Satz über die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks
Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.
Nachweisen:
- Dreieck ABC ist gegeben.
- Ziehe eine Linie DK durch den Scheitelpunkt B parallel zur Basis AC.
- \angle CBK= \angle C als innere kreuzweise liegende mit parallelen DK und AC, und Sekante BC.
- \angle DBA = \angle A innerlich quer liegend bei DK \parallel AC und Sekante AB. Winkel DBK ist gerade und gleich
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Da der gerade Winkel 180 ^\circ ist und \angle CBK = \angle C und \angle DBA = \angle A , erhalten wir 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.
Satz bewiesen
Konsequenzen aus dem Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks:
- Die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist 90°.
- In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck ist jeder spitze Winkel 45°.
- In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel gleich 60°.
- In jedem Dreieck sind entweder alle Winkel spitz oder zwei Winkel sind spitz und der dritte ist stumpf oder rechts.
- Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel.
Dreiecksaußenwinkelsatz
Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden verbleibenden Winkel des Dreiecks, die nicht an diesen Außenwinkel angrenzen.
Nachweisen:
- Gegeben ist das Dreieck ABC, wobei BCD der Außenwinkel ist.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- Aus den Gleichheiten, dem Winkel Winkel BCD + Winkel BCA = 180^0
- Wir bekommen \Winkel BCD = \Winkel BAC+\Winkel ABC.
>>Geometrie: Die Summe der Winkel eines Dreiecks. Komplette Lektionen
THEMA DER UNTERRICHTSSTUNDE: Die Summe der Winkel eines Dreiecks.
Unterrichtsziele:
- Vertiefung und Überprüfung der Kenntnisse der Studierenden zum Thema: „Winkelsumme eines Dreiecks“;
- Beweis der Eigenschaften der Winkel eines Dreiecks;
- Die Verwendung dieser Eigenschaft bei der Lösung der einfachsten Probleme;
- Die Verwendung von historischem Material für die Entwicklung der kognitiven Aktivität von Schülern;
- Vermittlung der Fähigkeit zur Genauigkeit bei der Erstellung von Zeichnungen.
Unterrichtsziele:
- Überprüfen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme zu lösen.
Unterrichtsplan:
- Dreieck;
- Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks;
- Aufgabenbeispiel.
Dreieck.
Datei:O.gif Dreieck- das einfachste Polygon mit 3 Ecken (Ecken) und 3 Seiten; ein Teil einer Ebene, die von drei Punkten und drei Liniensegmenten begrenzt wird, die diese Punkte paarweise verbinden.
Drei Punkte im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, entsprechen genau einer Ebene.
Jedes Polygon kann in Dreiecke unterteilt werden - dieser Vorgang wird aufgerufen Triangulation.
Es gibt einen Abschnitt der Mathematik, der ausschließlich dem Studium der Muster von Dreiecken gewidmet ist - Trigonometrie.
Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks.
File:T.gif Der Dreieckswinkelsummensatz ist ein klassischer Satz der euklidischen Geometrie, der besagt, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt. 
Nachweisen" :
Sei Δ ABC gegeben. Lassen Sie uns eine Linie parallel zu (AC) durch den Scheitelpunkt B ziehen und den Punkt D darauf markieren, so dass die Punkte A und D auf gegenüberliegenden Seiten der Linie BC liegen. Dann sind der Winkel (DBC) und der Winkel (ACB) gleich als innere Kreuze, die auf den parallelen Linien BD und AC und der Sekante (BC) liegen. Dann ist die Summe der Winkel des Dreiecks an den Eckpunkten B und C gleich dem Winkel (ABD). Aber der Winkel (ABD) und der Winkel (BAC) an der Spitze A des Dreiecks ABC sind einseitig innenliegend mit parallelen Linien BD und AC und einer Sekante (AB), und ihre Summe ist 180°. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt also 180°. Der Satz ist bewiesen.
Konsequenzen.
Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Winkel des Dreiecks, die ihm nicht benachbart sind.
Nachweisen:
Sei Δ ABC gegeben. Der Punkt D liegt auf der Geraden AC, so dass A zwischen C und D liegt. Dann liegt BAD außerhalb des Winkels des Dreiecks an der Spitze A und A + BAD = 180°. Aber A + B + C = 180°, also B + C = 180° – A. Also BAD = B + C. Die Folgerung ist bewiesen.
Konsequenzen.
Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder Winkel des Dreiecks, der nicht daran angrenzt.
Eine Aufgabe.
Der Außenwinkel eines Dreiecks ist der Winkel, der an einen beliebigen Winkel dieses Dreiecks angrenzt. Beweisen Sie, dass ein Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe zweier nicht benachbarter Winkel des Dreiecks ist. 
(Abb.1)
Lösung:
Sei Δ ABC ∠DAC extern (Abb.1). Dann ist ∠DAC=180°-∠BAC (nach der Eigenschaft benachbarter Winkel), nach dem Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks ∠B+∠C =180°-∠BAC. Aus diesen Gleichungen erhalten wir ∠DAC=∠B+∠C
Interessante Tatsache:
Die Summe der Winkel eines Dreiecks :
In der Geometrie von Lobatschewski ist die Summe der Winkel eines Dreiecks immer kleiner als 180. In der Geometrie von Euklid ist sie immer gleich 180. In der Riemannschen Geometrie ist die Summe der Winkel eines Dreiecks immer größer als 180.
Aus der Geschichte der Mathematik:
Euklid (III. Jahrhundert v. Chr.) Gibt in dem Werk „Anfänge“ die folgende Definition an: „Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und sich auf beiden Seiten nicht treffen, da sie sich auf unbestimmte Zeit erstrecken“ .
Posidonius (1. Jahrhundert v. Chr.) "Zwei gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und den gleichen Abstand voneinander haben"
Der antike griechische Wissenschaftler Pappus (III. Jahrhundert v. Chr.) Führte das Symbol paralleler Linien ein - sign =. Später verwendete der englische Ökonom Ricardo (1720-1823) dieses Symbol als Gleichheitszeichen.
Erst im 18. Jahrhundert begannen sie, das Symbol paralleler Linien zu verwenden - das Zeichen ||.
Die Live-Verbindung zwischen den Generationen wird keinen Moment unterbrochen, jeden Tag lernen wir die gesammelten Erfahrungen unserer Vorfahren kennen. Die alten Griechen zogen auf der Grundlage von Beobachtungen und praktischen Erfahrungen Schlussfolgerungen, äußerten Hypothesen und versuchten dann bei Treffen von Wissenschaftlern - Symposien (wörtlich "Fest") - diese Hypothesen zu untermauern und zu beweisen. Damals wurde die Aussage gemacht: "Wahrheit wird in einem Streit geboren."
Fragen:
- Was ist ein Dreieck?
- Was besagt der Dreieckssummensatz?
- Wie groß ist der Außenwinkel des Dreiecks?
Satz. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist gleich zwei rechten Winkeln.
Nehmen Sie ein Dreieck ABC (Abb. 208). Lassen Sie uns seine Innenwinkel mit 1, 2 und 3 bezeichnen. Lassen Sie uns das beweisen
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Ziehen wir durch eine Ecke des Dreiecks, zum Beispiel B, die Linie MN parallel zu AC.
Am Scheitelpunkt B haben wir drei Winkel: ∠4, ∠2 und ∠5. Ihre Summe ist ein gerader Winkel, daher ist sie gleich 180 °:
∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.
Aber ∠4 \u003d ∠1 sind interne kreuzende Winkel mit parallelen Linien MN und AC und einer Sekante AB.
∠5 = ∠3 sind kreuzende Innenwinkel mit Parallelen MN und AC und Sekante BC.
Daher können ∠4 und ∠5 durch ihre Gleichen ∠1 und ∠3 ersetzt werden.
Daher ist ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Der Satz ist bewiesen.
2. Eigenschaft des Außenwinkels eines Dreiecks.
Satz. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel.
Tatsächlich ist im Dreieck ABC (Abb. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, aber auch ∠BCD, der Außenwinkel dieses Dreiecks, das nicht an ∠1 und ∠2 angrenzt, ist ebenfalls gleich 180° - ∠3 .
Auf diese Weise:
∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;
∠BCD = 180° - ∠3.
Daher ist ∠1 + ∠2= ∠BCD.
Die abgeleitete Eigenschaft des Außenwinkels eines Dreiecks verfeinert den Inhalt des zuvor bewiesenen Satzes über den Außenwinkel eines Dreiecks, in dem nur gesagt wurde, dass der Außenwinkel eines Dreiecks größer ist als jeder Innenwinkel des Dreiecks, das heißt nicht daneben; jetzt ist festgestellt, dass der Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel ist.
3. Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 30°.
Satz. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber einem Winkel von 30° ist gleich der halben Hypotenuse.Der Winkel B sei gleich 30° in einem rechtwinkligen Dreieck ACB (Abb. 210). Dann beträgt sein anderer spitzer Winkel 60°.
Beweisen wir, dass das Bein AC gleich der Hälfte der Hypotenuse AB ist. Wir setzen das Bein AC über den Scheitel des rechten Winkels C hinaus fort und legen das Segment CM gleich dem Segment AC beiseite. Wir verbinden Punkt M mit Punkt B. Das resultierende Dreieck BCM ist gleich dem Dreieck DIA. Wir sehen, dass jeder Winkel des Dreiecks AVM gleich 60° ist, also ist dieses Dreieck gleichseitig.
Der AC-Zweig ist gleich der Hälfte von AM, und da AM gleich AB ist, ist der AC-Zweig gleich der Hälfte der Hypotenuse AB.
. (Folie 1)
Unterrichtstyp: Lektion lernen neues Material.
Unterrichtsziele:
- Lehrreich:
- Betrachten Sie den Satz über die Summe der Dreieckswinkel,
- Zeigen Sie die Anwendung des Theorems beim Lösen von Problemen.
- Lehrreich:
- Förderung einer positiven Einstellung der Schüler zum Wissen,
- den Schülern durch eine Unterrichtsstunde Selbstvertrauen vermitteln.
- Lehrreich:
- Entwicklung des analytischen Denkens,
- Entwicklung von „Skills to Learn“: Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten im Bildungsprozess einzusetzen,
- Entwicklung des logischen Denkens, die Fähigkeit, ihre Gedanken klar zu artikulieren.
Ausrüstung: interaktive Tafel, Präsentation, Karten.
WÄHREND DER KLASSEN
I. Organisatorischer Moment
- Heute werden wir uns in der Lektion an die Definitionen von rechtwinkligen, gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken erinnern. Wiederholen wir die Eigenschaften der Winkel von Dreiecken. Anhand der Eigenschaften von inneren einseitigen und inneren kreuzenden Winkeln werden wir den Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks beweisen und lernen, wie man ihn bei der Lösung von Problemen anwendet.
II. Oral(Folie 2)
1) Finden Sie rechtwinklige, gleichschenklige, gleichseitige Dreiecke in den Figuren.
2) Definiere diese Dreiecke.
3) Formulieren Sie die Eigenschaften der Winkel eines gleichseitigen und eines gleichschenkligen Dreiecks.
4) In der Abbildung KE II NH. (Folie 3)
– Geben Sie für diese Geraden Sekanten an
– Finden Sie innere einseitige Winkel, innere kreuzende Winkel, nennen Sie ihre Eigenschaften
III. Erklärung des neuen Materials
Satz. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°
Nach der Formulierung des Theorems erstellen die Jungs eine Zeichnung, schreiben die Bedingung auf, Schlussfolgerung. Beantworten Sie die Fragen und beweisen Sie den Satz unabhängig voneinander.
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Gegeben: Beweisen: |
Nachweisen:
1. Ziehe eine Linie BD II AC durch die Spitze B des Dreiecks.
2. Geben Sie Sekanten für parallele Linien an.
3. Was lässt sich zu den Winkeln CBD und ACB sagen? (eine Aufzeichnung machen)
4. Was wissen wir über die Winkel CAB und ABD? (eine Aufzeichnung machen)
5. Winkel CBD durch Winkel ACB ersetzen
6. Machen Sie eine Schlussfolgerung.
IV. Beenden Sie das Angebot.(Folie 4)
1. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist ...
2. In einem Dreieck ist einer der Winkel gleich, der andere, der dritte Winkel des Dreiecks, ist gleich ...
3. Die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist ...
4. Die Winkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks sind gleich ...
5. Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind gleich ...
6. Wenn der Winkel zwischen den Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks 1000 beträgt, dann sind die Winkel an der Basis ...
V. Ein bisschen Geschichte.(Folien 5-7)
| Beweis des Satzes über die Winkelsumme eines Dreiecks "Die Summe des Innenraums die Winkel eines Dreiecks sind gleich zwei rechten Winkeln“ zugeschrieben Pythagoras (580-500 v. Chr.) |
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| Altgriechischer Gelehrter Proclus (410-485 n. Chr.), |
