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Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele:

• das Konzept gerader und ungerader Funktionen zu bilden, die Fähigkeit zu lehren, diese Eigenschaften beim Studium von Funktionen zu bestimmen und zu verwenden, Plotten;
• die kreative Aktivität der Schüler zu entwickeln, logisches Denken, die Fähigkeit zu vergleichen, zu verallgemeinern;
• Fleiß, mathematische Kultur zu pflegen; Kommunikationsfähigkeiten entwickeln .

Ausrüstung: Multimedia-Installation, interaktives Whiteboard, Handouts.

Arbeitsformen: Frontal und Gruppe mit Elementen von Such- und Forschungsaktivitäten.

Informationsquellen:

1. Algebra Klasse 9 A.G. Mordkovich. Lehrbuch.
2. Algebra Grad 9 A.G. Mordkovich. Aufgabenbuch.
3. Algebra Klasse 9. Aufgaben für das Lernen und die Entwicklung der Schüler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisatorischer Moment

Festlegung von Zielen und Zielen des Unterrichts.

2. Überprüfung der Hausaufgaben

Nr. 10.17 (Problembuch 9. Klasse A.G. Mordkovich).

a) bei = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 für X ~ 0,4
4. f(X) >0 bei X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Die Funktion steigt mit X € [– 2; + ∞)
6. Die Funktion wird von unten eingeschränkt.
7. bei Miete = - 3, bei Naib existiert nicht
8. Die Funktion ist stetig.

(Haben Sie den Feature-Exploration-Algorithmus verwendet?) Gleiten.

2. Sehen wir uns die Tabelle an, nach der Sie auf der Folie gefragt wurden.

Füllen Sie den Tisch
	Domain	Funktion Nullen	Konstanzintervalle		Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Wissensaktualisierung

– Funktionen sind gegeben.
– Geben Sie den Definitionsbereich für jede Funktion an.
– Vergleichen Sie den Wert jeder Funktion für jedes Paar von Argumentwerten: 1 und – 1; 2 und - 2.
– Für welche der gegebenen Funktionen im Definitionsbereich gelten die Gleichheiten f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (Trage die Daten in die Tabelle ein) Gleiten

		f(1) und f(– 1)	f(2 und f(– 2)	Diagramme	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		und nicht definiert.

4. Neues Material

- Während dieser Arbeit, Jungs, haben wir eine weitere Eigenschaft der Funktion enthüllt, die Ihnen unbekannt ist, aber nicht weniger wichtig als die anderen - dies ist die Gleichmäßigkeit und Seltsamkeit der Funktion. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Gerade und ungerade Funktionen“. Unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man die geraden und ungeraden Funktionen bestimmt, und die Bedeutung dieser Eigenschaft beim Studium von Funktionen und beim Zeichnen herauszufinden.
Suchen wir also die Definitionen im Lehrbuch und lesen (S. 110) . Gleiten

Def. eines Funktion bei = f (X) definiert auf der Menge X aufgerufen eben, wenn für irgendeinen Wert XЄ X läuft Gleichheit f (–x) = f (x). Nenne Beispiele.

Def. 2 Funktion y = f(x), definiert auf der Menge X aufgerufen wird seltsam, wenn für irgendeinen Wert XЄ X die Gleichheit f(–х)= –f(х) ist erfüllt. Nenne Beispiele.

Wo sind uns die Begriffe „gerade“ und „ungerade“ begegnet?
Welche dieser Funktionen wird Ihrer Meinung nach gerade sein? Wieso den? Welche sind seltsam? Wieso den?
Für jede Funktion des Formulars bei= x n, wo n eine ganze Zahl ist, kann argumentiert werden, dass die Funktion ungerade ist n ist ungerade und die Funktion ist gerade für n- eben.
– Funktionen anzeigen bei= und bei = 2X– 3 ist weder gerade noch ungerade, weil Gleichberechtigung nicht erfüllt f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Das Studium der Frage, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, wird das Studium einer Funktion für Parität genannt. Gleiten

Die Definitionen 1 und 2 befassten sich mit den Werten der Funktion bei x und -x, daher wird davon ausgegangen, dass die Funktion auch bei dem Wert definiert ist X, und bei - X.

ODA 3. Wenn eine Zahlenmenge zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element x enthält, dann ist die Menge X heißt symmetrische Menge.

Beispiele:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sind symmetrische Mengen und , [–5;4] sind nicht symmetrisch.

- Haben auch Funktionen einen Definitionsbereich - eine symmetrische Menge? Die Ungeraden?
- Wenn D( f) eine asymmetrische Menge ist, was ist dann die Funktion?
– Also, wenn die Funktion bei = f(X) gerade oder ungerade ist, dann ist sein Definitionsbereich D( f) ist eine symmetrische Menge. Aber ist das Gegenteil wahr, wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine symmetrische Menge ist, dann ist sie gerade oder ungerade?
- Das Vorhandensein einer symmetrischen Menge des Definitionsbereichs ist also eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.
– Wie können wir also die Funktion für Parität untersuchen? Versuchen wir, einen Algorithmus zu schreiben.

Gleiten

Algorithmus zum Untersuchen einer Funktion auf Parität

1. Bestimmen Sie, ob der Definitionsbereich der Funktion symmetrisch ist. Wenn nicht, dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Wenn ja, gehe zu Schritt 2 des Algorithmus.

2. Schreiben Sie einen Ausdruck für f(–X).

3. Vergleichen f(–X).und f(X):

• wenn f(–X).= f(X), dann ist die Funktion gerade;
• wenn f(–X).= – f(X), dann ist die Funktion ungerade;
• wenn f(–X) ≠ f(X) und f(–X) ≠ –f(X), dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

Beispiele:

Untersuchen Sie die Funktion für Parität a) bei= x 5 +; b) bei= ; in) bei= .

Lösung.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrische Menge.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e Funktion h(x)= x 5 + ungerade.

b) y =,

bei = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrische Menge, daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. Ist die gegebene Menge symmetrisch: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Untersuchen Sie die Funktion auf Parität:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. In Abb. gezeichnet bei = f(X), für alle X, erfüllt die Bedingung X? 0.
Zeichnen Sie die Funktion bei = f(X), wenn bei = f(X) ist eine gerade Funktion.

3. In Abb. gezeichnet bei = f(X), für alle x die x erfüllen? 0.
Zeichnen Sie die Funktion bei = f(X), wenn bei = f(X) ist eine ungerade Funktion.

Gegenseitiger Check an gleiten.

6. Hausaufgaben: №11.11, 11.21,11.22;

Beweis der geometrischen Bedeutung der Paritätseigenschaft.

*** (Belegung der Option USE).

1. Die ungerade Funktion y \u003d f (x) ist auf der gesamten reellen Linie definiert. Für jeden nicht negativen Wert der Variablen x stimmt der Wert dieser Funktion mit dem Wert der Funktion g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Finde den Wert der Funktion h( X) = bei X = 3.

7. Zusammenfassung

. Verwenden Sie dazu Millimeterpapier oder einen grafischen Taschenrechner. Wählen Sie für die unabhängige Variable beliebig viele Zahlenwerte aus x (\displaystyle x) und stecken Sie sie in die Funktion, um die Werte der abhängigen Variablen zu berechnen y (\displaystyle y). Trage die gefundenen Koordinaten der Punkte in die Koordinatenebene ein und verbinde dann diese Punkte, um einen Graphen der Funktion zu erstellen.

• Ersetzen Sie positive Zahlenwerte in die Funktion x (\displaystyle x) und entsprechenden negativen numerischen Werten. Zum Beispiel eine gegebene Funktion f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Ersetzen Sie die folgenden Werte darin x (\displaystyle x):

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Symmetrie bezieht sich auf das Spiegelbild des Graphen um die y-Achse. Wenn der Teil des Diagramms rechts von der y-Achse (positive Werte der unabhängigen Variablen) mit dem Teil des Diagramms links von der y-Achse (negative Werte der unabhängigen Variablen) übereinstimmt, ist die Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Wenn die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, ist die Funktion gerade.

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Der Ursprung ist der Punkt mit den Koordinaten (0,0). Symmetrie um den Ursprung bedeutet, dass ein positiver Wert y (\displaystyle y)(mit einem positiven Wert x (\displaystyle x)) entspricht einem negativen Wert y (\displaystyle y)(mit einem negativen Wert x (\displaystyle x)), umgekehrt. Ungerade Funktionen haben Symmetrie bezüglich des Ursprungs.

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion irgendeine Symmetrie hat. Der letzte Funktionstyp ist eine Funktion, deren Graph keine Symmetrie hat, dh es gibt kein Spiegelbild sowohl relativ zur y-Achse als auch relativ zum Ursprung. Zum Beispiel eine gegebene Funktion.

• Setzen Sie mehrere positive und entsprechende negative Werte in die Funktion ein x (\displaystyle x):
• Nach den erhaltenen Ergebnissen besteht keine Symmetrie. Werte y (\displaystyle y) für entgegengesetzte Werte x (\displaystyle x) stimmen nicht überein und sind nicht entgegengesetzt. Die Funktion ist also weder gerade noch ungerade.
• Bitte beachten Sie, dass die Funktion f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kann so geschrieben werden: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). In dieser Form geschrieben, scheint die Funktion gerade zu sein, weil es einen geraden Exponenten gibt. Aber dieses Beispiel beweist, dass die Form einer Funktion nicht schnell bestimmt werden kann, wenn die unabhängige Variable in Klammern eingeschlossen ist. In diesem Fall müssen Sie die Klammern öffnen und die resultierenden Exponenten analysieren.

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Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen

Die Funktion sei durch die Formel gegeben: y=2x^(2)-3 . Indem Sie der unabhängigen Variablen x einen beliebigen Wert zuweisen, können Sie mit dieser Formel die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y berechnen. Wenn zum Beispiel x=-0.5 , dann erhalten wir unter Verwendung der Formel, dass der entsprechende Wert von y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 ist.

Bei einem gegebenen Wert des Arguments x in der Formel y=2x^(2)-3 kann nur ein entsprechender Funktionswert berechnet werden. Die Funktion kann als Tabelle dargestellt werden:

x	−2	−1	0	1	2	3
j	−4	−3	−2	−1	0	1

Anhand dieser Tabelle können Sie herausfinden, dass dem Wert des Arguments -1 der Wert der Funktion -3 entspricht; und der Wert x=2 entspricht y=0 und so weiter. Es ist auch wichtig zu wissen, dass jeder Argumentwert in der Tabelle nur einem Funktionswert entspricht.

Weitere Funktionen können über Diagramme eingestellt werden. Mit Hilfe des Graphen wird festgestellt, welcher Wert der Funktion mit einem bestimmten Wert von x korreliert. Meistens ist dies ein Näherungswert der Funktion.

Gerade und ungerade Funktion

Die Funktion ist gleiche Funktion, wenn f(-x)=f(x) für jedes x aus dem Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch um die Oy-Achse.

Die Funktion ist komische Funktion wenn f(-x)=-f(x) für jedes x im Definitionsbereich. Eine solche Funktion ist symmetrisch um den Ursprung O (0;0) .

Die Funktion ist nicht mal, noch seltsam und angerufen allgemeine Funktion wenn es keine Symmetrie um die Achse oder den Ursprung hat.

Wir untersuchen die folgende Funktion auf Parität:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) mit symmetrischem Definitionsbereich um den Ursprung. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Daher ist die Funktion f(x)=3x^(3)-7x^(7) ungerade.

Periodische Funktion

Die Funktion y=f(x) , in deren Definitionsbereich f(x+T)=f(x-T)=f(x) für jedes x gilt, wird aufgerufen periodische Funktion mit Periode T \neq 0 .

Wiederholung des Graphen der Funktion auf einem beliebigen Segment der Abszissenachse, das die Länge T hat.

Intervalle, in denen die Funktion positiv ist, dh f (x) > 0 - Segmente der Abszissenachse, die den Punkten des Graphen der Funktion entsprechen, die über der Abszissenachse liegen.

f(x) > 0 an (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lücken wo die Funktion negativ ist, also f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funktionseinschränkung

von unten begrenzt es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X zu nennen, wenn es eine Zahl A gibt, für die die Ungleichung f(x) \geq A für jedes x \in X gilt.

Ein Beispiel einer unten begrenzten Funktion: y=\sqrt(1+x^(2)) da y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 für jedes x .

von oben begrenzt eine Funktion y=f(x), x \in X wird aufgerufen, wenn es eine Zahl B gibt, für die die Ungleichung f(x) \neq B für jedes x \in X gilt.

Ein Beispiel für eine unten begrenzte Funktion: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] da y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 für jedes x \in [-1;1] .

Begrenzt es ist üblich, eine Funktion y=f(x), x \in X zu nennen, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, für die die Ungleichung \left | f(x) \rechts | \neq K für jedes x \in X .

Beispiel einer beschränkten Funktion: y=\sin x ist auf dem ganzen Zahlenstrahl beschränkt, weil \links | \sin x \right | \neq 1.

Zunehmende und abnehmende Funktion

Es ist üblich, von einer Funktion zu sprechen, die auf dem betrachteten Intervall als zunimmt zunehmende Funktion wenn ein größerer Wert von x einem größeren Wert der Funktion y=f(x) entspricht. Daraus ergibt sich, dass aus dem betrachteten Intervall zwei beliebige Werte des Arguments x_(1) und x_(2) und x_(1) > x_(2) y(x_(1)) sein werden. > y(x_(2)) .

Es wird eine Funktion aufgerufen, die auf dem betrachteten Intervall abnimmt abnehmende Funktion wenn ein größerer Wert von x einem kleineren Wert der Funktion y(x) entspricht. Daraus ergibt sich, dass aus dem betrachteten Intervall zwei beliebige Werte des Arguments x_(1) und x_(2) und x_(1) > x_(2) y(x_(1)) sein werden.< y(x_{2}) .

Funktionswurzeln es ist üblich, die Punkte zu nennen, an denen die Funktion F=y(x) die Abszissenachse schneidet (sie werden als Ergebnis der Lösung der Gleichung y(x)=0 erhalten).

a) Wenn eine gerade Funktion für x > 0 zunimmt, dann fällt sie für x ab< 0

b) Wenn eine gerade Funktion für x > 0 abnimmt, dann steigt sie für x an< 0

c) Wenn eine ungerade Funktion für x > 0 zunimmt, dann nimmt sie auch für x zu< 0

d) Wenn eine ungerade Funktion für x > 0 abnimmt, dann wird sie auch für x abnehmen< 0

Funktionsextreme

Minimalpunkt der Funktion y=f(x) ist es üblich, einen solchen Punkt x=x_(0) zu nennen, in dem seine Nachbarschaft andere Punkte haben wird (außer dem Punkt x=x_(0) ), und für sie dann die Ungleichung f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - Bezeichnung der Funktion am Punkt min.

Höchstpunkt der Funktion y=f(x) ist es üblich, einen solchen Punkt x=x_(0) zu nennen, in dessen Nachbarschaft andere Punkte liegen (außer dem Punkt x=x_(0) ), und dann die Ungleichung f(x) wird für sie zufrieden sein< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Notwendige Bedingung

Nach dem Satz von Fermat: f"(x)=0, dann tritt bei der an der Stelle x_(0) differenzierbaren Funktion f(x) an dieser Stelle ein Extremum auf.

Ausreichender Zustand

1. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus ändert, dann ist x_(0) der Minimalpunkt;
2. x_(0) - wird nur dann ein maximaler Punkt, wenn die Ableitung das Vorzeichen von minus nach plus ändert, wenn sie durch den stationären Punkt x_(0) geht.

Der größte und kleinste Wert der Funktion im Intervall

Berechnungsschritte:

1. Suche nach Ableitung f"(x) ;
2. Stationäre und kritische Punkte der Funktion werden gefunden und diejenigen ausgewählt, die zum Intervall gehören;
3. Die Werte der Funktion f(x) finden sich an den stationären und kritischen Punkten und Enden des Segments. Das kleinste der Ergebnisse wird sein der kleinste Wert der Funktion, und mehr - größte.

Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss in Bezug auf den Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.

- (Math.) Eine Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen, auch wenn sie sich nicht ändert, wenn die unabhängige Variable nur das Vorzeichen ändert, dh wenn f (x) \u003d f (x). Wenn f (x) = f (x), dann heißt die Funktion f (x) ungerade. Zum Beispiel y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

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