GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 79. Wurzelziehen aus einer Arbeit und einem Quotienten

Satz 1. Wurzel P Potenz des Produkts positiver Zahlen ist gleich dem Produkt der Wurzeln P -ten Grades der Faktoren, also wann A > 0, B > 0 und natürlich P

N √ab = N √A N √B . (1)

Nachweisen. Daran erinnern, dass die Wurzel P Potenz einer positiven Zahl ab Es gibt eine positive Zahl P -ten Grades gleich ist ab . Daher ist der Beweis der Gleichheit (1) dasselbe wie der Beweis der Gleichheit

(N √A N √B ) N = ab .

Durch die Eigenschaft des Grades des Produkts

(N √A N √B ) N = (N √A ) N (N √B ) N =.

Aber per Definition der Wurzel P Grad ( N √A ) N = A , (N √B ) N = B .

Deshalb ( N √A N √B ) N = ab . Der Satz ist bewiesen.

Erfordernis A > 0, B > 0 ist nur für gerade erforderlich P , weil für negativ A Und B und selbst P Wurzeln N √A Und N √B nicht definiert. Wenn P ungerade, dann gilt Formel (1) für alle A Und B (sowohl positiv als auch negativ).

Beispiele: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formel (1) ist nützlich beim Berechnen der Wurzeln, wenn der Wurzelausdruck als Produkt exakter Quadrate dargestellt wird. Zum Beispiel,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Wir haben Satz 1 für den Fall bewiesen, dass das Wurzelzeichen auf der linken Seite von Formel (1) das Produkt zweier positiver Zahlen ist. Tatsächlich gilt dieses Theorem für eine beliebige Anzahl positiver Faktoren, das heißt für alle natürlichen k > 2:

Folge. Wenn wir diese Identität von rechts nach links lesen, erhalten wir die folgende Regel zum Multiplizieren von Wurzeln mit denselben Exponenten;

Um Wurzeln mit denselben Exponenten zu multiplizieren, genügt es, die Wurzelausdrücke zu multiplizieren, wobei der Exponent der Wurzel gleich bleibt.

Beispiel: √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Satz 2. Wurzel P Potenz eines Bruchs, dessen Zähler und Nenner positive Zahlen sind, ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel gleichen Grades aus dem Zähler durch die Wurzel gleichen Grades aus dem Nenner, das ist wenn A > 0 und B > 0

(2)

Gleichheit (2) zu beweisen bedeutet, dies zu zeigen

Nach der Regel, einen Bruch zu potenzieren und die Wurzel zu bestimmen N Grad haben wir:

Damit ist der Satz bewiesen.

Erfordernis A > 0 und B > 0 ist nur für gerade erforderlich P . Wenn P ungerade, dann gilt Formel (2) auch für negative Werte A Und B .

Folge. Identität lesen von rechts nach links erhalten wir die folgende Regel zum Teilen von Wurzeln mit gleichen Exponenten:

Um Wurzeln mit denselben Exponenten zu dividieren, reicht es aus, die Wurzelausdrücke zu dividieren, wobei der Exponent der Wurzel gleich bleibt.

Zum Beispiel,

Übungen

554. Wo im Beweis von Theorem 1 haben wir die Tatsache benutzt, dass A Und B positiv?

Warum mit einer ungeraden P Formel (1) gilt auch für negative Zahlen A Und B ?

Zu welchen Werten X die Gleichheitsdaten sind korrekt (Nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x-a ) 3 = (√ x-a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Berechnen Sie:

A) √ 173 2 - 52 2 ; V) √ 200 2 - 56 2 ;

B) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Hypotenuse 205 cm und eines der Beine 84 cm. Finde das andere Bein.

563. Wie oft:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - irgendeine Nummer. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - irgendeine Nummer. 563. a) Dreimal.

In diesem Abschnitt betrachten wir arithmetische Quadratwurzeln.

Bei einem wörtlichen Wurzelausdruck gehen wir davon aus, dass die unter dem Wurzelzeichen enthaltenen Buchstaben nicht negative Zahlen bezeichnen.

1. Die Wurzel der Arbeit.

Betrachten wir ein solches Beispiel.

Beachten Sie andererseits, dass die Zahl 2601 das Produkt zweier Faktoren ist, aus denen die Wurzel leicht gezogen werden kann:

Ziehen Sie die Quadratwurzel jedes Faktors und multiplizieren Sie diese Wurzeln:

Wir haben die gleichen Ergebnisse erhalten, als wir die Wurzel aus dem Produkt unter der Wurzel gezogen haben, und als wir die Wurzel aus jedem Faktor separat gezogen und die Ergebnisse multipliziert haben.

In vielen Fällen ist der zweite Weg, das Ergebnis zu finden, einfacher, da Sie die Wurzel aus den kleineren Zahlen ziehen müssen.

Satz 1. Um die Quadratwurzel des Produkts zu ziehen, können Sie sie aus jedem Faktor separat ziehen und die Ergebnisse multiplizieren.

Wir werden den Satz für drei Faktoren beweisen, das heißt, wir werden die Gültigkeit der Gleichheit beweisen:

Den Beweis führen wir durch direkte Verifikation, basierend auf der Definition der Rechenwurzel. Nehmen wir an, wir müssen die Gleichheit beweisen:

(A und B sind nicht negative Zahlen). Nach der Definition der Quadratwurzel bedeutet dies, dass

Daher genügt es, die rechte Seite der zu beweisenden Gleichheit zu quadrieren und sicherzustellen, dass der Wurzelausdruck der linken Seite erhalten wird.

Wenden wir diese Argumentation auf den Gleichheitsbeweis (1) an. Lassen Sie uns die rechte Seite quadrieren; aber das Produkt steht auf der rechten Seite, und um das Produkt zu quadrieren, genügt es, jeden Faktor zu quadrieren und die Ergebnisse zu multiplizieren (siehe § 40);

Es stellte sich ein radikaler Ausdruck heraus, der auf der linken Seite stand. Daher ist Gleichheit (1) wahr.

Wir haben den Satz für drei Faktoren bewiesen. Aber die Argumentation bleibt die gleiche, wenn es 4 usw. Faktoren unter der Wurzel gibt. Der Satz gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren.

Das Ergebnis ist leicht mündlich zu finden.

2. Die Wurzel des Bruchs.

Berechnen

Untersuchung.

Andererseits,

Beweisen wir den Satz.

Satz 2. Um die Wurzel eines Bruchs zu ziehen, kannst du die Wurzel getrennt aus Zähler und Nenner ziehen und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

Es ist erforderlich, die Gültigkeit der Gleichheit zu beweisen:

Für den Beweis wenden wir die Methode an, mit der der vorige Satz bewiesen wurde.

Lassen Sie uns die rechte Seite quadrieren. Werde haben:

Wir haben den radikalen Ausdruck auf der linken Seite. Daher ist Gleichheit (2) wahr.

Wir haben also die folgenden Identitäten bewiesen:

und formulierte die entsprechenden Regeln zum Ziehen der Quadratwurzel aus dem Produkt und dem Quotienten. Manchmal ist es bei der Durchführung von Transformationen notwendig, diese Identitäten anzuwenden und sie "von rechts nach links" zu lesen.

Indem wir die linke und rechte Seite neu anordnen, schreiben wir die nachgewiesenen Identitäten wie folgt um:

Um die Wurzeln zu multiplizieren, können Sie die Wurzelausdrücke multiplizieren und die Wurzel aus dem Produkt extrahieren.

Um die Wurzeln zu trennen, kannst du die Wurzelausdrücke dividieren und die Wurzel aus dem Quotienten ziehen.

3. Die Wurzel des Grades.

Berechnen

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten analysieren Root-Eigenschaften. Beginnen wir mit den Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel, geben ihre Formulierungen an und geben Beweise. Danach beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften der Rechenwurzel n-ten Grades.

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Eigenschaften der Quadratwurzel

In diesem Abschnitt werden wir uns mit den folgenden Hauptaufgaben befassen Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel:

In jeder der geschriebenen Gleichheiten können der linke und der rechte Teil vertauscht werden, zum Beispiel kann Gleichheit umgeschrieben werden als . In dieser „umgekehrten“ Form werden die Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel angewendet Vereinfachung von Ausdrücken genauso oft wie in der "direkten" Form.

Der Beweis der ersten beiden Eigenschaften basiert auf der Definition der arithmetischen Quadratwurzel und auf . Und um die letzte Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel zu rechtfertigen, müssen Sie sich daran erinnern.

Beginnen wir also mit Beweis der Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen: . Dazu genügt es nach der Definition der arithmetischen Quadratwurzel zu zeigen, dass eine nicht negative Zahl ist, deren Quadrat gleich a b ist. Lass es uns tun. Der Wert des Ausdrucks ist als Produkt nicht negativer Zahlen nicht negativ. Die Eigenschaft des Grades des Produkts zweier Zahlen erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben , und da durch die Definition der arithmetischen Quadratwurzel und , dann .

Ebenso wird bewiesen, dass die arithmetische Quadratwurzel des Produkts von k nicht negativen Faktoren a 1 , a 2 , …, a k gleich dem Produkt der arithmetischen Quadratwurzeln dieser Faktoren ist. Wirklich, . Aus dieser Gleichheit folgt .

Hier sind einige Beispiele: und .

Jetzt beweisen wir es Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel eines Quotienten: . Die Eigenschaft des natürlichen Potenzquotienten erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben , A , während es eine nicht negative Zahl gibt. Dies ist der Beweis.

Zum Beispiel und .

Es ist Zeit zu zerlegen Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl, in der Form der Gleichheit wird es geschrieben als . Betrachten Sie zum Beweis zwei Fälle: für a≥0 und für a<0 .

Es ist offensichtlich, dass für a≥0 die Gleichheit gilt. Es ist auch leicht zu sehen, dass für a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 und (−a) 2 =a 2 . Auf diese Weise, , was zu beweisen war.

Hier sind einige Beispiele: Und .

Die gerade bewiesene Eigenschaft der Quadratwurzel erlaubt es uns, das folgende Ergebnis zu rechtfertigen, wobei a eine beliebige reelle Zahl und m eine beliebige ist. Tatsächlich erlaubt uns die Potenzierungseigenschaft, den Grad a 2 m dann durch den Ausdruck (am) 2 zu ersetzen .

Z.B, Und .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Lassen Sie uns zuerst die wichtigsten auflisten Eigenschaften der n-ten Wurzeln:

Alle geschriebenen Gleichheiten bleiben gültig, wenn darin linke und rechte Seite vertauscht sind. In dieser Form werden sie auch häufig verwendet, hauptsächlich beim Vereinfachen und Umwandeln von Ausdrücken.

Der Beweis aller stimmhaften Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition der arithmetischen Wurzel des n-ten Grades, auf den Eigenschaften der Stufe und auf der Definition des Moduls der Zahl. Lassen Sie uns sie in der Reihenfolge ihrer Priorität beweisen.

Beginnen wir mit dem Beweis Eigenschaften der n-ten Wurzel eines Produkts . Für nicht-negative a und b ist der Wert des Ausdrucks ebenso nicht-negativ wie das Produkt von nicht-negativen Zahlen. Die Produkteigenschaft der Naturkräfte erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben . Per Definition der Rechenwurzel n-ten Grades und damit . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft der Wurzel.

Diese Eigenschaft wird ähnlich für das Produkt von k Faktoren bewiesen: für nicht-negative Zahlen a 1 , a 2 , …, a n Und .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft der Wurzel des n-ten Grades des Produkts: Und .

Lassen Sie uns beweisen Wurzeleigenschaft des Quotienten. Für a≥0 und b>0 ist die Bedingung erfüllt, und .

Lassen Sie uns Beispiele zeigen: Und .

Wir fahren fort. Lassen Sie uns beweisen Eigenschaft der n-ten Wurzel einer Zahl hoch n. Das heißt, wir werden das beweisen für jedes echte a und natürliche m . Für a≥0 haben wir und , was die Gleichheit beweist, und die Gleichheit offensichtlich. Für ein<0 имеем и (der letzte Übergang gilt wegen der Potenzeigenschaft mit geradem Exponenten), was die Gleichheit , und beweist ist wahr aufgrund der Tatsache, dass wir, wenn wir über die Wurzel eines ungeraden Grads sprechen, genommen haben für jede nicht negative Zahl c .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der geparsten Stammeigenschaft: and .

Wir gehen von der Wurzel zum Beweis der Eigenschaft der Wurzel über. Lassen Sie uns den rechten und den linken Teil vertauschen, das heißt, wir werden die Gültigkeit der Gleichheit beweisen, was die Gültigkeit der ursprünglichen Gleichheit bedeutet. Für eine nicht negative Zahl a ist die Quadratwurzel der Form eine nicht negative Zahl. Wenn wir uns an die Eigenschaft erinnern, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben, und die Definition der Wurzel verwenden, können wir eine Kette von Gleichheiten der Form schreiben . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel.

Die Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel von einer Wurzel wird auf ähnliche Weise bewiesen, und so weiter. Wirklich, .

Zum Beispiel, Und .

Lassen Sie uns folgendes beweisen Wurzelexponentenreduktionseigenschaft. Dazu genügt es aufgrund der Definition der Wurzel zu zeigen, dass es eine nicht negative Zahl gibt, die, wenn sie mit n m potenziert wird, gleich a m ist. Lass es uns tun. Es ist klar, dass, wenn die Zahl a nicht negativ ist, die n-te Wurzel der Zahl a eine nicht negative Zahl ist. Dabei , was den Beweis vervollständigt.

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung der geparsten Stammeigenschaft: .

Beweisen wir die folgende Eigenschaft, die Eigenschaft der Wurzel des Grades der Form . Es ist offensichtlich, dass für a≥0 der Grad eine nicht negative Zahl ist. Außerdem ist seine n-te Potenz gleich a m , tatsächlich . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft des Grades.

Zum Beispiel, .

Lass uns weitermachen. Beweisen wir das für alle positiven Zahlen a und b, für die die Bedingung a gilt , also a≥b . Und dies widerspricht der Bedingung a

Zum Beispiel geben wir die richtige Ungleichung an .

Schließlich bleibt noch die letzte Eigenschaft der n-ten Wurzel zu beweisen. Lassen Sie uns zuerst den ersten Teil dieser Eigenschaft beweisen, das heißt, wir werden das für m > n und 0 beweisen . Dann, aufgrund der Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten, die Ungleichung , das heißt, ein n ≤ ein m . Und die daraus resultierende Ungleichung für m>n und 0

Ebenso wird durch Widerspruch bewiesen, dass für m > n und a > 1 die Bedingung erfüllt ist.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der bewiesenen Eigenschaft der Wurzel in konkreten Zahlen. Zum Beispiel sind die Ungleichungen und wahr.

Referenzliste.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Betreff Informationen: Führen Sie den Quadratwurzelsatz für Brüche ein. Vertiefung der von den Studierenden erworbenen Kenntnisse zu den Themen: „Arithmetische Quadratwurzel“, „Quadratwurzel eines Grads“, „Quadratwurzel eines Produkts“. Stärkung der Fähigkeiten des schnellen Zählens.

Aktivitätskommunikation: Entwicklung und Bildung der Schülerfähigkeiten des logischen Denkens, der korrekten und kompetenten Rede, der schnellen Reaktion.

Werteorientiert: das Interesse der Studierenden an der Beschäftigung mit diesem Thema und diesem Fach wecken. Die Fähigkeit, das erworbene Wissen in praktischen Tätigkeiten und in anderen Fächern anzuwenden.

1. Wiederholen Sie die Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

2. Wiederholen Sie den Quadratwurzelsatz vom Grad.

3. Wiederholen Sie den Quadratwurzelsatz aus dem Produkt.

4. Entwickeln Sie mündliche Zählfähigkeiten.

5. Bereiten Sie die Schüler darauf vor, das Thema „Quadratwurzel eines Bruchs“ zu studieren und den Stoff der Geometrie zu beherrschen.

6. Erzählen Sie von der Entstehungsgeschichte der arithmetischen Wurzel.

Didaktische Materialien und Ausstattung: didaktischer Unterrichtsplan (Anlage 1), Tafel, Kreide, Karten für individuelle Aufgaben (unter Berücksichtigung der individuellen Fähigkeiten der Schüler), Karten zum mündlichen Zählen, Karten zum selbstständigen Arbeiten.

Während des Unterrichts:

1. Organisatorischer Moment: Schreiben Sie das Thema des Unterrichts auf und legen Sie das Ziel und die Ziele des Unterrichts fest (für Schüler).

Thema Lektion: Die Quadratwurzel eines Bruchs.

Der Zweck der Lektion: Heute wiederholen wir in der Lektion die Definition der arithmetischen Quadratwurzel, den Satz über die Quadratwurzel des Grades und die Quadratwurzel des Produkts. Und machen wir uns mit dem Satz über die Quadratwurzel eines Bruchs vertraut.

Lernziele:

1) wiederholen Sie mit Hilfe des mentalen Zählens die Definitionen der Quadratwurzel und die Sätze über die Quadratwurzel des Grades und des Produkts;

2) Während der mündlichen Zählung werden einige Jungs Aufgaben auf Karten erledigen;

3) Erklärung von neuem Material;

4) historischer Hintergrund;

5) Ausführung von Aufgaben der selbstständigen Arbeit (in Form eines Tests).

2. Frontalaufnahme:

1) verbales Zählen: Ziehen Sie die Quadratwurzel der folgenden Ausdrücke:

a) Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Quadratwurzel:;;; ;

b) Tabellenwerte: ; ;;;;; ;

c) die Quadratwurzel des Produkts ;;;;

d) die Quadratwurzel des Grades;;;;; ;

e) nimm den gemeinsamen Teiler aus Klammern heraus:;;; ;.

2) Individuelle Arbeit an Karten: Anhang 2.

3. D/Z prüfen:

4. Erläuterung des neuen Materials:

Schreiben Sie eine Aufgabe für Schüler an die Tafel gemäß den Optionen „Quadratwurzel eines Bruchs berechnen“:

Möglichkeit 1: =

Möglichkeit 2: =

Wenn die Jungs die erste Aufgabe erledigt haben: Fragen Sie, wie sie es geschafft haben?

Option 1: in Form eines Quadrats präsentiert und erhalten. Machen Sie eine Schlussfolgerung.

Option 2: Zähler und Nenner anhand der Definition des Abschlusses im Formular dargestellt und erhalten.

Nennen Sie weitere Beispiele, berechnen Sie zum Beispiel die Quadratwurzel eines Bruchs; ; .

Zeichnen Sie eine Analogie in wörtlicher Form:

Geben Sie den Satz ein.

Satz. Wenn a größer oder gleich 0 ist, c größer als 0 ist, dann ist die Wurzel des Bruchs a / b gleich dem Bruch, in dessen Zähler die Wurzel von a und dessen Nenner die Wurzel von b ist, d.h. Die Wurzel eines Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners.

Lassen Sie uns beweisen, dass 1) die Wurzel von a dividiert durch die Wurzel von c größer oder gleich 0 ist

Nachweisen. 1) Weil die Wurzel von a größer oder gleich 0 ist und die Wurzel von c größer als 0 ist, dann ist die Wurzel von a dividiert durch die Wurzel von c größer oder gleich 0.

2)

5. Konsolidierung des neuen Materials: aus dem Lehrbuch von Sh. A. Alimov: Nr. 362 (1.3); Nr. 363 (2.3); Nr. 364 (2,4); №365 (2.3)

6. Historischer Bezug.

Die arithmetische Wurzel kommt vom lateinischen Wort radix - Wurzel,radikalis - Wurzel

Ab dem 13. Jahrhundert bezeichneten italienische und andere europäische Mathematiker die Wurzel mit dem lateinischen Wort radix (abgekürzt als r). 1525 erschien im Buch von H. Rudolph „Schnelles und schönes Zählen mit Hilfe geschickter Regeln der Algebra, meist Koss genannt“, die Bezeichnung V für die Quadratwurzel; die Kubikwurzel wurde als VVV bezeichnet. 1626 führte der niederländische Mathematiker A. Girard die Bezeichnungen V, VV, VVV usw. ein, die bald durch das Zeichen r ersetzt wurden, während ein horizontaler Strich über dem Wurzelausdruck platziert wurde. Die moderne Bezeichnung der Wurzel erschien erstmals in dem 1637 erschienenen Buch Geometry von René Descartes.

8. Hausaufgaben: Nr. 362 (2.4); Nr. 363 (1,4); Nr. 364 (1.3); №365 (1.4)

Die Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat a ist. Zum Beispiel sind die Zahlen -5 und 5 die Quadratwurzeln der Zahl 25. Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x^2=25 sind die Quadratwurzeln der Zahl 25. Jetzt müssen Sie lernen, wie man mit der arbeitet Quadratwurzeloperation: Untersuchen Sie ihre grundlegenden Eigenschaften.

Die Quadratwurzel des Produkts

√(a*b)=√a*√b

Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen. Beispiel: √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft auch für den Fall gilt, wenn der Wurzelausdruck das Produkt von drei, vier usw. ist. nicht negative Multiplikatoren.

Manchmal gibt es eine andere Formulierung dieser Eigenschaft. Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann gilt die folgende Gleichheit: √(a*b) =√a*√b. Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen ihnen, Sie können entweder den einen oder den anderen Wortlaut verwenden (welcher sich besser merken lässt).

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Wenn a>=0 und b>0, dann gilt die folgende Gleichheit:

√(a/b)=√a/√b.

Beispiel: √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Diese Eigenschaft hat auch eine andere Formulierung, die meiner Meinung nach bequemer zu merken ist.
Die Quadratwurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Es ist erwähnenswert, dass diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Das heißt, wir können bei Bedarf das Produkt der Wurzeln als Wurzel des Produkts darstellen. Dasselbe gilt für die zweite Eigenschaft.

Wie Sie sehen können, sind diese Eigenschaften sehr praktisch, und ich hätte gerne die gleichen Eigenschaften für Addition und Subtraktion:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Aber leider sind solche Eigenschaften quadratisch keine Wurzeln haben, und so kann nicht in Berechnungen durchgeführt werden..