MBOU "Sidorskaja

allgemein bildende Schule"

Entwicklung eines Rahmenplans für einen offenen Unterricht

in Algebra in Klasse 11 zum Thema:

Vorbereitet und durchgeführt

Mathe Lehrer

Ischakova E.F.

Gliederung einer offenen Unterrichtsstunde in Algebra in der 11. Klasse.

Thema : "Grad mit einem rationalen Exponenten".

Unterrichtsart : Neues Material lernen

Unterrichtsziele:

Die Schüler mit dem Konzept eines Abschlusses mit einem rationalen Indikator und seinen Haupteigenschaften vertraut machen, basierend auf zuvor untersuchtem Material (ein Abschluss mit einem ganzzahligen Indikator).

Entwickeln Sie Rechenfähigkeiten und die Fähigkeit, Zahlen mit einem rationalen Exponenten umzurechnen und zu vergleichen.

Mathematische Grundbildung und mathematisches Interesse bei den Schülern zu fördern.

Ausrüstung : Aufgabenkarten, Präsentation eines Schülers zu einem Abschluss mit einem ganzzahligen Indikator, eine Präsentation eines Lehrers zu einem Abschluss mit einem rationalen Indikator, ein Laptop, ein Multimedia-Projektor, eine Leinwand.

Während des Unterrichts:

Zeit organisieren.

Überprüfung der Aufnahme des Themas der einzelnen Aufgabenkarten.

Aufgabe Nummer 1.

=2;

B) = x + 5;

Lösen Sie das System irrationaler Gleichungen: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Aufgabe Nummer 2.

Lösen Sie die irrationale Gleichung: = - 3;

B) = x - 2;

Lösen Sie ein System irrationaler Gleichungen: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Präsentation des Themas und der Ziele des Unterrichts.

Das Thema unserer heutigen Lektion Grad mit rationalem Exponenten».

Erläuterung des neuen Materials am Beispiel des bisher Erlernten.

Das Konzept des Grads mit ganzzahligem Exponenten ist Ihnen bereits bekannt. Wer kann mir helfen, mich an sie zu erinnern?

Wiederholung mit Präsentation Grad mit ganzzahligem Exponenten».

Für alle Zahlen a , b und alle ganzen Zahlen m und n gelten Gleichheiten:

ein m * ein n = ein m + n ;

ein m: ein n = ein m-n (a ≠ 0);

(am) n = ein mn ;

(ein b) n = ein n * b n ;

(a/b) n = ein n / b n (b ≠ 0) ;

ein 1 = ein ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Heute werden wir das Konzept des Grades einer Zahl verallgemeinern und Ausdrücken mit gebrochenem Exponenten eine Bedeutung geben. Lassen Sie uns vorstellen Definition Abschlüsse mit rationalem Indikator (Präsentation "Abschluss mit rationalem Indikator"):

Der Grad eines > 0 mit einem rationalen Exponenten r = , wo m ist eine ganze Zahl, und n - natürlich ( n > 1), rief die Nummer an m .

Per Definition bekommen wir das also = m .

Lassen Sie uns versuchen, diese Definition anzuwenden, wenn Sie eine Aufgabe ausführen.

BEISPIEL 1

Ich drücke als Wurzel einer Zahl den Ausdruck aus:

ABER) B) BEI) .

Versuchen wir nun, diese Definition umgekehrt anzuwenden

II Drücken Sie den Ausdruck als Potenz mit einem rationalen Exponenten aus:

ABER) 2 B) BEI) 5 .

Die Potenz von 0 ist nur für positive Exponenten definiert.

0 r= 0 für alle r> 0.

Unter Verwendung dieser Definition Zuhause Sie werden Nr. 428 und Nr. 429 vervollständigen.

Lassen Sie uns nun zeigen, dass die obige Definition eines Grads mit einem rationalen Exponenten die grundlegenden Eigenschaften von Graden beibehält, die für jeden Exponenten wahr sind.

Für alle rationalen Zahlen r und s und alle positiven a und b gelten die Gleichungen:

1 0 . a r a s = ein r+s ;

BEISPIEL: *

zwanzig . ein r: ein s = ein r-s ;

BEISPIEL: :

3 0 . (ein r ) s = ein rs ;

BEISPIEL: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

BEISPIEL: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

BEISPIEL zur Nutzung mehrerer Eigenschaften auf einmal: * : .

Fiskultminutka.

Wir legen Stifte auf den Schreibtisch, richten die Rücken gerade, und jetzt greifen wir nach vorne, wir wollen die Tafel berühren. Und jetzt hoben und lehnten wir uns nach rechts, nach links, nach vorne, nach hinten. Sie haben mir die Stifte gezeigt und jetzt zeigen Sie mir, wie Ihre Finger tanzen können.

Arbeiten Sie am Material

Wir bemerken zwei weitere Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten:

60 . Lassen r ist eine rationale Zahl und 0< a < b . Тогда

a r < b r bei r> 0,

a r < b r bei r< 0.

7 0 . Für beliebige rationale Zahlenr und s von Ungleichheit r> s folgt dem

a r> ein r für a > 1,

a r < а r bei 0< а < 1.

BEISPIEL: Zahlen vergleichen:

Und ; 2 300 und 3 200 .

Zusammenfassung der Lektion:

Heute haben wir uns in der Lektion an die Eigenschaften eines Grads mit einem ganzzahligen Exponenten erinnert, die Definition und die grundlegenden Eigenschaften eines Grads mit einem rationalen Exponenten gelernt und die Anwendung dieses theoretischen Materials in der Praxis bei der Durchführung von Übungen betrachtet. Ich möchte Sie darauf hinweisen, dass das Thema "Abschluss mit rationalem Indikator" in den Aufgaben der Prüfung obligatorisch ist. Bei der Vorbereitung der Hausaufgaben Nr. 428 und Nr. 429

Von ganzzahligen Exponenten der Zahl a bietet sich der Übergang zu einem rationalen Exponenten an. Im Folgenden definieren wir einen Grad mit einem rationalen Exponenten, und zwar so, dass alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten erhalten bleiben. Dies ist notwendig, da ganze Zahlen Teil rationaler Zahlen sind.

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht, und jede Bruchzahl kann als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert, daher müssen wir, um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, dem Grad der Zahl eine Bedeutung geben a mit einem Bruchteil m/n, wo m ist eine ganze Zahl, und n- natürlich. Machen wir das.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form . Damit die Eigenschaft Grad in einem Grad gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit berücksichtigen und wie wir die Wurzel des n-ten Grades bestimmt haben, dann ist es logisch zu akzeptieren, vorausgesetzt, dies mit den Daten m, n und a der Ausdruck macht Sinn.

Ob alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten für as gelten, lässt sich leicht nachprüfen (dies geschieht im Abschnitt über die Eigenschaften eines Grades mit rationalem Exponenten).

Die obige Argumentation erlaubt uns, Folgendes zu machen Fazit: falls gegeben m, n und a Ausdruck Sinn macht, dann die Macht der Zahl a mit einem Bruchteil m/n Wurzel genannt n Grad an a soweit m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur zu beschreiben, unter was m, n und a der Ausdruck macht Sinn. Abhängig von den auferlegten Einschränkungen m, n und a Es gibt zwei Hauptansätze.

1. Der einfachste Weg ist, eine Beschränkung aufzuerlegen a, akzeptieren a≥0 für positiv m und a>0 für negativ m(weil bei m≤0 Grad 0 m unentschlossen). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Grad einer positiven Zahl a mit einem Bruchteil m/n , wo m ist ein Ganzes, und n ist eine natürliche Zahl, Wurzel genannt n-te unter a soweit m, also, .

Der Bruchgrad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n , wo m eine positive ganze Zahl ist, und n ist eine natürliche Zahl, definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, macht keinen Sinn.

Es sollte beachtet werden, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: für einige negativ a und einige m und n der Ausdruck macht Sinn, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung eingeführt haben a≥0. Zum Beispiel ist es sinnvoll zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

2. Ein anderer Ansatz zur Gradbestimmung mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht in der getrennten Betrachtung von geraden und ungeraden Exponenten der Wurzel. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: die Potenz einer Zahl a, dessen Indikator ein reduzierter gewöhnlicher Bruch ist, wird als Potenz einer Zahl betrachtet a, dessen Indikator der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird weiter unten erläutert). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann für jede natürliche Zahl k Grad wird vorläufig durch ersetzt.

Für sogar n und positiv m Ausdruck ist sinnvoll für alle nicht-negativen a(die Wurzel aus einem geraden Grad einer negativen Zahl ergibt keinen Sinn), mit negativ m Nummer a muss noch von Null verschieden sein (sonst Division durch Null). Und für ungerade n und positiv m Nummer a kann alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert) und für negativ m Nummer a muss von Null verschieden sein (damit keine Division durch Null erfolgt).

Die obige Überlegung führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Lassen m/n- irreduzibler Bruch m ist ein Ganzes, und n- natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Grad von a mit irreduziblem Bruchexponenten m/n- Es ist für

o jede reelle Zahl a, eine positive ganze Zahl m und ungerade natürlich n, zum Beispiel, ;

o jede reelle Zahl ungleich Null a, eine negative ganze Zahl m und seltsam n, z.B, ;

o jede nicht negative Zahl a, eine positive ganze Zahl m und sogar n, zum Beispiel, ;

o positiv a, eine negative ganze Zahl m und sogar n, z.B, ;

o In anderen Fällen ist der Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht definiert, da zum Beispiel Grad nicht definiert sind .a Einträgen ordnen wir keine Bedeutung zu, wir definieren den Grad Null für positive Bruchexponenten m/n wie , für negative Bruchexponenten ist der Grad der Zahl Null nicht definiert.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes darauf achten, dass ein gebrochener Exponent als Dezimalbruch oder als gemischte Zahl geschrieben werden kann, zum Beispiel . Um die Werte solcher Ausdrücke zu berechnen, müssen Sie den Exponenten als gewöhnlichen Bruch schreiben und dann die Definition des Grades mit einem Bruchexponenten verwenden. Für diese Beispiele haben wir und

In diesem Artikel werden wir verstehen, was ist Grad von. Hier geben wir Definitionen des Grades einer Zahl, wobei wir alle möglichen Exponenten des Grades im Detail betrachten, beginnend mit einem natürlichen Exponenten, endend mit einem irrationalen. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Grad mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Kubikzahl einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Vorausschauend nehmen wir an, dass die Definition des Grades von a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, was wir nennen werden Basis des Abschlusses, und n , die wir nennen werden Exponent. Beachten Sie auch, dass der Grad mit einem natürlichen Indikator durch das Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also eine Vorstellung von der Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz der Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n , dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist der Grad einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 = a.

Unmittelbar erwähnenswert sind die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Lesart für den Eintrag a n lautet: „a hoch n“. In einigen Fällen sind auch solche Optionen akzeptabel: "a hoch n-te Potenz" und "n-te Potenz der Zahl a". Nehmen wir zum Beispiel die Potenz von 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölf“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Die zweite Potenz einer Zahl sowie die dritte Potenz einer Zahl haben ihre eigenen Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt das Quadrat einer Zahl, zum Beispiel wird 7 2 als „Sieben zum Quadrat“ oder „Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahl, zum Beispiel kann 5 3 als "fünf Würfel" gelesen werden oder sagen "Würfel der Zahl 5".

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Abschlüsse mit physikalischen Indikatoren. Beginnen wir mit der Potenz von 5 7 , wobei 5 die Basis der Potenz und 7 der Exponent ist. Nehmen wir ein anderes Beispiel: 4,32 ist die Basis, und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis des Grads 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Diskrepanzen zu vermeiden, werden wir alle Basis des Grads, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, also werden sie in Klammern geschrieben. Nun, zur vollständigen Klarheit zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in den Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist die Potenz von −2 mit dem natürlichen Exponenten 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für den Grad von a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent außerdem in Klammern gesetzt. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind weitere Beispiele für das Schreiben von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Schreibweise des Grades der Form an .

Eines der Probleme, die Umkehrung der Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten, ist das Problem, die Basis des Grades aus einem bekannten Wert des Grades und einem bekannten Exponenten zu finden. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht, und jede Bruchzahl kann als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Wir haben im vorherigen Absatz den Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition des Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher die Bedeutung des Grades der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n angeben. wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Machen wir das.

Betrachten Sie einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form . Damit die Eigenschaft Grad in einem Grad gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir definiert haben, berücksichtigen, dann ist es logisch zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass für gegebene m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist.

Ob alle Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten für as gelten, lässt sich leicht nachprüfen (dies geschieht im Abschnitt über die Eigenschaften eines Grades mit rationalem Exponenten).

Die obige Argumentation erlaubt uns, Folgendes zu machen Fazit: Wenn für gegebenes m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist, dann ist die Potenz der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m / n die Wurzel vom n-ten Grad von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur zu beschreiben, für welche m, n und a der Ausdruck sinnvoll ist. Abhängig von den Beschränkungen, die m, n und a auferlegt werden, gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg, a einzuschränken, besteht darin, a≥0 für positives m und a>0 für negatives m anzunehmen (da m≤0 keine Potenz von 0 m hat). Dann erhalten wir die folgende Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit Bruchexponent m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die Wurzel aus dem n-ten der Zahl a hoch m, also .

Der Bruchgrad Null wird ebenfalls definiert, mit der einzigen Einschränkung, dass der Exponent positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht definiert ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, macht keinen Sinn.

Es sollte beachtet werden, dass es bei einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Nuance gibt: Für einige negative a und einige m und n macht der Ausdruck Sinn, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Zum Beispiel ist es sinnvoll zu schreiben oder , und die obige Definition zwingt uns zu sagen, dass Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind bedeutungslos, da die Basis nicht negativ sein darf.

Ein weiterer Ansatz zur Bestimmung des Grads mit einem gebrochenen Exponenten m / n besteht darin, die geraden und ungeraden Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Der Grad der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Grad der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (die Bedeutung dieser Bedingung wird unten erklärt). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m macht der Ausdruck Sinn für jedes nicht-negative a (die Wurzel eines geraden Grades aus einer negativen Zahl ergibt keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a trotzdem ungleich Null sein (sonst Division um Null erfolgt). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a alles sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt Null).

Die obige Überlegung führt uns zu einer solchen Definition des Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren gewöhnlichen Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz von a mit einem irreduziblen Bruchexponenten m/n ist z



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zuerst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt bezüglich der Irreduzibilität des Bruchs m / n machen, dann stoßen wir auf Situationen ähnlich wie die folgenden: seit 6/10=3/5 dann die Gleichheit , aber , a .

Die Videolektion „Abschluss mit einem rationalen Indikator“ enthält visuelles Lehrmaterial für den Unterricht zu diesem Thema. Das Video-Tutorial enthält Informationen über das Konzept eines Abschlusses mit einem rationalen Exponenten, Eigenschaften solcher Abschlüsse sowie Beispiele, die die Verwendung von Unterrichtsmaterial zur Lösung praktischer Probleme beschreiben. Die Aufgabe dieser Videolektion besteht darin, das Unterrichtsmaterial visuell und klar darzustellen, seine Entwicklung und Auswendiglernen durch die Schüler zu erleichtern und die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mit den erlernten Konzepten zu lösen.

Die Hauptvorteile der Videolektion sind die Möglichkeit, visuelle Transformationen und Berechnungen vorzunehmen, sowie die Möglichkeit, Animationseffekte zur Verbesserung der Lerneffizienz zu verwenden. Die Stimmbegleitung hilft bei der Entwicklung der korrekten mathematischen Sprache und ermöglicht es auch, die Erklärung des Lehrers zu ersetzen und ihn für die individuelle Arbeit zu befreien.

Das Video-Tutorial beginnt mit einer Einführung in das Thema. Bei der Verknüpfung des Studiums eines neuen Themas mit zuvor untersuchtem Material wird empfohlen, sich daran zu erinnern, dass n √a ansonsten mit a 1/n für natürliches n und positives a bezeichnet wird. Diese Darstellung der n-Wurzel wird auf dem Bildschirm angezeigt. Ferner wird vorgeschlagen zu überlegen, was der Ausdruck a m ​​/ n bedeutet, wobei a eine positive Zahl und m / n ein Bruch ist. Die Definition des im Kasten hervorgehobenen Grades ist mit einem rationalen Exponenten als a m/n = n √ a m gegeben. Es wird darauf hingewiesen, dass n eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl sein kann.

Nachdem der Grad mit einem rationalen Exponenten bestimmt wurde, wird seine Bedeutung anhand von Beispielen deutlich: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Es wird auch ein Beispiel gezeigt, bei dem eine durch eine Dezimalzahl dargestellte Potenz in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt wird, der als Wurzel dargestellt wird: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 und ein Beispiel mit negativem Exponenten: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Getrennt davon wird ein Merkmal eines bestimmten Falls angegeben, wenn die Basis des Grades Null ist. Es wird darauf hingewiesen, dass dieser Grad nur mit einem positiven Bruchexponenten sinnvoll ist. In diesem Fall ist sein Wert gleich Null: 0 m/n = 0.

Ein weiteres Merkmal des Grads mit einem rationalen Exponenten wird angemerkt - dass der Grad mit einem gebrochenen Exponenten nicht mit einem gebrochenen Exponenten betrachtet werden kann. Beispiele für falsche Schreibweisen des Grades sind: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Weiter in der Videolektion werden die Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten betrachtet. Es wird darauf hingewiesen, dass die Eigenschaften eines Grads mit einem ganzzahligen Exponenten auch für einen Grad mit einem rationalen Exponenten gelten. Es wird vorgeschlagen, sich an die Liste der Eigenschaften zu erinnern, die auch in diesem Fall gültig sind:

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen werden ihre Indikatoren addiert: a p a q \u003d a p + q.
2. Die Einteilung von Graden mit gleichen Basen wird auf einen Grad mit gegebener Basis und der Exponentendifferenz reduziert: a p:a q =a p-q .
3. Wenn wir die Potenz auf eine bestimmte Potenz erheben, dann erhalten wir als Ergebnis die Potenz mit der gegebenen Basis und dem Produkt der Exponenten: (a p) q = a pq .

Alle diese Eigenschaften gelten für Potenzen mit rationalen Exponenten p, q und positiver Basis a > 0. Außerdem bleiben Gradtransformationen beim Öffnen von Klammern wahr:

1. (ab) p = a p b p - Potenzierung eines Produkts zweier Zahlen mit einem rationalen Exponenten zu einer bestimmten Potenz wird auf ein Produkt von Zahlen reduziert, die jeweils mit einer bestimmten Potenz potenziert werden.
2. (a/b) p =a p /b p - Potenzierung mit einem rationalen Exponenten eines Bruchs wird auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler und Nenner mit der gegebenen Potenz potenziert werden.

Das Video-Tutorial diskutiert die Lösung von Beispielen, die die betrachteten Eigenschaften von Graden mit einem rationalen Exponenten verwenden. Im ersten Beispiel wird vorgeschlagen, den Wert eines Ausdrucks zu finden, der die Variablen x hoch gebrochen enthält: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Trotz der Komplexität des Ausdrucks wird er mit den Eigenschaften von Graden ganz einfach gelöst. Die Lösung der Aufgabe beginnt mit einer Vereinfachung des Ausdrucks, der die Regel verwendet, einen Grad mit einem rationalen Exponenten zu potenzieren sowie Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren. Nachdem Sie den gegebenen Wert x=8 in den vereinfachten Ausdruck x 1/3 +48 eingesetzt haben, ist es einfach, den Wert - 50 zu erhalten.

Im zweiten Beispiel soll ein Bruch gekürzt werden, dessen Zähler und Nenner Potenzen mit rationalem Exponenten enthalten. Unter Verwendung der Eigenschaften des Grads wählen wir den Faktor x 1/3 aus der Differenz, die dann in Zähler und Nenner reduziert wird, und unter Verwendung der Quadratdifferenzformel wird der Zähler in Faktoren zerlegt, was weitere Reduktionen des ergibt gleiche Faktoren in Zähler und Nenner. Das Ergebnis solcher Transformationen ist ein kurzer Bruch x 1/4 +3.

Die Videolektion „Abschluss mit einem rationalen Indikator“ kann verwendet werden, anstatt dass der Lehrer das neue Unterrichtsthema erklärt. Außerdem enthält dieses Handbuch ausreichende Informationen für das Selbststudium des Schülers. Das Material kann im Fernunterricht nützlich sein.