassen Sie uns einem solchen Element eine Bezeichnung als Ereignisse geben. Es wird unter der Annahme berechnet, dass Ereignis A eingetreten ist. Berechnet wie folgt: P(B/A).

Fahren wir mit der Lösung unseres Problems fort: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) oder P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Die Wahrscheinlichkeit ist (4/36) * ((3/35)/(4/36). Berechnen Sie durch Runden auf Hundertstel. Wir haben: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei Asse hintereinander ziehen, beträgt neun Hundertstel. Der Wert ist sehr klein, daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses extrem gering ist.

Nummer vergessen

Wir schlagen vor, einige weitere Optionen für Aufgaben zu analysieren, die von der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden. Sie haben in diesem Artikel bereits Beispiele für die Lösung einiger davon gesehen. Versuchen wir, das folgende Problem zu lösen: Der Junge hat die letzte Ziffer der Telefonnummer seines Freundes vergessen, aber da der Anruf sehr wichtig war, begann er, alles der Reihe nach zu wählen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er höchstens dreimal anruft. Die Lösung des Problems ist am einfachsten, wenn die Regeln, Gesetze und Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt sind.

Bevor Sie sich die Lösung ansehen, versuchen Sie, sie selbst zu lösen. Wir wissen, dass die letzte Ziffer von null bis neun sein kann, das heißt, es gibt insgesamt zehn Werte. Die Wahrscheinlichkeit, den Richtigen zu finden, beträgt 1/10.

Als nächstes müssen wir Optionen für den Ursprung des Ereignisses in Betracht ziehen. Angenommen, der Junge hat richtig geraten und sofort das richtige Ergebnis erzielt. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses beträgt 1/10. Die zweite Option: Der erste Anruf ist ein Fehlschuss und der zweite ist am Ziel. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Multiplizieren Sie 9/10 mit 1/9, als Ergebnis erhalten wir auch 1/10. Die dritte Möglichkeit: Beim ersten und zweiten Anruf stellte sich heraus, dass die Adresse falsch war, erst ab dem dritten kam der Junge dort an, wo er wollte. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Wir multiplizieren 9/10 mit 8/9 und mit 1/8 erhalten wir als Ergebnis 1/10. Je nach Zustand des Problems sind wir an anderen Optionen nicht interessiert, also bleibt es uns, die Ergebnisse zu addieren, als Ergebnis haben wir 3/10. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Junge höchstens dreimal anruft, ist 0,3.

Karten mit Zahlen

Vor dir liegen neun Karten, die jeweils eine Zahl von eins bis neun enthalten, die Zahlen werden nicht wiederholt. Sie wurden in eine Kiste gegeben und gründlich gemischt. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen

• eine gerade Zahl wird angezeigt;
• zweistellig.

Bevor wir zur Lösung übergehen, stellen wir fest, dass m die Anzahl der erfolgreichen Fälle und n die Gesamtzahl der Optionen ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gerade ist. Es wird nicht schwierig sein zu berechnen, dass es vier gerade Zahlen gibt, dies wird unser m sein, es gibt insgesamt neun Optionen, dh m = 9. Dann ist die Wahrscheinlichkeit 0,44 oder 4/9.

Wir betrachten den zweiten Fall: Die Anzahl der Optionen ist neun, und es kann überhaupt keine erfolgreichen Ergebnisse geben, das heißt, m ist gleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte eine zweistellige Zahl enthält, ist ebenfalls Null.

Staatliche Technische Universität Nischni Nowgorod

Sie. A.E. Alekseeva

Essay zur Disziplin Theorie der Wahrscheinlichkeit

Abgeschlossen von: Ruchina N.A gr 10MENz

Geprüft: Gladkov V.V.

Nischni Nowgorod, 2011

Wahrscheinlichkeitstheorie……………………………………

Das Thema Wahrscheinlichkeitstheorie …………………………

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ……………

Zufällige Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ……………………………………………………

Grenzwertsätze ……………………………………

Zufällige Prozesse ……………………………………

Geschichte Referenz …………………………………

Gebrauchte Bücher …………………………………………

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie - eine mathematische Wissenschaft, die es ermöglicht, durch die Wahrscheinlichkeiten einiger zufälliger Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten anderer zufälliger Ereignisse zu finden, die in irgendeiner Weise mit dem ersten zusammenhängen.

Aussage, dass ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit eintritt , gleich beispielsweise 0,75, stellt für sich noch nicht den endgültigen Wert dar, da wir nach verlässlichen Erkenntnissen streben. Der letzte kognitive Wert sind jene Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, die es uns erlauben, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu behaupten ABER sehr nahe an Eins oder (was dasselbe ist) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt ABER sehr klein. Nach dem Grundsatz der „Vernachlässigung hinreichend kleiner Wahrscheinlichkeiten“ gilt ein solches Ereignis zu Recht als praktisch sicher. Derartige Schlussfolgerungen von wissenschaftlichem und praktischem Interesse beruhen in der Regel auf der Annahme, dass ein Ereignis eintritt oder nicht eintritt ABER hängt von einer großen Anzahl zufälliger, wenig zusammenhängender Faktoren ab . Daher können wir auch sagen, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Wissenschaft ist, die die Muster erklärt, die entstehen, wenn eine Vielzahl von Zufallsfaktoren zusammenwirken.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie. Um eine regelmäßige Beziehung zwischen bestimmten Bedingungen zu beschreiben S und Ereignis ABER, deren Eintreten oder Nichteintreten unter gegebenen Bedingungen genau festgestellt werden kann, verwendet die Naturwissenschaft üblicherweise eines der beiden folgenden Schemata:

a) jedes Mal, wenn die Bedingungen erfüllt sind S ein Ereignis eintritt ABER. Beispielsweise haben alle Gesetze der klassischen Mechanik diese Form, die besagen, dass bei gegebenen Anfangsbedingungen und Kräften, die auf einen Körper oder ein System von Körpern einwirken, die Bewegung auf eine eindeutig definierte Weise ablaufen wird.

b) Unter den Bedingungen S Veranstaltung ABER hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit P(WIE), gleicht R. So besagen zum Beispiel die Gesetze der radioaktiven Strahlung, dass für jeden radioaktiven Stoff eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass von einer bestimmten Stoffmenge in einer bestimmten Zeit eine bestimmte Anzahl zerfällt. N Atome.

Nennen wir die Ereignishäufigkeit ABER in dieser Reihe von n Prüfungen (bzw. n erneute Implementierung von Bedingungen S) Beziehung h = m/n Zahlen m die Tests, in denen ABER gekommen ist, zu ihrer Gesamtzahl n. Die Anwesenheit des Ereignisses ABER unter Bedingungen S gewisse Wahrscheinlichkeit gleich R,äußert sich darin, dass bei fast jeder ausreichend langen Versuchsreihe die Häufigkeit des Ereignisses ansteigt ABER ungefähr gleich R.

Statistische Regelmäßigkeiten, also Regelmäßigkeiten, die durch ein Schema vom Typ (b) beschrieben werden, wurden erstmals am Beispiel von Glücksspielen wie Würfeln entdeckt. Auch die statistischen Gesetzmäßigkeiten von Geburt und Tod sind seit langem bekannt (Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes ein Junge ist, beträgt 0,515). Ende des 19. Jahrhunderts und 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts. geprägt durch die Entdeckung einer Vielzahl statistischer Regelmäßigkeiten in Physik, Chemie, Biologie etc.

Die Möglichkeit, die Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie auf das Studium statistischer Gesetzmäßigkeiten weit entfernter Wissenschaftsgebiete anzuwenden, beruht auf der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen immer bestimmten einfachen Beziehungen genügen. Die Untersuchung der Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen auf der Grundlage dieser einfachen Beziehungen ist Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematischer Disziplin werden am einfachsten im Rahmen der sogenannten elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie definiert. Jede Prüfung T, in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie so betrachtet wird, dass sie mit einem und nur einem der Ereignisse endet E 1 , E 2 ,...,E S (je nach Fall das eine oder das andere). Diese Ereignisse werden als Studienergebnisse bezeichnet. Mit jedem Ergebnis E k bindet eine positive Zahl R zu - die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Zahlen p k muss sich zu eins addieren. Dann werden Ereignisse betrachtet. ABER, darin besteht, dass "kommt oder E ich , oder E j ,..., oder E k". Ergebnisse E ich , E j ,...,E k werden als günstig bezeichnet ABER, und nehmen per definitionem die Wahrscheinlichkeit an R(ABER) Entwicklungen ABER gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten günstiger Ergebnisse:

P(EIN) =p ich +p s +… +p k . (1)

besonderer Fall p 1 =p 2 =...p s= 1/S führt zur Formel

R(ABER) =r/s.(2)

Formel (2) drückt die sogenannte klassische Definition der Wahrscheinlichkeit aus, wonach die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER ist gleich dem Verhältnis der Zahl r günstige Ergebnisse ABER, zur Nummer s alle "gleich möglichen" Ergebnisse. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit reduziert den Begriff der „Wahrscheinlichkeit“ lediglich auf den Begriff der „Äquimöglichkeit“, der ohne klare Definition bleibt.

Beispiel. Beim Werfen von zwei Würfeln kann jedes der 36 möglichen Ergebnisse markiert werden ( ich,j), wo ich- die Anzahl der Punkte, die beim ersten Würfel gefallen sind, j- Auf dem zweiten. Die Ergebnisse werden als gleich wahrscheinlich angenommen. Veranstaltung ABER -"Die Summe der Punkte ist 4", drei Ergebnisse sprechen für (1; 3), (2; 2), (3; 1). Folglich, R(EIN) = 3/36= 1/12.

Basierend auf beliebigen Daten von Ereignissen können zwei neue Ereignisse definiert werden: ihre Vereinigung (Summe) und Kombination (Produkt).

Vorfall BEI wird die Vereinigung der Ereignisse genannt EIN 1 , EIN 2 ,..., EIN r ,-, wenn es so aussieht: "kommt oder EIN 1 , oder ABER 2 ,..., oder EIN r ».

Das Ereignis C wird als Koinzidenz von Ereignissen bezeichnet EIN 1 , ABER. 2 ,..., EIN r , wenn es so aussieht: "kommt und EIN 1 , und EIN 2 ,..., und EIN r » . Die Kombination von Ereignissen wird mit dem Zeichen  und die Kombination - mit dem Zeichen  bezeichnet. So schreiben sie:

B = A 1  EIN 2  …  EIN r , C = EIN 1  EIN 2  …  EIN r .

Entwicklungen ABER und BEI werden als inkompatibel bezeichnet, wenn ihre gleichzeitige Implementierung unmöglich ist, dh wenn es kein einziges günstiges und gibt ABER und BEI.

Mit den eingeführten Operationen zum Kombinieren und Kombinieren von Ereignissen sind zwei Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden - die Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.

Wahrscheinlichkeitsadditionssatz: Wenn Veranstaltungen EIN 1 ,EIN 2 ,...,EIN r so sind, dass jeweils zwei von ihnen inkompatibel sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Also, im obigen Beispiel mit dem Wurf von zwei Würfeln, das Ereignis BEI -"die Summe der Punkte 4 nicht überschreitet", liegt eine Vereinigung von drei unvereinbaren Ereignissen vor EIN 2 ,EIN 3 ,EIN 4 , bestehend aus der Tatsache, dass die Summe der Punkte gleich 2, 3 bzw. 4. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind 1/36; 2/36; 3/36. Nach dem Additionssatz die Wahrscheinlichkeit R(BEI) ist gleich

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Entwicklungen EIN 1 ,EIN 2 ,...,EIN r heißen unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit von jedem von ihnen, vorausgesetzt, dass einer der anderen eingetreten ist, gleich seiner "unbedingten" Wahrscheinlichkeit ist.

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz: Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens von Ereignissen EIN 1 ,EIN 2 ,...,EIN r ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EIN 1 , multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EIN 2 unter der Bedingung genommen, dass ABER 1 passiert,..., multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EIN r hat das vorausgesetzt EIN 1 ,EIN 2 ,...,EIN r-1 sind angekommen. Für unabhängige Ereignisse führt der Multiplikationssatz auf die Formel:

P(EIN 1 EIN 2 …EIN r) =P(EIN 1 )P(EIN 2 )· … · P(EIN r), (3)

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit der Kombination unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Formel (3) bleibt gültig, wenn einige der Ereignisse in beiden Teilen durch entgegengesetzte ersetzt werden.

Beispiel. Feuert 4 Schüsse auf das Ziel mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 0,2 bei einem einzigen Schuss ab. Zieltreffer für verschiedene Schüsse werden als unabhängige Ereignisse angenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Ziel genau dreimal zu treffen?

Jedes Testergebnis kann durch eine Folge von vier Buchstaben angegeben werden [z. B. bedeutet (y, n, n, y), dass der erste und vierte Schuss getroffen wurden (Erfolg), und der zweite und dritte Treffer nicht (Fehler)]. Insgesamt gibt es 2 2 2 2 = 16 Ergebnisse. In Übereinstimmung mit der Annahme der Unabhängigkeit der Ergebnisse einzelner Schüsse sollte Formel (3) und ein Hinweis dazu verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse zu bestimmen. Daher sollte die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses (y, n. n, n) gleich 0,2 0,8 0,8 0,8 = 0,1024 gesetzt werden; hier 0,8 \u003d 1-0,2 - die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses mit einem einzigen Schuss. Das Ereignis „Das Ziel wird dreimal getroffen“ wird durch die Ergebnisse (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) begünstigt. (n, y, y, y), die Wahrscheinlichkeit ist jeweils gleich:

0,2 0,2 ​​0,2 ​​0,8 =...... = 0,8 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,0064;

daher ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich

4 0,0064 = 0,0256.

Wenn wir die Argumentation des analysierten Beispiels verallgemeinern, können wir eine der Grundformeln der Wahrscheinlichkeitstheorie ableiten: Wenn die Ereignisse EIN 1 , EIN 2 ,..., EIN n unabhängig sind und jeweils eine Wahrscheinlichkeit haben R, dann die Wahrscheinlichkeit von genau m davon ist gleich

P n (m)= C n m p m (1-p) n-m ; (4)

hier C n m gibt die Anzahl der Kombinationen von an n Elemente von m. Im Großen und Ganzen n Berechnungen nach Formel (4) werden schwierig.

Zu den Grundformeln der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie gehört auch die sog Gesamtwahrscheinlichkeitsformel: wenn Ereignisse EIN 1 , EIN 2 ,..., EIN r paarweise inkompatibel sind und ihre Vereinigung ein bestimmtes Ereignis ist, dann für jedes Ereignis BEI seine Wahrscheinlichkeit ist gleich ihrer Summe.

Das Wahrscheiist besonders nützlich, wenn man zusammengesetzte Tests betrachtet. Sie sagen, der Test T bestehend aus Prüfungen T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n, wenn jedes Testergebnis T Es gibt eine Kombination einiger Ergebnisse EIN ich , B j ,..., X k , Y l verwandte Prüfungen T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n. Aus dem einen oder anderen Grund sind die Wahrscheinlichkeiten oft bekannt

P(EIN ich), P(B j /EIN ich), …,P(Y l /EIN ich B j …X k). (5)

Wahrscheinlichkeiten (5) können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen R(E) für alle Ergebnisse E zusammengesetzter Test und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeiten aller mit diesem Test verbundenen Ereignisse. Aus praktischer Sicht scheinen zwei Arten von zusammengesetzten Tests am bedeutsamsten zu sein:

a) Die Komponenten des Tests sind unabhängig, dh die Wahrscheinlichkeiten (5) sind gleich den unbedingten Wahrscheinlichkeiten P(EIN ich), P(B j),...,P(Y l);

b) die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Tests werden nur durch die Ergebnisse des unmittelbar vorhergehenden Tests beeinflusst, d. h. die Wahrscheinlichkeiten (5) sind jeweils gleich: P(EIN ich), P(B j /EIN ich),...,P(Y ich / X k). In diesem Fall spricht man von Tests, die in einer Markov-Kette verbunden sind. Die Wahrscheinlichkeiten aller mit einem zusammengesetzten Test verbundenen Ereignisse werden hier vollständig durch die anfänglichen Wahrscheinlichkeiten bestimmt R(ABER ich) und Übergangswahrscheinlichkeiten P(B j / EIN ich),...,P(Y l / X k).

Grundformeln der Wahrscheinlichkeitstheorie

Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie.

1. Grundformeln der Kombinatorik

a) Permutationen.

\b) Platzierung

c) Kombinationen .

2. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Wo ist die Anzahl der günstigen Ausgänge für das Ereignis, ist die Anzahl aller elementaren gleichermaßen möglichen Ausgänge.

3. Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse

Der Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse:

Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse:

4. Wahrscheinlichkeit, Ereignisse zu erzeugen

Der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse:

,

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn das Ereignis eingetreten ist,

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn das Ereignis eingetreten ist.

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Frage befasst, wie viele verschiedene Kombinationen unter bestimmten Bedingungen aus gegebenen Objekten gemacht werden können. Die Grundlagen der Kombinatorik sind sehr wichtig, um die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsereignissen abzuschätzen, weil sie ermöglichen es, die grundsätzlich mögliche Anzahl unterschiedlicher Szenarien für die Entwicklung von Ereignissen zu berechnen.

Grundformel der Kombinatorik

Es gebe k Gruppen von Elementen, und die i-te Gruppe bestehe aus ni Elementen. Lassen Sie uns ein Element aus jeder Gruppe auswählen. Dann wird die Gesamtzahl N der Möglichkeiten, auf denen eine solche Auswahl getroffen werden kann, durch die Beziehung N=n1*n2*n3*...*nk bestimmt.

Beispiel 1 Lassen Sie uns diese Regel anhand eines einfachen Beispiels erläutern. Angenommen, es gebe zwei Gruppen von Elementen, wobei die erste Gruppe aus n1 Elementen und die zweite Gruppe aus n2 Elementen besteht. Wie viele verschiedene Elementpaare können aus diesen beiden Gruppen gebildet werden, sodass das Paar ein Element aus jeder Gruppe enthält? Angenommen, wir nehmen das erste Element aus der ersten Gruppe und gehen alle möglichen Paare durch, ohne es zu ändern, und ändern nur die Elemente aus der zweiten Gruppe. Es gibt n2 solcher Paare für dieses Element. Dann nehmen wir das zweite Element aus der ersten Gruppe und bilden auch alle möglichen Paare dafür. Es wird auch n2 solcher Paare geben. Da es in der ersten Gruppe nur n1 Elemente gibt, gibt es n1 * n2 mögliche Optionen.

Beispiel 2. Wie viele dreistellige gerade Zahlen können aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 gebildet werden, wenn die Ziffern wiederholt werden können?

Lösung: n1=6 (da du als erste Ziffer jede Ziffer von 1, 2, 3, 4, 5, 6 nehmen kannst), n2=7 (da du als zweite Ziffer jede beliebige Ziffer von 0 nehmen kannst, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n3=4 (da Sie als dritte Ziffer jede Ziffer von 0, 2, 4, 6 nehmen können).

Also N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Für den Fall, dass alle Gruppen aus der gleichen Anzahl von Elementen bestehen, d.h. n1=n2=...nk=n können wir davon ausgehen, dass jede Auswahl aus derselben Gruppe erfolgt und das Element nach der Auswahl wieder an die Gruppe zurückgegeben wird. Dann ist die Anzahl aller Auswahlverfahren gleich nk. Ein solches Auswahlverfahren heißt Sampling mit Rückgabe.

Beispiel. Wie viele vierstellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 5, 6, 7, 8 bilden?

Lösung. Für jede Ziffer einer vierstelligen Zahl gibt es fünf Möglichkeiten, also N=5*5*5*5=54=625.

Stellen Sie sich eine Menge vor, die aus n Elementen besteht. Diese Menge wird als allgemeine Population bezeichnet.

Definition 1. Eine Anordnung von n mal m Elementen ist eine beliebige geordnete Menge von m verschiedenen Elementen, die aus einer Population von n Elementen ausgewählt werden.

Beispiel. Verschiedene Anordnungen von drei Elementen (1, 2, 3) zwei mal zwei werden zu Sätzen (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2 ). Platzierungen können sich sowohl in Elementen als auch in ihrer Reihenfolge voneinander unterscheiden.

Die Anzahl der Platzierungen wird mit A, m aus n bezeichnet und errechnet sich nach der Formel:

Hinweis: n!=1*2*3*...*n (sprich: "en factorial"), außerdem wird angenommen, dass 0!=1.

Beispiel 5. Wie viele zweistellige Zahlen gibt es, bei denen die Zehnerstelle und die Einerstelle unterschiedlich und ungerade sind?

Lösung: weil es fünf ungerade Ziffern gibt, nämlich 1, 3, 5, 7, 9, dann reduziert sich dieses Problem darauf, zwei der fünf verschiedenen Ziffern auszuwählen und an zwei verschiedenen Positionen zu platzieren, d.h. Die angegebenen Zahlen sind:

Definition 2. Eine Kombination von n Elementen mal m ist eine beliebige ungeordnete Menge von m verschiedenen Elementen, die aus einer allgemeinen Grundgesamtheit von n Elementen ausgewählt werden.

Beispiel 6. Für die Menge (1, 2, 3) sind die Kombinationen (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Die Anzahl der Kombinationen wird mit Cnm bezeichnet und nach folgender Formel berechnet:

Definition 3. Eine Permutation von n Elementen ist eine beliebige geordnete Menge dieser Elemente.

Beispiel 7a. Alle möglichen Permutationen einer Menge bestehend aus drei Elementen (1, 2, 3) sind: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Die Anzahl der verschiedenen Permutationen von n Elementen wird mit Pn bezeichnet und errechnet sich aus der Formel Pn=n!.

Beispiel 8. Auf wie viele Arten können sieben Bücher verschiedener Autoren in einer Reihe in einem Regal angeordnet werden?

Lösung: Bei dieser Aufgabe geht es um die Anzahl der Permutationen von sieben verschiedenen Büchern. Es gibt P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 Möglichkeiten, die Bücher anzuordnen.

Diskussion. Wir sehen, dass die Anzahl der möglichen Kombinationen nach verschiedenen Regeln (Permutationen, Kombinationen, Platzierungen) berechnet werden kann und das Ergebnis unterschiedlich sein wird, weil das Zählprinzip und die Formeln selbst sind unterschiedlich. Schaut man sich die Definitionen genau an, erkennt man, dass das Ergebnis von mehreren Faktoren gleichzeitig abhängt.

Erstens, aus wie vielen Elementen können wir ihre Mengen kombinieren (wie groß ist die allgemeine Population von Elementen).

Zweitens hängt das Ergebnis davon ab, welche Elementmengen wir benötigen.

Schließlich ist es wichtig zu wissen, ob die Reihenfolge der Elemente in der Menge für uns von Bedeutung ist. Lassen Sie uns den letzten Faktor anhand des folgenden Beispiels erläutern.

Beispiel. Beim Elternabend sind 20 Personen anwesend. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für die Zusammensetzung des Elternbeirats gibt es, wenn dieser aus 5 Personen bestehen soll?

Lösung: In diesem Beispiel interessiert uns die Reihenfolge der Namen auf der Komiteeliste nicht. Wenn infolgedessen dieselben Personen in seiner Zusammensetzung vorkommen, dann ist dies für uns von der Bedeutung her dieselbe Option. Daher können wir die Formel verwenden, um die Anzahl der Kombinationen von 20 Elementen mit 5 zu zählen.

Anders sieht es aus, wenn jedes Mitglied des Gremiums zunächst für einen bestimmten Arbeitsbereich zuständig ist. Dann sind bei gleicher Gehaltsliste des Komitees 5 darin möglich! Permutationsoptionen, auf die es ankommt. Die Anzahl der unterschiedlichen (sowohl in Bezug auf die Zusammensetzung als auch den Aufgabenbereich) Optionen wird in diesem Fall durch die Anzahl der Platzierungen von 20 Elementen zu 5 bestimmt.

Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit

Stellen Sie sich einen zufälligen Test vor, indem Sie einen Punkt zufällig in einen geometrischen Bereich G (auf einer Linie, Ebene oder einem Raum) werfen. Elementare Ergebnisse sind einzelne Punkte G, jedes Ereignis ist eine Teilmenge dieses Bereichs, des Raums der elementaren Ergebnisse G. Wir können davon ausgehen, dass alle Punkte G „gleich“ sind, und dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in eine bestimmte Teilmenge fällt, proportional zu ihr messen (Länge, Fläche, Volumen) und unabhängig von Ort und Form.

Die geometrische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird bestimmt durch die Beziehung: , wobei m(G), m(A) geometrische Maße (Längen, Flächen oder Volumen) des gesamten Raums der elementaren Ergebnisse und des Ereignisses A sind.

Beispiel. Ein Kreis mit Radius r () wird zufällig auf eine Ebene geworfen, die durch parallele Streifen der Breite 2d geteilt ist, deren Abstand zwischen den Achsenlinien gleich 2D ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Kreis einen Streifen schneidet.

Lösung. Als elementares Ergebnis dieses Tests betrachten wir den Abstand x vom Kreismittelpunkt zur Mittellinie des dem Kreis am nächsten liegenden Streifens. Dann ist der gesamte Raum elementarer Ergebnisse ein Segment. Der Schnittpunkt eines Kreises mit einem Streifen tritt auf, wenn sein Mittelpunkt in den Streifen fällt, d. h. oder in einem Abstand kleiner als der Radius vom Rand des Streifens liegt, d.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir: .

Einteilung von Ereignissen in mögliche, wahrscheinliche und zufällige Ereignisse. Die Konzepte einfacher und komplexer Elementarereignisse. Operationen auf Veranstaltungen. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses und seiner Eigenschaften. Elemente der Kombinatorik in der Wahrscheinlichkeitstheorie. geometrische Wahrscheinlichkeit. Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie.

1. Klassifizierung von Ereignissen

Einer der Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff des Ereignisses. Unter einem Ereignis wird jede Tatsache verstanden, die als Ergebnis einer Erfahrung oder Prüfung eintreten kann. Unter der Erfahrung oder dem Test wird die Umsetzung einer bestimmten Reihe von Bedingungen verstanden.

Veranstaltungsbeispiele:

- Treffen des Ziels beim Schießen mit einer Waffe (Erfahrung - das Ergebnis eines Schusses; Ereignis - Treffen des Ziels);

- Verlust von zwei Wappen bei dreimaligem Münzwurf (Erfahrung - dreimaliger Münzwurf; Ereignis - Verlust von zwei Wappen);

- das Auftreten eines Messfehlers innerhalb der angegebenen Grenzen bei der Messung der Entfernung zum Ziel (Experiment - Entfernungsmessung; Ereignis - Messfehler).

Unzählige solcher Beispiele ließen sich anführen. Ereignisse werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets usw.

Unterscheiden Sie zwischen gemeinsamen und nicht gemeinsamen Veranstaltungen. Ereignisse werden gemeinsam genannt, wenn das Eintreten des einen das Eintreten des anderen nicht ausschließt. Andernfalls werden die Ereignisse als inkompatibel bezeichnet. Beispielsweise werden zwei Würfel geworfen. Ereignis - Verlust von drei Punkten beim ersten Würfel, Ereignis - Verlust von drei Punkten beim zweiten Würfel und - gemeinsame Ereignisse. Lassen Sie das Geschäft eine Charge Schuhe des gleichen Stils und der gleichen Größe, aber in einer anderen Farbe erhalten. Ein Ereignis - eine zufällig entnommene Kiste ist mit schwarzen Schuhen, ein Ereignis - eine Kiste ist mit braunen Schuhen und - inkompatible Ereignisse.

Ein Ereignis heißt sicher, wenn es unter den Bedingungen eines gegebenen Experiments notwendigerweise eintreten wird.

Ein Ereignis wird als unmöglich bezeichnet, wenn es unter den Bedingungen der gegebenen Erfahrung nicht eintreten kann. Beispielsweise ist der Fall, dass ein Normteil aus einer Charge von Normteilen entnommen wird, sicher, aber ein Nicht-Normteil ist ausgeschlossen.

Ein Ereignis wird als möglich oder zufällig bezeichnet, wenn es aufgrund von Erfahrungen eintreten kann oder nicht. Ein Beispiel für ein zufälliges Ereignis ist die Feststellung von Produktfehlern während der Kontrolle einer Charge fertiger Produkte, die Diskrepanz zwischen der Größe des verarbeiteten Produkts und der gegebenen Größe, der Ausfall einer der Verbindungen des automatisierten Kontrollsystems.

Ereignisse werden als gleich wahrscheinlich bezeichnet, wenn unter den Testbedingungen keines dieser Ereignisse objektiv wahrscheinlicher ist als die anderen. Angenommen, ein Geschäft wird von mehreren Herstellern mit Glühbirnen (und in gleichen Mengen) beliefert. Ereignisse, die darin bestehen, eine Glühbirne von einer dieser Fabriken zu kaufen, sind gleichermaßen wahrscheinlich.

Ein wichtiger Begriff ist die Gesamtheit der Ereignisse. Mehrere Ereignisse in einem bestimmten Experiment bilden eine vollständige Gruppe, wenn mindestens eines davon notwendigerweise als Ergebnis des Experiments auftritt. In einer Urne befinden sich beispielsweise zehn Kugeln, davon sechs rote und vier weiße, von denen fünf nummeriert sind. - das Erscheinen eines roten Balls mit einer Zeichnung, - das Erscheinen eines weißen Balls, - das Erscheinen eines Balls mit einer Nummer. Veranstaltungen bilden eine vollständige Gruppe gemeinsamer Veranstaltungen.

Lassen Sie uns das Konzept eines entgegengesetzten oder zusätzlichen Ereignisses einführen. Ein entgegengesetztes Ereignis ist ein Ereignis, das notwendigerweise eintreten muss, wenn ein Ereignis nicht eingetreten ist. Entgegengesetzte Ereignisse sind inkompatibel und die einzig möglichen. Sie bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen. Wenn beispielsweise eine Charge hergestellter Artikel aus guten und fehlerhaften Artikeln besteht, kann sich ein entfernter Artikel entweder als gut – ein Ereignis – oder als fehlerhaft – ein Ereignis – herausstellen.

2. Operationen auf Ereignissen

Bei der Entwicklung des Apparats und der Methodik zur Untersuchung zufälliger Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Konzept der Summe und des Produkts von Ereignissen sehr wichtig.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Muster zufälliger Phänomene untersucht: zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen, ihre Eigenschaften und Operationen mit ihnen.

Lange Zeit hatte die Wahrscheinlichkeitstheorie keine klare Definition. Es wurde erst 1929 formuliert. Die Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie als Wissenschaft wird dem Mittelalter und den ersten Versuchen zur mathematischen Analyse des Glücksspiels (Wurf, Würfel, Roulette) zugeschrieben. Die französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts, Blaise Pascal und Pierre de Fermat, entdeckten die ersten Wahrscheinlichkeitsmuster, die beim Würfeln entstehen, während sie die Vorhersage von Gewinnen beim Glücksspiel untersuchten.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand als Wissenschaft aus der Überzeugung, dass bestimmte Regelmäßigkeiten massiven zufälligen Ereignissen zugrunde liegen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht diese Muster.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit der Untersuchung von Ereignissen, deren Eintritt nicht sicher bekannt ist. Es ermöglicht Ihnen, den Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintretens einiger Ereignisse im Vergleich zu anderen zu beurteilen.

Zum Beispiel: Es ist unmöglich, das Ergebnis einer Münze, die Kopf oder Zahl wirft, eindeutig zu bestimmen, aber bei wiederholtem Werfen fällt ungefähr die gleiche Anzahl von Kopf und Zahl heraus, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl fällt, gleich ist zu 50%.

Prüfung in diesem Fall wird die Umsetzung einer bestimmten Reihe von Bedingungen genannt, dh in diesem Fall das Werfen einer Münze. Die Herausforderung kann unbegrenzt oft gespielt werden. In diesem Fall enthält der Bedingungskomplex Zufallsfaktoren.

Das Testergebnis ist Veranstaltung. Das Ereignis findet statt:

1. Zuverlässig (tritt immer als Ergebnis von Tests auf).
2. Unmöglich (passiert nie).
3. Zufällig (kann als Ergebnis des Tests auftreten oder nicht).

Zum Beispiel beim Werfen einer Münze ein unmögliches Ereignis - die Münze landet am Rand, ein zufälliges Ereignis - der Verlust von "Kopf" oder "Zahl". Das konkrete Testergebnis wird aufgerufen elementares Ereignis. Als Ergebnis des Tests treten nur elementare Ereignisse auf. Die Gesamtheit aller möglichen, unterschiedlichen, spezifischen Testergebnisse wird genannt elementarer Veranstaltungsraum.

Grundbegriffe der Theorie

Wahrscheinlichkeit- Grad der Wahrscheinlichkeit des Eintritts des Ereignisses. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses die gegenteiligen Gründe überwiegen, wird dieses Ereignis als wahrscheinlich bezeichnet, andernfalls als unwahrscheinlich oder unwahrscheinlich.

Zufallswert- Dies ist ein Wert, der als Ergebnis des Tests den einen oder anderen Wert annehmen kann, und es ist nicht im Voraus bekannt, welchen. Zum Beispiel: die Anzahl der Feuerwachen pro Tag, die Anzahl der Treffer mit 10 Schüssen usw.

Zufallsvariablen können in zwei Kategorien eingeteilt werden.

1. Diskrete Zufallsvariable eine solche Menge wird aufgerufen, die als Ergebnis des Tests mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit bestimmte Werte annehmen kann und eine zählbare Menge bildet (eine Menge, deren Elemente nummeriert werden können). Diese Menge kann entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf dem Ziel eine diskrete Zufallsvariable, weil dieser Wert kann eine unendliche, wenn auch zählbare Anzahl von Werten annehmen.
2. Kontinuierliche Zufallsvariable ist eine Größe, die jeden Wert aus einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann. Offensichtlich ist die Anzahl der möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen unendlich.

Wahrscheinlichkeitsraum- das von A.N. Kolmogorov in den 1930er Jahren, um das Konzept der Wahrscheinlichkeit zu formalisieren, was zur raschen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie als einer streng mathematischen Disziplin führte.

Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel (manchmal in spitzen Klammern eingerahmt: , wo

Dies ist eine willkürliche Menge, deren Elemente elementare Ereignisse, Ergebnisse oder Punkte genannt werden;
- Sigma-Algebra von Teilmengen, die (zufällige) Ereignisse genannt werden;
- probabilistisches Maß oder Wahrscheinlichkeit, d.h. sigma-additives endliches Maß, so dass .

Satz von De Moivre-Laplace- einer der Grenzsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, der 1812 von Laplace aufgestellt wurde. Sie gibt an, dass die Anzahl der Erfolge bei der Wiederholung desselben Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ergebnissen ungefähr normalverteilt ist. Es ermöglicht Ihnen, einen ungefähren Wert der Wahrscheinlichkeit zu finden.

Wenn für jeden der unabhängigen Versuche die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses gleich () ist und die Anzahl der Versuche ist, in denen es tatsächlich auftritt, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Ungleichung nahe (für große ) der Wert des Laplace-Integrals.

Verteilungsfunktion in der Wahrscheinlichkeitstheorie- eine Funktion, die die Verteilung einer Zufallsvariablen oder eines Zufallsvektors charakterisiert; die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist. Unter bestimmten Bedingungen bestimmt es eine Zufallsvariable vollständig.

Erwarteter Wert- der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen (das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, betrachtet in der Wahrscheinlichkeitstheorie). In der englischen Literatur wird es auf Russisch mit - bezeichnet. In der Statistik wird häufig die Notation verwendet.

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine darauf definierte Zufallsvariable. Das ist per Definition eine messbare Funktion. Wenn es dann ein Lebesgue-Integral über den Raum gibt, dann wird es als mathematischer Erwartungswert oder Mittelwert bezeichnet und mit bezeichnet.

Varianz einer Zufallsvariablen- ein Maß für die Streuung einer gegebenen Zufallsvariablen, d.h. ihre Abweichung von der mathematischen Erwartung. Bezeichnet in der russischen Literatur und im Ausland. In der Statistik wird häufig die Bezeichnung oder verwendet. Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung, Standardabweichung oder Standardstreuung bezeichnet.

Sei eine Zufallsvariable, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dann

wobei das Symbol die mathematische Erwartung bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei zufällige Ereignisse genannt unabhängig wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert. Ebenso werden zwei Zufallsvariablen aufgerufen abhängig wenn der Wert des einen die Wahrscheinlichkeit der Werte des anderen beeinflusst.

Die einfachste Form des Gesetzes der großen Zahlen ist der Satz von Bernoulli, der besagt, dass, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in allen Versuchen gleich ist, die Häufigkeit des Ereignisses mit zunehmender Anzahl der Versuche zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses tendiert und hört auf zufällig zu sein.

Das Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass das arithmetische Mittel einer endlichen Stichprobe aus einer festen Verteilung nahe an der theoretischen mittleren Erwartung dieser Verteilung liegt. Je nach Art der Konvergenz unterscheidet man ein schwaches Gesetz der großen Zahlen, wenn Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit stattfindet, und ein starkes Gesetz der großen Zahlen, wenn Konvergenz mit ziemlicher Sicherheit stattfindet.

Die allgemeine Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen ist, dass das Zusammenwirken einer großen Anzahl identischer und unabhängiger Zufallsfaktoren zu einem Ergebnis führt, das im Grenzfall nicht vom Zufall abhängt.

Auf dieser Eigenschaft basieren Verfahren zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit, die auf der Analyse einer endlichen Stichprobe basieren. Ein gutes Beispiel ist die Vorhersage von Wahlergebnissen auf Basis einer Befragung einer Wählerstichprobe.

Zentrale Grenzwertsätze- eine Klasse von Sätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die besagt, dass die Summe einer ausreichend großen Anzahl von schwach abhängigen Zufallsvariablen, die ungefähr die gleiche Skala haben (kein der Terme dominiert, trägt nicht entscheidend zur Summe bei), eine Verteilung nahe an hat normal.

Da viele Zufallsvariablen in Anwendungen unter dem Einfluss mehrerer schwach abhängiger Zufallsfaktoren entstehen, gilt ihre Verteilung als normal. Dabei ist die Bedingung einzuhalten, dass keiner der Faktoren dominant ist. Zentrale Grenzwertsätze rechtfertigen in diesen Fällen die Anwendung der Normalverteilung.

"Zufälligkeit ist kein Zufall"... Es klingt wie ein Philosoph sagte, aber tatsächlich ist die Untersuchung von Zufällen das Schicksal der großen Wissenschaft der Mathematik. In der Mathematik ist Zufall die Theorie der Wahrscheinlichkeit. Formeln und Beispiele für Aufgaben sowie die wichtigsten Definitionen dieser Wissenschaft werden im Artikel vorgestellt.

Was ist Wahrscheinlichkeitstheorie?

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine der mathematischen Disziplinen, die zufällige Ereignisse untersucht.

Um es etwas klarer zu machen, geben wir ein kleines Beispiel: Wenn Sie eine Münze nach oben werfen, kann Kopf oder Zahl fallen. Solange die Münze in der Luft ist, sind beide Möglichkeiten möglich. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit möglicher Folgen korreliert 1:1. Zieht man aus einem Stapel mit 36 ​​Karten, dann wird die Wahrscheinlichkeit mit 1:36 angegeben. Es scheint, dass es nichts zu erforschen und vorherzusagen gibt, insbesondere mit Hilfe mathematischer Formeln. Wenn Sie jedoch eine bestimmte Aktion viele Male wiederholen, können Sie ein bestimmtes Muster erkennen und auf seiner Grundlage den Ausgang von Ereignissen unter anderen Bedingungen vorhersagen.

Um das oben Gesagte zusammenzufassen, untersucht die Wahrscheinlichkeitstheorie im klassischen Sinne die Möglichkeit des Eintretens eines der möglichen Ereignisse im numerischen Sinne.

Aus den Seiten der Geschichte

Die Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele für die ersten Aufgaben tauchten im fernen Mittelalter auf, als erste Versuche aufkamen, das Ergebnis von Kartenspielen vorherzusagen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hatte zunächst nichts mit Mathematik zu tun. Sie wurde durch empirische Tatsachen oder Eigenschaften eines Ereignisses begründet, die in der Praxis reproduziert werden konnten. Die ersten Arbeiten auf diesem Gebiet als mathematische Disziplin erschienen im 17. Jahrhundert. Die Gründer waren Blaise Pascal und Pierre Fermat. Lange Zeit haben sie Glücksspiel studiert und bestimmte Muster gesehen, über die sie sich entschieden haben, sie der Öffentlichkeit mitzuteilen.

Dieselbe Technik wurde von Christian Huygens erfunden, obwohl er mit den Forschungsergebnissen von Pascal und Fermat nicht vertraut war. Das Konzept der "Wahrscheinlichkeitstheorie", Formeln und Beispiele, die als die ersten in der Geschichte der Disziplin gelten, wurden von ihm eingeführt.

Von nicht geringer Bedeutung sind die Arbeiten von Jacob Bernoulli, die Sätze von Laplace und Poisson. Sie machten die Wahrscheinlichkeitstheorie eher zu einer mathematischen Disziplin. Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele grundlegender Aufgaben haben ihre heutige Form dank Kolmogorovs Axiomen erhalten. Infolge all der Veränderungen ist die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einem der mathematischen Zweige geworden.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Entwicklungen

Das Hauptkonzept dieser Disziplin ist "Ereignis". Es gibt drei Arten von Ereignissen:

• Zuverlässig. Die, die sowieso passieren werden (die Münze wird fallen).
• Unmöglich. Ereignisse, die in keinem Szenario eintreten (die Münze bleibt in der Luft hängen).
• Zufällig. Die, die passieren oder nicht passieren werden. Sie können durch verschiedene Faktoren beeinflusst werden, die sehr schwer vorherzusagen sind. Wenn wir von einer Münze sprechen, dann können zufällige Faktoren das Ergebnis beeinflussen: die physikalischen Eigenschaften der Münze, ihre Form, Ausgangsposition, Wurfkraft usw.

Alle Ereignisse in den Beispielen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, mit Ausnahme von R, das eine andere Rolle spielt. Zum Beispiel:

• A = "Studenten kamen zur Vorlesung."
• Ā = „Studenten sind nicht zur Vorlesung gekommen“.

Bei praktischen Aufgaben werden Ereignisse meist in Worten festgehalten.

Eine der wichtigsten Eigenschaften von Ereignissen ist ihre gleiche Möglichkeit. Das heißt, wenn Sie eine Münze werfen, sind alle Varianten des anfänglichen Falls möglich, bis sie fällt. Aber Ereignisse sind auch nicht gleich wahrscheinlich. Dies geschieht, wenn jemand das Ergebnis absichtlich beeinflusst. Zum Beispiel „markierte“ Spielkarten oder Würfel, bei denen der Schwerpunkt verschoben ist.

Ereignisse sind auch kompatibel und inkompatibel. Kompatible Ereignisse schließen das Auftreten einander nicht aus. Zum Beispiel:

• A = "der Student kam zur Vorlesung."
• B = "der Student kam zur Vorlesung."

Diese Ereignisse sind voneinander unabhängig, und das Erscheinen eines von ihnen beeinflusst nicht das Erscheinen des anderen. Inkompatible Ereignisse werden dadurch definiert, dass das Eintreten des einen das Eintreten des anderen ausschließt. Wenn wir von derselben Münze sprechen, dann macht es der Verlust von "Schwänzen" unmöglich, dass im selben Experiment "Köpfe" erscheinen.

Aktionen zu Ereignissen

Ereignisse können multipliziert bzw. addiert werden, logische Verknüpfungen „UND“ und „ODER“ werden in die Disziplin eingeführt.

Die Höhe wird dadurch bestimmt, dass entweder Ereignis A oder B oder beide gleichzeitig eintreten können. Falls sie nicht kompatibel sind, ist die letzte Option unmöglich, entweder A oder B fallen aus.

Die Multiplikation von Ereignissen besteht im gleichzeitigen Auftreten von A und B.

Jetzt können Sie ein paar Beispiele geben, um sich die Grundlagen, Wahrscheinlichkeitstheorie und Formeln besser zu merken. Beispiele zur Problemlösung unten.

Übung 1: Das Unternehmen bewirbt sich um Aufträge für drei Arten von Arbeiten. Mögliche Ereignisse, die auftreten können:

• A = "Die Firma erhält den ersten Auftrag."
• A 1 = "Die Firma erhält den ersten Auftrag nicht."
• B = "die Firma erhält einen zweiten Auftrag."
• B 1 = "das Unternehmen erhält keinen zweiten Auftrag"
• C = "die Firma erhält einen dritten Auftrag."
• C 1 = "das Unternehmen erhält keinen dritten Auftrag."

Versuchen wir, die folgenden Situationen durch Aktionen auf Ereignisse auszudrücken:

• K = "die Firma erhält alle Aufträge."

In mathematischer Form sieht die Gleichung so aus: K = ABC.

• M = "die Firma erhält keinen einzigen Auftrag."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Wir komplizieren die Aufgabe: H = "die Firma erhält einen Auftrag." Da nicht bekannt ist, welchen Auftrag das Unternehmen erhält (erster, zweiter oder dritter), ist es notwendig, die gesamte Bandbreite möglicher Ereignisse zu erfassen:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Und 1 BC 1 ist eine Reihe von Ereignissen, bei denen die Firma nicht den ersten und dritten Vertrag erhält, sondern den zweiten. Auch andere mögliche Ereignisse werden durch das entsprechende Verfahren erfasst. Das Symbol υ in der Disziplin bezeichnet ein Bündel von "ODER". Wenn wir das obige Beispiel in die menschliche Sprache übersetzen, erhält das Unternehmen entweder den dritten Vertrag oder den zweiten oder den ersten. Ebenso können Sie in der Disziplin "Wahrscheinlichkeitstheorie" andere Bedingungen schreiben. Die oben vorgestellten Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen helfen Ihnen dabei, dies selbst zu tun.

Eigentlich die Wahrscheinlichkeit

Vielleicht ist in dieser mathematischen Disziplin die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein zentrales Konzept. Es gibt 3 Definitionen von Wahrscheinlichkeit:

• klassisch;
• statistisch;
• geometrisch.

Jeder hat seinen Platz in der Untersuchung von Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele (Klasse 9) verwenden meistens die klassische Definition, die so klingt:

• Die Wahrscheinlichkeit der Situation A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die ihr Eintreten begünstigen, zur Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: P (A) \u003d m / n.

Und eigentlich ein Event. Wenn das Gegenteil von A auftritt, kann es als Ā oder A 1 geschrieben werden.

m ist die Anzahl möglicher günstiger Fälle.

n - alle Ereignisse, die eintreten können.

Zum Beispiel A \u003d "Zieh eine Herzanzugkarte heraus." Es gibt 36 Karten in einem Standarddeck, 9 davon sind Herzen. Dementsprechend sieht die Formel zur Lösung des Problems folgendermaßen aus:

P(A)=9/36=0,25.

Infolgedessen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte mit Herzfarbe aus dem Stapel gezogen wird, 0,25.

zur höheren Mathematik

Jetzt ist ein wenig bekannt geworden, was die Wahrscheinlichkeitstheorie ist, Formeln und Beispiele zur Lösung von Aufgaben, die im Schullehrplan vorkommen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie findet sich aber auch in der höheren Mathematik, die an Universitäten gelehrt wird. Meistens arbeiten sie mit geometrischen und statistischen Definitionen der Theorie und komplexen Formeln.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist sehr interessant. Formeln und Beispiele (höhere Mathematik) sind besser, um von einem kleinen zu lernen - von einer statistischen (oder Häufigkeits-) Definition der Wahrscheinlichkeit.

Der statistische Ansatz widerspricht dem klassischen Ansatz nicht, sondern erweitert ihn geringfügig. Wenn im ersten Fall bestimmt werden musste, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis eintritt, muss bei dieser Methode angegeben werden, wie oft es eintritt. Hier wird ein neues Konzept der „relativen Häufigkeit“ eingeführt, das mit W n (A) bezeichnet werden kann. Die Formel unterscheidet sich nicht von der klassischen:

Wenn die klassische Formel für die Prognose berechnet wird, wird die statistische nach den Ergebnissen des Experiments berechnet. Nehmen Sie zum Beispiel eine kleine Aufgabe.

Die Abteilung für technologische Kontrolle prüft die Qualität der Produkte. Von 100 Produkten wurden 3 von schlechter Qualität befunden. Wie findet man die Häufigkeitswahrscheinlichkeit eines Qualitätsprodukts?

A = "das Aussehen eines Qualitätsprodukts."

W n (A) = 97/100 = 0,97

Somit beträgt die Häufigkeit eines Qualitätsprodukts 0,97. Woher hast du 97? Von den 100 geprüften Produkten erwiesen sich 3 als minderwertig. Wir ziehen 3 von 100 ab, wir erhalten 97, das ist die Menge eines Qualitätsprodukts.

Ein bisschen über Kombinatorik

Eine andere Methode der Wahrscheinlichkeitstheorie heißt Kombinatorik. Ihr Grundprinzip ist, dass, wenn eine bestimmte Wahl A auf m verschiedene Arten und eine Wahl B auf n verschiedene Arten getroffen werden kann, die Wahl von A und B durch Multiplikation getroffen werden kann.

Zum Beispiel gibt es 5 Straßen von Stadt A nach Stadt B. Es gibt 4 Routen von Stadt B nach Stadt C. Wie viele Möglichkeiten gibt es, um von Stadt A nach Stadt C zu gelangen?

Ganz einfach: 5x4 = 20, das heißt, es gibt zwanzig verschiedene Wege, um von Punkt A nach Punkt C zu gelangen.

Machen wir die Aufgabe schwieriger. Wie viele Möglichkeiten gibt es, Karten in Solitaire zu spielen? In einem Deck mit 36 ​​Karten ist dies der Ausgangspunkt. Um die Anzahl der Möglichkeiten herauszufinden, müssen Sie eine Karte vom Ausgangspunkt „abziehen“ und multiplizieren.

Das heißt, 36x35x34x33x32…x2x1= das Ergebnis passt nicht auf den Rechnerbildschirm, also kann es einfach als 36! bezeichnet werden. Schild "!" neben der Zahl zeigt an, dass die gesamte Zahlenreihe untereinander multipliziert wird.

In der Kombinatorik gibt es Konzepte wie Permutation, Platzierung und Kombination. Jeder von ihnen hat seine eigene Formel.

Eine geordnete Menge von Mengenelementen wird als Layout bezeichnet. Platzierungen können sich wiederholen, d. h. ein Element kann mehrmals verwendet werden. Und ohne Wiederholung, wenn die Elemente nicht wiederholt werden. n sind alle Elemente, m sind die Elemente, die an der Platzierung teilnehmen. Die Formel für die Platzierung ohne Wiederholungen sieht folgendermaßen aus:

A n m =n!/(n-m)!

Verbindungen von n Elementen, die sich nur in der Reihenfolge der Platzierung unterscheiden, werden als Permutationen bezeichnet. In der Mathematik sieht das so aus: P n = n!

Kombinationen von n Elementen mal m sind solche Verbindungen, bei denen es wichtig ist, um welche Elemente es sich handelt und wie groß ihre Gesamtzahl ist. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli-Formel

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie auch in jeder Disziplin, gibt es Arbeiten herausragender Forscher auf ihrem Gebiet, die es auf eine neue Ebene gehoben haben. Eines dieser Werke ist die Bernoulli-Formel, mit der Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen können, dass ein bestimmtes Ereignis unter unabhängigen Bedingungen eintritt. Dies deutet darauf hin, dass das Auftreten von A in einem Experiment nicht vom Auftreten oder Nichtauftreten desselben Ereignisses in vorherigen oder nachfolgenden Tests abhängt.

Bernoulli-Gleichung:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Die Wahrscheinlichkeit (p) des Eintretens des Ereignisses (A) bleibt für jeden Versuch unverändert. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Situation genau m mal in n Experimenten eintritt, wird durch die oben dargestellte Formel berechnet. Dementsprechend stellt sich die Frage, wie man die Zahl q herausfindet.

Wenn das Ereignis A p-mal auftritt, kann es dementsprechend nicht eintreten. Eine Einheit ist eine Zahl, die verwendet wird, um alle Ergebnisse einer Situation in einer Disziplin zu bezeichnen. Daher ist q eine Zahl, die die Möglichkeit angibt, dass das Ereignis nicht eintritt.

Jetzt kennen Sie die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie). Beispiele der Problemlösung (erste Ebene) werden unten betrachtet.

Aufgabe 2: Ein Ladenbesucher kauft mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2. 6 Besucher betraten selbstständig den Laden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher einen Kauf tätigt?

Lösung: Da nicht bekannt ist, wie viele Besucher einen Kauf tätigen sollen, einer oder alle sechs, ist es notwendig, alle möglichen Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel zu berechnen.

A = "der Besucher wird einen Kauf tätigen."

In diesem Fall: p = 0,2 (wie in der Aufgabe angegeben). Dementsprechend ist q = 1 – 0,2 = 0,8.

n = 6 (weil 6 Kunden im Geschäft sind). Die Zahl m ändert sich von 0 (kein Kunde kauft etwas) auf 6 (alle Ladenbesucher kaufen etwas). Als Ergebnis erhalten wir die Lösung:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Keiner der Käufer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2621 einen Kauf tätigen.

Wie sonst wird die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) verwendet? Beispiele zur Problemlösung (zweite Ebene) unten.

Nach dem obigen Beispiel stellen sich Fragen, wohin C und p gegangen sind. In Bezug auf p ist eine Zahl hoch 0 gleich eins. Was C betrifft, kann es durch die Formel gefunden werden:

C n m = n! /m!(n-m)!

Da im ersten Beispiel m = 0 bzw. C = 1 ist, was das Ergebnis prinzipiell nicht beeinflusst. Versuchen wir mit der neuen Formel herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass zwei Besucher Waren kaufen.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist nicht so kompliziert. Die Bernoulli-Formel, für die oben Beispiele vorgestellt wurden, ist ein direkter Beweis dafür.

Poisson-Formel

Die Poisson-Gleichung wird verwendet, um unwahrscheinliche Zufallssituationen zu berechnen.

Grundformel:

P n (m) = λ m /m! × e (-λ) .

In diesem Fall ist λ = n x p. Hier ist so eine einfache Poisson-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie). Beispiele zur Problemlösung werden nachstehend betrachtet.

Aufgabe 3 A: Die Fabrik produzierte 100.000 Teile. Das Auftreten eines defekten Teils = 0,0001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es 5 fehlerhafte Teile in einer Charge gibt?

Wie Sie sehen können, ist die Ehe ein unwahrscheinliches Ereignis, und daher wird die Poisson-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) zur Berechnung verwendet. Beispiele für die Lösung von Problemen dieser Art unterscheiden sich nicht von anderen Aufgaben der Disziplin, wir setzen die erforderlichen Daten in die obige Formel ein:

A = "ein zufällig ausgewähltes Teil wird defekt sein."

p = 0,0001 (gemäß Zuordnungsbedingung).

n = 100000 (Teilezahl).

m = 5 (defekte Teile). Wir ersetzen die Daten in der Formel und erhalten:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! Xe –10 = 0,0375.

Genau wie die Bernoulli-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie), Beispiele für Lösungen, die oben geschrieben sind, hat die Poisson-Gleichung ein unbekanntes e. Im Wesentlichen kann es durch die Formel gefunden werden:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Es gibt jedoch spezielle Tabellen, die fast alle Werte von z.

Satz von De Moivre-Laplace

Wenn im Bernoulli-Schema die Anzahl der Versuche ausreichend groß ist und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A in allen Schemata gleich ist, dann kann die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A eine bestimmte Anzahl von Malen in einer Reihe von Versuchen betragen gefunden durch die Laplace-Formel:

Ð n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Um sich besser an die Laplace-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie) zu erinnern, helfen unten Beispiele für Aufgaben.

Zuerst finden wir X m , setzen die Daten (sie sind alle oben angegeben) in die Formel ein und erhalten 0,025. Mithilfe von Tabellen finden wir die Zahl ϕ (0,025), deren Wert 0,3988 ist. Jetzt können Sie alle Daten in der Formel ersetzen:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Flyer genau 267 Mal trifft, ist also 0,03.

Bayes-Formel

Die Bayes-Formel (Wahrscheinlichkeitstheorie), mit deren Hilfe im Folgenden Beispiele für die Lösung von Aufgaben gegeben werden, ist eine Gleichung, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Grundlage der damit verbundenen Umstände beschreibt. Die Hauptformel lautet wie folgt:

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).

A und B sind bestimmte Ereignisse.

P(A|B) - bedingte Wahrscheinlichkeit, dh Ereignis A kann eintreten, sofern Ereignis B wahr ist.

Р (В|А) - bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses В.

Der letzte Teil des Kurzkurses "Wahrscheinlichkeitstheorie" ist also die Bayes-Formel, Beispiele für die Lösung von Problemen, mit denen Sie unten finden.

Aufgabe 5: Telefone von drei Firmen wurden ins Lager gebracht. Gleichzeitig beträgt der Teil der Telefone, die im ersten Werk hergestellt werden, 25%, im zweiten 60% und im dritten 15%. Es ist auch bekannt, dass der durchschnittliche Prozentsatz fehlerhafter Produkte in der ersten Fabrik 2%, in der zweiten - 4% und in der dritten - 1% beträgt. Es muss die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass ein zufällig ausgewähltes Telefon defekt sein wird.

A = "zufällig genommenes Telefon."

B 1 - das Telefon, das die erste Fabrik hergestellt hat. Dementsprechend erscheinen einleitende B 2 und B 3 (für die zweite und dritte Fabrik).

Als Ergebnis erhalten wir:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - also haben wir die Wahrscheinlichkeit jeder Option gefunden.

Jetzt müssen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten des gewünschten Ereignisses finden, dh die Wahrscheinlichkeit fehlerhafter Produkte in Unternehmen:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Jetzt setzen wir die Daten in die Bayes-Formel ein und erhalten:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Der Artikel stellt die Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele zur Problemlösung vor, aber dies ist nur die Spitze des Eisbergs einer riesigen Disziplin. Und nach allem, was geschrieben wurde, wird es logisch sein, die Frage zu stellen, ob die Wahrscheinlichkeitstheorie im Leben gebraucht wird. Es ist für eine einfache Person schwierig zu antworten, es ist besser, jemanden zu fragen, der mit ihrer Hilfe mehr als einmal den Jackpot geknackt hat.

EINLEITUNG

Vieles ist uns unverständlich, nicht weil unsere Begriffe schwach sind;
sondern weil diese Dinge nicht in den Kreis unserer Begriffe eingehen.
Kosma Prutkow

Das Hauptziel des Mathematikstudiums an weiterführenden spezialisierten Bildungseinrichtungen besteht darin, den Schülern eine Reihe mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten zu vermitteln, die für das Studium anderer Programmdisziplinen, die Mathematik bis zu einem gewissen Grad verwenden, für die Fähigkeit, praktische Berechnungen durchzuführen, für die Bildung und Entwicklung erforderlich sind des logischen Denkens.

In diesem Papier werden alle Grundkonzepte des mathematischen Abschnitts "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik", die vom Programm und den staatlichen Bildungsstandards für die berufliche Sekundarbildung (Bildungsministerium der Russischen Föderation. M., 2002) vorgesehen sind ), werden konsequent eingeführt, die Hauptsätze formuliert, von denen die meisten nicht bewiesen sind. Es werden die Hauptaufgaben und Methoden zu ihrer Lösung sowie Technologien zur Anwendung dieser Methoden zur Lösung praktischer Probleme betrachtet. Die Präsentation wird von ausführlichen Kommentaren und zahlreichen Beispielen begleitet.

Methodische Anleitungen können zum ersten Kennenlernen des Studienstoffes, zum Mitschreiben von Vorlesungen, zur Vorbereitung auf praktische Übungen, zur Festigung der erworbenen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten genutzt werden. Darüber hinaus ist das Handbuch für Studenten im Grundstudium als Nachschlagewerk nützlich, mit dem Sie das zuvor Gelernte schnell im Gedächtnis wiederherstellen können.

Am Ende der Arbeit werden Beispiele und Aufgaben gegeben, die die Studierenden im Selbststeuerungsmodus durchführen können.

Methodische Anleitungen richten sich an Studierende der Fern- und Vollzeitausbildungsformen.

GRUNDLEGENDES KONZEPT

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht die objektiven Regelmäßigkeiten von zufälligen Massenereignissen. Es ist eine theoretische Grundlage für die mathematische Statistik und befasst sich mit der Entwicklung von Methoden zur Erhebung, Beschreibung und Verarbeitung von Beobachtungsergebnissen. Durch Beobachtungen (Tests, Experimente), d.h. Erfahrung im weitesten Sinne des Wortes ist ein Wissen um die Phänomene der realen Welt.

In unserer praktischen Tätigkeit begegnen wir oft Phänomenen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist, deren Ausgang vom Zufall abhängt.

Ein Zufallsphänomen kann durch das Verhältnis der Anzahl seines Auftretens zur Anzahl der Versuche charakterisiert werden, in denen es unter den gleichen Bedingungen aller Versuche auftreten oder nicht auftreten könnte.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, in dem zufällige Phänomene (Ereignisse) untersucht und Regelmäßigkeiten aufgedeckt werden, wenn sie sich massiv wiederholen.

Die mathematische Statistik ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von Methoden zur Erhebung, Systematisierung, Verarbeitung und Nutzung statistischer Daten befasst, um wissenschaftlich fundierte Schlussfolgerungen und Entscheidungen zu erhalten.

Gleichzeitig werden statistische Daten als eine Reihe von Zahlen verstanden, die die quantitativen Merkmale der für uns interessanten Merkmale der untersuchten Objekte darstellen. Statistische Daten werden als Ergebnis speziell entwickelter Experimente und Beobachtungen erhalten.

Statistische Daten hängen im Wesentlichen von vielen Zufallsfaktoren ab, daher ist die mathematische Statistik eng mit der Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden, die ihre theoretische Grundlage darstellt.

I. WAHRSCHEINLICHKEIT. DIE THEOREME DER ADDITION UND DER WAHRSCHEINLICHKEIT MULTIPLIKATION

1.1. Grundbegriffe der Kombinatorik

Im mathematischen Teil der Kombinatorik werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Betrachtung von Mengen und der Zusammenstellung verschiedener Kombinationen von Elementen dieser Mengen gelöst. Wenn wir zum Beispiel 10 verschiedene Zahlen 0, 1, 2, 3,:, 9 nehmen und daraus Kombinationen bilden, erhalten wir verschiedene Zahlen, zum Beispiel 143, 431, 5671, 1207, 43 usw.

Wir sehen, dass sich einige dieser Kombinationen nur in der Reihenfolge der Ziffern unterscheiden (z. B. 143 und 431), andere in den darin enthaltenen Zahlen (z. B. 5671 und 1207) und andere sich auch in der Anzahl der Ziffern unterscheiden ( zum Beispiel 143 und 43).

Somit erfüllen die erhaltenen Kombinationen verschiedene Bedingungen.

Abhängig von den Kompilierungsregeln können drei Arten von Kombinationen unterschieden werden: Permutationen, Platzierungen, Kombinationen.

Machen wir uns zunächst mit dem Konzept vertraut Fakultät.

Das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis einschließlich n heißt n-faktoriell und schreibe.

Berechnen Sie: a) ; b) ; in) .

Lösung. a) .

b) sowie , dann kannst du es aus Klammern nehmen

Dann bekommen wir

in) .

Permutationen.

Eine Kombination von n Elementen, die sich nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden, wird als Permutation bezeichnet.

Permutationen werden durch das Symbol gekennzeichnet Pn , wobei n die Anzahl der Elemente in jeder Permutation ist. ( R- der erste Buchstabe des französischen Wortes Permutation- Permutation).

Die Anzahl der Permutationen kann mit der Formel berechnet werden

oder mit Fakultät:

Erinnern wir uns daran 0!=1 und 1!=1.

Beispiel 2. Auf wie viele Arten können sechs verschiedene Bücher in einem Regal angeordnet werden?

Lösung. Die gewünschte Anzahl von Wegen ist gleich der Anzahl von Permutationen von 6 Elementen, d.h.

Unterkünfte.

Platzierungen ab m Elemente hinein n in jedem werden solche Verbindungen genannt, die sich entweder durch die Elemente selbst (mindestens eines) oder durch die Reihenfolge vom Ort voneinander unterscheiden.

Standorte sind mit dem Symbol , wo gekennzeichnet m ist die Anzahl aller verfügbaren Elemente, n ist die Anzahl der Elemente in jeder Kombination. ( ABER- Anfangsbuchstabe des französischen Wortes Anordnung, was „Aufstellen, Ordnen“ bedeutet).

Gleichzeitig wird davon ausgegangen nm.

Die Anzahl der Platzierungen kann anhand der Formel berechnet werden

,

diese. die Anzahl aller möglichen Platzierungen aus m Elemente von n ist gleich dem Produkt n aufeinanderfolgende ganze Zahlen, von denen die größere ist m.

Wir schreiben diese Formel in Fakultätsform:

Beispiel 3. Wie viele Optionen für die Verteilung von drei Gutscheinen an ein Sanatorium mit verschiedenen Profilen können für fünf Bewerber gemacht werden?

Lösung. Die gewünschte Anzahl von Optionen entspricht der Anzahl der Platzierungen von 5 Elementen mal 3 Elementen, d.h.

.

Kombinationen.

Kombinationen sind alle möglichen Kombinationen von m Elemente von n, die sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden (hier m und n- natürliche Zahlen u nm).

Anzahl der Kombinationen aus m Elemente von n sind bezeichnet ( AUS- der erste Buchstabe des französischen Wortes Kombination- Kombination).

Im Allgemeinen ist die Anzahl der m Elemente von n gleich der Anzahl der Platzierungen aus m Elemente von n dividiert durch die Anzahl der Permutationen aus n Elemente:

Unter Verwendung von Fakultätsformeln für Platzierungs- und Permutationszahlen erhalten wir:

Beispiel 4. In einem Team von 25 Personen müssen Sie vier für die Arbeit in einem bestimmten Bereich zuweisen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Lösung. Da die Reihenfolge der ausgewählten vier Personen keine Rolle spielt, kann dies auf verschiedene Weise geschehen.

Wir finden nach der ersten Formel

.

Darüber hinaus werden beim Lösen von Problemen die folgenden Formeln verwendet, die die Haupteigenschaften von Kombinationen ausdrücken:

(per Definition und werden angenommen);

.

1.2. Kombinatorische Probleme lösen

Aufgabe 1. An der Fakultät werden 16 Fächer studiert. Am Montag müssen Sie 3 Fächer in den Stundenplan aufnehmen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Lösung. Es gibt so viele Möglichkeiten, drei von 16 Elementen zu planen, wie es Platzierungen von 16 Elementen mit jeweils 3 gibt.

Aufgabe 2. Aus 15 Objekten müssen 10 Objekte ausgewählt werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Aufgabe 3. Vier Teams nahmen am Wettbewerb teil. Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung untereinander sind möglich?

.

Aufgabe 4. Auf wie viele Arten kann eine Patrouille aus drei Soldaten und einem Offizier gebildet werden, wenn es 80 Soldaten und 3 Offiziere gibt?

Lösung. Soldat auf Patrouille kann ausgewählt werden

Wege und Offiziere Wege. Da jeder Offizier mit jedem Team von Soldaten gehen kann, gibt es nur Möglichkeiten.

Aufgabe 5. Finden Sie heraus, ob bekannt ist, dass .

Da bekommen wir

,

,

Durch die Definition der Kombination folgt, dass , . Dass. .

1.3. Das Konzept eines zufälligen Ereignisses. Ereignistypen. Ereigniswahrscheinlichkeit

Jede Aktion, jedes Phänomen, jede Beobachtung mit mehreren unterschiedlichen Ergebnissen, die unter bestimmten Bedingungen realisiert werden, wird aufgerufen Prüfung.

Das Ergebnis dieser Aktion oder Beobachtung wird aufgerufen Veranstaltung .

Kann ein Ereignis unter gegebenen Bedingungen eintreten oder nicht eintreten, so wird es aufgerufen zufällig . Für den Fall, dass ein Ereignis unbedingt eintreten muss, wird es aufgerufen zuverlässig , und falls es sicher nicht passieren kann, - unmöglich.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen unvereinbar wenn nur einer von ihnen jedes Mal erscheinen kann.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen gemeinsam wenn unter den gegebenen Bedingungen das Eintreten eines dieser Ereignisse das Eintreten des anderen in derselben Prüfung nicht ausschließt.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen Gegenteil , wenn sie unter den Testbedingungen als einzige Ergebnisse unvereinbar sind.

Ereignisse werden normalerweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A B C D, : .

Ein vollständiges System von Ereignissen A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ist eine Menge inkompatibler Ereignisse, von denen das Auftreten mindestens eines für einen gegebenen Test obligatorisch ist.

Besteht ein vollständiges System aus zwei inkompatiblen Ereignissen, so heißen solche Ereignisse entgegengesetzt und werden mit A und bezeichnet.

Beispiel. In einer Schachtel befinden sich 30 nummerierte Bälle. Bestimmen Sie, welche der folgenden Ereignisse unmöglich, sicher oder entgegengesetzt sind:

bekam einen nummerierten Ball (ABER);

Ziehe eine Kugel mit gerader Zahl (BEI);

eine Kugel mit einer ungeraden Zahl gezogen (AUS);

bekam einen Ball ohne Nummer (D).

Welche von ihnen bilden eine vollständige Gruppe?

Lösung . ABER- bestimmtes Ereignis; D- unmögliches Ereignis;

In und AUS- entgegengesetzte Ereignisse.

Die komplette Gruppe von Veranstaltungen ist ABER und D, V und AUS.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses angesehen.

1.4. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Zahl, die ein Ausdruck für das Maß der objektiven Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist, wird genannt Wahrscheinlichkeit dieses Ereignis und ist mit dem Symbol gekennzeichnet P(A).

Definition. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER ist das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse m, die das Eintreten eines gegebenen Ereignisses begünstigen ABER, zur Nummer n alle Ergebnisse (inkompatibel, eindeutig und gleichermaßen möglich), d.h. .

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, ist es daher erforderlich, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests alle möglichen inkompatiblen Ergebnisse zu berechnen n, Wählen Sie die Anzahl der Ergebnisse, an denen wir interessiert sind m, und berechnen Sie das Verhältnis m zu n.

Aus dieser Definition folgen folgende Eigenschaften:

Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchs ist eine nicht negative Zahl, die eins nicht übersteigt.

Tatsächlich liegt die Anzahl m der gewünschten Ereignisse innerhalb von . Teilen Sie beide Teile in n, wir bekommen

2. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins, weil .

3. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, weil .

Problem 1. Es gibt 200 Gewinner von 1000 Losen in der Lotterie. Ein Los wird zufällig gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ticket gewinnt?

Lösung. Die Gesamtzahl der verschiedenen Ergebnisse ist n=1000. Die Anzahl der Ergebnisse, die den Sieg begünstigen, beträgt m=200. Nach der Formel bekommen wir

.

Aufgabe 2. In einer Charge von 18 Teilen gibt es 4 defekte. 5 Stück werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei dieser 5 Teile defekt sind.

Lösung. Anzahl aller gleichermaßen möglichen unabhängigen Ergebnisse n ist gleich der Anzahl der Kombinationen von 18 bis 5, d.h.

Berechnen wir die Anzahl m, die für Ereignis A sprechen. Unter den 5 zufällig ausgewählten Teilen sollten 3 hochwertige und 2 fehlerhafte sein. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei defekte Teile aus 4 verfügbaren defekten Teilen auszuwählen, ist gleich der Anzahl der Kombinationen von 4 bis 2:

Die Anzahl der Möglichkeiten, drei Qualitätsteile aus 14 verfügbaren Qualitätsteilen auszuwählen, ist gleich

.

Jede Gruppe von Qualitätsteilen kann mit jeder Gruppe von fehlerhaften Teilen kombiniert werden, also die Gesamtzahl der Kombinationen m ist

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ausgänge m, die dieses Ereignis begünstigen, zur Anzahl n aller gleich möglichen unabhängigen Ausgänge:

.

Die Summe einer endlichen Anzahl von Ereignissen ist ein Ereignis, das im Eintreten mindestens eines von ihnen besteht.

Die Summe zweier Ereignisse wird mit dem Symbol A + B und der Summe bezeichnet n Ereignissymbol A 1 +A 2 + : +A n .

Der Wahrscheinlichkeitssatz.

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Korollar 1. Wenn die Ereignisse À 1 , À 2 , : , À n ein vollständiges System bilden, dann ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse gleich eins.

Korollar 2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse und ist gleich eins.

.

Aufgabe 1. Es gibt 100 Lottoscheine. Es ist bekannt, dass 5 Tickets einen Gewinn von 20.000 Rubel, 10 - 15.000 Rubel, 15 - 10.000 Rubel, 25 - 2.000 Rubel bringen. und nichts für den Rest. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass das gekaufte Ticket mindestens 10.000 Rubel gewinnt.

Lösung. Seien A, B und C Ereignisse, die darin bestehen, dass ein Preis in Höhe von 20.000, 15.000 und 10.000 Rubel auf das gekaufte Ticket fällt. da die Ereignisse A, B und C also inkompatibel sind

Aufgabe 2. Die Korrespondenzabteilung der Fachschule erhält von den Städten Tests in Mathematik A, B und AUS. Die Wahrscheinlichkeit des Eingangs von Kontrollarbeiten von der Stadt ABER gleich 0,6, von der Stadt BEI- 0,1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Kontrollarbeit aus der Stadt kommt AUS.