Einer der bekannten Effekte, die die Wellennatur des Lichts bestätigen, sind Beugung und Interferenz. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Spektroskopie, bei der Beugungsgitter zur Analyse der spektralen Zusammensetzung elektromagnetischer Strahlung eingesetzt werden. Die Formel, die die Position der durch dieses Gitter gegebenen Hauptmaxima beschreibt, wird in diesem Artikel diskutiert.
Was sind die Phänomene der Beugung und Interferenz?
Bevor man sich mit der Herleitung der Formel für ein Beugungsgitter befasst, sollte man sich mit den Phänomenen vertraut machen, aufgrund derer dieses Gitter nützlich ist, nämlich mit Beugung und Interferenz.
Beugung ist der Prozess der Bewegungsänderung der Wellenfront, wenn sie auf ihrem Weg auf ein undurchsichtiges Hindernis trifft, dessen Abmessungen mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Wenn zum Beispiel Sonnenlicht durch ein kleines Loch geleitet wird, kann man an der Wand keinen kleinen leuchtenden Punkt beobachten (was passieren sollte, wenn sich das Licht in einer geraden Linie ausbreitet), sondern einen leuchtenden Fleck von einiger Größe. Diese Tatsache zeugt von der Wellennatur des Lichts.
Interferenz ist ein weiteres Phänomen, das für Wellen einzigartig ist. Seine Essenz liegt in der gegenseitigen Auferlegung von Wellen. Wenn die Wellenformen mehrerer Quellen aufeinander abgestimmt (kohärent) sind, kann ein stabiles Muster abwechselnd heller und dunkler Bereiche auf dem Bildschirm beobachtet werden. Die Minima in einem solchen Bild werden durch das Eintreffen von Wellen an einem bestimmten Punkt in Gegenphase (pi und -pi) erklärt, und die Maxima sind das Ergebnis von Wellen, die den betrachteten Punkt in einer Phase (pi und pi) treffen.
Beide beschriebenen Phänomene wurden erstmals von einem Engländer erklärt, als er 1801 die Beugung von monochromatischem Licht an zwei dünnen Spalten untersuchte.
Das Huygens-Fresnel-Prinzip und Nah- und Nahfeldnäherungen
Die mathematische Beschreibung der Phänomene Beugung und Interferenz ist eine nicht triviale Aufgabe. Um die genaue Lösung zu finden, müssen komplexe Berechnungen durchgeführt werden, die die Maxwellsche Theorie elektromagnetischer Wellen beinhalten. Dennoch zeigte der Franzose Augustin Fresnel in den 1920er Jahren, dass man diese Phänomene mit Hilfe von Huygens' Ideen über sekundäre Wellenquellen erfolgreich beschreiben kann. Diese Idee führte zur Formulierung des Huygens-Fresnel-Prinzips, das derzeit der Herleitung aller Formeln für die Beugung an Hindernissen beliebiger Form zugrunde liegt.
Trotzdem ist es auch mit Hilfe des Huygens-Fresnel-Prinzips nicht möglich, das Problem der Beugung in allgemeiner Form zu lösen, daher wird bei der Gewinnung von Formeln auf einige Näherungen zurückgegriffen. Die wichtigste ist eine flache Wellenfront. Es ist diese Wellenform, die auf das Hindernis fallen muss, damit eine Reihe von mathematischen Berechnungen vereinfacht werden können.
Die nächste Annäherung ist die Position des Schirms, wo das Beugungsmuster relativ zu dem Hindernis projiziert wird. Diese Position wird durch die Fresnel-Zahl beschrieben. Es wird so berechnet:
Dabei sind a die geometrischen Abmessungen des Hindernisses (z. B. ein Schlitz oder ein rundes Loch), λ die Wellenlänge, D der Abstand zwischen Schirm und Hindernis. Wenn für ein bestimmtes Experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, dann findet Nahfeldnäherung oder Fresnel-Beugung statt.
Der Unterschied zwischen Fraunhofer- und Fresnel-Beugung liegt in den unterschiedlichen Bedingungen für das Interferenzphänomen bei kleinen und großen Abständen vom Hindernis.
Die Herleitung der Formel für die Hauptmaxima des Beugungsgitters, die später im Artikel angegeben wird, beinhaltet die Berücksichtigung der Fraunhofer-Beugung.
Beugungsgitter und ihre Typen
Bei diesem Gitter handelt es sich um eine wenige Zentimeter große Platte aus Glas oder transparentem Kunststoff, auf der undurchsichtige Striche gleicher Dicke aufgebracht sind. Die Striche befinden sich in einem konstanten Abstand d voneinander. Dieser Abstand wird als Gitterperiode bezeichnet. Zwei weitere wichtige Eigenschaften des Geräts sind die Gitterkonstante a und die Anzahl der transparenten Schlitze N. Der Wert von a bestimmt die Anzahl der Schlitze pro 1 mm Länge, ist also umgekehrt proportional zur Periode d.
Es gibt zwei Arten von Beugungsgittern:
- Transparent, wie oben beschrieben. Das Beugungsmuster eines solchen Gitters ergibt sich aus dem Durchgang einer Wellenfront durch es hindurch.
- Reflektierend. Es wird hergestellt, indem kleine Rillen auf eine glatte Oberfläche aufgebracht werden. Beugung und Interferenz von einer solchen Platte entstehen aufgrund der Lichtreflexion von den Oberseiten jeder Rille.
Unabhängig von der Art des Gitters besteht die Idee seiner Wirkung auf die Wellenfront darin, eine periodische Störung darin zu erzeugen. Dies führt zur Bildung einer großen Anzahl kohärenter Quellen, deren Interferenz das Ergebnis eines Beugungsmusters auf dem Schirm ist.
Die Grundformel eines Beugungsgitters
Bei der Herleitung dieser Formel wird die Abhängigkeit der Strahlungsintensität vom Einfallswinkel auf den Schirm betrachtet. In der Fernfeldnäherung erhält man für die Intensität I(θ) folgende Formel:
I(θ) = I 0 *(sin(β)/β) 2 * 2 , wobei
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).
In der Formel wird die Breite des Schlitzes des Beugungsgitters durch das Symbol a bezeichnet. Daher ist der Faktor in Klammern für die Beugung durch einen Spalt verantwortlich. Der Wert von d ist die Periode des Beugungsgitters. Die Formel zeigt, dass der Faktor in eckigen Klammern, in dem dieser Zeitraum erscheint, die Störung durch den Satz von Gitterschlitzen beschreibt.
Mit obiger Formel können Sie den Intensitätswert für beliebige Lichteinfallswinkel berechnen.
Wenn wir den Wert der Intensitätsmaxima I(θ) finden, können wir schließen, dass sie unter der Bedingung auftreten, dass α = m*pi, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist. Für die Maximalbedingung erhalten wir:
m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>
Sünde (θ m) - Sünde (θ 0) \u003d m * λ / d.
Der resultierende Ausdruck wird Formel für die Maxima des Beugungsgitters genannt. Die m-Zahlen sind die Beugungsordnung.
Andere Möglichkeiten, die Grundformel für das Gitter zu schreiben
Beachten Sie, dass die im vorherigen Absatz angegebene Formel den Term sin(θ 0) enthält. Dabei spiegelt der Winkel θ 0 die Einfallsrichtung der Front der Lichtwelle relativ zur Gitterebene wider. Wenn die Front parallel zu dieser Ebene fällt, dann ist θ 0 = 0 0 . Dann erhalten wir den Ausdruck für die Maxima:
Da die Gitterkonstante a (nicht zu verwechseln mit der Spaltbreite) umgekehrt proportional zum Wert von d ist, kann die obige Formel in Bezug auf die Beugungsgitterkonstante umgeschrieben werden als:
Um Fehler beim Einsetzen bestimmter Zahlen λ, a und d in diese Formeln zu vermeiden, sollten Sie immer die entsprechenden SI-Einheiten verwenden.
Das Konzept der Winkeldispersion des Gitters
Wir werden diesen Wert mit dem Buchstaben D bezeichnen. Nach der mathematischen Definition wird er wie folgt geschrieben:
Die physikalische Bedeutung der Winkeldispersion D ist, dass sie angibt, um welchen Winkel dθ m sich das Maximum für die Beugungsordnung m verschiebt, wenn die einfallende Wellenlänge um dλ geändert wird.
Wenden wir diesen Ausdruck auf die Gittergleichung an, so erhalten wir die Formel:
Die Dispersion des Winkelbeugungsgitters wird durch die obige Formel bestimmt. Es ist ersichtlich, dass der Wert von D von der Ordnung m und der Periode d abhängt.
Je größer die Dispersion D ist, desto höher ist die Auflösung eines gegebenen Gitters.
Gratende Auflösung
Unter Auflösung versteht man eine physikalische Größe, die angibt, um welchen Mindestwert sich zwei Wellenlängen unterscheiden können, damit ihre Maxima getrennt im Beugungsbild erscheinen.
Die Auflösung wird durch das Rayleigh-Kriterium bestimmt. Sie besagt: Zwei Maxima können in einem Beugungsmuster getrennt werden, wenn der Abstand zwischen ihnen größer ist als die Halbwertsbreite von jedem von ihnen. Die Winkelhalbwertsbreite des Maximums für das Gitter wird durch die Formel bestimmt:
Δθ1/2 = λ/(N*d*cos(θm)).
Die Auflösung des Gitters nach dem Rayleigh-Kriterium ist:
Δθ m > Δθ 1/2 oder D*Δλ > Δθ 1/2 .
Durch Ersetzen der Werte von D und Δθ 1/2 erhalten wir:
Δλ*m/(d*cos(θm))>λ/(N*d*cos(θm) =>
Δλ > λ/(m*N).
Dies ist die Formel für die Auflösung eines Beugungsgitters. Je größer die Anzahl der Striche N auf der Platte und je höher die Beugungsordnung, desto größer ist die Auflösung für eine gegebene Wellenlänge λ.
Beugungsgitter in der Spektroskopie
Schreiben wir noch einmal die Grundgleichung der Maxima für das Gitter auf:
Hier ist zu sehen, dass je mehr die Wellenlänge mit Strichen auf die Platte fällt, desto größer werden die Werte der Winkel auf den Bildschirmmaxima erscheinen. Mit anderen Worten, wenn nicht monochromatisches Licht (z. B. weißes) durch die Platte geleitet wird, dann ist das Erscheinen von Farbmaxima auf dem Schirm zu sehen. Ausgehend vom zentralen weißen Maximum (Beugung nullter Ordnung) erscheinen Maxima weiter für kürzere Wellen (violett, blau) und dann für längere (orange, rot).
Eine weitere wichtige Schlussfolgerung aus dieser Formel ist die Abhängigkeit des Winkels θ m von der Beugungsordnung. Je größer m, desto größer der Wert von θ m . Dies bedeutet, dass die farbigen Linien an den Maxima für eine hohe Beugungsordnung stärker voneinander getrennt sind. Diese Tatsache wurde bereits geweiht, als die Gitterauflösung betrachtet wurde (siehe den vorherigen Absatz).
Die beschriebenen Fähigkeiten eines Beugungsgitters ermöglichen es, damit die Emissionsspektren verschiedener leuchtender Objekte zu analysieren, einschließlich entfernter Sterne und Galaxien.
Beispiel Problemlösung
Lassen Sie uns zeigen, wie man die Beugungsgitterformel verwendet. Die Wellenlänge des Lichts, das auf das Gitter fällt, beträgt 550 nm. Es ist notwendig, den Winkel zu bestimmen, bei dem Beugung erster Ordnung auftritt, wenn die Periode d 4 &mgr;m beträgt.
Wandeln Sie alle Daten in SI-Einheiten um und ersetzen Sie sie durch diese Gleichheit:
θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.
Befindet sich der Schirm in einem Abstand von 1 Meter zum Gitter, so erscheint ab der Mitte des zentralen Maximums die Linie der ersten Beugungsordnung für eine Welle von 550 nm in einem Abstand von 13,8 cm, was einer entspricht Winkel von 7,9 o .
DEFINITION
Beugungsgitter ist das einfachste Spektralinstrument. Es enthält ein System von Schlitzen, die undurchsichtige Räume trennen.
Beugungsgitter werden in eindimensionale und mehrdimensionale unterteilt. Ein eindimensionales Beugungsgitter besteht aus parallelen lichtdurchlässigen Abschnitten gleicher Breite, die in derselben Ebene liegen. Transparente Bereiche trennen undurchsichtige Lücken. Mit diesen Gittern wird im Durchlicht beobachtet.
Es gibt reflektierende Beugungsgitter. Ein solches Gitter ist beispielsweise eine polierte (Spiegel-)Metallplatte, auf die mit einem Fräser Striche aufgebracht werden. Das Ergebnis sind Bereiche, die Licht reflektieren, und Bereiche, die Licht streuen. Die Beobachtung mit einem solchen Gitter erfolgt im Auflicht.
Das Gitterbeugungsmuster ist das Ergebnis der gegenseitigen Interferenz von Wellen, die aus allen Spalten kommen. Daher wird mit Hilfe eines Beugungsgitters eine Mehrwegeinterferenz von gebeugten kohärenten Lichtstrahlen, die aus allen Spalten kommen, realisiert.
Gitterperiode
Wenn wir die Breite des Schlitzes auf den Gittern als a bezeichnen, die Breite des undurchsichtigen Abschnitts - b, dann ist die Summe dieser beiden Parameter die Gitterperiode (d):
Die Periode eines Beugungsgitters wird manchmal auch als Beugungsgitterkonstante bezeichnet. Die Periode eines Beugungsgitters kann als der Abstand definiert werden, über den sich die Linien auf dem Gitter wiederholen.
Die Beugungsgitterkonstante kann ermittelt werden, wenn die Anzahl der Rillen (N) bekannt ist, die das Gitter pro 1 mm seiner Länge hat:
Die Periode des Beugungsgitters ist in den Formeln enthalten, die das Beugungsmuster darauf beschreiben. Wenn also eine monochromatische Welle senkrecht zu ihrer Ebene auf ein eindimensionales Beugungsgitter einfällt, werden die Hauptintensitätsminima in den durch die Bedingung bestimmten Richtungen beobachtet:
wobei der Winkel zwischen der Normalen zum Gitter und der Ausbreitungsrichtung der gebeugten Strahlen ist.
Zusätzlich zu den Hauptminima heben sie sich infolge gegenseitiger Interferenz von Lichtstrahlen, die von einem Paar Schlitze gesendet werden, in einigen Richtungen gegenseitig auf, was zu zusätzlichen Intensitätsminima führt. Sie entstehen in Richtungen, in denen der Unterschied im Strahlengang eine ungerade Anzahl von Halbwellen beträgt. Die zusätzliche Mindestbedingung wird wie folgt geschrieben:
wobei N die Anzahl der Schlitze des Beugungsgitters ist; nimmt jeden ganzzahligen Wert außer 0 an. Wenn das Gitter N Schlitze hat, dann gibt es zwischen den zwei Hauptmaxima ein zusätzliches Minimum, das die Nebenmaxima trennt.
Die Bedingung für die Hauptmaxima des Beugungsgitters ist der Ausdruck:
Der Wert des Sinus kann Eins nicht überschreiten, daher die Anzahl der Hauptmaxima (m):
Beispiele für Problemlösungen
BEISPIEL 1
| Übung | Ein Lichtstrahl geht durch ein Beugungsgitter mit einer Wellenlänge von . In einem Abstand L von dem Gitter ist ein Schirm angeordnet, auf dem unter Verwendung einer Linse ein Beugungsmuster gebildet wird. Man erhält, dass das erste Beugungsmaximum im Abstand x vom zentralen liegt (Abb. 1). Was ist die Gitterperiode (d)? |
| Lösung | Machen wir eine Zeichnung. Die Lösung des Problems basiert auf der Bedingung für die Hauptmaxima des Beugungsmusters: Aufgrund der Problemstellung sprechen wir über das erste Hauptmaximum, dann . Aus Abb. 1 erhalten wir:
Aus den Ausdrücken (1.2) und (1.1) haben wir:
Wir drücken die gewünschte Periode des Gitters aus, wir erhalten:
|
| Antworten |
1. Lichtbeugung. Huygens-Fresnel-Prinzip.
2. Beugung des Lichts durch einen Spalt in parallelen Strahlen.
3. Beugungsgitter.
4. Beugungsspektrum.
5. Eigenschaften eines Beugungsgitters als Spektralgerät.
6. Röntgenbeugungsanalyse.
7. Lichtbeugung durch ein rundes Loch. Blendenauflösung.
8. Grundlegende Konzepte und Formeln.
9. Aufgaben.
Im engeren, aber am häufigsten verwendeten Sinne ist die Lichtbeugung die Abrundung der Ränder undurchsichtiger Körper durch die Lichtstrahlen, das Eindringen von Licht in den Bereich eines geometrischen Schattens. Bei Phänomenen, die mit Beugung verbunden sind, gibt es eine signifikante Abweichung des Verhaltens von Licht von den Gesetzen der geometrischen Optik. (Beugung tritt nicht nur bei Licht auf.)
Beugung ist ein Wellenphänomen, das sich am deutlichsten manifestiert, wenn die Abmessungen des Hindernisses der Wellenlänge des Lichts entsprechen (in der gleichen Größenordnung). Die relativ späte Entdeckung der Lichtbeugung (16.-17. Jahrhundert) hängt mit der Kleinheit des sichtbaren Lichts zusammen.
21.1. Lichtbeugung. Huygens-Fresnel-Prinzip
Lichtbeugung bezeichnet einen Komplex von Phänomenen, die auf ihre Wellennatur zurückzuführen sind und bei der Ausbreitung von Licht in einem Medium mit scharfen Inhomogenitäten beobachtet werden.
Eine qualitative Erklärung der Beugung wird gegeben durch Huygens-Prinzip, die die Methode zur Konstruktion der Wellenfront zum Zeitpunkt t + Δt festlegt, wenn ihre Position zum Zeitpunkt t bekannt ist.
1. Gemäß Huygens-Prinzip, Jeder Punkt der Wellenfront ist das Zentrum kohärenter Sekundärwellen. Die Einhüllende dieser Wellen gibt die Position der Wellenfront zum nächsten Zeitpunkt an.
Lassen Sie uns die Anwendung des Huygens-Prinzips an folgendem Beispiel erläutern. Lassen Sie eine ebene Welle auf eine Barriere mit einem Loch fallen, dessen Vorderseite parallel zur Barriere ist (Abb. 21.1).
Reis. 21.1. Erklärung des Prinzips von Huygens
Jeder Punkt der vom Loch emittierten Wellenfront dient als Zentrum sekundärer Kugelwellen. Die Abbildung zeigt, dass die Einhüllende dieser Wellen in den Bereich des geometrischen Schattens eindringt, dessen Grenzen mit einer gestrichelten Linie markiert sind.
Das Huygenssche Prinzip sagt nichts über die Intensität der Sekundärwellen aus. Dieser Nachteil wurde von Fresnel beseitigt, der das Huygens-Prinzip um den Begriff der Interferenz von Sekundärwellen und deren Amplituden ergänzte. Das so ergänzte Huygens-Prinzip wird als Huygens-Fresnel-Prinzip bezeichnet.
2. Gemäß das Huygens-Fresnel-Prinzip Die Größe der Lichtschwingungen an einem Punkt O ist das Ergebnis der Interferenz an diesem Punkt von kohärenten Sekundärwellen, die emittiert werden alle Wellenoberflächenelemente. Die Amplitude jeder Sekundärwelle ist proportional zur Fläche des Elements dS, umgekehrt proportional zum Abstand r zum Punkt O und nimmt mit zunehmendem Winkel ab α zwischen normal n zum Element dS und Richtung zum Punkt O (Abb. 21.2).
Reis. 21.2. Abstrahlung von Sekundärwellen durch Wellenflächenelemente
21.2. Spaltbeugung in parallelen Strahlen
Berechnungen im Zusammenhang mit der Anwendung des Huygens-Fresnel-Prinzips sind im allgemeinen Fall ein komplexes mathematisches Problem. In einer Reihe von Fällen mit hohem Symmetriegrad kann die Amplitude der resultierenden Schwingungen jedoch durch algebraische oder geometrische Summierung gefunden werden. Lassen Sie uns dies demonstrieren, indem wir die Lichtbeugung an einem Spalt berechnen.
Lassen Sie eine ebene monochromatische Lichtwelle auf einen schmalen Schlitz (AB) in einer undurchsichtigen Barriere fallen, deren Ausbreitungsrichtung senkrecht zur Oberfläche des Schlitzes steht (Abb. 21.3, a). Hinter dem Schlitz (parallel zu seiner Ebene) platzieren wir eine Sammellinse, in Brennebene die wir den Bildschirm E platzieren. Alle Sekundärwellen von der Oberfläche des Schlitzes in der Richtung emittiert parallel optische Achse des Objektivs (α = 0), in den Fokus des Objektivs geraten in der gleichen Phase. Daher gibt es in der Mitte des Bildschirms (O). maximal Interferenz für beliebig lange Wellen. Es heißt das Maximum nullte Ordnung.
Um die Art der Interferenz von in andere Richtungen emittierten Sekundärwellen herauszufinden, teilen wir die Schlitzoberfläche in n identische Zonen (sie werden Fresnel-Zonen genannt) und betrachten die Richtung, für die die Bedingung erfüllt ist:
wobei b die Schlitzbreite ist, und λ - die Länge der Lichtwelle.
Strahlen sekundärer Lichtwellen, die sich in diese Richtung ausbreiten, werden sich im Punkt O schneiden.
Reis. 21.3. Beugung an einem Spalt: a - Strahlengang; b - Verteilung der Lichtintensität (f - Brennweite der Linse)
Das Produkt bsina ist gleich der Wegdifferenz (δ) zwischen den Strahlen, die von den Rändern des Schlitzes kommen. Dann kommt der Unterschied im Weg der Strahlen zustande benachbart Fresnel-Zonen ist gleich λ/2 (siehe Formel 21.1). Solche Strahlen heben sich während der Interferenz gegenseitig auf, da sie die gleichen Amplituden und entgegengesetzte Phasen haben. Betrachten wir zwei Fälle.
1) n = 2k ist eine gerade Zahl. In diesem Fall tritt eine paarweise Auslöschung von Strahlen aus allen Fresnel-Zonen auf, und am Punkt O" wird ein Minimum des Interferenzmusters beobachtet.
Minimum Intensität während der Spaltbeugung wird für die Richtungen von Strahlen von Sekundärwellen beobachtet, die die Bedingung erfüllen
Eine ganze Zahl k wird aufgerufen Mindestbestellung.
2) n = 2k - 1 ist eine ungerade Zahl. In diesem Fall bleibt die Strahlung einer Fresnel-Zone ungelöscht, und am Punkt O" wird das Maximum des Interferenzmusters beobachtet.
Das Intensitätsmaximum während der Spaltbeugung wird für die Richtungen der Strahlen von Sekundärwellen beobachtet, die die Bedingung erfüllen:
Eine ganze Zahl k wird aufgerufen maximale Ordnung. Erinnern Sie sich, dass wir für die Richtung α = 0 haben maximal nullter Ordnung.
Aus Formel (21.3) folgt, dass mit zunehmender Lichtwellenlänge der Winkel zunimmt, bei dem ein Maximum der Ordnung k > 0 beobachtet wird. Das bedeutet, dass bei gleichem k der violette Streifen der Bildschirmmitte am nächsten und der rote am weitesten entfernt ist.
In Abbildung 21.3, b zeigt die Verteilung der Lichtintensität auf dem Bildschirm in Abhängigkeit vom Abstand zu seinem Mittelpunkt. Der Hauptteil der Lichtenergie ist im zentralen Maximum konzentriert. Wenn die Ordnung des Maximums zunimmt, nimmt seine Intensität schnell ab. Berechnungen zeigen, dass I 0:I 1:I 2 = 1:0,047:0,017.
Wenn der Spalt mit weißem Licht beleuchtet wird, ist das zentrale Maximum auf dem Bildschirm weiß (es ist für alle Wellenlängen gleich). Seitenmaxima bestehen aus farbigen Bändern.
An einer Rasierklinge lässt sich ein der Spaltbeugung ähnliches Phänomen beobachten.
21.3. Beugungsgitter
Bei der Spaltbeugung sind die Intensitäten der Maxima der Ordnung k > 0 so unbedeutend, dass sie zur Lösung praktischer Probleme nicht herangezogen werden können. Daher wird als Spektralinstrument verwendet Beugungsgitter, Dies ist ein System paralleler, äquidistanter Schlitze. Ein Beugungsgitter erhält man durch Aufbringen von opaken Strichen (Kratzern) auf eine planparallele Glasplatte (Abb. 21.4). Der Raum zwischen den Strichen (Schlitzen) lässt Licht durch.
Mit einem Diamantschneider werden Striche auf die Oberfläche des Gitters aufgetragen. Ihre Dichte erreicht 2000 Schläge pro Millimeter. Die Gitterbreite kann dabei bis zu 300 mm betragen. Die Gesamtzahl der Gitterschlitze wird mit N bezeichnet.
Der Abstand d zwischen den Zentren oder Kanten benachbarter Schlitze wird genannt konstant (Periode) Beugungsgitter.
Das Beugungsmuster auf dem Gitter ist als Ergebnis der gegenseitigen Interferenz von Wellen definiert, die von allen Schlitzen kommen.
Der Strahlengang im Beugungsgitter ist in Abb. 21.5.
Auf das Gitter soll eine ebene monochromatische Lichtwelle fallen, deren Ausbreitungsrichtung senkrecht zur Gitterebene steht. Dann gehören die Schlitzflächen zu derselben Wellenfläche und sind Quellen kohärenter Sekundärwellen. Betrachten Sie Sekundärwellen, deren Ausbreitungsrichtung die Bedingung erfüllt
Nach dem Passieren der Linse schneiden sich die Strahlen dieser Wellen im Punkt O.
Das Produkt dsina ist gleich der Gangdifferenz (δ) zwischen den Strahlen, die von den Rändern benachbarter Schlitze kommen. Wenn die Bedingung (21.4) erfüllt ist, treffen die Sekundärwellen am Punkt O" ein. in der gleichen Phase und ein Maximum des Interferenzmusters erscheint auf dem Schirm. Die Maxima, die die Bedingung (21.4) erfüllen, werden aufgerufen Hauptmaxima der Ordnung k. Die Bedingung (21.4) selbst wird aufgerufen die Grundformel eines Beugungsgitters.
Große Höhen während der Gitterbeugung werden für die Richtungen der Strahlen von Sekundärwellen beobachtet, die die Bedingung erfüllen: dsinα = ± κ λ; k = 0,1,2,...
Reis. 21.4. Querschnitt des Beugungsgitters (a) und sein Symbol (b)
Reis. 21.5. Lichtbeugung an einem Beugungsgitter
Aus einer Reihe von Gründen, die hier nicht berücksichtigt werden, gibt es (N - 2) zusätzliche Maxima zwischen den Hauptmaxima. Bei einer großen Anzahl von Schlitzen ist ihre Intensität vernachlässigbar und der gesamte Raum zwischen den Hauptmaxima erscheint dunkel.
Bedingung (21.4), die die Lage aller Hauptmaxima bestimmt, berücksichtigt nicht die Beugung durch einen einzelnen Spalt. Es kann vorkommen, dass für einige Richtung der Zustand maximal für das Gitter (21.4) und die Bedingung Minimum für die Lücke (21.2). In diesem Fall entsteht das entsprechende Hauptmaximum nicht (formal existiert es, aber seine Intensität ist Null).
Je mehr Schlitze im Beugungsgitter (N) vorhanden sind, desto mehr Lichtenergie passiert das Gitter, desto intensiver und schärfer werden die Maxima. Abbildung 21.6 zeigt die Graphen der Intensitätsverteilung, die von Gittern mit unterschiedlicher Schlitzzahl (N) erhalten wurden. Perioden (d) und Schlitzbreiten (b) sind für alle Gitter gleich.
Reis. 21.6. Intensitätsverteilung für verschiedene Werte von N
21.4. Beugungsspektrum
Aus der Grundformel des Beugungsgitters (21.4) ist ersichtlich, dass der Beugungswinkel α, bei dem die Hauptmaxima gebildet werden, von der Wellenlänge des einfallenden Lichts abhängt. Daher werden die unterschiedlichen Wellenlängen entsprechenden Intensitätsmaxima an unterschiedlichen Stellen auf dem Schirm erhalten. Dadurch ist es möglich, das Gitter als spektrales Instrument zu verwenden.
Beugungsspektrum- mit einem Beugungsgitter erhaltenes Spektrum.
Wenn weißes Licht auf ein Beugungsgitter fällt, zerfallen alle Maxima bis auf das mittlere in ein Spektrum. Die Position des Maximums der Ordnung k für Licht mit der Wellenlänge λ ist gegeben durch:
Je länger die Wellenlänge (λ), desto weiter vom Zentrum entfernt liegt das k-te Maximum. Daher zeigt der violette Bereich jedes Hauptmaximums zur Mitte des Beugungsmusters und der rote Bereich nach außen. Beachten Sie, dass bei der Zerlegung von weißem Licht durch ein Prisma violette Strahlen stärker abgelenkt werden.
Beim Aufschreiben der grundlegenden Gitterformel (21.4) haben wir angegeben, dass k eine ganze Zahl ist. Wie groß darf es sein? Die Antwort auf diese Frage liefert die Ungleichung |sinα|< 1. Из формулы (21.5) найдем
wobei L die Gitterbreite und N die Anzahl der Striche ist.
Beispielsweise ist für ein Gitter mit einer Dichte von 500 Linien pro mm d = 1/500 mm = 2 x 10 -6 m. Für grünes Licht mit λ = 520 nm = 520 x 10 -9 m erhalten wir k< 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.
21.5. Eigenschaften eines Beugungsgitters als Spektralinstrument
Die Grundformel eines Beugungsgitters (21.4) ermöglicht die Bestimmung der Wellenlänge des Lichts durch Messung des Winkels α entsprechend der Lage des k-ten Maximums. Somit macht es das Beugungsgitter möglich, die Spektren von komplexem Licht zu erhalten und zu analysieren.
Spektrale Eigenschaften des Gitters
Winkelstreuung - ein Wert gleich dem Verhältnis der Änderung des Winkels, bei dem das Beugungsmaximum beobachtet wird, zur Änderung der Wellenlänge:
wobei k die Ordnung des Maximums ist, α -
der Winkel, in dem es beobachtet wird.
Die Winkeldispersion ist umso höher, je größer die Ordnung k des Spektrums und je kleiner die Gitterperiode (d) ist.
Auflösung(Auflösungsvermögen) eines Beugungsgitters - ein Wert, der seine Fähigkeit zu geben charakterisiert
wobei k die maximale Ordnung und N die Anzahl der Gitterlinien ist.
Aus der Formel ist ersichtlich, dass enge Linien, die im Spektrum erster Ordnung ineinander übergehen, in den Spektren zweiter oder dritter Ordnung getrennt wahrgenommen werden können.
21.6. Röntgenbeugungsanalyse
Die Grundformel eines Beugungsgitters kann nicht nur zur Bestimmung der Wellenlänge verwendet werden, sondern auch zur Lösung des inversen Problems – das Finden der Beugungsgitterkonstante aus einer bekannten Wellenlänge.
Das Strukturgitter eines Kristalls kann als Beugungsgitter aufgefasst werden. Wird ein Röntgenstrahl unter einem bestimmten Winkel θ (Abb. 21.7) auf ein einfaches Kristallgitter gerichtet, so werden sie gebeugt, da der Abstand zwischen den Streuzentren (Atomen) im Kristall entspricht
Wellenlänge von Röntgenstrahlen. Wenn eine fotografische Platte in einiger Entfernung vom Kristall platziert wird, registriert sie die Interferenz der reflektierten Strahlen.
wobei d der Abstand zwischen den Ebenen im Kristall ist, θ der Winkel zwischen den Ebenen ist
Reis. 21.7. Röntgenbeugung an einem einfachen Kristallgitter; Punkte zeigen die Anordnung der Atome an
Kristall und dem einfallenden Röntgenstrahl (Glanzwinkel), λ ist die Wellenlänge der Röntgenstrahlung. Die Beziehung (21.11) wird aufgerufen die Bragg-Wulf-Bedingung.
Wenn die Röntgenwellenlänge bekannt ist und der Winkel θ entsprechend der Bedingung (21.11) gemessen wird, dann kann der interplanare (interatomare) Abstand d bestimmt werden. Dies basiert auf der Röntgenbeugungsanalyse.
Röntgenbeugungsanalyse - ein Verfahren zur Bestimmung der Struktur einer Substanz durch Untersuchung der Röntgenbeugungsmuster an den zu untersuchenden Proben.
Röntgenbeugungsmuster sind sehr komplex, da ein Kristall ein dreidimensionales Objekt ist und Röntgenstrahlen auf verschiedenen Ebenen in unterschiedlichen Winkeln gebeugt werden können. Wenn die Substanz ein Einkristall ist, dann ist das Beugungsmuster ein Wechsel von dunklen (belichteten) und hellen (unbelichteten) Punkten (Abb. 21.8, a).
Wenn die Substanz eine Mischung aus einer großen Anzahl sehr kleiner Kristalle ist (wie in einem Metall oder Pulver), erscheint eine Reihe von Ringen (Abb. 21.8, b). Jeder Ring entspricht einem Beugungsmaximum einer bestimmten Ordnung k, während das Röntgenbild in Form von Kreisen gebildet wird (Abb. 21.8, b).
Reis. 21.8. Röntgenbild eines Einkristalls (a), Röntgenbild eines Polykristalls (b)
Die Röntgenbeugungsanalyse wird auch verwendet, um die Strukturen biologischer Systeme zu untersuchen. Beispielsweise wurde die Struktur der DNA durch dieses Verfahren ermittelt.
21.7. Lichtbeugung durch ein kreisförmiges Loch. Blendenauflösung
Betrachten wir abschließend die Frage der Lichtbeugung an einem runden Loch, die von großem praktischem Interesse ist. Solche Löcher sind beispielsweise die Pupille des Auges und die Linse des Mikroskops. Lassen Sie Licht von einer Punktquelle auf die Linse fallen. Die Linse ist ein Loch, das nur durchlässt Teil Lichtwelle. Aufgrund der Beugung auf dem Bildschirm hinter der Linse erscheint ein Beugungsmuster, wie in Abb. 21.9, ein.
Was die Lücke betrifft, so sind die Intensitäten der Seitenmaxima gering. Das zentrale Maximum in Form eines hellen Kreises (Beugungsfleck) ist das Bild eines leuchtenden Punktes.
Der Durchmesser des Beugungsflecks wird durch die Formel bestimmt:
wobei f die Brennweite der Linse und d ihr Durchmesser ist.
Wenn Licht von zwei Punktquellen auf das Loch (Blende) fällt, dann abhängig vom Winkelabstand zwischen ihnen (β) ihre Beugungspunkte können getrennt wahrgenommen werden (Abb. 21.9, b) oder verschmelzen (Abb. 21.9, c).
Wir stellen ohne Ableitung eine Formel vor, die ein separates Bild nahe gelegener Punktquellen auf dem Bildschirm liefert (Blendenauflösung):
wobei λ die Wellenlänge des einfallenden Lichts ist, d der Öffnungsdurchmesser (Blende) ist, β der Winkelabstand zwischen den Quellen ist.
Reis. 21.9. Beugung durch ein kreisförmiges Loch von zwei Punktquellen
21.8. Grundbegriffe und Formeln
Ende der Tabelle
21.9. Aufgaben
1. Die Wellenlänge des Lichts, das senkrecht zu seiner Ebene auf den Schlitz einfällt, passt 6-mal in die Breite des Schlitzes. Unter welchem Winkel ist das 3. Beugungsminimum zu sehen?
2. Bestimmen Sie die Periode eines Gitters mit einer Breite L = 2,5 cm und N = 12500 Linien. Schreiben Sie Ihre Antwort in Mikrometern.
Lösung
d = L/N = 25.000 µm/12.500 = 2 µm. Antworten: d = 2 um.
3. Wie groß ist die Beugungsgitterkonstante, wenn die rote Linie (700 nm) im Spektrum 2. Ordnung unter einem Winkel von 30° sichtbar ist?
4. Das Beugungsgitter enthält N = 600 Linien pro L = 1 mm. Finden Sie die größte Ordnung des Spektrums für Licht mit einer Wellenlänge λ = 600 Nanometer.
5. Orangefarbenes Licht bei 600 nm und grünes Licht bei 540 nm gehen durch ein Beugungsgitter mit 4000 Linien pro Zentimeter. Wie groß ist der Winkelabstand zwischen den orangen und grünen Maxima: a) erster Ordnung; b) dritte Bestellung?
Δα \u003d α op - α z \u003d 13,88 ° - 12,47 ° \u003d 1,41 °.
6.
Finden Sie die höchste Ordnung des Spektrums für die gelbe Natriumlinie λ = 589 nm, wenn die Gitterkonstante d = 2 μm ist.
Lösung
Bringen wir d und λ auf die gleichen Einheiten: d = 2 µm = 2000 nm. Durch Formel (21.6) finden wir k< d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Antworten: k = 3.
7. Zur Untersuchung des Lichtspektrums im 600-nm-Bereich wird ein Beugungsgitter mit N = 10.000 Schlitzen verwendet. Finden Sie die minimale Wellenlängendifferenz, die durch ein solches Gitter detektiert werden kann, wenn Maxima zweiter Ordnung beobachtet werden.
Wenn wir die Argumentation für fünf, sechs Slots usw. fortsetzen, können wir die folgende Regel aufstellen: Wenn es Slots zwischen zwei benachbarten Maxima gibt, werden Minima gebildet; die Differenz im Weg der Strahlen von zwei benachbarten Schlitzen sollte für die Maxima gleich einer ganzen Zahl X sein, und für die Minima – Das Beugungsspektrum von den Schlitzen hat die in Abb. gezeigte Form. Zusätzliche Maxima, die sich zwischen zwei benachbarten Minima befinden, erzeugen ein sehr schwache Beleuchtung (Hintergrund) auf dem Bildschirm.
Der Hauptteil der Energie der durch das Beugungsgitter hindurchgegangenen Lichtwelle wird zwischen den Hauptmaxima umverteilt, die in den Richtungen gebildet werden, wobei 3 die "Ordnung" des Maximums genannt wird.
Je größer die Anzahl der Schlitze ist, je größer die Menge an Lichtenergie ist, die durch das Gitter geht, je mehr Minima zwischen benachbarten Hauptmaxima gebildet werden, desto intensiver und schärfer werden die Maxima sein.
Wenn das auf das Beugungsgitter einfallende Licht aus zwei monochromatischen Strahlungen besteht, deren Wellenlängen und deren Hauptmaxima an unterschiedlichen Stellen auf dem Schirm liegen. Bei sehr nahe beieinander liegenden Wellenlängen (Einfarbenstrahlung) können die Maxima auf dem Schirm so nahe beieinander ausfallen, dass sie zu einem gemeinsamen hellen Band verschmelzen (Abb. IV.27, b). Wenn die Spitze eines Maximums mit dem nächsten Minimum der zweiten Welle zusammenfällt oder weiter (a) als dieses liegt, kann das Vorhandensein von zwei Wellen sicher durch die Verteilung der Beleuchtung auf dem Bildschirm (oder, wie sie sagen, diese) festgestellt werden Wellen können „aufgelöst werden“).
Leiten wir die Bedingung für die Auflösbarkeit zweier Wellen her: Das Maximum (d. h. die maximale Ordnung) der Welle wird gemäß Formel (1.21) in einem Winkel ausfallen, der die Bedingung erfüllt.
das Minimum der Welle, das seinem Maximum am nächsten liegt (Abb. IV.27, c). Um das nächstliegende Minimum zu erhalten, ist demnach eine zusätzliche Addition zur Wegdifferenz zu addieren, so dass die Bedingung für die Koinzidenz der Winkel, bei denen Maximum und Minimum erhalten werden, zu der Beziehung führt
Wenn es größer ist als das Produkt aus der Anzahl der Schlitze und der Ordnung des Spektrums, dann werden die Maxima nicht aufgelöst. Wenn zwei Maxima im Ordnungsspektrum nicht aufgelöst werden, können sie offensichtlich im Spektrum höherer Ordnungen aufgelöst werden. Gemäß Ausdruck (1.22) können um so dichtere Wellen aufgelöst werden, je mehr Strahlen sich gegenseitig interferieren und je größer der Gangunterschied A zwischen ihnen ist.
Bei einem Beugungsgitter ist die Zahl der Schlitze groß, aber die Ordnung des Spektrums, die für Messzwecke verwendet werden kann, ist klein; beim Michelson-Interferometer hingegen ist die Anzahl der interferierenden Strahlen zwei, aber der Gangunterschied zwischen ihnen, der von den Abständen zu den Spiegeln abhängt (siehe Abb. IV. 14), ist groß, also die Ordnung der beobachteten Spektrum wird durch sehr große Zahlen gemessen.
Der Winkelabstand zwischen zwei benachbarten Maxima zweier benachbarter Wellen hängt von der Ordnung des Spektrums und der Gitterperiode ab
Die Gitterperiode kann durch die Anzahl der Schlitze pro Längeneinheit des Gitters ersetzt werden:
Oben wurde angenommen, dass die auf das Beugungsgitter einfallenden Strahlen senkrecht zu seiner Ebene stehen. Bei schrägem Strahleneinfall (siehe Abb. IV.22, b) verschiebt sich das Nullmaximum und schlägt in Richtung aus.
sind in der Größe nahe beieinander, also
wo ist die Winkelabweichung des Maximums von Null. Vergleichen wir diese Formel mit dem Ausdruck (1.21), den wir in die Form schreiben, da die Winkelabweichung bei schrägem Strahleneinfall größer ist als bei senkrechtem Strahleneinfall. Dies entspricht einer Verringerung der Teilungsperiode um einen Faktor. Somit ist es möglich, bei großen Einfallswinkeln a Beugungsspektren von kurzwelliger (zB Röntgen-)Strahlung zu erhalten und deren Wellenlängen zu messen.
Geht eine ebene Lichtwelle nicht durch Schlitze, sondern durch runde Löcher kleinen Durchmessers (Abb. IV.28), dann ist das Beugungsspektrum (auf einem in der Brennebene der Linse befindlichen Flachbildschirm) ein Wechseldunkelsystem und Lichtringe. Der erste dunkle Ring wird bei einem Winkel erhalten, der die Bedingung erfüllt
Am zweiten dunklen Ring Der Anteil des zentralen Lichtkreises, Airy-Spot genannt, macht etwa 85 % der gesamten Strahlungsleistung aus, die durch das Loch und die Linse gegangen ist; die restlichen 15 % verteilen sich auf die diesen Spot umgebenden Lichtringe. Die Größe des Airy-Spots hängt von der Brennweite des Objektivs ab.
Die oben diskutierten Beugungsgitter bestanden aus abwechselnden "Schlitzen", die die Lichtwelle vollständig durchlassen, und "opaken Streifen", die die auf sie einfallende Strahlung vollständig absorbieren oder reflektieren. Wir können sagen, dass in solchen Gittern die Transmission einer Lichtwelle nur zwei Werte hat: über dem Spalt ist sie gleich eins und über einem undurchsichtigen Streifen ist sie Null. An der Grenzfläche zwischen dem Schlitz und dem Streifen ändert sich daher die Transmission abrupt von Eins auf Null.
Es können aber auch Beugungsgitter mit einer anderen Tranhergestellt werden. Wird beispielsweise auf eine transparente Platte (oder Folie) eine absorbierende Schicht mit periodisch wechselnder Dicke aufgebracht, dann statt vollständig alternierend
transparente Schlitze und vollständig undurchsichtige Streifen, ist es möglich, ein Beugungsgitter mit einer sanften Änderung der Durchlässigkeit (in der Richtung senkrecht zu den Schlitzen oder Streifen) zu erhalten. Von besonderem Interesse sind Gitter, bei denen sich die Transmission nach einem Sinusgesetz ändert. Das Beugungsspektrum solcher Gitter besteht nicht aus vielen Maxima (wie für gewöhnliche Gitter in Abb. IV.26), sondern nur aus einem zentralen Maximum und zwei symmetrisch angeordneten Maxima erster Ordnung
Für eine sphärische Welle ist es möglich, Beugungsgitter herzustellen, die aus mehreren konzentrischen ringförmigen Schlitzen bestehen, die durch undurchsichtige Ringe getrennt sind. Es ist zum Beispiel möglich, konzentrische Ringe auf einer Glasplatte (oder auf einer transparenten Folie) einzufärben; während der zentrale Kreis, der die Mitte dieser Ringe bedeckt, entweder transparent oder schattiert sein kann. Solche Beugungsgitter werden "Zonenplatten" oder Gitter genannt. Für Beugungsgitter, die aus geradlinigen Schlitzen und Streifen bestehen, war es notwendig, um ein deutliches Interferenzmuster zu erhalten, dass die Schlitzbreite und die Gitterperiode konstant waren; bei Zonenblechen sind hierfür die notwendigen Radien und Dicken der Ringe zu berechnen. Zonengitter können auch mit einer sanften, beispielsweise sinusförmigen Änderung des Transmissionsgrades entlang des Radius hergestellt werden.
Eine der wichtigen optischen Vorrichtungen, die ihre Anwendung bei der Analyse von Emissions- und Absorptionsspektren gefunden haben, ist ein Beugungsgitter. Dieser Artikel enthält Informationen, die es Ihnen ermöglichen zu verstehen, was ein Beugungsgitter ist, welches Funktionsprinzip es hat und wie Sie die Position der Maxima in dem von ihm gelieferten Beugungsmuster unabhängig berechnen können.
Zu Beginn des 19. Jahrhunderts erhielt der englische Wissenschaftler Thomas Young, der das Verhalten eines monochromatischen Lichtstrahls untersuchte, wenn er durch eine dünne Platte in zwei Hälften geteilt wurde, ein Beugungsmuster. Es war eine Abfolge heller und dunkler Streifen auf dem Bildschirm. Mit dem Konzept des Lichts als Welle erklärte Jung die Ergebnisse seiner Experimente richtig. Das Bild, das er beobachtete, war auf die Phänomene der Beugung und Interferenz zurückzuführen.
Unter Beugung versteht man die Krümmung der geradlinigen Bahn der Wellenausbreitung beim Auftreffen auf ein undurchsichtiges Hindernis. Die Beugung kann sich als Ergebnis der Wellenkrümmung um ein Hindernis herum manifestieren (dies ist möglich, wenn die Wellenlänge viel größer als das Hindernis ist) oder als Ergebnis einer Krümmung der Flugbahn, wenn die Abmessungen des Hindernisses mit der Wellenlänge vergleichbar sind . Ein Beispiel für letzteren Fall ist das Eindringen von Licht in Schlitze und kleine runde Löcher.
Das Phänomen der Interferenz ist die Überlagerung einer Welle mit einer anderen. Das Ergebnis dieser Überlagerung ist eine Krümmung der Sinusform der resultierenden Welle. Besondere Störfälle sind entweder die maximale Verstärkung der Amplitude, wenn zwei Wellen in einer Phase in der betrachteten Raumzone eintreffen, oder die vollständige Dämpfung des Wellenverlaufs, wenn beide Wellen in der betreffenden Zone gegenphasig aufeinander treffen.
Die beschriebenen Phänomene ermöglichen uns zu verstehen, was ein Beugungsgitter ist und wie es funktioniert.
Beugungsgitter
Der Name sagt schon, was ein Beugungsgitter ist. Es ist ein Objekt, das aus sich periodisch abwechselnden transparenten und opaken Streifen besteht. Sie kann erhalten werden, indem die Anzahl der Schlitze, auf die die Wellenfront fällt, schrittweise erhöht wird. Dieses Konzept ist allgemein auf jede Welle anwendbar, hat sich jedoch nur für den Bereich der sichtbaren elektromagnetischen Strahlung, also für Licht, durchgesetzt.
Ein Beugungsgitter wird normalerweise durch drei Hauptparameter charakterisiert:
- Die Periode d ist der Abstand zwischen zwei Schlitzen, durch die Licht hindurchtritt. Da die Wellenlängen des Lichts im Bereich einiger Zehntel Mikrometer liegen, liegt der Wert von d in der Größenordnung von 1 µm.
- Die Gitterkonstante a ist die Anzahl der transparenten Schlitze, die sich auf einer Länge von 1 mm des Gitters befinden. Die Gitterkonstante ist der Kehrwert der Periode d. Seine typischen Werte liegen bei 300-600 mm-1. In der Regel wird der Wert von a auf das Beugungsgitter geschrieben.
- Die Gesamtzahl der Schlitze ist N. Dieser Wert wird leicht erhalten, indem die Länge des Beugungsgitters mit seiner Konstante multipliziert wird. Da typische Längen mehrere Zentimeter betragen, enthält jedes Gitter etwa 10-20.000 Schlitze.
Transparente und reflektierende Gitter
Es wurde oben beschrieben, was ein Beugungsgitter ist. Lassen Sie uns nun die Frage beantworten, was es wirklich ist. Es gibt zwei Arten solcher optischer Objekte: transparent und reflektierend.
Ein transparentes Gitter ist eine dünne Glasplatte oder eine transparente Kunststoffplatte, auf der Striche angebracht sind. Die Rillen des Beugungsgitters sind ein Hindernis für Licht, es kann sie nicht passieren. Die Strichbreite ist die oben erwähnte Periode d. Die zwischen den Strichen verbleibenden transparenten Lücken spielen die Rolle von Schlitzen. Bei Laborarbeiten wird diese Art von Gitter verwendet.
Ein Reflexionsgitter ist eine polierte Metall- oder Kunststoffplatte, auf der anstelle von Strichen Rillen einer bestimmten Tiefe angebracht sind. Die Periode d ist der Abstand zwischen den Rillen. Reflektionsgitter werden häufig bei der Analyse von Strahlungsspektren verwendet, da ihr Design es erlaubt, die Intensität der Maxima des Beugungsmusters zugunsten von Maxima höherer Ordnung zu verteilen. Die optische CD-Platte ist ein hervorragendes Beispiel für diese Art von Gitter.
Das Funktionsprinzip des Gitters
Betrachten wir zum Beispiel ein transparentes optisches Gerät. Nehmen wir an, dass Licht mit einer flachen Front auf ein Beugungsgitter fällt. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt, da die folgenden Formeln berücksichtigen, dass die Wellenfront flach und parallel zur Platte selbst ist (Fraunhofer-Beugung). Nach dem Periodengesetz verteilte Striche bringen eine Störung in diese Front ein, wodurch am Austritt aus der Platte eine Situation entsteht, als ob viele sekundäre kohärente Strahlungsquellen arbeiten würden (das Huygens-Fresnel-Prinzip). Diese Quellen führen zum Auftreten von Beugung.
Von jeder Quelle (der Lücke zwischen den Strichen) breitet sich eine Welle aus, die mit allen anderen N-1-Wellen kohärent ist. Nehmen wir nun an, dass ein Schirm in einiger Entfernung von der Platte platziert ist (der Abstand muss ausreichend sein, damit die Fresnel-Zahl viel kleiner als eins ist). Wenn Sie den Bildschirm entlang einer Senkrechten betrachten, die zur Mitte der Platte gezogen ist, werden infolge der Interferenzüberlagerung von Wellen aus diesen N Quellen für einige Winkel θ helle Streifen beobachtet, zwischen denen sich ein Schatten befindet .
Da der Zustand der Interferenzmaxima eine Funktion der Wellenlänge ist, würden, wenn das auf die Platte einfallende Licht weiß wäre, mehrfarbige helle Streifen auf dem Schirm erscheinen.
Grundformel
Wie erwähnt, wird die einfallende flache Wellenfront auf dem Beugungsgitter auf dem Bildschirm in Form von hellen Bändern angezeigt, die durch einen Schattenbereich getrennt sind. Jedes helle Band wird Maximum genannt. Betrachtet man die Verstärkungsbedingung für Wellen, die in der gleichen Phase im betrachteten Bereich eintreffen, so erhält man die Formel für die Maxima des Beugungsgitters. Es sieht aus wie das:
Wobei θ m die Winkel zwischen der Senkrechten zum Mittelpunkt der Platte und der Richtung zur entsprechenden maximalen Linie auf dem Bildschirm sind. Der Wert m wird Ordnung des Beugungsgitters genannt. Es nimmt ganzzahlige Werte und Null an, dh m = 0, ±1, 2, 3 und so weiter.
Wenn wir die Gitterperiode d und die darauf fallende Wellenlänge λ kennen, können wir die Lage aller Maxima berechnen. Beachten Sie, dass die durch die obige Formel berechneten Maxima als Prinzipal bezeichnet werden. Tatsächlich gibt es dazwischen eine ganze Reihe schwächerer Maxima, die im Experiment oft nicht beobachtet werden.
Sie sollten nicht denken, dass das Bild auf dem Bildschirm nicht von der Breite jedes Schlitzes auf der Beugungsplatte abhängt. Die Spaltbreite hat keinen Einfluss auf die Position der Maxima, wohl aber auf deren Intensität und Breite. Mit abnehmender Lücke (mit zunehmender Anzahl von Strichen auf der Platte) nimmt also die Intensität jedes Maximums ab und seine Breite zu.
Beugungsgitter in der Spektroskopie
Nachdem wir uns mit den Fragen befasst haben, was ein Beugungsgitter ist und wie man die Maxima findet, die es auf dem Schirm gibt, ist es interessant zu analysieren, was mit weißem Licht passiert, wenn eine Platte damit bestrahlt wird.
Wir schreiben noch einmal die Formel für die Hauptmaxima:
Betrachtet man eine bestimmte Beugungsordnung (z. B. m = 1), so ist klar, dass je größer λ ist, desto weiter vom zentralen Maximum (m = 0) entfernt ist die entsprechende helle Linie. Das bedeutet, dass weißes Licht in eine Reihe von Regenbogenfarben aufgeteilt wird, die auf dem Bildschirm angezeigt werden. Außerdem erscheinen ausgehend von der Mitte zuerst violette und blaue Farben, und dann gehen Gelb, Grün und das am weitesten entfernte Maximum der ersten Ordnung entspricht Rot.
Eine Eigenschaft des Wellenlängenbeugungsgitters wird in der Spektroskopie genutzt. Wenn es notwendig ist, die chemische Zusammensetzung eines leuchtenden Objekts zu kennen, beispielsweise eines fernen Sterns, wird sein Licht von Spiegeln gesammelt und auf eine Platte gelenkt. Durch Messen der Winkel θ m kann man alle Wellenlängen des Spektrums und damit die sie aussendenden chemischen Elemente bestimmen.
Unten ist ein Video, das die Fähigkeit von Gittern mit unterschiedlichen N-Zahlen demonstriert, das Licht von der Lampe zu teilen.
Das Konzept der "Winkeldispersion"
Unter diesem Wert versteht man die Änderung des Auftrittswinkels des Maximums auf dem Bildschirm. Wenn wir die Länge des monochromatischen Lichts um einen kleinen Betrag ändern, erhalten wir:
Wenn die linken und rechten Teile der Gleichheit in der Formel für die Hauptmaxima in Bezug auf θm bzw. λ differenziert werden, dann kann ein Ausdruck für die Dispersion erhalten werden. Es wird gleich sein:
Zur Bestimmung der Auflösung der Platte muss die Dispersion bekannt sein.
Was ist Auflösung?
Vereinfacht ausgedrückt ist dies die Fähigkeit eines Beugungsgitters, zwei Wellen mit nahe beieinander liegenden λ-Werten in zwei getrennte Maxima auf dem Schirm zu trennen. Nach dem Kriterium von Lord Rayleigh können zwei Linien unterschieden werden, wenn der Winkelabstand zwischen ihnen größer als die Hälfte ihrer Winkelbreite ist. Die Halbwertsbreite der Linie wird durch die Formel bestimmt:
Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θm))
Die Differenz zwischen den Linien nach dem Rayleigh-Kriterium ist möglich, wenn:
Durch Einsetzen der Formel für Varianz und Halbwertsbreite erhalten wir die Endbedingung:
Die Auflösung des Gitters steigt mit zunehmender Anzahl von Schlitzen (Strichen) darauf und mit zunehmender Beugungsordnung.
Die Lösung des Problems
Lassen Sie uns das erworbene Wissen anwenden, um ein einfaches Problem zu lösen. Lassen Sie Licht auf das Beugungsgitter fallen. Es ist bekannt, dass die Wellenlänge 450 nm und die Gitterperiode 3 μm beträgt. Was ist die maximale Beugungsordnung, die an einem Kran beobachtet werden kann?
Um die Frage zu beantworten, sollten Sie die Daten in die Gittergleichung einsetzen. Wir bekommen:
sin(θm) = m*λ/d = 0,15*m
Da der Sinus nicht größer als eins sein kann, erhalten wir, dass die maximale Beugungsordnung für die angegebenen Bedingungen des Problems 6 ist.
