Der Koordinatenebene ist eine ganze Gruppe von Aufgaben (in den Prüfungsaufgabenarten enthalten) zugeordnet. Dies sind Aufgaben, beginnend mit den elementarsten, die mündlich gelöst werden (Bestimmung der Ordinate oder Abszisse eines bestimmten Punktes oder eines symmetrischen bestimmten Punktes usw.), und enden mit Aufgaben, die hochwertige Kenntnisse, Verständnis und gute Fähigkeiten erfordern (Aufgaben bezogen auf die Steigung einer Geraden).

Allmählich werden wir sie alle berücksichtigen. In diesem Artikel beginnen wir mit den Grundlagen. Das sind einfache Aufgaben zur Bestimmung: Abszisse und Ordinate eines Punktes, Länge einer Strecke, Mittelpunkt einer Strecke, Sinus oder Cosinus des Neigungswinkels einer Geraden.Die meisten dieser Aufgaben werden nicht interessant sein. Aber ich denke, es ist notwendig, sie zu nennen.

Das Problem ist, dass nicht alle zur Schule gehen. Viele Leute bestehen die Prüfung 3-4 Jahre oder länger nach dem Abschluss und erinnern sich vage, was die Abszisse und die Ordinate sind. Wir werden auch andere Aufgaben im Zusammenhang mit der Koordinatenebene analysieren, verpassen Sie es nicht, abonnieren Sie das Blog-Update. Jetzt n ein bisschen Theorie.

Konstruieren wir einen Punkt A auf der Koordinatenebene mit den Koordinaten x=6, y=3.

Sie sagen, dass die Abszisse von Punkt A sechs ist, die Ordinate von Punkt A ist drei.

Vereinfacht gesagt ist die x-Achse die Abszissenachse, die y-Achse die y-Achse.

Das heißt, die Abszisse ist ein Punkt auf der x-Achse, in den ein auf der Koordinatenebene gegebener Punkt projiziert wird; Die Ordinate ist der Punkt auf der y-Achse, in den der angegebene Punkt projiziert wird.

Die Länge des Segments auf der Koordinatenebene

Die Formel zur Bestimmung der Länge eines Segments, wenn die Koordinaten seiner Enden bekannt sind:

Wie Sie sehen können, ist die Länge des Segments die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit gleichen Beinen

X B - X A und Y B - Y A

* * *

Die Mitte des Schnitts. Ihre Koordinaten.

Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments:

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht

Die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht, lautet:

wobei (x 1; y 1) und (x 2; y 2 ) Koordinaten gegebener Punkte.

Wenn Sie die Werte der Koordinaten in die Formel einsetzen, wird sie auf die Form reduziert:

y = kx + b, wobei k die Steigung der Geraden ist

Wir werden diese Informationen benötigen, wenn wir eine andere Gruppe von Problemen im Zusammenhang mit der Koordinatenebene lösen. Es wird einen Artikel darüber geben, verpassen Sie ihn nicht!

Was kann noch hinzugefügt werden?

Der Neigungswinkel einer geraden Linie (oder eines Segments) ist der Winkel zwischen der oX-Achse und dieser geraden Linie und reicht von 0 bis 180 Grad.

Betrachten wir Aufgaben.

Vom Punkt (6;8) wird die Senkrechte zur y-Achse abgesenkt. Finden Sie die Ordinate der Basis der Senkrechten.

Die Basis der auf die y-Achse fallenden Senkrechten hat die Koordinaten (0; 8). Die Ordinate ist acht.

Antwort: 8

Finden Sie die Entfernung von einem Punkt EIN mit Koordinaten (6;8) zur y-Achse.

Der Abstand von Punkt A zur y-Achse ist gleich der Abszisse von Punkt A.

Antwort: 6.

EIN(6;8) um ​​die Achse Ochse.

Ein bezüglich der oX-Achse zu Punkt A symmetrischer Punkt hat die Koordinaten (6; - 8).

Die Ordinate ist minus acht.

Antwort: - 8

Finden Sie die Ordinate eines Punktes, der symmetrisch zu einem Punkt ist EIN(6;8) relativ zum Ursprung.

Ein bezüglich des Ursprungs zu Punkt A symmetrischer Punkt hat Koordinaten (-6; -8).

Seine Ordinate ist -8.

Antwort: -8

Finden Sie die Abszisse des Mittelpunkts des Liniensegments, das die Punkte verbindetÖ(0;0) und EIN(6;8).

Um das Problem zu lösen, müssen die Koordinaten der Mitte des Segments gefunden werden. Die Koordinaten der Enden unseres Segments sind (0;0) und (6;8).

Wir rechnen nach der Formel:

Habe (3;4). Die Abszisse ist drei.

Antwort: 3

* Die Abszisse der Mitte des Segments kann ohne Berechnung durch die Formel bestimmt werden, indem dieses Segment auf der Koordinatenebene auf dem Blatt in einer Zelle konstruiert wird. Die Mitte des Segments ist anhand der Zellen leicht zu bestimmen.

Finden Sie die Abszisse des Mittelpunkts des Liniensegments, das die Punkte verbindet EIN(6;8) und B(–2;2).

Um das Problem zu lösen, müssen die Koordinaten der Mitte des Segments gefunden werden. Die Koordinaten der Enden unseres Segments sind (–2;2) und (6;8).

Wir rechnen nach der Formel:

Habe (2;5). Die Abszisse ist zwei.

Antwort: 2

* Die Abszisse der Mitte des Segments kann ohne Berechnung durch die Formel bestimmt werden, indem dieses Segment auf der Koordinatenebene auf dem Blatt in einer Zelle konstruiert wird.

Finden Sie die Länge des Segments, das die Punkte (0;0) und (6;8) verbindet.

Die Länge des Segments an den angegebenen Koordinaten seiner Enden wird nach folgender Formel berechnet:

in unserem Fall haben wir O(0;0) und A(6;8). Meint,

*Die Reihenfolge der Koordinaten beim Subtrahieren spielt keine Rolle. Sie können die Abszisse und die Ordinate des Punktes A von der Abszisse und der Ordinate des Punktes O subtrahieren:

Antwort: 10

Finden Sie den Kosinus der Steigung des Segments, das die Punkte verbindet Ö(0;0) und EIN(6;8), mit der x-Achse.

Der Neigungswinkel eines Segments ist der Winkel zwischen diesem Segment und der x-Achse.

Von Punkt A aus senken wir die Senkrechte zur x-Achse:

Das heißt, der Neigungswinkel des Segments ist der WinkelORKBim rechtwinkligen Dreieck ABO.

Der Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist

Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse

Sie müssen die Hypotenuse findenOA.

Nach dem Satz des Pythagoras:In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.

Somit beträgt der Kosinus des Neigungswinkels 0,6

Antwort: 0,6

Ab dem Punkt (6;8) wird die Senkrechte zur Abszissenachse abgesenkt. Finden Sie die Abszisse der Basis der Senkrechten.

Durch den Punkt (6; 8) wird parallel zur x-Achse eine Gerade gezogen. Finden Sie die Ordinate seines Schnittpunkts mit der Achse OU.

Finden Sie die Entfernung von einem Punkt EIN mit Koordinaten (6;8) zur x-Achse.

Finden Sie die Entfernung von einem Punkt EIN mit Koordinaten (6;8) zum Ursprung.

Die Länge wird, wie bereits erwähnt, durch das Modulzeichen angegeben.

Wenn zwei Punkte der Ebene und gegeben sind, kann die Länge des Segments nach der Formel berechnet werden

Wenn zwei Punkte im Raum und gegeben sind, kann die Länge des Segments durch die Formel berechnet werden

Notiz: Die Formeln bleiben korrekt, wenn die entsprechenden Koordinaten neu angeordnet werden: und , aber die erste Option ist mehr Standard

Beispiel 3

Lösung: nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Zur Verdeutlichung mache ich eine Zeichnung

Liniensegment - es ist kein Vektor, und Sie können es natürlich nirgendwohin verschieben. Zusätzlich, wenn Sie die Zeichnung maßstäblich ausfüllen: 1 Einheit. \u003d 1 cm (zwei Tetradenzellen), dann kann die Antwort mit einem normalen Lineal überprüft werden, indem die Länge des Segments direkt gemessen wird.

Ja, die Lösung ist kurz, aber es gibt ein paar wichtige Punkte darin, die ich klarstellen möchte:

Als erstes setzen wir in der Antwort die Dimension: „Einheiten“. Der Zustand sagt nicht WAS es ist, Millimeter, Zentimeter, Meter oder Kilometer. Daher wird die allgemeine Formulierung eine mathematisch kompetente Lösung sein: „Einheiten“ - abgekürzt als „Einheiten“.

Zweitens wiederholen wir das Schulmaterial, das nicht nur für das betrachtete Problem nützlich ist:

beachten wichtiger technischer Trick – Nehmen Sie den Multiplikator unter der Wurzel heraus. Als Ergebnis der Berechnungen haben wir das Ergebnis erhalten, und ein guter mathematischer Stil beinhaltet das Entfernen des Multiplikators unter der Wurzel (wenn möglich). Der Ablauf sieht im Detail so aus: . Natürlich ist es kein Fehler, die Antwort im Formular zu belassen - aber es ist definitiv ein Fehler und ein gewichtiges Argument für Spitzfindigkeiten seitens des Lehrers.

Hier sind weitere häufige Fälle:

Oft erhält man beispielsweise unter der Wurzel eine ausreichend große Zahl. Wie in solchen Fällen sein? Auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl durch 4: teilbar ist. Ja, komplett aufgeteilt, also: . Oder kann die Zahl vielleicht wieder durch 4 geteilt werden? . Auf diese Weise: . Die letzte Ziffer der Zahl ist ungerade, also ist eine dritte Division durch 4 eindeutig nicht möglich. Versuchen, durch neun zu teilen: . Ergebend:
Bereit.

Fazit: wenn wir unter der Wurzel eine völlig nicht extrahierbare Zahl erhalten, versuchen wir, den Faktor unter der Wurzel herauszunehmen - auf dem Taschenrechner prüfen wir, ob die Zahl teilbar ist durch: 4, 9, 16, 25, 36, 49, usw.

Beim Lösen verschiedener Probleme werden oft Wurzeln gefunden, versuchen Sie immer, Faktoren unter der Wurzel zu extrahieren, um eine niedrigere Punktzahl und unnötige Probleme beim Abschließen Ihrer Lösungen gemäß der Anmerkung des Lehrers zu vermeiden.

Wiederholen wir die Quadratur der Wurzeln und anderer Potenzen gleichzeitig:

Die Regeln für Handlungen mit Grad finden sich in allgemeiner Form in einem Schulbuch über Algebra, aber ich denke, dass aus den gegebenen Beispielen schon alles oder fast alles klar ist.

Aufgabe für eine unabhängige Lösung mit einem Segment im Raum:

Beispiel 4

Gegebene Punkte und . Finden Sie die Länge des Segments.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Berührt man mit einem gut gespitzten Bleistift ein Notizbuchblatt, bleibt eine Spur zurück, die den Punkt erahnen lässt. (Abb. 3).

Auf einem Blatt Papier markieren wir zwei Punkte A und B. Diese Punkte können durch verschiedene Linien verbunden werden ( Abb. 4). Und wie verbindet man die Punkte A und B auf dem kürzesten Weg? Dies kann mit einem Lineal erfolgen ( Abb. 5). Die resultierende Zeile wird aufgerufen Segment.

Punkt und Linie - Beispiele geometrische Formen.

Die Punkte A und B werden aufgerufen die Segmentenden.

Es gibt ein einzelnes Segment, dessen Enden die Punkte A und B sind. Daher wird ein Segment durch Aufschreiben der Punkte bezeichnet, die seine Enden sind. Beispielsweise wird das Segment in Fig. 5 auf eine von zwei Arten bezeichnet: AB oder BA. Lesen Sie: "Segment AB" oder "Segment BA".

Abbildung 6 zeigt drei Segmente. Das Segment AB hat eine Länge von 1 cm und wird genau dreimal im Segment MN und genau viermal im Segment EF platziert. Das werden wir sagen Segmentlänge MN ist 3 cm und die Länge von Segment EF ist 4 cm.

Es ist auch üblich zu sagen: "Segment MN ist 3 cm", "Segment EF ist 4 cm". Sie schreiben: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Wir haben die Längen der Segmente MN und EF gemessen einzelnes Segment, dessen Länge 1 cm beträgt. Um Segmente zu messen, können Sie andere wählen Längeneinheiten, zum Beispiel: 1 mm, 1 dm, 1 km. In Abbildung 7 beträgt die Länge des Segments 17 mm. Es wird anhand eines einzelnen Segments mit einer Länge von 1 mm unter Verwendung eines Lineals mit Teilungen gemessen. Außerdem können Sie mit einem Lineal ein Segment einer bestimmten Länge erstellen (zeichnen) (siehe Abb. 7).

Allgemein, Ein Segment zu messen bedeutet, zu zählen, wie viele Einheitssegmente hineinpassen.

Die Länge eines Segments hat die folgende Eigenschaft.

Wenn der Punkt C auf dem Segment AB markiert ist, dann ist die Länge des Segments AB gleich der Summe der Längen der Segmente AC und CB(Abb. 8).

Sie schreiben: AB = AC + CB.

Abbildung 9 zeigt zwei Segmente AB und CD. Diese Segmente fallen zusammen, wenn sie überlagert werden.

Zwei Segmente heißen gleich, wenn sie bei der Überlagerung zusammenfallen.

Daher sind die Segmente AB und CD gleich. Sie schreiben: AB = CD.

Gleiche Segmente haben gleiche Längen.

Von den beiden ungleichen Segmenten betrachten wir das mit der längeren Länge als größer. Beispielsweise ist in Fig. 6 das Segment EF größer als das Segment MN.

Die Länge des Segments AB wird aufgerufen Distanz zwischen den Punkten A und B.

Wenn mehrere Segmente wie in Abbildung 10 gezeigt angeordnet sind, wird eine geometrische Figur erhalten, die aufgerufen wird gestrichelten Linie. Beachten Sie, dass alle Segmente in Abbildung 11 keine unterbrochene Linie bilden. Es wird angenommen, dass Segmente eine unterbrochene Linie bilden, wenn das Ende des ersten Segments mit dem Ende des zweiten Segments zusammenfällt und das andere Ende des zweiten Segments mit dem Ende des dritten Segments zusammenfällt usw.

Punkte A, B, C, D, E − Polylinien-Eckpunkte ABCDE, Punkte A und E − unterbrochene Linie endet, und die Segmente AB, BC, CD, DE sind seine Verknüpfungen(siehe Abb. 10).

Die Länge der gestrichelten Linie ist die Summe der Längen aller seiner Glieder.

Abbildung 12 zeigt zwei gestrichelte Linien, deren Enden zusammenfallen. Solche unterbrochenen Linien werden genannt abgeschlossen.

Beispiel 1 . Segment BC ist 3 cm kürzer als Segment AB, dessen Länge 8 cm beträgt (Abb. 13). Finden Sie die Länge des Segments AC.

Lösung. Wir haben: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Unter Verwendung der Eigenschaft der Länge eines Segments können wir AC = AB + BC schreiben. Also AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Antwort: 13 cm.

Beispiel 2 . Es ist bekannt, dass MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Abb. 14). Finden Sie die Länge des Segments NK.

Lösung. Es gilt: MN = MP − NP.

Also MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Es gilt: NK = MK − MN.

Also NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Antwort: 6 cm.

Die Länge eines Segments kann auf verschiedene Arten bestimmt werden. Um herauszufinden, wie man die Länge eines Segments ermittelt, reicht es aus, ein Lineal zur Hand zu haben oder spezielle Formeln zum Rechnen zu kennen.

Linienlänge mit Lineal

Dazu wenden wir ein Lineal mit Millimetereinteilung auf das auf der Ebene aufgebaute Segment an, und der Startpunkt muss mit dem Nullpunkt der Linealskala ausgerichtet sein. Dann sollten Sie auf dieser Skala die Position des Endpunkts dieses Segments markieren. Die resultierende Anzahl ganzer Teilungen der Skala ist die Länge des Segments, ausgedrückt in cm und mm.

Ebene Koordinatenmethode

Wenn die Koordinaten des Segments (x1; y1) und (x2; y2) bekannt sind, sollte seine Länge wie folgt berechnet werden. Von den Koordinaten auf der Ebene des zweiten Punktes sollten die Koordinaten des ersten Punktes subtrahiert werden. Das Ergebnis sollte zwei Zahlen sein. Jede dieser Zahlen muss quadriert werden, und dann die Summe dieser Quadrate finden. Aus der resultierenden Zahl sollte die Quadratwurzel gezogen werden, die der Abstand zwischen den Punkten ist. Da diese Punkte die Enden des Segments sind, ist dieser Wert seine Länge.

Betrachten Sie ein Beispiel, wie Sie die Länge eines Segments anhand von Koordinaten ermitteln können. Es gibt Koordinaten von zwei Punkten (-1;2) und (4;7). Wenn wir den Unterschied in den Koordinaten der Punkte finden, erhalten wir die folgenden Werte: x = 5, y = 5. Die resultierenden Zahlen sind die Koordinaten des Segments. Dann quadrieren wir jede Zahl und finden die Summe der Ergebnisse, es ist 50. Aus dieser Zahl ziehen wir die Quadratwurzel. Das Ergebnis ist: 5 Wurzeln aus 2. Dies ist die Länge des Segments.

Methode der Koordinaten im Raum

Überlegen Sie sich dazu, wie Sie die Länge eines Vektors finden. Er wird ein Segment im euklidischen Raum sein. Sie wird fast genauso ermittelt wie die Länge eines Segments in einer Ebene. Die Konstruktion des Vektors erfolgt in verschiedenen Ebenen. Wie findet man die Länge eines Vektors?

1. Finden Sie die Koordinaten des Vektors, dazu müssen Sie von den Koordinaten seines Endpunkts die Koordinaten seines Startpunkts subtrahieren.
2. Danach müssen Sie jede Koordinate des Vektors quadrieren.
3. Addiere dann die Quadrate der Koordinaten.
4. Um die Länge eines Vektors zu ermitteln, musst du die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten ziehen.

Betrachten wir den Berechnungsalgorithmus anhand eines Beispiels. Es ist notwendig, die Koordinaten des Vektors AB zu finden. Die Punkte A und B haben die folgenden Koordinaten: A (1;6;3) und B (3;-1;7). Der Anfang des Vektors liegt bei Punkt A, das Ende befindet sich bei Punkt B. Um seine Koordinaten zu finden, müssen also die Koordinaten von Punkt A von den Koordinaten von Punkt B subtrahiert werden: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7;4).

Jetzt quadrieren wir jede Koordinate und addieren sie: 4+49+16=69. Zieht schließlich die Quadratwurzel der angegebenen Zahl. Es ist schwierig, es zu extrahieren, also schreiben wir das Ergebnis so: Die Länge des Vektors ist gleich der Wurzel von 69.

Wenn es Ihnen nicht wichtig ist, die Länge von Segmenten und Vektoren selbst zu berechnen, sondern nur das Ergebnis benötigen, dann können Sie einen Online-Rechner verwenden, zum Beispiel diesen.

Nachdem Sie diese Methoden studiert und die vorgestellten Beispiele betrachtet haben, können Sie die Länge des Segments in jedem Problem leicht finden.

Der folgende Artikel behandelt die Probleme des Auffindens der Koordinaten der Mitte des Segments in Gegenwart der Koordinaten seiner Extrempunkte als Anfangsdaten. Bevor wir jedoch mit der Untersuchung des Problems fortfahren, führen wir eine Reihe von Definitionen ein.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Liniensegment- eine gerade Linie, die zwei beliebige Punkte verbindet, die Enden des Segments genannt werden. Als Beispiel seien dies die Punkte A und B bzw. die Strecke A B .

Wenn die Strecke A B von den Punkten A und B in beide Richtungen fortgesetzt wird, erhalten wir eine gerade Linie A B. Dann ist das Segment A B ein Teil der erhaltenen geraden Linie, die durch die Punkte A und B begrenzt ist. Das Segment A B vereint die Punkte A und B , die seine Enden sind, sowie die Menge der dazwischen liegenden Punkte. Wenn wir zum Beispiel einen beliebigen Punkt K nehmen, der zwischen den Punkten A und B liegt, können wir sagen, dass der Punkt K auf der Strecke A B liegt.

Bestimmung 2

Schnittlänge ist der Abstand zwischen den Enden des Segments bei einem gegebenen Maßstab (Segment der Einheitslänge). Wir bezeichnen die Länge des Segments A B wie folgt: A B .

Bestimmung 3

Mittelpunkt Ein Punkt auf einem Liniensegment, der von seinen Enden gleich weit entfernt ist. Wenn die Mitte des Segments A B mit dem Punkt C bezeichnet wird, ist die Gleichheit wahr: A C \u003d C B

Anfangsdaten: Koordinatenlinie O x und nicht übereinstimmende Punkte darauf: A und B . Diese Punkte entsprechen reellen Zahlen xA und xB. Punkt C ist der Mittelpunkt des Segments A B: Sie müssen die Koordinate bestimmen xC.

Da Punkt C der Mittelpunkt der Strecke A B ist, gilt die Gleichheit: | Ein C | = | CB | . Der Abstand zwischen Punkten wird durch den Betrag der Differenz zwischen ihren Koordinaten bestimmt, d. h.

| Ein C | = | CB | ⇔ xC - xA = xB - xC

Dann sind zwei Gleichheiten möglich: x C - x A = x B - x C und x C - x A = - (x B - x C)

Aus der ersten Gleichheit leiten wir eine Formel für die Koordinate des Punktes C ab: x C \u003d x A + x B 2 (die halbe Summe der Koordinaten der Enden des Segments).

Aus der zweiten Gleichheit erhalten wir: x A = x B , was unmöglich ist, weil in den Originaldaten - nicht übereinstimmende Punkte. Auf diese Weise, Formel zur Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts des Segments A B mit den Enden A (x A) und B(xB):

Die resultierende Formel ist die Grundlage für die Bestimmung der Koordinaten des Mittelpunkts des Segments in einer Ebene oder im Raum.

Anfangsdaten: rechtwinkliges Koordinatensystem auf der Ebene O x y , zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte mit gegebenen Koordinaten A x A , y A und B x B , y B . Punkt C ist der Mittelpunkt des Segments A B . Für den Punkt C müssen die Koordinaten x C und y C bestimmt werden.

Nehmen wir zur Analyse den Fall an, in dem die Punkte A und B nicht zusammenfallen und nicht auf derselben Koordinatenlinie oder einer Linie liegen, die senkrecht zu einer der Achsen steht. A x , A y ; B x , B y und C x , C y - Projektionen der Punkte A , B und C auf die Koordinatenachsen (gerade Linien O x und O y).

Konstruktionsbedingt sind die Linien A A x , B B x , C C x parallel; Die Linien sind auch parallel zueinander. Zusammen damit folgen nach dem Satz von Thales aus der Gleichheit A C \u003d C B die Gleichheiten: A x C x \u003d C x B x und A y C y \u003d C y B y, und sie wiederum zeigen an, dass der Punkt C x - die Mitte des Segments A x B x und C y die Mitte des Segments A y B y ist. Und dann erhalten wir basierend auf der zuvor erhaltenen Formel:

x C = x A + x B 2 und y C = y A + y B 2

Dieselben Formeln können in dem Fall verwendet werden, wenn die Punkte A und B auf derselben Koordinatenlinie oder einer Linie senkrecht zu einer der Achsen liegen. Wir werden diesen Fall nicht detailliert analysieren, sondern nur grafisch betrachten:

Zusammenfassend all das Obige, Koordinaten der Mitte des Segments A B auf der Ebene mit den Koordinaten der Enden EIN (x EIN , y EIN) und B(xB, yB) definiert als:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Ausgangsdaten: Koordinatensystem О x y z und zwei beliebige Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A , y A , z A) und B (x B , y B , z B) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes C zu bestimmen, der die Mitte des Segments A B ist.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z und C x , C y , C z - Projektionen aller gegebenen Punkte auf die Achsen des Koordinatensystems.

Nach dem Satz von Thales gelten die Gleichungen: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Daher sind die Punkte C x , C y , C z jeweils die Mittelpunkte der Segmente A x B x , A y B y , A z B z . Dann, Um die Koordinaten der Mitte des Segments im Raum zu bestimmen, gelten die folgenden Formeln:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Die resultierenden Formeln gelten auch in Fällen, in denen die Punkte A und B auf einer der Koordinatenlinien liegen; auf einer geraden Linie senkrecht zu einer der Achsen; in einer Koordinatenebene oder einer Ebene senkrecht zu einer der Koordinatenebenen.

Bestimmung der Koordinaten der Mitte eines Segments durch die Koordinaten der Radiusvektoren seiner Enden

Die Formel zum Finden der Koordinaten der Segmentmitte kann auch nach der algebraischen Interpretation von Vektoren abgeleitet werden.

Ausgangsdaten: rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem O x y , Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A , y A) und B (x B , x B) . Punkt C ist der Mittelpunkt des Segments A B .

Gemäß der geometrischen Definition von Wirkungen auf Vektoren gilt die folgende Gleichung: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punkt C ist in diesem Fall der Schnittpunkt der Diagonalen des aus den Vektoren O A → und O B → konstruierten Parallelogramms, d.h. der Punkt in der Mitte der Diagonalen. Die Koordinaten des Radiusvektors des Punktes sind gleich den Koordinaten des Punktes, dann gelten die Gleichungen: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Lassen Sie uns einige Operationen an Vektoren in Koordinaten durchführen und erhalten:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Daher hat Punkt C Koordinaten:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Analog wird eine Formel definiert, um die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments im Raum zu finden:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Beispiele für die Lösung von Problemen zum Auffinden der Koordinaten der Mitte eines Segments

Unter den Aufgaben, bei denen die oben erhaltenen Formeln verwendet werden, gibt es sowohl solche, bei denen es darum geht, die Koordinaten der Mitte des Segments direkt zu berechnen, als auch solche, bei denen es darum geht, die gegebenen Bedingungen auf diese Frage zu bringen: den Begriff "Median" häufig verwendet wird, ist das Ziel, die Koordinaten eines von den Enden des Segments zu finden, sowie Probleme zur Symmetrie, deren Lösung im Allgemeinen auch nach dem Studium dieses Themas keine Schwierigkeiten bereiten sollte. Betrachten wir typische Beispiele.

Beispiel 1

Ausgangsdaten: auf der Ebene - Punkte mit gegebenen Koordinaten A (- 7, 3) und B (2, 4) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments A B zu finden.

Lösung

Bezeichnen wir die Mitte der Strecke A B mit dem Punkt C . Seine Koordinaten werden als halbe Summe der Koordinaten der Enden des Segments bestimmt, d.h. Punkte A und B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Antworten: Koordinaten der Mitte des Segments A B - 5 2 , 7 2 .

Beispiel 2

Ausgangsdaten: die Koordinaten des Dreiecks A B C sind bekannt: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Es ist notwendig, die Länge des Medians A M zu finden.

Lösung

1. Durch die Bedingung des Problems ist A M der Median, was bedeutet, dass M der Mittelpunkt des Segments B C ist. Zunächst finden wir die Koordinaten der Segmentmitte B C , also M Punkte:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Da wir nun die Koordinaten der beiden Enden des Mittelstreifens (Punkte A und M) kennen, können wir mit der Formel den Abstand zwischen den Punkten bestimmen und die Länge des Mittelstreifens A M berechnen:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Antworten: 58

Beispiel 3

Ausgangsdaten: ein Parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ist im rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben. Die Koordinaten des Punktes C 1 (1 , 1 , 0) sind gegeben, außerdem ist der Punkt M definiert, der der Mittelpunkt der Diagonalen B D 1 ist und die Koordinaten M (4 , 2 , -4) hat. Es ist notwendig, die Koordinaten von Punkt A zu berechnen.

Lösung

Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt, der der Mittelpunkt aller Diagonalen ist. Basierend auf dieser Aussage können wir uns merken, dass der durch die Bedingungen des Problems bekannte Punkt M die Mitte des Segments А С 1 ist. Basierend auf der Formel zum Ermitteln der Koordinaten der Mitte des Segments im Raum finden wir die Koordinaten des Punktes A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Antworten: Koordinaten von Punkt A (7, 3, - 8) .

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