Konzept positiver und negativer Zahlen. Negative Zahlen

Chalina Irina

Präsentation zur Geschichte der negativen Zahlen.

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Negative Zahlen Chalina Irina

Mathematik - vivat! Ruhm, Ruhm, Ruhm! Sprich ihr kein Ständchen an, ruf ihr kein Bravo zu. Es waren einmal 2 Zahlen, Lebte, trauerte nicht. Das eine ist ein Minus, das andere ein Plus, Wir waren fröhliche Freunde. Zeichen sind in allem anders, aber Sie können setzen, um die Zahl zu addieren, die sein sollte. Plus durch Plus - wir bekommen ein Plus, Plus durch Minus - es wird ein Minus geben. Nun, wenn wir (-20) (-8) addieren, erhalten wir am Ende die Zahl (-28).

Negative Zahl Eine negative Zahl ist ein Element der Menge negativer Zahlen, die (zusammen mit Null) in der Mathematik auftauchten, als die Menge der natürlichen Zahlen erweitert wurde. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, eine Subtraktionsoperation für beliebige Zahlen bereitzustellen. Als Ergebnis der Erweiterung erhält man eine Menge (Ring) von ganzen Zahlen, bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null. Alle negativen Zahlen, und nur sie, sind kleiner als Null. Auf der Zahlenachse stehen negative Zahlen links von Null. Für sie sowie für positive Zahlen ist eine Ordnungsrelation definiert, die es Ihnen ermöglicht, eine ganze Zahl mit einer anderen zu vergleichen.

Historischer Bezug Die Geschichte sagt, dass sich die Menschen lange Zeit nicht an negative Zahlen gewöhnen konnten. Negative Zahlen schienen ihnen unverständlich, sie wurden nicht verwendet, sie sahen einfach nicht die Bedeutung in ihnen. Positive Zahlen wurden als "Gewinn" und negative als "Schulden", "Verlust" interpretiert. Im alten Ägypten, Babylon und im antiken Griechenland wurden keine negativen Zahlen verwendet, und wenn negative Wurzeln von Gleichungen erhalten wurden (wenn sie subtrahiert wurden), wurden sie als unmöglich abgelehnt. Zum ersten Mal wurden negative Zahlen in China teilweise legalisiert, und dann (etwa ab dem 7. Jahrhundert) in Indien, wo sie als Schulden (Mangel) interpretiert oder als Zwischenstufe anerkannt wurden, die für die Berechnung des endgültigen positiven Ergebnisses nützlich ist. Aber in der Antike gab es weder für Zahlen noch für Handlungen + oder - Zeichen. Richtig, Multiplikation und Division für negative Zahlen waren noch nicht definiert. Auch die Griechen verwendeten zunächst keine Vorzeichen, bis Diophantus von Alexandria im 3. Jahrhundert begann, das „-“-Zeichen beim Lösen linearer Gleichungen zu verwenden. Das „+“-Zeichen erschien als Ergebnis der entgegengesetzten Aktion zum „-“-Zeichen, indem das Minus durchgestrichen wurde. Es war dem Plus, das wir jetzt verwenden, sehr ähnlich. Er kannte bereits die Vorzeichenregel und wusste, wie man negative Zahlen multipliziert. Er betrachtete sie jedoch nur als vorübergehende Werte.

Die Nützlichkeit und Legalität negativer Zahlen wurde nach und nach etabliert. Schon der indische Mathematiker Brahmagupta (7. Jh.) hat sie den positiven gleichgestellt. In Europa kam die Anerkennung tausend Jahre später, und schon damals wurden negative Zahlen lange Zeit als „falsch“, „eingebildet“ oder „absurd“ bezeichnet. Sogar Pascal dachte, dass 0 − 4 = 0 ist, da nichts kleiner als nichts sein kann. Bombelli und Girard hingegen hielten negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen. Ein Echo dieser Zeit ist die Tatsache, dass in der modernen Arithmetik die Operation der Subtraktion und das Vorzeichen negativer Zahlen mit demselben Symbol (Minus) bezeichnet werden, obwohl dies algebraisch völlig unterschiedliche Konzepte sind. Im 17. Jahrhundert, mit dem Aufkommen der analytischen Geometrie, erhielten negative Zahlen eine visuelle geometrische Darstellung auf dem Zahlenstrahl. Von diesem Moment an kommt ihre völlige Gleichheit. Dennoch steckte die Theorie der negativen Zahlen lange Zeit in den Kinderschuhen. Zum Beispiel wurde das seltsame Verhältnis 1: (-1) = (-1): 1 aktiv diskutiert - darin ist der erste Term links größer als der zweite und rechts - umgekehrt, und es stellt sich heraus das größere ist gleich dem kleineren ("Arnauds Paradoxon"). Es war auch nicht klar, welche Bedeutung die Multiplikation negativer Zahlen hat und warum das Produkt negativer Zahlen positiv ist; es gab hitzige diskussionen zu diesem thema. Eine vollständige und ziemlich strenge Theorie der negativen Zahlen wurde erst im 19. Jahrhundert von William Hamilton und Hermann Grassmann geschaffen.

Eigenschaften negativer Zahlen Negative Zahlen folgen fast denselben algebraischen Regeln wie natürliche Zahlen, haben aber einige Besonderheiten. Wenn eine Menge positiver Zahlen nach unten begrenzt ist, dann ist jede Menge negativer Zahlen nach oben begrenzt. Bei der Multiplikation von ganzen Zahlen gilt die Vorzeichenregel: Das Produkt von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ist negativ, bei gleichem - positiv. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert werden, wird das Vorzeichen der Ungleichung umgekehrt. Zum Beispiel die Ungleichung 3 −10 multiplizieren. Bei der Division mit Rest kann der Quotient ein beliebiges Vorzeichen haben, aber der Rest ist per Konvention immer nicht negativ (sonst ist er nicht eindeutig bestimmt). Zu jeder natürlichen Zahl (n) gibt es genau eine negative Zahl, bezeichnet mit (-n), die n zu Null ergänzt: Beide Zahlen heißen Gegensätze zueinander. Das Subtrahieren einer Ganzzahl (a) von einer anderen Ganzzahl (b) entspricht dem Addieren von b mit dem entgegengesetzten Vorzeichen von a: (b)+ (-a)

Grundregeln Regel 1. Die Summe zweier negativer Zahlen ist eine negative Zahl gleich der Summe der Module dieser Zahlen. Beispiel - Die Summe der Zahlen (-3) und (-8) ist gleich minus 11. Regel 2. Das Produkt zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ist eine negative Zahl, deren Modul gleich dem Produkt der Moduln der Faktoren ist. Beispiel - Das Produkt von minus drei und fünf ist gleich minus fünfzehn, da beim Multiplizieren zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen eine negative Zahl erhalten wird und ihr Modul gleich dem Produkt der Moduli der Faktoren ist, dh drei und fünf . Regel 3. Um negative Zahlen zu markieren, ist es notwendig, den Koordinatenstrahl mit dem gegenüberliegenden Strahl zu ergänzen und die entsprechenden Koordinaten darauf zu setzen. Beispiel. Die Zahlen auf der Koordinatenlinie rechts von Null werden als positiv und links als negativ bezeichnet.

Modul negativer Zahl Abstand vom Punkt A(a) zum Ursprung, d.h. bis zum Punkt O(o), heißt der Modul der Zahl a und wird mit /a/ bezeichnet. Der Modul einer negativen Zahl ist gleich der ihr entgegengesetzten Zahl. Das Modul, das nichts mit positiven Zahlen und Null macht, entfernt das Minuszeichen von negativen Zahlen. Das Modul wird durch vertikale Linien angezeigt, die auf beiden Seiten der Nummer geschrieben sind. Zum Beispiel / -3 / = 3; / -2,3 / = 2,3; / -526/7 / = 526/7. Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner ist, und die kleiner, deren Modul größer ist. (Bei dieser Gelegenheit scherzen sie normalerweise, dass negative Zahlen nicht wie Menschen sind, im Gegenteil)

Fazit Negative Zahlen sind heutzutage üblich: Sie werden zum Beispiel verwendet, um Temperaturen unter Null darzustellen. Daher erscheint es überraschend, dass es vor einigen Jahrhunderten keine spezifische Interpretation negativer Zahlen gab und negative Zahlen, die im Laufe von Berechnungen auftauchten, als "imaginär" bezeichnet wurden. Negative Zahlen werden nicht nur bei der Temperaturmessung benötigt. Wenn ein Unternehmen beispielsweise ein Einkommen von 1 Million Rubel erzielt oder umgekehrt einen Verlust von 1 Million Rubel erlitten hat, wie sollte sich dies in Finanzdokumenten widerspiegeln? Im ersten Fall werden 1.000.000 Rubel erfasst. oder + 1.000.000 Rubel. Und im zweiten (- 1.000.000 Rubel).

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! -

Die natürlichen Zahlen, ihre Gegenzahlen und die Zahl 0 heißen ganze Zahlen. positive Zahlen(ganz und gebrochen), negative Zahlen(Ganzzahl und Bruchzahl) und die Zahl 0 bilden die Gruppe Rationale Zahlen.

Rationale Zahlen mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet R. Die Zahl 0 bezieht sich auf ganzzahlige rationale Zahlen. Wir haben uns schon früher mit natürlichen und gebrochenen positiven Zahlen bekannt gemacht. Betrachten wir die negativen Zahlen in der Zusammensetzung rationaler Zahlen genauer.

Eine negative Zahl wird seit der Antike mit dem Wort "Pflicht" in Verbindung gebracht, während positive Zahl kann mit den Wörtern „Verfügbarkeit“ oder „Einkommen“ in Verbindung gebracht werden. Das bedeutet, dass positive ganze und gebrochene Zahlen in Berechnungen das sind, was wir haben, und negative ganze und gebrochene Zahlen, was Schulden ausmacht. Dementsprechend ist das Ergebnis der Berechnungen die Differenz zwischen dem verfügbaren Betrag und unseren Schulden.

Negative Ganz- und Bruchzahlen werden mit einem Minuszeichen ("-") vor der Zahl geschrieben. Der numerische Wert einer negativen Zahl ist ihr Modul. Beziehungsweise, der Absolutwert einer Zahl ist der Wert einer Zahl (sowohl positiv als auch negativ) mit einem Pluszeichen. Der absolute Wert einer Zahl wird wie folgt geschrieben: |2|; |-2|.

Jede rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl entspricht einem einzelnen Punkt. Betrachten Sie die Zahlenachse (Abbildung unten) und bezeichnen Sie einen Punkt darauf Ö.

Punkt Ö setzen Sie die Zahl 0 in Übereinstimmung Die Zahl 0 dient als Grenze zwischen positive und negative Zahlen: rechts von 0 - positive Zahlen, dessen Wert von 0 bis plus unendlich variiert, und links von 0 - negative Zahlen, dessen Wert ebenfalls von 0 bis minus unendlich variiert.

Regel. Jede Zahl rechts von der Zahlenachse ist größer als die Zahl links davon.

Basierend auf dieser Regel nehmen positive Zahlen von links nach rechts zu und negative von rechts nach links ab (in diesem Fall steigt der Modul einer negativen Zahl).

Eigenschaften von Zahlen auf einem Zahlenstrahl

Jede positive Zahl und 0 ist größer als jede negative Zahl.

Jede positive Zahl ist größer als 0. Jede negative Zahl ist kleiner als 0.

Jede negative Zahl ist kleiner als eine positive Zahl. Eine positive oder negative Zahl rechts vom Zahlenstrahl ist größer als eine positive oder negative Zahl links vom Zahlenstrahl.

Definition. Zahlen, die sich nur im Vorzeichen voneinander unterscheiden, heißen Gegenzahlen.

Zum Beispiel die Zahlen 2 und -2, 6 und -6. -10 und 10. Entgegengesetzte Zahlen befinden sich auf der Zahlenachse in entgegengesetzten Richtungen vom Punkt O, aber im gleichen Abstand von ihm.

Bruchzahlen, die in der Schreibweise gewöhnliche oder dezimale Brüche sind, folgen auf der Zahlenachse denselben Regeln wie ganze Zahlen. Von den beiden Brüchen ist derjenige größer, der rechts auf der Zahlenachse steht; negative Brüche sind kleiner als positive Brüche; jeder positive Bruch ist größer als 0; Jeder negative Bruch ist kleiner als 0.

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Einführung

Die Welt der Zahlen ist sehr mysteriös und interessant. Zahlen sind sehr wichtig in unserer Welt. Ich möchte so viel wie möglich über den Ursprung der Zahlen lernen, über ihre Bedeutung in unserem Leben. Wie wendet man sie an und welche Rolle spielen sie in unserem Leben?

Letztes Jahr haben wir im Mathematikunterricht begonnen, uns mit dem Thema „Positive und negative Zahlen“ zu befassen. Ich hatte eine Frage, wann tauchten negative Zahlen auf, in welchem Land, welche Wissenschaftler haben sich mit diesem Thema beschäftigt. Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass eine negative Zahl ein Element der Menge der negativen Zahlen ist, die (zusammen mit Null) in der Mathematik auftauchten, als die Menge der natürlichen Zahlen erweitert wurde. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, eine Subtraktionsoperation für beliebige Zahlen bereitzustellen. Als Ergebnis der Erweiterung erhält man eine Menge (Ring) von ganzen Zahlen, bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null.

Daher beschloss ich, die Geschichte der negativen Zahlen zu untersuchen.

Der Zweck dieser Arbeit ist es, die Entstehungsgeschichte negativer und positiver Zahlen zu untersuchen.

Studiengegenstand - negative Zahlen und positive Zahlen

Geschichte positiver und negativer Zahlen

An negative Zahlen konnte man sich lange nicht gewöhnen. Negative Zahlen schienen ihnen unverständlich, sie wurden nicht verwendet, sie sahen einfach nicht viel Bedeutung darin. Diese Zahlen erschienen viel später als natürliche Zahlen und gewöhnliche Brüche.

Die ersten Informationen über negative Zahlen finden sich bei chinesischen Mathematikern im 2. Jahrhundert vor Christus. BC e. und dann waren nur die Regeln der Addition und Subtraktion positiver und negativer Zahlen bekannt; Multiplikations- und Divisionsregeln wurden nicht angewendet.

Positive Größen wurden in der chinesischen Mathematik "chen" genannt, negative - "fu"; Sie wurden in verschiedenen Farben dargestellt: "chen" - rot, "fu" - schwarz. Dies ist in dem Buch Arithmetik in neun Kapiteln (Autor Zhang Can) zu sehen. Diese Darstellungsweise wurde in China bis Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Notation für negative Zahlen vorschlug - die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich schräg von rechts nach links durchgestrichen.

Erst im 7. Jahrhundert Indische Mathematiker begannen ausgiebig Gebrauch von negativen Zahlen zu machen, betrachteten sie jedoch mit einigem Misstrauen. Bhashara schrieb direkt: "Die Menschen billigen keine abstrakten negativen Zahlen ...". So formulierte der indische Mathematiker Brahmagupta die Additions- und Subtraktionsregeln: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schulden; die Summe von Eigentum und Null ist Eigentum; Die Summe zweier Nullen ist Null ... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum zu nehmen, nehmen sie ihren Betrag. "Die Summe zweier Eigenschaften ist Eigentum."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Die Inder nannten die positiven Zahlen "dhana" oder "swa" (Eigentum) und die negativen - "rina" oder "kshaya" (Schulden). Indische Wissenschaftler versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, und interpretierten sie aus der Sicht von Handelsberechnungen. Wenn der Händler 5000 r hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Wenn er 3.000 Rubel hat und für 5.000 Rubel einkauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 vorgenommen wird, aber das Ergebnis ist die Zahl 2000 mit einem Punkt oben, was "zweitausend Schulden" bedeutet. Diese Interpretation war künstlich, der Kaufmann fand die Höhe der Schuld nie durch Subtrahieren von 3000 - 5000, sondern immer durch Subtrahieren von 5000 - 3000.

Etwas später, im alten Indien und China, rieten sie, anstelle der Worte "Schulden von 10 Yuan" einfach "10 Yuan" zu schreiben, zeichneten diese Hieroglyphen jedoch mit schwarzer Tinte. Und die Zeichen "+" und "-" waren in der Antike weder für Zahlen noch für Handlungen.

Auch die Griechen verwendeten zunächst keine Zeichen. Der antike griechische Wissenschaftler Diophantus erkannte überhaupt keine negativen Zahlen, und wenn beim Lösen einer Gleichung eine negative Wurzel erhalten wurde, verwarf er sie als "unzugänglich". Und Diophantus versuchte, Probleme zu formulieren und Gleichungen aufzustellen, um negative Wurzeln zu vermeiden, aber bald begann Diophantus von Alexandria, die Subtraktion mit einem Vorzeichen zu bezeichnen.

Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen wurden bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals bei Diophantus. Er benutzte sogar ein Sonderzeichen für sie. Gleichzeitig verwendet Diophantus Redewendungen wie „Lasst uns das Negative zu beiden Seiten hinzufügen“ und formuliert sogar die Zeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positiv, während ein Negativ multipliziert mit einem Positiv ergibt Ein Negativ."

In Europa wurden ab dem 12. bis 13. Jahrhundert negative Zahlen verwendet, jedoch bis zum 16. Jahrhundert. Die meisten Wissenschaftler hielten sie für "falsch", "eingebildet" oder "absurd", im Gegensatz zu positiven Zahlen - "wahr". Positive Zahlen wurden auch als "Eigentum" und negative Zahlen - als "Schulden", "Mangel" interpretiert. Sogar der berühmte Mathematiker Blaise Pascal argumentierte, dass 0 − 4 = 0 ist, da nichts kleiner als nichts sein kann. In Europa kam Leonardo Fibonacci von Pisa Anfang des 13. Jahrhunderts der Idee einer negativen Größe nahe genug. In einem Problemlösungswettbewerb mit den Hofmathematikern Friedrichs II. wurde Leonardo von Pisa gebeten, ein Problem zu lösen: Es galt, das Kapital mehrerer Personen zu finden. Fibonacci ist negativ. "Dieser Fall", sagte Fibonacci, "ist unmöglich, außer zu akzeptieren, dass man kein Kapital, sondern Schulden hat." Explizit negative Zahlen wurden jedoch erstmals Ende des 15. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker Shuquet verwendet. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra, The Science of Numbers in Three Parts. Schückes Symbolik nähert sich der Moderne.

Die Arbeit des französischen Mathematikers, Physikers und Philosophen René Descartes trug zur Anerkennung negativer Zahlen bei. Er schlug eine geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen vor - er führte die Koordinatenlinie ein. (1637).

Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Ursprung 0 liegen, negative Zahlen - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen trug zu ihrer Anerkennung bei.

1544 betrachtet der deutsche Mathematiker Michael Stiefel zum ersten Mal negative Zahlen als Zahlen kleiner als Null (d. h. „weniger als nichts“). Von diesem Moment an werden negative Zahlen nicht mehr als Schuld angesehen, sondern auf eine ganz neue Art und Weise. Stiefel selbst schrieb: „Null liegt zwischen wahren und absurden Zahlen…“

Fast gleichzeitig mit Stiefel verteidigte Bombelli Raffaele (um 1530-1572), ein italienischer Mathematiker und Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte, die Idee negativer Zahlen.

In ähnlicher Weise hielt Girard negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen.

Jeder Physiker hat ständig mit Zahlen zu tun: Er misst immer etwas, rechnet, rechnet. Überall in seinen Papieren - Zahlen, Zahlen und Zahlen. Wenn Sie sich die Aufzeichnungen eines Physikers genau ansehen, werden Sie feststellen, dass er beim Schreiben von Zahlen häufig die Zeichen „+“ und „-“ verwendet. (Zum Beispiel: Thermometer, Tiefen- und Höhenskala)

Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die Theorie der negativen Zahlen hat ihre Entwicklung abgeschlossen, und "absurde Zahlen" haben allgemeine Anerkennung gefunden.

Definition des Zahlenbegriffs

In der modernen Welt verwendet eine Person ständig Zahlen, ohne auch nur an ihre Herkunft zu denken. Ohne Kenntnis der Vergangenheit ist es unmöglich, die Gegenwart zu verstehen. Zahlen sind eines der Grundkonzepte der Mathematik. Der Zahlbegriff entwickelte sich in enger Verbindung mit dem Studium der Größen; diese Verbindung hält bis heute an. In allen Zweigen der modernen Mathematik muss man unterschiedliche Größen berücksichtigen und Zahlen verwenden. Zahl ist eine Abstraktion, die verwendet wird, um Objekte zu quantifizieren. Entstanden in der primitiven Gesellschaft aus den Bedürfnissen des Zählens, veränderte und bereicherte sich der Zahlenbegriff und wurde zum wichtigsten mathematischen Begriff.

Für den Begriff „Zahl“ gibt es viele Definitionen.

Die erste wissenschaftliche Definition der Zahl hat Euklid in seinen Elementen gegeben, die er offenbar von seinem Landsmann Eudoxos von Knidos (um 408 – etwa 355 v. Chr.) übernommen hat: „Eine Einheit ist das, wonach jedes der vorhandenen Dinge benannt wird eines. Eine Zahl ist eine Menge aus Einheiten. So definierte der russische Mathematiker Magnitsky in seiner Arithmetik (1703) den Zahlenbegriff. Schon vor Euklid gab Aristoteles folgende Definition: „Eine Zahl ist eine Menge, die mit Hilfe von Einheiten gemessen wird.“ In seiner „General Arithmetic“ (1707) schreibt der große englische Physiker, Mechaniker, Astronom und Mathematiker Isaac Newton: „Mit Zahl meinen wir nicht so sehr eine Menge von Einheiten, sondern das abstrakte Verhältnis einer Größe zu einer anderen Größe derselben Art, als Einheit genommen. Es gibt drei Arten von Zahlen: ganzzahlig, gebrochen und irrational. Eine ganze Zahl ist das, was durch eine Einheit gemessen wird; gebrochen - ein Vielfaches der Einheit, irrational - eine Zahl, die nicht der Einheit entspricht.

Der Mariupoler Mathematiker S. F. Klyuykov trug auch zur Definition des Zahlenbegriffs bei: "Zahlen sind mathematische Modelle der realen Welt, die der Mensch für sein Wissen erfunden hat." Er führte auch die sogenannten „Funktionszahlen“ in die traditionelle Zahlenklassifikation ein, also das, was man auf der ganzen Welt üblicherweise als Funktionen bezeichnet.

Beim Zählen von Gegenständen entstanden natürliche Zahlen. Das habe ich in der 5. Klasse gelernt. Dann lernte ich, dass das menschliche Bedürfnis, Mengen zu messen, nicht immer als ganze Zahl ausgedrückt wird. Nach der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen auf gebrochene Zahlen wurde es möglich, jede ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl zu teilen (mit Ausnahme der Division durch Null). Es gibt Bruchzahlen. Eine ganze Zahl von einer anderen ganzen Zahl zu subtrahieren, wenn das Subtrahierte größer ist als das Reduzierte, schien lange Zeit unmöglich. Interessant für mich war die Tatsache, dass viele Mathematiker lange Zeit negative Zahlen nicht erkannten, weil sie glaubten, dass sie keinen realen Phänomenen entsprächen.

Der Ursprung der Wörter „Plus“ und „Minus“

Die Begriffe kommen von den Wörtern plus – „mehr“, minus – „weniger“. Zunächst wurden Aktionen mit den Anfangsbuchstaben p bezeichnet; m. Viele Mathematiker bevorzugten oder Die Entstehung moderner Zeichen "+", "-" ist nicht ganz klar. Das „+“-Zeichen stammt wahrscheinlich von der Abkürzung et, also "und". Es mag sich jedoch aus der Handelspraxis ergeben haben: Die verkauften Weinmaße wurden auf dem Fass mit einem „-“ gekennzeichnet und bei der Restaurierung des Bestandes durchgestrichen, ein „+“-Zeichen wurde erhalten.

Wenn man Italien Geld leiht, setzten die Wucherer die Höhe der Schuld und einen Bindestrich vor den Namen des Schuldners, wie unser Minus, und als der Schuldner das Geld zurückgab, strichen sie es durch, so etwas wie unser Plus.

Moderne Zeichen "+" erschienen in Deutschland im letzten Jahrzehnt des 15. Jahrhunderts. im Buch von Widmann, das eine Anleitung zur Rechnung für Kaufleute war (1489). Der Tscheche Jan Widman schrieb bereits "+" und "-" für Addition und Subtraktion.

Wenig später verfasste der deutsche Gelehrte Michel Stiefel die Complete Arithmetic, die 1544 veröffentlicht wurde. Es enthält solche Einträge für Zahlen: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Zahlen der ersten Art nannte er „weniger als nichts“ oder „niedriger als nichts“. Zahlen der zweiten Art nannte er „mehr als nichts“ oder „höher als nichts“. Natürlich verstehen Sie diese Namen, denn „nichts“ ist 0.

Negative Zahlen in Ägypten

Trotz solcher Zweifel wurden die Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen jedoch bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals bei Diophantus. Er hat sogar ein Sonderzeichen dafür verwendet (jetzt verwenden wir dafür das Minuszeichen). Zwar streiten sich die Gelehrten darüber, ob das diophantische Zeichen genau eine negative Zahl oder nur eine Subtraktionsoperation bezeichnete, denn negative Zahlen kommen bei Diophant nicht isoliert vor, sondern nur in Form positiver Differenzen; und er betrachtet nur rationale positive Zahlen als Antworten in Problemen. Aber gleichzeitig verwendet Diophantus solche Wendungen wie „Lasst uns das Negative zu beiden Seiten hinzufügen“ und formuliert sogar die Zeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positiv, während ein Negativ mit einem Positiv multipliziert wird ergibt ein Negativ“ (was heute üblicherweise formuliert wird: „Ein Minus durch ein Minus ergibt ein Plus, ein Minus durch ein Plus ergibt ein Minus“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negative Zahlen im alten Asien

Positive Größen wurden in der chinesischen Mathematik "chen" genannt, negative - "fu"; Sie wurden in verschiedenen Farben dargestellt: "chen" - rot, "fu" - schwarz. Diese Darstellungsweise wurde in China bis Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Notation für negative Zahlen vorschlug - die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich schräg von rechts nach links durchgestrichen. Indische Wissenschaftler versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, und interpretierten sie aus der Sicht von Handelsberechnungen.

Wenn der Händler 5000 r hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Wenn er 3.000 Rubel hat und für 5.000 Rubel einkauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 vorgenommen wird, aber das Ergebnis ist die Zahl 2000 mit einem Punkt oben, was "zweitausend Schulden" bedeutet.

Diese Deutung war künstlicher Natur, der Kaufmann fand die Höhe der Schuld nie durch Subtrahieren von 3000 - 5000, sondern subtrahierte immer 5000 - 3000. Außerdem war es auf dieser Grundlage nur mit Mühe möglich, die Regeln für das Addieren von und zu erklären "Zahlen mit Punkten" subtrahieren, aber in keiner Weise die Regeln der Multiplikation oder Division erklären sollten.

In den V-VI Jahrhunderten erscheinen negative Zahlen und sind in der indischen Mathematik sehr weit verbreitet. In Indien wurden negative Zahlen systematisch verwendet, ähnlich wie wir es heute tun. Indische Mathematiker verwenden seit dem 7. Jahrhundert negative Zahlen. n. e.: Brahmagupta formulierte mit ihnen die Regeln für arithmetische Operationen. In seinem Werk lesen wir: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schuld; die Summe von Eigentum und Null ist Eigentum; Die Summe zweier Nullen ist Null ... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum zu nehmen, nehmen sie ihren Betrag.

Die Inder nannten die positiven Zahlen "dhana" oder "swa" (Eigentum) und die negativen - "rina" oder "kshaya" (Schulden). Allerdings gab es in Indien Probleme mit dem Verständnis und der Akzeptanz negativer Zahlen.

Negative Zahlen in Europa

Europäische Mathematiker haben sie lange nicht gutgeheißen, weil die Interpretation von "Eigentumsschulden" Verwirrung und Zweifel hervorrief. In der Tat, wie kann man Eigentum und Schulden „addieren“ oder „subtrahieren“, welche wirkliche Bedeutung kann das „Multiplizieren“ oder „Dividieren“ von Eigentum durch Schulden haben? (G.I. Glazer, Geschichte der Mathematik in den Schulklassen IV-VI. Moskau, Bildung, 1981)

Deshalb haben sich negative Zahlen nur mit Mühe ihren Platz in der Mathematik erkämpft. In Europa kam Leonardo Fibonacci von Pisa der Idee einer negativen Größe zu Beginn des 13. Jahrhunderts nahe genug, aber die explizite Verwendung negativer Zahlen wurde erstmals Ende des 15. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker Shuquet verwendet. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra, The Science of Numbers in Three Parts. Schukes Symbolik nähert sich der Moderne (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Moderne Interpretation negativer Zahlen

Danach widmet Stiefel seine Arbeit ganz der Mathematik, in der er ein brillanter Autodidakt war. Einer der ersten in Europa, nachdem Nikola Shuke begann, mit negativen Zahlen zu operieren.

Der berühmte französische Mathematiker René Descartes beschreibt in Geometry (1637) die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen; Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Ursprung 0 liegen, negative - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen führte zu einem klareren Verständnis der Natur negativer Zahlen und trug zu ihrer Erkennung bei.

Fast gleichzeitig mit Stiefel verteidigte R. Bombelli Raffaele (ca. 1530-1572), ein italienischer Mathematiker und Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte, die Idee negativer Zahlen.

Bombelli und Girard hingegen hielten negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen. Die moderne Bezeichnung positiver und negativer Zahlen mit den Zeichen „+“ und „-“ wurde vom deutschen Mathematiker Widman verwendet. Der Ausdruck „niedriger als nichts“ zeigt, dass Stiefel und einige andere sich positive und negative Zahlen als Punkte auf einer vertikalen Skala (wie die Skala eines Thermometers) vorstellten. Die später vom Mathematiker A. Girard entwickelte Idee negativer Zahlen als Punkte auf einer bestimmten geraden Linie, die auf der anderen Seite der Null liegen als positive, erwies sich als entscheidend dafür, diesen Zahlen das Bürgerrecht zu verleihen, insbesondere als Folge davon die Entwicklung der Koordinatenmethode von P. Fermat und R. Descartes .

Fazit

In meiner Arbeit habe ich die Geschichte der negativen Zahlen erforscht. Während meiner Recherche kam ich zu folgendem Schluss:

Die moderne Wissenschaft trifft auf Mengen von so komplexer Natur, dass es für ihre Untersuchung notwendig ist, neue Arten von Zahlen zu erfinden.

Bei der Einführung neuer Nummern sind zwei Umstände von großer Bedeutung:

a) die Handlungsregeln für sie müssen vollständig definiert sein und dürfen nicht zu Widersprüchen führen;

b) neue Zahlensysteme sollen entweder zur Lösung neuer Probleme beitragen oder bereits bekannte Lösungen verbessern.

Bis heute gibt es sieben allgemein anerkannte Ebenen der Verallgemeinerung von Zahlen: natürliche, rationale, reelle, komplexe, Vektor-, Matrix- und transfinite Zahlen. Einige Wissenschaftler schlagen vor, Funktionen als funktionale Zahlen zu betrachten und den Grad der Verallgemeinerung von Zahlen auf zwölf Stufen zu erweitern.

Ich werde versuchen, all diese Zahlenreihen zu studieren.

Anwendung

GEDICHT

"Addition von negativen Zahlen und Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen"

Wenn Sie folden möchten

Die Zahlen sind negativ, es gibt nichts zu trauern:

Wir müssen schnell die Summe der Module herausfinden,

Dann nimm das Minuszeichen und füge es hinzu.

Werden Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen angegeben,

Um ihre Summe zu finden, sind wir genau richtig.

Ein größeres Modul ist schnell sehr wählbar.

Davon ziehen wir den kleineren ab.

Das Wichtigste ist, das Schild nicht zu vergessen!

Welches wirst du setzen? - Wir wollen fragen

Wir verraten dir ein Geheimnis, einfacher geht es nicht,

Zeichen, wo der Modul größer ist, schreiben Sie in die Antwort.

Regeln zum Addieren positiver und negativer Zahlen

Füge ein Minus mit einem Minus hinzu,

Sie können ein Minus bekommen.

Wenn Sie Minus, Plus hinzufügen,

Das wird sich als peinlich herausstellen?!

Wählen Sie das Vorzeichen der Zahl

Was stärker ist, nicht gähnen!

Nehmen Sie ihre Module weg

Ja, schließe Frieden mit all den Zahlen!

Die Multiplikationsregeln können auch so interpretiert werden:

"Der Freund meines Freundes ist mein Freund": + ∙ + = + .

„Der Feind meines Feindes ist mein Freund“: ─ ∙ ─ = +.

"Ein Freund meines Feindes ist mein Feind": + ∙ ─ = ─.

"Der Feind meines Freundes ist mein Feind": ─ ∙ + = ─.

Das Multiplikationszeichen ist ein Punkt, es hat drei Zeichen:

Decken Sie zwei von ihnen ab, der dritte wird die Antwort geben.

Zum Beispiel.

Wie bestimmt man das Vorzeichen des Produkts 2∙(-3)?

Schließen wir die Plus- und Minuszeichen mit unseren Händen. Es gibt ein Minuszeichen

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Als Sonderzahl hat sie kein Vorzeichen.

Beispiele für das Schreiben von Zahlen: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Die letzte Zahl hat kein Vorzeichen und ist somit positiv.

Beachten Sie, dass Plus und Minus das Vorzeichen für Zahlen angeben, aber nicht für Literalvariablen oder algebraische Ausdrücke. Zum Beispiel in Formeln −t; a+b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Die Plus- und Minuszeichen geben nicht das Vorzeichen des vorangestellten Ausdrucks an, sondern das Vorzeichen der arithmetischen Operation, sodass das Vorzeichen des Ergebnisses beliebig sein kann, es wird erst bestimmt, nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde.

Neben der Arithmetik wird der Zeichenbegriff auch in anderen Zweigen der Mathematik verwendet, unter anderem für nicht-numerische mathematische Objekte (siehe unten). Das Konzept eines Zeichens ist auch in jenen Zweigen der Physik wichtig, in denen physikalische Größen in zwei Klassen unterteilt werden, die bedingt als positiv und negativ bezeichnet werden - zum Beispiel elektrische Ladungen, positive und negative Rückkopplung, verschiedene Anziehungs- und Abstoßungskräfte.

Nummernschild

Positive und negative Zahlen

Null ist also kein Vorzeichen zugeordnet + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) ist die gleiche Zahl in der Arithmetik. In der mathematischen Analyse die Bedeutung von Symbolen + 0 (\displaystyle +0) und − 0 (\displaystyle -0) kann variieren, sehen Sie sich das an. Negative und positive Null ; In der Informatik kann die Computercodierung von zwei Nullen (ganzzahliger Typ) unterschiedlich sein, siehe direkter Code.

Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten werden einige weitere nützliche Begriffe eingeführt:

Nummer nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
Nummer nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.
Positive Nicht-Null-Zahlen und negative Nicht-Null-Zahlen werden manchmal (um zu betonen, dass sie Nicht-Null sind) als "streng positiv" bzw. "streng negativ" bezeichnet.

Dieselbe Terminologie wird manchmal für reelle Funktionen verwendet. Beispielsweise wird die Funktion aufgerufen positiv wenn alle seine Werte positiv sind, nicht negativ, wenn alle seine Werte nicht negativ sind usw. Sie sagen auch, dass die Funktion in einem bestimmten Intervall ihrer Definition positiv/negativ ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion finden Sie im Artikel Quadratwurzel#Komplexe Zahlen .

Modul (Absolutwert) einer Zahl

Wenn die Nummer x (\displaystyle x) das Vorzeichen fallen lassen, wird der resultierende Wert aufgerufen Modul oder absoluter Wert Zahlen x (\displaystyle x), es ist bezeichnet | x | . (\displaystyle |x|.) Beispiele: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Für beliebige reelle Zahlen a , b (\displaystyle a,b) die folgenden Eigenschaften gelten.

Vorzeichen von nicht numerischen Objekten

Winkelzeichen

Der Wert des Winkels in der Ebene gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, andernfalls ist er negativ. Zwei Rotationsfälle werden ähnlich klassifiziert:

Drehung auf einer Ebene – z. B. Drehung um (–90°) im Uhrzeigersinn;
eine Drehung im Raum um eine orientierte Achse wird in der Regel als positiv gewertet, wenn die „Gimlet-Regel“ erfüllt ist, andernfalls als negativ.

Richtungszeichen

In der analytischen Geometrie und Physik werden Fortschritte entlang einer bestimmten geraden Linie oder Kurve oft bedingt in positive und negative unterteilt. Eine solche Einteilung kann von der Problemstellung oder dem gewählten Koordinatensystem abhängen. Wenn Sie beispielsweise die Länge eines Bogens einer Kurve berechnen, ist es oft praktisch, dieser Länge ein Minuszeichen in einer von zwei möglichen Richtungen zuzuweisen.

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höchstwertiges Bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
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1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen, verwenden die meisten Computer

Geschichte der negativen Zahlen

Es ist bekannt, dass beim Zählen von Gegenständen natürliche Zahlen entstanden sind. Das menschliche Bedürfnis, Größen zu messen und die Tatsache, dass das Ergebnis der Messung nicht immer als ganze Zahl ausgedrückt wird, führte zur Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen. Null- und Bruchzahlen wurden eingeführt.

Der Prozess der historischen Entwicklung des Zahlbegriffs endete damit nicht. Der erste Anstoß zur Erweiterung des Zahlenbegriffs waren jedoch nicht immer ausschließlich praktische Bedürfnisse der Menschen. Es kam auch vor, dass die Probleme der Mathematik selbst eine Erweiterung des Zahlenbegriffs erforderten. Genau das geschah mit der Entstehung negativer Zahlen. Die Lösung vieler Probleme, insbesondere derjenigen, die mit Hilfe von Gleichungen gelöst wurden, führte zur Subtraktion einer größeren Zahl von einer kleineren Zahl. Dies erforderte die Einführung neuer Nummern.

Bereits vor etwa 2100 Jahren tauchten im alten China erstmals negative Zahlen auf. Sie wussten auch, wie man positive und negative Zahlen addiert und subtrahiert, die Regeln der Multiplikation und Division wurden nicht angewendet.

Im II Jahrhundert. BC e. Der chinesische Gelehrte Zhang Can schrieb Arithmetik in neun Kapiteln. Aus dem Inhalt des Buches geht hervor, dass es sich nicht um ein völlig eigenständiges Werk handelt, sondern um eine Überarbeitung anderer Bücher, die lange vor Zhang Can geschrieben wurden. In diesem Buch werden zum ersten Mal in der Wissenschaft negative Größen angetroffen. Sie werden von ihnen anders verstanden als wir sie verstehen und anwenden. Er hat kein vollständiges und klares Verständnis der Natur negativer Größen und der Regeln für den Umgang mit ihnen. Er verstand jede negative Zahl als Schuld und jede positive Zahl als Eigentum. Er führte Operationen mit negativen Zahlen nicht auf die gleiche Weise durch wie wir, sondern mit pflichtbewussten Überlegungen. Wenn wir beispielsweise einer Schuld eine weitere Schuld hinzufügen, ist das Ergebnis eine Schuld, kein Eigentum (t, dh gemäß unserem (- x) + (- x) \u003d - 2x. Das Minuszeichen war damals nicht bekannt Um also Zahlen zu unterscheiden, die Schulden ausdrücken, schrieb Zhan Can sie mit einer anderen Tinte als die Zahlen, die Eigentum ausdrücken (positiv).

Positive Größen in der chinesischen Mathematik wurden „chen“ genannt und rot dargestellt, während negative Größen „fu“ genannt und schwarz dargestellt wurden. Diese Darstellungsweise wurde in China bis Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Notation für negative Zahlen vorschlug - die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich schräg von rechts nach links durchgestrichen. Obwohl chinesische Gelehrte negative Größen als Schulden und positive Größen als Reichtum erklärten, vermieden sie dennoch ihre weit verbreitete Verwendung, da diese Zahlen unverständlich erschienen, die Handlungen mit ihnen unklar waren. Führte das Problem zu einer negativen Lösung, so versuchte man (wie die Griechen) die Bedingung zu ersetzen, um am Ende eine positive Lösung zu erhalten.

In den V-VI Jahrhunderten erscheinen negative Zahlen und sind in der indischen Mathematik sehr weit verbreitet. Zum Rechnen benutzten die damaligen Mathematiker eine Zähltafel, auf der Zahlen mit Rechenstäben dargestellt wurden. Da es damals noch keine + und - Zeichen gab, wurden positive Zahlen mit roten Stäbchen dargestellt, während negative mit schwarzen Stäbchen „Schulden“ und „Mangel“ genannt wurden. Positive Zahlen wurden als "Eigenschaft" interpretiert. Anders als in China waren in Indien die Regeln für Multiplikation und Division bereits bekannt. In Indien wurden negative Zahlen systematisch verwendet, ähnlich wie wir es heute tun. Bereits im Werk des herausragenden indischen Mathematikers und Astronomen Brahmagupta (598 - ca. 660) lesen wir: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist eine Schuld; die Summe von Eigentum und Null ist Eigentum; Die Summe zweier Nullen ist Null ... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum zu nehmen, nehmen sie ihren Betrag.

Indische Mathematiker verwendeten beim Lösen von Gleichungen negative Zahlen, und die Subtraktion wurde durch Addition mit einer ebenso entgegengesetzten Zahl ersetzt.

Zusammen mit negativen Zahlen führten indische Mathematiker das Konzept der Null ein, das es ihnen ermöglichte, ein dezimales Zahlensystem zu erstellen. Aber lange Zeit wurde die Null nicht als Zahl anerkannt, "nullus" auf Latein - keine, das Fehlen einer Zahl. Und erst nach X Jahrhunderten, im 17. Jahrhundert, wird Null mit der Einführung des Koordinatensystems zu einer Zahl.

Auch die Griechen verwendeten zunächst keine Zeichen. Der antike griechische Wissenschaftler Diophantus erkannte überhaupt keine negativen Zahlen, und wenn beim Lösen einer Gleichung eine negative Wurzel erhalten wurde, verwarf er sie als „unzugänglich“. Und Diophantus versuchte, Probleme zu formulieren und Gleichungen aufzustellen, um negative Wurzeln zu vermeiden, aber bald begann Diophantus von Alexandria, die Subtraktion mit einem Vorzeichen zu bezeichnen.

Trotz der Tatsache, dass seit langem negative Zahlen verwendet werden, wurden sie mit einem gewissen Misstrauen behandelt, da sie als nicht ganz echt betrachtet wurden, und sie als Eigentumsschulden interpretiert wurden, was zu Verwirrung führte: Wie kann man Eigentum und Schulden „hinzufügen“ und „abziehen“?

In Europa kam die Anerkennung tausend Jahre später. Anfang des 13. Jahrhunderts kam Leonardo von Pisa (Fibonacci) der Idee einer negativen Größe nahe genug, der sie auch einführte, um finanzielle Probleme mit Schulden zu lösen und kam zu dem Schluss, dass negative Größen in einer Weise eingenommen werden sollten Sinn gegenüber positiven. In jenen Jahren wurden die sogenannten mathematischen Duelle entwickelt. Bei einem Problemlösungswettbewerb mit den Hofmathematikern Friedrichs II. wurde Leonardo von Pisa (Fibonacci) gebeten, ein Problem zu lösen: Es galt, das Kapital mehrerer Personen zu finden. Fibonacci ist negativ. „Dieser Fall“, sagte Fibonacci, „ist unmöglich, außer zu akzeptieren, dass man kein Kapital, sondern Schulden hat.“

1202 verwendete er erstmals negative Zahlen, um seine Verluste zu berechnen. Explizit negative Zahlen wurden jedoch erstmals Ende des 15. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker Shuquet verwendet.

Trotzdem waren negative Zahlen bis ins 17. Jahrhundert „in der Feder“ und wurden lange als „falsch“, „eingebildet“ oder „absurd“ bezeichnet. Und sogar im 17. Jahrhundert argumentierte der berühmte Mathematiker Blaise Pascal, dass 0-4 = 0 ist, weil es keine solche Zahl gibt, die kleiner als nichts sein kann, und bis zum 19. Jahrhundert verwarfen Mathematiker oft negative Zahlen in ihren Berechnungen, weil sie sie für bedeutungslos hielten ...

Bombelli und Girard hingegen hielten negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen. Ein Echo dieser Zeit ist die Tatsache, dass in der modernen Arithmetik die Operation der Subtraktion und das Vorzeichen negativer Zahlen mit demselben Symbol (Minus) bezeichnet werden, obwohl dies algebraisch völlig unterschiedliche Konzepte sind.

In Italien setzen Geldverleiher, die Geld verleihen, den Betrag der Schuld und einen Bindestrich vor den Namen des Schuldners, wie unser Minus, und wenn der Schuldner das Geld zurückgibt, streichen sie es durch, so etwas wie unser Plus. Kann ein Plus ein durchgestrichenes Minus sein?

Moderne Notation für positive und negative Zahlen mit Vorzeichen

"+" und "-" wurden von dem deutschen Mathematiker Widman verwendet.

Der deutsche Mathematiker Michael Stiefel führt in seinem Buch „Vollständige Arithmetik“ (1544) erstmals den Begriff der negativen Zahlen als Zahlen kleiner Null (weniger als nichts) ein. Dies war ein sehr großer Schritt nach vorne, um negative Zahlen zu rechtfertigen. Er hat es ermöglicht, negative Zahlen nicht als Schulden zu betrachten, sondern auf eine ganz andere Art, auf eine neue Art und Weise. Aber Stiefel nannte negative Zahlen absurd; Aktionen mit ihnen, in seinen Worten, "gehen auch absurd, auf den Kopf".

Nach Stiefel wurden die Wissenschaftler zuversichtlicher, Operationen mit negativen Zahlen durchzuführen.

Zunehmend wurden negative Problemlösungen beibehalten und interpretiert.

Im 17. Jahrhundert Der große französische Mathematiker René Descartes schlug vor, negative Zahlen auf dem Zahlenstrahl links von Null zu platzieren. Es erscheint uns heute alles so einfach und verständlich, aber es bedurfte achtzehn Jahrhunderte wissenschaftlichen Denkens vom chinesischen Wissenschaftler Zhang Can bis zu Descartes, um zu dieser Idee zu gelangen.

In den Schriften von Descartes sollen negative Zahlen eine echte Interpretation erhalten haben. Descartes und seine Anhänger erkannten sie den positiven gleich. Aber bei Operationen mit negativen Zahlen war nicht alles klar (zum Beispiel Multiplikation mit ihnen), so dass viele Wissenschaftler negative Zahlen nicht als reelle Zahlen erkennen wollten. Unter Wissenschaftlern brach ein großer und langer Streit über das Wesen negativer Zahlen aus, darüber, ob negative Zahlen als reelle Zahlen anerkannt werden sollten oder nicht. Dieser Streit nach Descartes dauerte etwa 200 Jahre. In dieser Zeit hat die Mathematik als Wissenschaft eine sehr große Entwicklung erfahren, und bei jedem Schritt gab es negative Zahlen. Mathematik ist ohne negative Zahlen undenkbar, unmöglich geworden. Immer mehr Wissenschaftlern wurde klar, dass negative Zahlen reelle Zahlen sind, genau wie positive Zahlen reelle, tatsächlich existierende Zahlen.

Mit Mühe eroberten negative Zahlen ihren Platz in der Mathematik. Egal wie sehr Wissenschaftler versuchen, sie zu vermeiden. Es gelang ihnen jedoch nicht immer. Das Leben stellte die Wissenschaft vor neue und neue Aufgaben, und immer öfter führten diese Aufgaben zu negativen Lösungen in China, in Indien und in Europa. Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts. Die Theorie der negativen Zahlen hat ihre Entwicklung abgeschlossen, und "absurde Zahlen" haben allgemeine Anerkennung gefunden.

Wie entstehen in der Physik positive und noch mehr negative Zahlen?

Ein Physiker befasst sich mit verschiedenen physikalischen Größen, die verschiedene Eigenschaften von Objekten und Phänomenen um uns herum beschreiben. Die Höhe eines Gebäudes, die Entfernung von der Schule zum Haus, die Masse und Temperatur eines menschlichen Körpers, die Geschwindigkeit eines Autos, das Volumen eines Glases, die Stärke eines elektrischen Stroms, der Brechungsindex von Wasser, die Kraft von B. eine nukleare Explosion, die Spannung zwischen Elektroden, die Dauer einer Unterrichtsstunde oder einer Pause, die elektrische Ladung einer Metallkugel – all das sind Beispiele für physikalische Größen. Eine physikalische Größe kann gemessen werden.

Man sollte nicht glauben, dass irgendeine Eigenschaft eines Objekts oder Naturphänomens gemessen werden kann und daher eine physikalische Größe ist. So ist es überhaupt nicht. Wir sagen zum Beispiel: „Was für schöne Berge ringsherum! Und was für ein schöner See da unten! Und was für eine schöne Fichte da drüben auf diesem Felsen! Aber wir können die Schönheit der Berge, des Sees oder dieser einsamen Fichte nicht messen!" Das bedeutet, dass ein Merkmal wie Schönheit keine physikalische Größe ist.

Messungen physikalischer Größen werden mit Messgeräten wie Lineal, Uhr, Waage etc. durchgeführt.

Zahlen in der Physik ergeben sich also aus der Messung physikalischer Größen, und der durch Messung erhaltene Zahlenwert einer physikalischen Größe hängt ab: davon, wie diese physikalische Größe definiert ist; aus den verwendeten Maßeinheiten.

Schauen wir uns die Skala eines herkömmlichen Außenthermometers an.

Es hat die auf Skala 1 gezeigte Form. Es sind nur positive Zahlen darauf markiert, und daher müssen bei der Angabe des Zahlenwerts der Temperatur zusätzlich 20 Grad Hitze (über Null) erklärt werden. Das ist für Physiker unpraktisch - Sie können keine Wörter in eine Formel einsetzen! Daher wird in der Physik eine Skala mit negativen Zahlen verwendet.

Schauen wir uns die physische Weltkarte an. Die Landflächen darauf sind in verschiedenen Grün- und Brauntönen gemalt, während die Meere und Ozeane in Blau und Blau gemalt sind. Jede Farbe hat ihre eigene Höhe (für Land) oder Tiefe (für Meere und Ozeane). Auf der Karte ist eine Tiefen- und Höhenskala eingezeichnet, die anzeigt, welche Höhe (Tiefe) diese oder jene Farbe bedeutet,

Bei einer solchen Skala reicht es aus, die Zahl ohne zusätzliche Wörter anzugeben: Positive Zahlen entsprechen verschiedenen Orten an Land, die sich über der Meeresoberfläche befinden; negative Zahlen entsprechen Punkten unter der Meeresoberfläche.

In der von uns betrachteten Höhenskala wird die Höhe der Wasseroberfläche im Weltmeer als Null angenommen. Dieser Maßstab wird in der Geodäsie und Kartographie verwendet.

Dagegen nehmen wir im Alltag meist die Höhe der Erdoberfläche (an dem Ort, an dem wir uns befinden) als Nullhöhe.

3.1 Wie wurden die Jahre in der Antike gezählt?

Es ist in verschiedenen Ländern unterschiedlich. Zum Beispiel begann im alten Ägypten jedes Mal, wenn ein neuer König zu regieren begann, die Zählung der Jahre aufs Neue. Das erste Regierungsjahr des Königs wurde als das erste Jahr betrachtet, das zweite als das zweite und so weiter. Als dieser König starb und ein neuer an die Macht kam, kam wieder das erste Jahr, dann das zweite, das dritte. Die Jahreszählung der Einwohner einer der ältesten Städte der Welt, Rom, war anders. Die Römer betrachteten das Gründungsjahr ihrer Stadt als das erste, das nächste - das zweite und so weiter.

Die von uns verwendete Jahreszahl ist vor langer Zeit entstanden und wird mit der Verehrung von Jesus Christus, dem Gründer der christlichen Religion, in Verbindung gebracht. Die Zählung der Jahre seit der Geburt Jesu Christi wurde nach und nach in verschiedenen Ländern übernommen. In unserem Land wurde es vor dreihundert Jahren von Zar Peter dem Großen eingeführt. Die Zeit, die von der Geburt Christi an gezählt wird, nennen wir UNSERE ÄRA (und wir schreiben kurz NE). Unsere Ära dauert zweitausend Jahre an.

Fazit

Die meisten Menschen kennen negative Zahlen, aber es gibt Menschen, deren Darstellung von negativen Zahlen falsch ist.

Negative Zahlen sind am häufigsten in den exakten Wissenschaften, in Mathematik und Physik.

In der Physik entstehen negative Zahlen durch Messungen, Berechnungen physikalischer Größen. Eine negative Zahl gibt die Größe der elektrischen Ladung an. In anderen Wissenschaften wie Geographie und Geschichte kann eine negative Zahl durch Wörter ersetzt werden, zum Beispiel unter dem Meeresspiegel und in der Geschichte - 157 v. e.

Literatur

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2. Vigasin A. A., Lehrbuch „Geschichte der Antike“, Klasse 5, 2001

3. Vygovskaya V. V. "Pourochnye-Entwicklung in Mathematik: Klasse 6" - M.: VAKO, 2008

4. „Positive und negative Zahlen“, Mathelehrbuch für die 6. Klasse, 2001.

5. Kinderlexikon „Ich kenne die Welt“, Moskau, „Aufklärung“, 1995.

6 .. "Mathematik studieren", Bildungsausgabe, 1994

7. "Elemente des Historismus im Mathematikunterricht an Gymnasien", Moskau, "Prosveshchenie", 1982

8. Nurk E. R., Telgmaa A. E. „Mathematics Grade 6“, Moskau, „Enlightenment“, 1989

9. "Geschichte der Mathematik in der Schule", Moskau, "Prosveshchenie", 1981

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