Grundlagen zur Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung (LNDE-2) mit konstanten Koeffizienten (PC)

Ein CLDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten $p$ und $q$ hat die Form $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, wobei $f\left( x \right)$ ist eine stetige Funktion.

Die folgenden zwei Aussagen treffen in Bezug auf das 2. LNDE mit PC zu.

Nehmen Sie an, dass eine Funktion $U$ eine beliebige spezielle Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung ist. Nehmen wir weiter an, dass irgendeine Funktion $Y$ eine allgemeine Lösung (OR) der entsprechenden linearen homogenen Differentialgleichung (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ ist. Dann ist das OR von LHDE-2 ist gleich der Summe der angegebenen privaten und allgemeinen Lösungen, d.h. $y=U+Y$.

Wenn die rechte Seite der LIDE 2. Ordnung die Summe der Funktionen ist, also $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, dann können Sie zuerst die PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ finden, die jedem entsprechen der Funktionen $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, und schreibe danach die LNDE-2 PD als $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Lösung von LNDE 2. Ordnung mit PC

Offensichtlich hängt die Form des einen oder anderen PD $U$ eines bestimmten LNDE-2 von der spezifischen Form seiner rechten Seite $f\left(x\right)$ ab. Die einfachsten Fälle der Suche nach der PD von LNDE-2 werden als die folgenden vier Regeln formuliert.

Regel Nummer 1.

Die rechte Seite von LNDE-2 hat die Form $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, wobei $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, heißt also a Polynom vom Grad $n$. Dann wird sein PR $U$ in der Form $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ gesucht, wobei $Q_(n) \left(x\right)$ ein anderer ist Polynom gleichen Grades wie $P_(n) \left(x\right)$, und $r$ ist die Anzahl der Nullstellen der charakteristischen Gleichung des entsprechenden LODE-2. Die Koeffizienten des Polynoms $Q_(n) \left(x\right)$ werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten (NC) gefunden.

Regel Nummer 2.

Die rechte Seite von LNDE-2 hat die Form $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, wobei $P_(n) \left( x\right)$ ist ein Polynom vom Grad $n$. Dann wird dessen PD $U$ in der Form $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ gesucht, wobei $Q_(n ) \ left(x\right)$ ist ein weiteres Polynom gleichen Grades wie $P_(n) \left(x\right)$, und $r$ ist die Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung des entsprechenden LODE-2 gleich $\alpha $. Die Koeffizienten des Polynoms $Q_(n) \left(x\right)$ werden mit der NK-Methode ermittelt.

Regel Nummer 3.

Der rechte Teil von LNDE-2 hat die Form $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, wobei $a$, $b$ und $\beta $ bekannte Zahlen sind. Dann wird dessen PD $U$ in der Form $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) gesucht )\right )\cdot x^(r) $, wobei $A$ und $B$ unbekannte Koeffizienten sind und $r$ die Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung des entsprechenden LODE-2 gleich $i\cdot ist \beta$. Die Koeffizienten $A$ und $B$ werden durch das NDT-Verfahren ermittelt.

Regel Nummer 4.

Die rechte Seite von LNDE-2 hat die Form $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, wobei $P_(n) \left(x\right)$ ist ein Polynom vom Grad $ n$, und $P_(m) \left(x\right)$ ist ein Polynom vom Grad $m$. Dann wird dessen PD $U$ in der Form $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ gesucht, wobei $Q_(s) \left(x\right) $ und $ R_(s) \left(x\right)$ sind Polynome vom Grad $s$, die Zahl $s$ ist das Maximum von zwei Zahlen $n$ und $m$, und $r$ ist die Zahl von Wurzeln der charakteristischen Gleichung des entsprechenden LODE-2, gleich $\alpha +i\cdot \beta $. Die Koeffizienten der Polynome $Q_(s) \left(x\right)$ und $R_(s) \left(x\right)$ werden mit der NK-Methode ermittelt.

Die NK-Methode besteht in der Anwendung der folgenden Regel. Um die unbekannten Koeffizienten des Polynoms zu finden, die Teil der jeweiligen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung LNDE-2 sind, ist es notwendig:

• Ersetze den PD $U$, geschrieben in allgemeiner Form, in den linken Teil von LNDE-2;
• Führen Sie auf der linken Seite von LNDE-2 Vereinfachungen durch und gruppieren Sie Terme mit denselben Potenzen $x$;
• in der resultierenden Identität die Koeffizienten der Terme mit denselben Potenzen $x$ der linken und rechten Seite gleichsetzen;
• Lösen Sie das resultierende lineare Gleichungssystem für unbekannte Koeffizienten.

Beispiel 1

Aufgabe: finde das OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Finde auch die PR , die die Anfangsbedingungen $y=6$ für $x=0$ und $y"=1$ für $x=0$ erfüllt.

Schreiben Sie das entsprechende LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Charakteristische Gleichung: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Diese Wurzeln sind real und deutlich. Somit hat das OR des entsprechenden LODE-2 die Form: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Der rechte Teil dieses LNDE-2 hat die Form $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Es ist notwendig, den Koeffizienten des Exponenten des Exponenten $\alpha =3$ zu berücksichtigen. Dieser Koeffizient stimmt mit keiner der Wurzeln der charakteristischen Gleichung überein. Daher hat der PR dieses LNDE-2 die Form $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Wir suchen die Koeffizienten $A$, $B$ mit der NK-Methode.

Wir finden die erste Ableitung des CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Wir finden die zweite Ableitung des CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Wir ersetzen die Funktionen $U""$, $U"$ und $U$ anstelle von $y""$, $y"$ und $y$ in den gegebenen LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Gleichzeitig, da der Exponent $e^(3\cdot x) $ enthalten ist als Faktor in allen Komponenten, dann kann es weggelassen werden.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Wir führen Aktionen auf der linken Seite der resultierenden Gleichheit aus:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Wir verwenden die NC-Methode. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Die Lösung für dieses System lautet: $A=-2$, $B=-1$.

Der CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ für unser Problem sieht so aus: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Das ODER $y=Y+U$ für unser Problem sieht so aus: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Um nach einer PD zu suchen, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt, finden wir die Ableitung $y"$ ODER:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Wir ersetzen in $y$ und $y"$ die Anfangsbedingungen $y=6$ für $x=0$ und $y"=1$ für $x=0$:

$6=C_(1) + C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Wir haben ein Gleichungssystem:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Wir lösen es. Wir finden $C_(1) $ unter Verwendung der Cramer-Formel, und $C_(2) $ wird aus der ersten Gleichung bestimmt:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9)=4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Somit ist die PD dieser Differentialgleichung: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Bildungseinrichtung "Belarussischer Staat

landwirtschaftliche Akademie"

Institut für Höhere Mathematik

Richtlinien

zum Studium des Themas "Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung" durch Studierende des Fachbereichs Rechnungswesen der Fernlehre (NISPO)

Gorki, 2013

Lineare Differentialgleichungen

zweiter Ordnung mit KonstanteKoeffizienten

Lineare homogene Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten heißt eine Gleichung der Form

diese. eine Gleichung, die die gewünschte Funktion und ihre Ableitungen nur bis zum ersten Grad und nicht ihre Produkte enthält. In dieser Gleichung und
sind einige Zahlen und die Funktion
in einem bestimmten Intervall gegeben
.

Wenn ein
auf dem Intervall
, dann nimmt Gleichung (1) die Form an

, (2)

und angerufen linear homogen . Andernfalls wird Gleichung (1) aufgerufen linear inhomogen .

Betrachten Sie die komplexe Funktion

, (3)

wo
und
sind reelle Funktionen. Wenn Funktion (3) eine komplexe Lösung von Gleichung (2) ist, dann der Realteil
, und der Imaginärteil
Lösungen
getrennt genommen sind Lösungen derselben homogenen Gleichung. Somit erzeugt jede komplexe Lösung von Gleichung (2) zwei reelle Lösungen dieser Gleichung.

Lösungen einer homogenen linearen Gleichung haben folgende Eigenschaften:

Wenn ein eine Lösung von Gleichung (2) ist, dann ist die Funktion
, wo AUS- eine beliebige Konstante, wird auch eine Lösung von Gleichung (2) sein;

Wenn ein und Lösungen von Gleichung (2) sind, dann die Funktion
wird auch eine Lösung von Gleichung (2) sein;

Wenn ein und Lösungen von Gleichung (2) sind, dann ihre Linearkombination
auch eine Lösung für Gleichung (2) sein, wobei gilt: und
sind beliebige Konstanten.

Funktionen
und
genannt linear abhängig auf dem Intervall
wenn es solche Zahlen gibt und
, die gleichzeitig ungleich Null sind, dass auf diesem Intervall die Gleichheit

Wenn Gleichheit (4) nur gilt, wenn
und
, dann die Funktionen
und
genannt linear unabhängig auf dem Intervall
.

Beispiel 1 . Funktionen
und
sind linear abhängig, da
entlang des ganzen Zahlenstrahls. In diesem Beispiel
.

Beispiel 2 . Funktionen
und
sind auf jedem Intervall linear unabhängig, da die Gleichheit
nur möglich wenn und
, und
.

Konstruktion einer allgemeinen Lösung eines linearen Homogenen

Gleichungen

Um eine allgemeine Lösung für Gleichung (2) zu finden, müssen Sie zwei ihrer linear unabhängigen Lösungen finden und . Linearkombination dieser Lösungen
, wo und
sind willkürliche Konstanten und ergeben die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Gleichung.

Linear unabhängige Lösungen von Gleichung (2) werden in der Form gesucht

, (5)

wo - irgendeine Zahl. Dann
,
. Lassen Sie uns diese Ausdrücke in Gleichung (2) einsetzen:

oder
.

Als
, dann
. Also die Funktion
eine Lösung von Gleichung (2) sein, wenn wird die Gleichung erfüllen

. (6)

Gleichung (6) wird aufgerufen charakteristische Gleichung für Gleichung (2). Diese Gleichung ist eine algebraische quadratische Gleichung.

Lassen und sind die Wurzeln dieser Gleichung. Sie können entweder real und verschieden oder komplex oder real und gleich sein. Betrachten wir diese Fälle.

Lassen Sie die Wurzeln und charakteristische Gleichungen sind reell und verschieden. Dann sind die Lösungen von Gleichung (2) die Funktionen
und
. Diese Lösungen sind linear unabhängig, da die Gleichheit
kann nur wann durchgeführt werden
, und
. Daher hat die allgemeine Lösung von Gleichung (2) die Form

,

wo und
sind beliebige Konstanten.

Beispiel 3
.

Lösung . Die charakteristische Gleichung für dieses Differential lautet
. Wenn wir diese quadratische Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln
und
. Funktionen
und
sind Lösungen der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung hat die Form
.

komplexe Zahl heißt Ausdruck der Form
, wo und reelle Zahlen sind, und
heißt imaginäre Einheit. Wenn ein
, dann die Nummer
heißt rein imaginär. Wenn
, dann die Nummer
wird mit einer reellen Zahl identifiziert .

Nummer heißt Realteil der komplexen Zahl, und - der Imaginärteil. Unterscheiden sich zwei komplexe Zahlen nur im Vorzeichen des Imaginärteils, so heißen sie konjugiert:
,
.

Beispiel 4 . Lösen Sie eine quadratische Gleichung
.

Lösung . Gleichung Diskriminante
. Dann. Ebenfalls,
. Somit hat diese quadratische Gleichung konjugiert komplexe Wurzeln.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung seien komplex, d.h.
,
, wo
. Lösungen für Gleichung (2) können geschrieben werden als
,
oder
,
. Nach Eulers Formeln

,
.

Dann ,. Wenn eine komplexe Funktion eine Lösung einer linearen homogenen Gleichung ist, dann sind bekanntlich die Lösungen dieser Gleichung sowohl der Real- als auch der Imaginärteil dieser Funktion. Somit sind die Lösungen von Gleichung (2) die Funktionen
und
. Seit Gleichberechtigung

kann nur durchgeführt werden, wenn
und
, dann sind diese Lösungen linear unabhängig. Daher hat die allgemeine Lösung von Gleichung (2) die Form

wo und
sind beliebige Konstanten.

Beispiel 5 . Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Lösung . Die gleichung
ist charakteristisch für das gegebene Differential. Wir lösen es und erhalten komplexe Wurzeln
,
. Funktionen
und
sind linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung hat die Form.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung seien reell und gleich, d.h.
. Dann sind die Lösungen von Gleichung (2) die Funktionen
und
. Diese Lösungen sind linear unabhängig, da der Ausdruck nur dann identisch gleich Null sein kann
und
. Daher hat die allgemeine Lösung von Gleichung (2) die Form
.

Beispiel 6 . Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Lösung . Charakteristische Gleichung
hat gleiche Wurzeln
. In diesem Fall sind die linear unabhängigen Lösungen der Differentialgleichung die Funktionen
und
. Die allgemeine Lösung hat die Form
.

Inhomogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

und spezielle rechte Seite

Die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen Gleichung (1) ist gleich der Summe der allgemeinen Lösung
entsprechende homogene Gleichung und eine beliebige spezielle Lösung
inhomogene Gleichung:
.

In manchen Fällen kann eine bestimmte Lösung einer inhomogenen Gleichung ganz einfach durch die Form der rechten Seite gefunden werden
Gleichungen (1). Betrachten wir Fälle, in denen es möglich ist.

diese. die rechte Seite der inhomogenen Gleichung ist ein Gradpolynom m. Wenn ein
keine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann sollte eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung in Form eines Gradpolynoms gesucht werden m, d.h.

Chancen
werden im Prozess der Findung einer bestimmten Lösung ermittelt.

Wenn
die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann sollte in der Form eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht werden

Beispiel 7 . Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Lösung . Die entsprechende homogene Gleichung für diese Gleichung ist
. Seine charakteristische Gleichung
hat Wurzeln
und
. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form
.

Als
keine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann suchen wir eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung in Form einer Funktion
. Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion
,
und setze sie in diese Gleichung ein:

oder . Gleichen Sie die Koeffizienten an und freie Mitglieder:
Wenn wir dieses System lösen, bekommen wir
,
. Dann hat eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung die Form
, und die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Gleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung und der speziellen Lösung der inhomogenen:
.

Die inhomogene Gleichung habe die Form

Wenn ein
keine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, dann sollte in der Form eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht werden. Wenn
ist die Wurzel der charakteristischen Multiplizitätsgleichung k (k=1 bzw k=2), dann hat in diesem Fall die jeweilige Lösung der inhomogenen Gleichung die Form .

Beispiel 8 . Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Lösung . Die charakteristische Gleichung für die entsprechende homogene Gleichung hat die Form
. seine Wurzeln
,
. In diesem Fall wird die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung geschrieben als
.

Da die Zahl 3 nicht die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, sollte in der Form eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht werden
. Lassen Sie uns Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung finden:,

In die Differentialgleichung einsetzen:
+ +,
+,.

Gleichen Sie die Koeffizienten an und freie Mitglieder:

Von hier
,
. Dann hat eine bestimmte Lösung dieser Gleichung die Form
, und die allgemeine Lösung

.

Lagrange-Methode zur Variation beliebiger Konstanten

Die Methode der Variation beliebiger Konstanten kann auf jede inhomogene lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten angewendet werden, unabhängig von der Form der rechten Seite. Dieses Verfahren ermöglicht es, immer dann eine allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung zu finden, wenn die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung bekannt ist.

Lassen
und
sind linear unabhängige Lösungen von Gleichung (2). Dann ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung
, wo und
sind beliebige Konstanten. Das Wesen der Methode der Variation beliebiger Konstanten besteht darin, dass die allgemeine Lösung der Gleichung (1) in der Form gesucht wird

wo
und
- Neue unbekannte Funktionen zu finden. Da es zwei unbekannte Funktionen gibt, werden zwei Gleichungen benötigt, die diese Funktionen enthalten, um sie zu finden. Diese beiden Gleichungen bilden das System

das ist ein lineares algebraisches Gleichungssystem in Bezug auf
und
. Lösung dieses Systems, finden wir
und
. Wenn wir beide Teile der erhaltenen Gleichheiten integrieren, finden wir

und
.

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in (9) erhalten wir die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Gleichung (1).

Beispiel 9 . Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Lösung. Die charakteristische Gleichung für die der gegebenen Differentialgleichung entsprechende homogene Gleichung ist
. Seine Wurzeln sind komplex
,
. Als
und
, dann
,
, und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form Dann wird die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Gleichung in der Form wo gesucht
und
- unbekannte Funktionen.

Das Gleichungssystem zum Auffinden dieser unbekannten Funktionen hat die Form

Lösung dieses Systems, finden wir
,
. Dann

,
. Lassen Sie uns die erhaltenen Ausdrücke in die allgemeine Lösungsformel einsetzen:

Dies ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung, die durch das Lagrange-Verfahren erhalten wird.

Fragen zur Selbstkontrolle des Wissens

Welche Differentialgleichung heißt lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Welche lineare Differentialgleichung heißt homogen, welche heißt inhomogen?

Was sind die Eigenschaften einer linearen homogenen Gleichung?

Welche Gleichung wird als charakteristisch für eine lineare Differentialgleichung bezeichnet und wie erhält man sie?

In welcher Form schreibt man die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei unterschiedlichen Nullstellen der charakteristischen Gleichung?

In welcher Form wird die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei gleichen Wurzeln der charakteristischen Gleichung geschrieben?

In welcher Form wird die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bei komplexen Nullstellen der charakteristischen Gleichung geschrieben?

Wie schreibt man die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung?

In welcher Form wird eine bestimmte Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung gesucht, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschieden und ungleich Null sind und die rechte Seite der Gleichung ein Gradpolynom ist? m?

In welcher Form wird eine bestimmte Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung gesucht, wenn sich unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung eine Null befindet und die rechte Seite der Gleichung ein Gradpolynom ist? m?

Was ist die Essenz der Lagrange-Methode?

Dieser Artikel befasst sich mit der Frage, lineare inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Die Theorie wird zusammen mit Beispielen der gegebenen Probleme betrachtet. Um unverständliche Begriffe zu entziffern, ist es notwendig, sich auf das Thema der grundlegenden Definitionen und Konzepte der Theorie der Differentialgleichungen zu beziehen.

Betrachten Sie eine lineare Differentialgleichung (LDE) zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form y "" + p y " + q y \u003d f (x) , wobei p und q beliebige Zahlen sind und die vorhandene Funktion f (x) ist stetig auf dem Integrationsintervall x .

Gehen wir zur Formulierung des allgemeinen Lösungssatzes für LIDE über.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Allgemeiner Lösungssatz für LDNU

Satz 1

Die auf dem Intervall x liegende allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung der Form y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) mit kontinuierlichen Integrationskoeffizienten auf dem x-Intervall f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) und eine stetige Funktion f (x) ist gleich der Summe der allgemeinen Lösung y 0 , die dem LODE entspricht, und einer bestimmten Lösung y ~ , wobei die ursprüngliche inhomogene Gleichung y = y 0 ist + y ~ .

Dies zeigt, dass die Lösung einer solchen Gleichung zweiter Ordnung die Form y = y 0 + y ~ hat. Der Algorithmus zum Finden von y 0 wird im Artikel über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten betrachtet. Danach sollte man zur Definition von y ~ übergehen.

Die Wahl einer bestimmten Lösung für die LIDE hängt von der Art der verfügbaren Funktion f(x) ab, die sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet. Dazu ist es notwendig, die Lösungen linearer inhomogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gesondert zu betrachten.

Wenn f (x) als ein Polynom n-ten Grades f (x) = P n (x) betrachtet wird, folgt daraus, dass eine bestimmte Lösung der LIDE durch eine Formel der Form y ~ = Q n (x) gefunden wird ) x γ , wobei Q n ( x) ein Polynom vom Grad n ist, r die Anzahl der Nullstellen der charakteristischen Gleichung ist. Der Wert von y ~ ist eine bestimmte Lösung y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , dann die verfügbaren Koeffizienten, die durch das Polynom definiert sind
Q n (x) finden wir mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten aus der Gleichheit y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Beispiel 1

Berechnen Sie mit dem Satz von Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Lösung

Mit anderen Worten, es ist notwendig, zu einer bestimmten Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y "" - 2 y " = x 2 + 1 überzugehen, die die gegebenen Bedingungen y (0) = erfüllen wird 2 , y " (0) = 1 4 .

Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung, die der Gleichung y 0 entspricht, oder einer bestimmten Lösung der inhomogenen Gleichung y ~ , dh y = y 0 + y ~ .

Lassen Sie uns zuerst eine allgemeine Lösung für den LNDE finden und dann eine bestimmte.

Lassen Sie uns weitergehen, um y 0 zu finden. Das Schreiben der charakteristischen Gleichung hilft, die Wurzeln zu finden. Das verstehen wir

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Wir haben festgestellt, dass die Wurzeln anders und echt sind. Deshalb schreiben wir

y 0 \u003d C. 1 und 0 x + C. 2 und 2 x \u003d C. 1 + C. 2 und 2 x.

Lassen Sie uns y ~ finden. Es ist ersichtlich, dass die rechte Seite der gegebenen Gleichung ein Polynom zweiten Grades ist, dann ist eine der Wurzeln gleich Null. Daraus ergibt sich, dass eine bestimmte Lösung für y ~ sein wird

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, wobei die Werte von A, B, C nehme undefinierte Koeffizienten.

Finden wir sie anhand einer Gleichheit der Form y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Dann bekommen wir das:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Wenn wir die Koeffizienten mit denselben Exponenten x gleichsetzen, erhalten wir ein System linearer Ausdrücke - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Wenn wir auf eine der Arten lösen, finden wir die Koeffizienten und schreiben: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 und y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Dieser Eintrag wird als allgemeine Lösung der ursprünglichen linearen inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnet.

Um eine bestimmte Lösung zu finden, die die Bedingungen y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 erfüllt, müssen die Werte bestimmt werden C1 und C2, basierend auf einer Gleichheit der Form y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Wir bekommen das:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Wir arbeiten mit dem resultierenden Gleichungssystem der Form C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , wobei C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Wenden wir den Satz von Cauchy an, haben wir das

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Antworten: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Wenn die Funktion f (x) als Produkt eines Polynoms mit dem Grad n und einem Exponenten f (x) = P n (x) e a x dargestellt wird, erhalten wir von hier aus, dass eine bestimmte Lösung der LIDE zweiter Ordnung sein wird eine Gleichung der Form y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , wobei Q n (x) ein Polynom n-ten Grades ist und r die Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung gleich α ist.

Die zu Q n (x) gehörenden Koeffizienten werden durch die Gleichheit y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ " = f (x) gefunden.

Beispiel 2

Finden Sie die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung der Form y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Lösung

Allgemeine Gleichung y = y 0 + y ~ . Die angezeigte Gleichung entspricht der LOD y "" - 2 y " = 0. Das vorherige Beispiel zeigt, dass ihre Wurzeln sind k1 = 0 und k 2 = 2 und y 0 = C 1 + C 2 e 2 x gemäß der charakteristischen Gleichung.

Es ist ersichtlich, dass die rechte Seite der Gleichung x 2 + 1 · e x ist. Von hier aus wird LNDE durch y ~ = e a x Q n (x) x γ gefunden, wobei Q n (x) ein Polynom zweiten Grades ist, wobei α = 1 und r = 0, weil die charakteristische Gleichung dies nicht tut haben eine Wurzel gleich 1 . Daher bekommen wir das

y ~ = e ein x Q n (x) x γ = e x EIN x 2 + B x + C x 0 = e x EIN x 2 + B x + C .

A, B, C sind unbekannte Koeffizienten, die durch die Gleichung y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x gefunden werden können.

Verstanden

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Wir setzen die Indikatoren für dieselben Koeffizienten gleich und erhalten ein System linearer Gleichungen. Von hier aus finden wir A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Antworten: Es ist ersichtlich, dass y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x – x 2 + 0 x – 3 = – e x x 2 + 3 eine bestimmte Lösung von LIDE ist und y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Wenn die Funktion geschrieben wird als f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , und Ein 1 und IN 1 Zahlen sind, dann ist eine Gleichung der Form y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , wobei A und B als unbestimmte Koeffizienten betrachtet werden und r der Anzahl der komplex konjugierten Wurzeln bezogen auf die charakteristische Gleichung gleich ist ± ich β . In diesem Fall erfolgt die Suche nach Koeffizienten durch die Gleichheit y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Beispiel 3

Finden Sie die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung der Form y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Lösung

Bevor wir die charakteristische Gleichung schreiben, finden wir y 0 . Dann

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 ich, k 2 \u003d - 2 ich

Wir haben ein Paar komplexer konjugierter Wurzeln. Lassen Sie uns transformieren und erhalten:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Die Wurzeln aus der charakteristischen Gleichung werden als konjugiertes Paar ± 2 i betrachtet, dann gilt f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dies zeigt, dass die Suche nach y ~ aus y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Unbekannte erfolgt die Koeffizienten A und B werden aus einer Gleichheit der Form y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) gesucht.

Lassen Sie uns transformieren:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Dann sieht man das

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Es ist notwendig, die Koeffizienten von Sinus und Cosinus gleichzusetzen. Wir erhalten ein System der Form:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Daraus folgt, dass y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Antworten: als allgemeine Lösung gilt die ursprüngliche LIDE zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Wenn f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , dann y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Wir haben, dass r die Anzahl der komplex konjugierten Wurzelpaare in Bezug auf die charakteristische Gleichung ist, gleich α ± i β , wobei P n (x) , Q k (x) , L m ( x) und Nm (x) sind Polynome vom Grad n, k, m, wobei m = m a x (n, k). Koeffizienten finden L m (x) und Nm (x) ergibt sich aus der Gleichheit y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Beispiel 4

Finde die allgemeine Lösung y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Lösung

Aus der Bedingung geht hervor, dass

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Dann ist m = m a x (n , k) = 1 . Wir finden y 0, indem wir zuerst die charakteristische Gleichung der Form schreiben:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Wir haben festgestellt, dass die Wurzeln real und deutlich sind. Also y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Als nächstes muss nach einer allgemeinen Lösung gesucht werden, die auf einer inhomogenen Gleichung y ~ der Form basiert

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Es ist bekannt, dass A, B, C Koeffizienten sind, r = 0, weil es kein Paar konjugierter Wurzeln gibt, die sich auf die charakteristische Gleichung mit α ± i β = 3 ± 5 · i beziehen. Diese Koeffizienten werden aus der resultierenden Gleichheit gefunden:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Das Finden der Ableitung und ähnlicher Begriffe ergibt

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Nach dem Gleichsetzen der Koeffizienten erhalten wir ein System der Form

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Aus allem folgt das

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)Sünde(5x))

Antworten: jetzt ist die allgemeine Lösung der gegebenen linearen Gleichung erhalten:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algorithmus zum Lösen von LDNU

Bestimmung 1

Jede andere Art von Funktion f (x) für die Lösung liefert für den Lösungsalgorithmus:

• Finden der allgemeinen Lösung der entsprechenden linearen homogenen Gleichung, wobei y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , wobei ja 1 und y2 sind linear unabhängige partikuläre Lösungen von LODE, Ab 1 und Ab 2 werden als willkürliche Konstanten betrachtet;
• Annahme als allgemeine Lösung der LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• Definition von Ableitungen einer Funktion durch ein System der Form C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , und Finden von Funktionen C1 (x) und C 2 (x) durch Integration.

Beispiel 5

Finden Sie die allgemeine Lösung für y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Lösung

Wir fahren mit dem Schreiben der charakteristischen Gleichung fort, nachdem wir zuvor y 0 , y "" + 36 y = 0 geschrieben haben. Lassen Sie uns schreiben und lösen:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 ich , k 2 = - 6 ich ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = Sünde (6 x)

Wir haben, dass der Datensatz der allgemeinen Lösung der gegebenen Gleichung die Form y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) annehmen wird. Es ist notwendig, zur Definition der Ableitungsfunktionen überzugehen C1 (x) und C2(x) nach dem System mit Gleichungen:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Es muss eine Entscheidung getroffen werden bzgl C1 "(x) und C2" (x) mit irgendeiner Methode. Dann schreiben wir:

C 1 "(x) \u003d - 4 Sünde 2 (6 x) + 2 Sünde (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x Sünde (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 Sünde (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Jede der Gleichungen muss integriert werden. Dann schreiben wir die resultierenden Gleichungen:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x Sünde (6 x) + C 4

Daraus folgt, dass die allgemeine Lösung die Form hat:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 Sünde (6 x)

Antworten: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

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Wir haben gesehen, dass es für den Fall, dass die allgemeine Lösung einer linearen homogenen Gleichung bekannt ist, möglich ist, eine allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung durch die Methode der Variation beliebiger Konstanten zu finden. Offen blieb jedoch die Frage, wie man die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung findet. In einem besonderen Fall sind in der linearen Differentialgleichung (3) alle Koeffizienten p ich(X)= ein ich - Konstanten ist es ganz einfach gelöst, auch ohne Integration.

Betrachten Sie eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, dh Gleichungen der Form

j (n) + a 1 j (n – 1) + ... ein n – 1 j " + ein n y = 0, (14)

wo ein ich- Konstanten (ich= 1, 2, ...,n).

Bekanntlich ist für eine lineare homogene Gleichung 1. Ordnung die Lösung eine Funktion der Form e kx . Wir suchen eine Lösung für Gleichung (14) in der Form j (X) = e kx.

Lassen Sie uns in Gleichung (14) die Funktion einsetzen j (X) und seine Ordnungsderivate m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Erhalten

(k n + a 1 k n – 1 +… und n – 1 k + ein n)e kx = 0,

aber e kx ¹ 0 für alle X, deshalb

k n + ein 1 k n – 1 + ... ein n – 1 k + ein n = 0. (15)

Gleichung (15) wird aufgerufen charakteristische Gleichung, Polynom auf der linken Seite,- charakteristisches Polynom , seine Wurzeln- charakteristische Wurzeln Differentialgleichung (14).

Fazit:

Funktionj (X) = e kx - Lösung der linearen homogenen Gleichung (14) genau dann, wenn die Zahl k - Wurzel der charakteristischen Gleichung (15).

Somit wird der Prozess des Lösens der linearen homogenen Gleichung (14) auf das Lösen der algebraischen Gleichung (15) reduziert.

Es gibt verschiedene Fälle von charakteristischen Wurzeln.

1.Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind reell und verschieden.

In diesem Fall n verschiedene charakteristische Wurzeln k 1 ,k 2 ,..., k n entspricht n verschiedene Lösungen der homogenen Gleichung (14)

Es kann gezeigt werden, dass diese Lösungen linear unabhängig sind und daher ein fundamentales System von Lösungen bilden. Somit ist die allgemeine Lösung der Gleichung die Funktion

wo AUS 1 , C 2 , ..., ~n - beliebige Konstanten.

BEISPIEL 7. Finden Sie die allgemeine Lösung der linearen homogenen Gleichung:

a) bei¢ ¢ (X) - 6bei¢ (X) + 8bei(X) = 0,b) bei¢ ¢ ¢ (X) + 2bei¢ ¢ (X) - 3bei¢ (X) = 0.

Lösung. Stellen wir eine charakteristische Gleichung auf. Dazu ersetzen wir die Ordnungsableitung m Funktionen j(x) im entsprechenden Grad

k(bei (m) (x) « km),

während die Funktion selbst bei(X) als Ableitung nullter Ordnung wird durch ersetzt k 0 = 1.

Im Fall (a) hat die charakteristische Gleichung die Form k 2 - 6k+ 8 = 0. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung k 1 = 2,k 2 = 4. Da sie real und verschieden sind, hat die allgemeine Lösung die Form j (X)= C 1 e 2X + Ab 2 e 4x.

Für den Fall (b) ist die charakteristische Gleichung die Gleichung dritten Grades k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Finden Sie die Wurzeln dieser Gleichung:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Diese charakteristischen Wurzeln entsprechen dem fundamentalen Lösungssystem der Differentialgleichung:

j 1 (X)= z 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= z - 3X .

Die allgemeine Lösung nach Formel (9) ist die Funktion

j (X)= C 1 +C 2 e x + C 3 e - 3X .

II . Alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind unterschiedlich, aber einige von ihnen sind komplex.

Alle Koeffizienten der Differentialgleichung (14) und damit auch ihrer charakteristischen Gleichung (15)- reelle Zahlen, dann gibt es unter den charakteristischen Wurzeln c eine komplexe Wurzel k 1 = a + ib, das heißt, seine konjugierte Wurzel k 2 = ` k 1 = ein- ib.Erste Wurzel k 1 entspricht der Lösung der Differentialgleichung (14)

j 1 (X)= z (a+ib)X = e a x e ibx = e Achse(cosbx + isinbx)

(Wir haben die Euler-Formel verwendet e ich x = cosx + isinx). Ebenso die Wurzel k 2 = ein- ib Entscheidung entspricht

j 2 (X)= z (a - -ib)X = e ein x e - ib x= e-Achse(cosbx - isinbx).

Diese Lösungen sind komplex. Um daraus reelle Lösungen zu erhalten, verwenden wir die Eigenschaften von Lösungen einer linearen homogenen Gleichung (siehe 13.2). Funktionen

reelle Lösungen von Gleichung (14) sind. Außerdem sind diese Lösungen linear unabhängig. Somit kann folgendes Fazit gezogen werden.

Regel 1.Ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln a± ib der charakteristischen Gleichung im FSR der linearen homogenen Gleichung (14) entspricht zwei reellen speziellen Lösungenund .

BEISPIEL 8. Finden Sie die allgemeine Lösung der Gleichung:

a) bei¢ ¢ (X) - 2bei ¢ (X) + 5bei(X) = 0 ;b) bei¢ ¢ ¢ (X) - bei¢ ¢ (X) + 4bei ¢ (X) - 4bei(X) = 0.

Lösung. Im Fall von Gleichung (a) die Wurzeln der charakteristischen Gleichung k 2 - 2k+ 5 = 0 sind zwei konjugierte komplexe Zahlen

k 1, 2 = .

Daher entsprechen sie nach Regel 1 zwei reellen linear unabhängigen Lösungen: und , und die allgemeine Lösung der Gleichung ist die Funktion

j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x Sünde 2x.

Im Fall (b), um die Wurzeln der charakteristischen Gleichung zu finden k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, faktorisieren wir seine linke Seite:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Daher haben wir drei charakteristische Wurzeln: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2ich. Cornu k 1 Entscheidung entspricht und ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln k 2, 3 = ± 2ich = 0 ± 2ich- zwei reelle Lösungen: und . Wir bilden die allgemeine Lösung der Gleichung:

j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 Sünde 2x.

III . Unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung gibt es Vielfache.

Lassen k 1 - echte Wurzel der Vielheit m charakteristische Gleichung (15), d.h. unter den Wurzeln gibt es m gleiche Wurzeln. Jede von ihnen entspricht jedoch derselben Lösung der Differentialgleichung (14). m Gleiche Lösungen im FSR sind unmöglich, da sie ein linear abhängiges System von Funktionen darstellen.

Es kann gezeigt werden, dass im Fall einer Mehrfachwurzel k 1 Lösungen von Gleichung (14) sind zusätzlich zu der Funktion die Funktionen

Die Funktionen sind auf der gesamten Zahlenachse linear unabhängig, da , d. h. sie können in die FSR aufgenommen werden.

Regel 2 echte charakteristische Wurzel k 1 Vielzahlen m in FSR entspricht m Lösungen:

Wenn ein k 1 - komplexe Wurzel der Vielheit m charakteristische Gleichung (15), dann gibt es eine konjugierte Wurzel k 1 Vielzahlen m. Analog erhalten wir die folgende Regel.

Regel 3. Ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln a± ib im FSR entspricht 2m reellen linear unabhängigen Lösungen:

, , ..., ,

, , ..., .

BEISPIEL 9. Finden Sie die allgemeine Lösung der Gleichung:

a) bei¢ ¢ ¢ (X) + 3bei¢ ¢ (X) + 3bei¢ (X)+ j ( X)= 0;b) IV(X) + 6bei¢ ¢ (X) + 9bei(X) = 0.

Lösung. Im Fall (a) hat die charakteristische Gleichung die Form

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k+ 1) 3 = 0,

d.h. k =- 1 - Multiplizitätswurzel 3. Basierend auf Regel 2 schreiben wir die allgemeine Lösung:

j (X)= C 1 +C 2 x + C 3 x 2 .

Die charakteristische Gleichung im Fall (b) ist die Gleichung

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

oder andernfalls,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± ich .

Wir haben ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln, jede mit Multiplizität 2. Gemäß Regel 3 wird die allgemeine Lösung geschrieben als

j (X)= C 1 +C 2 x + C 3 +C 4 x .

Aus dem Obigen folgt, dass man für jede lineare homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten ein fundamentales System von Lösungen finden und eine allgemeine Lösung bilden kann. Daher die Lösung der entsprechenden inhomogenen Gleichung für jede stetige Funktion f(x) auf der rechten Seite kann mit der Methode der Variation beliebiger Konstanten gefunden werden (siehe Abschnitt 5.3).

Beispiel r10: Finden Sie mit der Variationsmethode die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = x e 2x .

Lösung. Zuerst finden wir die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = 0. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung k 2 - k- 6 = 0 sind k 1 = 3,k 2 = - 2, ein allgemeine Lösung der homogenen Gleichung - Funktion ` bei ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Wir suchen nach einer Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form

bei( X) = AUS 1 (X)e 3X +C 2 (X)e 2X . (*)

Lassen Sie uns die Wronsky-Determinante finden

W[e 3X , z 2X ] = .

Stellen wir das Gleichungssystem (12) bezüglich der Ableitungen der unbekannten Funktionen auf AUS ¢ 1 (X) und AUS¢ 2 (X):

Wenn wir das System mit Cramers Formeln lösen, erhalten wir

Integrieren, finden wir AUS 1 (X) und AUS 2 (X):

Funktionen ersetzen AUS 1 (X) und AUS 2 (X) in Gleichheit (*) erhalten wir die allgemeine Lösung der Gleichung bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = x e 2x :

Wenn die rechte Seite einer linearen inhomogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten eine spezielle Form hat, kann eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung gefunden werden, ohne auf das Verfahren der Variation willkürlicher Konstanten zurückzugreifen.

Betrachten Sie die Gleichung mit konstanten Koeffizienten

j (n) + ein 1 J (n– 1) + ... ein n – 1 J " + ein n y = f (x), (16)

f( x) = eAxt(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

wo Pn(x) und R m(x) - Gradpolynome n und m beziehungsweise.

Private Entscheidung ja*(X) von Gleichung (16) wird durch die Formel bestimmt

bei* (X) = x se Axt(Herr(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

wo Herr(x) und Nr(x) - Gradpolynome r = max(n, m) mit unbestimmten Koeffizienten , a s gleich der Multiplizität der Wurzel k 0 = a + ib charakteristisches Polynom von Gleichung (16), während es angenommen wird s= 0 wenn k 0 ist keine charakteristische Wurzel.

Um eine bestimmte Lösung mit Formel (18) zu formulieren, müssen wir vier Parameter finden - a, b, r und s. Die ersten drei werden von der rechten Seite der Gleichung mit bestimmt r- es ist eigentlich das höchste x auf der rechten Seite gefunden. Parameter s wird gefunden, indem man die Zahl vergleicht k 0 = a + ib und die Menge aller (unter Berücksichtigung von Multiplizitäten) charakteristischen Wurzeln von Gleichung (16), die bei der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Betrachten wir Sonderfälle der Funktionsform (17):

1) bei a ¹ 0, b= 0f(x)= e Axt Pn(x);

2) wann a= 0, b ¹ 0f(x)= Pn(x) Mitosbx + Rm(x)sinbx;

3) wann a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

Bemerkung 1. Wenn P n (x) º 0 oder R m (x)º 0, dann enthält die rechte Seite der Gleichung f(x) = e ax P n (x)с osbx oder f(x) = e ax R m (x)sinbx, also nur eine der Funktionen - Kosinus oder Sinus. In der Schreibweise einer bestimmten Lösung müssen sie aber beide vorhanden sein, da sie nach Formel (18) jeweils mit einem Polynom mit unbestimmten Koeffizienten gleichen Grades r = max(n, m) multipliziert werden.

Beispiel 11. Bestimme die Form einer bestimmten Lösung einer linearen homogenen Gleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, wenn die rechte Seite der Gleichung bekannt ist f(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)Sünde 3x) und die Wurzeln der charakteristischen Gleichung:

a ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3ich,k 3, 4 = ± 1;

in ) k 1, 2 = 1 ± 3ich,k 3, 4 = 1 ± 3ich.

Lösung. Auf der rechten Seite finden wir das in der jeweiligen Lösung bei*(X), die durch Formel (18) bestimmt wird, Parameter: a= 1, b= 3, r= 2. Sie bleiben für alle drei Fälle gleich, daher die Zahl k 0 , was den letzten Parameter angibt s Formel (18) ist gleich k 0 = 1+ 3ich. Im Fall (a) gibt es keine Zahl unter den charakteristischen Wurzeln k 0 = 1 + 3ich, meint, s= 0, und die spezielle Lösung hat die Form

ja*(X) = x 0 ex(M 2 (x)cos 3x + N 2 (x)Sünde 3x) =

= ex( (Axt 2 + Bx + C)cos 3x +(EIN 1 x 2 +B 1 x + C 1)Sünde 3x.

Im Fall (b) die Zahl k 0 = 1 + 3ich kommt nur einmal unter den charakteristischen Wurzeln vor, was bedeutet, dass s= 1 und

ja*(X) = x e x((Axt 2 + Bx + C)cos 3x +(EIN 1 x 2 +B 1 x + C 1)Sünde 3x.

Für Fall (c) haben wir s= 2 und

ja*(X) = x 2 ex((Axt 2 + Bx + C)cos 3x +(Ein 1 x 2 +B 1 x + C 1)Sünde 3x.

In Beispiel 11 befinden sich im Datensatz der jeweiligen Lösung zwei Polynome 2. Grades mit unbestimmten Koeffizienten. Um eine Lösung zu finden, müssen Sie die numerischen Werte dieser Koeffizienten bestimmen. Formulieren wir eine allgemeine Regel.

Bestimmung der unbekannten Koeffizienten von Polynomen Herr(x) und Nr(x) Gleichheit (17) so oft differenziert wird, wird die Funktion ersetzt ja*(X) und seine Ableitungen in Gleichung (16). Durch Vergleich seines linken und rechten Teils erhält man ein System algebraischer Gleichungen zum Auffinden der Koeffizienten.

Beispiel 12. Finden Sie eine Lösung für die Gleichung bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = xe 2x, nachdem er eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Form der rechten Seite bestimmt hat.

Lösung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung hat die Form

bei( X) = ` bei(X)+ j*(X),

wo ` bei ( X) - die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung und ja*(X) - eine bestimmte Lösung einer inhomogenen Gleichung.

Zuerst lösen wir die homogene Gleichung bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = 0. Seine charakteristische Gleichung k 2 - k- 6 = 0 hat zwei Wurzeln k 1 = 3,k 2 = - 2, Folglich, ` bei ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X .

Wir verwenden Formel (18), um den Typ einer bestimmten Lösung zu bestimmen bei*(X). Funktion f(x) = xe 2x ein Sonderfall (a) der Formel (17) ist, während ein = 2,b= 0 und r= 1, d.h. k 0 = 2 + 0ich = 2. Aus dem Vergleich mit den charakteristischen Wurzeln schließen wir darauf s= 0. Wenn wir die Werte aller Parameter in Formel (18) einsetzen, haben wir ja*(X) = (Ach + B)e 2X .

Werte finden ABER und BEI, Finden Sie die Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung der Funktion ja*(X) = (Ach + B)e 2X :

ja*¢ (X)= Ä 2X + 2(Ach + B)e 2X = (2Ah + A + 2B)e 2x,

ja*¢ ¢ (X) = 2Ä 2X + 2(2Ah + A + 2B)e 2X = (4Ach + 4A+ 4B)e 2X .

Nach dem Ersetzen der Funktion ja*(X) und seine Ableitungen in die Gleichung, die wir haben

(4Ach + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + A + 2B)e 2X - 6(Ach + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Somit hat eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung die Form

ja*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,

und die allgemeine Lösung - bei ( X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Bemerkung 2.Für den Fall, dass das Cauchy-Problem für eine inhomogene Gleichung gestellt wird, muss man zunächst eine allgemeine Lösung der Gleichung finden

bei( X) = ,

nachdem alle numerischen Werte der Koeffizienten in bestimmt wurden bei*(X). Verwenden Sie dann die Anfangsbedingungen und setzen Sie sie in die allgemeine Lösung ein (und nicht in ja*(X)), finden Sie die Werte der Konstanten C ich.

Beispiel 13. Finden Sie eine Lösung für das Cauchy-Problem:

bei¢ ¢ (X) - bei¢ (X) - 6bei(X) = xe 2x , ja(0) = 0, j ¢ (X) = 0.

Lösung. Allgemeine Lösung dieser Gleichung

bei(X) = C 1 e 3X +C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X

wurde in Beispiel 12 gefunden. Um eine bestimmte Lösung zu finden, die die Anfangsbedingungen des gegebenen Cauchy-Problems erfüllt, erhalten wir das Gleichungssystem

Wir haben es gelöst C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Daher ist die Lösung des Cauchy-Problems die Funktion

bei(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .

Bemerkung 3(Prinzip der Superposition). Wenn in einer linearen Gleichung L n[j(x)]= f(x), wo f(x) = f 1 (x)+f 2 (x) und ja* 1 (x) - Lösung der Gleichung L n[j(x)]= f 1 (x), a ja* 2 (x) - Lösung der Gleichung L n[j(x)]= f 2 (x), dann die Funktion ja*(X)= j* 1 (x)+ j* 2 (x) ist Lösung der Gleichung L n[j(x)]= f(x).

BEISPIEL 14. Geben Sie die Form der allgemeinen Lösung der linearen Gleichung an

bei¢ ¢ (X) + 4bei(X) = x + sinx.

Lösung. Allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

` bei(x) = C 1 cos 2x + C 2 Sünde 2x,

seit der charakteristischen Gleichung k 2 + 4 = 0 hat Wurzeln k 1, 2 = ± 2ich.Die rechte Seite der Gleichung entspricht nicht der Formel (17), aber wenn wir die Notation einführen f 1 (x) = x, f 2 (x) = Sünde und wende das Superpositionsprinzip an , dann kann eine bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form gefunden werden ja*(X)= j* 1 (x)+ j* 2 (x), wo ja* 1 (x) - Lösung der Gleichung bei¢ ¢ (X) + 4bei(X) = x, a ja* 2 (x) - Lösung der Gleichung bei¢ ¢ (X) + 4bei(X) = Sünde. Nach Formel (18)

ja* 1 (x) = Axt + B,ja* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.

Dann eine bestimmte Lösung

ja*(X) \u003d Axt + B + Ccosx + Dsinx,

daher hat die allgemeine Lösung die Form

bei(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X +A x + B + Ccosx + Dsinx.

BEISPIEL 15. Der Stromkreis besteht aus einer in Reihe geschalteten Stromquelle mit EMK e(t) = E Sündew t, Induktivität L und Behälter AUS, und