Sanktionen gegen den russischen Energiesektor durch die USA können kritische Folgen haben – bis hin zum Zusammenbruch des europäischen Energiesystems. Das sagt Robert, der Chef des britischen Öl- und Gaskonzerns BP.

„Ich glaube nicht, dass das passieren wird. Wenn Sie Sanktionen gegen Rosneft verhängen oder Sanktionen verhängen, wie sie gegen Rusal verhängt wurden, dann schalten Sie tatsächlich die Energiesysteme Europas aus, und das ist schon ein bisschen zu viel“, sagte er.

- sagte Dudley bei einer Rede auf der Konferenz Oil & Money 2018 in London (zitiert aus).

Die Bereitstellung von Fremd- und Eigenkapital für Unternehmen aus Russland war begrenzt, ebenso wie die Lieferung von Ausrüstung für die Exploration und Förderung von Öl auf dem Schelf in einer Tiefe von mehr als 150 Metern und für die Erschließung von Schiefergestein.

Im August 2017 verschärften die Vereinigten Staaten Finanzsanktionen, führten zusätzliche Verbote für die Lieferung von Gütern und Technologien für die Produktion ein und gesetzlich die Möglichkeit, Exportpipelines zu beschränken. Aufgrund der Sanktionen wurden auch fast alle gemeinsamen Projekte mit Ausländern zur Erschließung von Offshore- und Schieferöl ausgesetzt.

Experten haben wiederholt darauf hingewiesen, dass diese Beschränkungen in Zukunft zu einem Rückgang des Produktionsniveaus in der Russischen Föderation führen können, wenn das Land der geologischen Erkundung und der Entwicklung eigener Technologien nicht mehr Aufmerksamkeit schenkt.

Wenn im November das härteste Beschränkungspaket verabschiedet wird, kann das Zusammenspiel natürlich kompliziert sein, aber es ist unwahrscheinlich, dass es in die Kategorie eines vollständigen Stopps fällt.

Zharsky denkt.

Wenn die Erwartungen anders wären, würden die gleichen beunruhigenden Nachrichten vom anderen Interessenten kommen, aber die Ölmänner stottern nicht über solche Prognosen, macht der Experte aufmerksam.

Die Verhängung harter Sanktionen ist nicht nur ein Problem für Russland, sondern auch ein Problem für unsere ausländischen Gegenparteien, zu denen die engsten Verbündeten der USA gehören, stimmt der Anlagestratege von BCS Premier zu.

Dem Analysten zufolge könnten restriktive Maßnahmen im Falle einer Verschärfung der Sanktionen eher selektiver Natur sein und sich wahrscheinlich nicht auf die gesamte Branche richten.

Russland nimmt mehr als 10 % des Weltölmarkts ein, der abrupte Abgang eines so großen Akteurs wird ein schnelles Wachstum des Öls bedeuten Zitate: möglicherweise ist dies nicht nur ein Schlag für die europäischen, sondern auch für alle anderen Ölverbraucher.

So belief sich die Ölförderung in Russland im September auf 11,35 Millionen Barrel pro Tag (b / d). Nach Angaben der CDU des Brennstoff- und Energiekomplexes des Energieministeriums lieferte Russland von Januar bis September 2018 190,212 Millionen Tonnen Öl an Nicht-GUS-Staaten.

Auf dem Gasmarkt ist die Situation für die EU sogar noch ernster: Auf Russland entfallen etwa 34 % aller Gaslieferungen nach Europa. Gleichzeitig lieferte Gazprom im vergangenen Jahr rund 195 Milliarden Kubikmeter Gas an Nicht-GUS-Staaten (EU plus Türkei). In diesem Jahr wird diese Zahl nach Prognosen von Experten und dem Monopolisten selbst 200 Milliarden Kubikmeter überschreiten.

Es ist sehr schwierig, solche Volumes schnell zu ersetzen. Ganz zu schweigen von der Tatsache, dass Gas aus der Russischen Föderation für europäische Länder wirtschaftlich rentabler ist als dasselbe verflüssigte Erdgas (LNG).

Ich habe vorhin berichtet, dass Sanktionen gegen Russland nach dem harten Szenario Iran oder Nordkorea nicht verhängt werden können, das Land ist zu tief in die Weltwirtschaft integriert. Im November wird ein Embargo für Öllieferungen aus dem Iran eingeführt, und der Markt wird etwa 1-2 Millionen Barrel verlieren. Erst die Erwartung darauf brachte die Notierungen auf das Niveau von 80-85 $ pro Barrel Brent.

Risiken, Handelskriege mit der EU und China zu entfesseln, zieht die Regierung jedoch nicht in Betracht. US-Innenminister Ryan Zinke sagte kürzlich, die USA könnten eine Seeblockade gegen Russland verhängen. Daher kann kein einziges, auch das unwahrscheinlichste Szenario ausgeschlossen werden.

Unter allen Zahlenfolgen ist die geometrische Folge, die im Algebrakurs der 9. Klasse behandelt wird, eine der bekanntesten. Was das ist und wie man eine geometrische Folge löst – diese Fragen werden in diesem Artikel beantwortet.

Eine Folge von Zahlen, die einem mathematischen Gesetz gehorcht

Der Titel dieses Absatzes ist eine allgemeine Definition einer geometrischen Folge. Das Gesetz, mit dem sie beschrieben wird, ist ganz einfach: Jede nächste Zahl unterscheidet sich von der vorherigen durch einen Faktor, der als "Nenner" bezeichnet wird. Sie können es mit dem Buchstaben r bezeichnen. Dann können wir die folgende Gleichheit schreiben:

Hier ist an das Mitglied der Progression mit der Nummer n.

Wenn r größer als 1 ist, wird die Progression im absoluten Wert zunehmen (sie kann abnehmen, wenn ihr erster Term ein negatives Vorzeichen hat). Wenn r kleiner als eins ist, dann geht die ganze Progression gegen Null oder von unten (a1<0), либо сверху (a1>0). Bei negativem Nenner (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Ein Beispiel für die Art der betrachteten Progression ist unten angegeben:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Hier ist der erste Term 2 und der Nenner ist 1,5.

Wichtige Formeln

Wie löse ich eine geometrische Progression in Klasse 9? Dazu sollten Sie nicht nur seine Definition kennen und verstehen, worum es geht, sondern sich auch zwei wichtige Formeln merken. Die erste davon ist unten dargestellt:

Mit dem Ausdruck können Sie leicht ein beliebiges Element der Folge finden, aber dazu müssen Sie zwei Zahlen kennen: den Nenner und das erste Element. Diese Formel lässt sich leicht beweisen, man muss sich nur an die Definition einer geometrischen Folge erinnern: Das zweite Element erhält man durch Multiplikation des ersten mit dem Nenner bis zum ersten Grad, das dritte Element durch Multiplikation des ersten mit dem Nenner bis zum zweiten Grad und so weiter. Die Nützlichkeit dieses Ausdrucks liegt auf der Hand: Es ist nicht erforderlich, die gesamte Zahlenreihe nacheinander wiederherzustellen, um herauszufinden, welchen Wert ihr n-tes Element annehmen wird.

Die folgende Formel ist auch nützlich, um die Frage zu beantworten, wie man eine geometrische Folge löst. Wir sprechen über die Summe seiner Elemente, beginnend mit dem ersten und endend mit dem n-ten. Der entsprechende Ausdruck ist unten angegeben:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Es lohnt sich, auf seine Besonderheit zu achten: Wie in der Formel zum Auffinden des n-ten Elements reicht es auch hier aus, die gleichen zwei Zahlen (a1 und r) zu kennen. Dieses Ergebnis ist nicht verwunderlich, da jedem Term der Progression die markierten Zahlen zugeordnet sind.

Fortschreiten wiederherstellen

Das erste Beispiel, wie man eine geometrische Folge löst, hat folgende Bedingung: Es ist bekannt, dass die beiden Zahlen 10 und 20 die betrachtete Art der Folge bilden. In diesem Fall sind die Zahlen das achte und fünfzehnte Element der Reihe. Es ist notwendig, die gesamte Serie wiederherzustellen, in dem Wissen, dass sie abnehmen muss.

Diese etwas verwirrende Bedingung des Problems sollte sorgfältig analysiert werden: Da es sich um eine abnehmende Reihe handelt, sollte die Zahl 10 an Position 15 und 20 an Position 8 stehen. Beginnen Sie mit der Lösung und schreiben Sie die entsprechenden Gleichheiten für jede der Zahlen auf:

a8 = a1*r7 und a15 = a1*r14.

Du hast zwei Gleichheiten mit zwei Unbekannten. Lösen Sie sie, indem Sie aus dem ersten a1 ausdrücken und es in das zweite einsetzen. Erhalten:

a1 = a8*r-7 und a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Nun bleibt noch, die entsprechenden Werte aus der Bedingung zu ersetzen und die siebte Wurzel zu berechnen. Erhalten:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0,9057.

Setzt man den resultierenden Nenner in einen der Ausdrücke für das bekannte n-te Element ein, erhält man a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

Auf diese Weise finden Sie den ersten Term und den Nenner, was bedeutet, dass Sie die gesamte Progression wiederherstellen. Die ersten Mitglieder:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Zu beachten ist, dass bei der Berechnung auf 4 Dezimalstellen gerundet wurde.

Suche nach einem unbekannten Mitglied einer Serie

Nun lohnt es sich, ein weiteres Beispiel zu betrachten: Es ist bekannt, dass das siebte Element der Reihe 27 ist, was der dreizehnte Term ist, wenn der Nenner r \u003d -2 ist. Wie löst man eine geometrische Progression mit diesen Daten? Ganz einfach, Sie müssen die Formel für das 7. Element aufschreiben:

Da in dieser Gleichheit nur die Zahl a1 unbekannt ist, drücken Sie es aus:

Verwenden Sie die letzte Gleichung, indem Sie sie in die Formel für den 13. Term einsetzen, den Sie finden möchten. Erhalten:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Es bleibt, die Zahlen zu ersetzen und die Antwort zu schreiben:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Die resultierende Zahl zeigt, wie schnell die geometrische Progression wächst.

Aufgabe für die Summe

Die letzte Aufgabe, die die Frage aufzeigt, wie man eine geometrische Folge löst, bezieht sich auf das Finden der Summe mehrerer Elemente. Sei a1 = 1,5, r = 2. Sie sollten die Summe der Terme dieser Reihe berechnen, beginnend mit dem 5. und endend mit dem 10..

Um die Antwort auf die gestellte Frage zu erhalten, sollten Sie die Formel anwenden:

S510 = S10 - S4.

Das heißt, zuerst müssen Sie die Summe von 10 Elementen finden, dann die Summe der ersten 4 und sie untereinander subtrahieren. Nach dem angegebenen Algorithmus stellt sich heraus:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Es ist erwähnenswert, dass in der endgültigen Formel die Summe von genau 4 Termen subtrahiert wurde, da der fünfte gemäß der Problemstellung an der Summe teilnehmen sollte.

9. Oktober 2018

Die geometrische Progression ist eine der interessantesten Zahlenreihen, die im Schulalgebrakurs behandelt werden. Dieser Artikel widmet sich einem Spezialfall der genannten Reihe: einer fallenden unendlichen geometrischen Folge und der Summe ihrer Glieder.

Von welcher Zahlenreihe reden wir?

Eine geometrische Folge ist eine eindimensionale Folge reeller Zahlen, die durch die folgende Beziehung miteinander verbunden sind:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., ein n = a n-1 *r

Wenn wir die obigen Ausdrücke verallgemeinern, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

ein n = ein 1 *r n-1

Wie aus den obigen Einträgen hervorgeht, ist a n das Element der Progression mit der Nummer n. Der Parameter r, mit dem n-1 Elemente multipliziert werden müssen, um das n-te Element zu erhalten, wird als Nenner bezeichnet.

Welche Eigenschaften hat die beschriebene Sequenz? Die Antwort auf die Frage hängt vom Wert und Vorzeichen von r ab. Folgende Optionen sind möglich:

• Der Nenner r ist positiv und größer als 1. In diesem Fall wird die Progression immer im absoluten Wert zunehmen, während der absolute Wert ihrer Mitglieder auch abnehmen kann, wenn eine 1 negativ ist.
• Der Nenner r ist negativ und größer als 1. In diesem Fall erscheinen die Terme der Progression mit abwechselndem Vorzeichen (+ und -). Solche Reihen sind von geringem praktischem Interesse.
• Der Betrag des Nenners r ist kleiner als 1. Diese Reihe heißt abnehmend, unabhängig vom Vorzeichen von r. Dieser Fortschritt ist von großem praktischem Interesse und wird in diesem Artikel diskutiert.

Formel für Summe

Lassen Sie uns zunächst einen Ausdruck erhalten, der es uns ermöglicht, die Summe einer beliebigen Anzahl von Elementen einer gegebenen Progression zu berechnen. Beginnen wir mit der Lösung dieses Problems direkt. Wir haben:

S n = ein 1 + ein 2 + ein 3 +..+ ein n

Die angegebene Gleichheit kann verwendet werden, wenn das Ergebnis für eine kleine Anzahl von Termen (3-4 Terme) berechnet werden muss, von denen jeder durch die Formel für den n-ten Term bestimmt wird (siehe vorheriger Absatz). Wenn es jedoch viele Begriffe gibt, ist es unpraktisch, auf die Stirn zu zählen, und Sie können einen Fehler machen, sodass sie eine spezielle Formel verwenden.

Wir multiplizieren beide Teile der obigen Gleichheit mit r, wir erhalten:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Jetzt subtrahieren wir den linken und rechten Teil dieser beiden Ausdrücke paarweise, wir haben:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Wenn wir die Summe S n ausdrücken und die Formel für den Term a n+1 verwenden, erhalten wir:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Damit haben wir eine allgemeine Formel für die Summe der ersten n Terme des betrachteten Typs der Zahlenreihe erhalten. Beachten Sie, dass die Formel gültig ist, wenn r≠1. Im letzteren Fall handelt es sich um eine einfache Reihe identischer Zahlen, deren Summe sich als Produkt aus einer Zahl und ihrer Zahl errechnet.

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Wie findet man die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge?

Um diese Frage zu beantworten, sollten wir uns daran erinnern, dass die Reihe abnehmen wird, wenn |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Beachten Sie, dass jede Zahl, deren Modul kleiner als 1 ist, gegen Null tendiert, wenn sie auf eine große Potenz erhoben wird, d.h. r ∞ -> 0. Sie können diese Tatsache an jedem Beispiel überprüfen:

r = -1/2, dann (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 und so weiter.

Nachdem wir diese Tatsache festgestellt haben, achten wir auf den Ausdruck für die Summe: Für n->∞ wird er wie folgt umgeschrieben:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Es wurde ein interessantes Ergebnis erhalten: Die Summe einer unendlichen Progression einer abnehmenden Geometrie strebt gegen eine endliche Zahl, die nicht von der Anzahl der Terme abhängt. Sie wird nur durch den ersten Term und den Nenner bestimmt. Beachten Sie, dass das Vorzeichen der Summe eindeutig durch das Vorzeichen einer 1 bestimmt wird, da der Nenner immer eine positive Zahl ist (1-r>0).

Die Summe der Quadrate einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge

Der Titel des Items definiert das zu lösende Problem. Dazu verwenden wir eine Technik, die der zur Ableitung der allgemeinen Formel für S n verwendeten vollkommen ähnlich ist. Wir haben den ersten Ausdruck:

M n = ein 1 2 + ein 2 2 + ein 3 2 + ... + ein n 2

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit mit r 2, schreiben Sie den zweiten Ausdruck:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Jetzt finden wir den Unterschied zwischen diesen beiden Gleichheiten:

r 2 *M n - M n = ein 2 2 + ein 3 2 + ein 4 2 ... + ein n+1 2 - (ein 1 2 + ein 2 2 + ein 3 2 + ... + ein n 2) = ein n+1 2 - ein 1 2

Wir drücken M n aus und verwenden die Formel für das n-te Element, wir erhalten die Gleichheit:

M n \u003d (ein n+1 2 - ein 1 2) / (r 2 -1) \u003d ein 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Im vorherigen Absatz wurde gezeigt, dass r ∞ -> 0, dann hat die endgültige Formel die Form:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Vergleich zweier erhaltener Beträge

Vergleichen wir zwei Formeln: für eine unendliche Summe und eine unendliche Quadratsumme am Beispiel des folgenden Problems: Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge ist 2, es ist bekannt, dass wir von einer fallenden Folge sprechen, deren Nenner 1 ist /3. Es ist notwendig, die unendliche Summe der Quadrate dieser Zahlenreihe zu finden.

Verwenden wir die Formel für die Summe. Drücken Sie eine 1 aus:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Wir setzen diesen Ausdruck in die Formel für die Quadratsumme ein, wir haben:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Wir haben die gewünschte Formel erhalten, jetzt können wir die aus der Bedingung bekannten Daten ersetzen:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Damit haben wir für die unendliche Quadratsumme den gleichen Wert wie für die einfache Summe erhalten. Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nur für dieses Problem gültig ist. Im Allgemeinen gilt M ∞ ≠ S ∞ .

Die Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen

Jeder Schüler kennt die Formel S = a * b, die den Flächeninhalt eines Rechtecks ​​in Bezug auf seine Seiten bestimmt. Nur wenige wissen, dass das Problem, die Fläche dieser Figur zu finden, leicht mit der Summe einer unendlichen geometrischen Progression gelöst werden kann. Lassen Sie uns zeigen, wie es geht.

Teilen wir das Rechteck gedanklich in zwei Hälften. Die Fläche einer Hälfte wird als Einheit genommen. Jetzt teilen wir die andere Hälfte wieder in zwei Hälften. Wir bekommen zwei Hälften, von denen wir eine in zwei Hälften teilen werden. Wir werden dieses Verfahren auf unbestimmte Zeit fortsetzen (siehe Abbildung unten).

Als Ergebnis ist die Fläche des Rechtecks ​​​​in den von uns gewählten Einheiten gleich:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Es ist ersichtlich, dass diese Terme Elemente einer abnehmenden Reihe sind, in der a 1 = 1 und r = 1/2. Mit der Formel für eine unendliche Summe erhalten wir:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

In dem von uns gewählten Maßstab entspricht die Hälfte des Rechtecks ​​(eine Einheit) der Fläche a*b/2. Das bedeutet, dass die Fläche des gesamten Rechtecks ​​ist:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Das erzielte Ergebnis ist offensichtlich, es zeigte jedoch, wie eine abnehmende Progression zur Lösung von Problemen in der Geometrie angewendet werden kann.

Die geometrische Progression ist eine der interessantesten Zahlenreihen, die im Schulalgebrakurs behandelt werden. Dieser Artikel widmet sich einem speziellen Fall der erwähnten Reihe: und der Summe ihrer Mitglieder.

Von welcher Zahlenreihe reden wir?

Eine geometrische Folge ist eine eindimensionale Folge reeller Zahlen, die durch die folgende Beziehung miteinander verbunden sind:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., ein n = a n-1 *r

Wenn wir die obigen Ausdrücke verallgemeinern, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

ein n = ein 1 *r n-1

Wie aus den obigen Einträgen hervorgeht, ist a n das Element der Progression mit der Nummer n. Der Parameter r, mit dem n-1 Elemente multipliziert werden müssen, um das n-te Element zu erhalten, wird als Nenner bezeichnet.

Welche Eigenschaften hat die beschriebene Sequenz? Die Antwort auf die Frage hängt vom Wert und Vorzeichen von r ab. Folgende Optionen sind möglich:

• Der Nenner r ist positiv und größer als 1. In diesem Fall wird die Progression immer im absoluten Wert zunehmen, während der absolute Wert ihrer Mitglieder auch abnehmen kann, wenn eine 1 negativ ist.
• Der Nenner r ist negativ und größer als 1. In diesem Fall erscheinen die Terme der Progression mit abwechselndem Vorzeichen (+ und -). Solche Reihen sind von geringem praktischem Interesse.
• Der Betrag des Nenners r ist kleiner als 1. Diese Reihe heißt abnehmend, unabhängig vom Vorzeichen von r. Dieser Fortschritt ist von großem praktischem Interesse und wird in diesem Artikel diskutiert.

Formel für Summe

Lassen Sie uns zunächst einen Ausdruck erhalten, der es uns ermöglicht, die Summe einer beliebigen Anzahl von Elementen einer gegebenen Progression zu berechnen. Beginnen wir mit der Lösung dieses Problems direkt. Wir haben:

S n = ein 1 + ein 2 + ein 3 +..+ ein n

Die angegebene Gleichheit kann verwendet werden, wenn das Ergebnis für eine kleine Anzahl von Termen (3-4 Terme) berechnet werden muss, von denen jeder durch die Formel für den n-ten Term bestimmt wird (siehe vorheriger Absatz). Wenn es jedoch viele Begriffe gibt, ist es unpraktisch, auf die Stirn zu zählen, und Sie können einen Fehler machen, sodass sie eine spezielle Formel verwenden.

Wir multiplizieren beide Teile der obigen Gleichheit mit r, wir erhalten:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Jetzt subtrahieren wir den linken und rechten Teil dieser beiden Ausdrücke paarweise, wir haben:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Wenn wir die Summe S n ausdrücken und die Formel für den Term a n+1 verwenden, erhalten wir:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Damit haben wir eine allgemeine Formel für die Summe der ersten n Terme des betrachteten Typs der Zahlenreihe erhalten. Beachten Sie, dass die Formel gültig ist, wenn r≠1. Im letzteren Fall handelt es sich um eine einfache Reihe identischer Zahlen, deren Summe sich als Produkt aus einer Zahl und ihrer Zahl errechnet.

Wie findet man die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge?

Um diese Frage zu beantworten, sollten wir uns daran erinnern, dass die Reihe abnehmen wird, wenn |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Beachten Sie, dass jede Zahl, deren Modul kleiner als 1 ist, gegen Null tendiert, wenn sie auf eine große Potenz erhoben wird, d.h. r ∞ -> 0. Sie können diese Tatsache an jedem Beispiel überprüfen:

r = -1/2, dann (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 und so weiter.

Nachdem wir diese Tatsache festgestellt haben, achten wir auf den Ausdruck für die Summe: Für n->∞ wird er wie folgt umgeschrieben:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Es wurde ein interessantes Ergebnis erhalten: Die Summe einer unendlichen Progression einer abnehmenden Geometrie strebt gegen eine endliche Zahl, die nicht von der Anzahl der Terme abhängt. Sie wird nur durch den ersten Term und den Nenner bestimmt. Beachten Sie, dass das Vorzeichen der Summe eindeutig durch das Vorzeichen einer 1 bestimmt wird, da der Nenner immer eine positive Zahl ist (1-r>0).

Die Summe der Quadrate einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge

Der Titel des Items definiert das zu lösende Problem. Dazu verwenden wir eine Technik, die der zur Ableitung der allgemeinen Formel für S n verwendeten vollkommen ähnlich ist. Wir haben den ersten Ausdruck:

M n = ein 1 2 + ein 2 2 + ein 3 2 + ... + ein n 2

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichheit mit r 2, schreiben Sie den zweiten Ausdruck:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Jetzt finden wir den Unterschied zwischen diesen beiden Gleichheiten:

r 2 *M n - M n = ein 2 2 + ein 3 2 + ein 4 2 ... + ein n+1 2 - (ein 1 2 + ein 2 2 + ein 3 2 + ... + ein n 2) = ein n+1 2 - ein 1 2

Wir drücken M n aus und verwenden die Formel für das n-te Element, wir erhalten die Gleichheit:

M n \u003d (ein n+1 2 - ein 1 2) / (r 2 -1) \u003d ein 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Im vorherigen Absatz wurde gezeigt, dass r ∞ -> 0, dann hat die endgültige Formel die Form:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Vergleich zweier erhaltener Beträge

Vergleichen wir zwei Formeln: für eine unendliche Summe und eine unendliche Quadratsumme am Beispiel des folgenden Problems: Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge ist 2, es ist bekannt, dass wir von einer fallenden Folge sprechen, deren Nenner 1 ist /3. Es ist notwendig, die unendliche Summe der Quadrate dieser Zahlenreihe zu finden.

Verwenden wir die Formel für die Summe. Drücken Sie eine 1 aus:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Wir setzen diesen Ausdruck in die Formel für die Quadratsumme ein, wir haben:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Wir haben die gewünschte Formel erhalten, jetzt können wir die aus der Bedingung bekannten Daten ersetzen:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Damit haben wir für die unendliche Quadratsumme den gleichen Wert wie für die einfache Summe erhalten. Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nur für dieses Problem gültig ist. Im Allgemeinen gilt M ∞ ≠ S ∞ .

Die Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks ​​zu berechnen

Jeder Schüler kennt die Formel S = a * b, die den Flächeninhalt eines Rechtecks ​​in Bezug auf seine Seiten bestimmt. Nur wenige wissen, dass das Problem, die Fläche dieser Figur zu finden, leicht mit der Summe einer unendlichen geometrischen Progression gelöst werden kann. Lassen Sie uns zeigen, wie es geht.

Teilen wir das Rechteck gedanklich in zwei Hälften. Die Fläche einer Hälfte wird als Einheit genommen. Jetzt teilen wir die andere Hälfte wieder in zwei Hälften. Wir bekommen zwei Hälften, von denen wir eine in zwei Hälften teilen werden. Wir werden dieses Verfahren auf unbestimmte Zeit fortsetzen (siehe Abbildung unten).

Als Ergebnis ist die Fläche des Rechtecks ​​​​in den von uns gewählten Einheiten gleich:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Es ist ersichtlich, dass diese Terme Elemente einer abnehmenden Reihe sind, in der a 1 = 1 und r = 1/2. Mit der Formel für eine unendliche Summe erhalten wir:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

In dem von uns gewählten Maßstab entspricht die Hälfte des Rechtecks ​​(eine Einheit) der Fläche a*b/2. Das bedeutet, dass die Fläche des gesamten Rechtecks ​​ist:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Das erzielte Ergebnis ist offensichtlich, es zeigte jedoch, wie eine abnehmende Progression zur Lösung von Problemen in der Geometrie angewendet werden kann.

Unter allen Zahlenfolgen ist die geometrische Folge, die im Algebrakurs der 9. Klasse behandelt wird, eine der bekanntesten. Was das ist und wie man eine geometrische Folge löst – diese Fragen werden in diesem Artikel beantwortet.

Eine Folge von Zahlen, die einem mathematischen Gesetz gehorcht

Der Titel dieses Absatzes ist eine allgemeine Definition einer geometrischen Folge. Das Gesetz, mit dem sie beschrieben wird, ist ganz einfach: Jede nächste Zahl unterscheidet sich von der vorherigen durch einen Faktor, der als "Nenner" bezeichnet wird. Sie können es mit dem Buchstaben r bezeichnen. Dann können wir die folgende Gleichheit schreiben:

Hier ist ein n ein Mitglied der Progression mit der Nummer n.

Wenn r größer als 1 ist, wird die Progression im absoluten Wert zunehmen (sie kann abnehmen, wenn ihr erster Term ein negatives Vorzeichen hat). Wenn r kleiner als eins ist, dann wird die gesamte Progression gegen Null oder von unten (eine 1<0), либо сверху (a 1 >0). Bei negativem Nenner (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Ein Beispiel für die Art der betrachteten Progression ist unten angegeben:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Hier ist der erste Term 2 und der Nenner ist 1,5.

Wichtige Formeln

Wie löse ich eine geometrische Progression in Klasse 9? Dazu sollten Sie nicht nur seine Definition kennen und verstehen, worum es geht, sondern sich auch zwei wichtige Formeln merken. Die erste davon ist unten dargestellt:

Mit dem Ausdruck können Sie leicht ein beliebiges Element der Folge finden, aber dazu müssen Sie zwei Zahlen kennen: den Nenner und das erste Element. Diese Formel lässt sich leicht beweisen, man muss sich nur an die Definition einer geometrischen Folge erinnern: Das zweite Element erhält man durch Multiplikation des ersten mit dem Nenner bis zum ersten Grad, das dritte Element durch Multiplikation des ersten mit dem Nenner bis zum zweiten Grad und so weiter. Die Nützlichkeit dieses Ausdrucks liegt auf der Hand: Es ist nicht erforderlich, die gesamte Zahlenreihe nacheinander wiederherzustellen, um herauszufinden, welchen Wert ihr n-tes Element annehmen wird.

Die folgende Formel ist auch nützlich, um die Frage zu beantworten, wie man eine geometrische Folge löst. Wir sprechen über die Summe seiner Elemente, beginnend mit dem ersten und endend mit dem n-ten. Der entsprechende Ausdruck ist unten angegeben:

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

Es lohnt sich, auf seine Besonderheit zu achten: Wie in der Formel zum Auffinden des n-ten Elements reicht es auch hier aus, die gleichen zwei Zahlen (a 1 und r) zu kennen. Dieses Ergebnis ist nicht verwunderlich, da jedem Term der Progression die markierten Zahlen zugeordnet sind.

Fortschreiten wiederherstellen

Das erste Beispiel, wie man eine geometrische Folge löst, hat folgende Bedingung: Es ist bekannt, dass die beiden Zahlen 10 und 20 die betrachtete Art der Folge bilden. In diesem Fall sind die Zahlen das achte und fünfzehnte Element der Reihe. Es ist notwendig, die gesamte Serie wiederherzustellen, in dem Wissen, dass sie abnehmen muss.

Diese etwas verwirrende Bedingung des Problems sollte sorgfältig analysiert werden: Da es sich um eine abnehmende Reihe handelt, sollte die Zahl 10 an Position 15 und 20 an Position 8 stehen. Beginnen Sie mit der Lösung und schreiben Sie die entsprechenden Gleichheiten für jede der Zahlen auf:

a 8 = a 1 *r 7 und a 15 = a 1 *r 14 .

Du hast zwei Gleichheiten mit zwei Unbekannten. Lösen Sie sie, indem Sie von der ersten eine 1 ausdrücken und sie in die zweite einsetzen. Erhalten:

a 1 = a 8 *r -7 und a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8).

Nun bleibt noch, die entsprechenden Werte aus der Bedingung zu ersetzen und die siebte Wurzel zu berechnen. Erhalten:

r \u003d 7 √ (ein 15 / ein 8) \u003d 7 √ (10 / 20) ≈ 0,9057.

Wenn wir den resultierenden Nenner in einen der Ausdrücke für das bekannte n-te Element einsetzen, erhalten wir eine 1:

ein 1 \u003d ein 8 * r -7 \u003d 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Auf diese Weise finden Sie den ersten Term und den Nenner, was bedeutet, dass Sie die gesamte Progression wiederherstellen. Die ersten Mitglieder:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Zu beachten ist, dass bei der Berechnung auf 4 Dezimalstellen gerundet wurde.

Suche nach einem unbekannten Mitglied einer Serie

Nun lohnt es sich, ein weiteres Beispiel zu betrachten: Es ist bekannt, dass das siebte Element der Reihe 27 ist, was der dreizehnte Term ist, wenn der Nenner r \u003d -2 ist. Wie löst man eine geometrische Progression mit diesen Daten? Ganz einfach, Sie müssen die Formel für das 7. Element aufschreiben:

Da in dieser Gleichheit nur die Zahl a 1 unbekannt ist, drücken Sie es aus:

Verwenden Sie die letzte Gleichung, indem Sie sie in die Formel für den 13. Term einsetzen, den Sie finden möchten. Erhalten:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Es bleibt, die Zahlen zu ersetzen und die Antwort zu schreiben:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

Die resultierende Zahl zeigt, wie schnell die geometrische Progression wächst.

Aufgabe für die Summe

Die letzte Aufgabe, die die Frage aufzeigt, wie man eine geometrische Folge löst, bezieht sich auf das Finden der Summe mehrerer Elemente. Sei a 1 \u003d 1,5, r \u003d 2. Die Summe der Terme dieser Reihe sollte vom 5. bis zum 10. berechnet werden.

Um die Antwort auf die gestellte Frage zu erhalten, sollten Sie die Formel anwenden:

Das heißt, zuerst müssen Sie die Summe von 10 Elementen finden, dann die Summe der ersten 4 und sie untereinander subtrahieren. Nach dem angegebenen Algorithmus stellt sich heraus:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 · 10 -1) / (2-1) \u003d 1534,5;

S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22,5;

S 5 10 \u003d 1534,5 - 22,5 \u003d 1512.

Es ist erwähnenswert, dass in der endgültigen Formel die Summe von genau 4 Termen subtrahiert wurde, da der fünfte gemäß der Problemstellung an der Summe teilnehmen sollte.