Aufgrund der mathematischen Bedeutungsähnlichkeit und Austauschbarkeit verschiedener Lösungsverfahren lassen sich alle Rechenverfahren in folgende Gruppen zusammenfassen:

• 1) die Methode der Reduktion auf eine Einheit, die Reduktion auf ein gemeinsames Maß, die umgekehrte Reduktion auf eine Einheit, die Methode der Beziehungen;
• 2) ein Weg, Probleme vom "Ende" zu lösen;
• 3) ein Verfahren zum Eliminieren von Unbekannten (Ersetzen einer Unbekannten durch eine andere, Vergleichen von Unbekannten, Vergleichen von Daten, Vergleichen zweier Bedingungen durch Subtraktion, Kombinieren zweier Bedingungen zu einer); Art zu erraten;
• 4) proportionale Teilung, Ähnlichkeit oder Teile finden;
• 5) ein Verfahren zum Umwandeln eines Problems in ein anderes (Zerlegen eines komplexen Problems in einfache, vorbereitende Probleme; Reduzieren der Unbekannten auf solche Werte, für die ihr Verhältnis bekannt wird; das Verfahren zum Bestimmen einer beliebigen Zahl für eine der unbekannten Größen) .

Zusätzlich zu diesen Methoden ist es ratsam, die Methode des arithmetischen Mittels, die Surplus-Methode, die Methode der Permutierung von Bekanntem und Unbekanntem, die Methode der "falschen" Regeln in Betracht zu ziehen.

Da es in der Regel unmöglich ist, im Voraus zu bestimmen, welche der Methoden nairational ist, um vorherzusehen, welche davon zur einfachsten und verständlichsten Lösung für den Schüler führt, sollten die Schüler an verschiedene Methoden herangeführt werden und die Möglichkeit erhalten, sich für eine zu entscheiden zur Lösung eines bestimmten Problems verwenden.

Unbekannte Ausschlussmethode

Diese Methode wird verwendet, wenn das Problem mehrere Unbekannte enthält. Ein solches Problem kann mit einer von fünf Methoden gelöst werden: 1) Ersetzen einer Unbekannten durch eine andere; 2) Vergleich von Unbekannten; 3) Vergleich zweier Zustände durch Subtraktion; 4) Datenvergleich; 5) Kombinieren mehrerer Bedingungen zu einer.

Als Ergebnis der Anwendung einer der oben genannten Methoden bleibt anstelle mehrerer Unbekannter eine, die gefunden werden kann. Verwenden Sie nach der Berechnung die Daten in der Abhängigkeitsbedingung, um andere Unbekannte zu finden.

Schauen wir uns einige der Methoden genauer an.

1. Ein Unbekanntes durch ein anderes ersetzen

Der Name der Technik verrät ihre Idee: Aufgrund der Abhängigkeiten (Vielfache oder Differenz), die je nach Problemstellung gegeben sind, gilt es, alle Unbekannten durch eine von ihnen auszudrücken.

Eine Aufgabe. Sergey und Andrey haben insgesamt 126 Briefmarken. Sergey hat 14 Mark mehr als Andrey. Wie viele Briefmarken hatte jeder Junge?

Kurze Aussage zum Zustand:

Sergej –? Briefmarken, 14 Briefmarken mehr

Andreas –? Briefmarken

Insgesamt – 126 Briefmarken

Lösung 1

• (Ersetzen einer größeren Unbekannten durch eine kleinere)
• 1) Lass Sergey so viele Briefmarken haben wie Andrey. Dann wäre die Gesamtzahl der Stempel 126 -- 14 = 112 (Marken).
• 2) Da die Jungen jetzt die gleiche Anzahl von Stempeln haben, finden wir heraus, wie viele Stempel Andrej zuerst hatte: 112: 2 = 56 (Marken).
• 3) Wenn man bedenkt, dass Sergey 14 Punkte mehr hat als Andrey, erhalten wir: 56 + 14 = 70 (Marken).

Lösung 2

• (Ersetzen der kleineren Unbekannten durch eine größere)
• 1) Lassen Sie Andrei die gleiche Anzahl von Briefmarken wie Sergei haben. Dann wäre die Gesamtzahl der Briefmarken 126 + 14 = 140 (Briefmarken).
• 2) Da die Jungen jetzt die gleiche Anzahl von Stempeln haben, finden wir heraus, wie viele Stempel Sergey zuerst hatte: 140: 2 = 70 (Marken).
• 3) Wenn man bedenkt, dass Andrei 14 Punkte weniger hatte als Sergei, erhalten wir: 70 - 14 = 56 (Punkte).

Antwort: Sergei hatte 70 Mark und Andrey hatte 56 Mark.

Um die Methode des Ersetzens einer kleineren Unbekannten durch eine größere durch die Schüler optimal zu assimilieren, ist es notwendig, vor der Betrachtung die folgende Tatsache mit den Schülern zu klären: Wenn die Zahl A um C-Einheiten größer als die Zahl B ist, dann in Um die Nummern A und B zu vergleichen, ist es notwendig:

• a) subtrahiere die Zahl C von der Zahl A (dann sind beide Zahlen gleich der Zahl B);
• b) Addiere die Zahl C zur Zahl B (dann sind beide Zahlen gleich der Zahl A).

Die Fähigkeit der Schüler, eine größere Unbekannte durch eine kleinere zu ersetzen und umgekehrt, trägt weiter zur Entwicklung der Fähigkeit bei, die Unbekannte zu wählen und andere Größen durch sie auszudrücken, wenn sie eine Gleichung aufstellen.

2. Vergleich von Unbekannten

Eine Aufgabe. Es gab 188 Bücher in vier Regalen. Im zweiten Regal waren 16 Bücher weniger als im ersten, im dritten - 8 mehr als im zweiten und im vierten - 12 weniger als im dritten Regal. Wie viele Bücher stehen in jedem Regal?

Aufgabenanalyse

Zum besseren Verständnis der Abhängigkeiten zwischen vier unbekannten Größen (die Anzahl der Bücher in jedem Regal) verwenden wir das Schema:

ICH _________________________________

II_____________________

III______________________________

IV________________________ _ _ _ _ _

Beim Vergleich der Segmente, die die Anzahl der Bücher in jedem Regal schematisch darstellen, kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen: Auf dem ersten Regal befinden sich 16 Bücher mehr als auf dem zweiten; am dritten 8 mehr als am zweiten; am vierten - 12 - 8 = 4 (Bücher) weniger als am zweiten. Daher kann das Problem gelöst werden, indem die Anzahl der Bücher in jedem Regal verglichen wird. Dazu entfernen wir 16 Bücher aus dem ersten Regal, 8 Bücher aus dem dritten und stellen 4 Bücher auf das vierte Regal. Dann stehen auf allen Regalen gleich viele Bücher, nämlich wie auf dem zweiten zuerst.

• 1) Wie viele Bücher befinden sich nach den in der Problemanalyse beschriebenen Vorgängen in allen Regalen?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (Bücher)
• 2) Wie viele Bücher waren im zweiten Regal?
• 168:4 = 42 (Bücher)
• 3) Wie viele Bücher waren im ersten Regal?
• 42 + 16 = 58 (Bücher)
• 4) Wie viele Bücher waren im dritten Regal?
• 42 + 8 = 50 (Bücher)
• 5) Wie viele Bücher waren im vierten Regal?
• 50 -- 12 = 38 (Bücher)

Antwort: In jedem der vier Regale befanden sich 58, 42, 50 und 38 Bücher.

Kommentar. Sie können den Schülern anbieten, dieses Problem auf andere Weise zu lösen, indem wir die unbekannte Anzahl von Büchern vergleichen, die im ersten oder im zweiten oder im vierten Regal waren.

3. Vergleich zweier Zustände durch Subtraktion

Die Darstellung des Problems, das durch diese Technik gelöst wird, enthält häufig zwei proportionale Größen (die Menge der Waren und ihre Kosten, die Anzahl der Arbeiter und die von ihnen verrichtete Arbeit usw.). Die Bedingung gibt zwei Werte einer Größe und die Differenz zweier numerischer Werte einer anderen Größe proportional zu ihnen an.

Eine Aufgabe. Für 4 kg Orangen und 5 kg Bananen zahlten sie 620 Rubel, und beim nächsten Mal zahlten sie 500 Rubel für 4 kg Orangen und 3 kg Bananen, die sie zu denselben Preisen kauften. Wie viel kosten 1 kg Orangen und 1 kg Bananen?

Kurze Aussage zum Zustand:

• 4kg ca. und 5kg Verbot. - 620 Rubel,
• 4kg ca. und 3kg Verbot. - 500 Rubel.

• 1) Vergleichen Sie die Kosten von zwei Einkäufen. Sowohl beim ersten als auch beim zweiten Mal kauften sie die gleiche Anzahl Orangen zum gleichen Preis. Beim ersten Mal haben sie mehr bezahlt, weil sie mehr Bananen gekauft haben. Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Kilogramm Bananen zum ersten Mal mehr gekauft wurden: 5 - 3 = 2 (kg).
• 2) Lassen Sie uns herausfinden, wie viel mehr sie beim ersten Mal bezahlt haben als beim zweiten Mal (das heißt, wir finden heraus, wie viel 2 kg Bananen kosten): 620 - 500 = 120 (Rubel).
• 3) Finden Sie den Preis für 1 kg Bananen: 120: 2 = 60 (Rubel).
• 4) Wenn wir die Kosten für den ersten und zweiten Einkauf kennen, können wir den Preis für 1 kg Orangen ermitteln. Dazu ermitteln wir zuerst die Kosten für gekaufte Bananen, dann die Kosten für Orangen und dann den Preis für 1 kg. Wir haben: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (Rubel).

Antwort: Der Preis für 1 kg Orangen beträgt 80 Rubel und der Preis für 1 kg Bananen 60 Rubel.

4. Datenvergleich

Die Verwendung dieser Technik ermöglicht es, Daten zu vergleichen und die Subtraktionsmethode anzuwenden. Sie können Datenwerte vergleichen:

• 1) Multiplikation (Vergleich mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen);
• 2) mit Division (Vergleich mit dem größten gemeinsamen Teiler).

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Eine Aufgabe. Für 4 kg Orangen und 5 kg Bananen bezahlten sie 620 Rubel, und beim nächsten Mal zahlten sie 660 Rubel für 6 kg Orangen und 3 kg Bananen, die sie zu denselben Preisen kauften. Wie viel kosten 1 kg Orangen und 1 kg Bananen?

Kurze Aussage zum Zustand:

• 4kg ca. und 5kg Verbot. - 620 Rubel,
• 6kg ca. und 3kg Verbot. - 660 Rubel.

Gleichen wir die Anzahl der Orangen und Bananen an, indem wir sie mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen vergleichen: LCM(4;6) = 12.

Lösung 1.

• 1) Erhöhen wir die Anzahl der gekauften Früchte und ihre Kosten im ersten Fall um das Dreifache und im zweiten um das Zweifache. Wir erhalten die folgende Abkürzung für die Bedingung:
• 12 kg ca. und 15kg Verbot. - 1860 Rubel,
• 12 kg ca. und 6kg Verbot. - 1320 Rubel.
• 2) Finden Sie heraus, wie viele Bananen mehr zum ersten Mal gekauft wurden: 15-6 = 9 (kg).
• 3) Wie viel kosten 9 kg Bananen? 1860 - 1320 = 540 (Rubel).
• 4) Ermitteln Sie den Preis für 1 kg Bananen: 540: 9 = 60 (Rubel).
• 5) Ermitteln Sie die Kosten für 3 kg Bananen: 60 * 3 = 180 (Rubel).
• 6) Ermitteln Sie die Kosten für 6 kg Orangen: 660 - 180 = 480 (Rubel).
• 7) Finden Sie den Preis für 1 kg Orangen: 480: 6 = 80 (Rubel).

Lösung2.

Gleichen wir die Anzahl der Orangen und Bananen an, indem wir sie mit dem größten gemeinsamen Teiler vergleichen: ggT (4; 6) = 2.

• 1) Um die Anzahl der beim ersten Mal und beim zweiten Mal gekauften Orangen auszugleichen, reduzieren wir die Menge der gekauften Waren und ihre Kosten im ersten Fall um das 2-fache, im zweiten um das 3-fache. Nehmen wir eine Aufgabe, die einen so kurzen Konditionssatz hat
• 2kg ca. und 2,5 kg Verbot. - 310 Rubel,
• 2kg ca. und 1kg Verbot. - 220 Rubel.
• 2) Wie viele Bananen werden jetzt noch gekauft: 2,5 - 1 = 1,5 (kg).
• 3) Finden Sie heraus, wie viel 1,5 kg Bananen kosten: 310 - 220 = 90 (Rubel).
• 4) Ermitteln Sie den Preis für 1 kg Bananen: 90: 1,5 = 60 (Rubel).
• 5) Ermitteln Sie den Preis für 1 kg Orangen: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (Rubel).

Antwort: 1 kg Orangen kosten 80 Rubel, 1 kg Bananen 60 Rubel.

Bei der Lösung von Problemen mit der Methode des Datenvergleichs können Sie keine so detaillierte Analyse und Aufzeichnung durchführen, sondern nur die zum Vergleich vorgenommenen Änderungen aufzeichnen und in Form einer Tabelle aufschreiben.

5. Kombinieren mehrerer Bedingungen zu einer

Manchmal können Sie unnötige Unbekannte beseitigen, indem Sie mehrere Bedingungen zu einer kombinieren.

Eine Aufgabe. Die Touristen verließen das Lager und gingen zunächst 4 Stunden zu Fuß, dann fuhren sie weitere 4 Stunden mit dem Fahrrad mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit und entfernten sich 60 km vom Lager. Beim zweiten Mal verließen sie das Lager und fuhren zunächst 7 Stunden lang mit der gleichen Geschwindigkeit Fahrrad, drehten dann in die entgegengesetzte Richtung und befanden sich 4 Stunden zu Fuß in einer Entfernung von 50 km vom Lager. Wie schnell radelten die Touristen?

Bei dem Problem gibt es zwei Unbekannte: die Geschwindigkeit, mit der die Touristen Fahrrad fuhren, und die Geschwindigkeit, mit der sie zu Fuß gingen. Um eine davon auszuschließen, können Sie zwei Bedingungen zu einer kombinieren. Dann ist die Entfernung, die Touristen in 4 Stunden zurücklegen, wenn sie sich das erste Mal zu Fuß vorwärts bewegen, gleich der Entfernung, die sie in 4 Stunden zurückgelegt haben, wenn sie sich das zweite Mal rückwärts bewegen. Daher achten wir nicht auf diese Abstände. Das bedeutet, dass die Entfernung, die Touristen in 4 + 7 = 11 (Stunden) mit dem Fahrrad zurücklegen, 50 + 60 = 110 (km) beträgt.

Dann die Geschwindigkeit von Touristen auf Fahrrädern: 110: 11 = 10 (km/h).

Antwort: Fahrräder fahren mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h.

6. Aufnahmeverfahren

Die Anwendung der Annahmenmethode beim Lösen von Problemen bereitet den meisten Schülern keine Schwierigkeiten. Um ein mechanisches Auswendiglernen des Schemas der Schritte dieser Methode durch die Schüler und ein Missverständnis der Essenz der an jeder von ihnen durchgeführten Aktionen zu vermeiden, sollte den Schülern daher zuerst die Versuchsmethode („falsche Regel“ und „Regel der alte Babylonier“).

Bei der Anwendung des Stichprobenverfahrens, insbesondere der „falschen Regel“, wird einer der unbekannten Größen ein gewisser Wert gegeben („erlaubt“). Dann finden sie unter Verwendung aller Bedingungen den Wert einer anderen Größe. Der resultierende Wert wird mit dem in der Bedingung angegebenen Wert verglichen. Wenn der erhaltene Wert von dem in der Bedingung angegebenen abweicht, dann ist der erste angegebene Wert nicht korrekt und muss um 1 erhöht oder verringert werden, und es wird wieder der Wert eines anderen Werts gefunden. Es ist also notwendig, dies zu tun, bis wir den Wert einer anderen Größe erhalten, z. B. im Zustand des Problems.

Eine Aufgabe. Der Kassierer hat 50 Münzen von 50 Kopeken und 10 Kopeken, insgesamt 21 Rubel. Finden Sie heraus, wie viele 50.000-Münzen der Kassierer separat hatte. und 10k.

Lösung 1. (Probenahmeverfahren)

Wenden wir die Regel der „alten“ Babylonier an. Angenommen, der Kassierer hat gleiche Münzen von jedem Nennwert, dh 25 Stück. Dann beträgt der Geldbetrag 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k.) Oder 15 Rubel. Aber im Zustand von 21 Rubel, das heißt mehr als erhalten, um 21 UAH - 15 Rubel = 6 Rubel. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Münzen von 50 Kopeken erhöht und die Anzahl der Münzen von 10 Kopeken verringert werden muss, bis wir insgesamt 21 Rubel erhalten. Wir schreiben die Änderung in der Anzahl der Münzen und den Gesamtbetrag in die Tabelle.

Anzahl Münzen	Anzahl Münzen	Geldsumme	Geldsumme	Gesamtbetrag	Kleiner als oder größer als Bedingung
					Weniger als 6 Rubel.
					Weniger als 5rub60k
					Wie im Zustand

Wie aus der Tabelle ersichtlich, hatte der Kassierer 40 Münzen zu 50 Kopeken und 10 Münzen zu 10 Kopeken.

Wie sich in Lösung 1 herausstellte, wenn der Kassierer gleich 50.000 Münzen hatte. und 10k jeder, dann hatte er insgesamt 15 Rubel Geld. Es ist leicht zu sehen, dass jeder Austausch einer Münze 10.000 kostet. für eine 50k-Münze. erhöht den Gesamtbetrag um 40.000. Das bedeutet, dass es notwendig ist, herauszufinden, wie viele solche Ersetzungen gemacht werden müssen.Dazu finden wir zuerst heraus, um wie viel Geld es notwendig ist, den Gesamtbetrag zu erhöhen:

21 reiben - 15 reiben. = 6 Rubel. = 600.000.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft ein solcher Austausch durchgeführt werden muss: 600.000 : 40.000 = 15.

Dann gibt es für 50.000 25 +15 = 40 (Münzen) und für 10.000 25 - 15 = 10.

Die Überprüfung bestätigt, dass der Gesamtbetrag in diesem Fall 21 Rubel beträgt.

Antwort: Der Kassierer hatte 40 Münzen zu 50 Kopeken und 10 Münzen zu 10 Kopeken.

Nachdem den Schülern angeboten wurde, unabhängig voneinander unterschiedliche Werte für die Anzahl der Münzen von 50 Kopeken zu wählen, müssen sie auf die Idee gebracht werden, dass aus rationaler Sicht die Annahme am besten ist, dass der Kassierer nur Münzen derselben Größe hatte Stückelung (z. B. alle 50 Münzen zu 50 Kopeken oder alle 50 Münzen zu je 10.000). Aus diesem Grund wird eine der Unbekannten ausgeschlossen und durch eine andere Unbekannte ersetzt.

7. Rückstandsverfahren

Diese Methode hat einige Ähnlichkeiten mit dem Denken beim Lösen von Problemen durch Versuch und Irrtum. Wir verwenden die Methode der Residuen, wenn wir Probleme für die Bewegung in eine Richtung lösen, nämlich wenn es notwendig ist, die Zeit zu finden, während der das erste Objekt, das sich mit höherer Geschwindigkeit hinterherbewegt, das zweite Objekt einholt, das a hat niedrigere Geschwindigkeit. In 1 Stunde nähert sich das erste Objekt dem zweiten in einer Entfernung, die gleich der Differenz ihrer Geschwindigkeiten ist, dh gleich dem "Rest" der Geschwindigkeit, die es im Vergleich zur Geschwindigkeit des zweiten hat. Um die Zeit zu finden, die das erste Objekt benötigt, um die Entfernung zu überwinden, die zu Beginn der Bewegung zwischen ihm und dem zweiten lag, muss ermittelt werden, wie oft der „Rest“ in dieser Entfernung platziert wird.

Wenn wir von der Darstellung abstrahieren und nur die mathematische Struktur des Problems betrachten, dann handelt es sich um zwei Faktoren (die Bewegungsgeschwindigkeit beider Objekte) oder die Differenz zwischen diesen Faktoren und zwei Produkten (die von ihnen zurückgelegten Entfernungen) oder deren Differenz. Unbekannte Multiplikatoren (Zeit) sind die gleichen und müssen gefunden werden. Mathematisch gesehen zeigt der unbekannte Faktor, wie viel Mal die Differenz der bekannten Faktoren in der Differenz der Produkte enthalten ist. Daher werden Probleme, die mit der Methode der Residuen gelöst werden, als Probleme zum Auffinden von Zahlen durch zwei Differenzen bezeichnet.

Eine Aufgabe. Die Schüler beschlossen, Fotos aus dem Urlaub in das Album einzufügen. Wenn sie 4 Fotos auf jede Seite kleben, reicht der Platz für 20 Fotos im Album nicht aus. Wenn Sie 6 Fotos auf jede Seite kleben, bleiben 5 Seiten frei. Wie viele Fotos werden die Schüler in das Album einfügen?

Aufgabenanalyse

Die Anzahl der Fotos bleibt bei der ersten und zweiten Klebevariante gleich. Je nach Zustand des Problems ist es unbekannt, aber es kann gefunden werden, wenn die Anzahl der Fotos, die auf einer Seite platziert sind, und die Anzahl der Seiten im Album bekannt sind.

Die Anzahl der Fotos, die auf einer Seite eingefügt werden, ist bekannt (der erste Multiplikator). Die Anzahl der Seiten im Album ist unbekannt und bleibt unverändert (zweiter Multiplikator). Da bekannt ist, dass beim zweiten Mal 5 Seiten des Albums frei bleiben, können Sie herausfinden, wie viele weitere Fotos in das Album eingefügt werden könnten: 6 * 5 = 30 (Fotos).

Wenn Sie also die Anzahl der Fotos auf einer Seite um 6 - 4 = 2 erhöhen, erhöht sich die Anzahl der eingefügten Fotos um 20 + 30 = 50.

Da beim zweiten Mal auf jeder Seite zwei weitere Fotos geklebt wurden und insgesamt 50 weitere Fotos geklebt wurden, finden wir die Anzahl der Seiten im Album: 50: 2 = 25 (S.).

Insgesamt also 4 * 25 + 20 = 120 Fotos.

Antwort: Das Album hatte 25 Seiten und 120 Fotos wurden eingefügt.

Der Grundschullehrer muss lediglich wissen, welche Arten von Aufgaben es gibt. Heute lernen Sie einfache Textarithmetikaufgaben kennen. Einfache Textrechenaufgaben sind Probleme, die durch eine Rechenoperation gelöst werden.. Wenn wir eine Aufgabe lesen, verbinden wir sie automatisch mit irgendeiner Art, und hier wird sofort klar, mit welcher Aktion sie gelöst werden soll.

Ich werde Ihnen nicht nur die Klassifizierung einfacher Textprobleme geben, sondern auch Beispiele dafür geben und auch über das Lösen von Textproblemen auf arithmetische Weise sprechen. Ich habe alle Beispiele aus Mathematiklehrbüchern für die 2. Klasse (Teil 1, Teil 2) entnommen, die an belarussischen Schulen unterrichtet werden.

Alle einfachen Rechenaufgaben werden in zwei große Gruppen eingeteilt:

- AD I (+/-), dh solche, die durch arithmetische Operationen erster Ordnung (Addition oder Subtraktion) gelöst werden;

- AD II (* /:), also solche, die durch Rechenoperationen zweiter Ordnung (Multiplikation oder Division) gelöst werden.

Betrachten Sie die erste Gruppe einfacher Textarithmetikaufgaben (AD I):

1) Aufgaben, die die spezifische Bedeutung des Zusatzes (+) offenbaren

An den Laufwettbewerben nahmen 4 Mädchen und 5 Jungen teil. Wie viele Schüler der Klasse haben am Wettbewerb teilgenommen?

Nachdem Sasha 9 Beispiele gelöst hatte, musste er 3 weitere Beispiele lösen. Wie viele Beispiele musste Sasha lösen?

Solche Aufgaben löst man durch Addition: a+b=?

2) Aufgaben, die die spezifische Bedeutung der Subtraktion offenbaren (-)

Mama hat 15 Kuchen gebacken. Wie viele Kuchen bleiben übrig, nachdem 10 Kuchen gegessen wurden?

Es waren 15 Gläser Saft im Glas. Beim Abendessen haben wir 5 Gläser getrunken. Wie viele Gläser Saft bleiben übrig?

Solche Probleme werden durch Subtraktion gelöst: a-b=?

3) Aufgaben zur Beziehung zwischen den Komponenten und dem Ergebnis der Additions- oder Subtraktionsaktion:

a) um den unbekannten 1. Term zu finden (? + a = b)

Der Junge legte 4 Stifte in die Schachtel. Es waren 13. Wie viele Bleistifte waren ursprünglich in der Schachtel?

Um dieses Problem zu lösen, muss der bekannte 2. Term vom Ergebnis der Aktion abgezogen werden: b-a=?

b) um den unbekannten 2. Term zu finden (a+?=b)

13 Gläser Wasser wurden in den Topf und Kessel gegossen. Wie viele Gläser Wasser wurden in den Wasserkocher gegossen, wenn 5 Gläser in den Topf gegossen wurden?

Aufgaben dieser Art werden durch Subtraktion gelöst, der bekannte 1. Term wird vom Ergebnis der Aktion subtrahiert: b-a=?

c) um den unbekannten Minuend (?-a=b) zu finden

Olga sammelte einen Blumenstrauß. Sie hat 3 Farben in die Vase getan und hat noch 7 Blumen übrig. Wie viele Blumen waren in dem Strauß?

Arithmetisch erfolgt die Lösung solcher Textaufgaben durch Addition des Ergebnisses der Aktion und des Subtrahends: b+a=?

d) um den unbekannten Subtrahend zu finden (а-?=b)

2 Dutzend Eier gekauft. Nachdem ein paar Eier zum Backen genommen wurden, blieben 15. Wie viele Eier wurden genommen?

Diese Aufgaben werden durch Subtraktion gelöst: subtrahieren Sie das Ergebnis der Aktion von dem reduzierten: a-b=?

4) Aufgaben zum Verringern/Erhöhen um mehrere Einheiten in direkter, indirekter Form

Beispiele für Aufgaben zum Reduzieren um mehrere Einheiten in direkter Form:

In einer Kiste waren 20 kg Bananen und in der zweiten - 5 weniger. Wie viele Kilogramm Bananen waren in der zweiten Kiste?

Die erste Klasse sammelte 19 Kisten Äpfel und die zweite - 4 Kisten weniger. Wie viele Kisten Äpfel hat die zweite Klasse gepflückt?

Diese Probleme werden gelöst, indem man (a-b=? )

Beispiele für Aufgaben zum Abnehmen in indirekter Form sowie zum Erhöhen in direkter oder indirekter Form habe ich in einem Mathematiklehrbuch der 2. Klasse nicht gefunden. Bei Bedarf in die Kommentare schreiben - und ich werde den Artikel mit meinen eigenen Beispielen ergänzen.

5) Aufgaben zum Differenzvergleich

Die Masse der Gans beträgt 7 kg und das Huhn 3 kg. Um wie viel Kilogramm wiegt das Huhn weniger als die Gans?

Im ersten Karton sind 14 Bleistifte und im zweiten Karton 7. Wie viele Bleistifte sind im ersten Karton mehr als im zweiten?

Die Lösung von Textaufgaben für Differenzvergleiche erfolgt durch Subtrahieren einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl.

Wir haben die Bearbeitung einfacher Textrechenaufgaben der 1. Gruppe beendet und gehen zu den Aufgaben der 2. Gruppe über. Wenn Sie etwas nicht verstanden haben, fragen Sie in den Kommentaren nach.

Die zweite Gruppe einfacher Textarithmetikaufgaben (AD II):

1) Aufgaben, die die spezifische Bedeutung der Multiplikation offenbaren

Wie viele Beine haben zwei Hunde? Drei Hunde?

Vor dem Haus stehen drei Autos. Jedes Auto hat 4 Räder. Wie viele Räder haben drei Autos?

Diese Aufgaben werden durch Multiplikation gelöst: a*b=?

2) Aufgaben, die die spezifische Bedeutung der Teilung offenbaren:

a) Inhalt

10 Kuchen wurden an die Kinder verteilt, je zwei. Wie viele Kinder haben Kuchen bekommen?

2-kg-Säcke enthalten 14 kg Mehl. Wie viele solcher Pakete?

Bei diesen Aufgaben finden wir heraus, wie viele Teile mit gleichem Inhalt herausgekommen sind.

b) zu gleichen Teilen

Ein 10 cm langer Streifen wurde in zwei gleiche Teile geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?

Nina hat 10 Kuchen gleichmäßig auf 2 Teller verteilt. Wie viele Kuchen sind auf einem Teller?

Und bei diesen Aufgaben finden wir heraus, was der Inhalt eines gleichen Teils ist.

Wie dem auch sei, all diese Aufgaben werden durch Division gelöst: a:b=?

3) Aufgaben zum Zusammenhang zwischen der Komponente und dem Ergebnis von Multiplikation und Division:

a) um den unbekannten ersten Faktor zu finden: ?*а=b

Eigenes Beispiel:

Mehrere Schachteln mit 6 Stiften. In der Schachtel sind 24 Stifte. Wie viele Kisten?

Es wird gelöst, indem das Produkt durch den bekannten zweiten Faktor dividiert wird: b:a=?

b) um den unbekannten zweiten Faktor zu finden: a*?=b

Das Café bietet Platz für 3 Personen an einem Tisch. Wie viele dieser Tische werden besetzt sein, wenn 15 Personen kommen?

Es wird gelöst, indem das Produkt durch den bekannten ersten Faktor dividiert wird: b:a=?

c) um den unbekannten Dividenden zu finden: ?:a=b

Eigenes Beispiel:

Kolya brachte Süßigkeiten in die Klasse und verteilte sie gleichmäßig unter allen Schülern. In der Klasse sind 16 Kinder. Jeder erhielt 3 Bonbons. Wie viele Süßigkeiten hat Kolya mitgebracht?

Es wird gelöst, indem der Quotient mit dem Divisor multipliziert wird: b*a=?

d) Finden eines unbekannten Teilers: a:?=b

Eigenes Beispiel:

Vitya brachte 44 Süßigkeiten in die Klasse und verteilte sie gleichmäßig auf alle Schüler. Jeder erhielt 2 Bonbons. Wie viele Schüler sind in der Klasse?

Es wird gelöst, indem der Dividende durch den Quotienten geteilt wird: a:b=?

4) Aufgaben zum mehrfachen Erhöhen / Verringern in direkter oder indirekter Form

Im Schulbuch der 2. Klasse wurden keine Beispiele für solche Textrechenaufgaben gefunden.

5) Aufgaben zum Mehrfachvergleich

Lösen Sie, indem Sie den größeren durch den kleineren dividieren.

Freunde, die obige Einteilung einfacher Wortaufgaben ist nur ein Teil einer großen Einteilung aller Wortaufgaben. Außerdem gibt es noch Aufgaben zum Finden von Prozentsätzen, von denen ich Ihnen nichts erzählt habe. All das erfährst du in diesem Video:

Und meine Dankbarkeit wird bei Ihnen bleiben!

Algebraisches Verfahren zum Lösen von Textproblemen, um einen arithmetischen Weg zu ihrer Lösung zu finden

Wortaufgaben von Junioren lösenshkOlniks können als Mittel und als Unterrichtsmethode betrachtet werden, bei deren Verwendung die Inhalte des Grundkurses Mathematik aufgenommen werden: mathematische Konzepte, die Bedeutung von arithmetischen Operationen und ihren Eigenschaften, die Bildung von Rechenfähigkeiten und praktischen Fähigkeiten.

Ein Lehrer, der den Problemlösungsprozess von Schülern steuert, muss zunächst in der Lage sein, selbst Probleme zu lösen, sowie über die notwendigen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, um dies anderen zu vermitteln.

Die Fähigkeit, Probleme zu lösen, ist die Grundlage der mathematischen Vorbereitung des Lehrers, um jüngeren Schülern das Lösen von Textproblemen beizubringen.

Unter den gängigen Methoden zur Lösung von Textproblemen (Algebraisch, Arithmetisch und Geometrisch) ist die in Grundschulklassen für die meisten Probleme am weitesten verbreitetearithmetische Methode, einschließlich verschiedener Möglichkeiten, sie zu lösen. Für den Lehrer ist diese Methode der Problemlösung jedoch in vielen Fällen schwieriger als die algebraische. Das liegt vor allem an der, wovonOberstufenkurs Mathematik

der Lehrgang Arithmetik, der die Herausbildung der Fähigkeit von Schulkindern vorsah, Probleme nach der arithmetischen Methode zu lösen, wurde praktisch ausgeschlossen. Zweitens wird ihr auch im Universitätsstudium Mathematik zu wenig Beachtung geschenkt.

Gleichzeitig wird die Notwendigkeit, Probleme mit der arithmetischen Methode zu lösen, durch den mathematischen Wissensvorrat des jüngeren Schülers bestimmt, der es ihm nicht erlaubt, die meisten Probleme mit Elementen der Algebra zu lösen.

Der Lehrer ist in der Regel in der Lage, jedes Problem algebraisch zu lösen, aber nicht jeder kann jedes Problem rechnerisch lösen.

Gleichzeitig sind diese Methoden miteinander verbunden, und der Lehrer sollte diese Beziehung nicht nur wahrnehmen, sondern auch in seiner Arbeit nutzen. In diesem Artikel werden wir am Beispiel der Lösung einiger Probleme versuchen, die Verbindung zwischen algebraischen und arithmetischen Methoden zur Lösung von Problemen aufzuzeigen, um dem Lehrer zu helfen, einen arithmetischen Weg zur Lösung eines Problems zu finden, indem er es algebraisch löst.

Machen wir einige Vorbemerkungen:

1. Nicht immer (und bei weitem nicht immer) kann ein algebraisch gelöstes Textproblem auch arithmetisch gelöst werden. Es sei daran erinnert, dass ein Problem mit der arithmetischen Methode gelöst werden kann, wenn sein algebraisches Modell auf eine lineare Gleichung oder ein System linearer Gleichungen reduziert wird.

2. Die Form einer linearen Gleichung „schlägt“ nicht immer den arithmetischen Weg zur Lösung des Problems vor, aber weitere Transformationen der Gleichung ermöglichen es, ihn zu finden. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ermöglicht es unserer Meinung nach fast sofort, den Gedankengang zur Lösung des Problems auf arithmetische Weise zu skizzieren.

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1 Das Problem wird auf die Gleichung reduziert

nettäh + b= s.

Eine Aufgabe. Um 8 Uhr morgens fuhr ein Zug mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h von Punkt A nach Punkt B. Um 11 Uhr verließ ein weiterer Zug Punkt B, um ihn mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h zu treffen. Wann treffen sich die Züge, wenn die Entfernung zwischen den Punkten 440 km beträgt?

Die algebraische Methode führt zu der Gleichung: (60 + 70) x + 60 3 \u003d 440 oder 130x + 18 \u003d 440, wobei x Stunden die Zeit des zweiten Zuges vor dem Treffen ist. Dann: 130x= 440- 180= 130

x = 260, x =2 (h).

Die obigen Überlegungen und Berechnungen "schlagen" den folgenden arithmetischen Weg zur Lösung des Problems vor. Gesucht: die Summe der Zuggeschwindigkeiten (60 + 70 = 130 (km / h), die Zeit des ersten Zuges vor dem Start des zweiten Zuges (11-8 \u003d 3 (h), die vom ersten Zug zurückgelegte Strecke in 3 Stunden (60 3 \u003d 180 ( km), die verbleibende Entfernung, bis sich die Züge vor dem Treffen treffen (440 - 180 = = 260 (km), die Zeit des zweiten Zuges vor dem Treffen (260: 130-2 (h)).

In Zukunft werden die Phasen der Lösung jedes Problems mit der algebraischen Methode und die entsprechenden Phasen der Lösung des Problems mit der arithmetischen Methode parallel in eine Tabelle geschrieben, mit der Sie visuell nachvollziehen können, wie algebraische Transformationen beim Lösen von Gleichungen durchgeführt werden die ein Modell einer Textaufgabe sind, eröffnen ein arithmetisches Lösungsverfahren. In diesem Fall haben wir also die folgende Tabelle (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1

Seien x Stunden die Zeit des zweiten Zuges vor dem Treffen. Entsprechend der Bedingung des Problems erhalten wir die Gleichung:

(60+70)-x+60*3=440 oder 130x+180=440

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln:

130x=440-180 130x=260.

Lasst uns das Bekannte finden;

X=260:130; x=2

Lassen Sie uns die Summe der Zuggeschwindigkeiten finden: 60 + 70 = 130 (km/h).

Finden wir die Zeit des ersten Zuges vor dem Start des zweiten Zuges: 11-8=3(h). Finden Sie die Strecke, die der erste Zug in 3 Stunden zurückgelegt hat: 60*3=180(km)

Lassen Sie uns die Entfernung ermitteln, die die Züge vor dem Treffen zurücklegen müssen: 440-180=260 (km).

Finden wir die Bewegungszeit des zweiten Zuges: 260:130=2(h).

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 1 erhalten wir eine arithmetische Lösung.

1. 1. 3 (h)-der erste Zug war unterwegs, bevor der zweite anfing;

1. 3 = 180 (km) - der erste Zug fuhr in 3 Stunden vorbei;

3) 440 - 180 \u003d 260 (km) - die Entfernung, die Züge bei gleichzeitiger Fahrt zurücklegen;

1. 70 = 130 (km/h) - Annäherungsgeschwindigkeit des Zuges;

1. 130 \u003d 2 (h) - die Bewegungszeit des zweiten Zuges;

6) 11 + 2 = 13 (h) - zu dieser Zeit treffen sich die Züge.

Antwort: um 13:00 Uhr.

Beispiel 2 a 1 x + v 1 \u003d ein x + b

Eine Aufgabe. Schulkinder kauften 4 Bücher, danach hatten sie noch 40 Rubel übrig. Wenn sie 7 gleiche Bücher kauften, blieben ihnen 16 Rubel übrig. Wie viel kostet ein Buch?

Die algebraische Methode führt auf die Gleichung:4x + 40 = 7x + 16, wo X - die Kosten für ein Buch. Beim Lösen dieser Gleichung führen wir folgende Berechnungen durch: 7 x - 4X \u003d 40-16 -> Zx \u003d 24 \u003e x \u003d 8, was zusammen mit der beim Erstellen der Gleichung verwendeten Argumentation zu einer arithmetischen Methode zur Lösung des Problems führt. Finden wir heraus: wie viele weitere Bücher gekauft wurden: 7-4 = 3 (Buch); wie viel weniger Geld übrig bleibt, d.h. wie viel mehr Geld ausgegeben wurde: 40 - 16 = 24 (p); wie viel ein Buch kostet: 24:3 = 8 (p). Die obigen Überlegungen sind in Tabelle 2 zusammengefasst.

Phasen der Problemlösung

algebraische Methode

Phasen der Lösung des Problems durch die arithmetische Methode

Sei x der Preis für ein Buch. Je nach Aufgabe

wir erhalten die Gleichung: 4x+40=7x+16.

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln:

7x-4x=40-16 (7-4)x=24 3x=24

Finden wir das Bekannte:

X=24:3; x=8

Die Kosten für vier Bücher und weitere 40r. gleich den Kosten von 7 Büchern und weiteren 70r.

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele weitere Bücher sie kaufen würden: 7-4=3(kn). Lassen Sie uns herausfinden, wie viel mehr Geld sie zahlen würden: 40-16 = 24 (p.).

Lassen Sie uns die Kosten für ein Buch ermitteln: 24:3=8(r.).

Tabelle 2

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 2 erhalten wir eine arithmetische Lösung:

1) 7-4=3 (Buch) – so viele weitere Bücher würden gekauft;

1. 16 \u003d 24 (r.) - so viele Rubel, dass sie mehr bezahlen würden;

3) 24: 3 = 8 (p.) - es gibt ein Buch.

Antwort: 8 Rubel.

Beispiel 3 Das Problem wird auf eine Gleichung der Form reduziert:Oh + b x + cx = d

Eine Aufgabe. Der Tourist legte 2.200 km zurück, und mit dem Schiff fuhr er doppelt so viel wie mit dem Auto und mit der Bahn viermal mehr als mit dem Schiff. Wie viele Kilometer hat der Tourist separat mit Schiff, Auto und Bahn zurückgelegt?

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 3 erhalten wir eine arithmetische Lösung.

Nehmen wir die Entfernung, die der Tourist mit dem Auto zurückgelegt hat, als einen Teil:

1 2 \u003d 2 (h) - fällt auf die Entfernung, die der Tourist auf dem Schiff zurückgelegt hat;

2) 2 4 \u003d 8 (h) - fällt auf die Entfernung, die der Tourist mit dem Zug zurückgelegt hat;

3) 1+2+8=11(h) - fällt auf die ganze Reise

Tisch 3

Seien x Kilometer die mit dem Boot zurückgelegte Strecke.

Entsprechend der Bedingung des Problems erhalten wir die Gleichung: x + 2x + 2 * 4x \u003d 2200.

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln:

(1+2+8)x=2200 11x=2200.

Finden wir das Bekannte:

X=2200:11; x=200

Nehmen wir die Entfernung, die der Tourist (mindestens) mit dem Auto zurückgelegt hat, als 1 Teil. Dann entspricht die Entfernung, die er auf dem Schiff zurückgelegt hat, zwei Teilen und im Zug - 2 - 4 Teilen. Das bedeutet, dass der gesamte Weg des Touristen (2200 km) 1+2+8=11 (Stunden) entspricht.

Lassen Sie uns herausfinden, aus wie vielen Teilen der gesamte Weg des Touristen besteht: 1 + 2 + 8 = 11 (Stunden).

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Kilometer auf einen Teil fallen: 2200:11=200 (km).

1. 200: 11= 200 (km) - die vom Touristen mit dem Auto zurückgelegte Strecke;

1. 2 = 400 (km) - die vom Touristen auf dem Boot zurückgelegte Strecke;

6) 200 -8 = 1 600 (km) - die vom Touristen mit dem Zug zurückgelegte Entfernung.

Antworten:200 km, 400 km, 1.600 km.

Beispiel 4 Das Problem wird auf die Gleichung reduziertnett (X + a) hinein = cx+ d.

Eine Aufgabe. Am Ende der Aufführung zerstreuten sich 174 Zuschauer aus dem Theater zu Fuß, und der Rest fuhr in 18 Autos in Straßenbahnen, und jedes Auto hatte 5 Personen mehr, als es Sitzplätze gab. Wenn die Zuschauer, die das Theater mit der Straßenbahn verlassen, entsprechend der Anzahl der Sitzplätze einsteigen würden, würden 3 weitere Autos benötigt, und im letzten wären 6 Plätze leer. Wie viele Zuschauer waren im Theater?

Tabelle 4

In jeder Straßenbahn soll es x Sitzplätze geben. Dann haben wir entsprechend der Bedingung des Problems die Gleichung: (x+5)*18=x*(18+3)-6.

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: 21x - 18x \u003d 90 + 6 oder 3x \u003d 96.

Finden wir das Unbekannte:

X = 96: 3; x = 32.

In jedem Waggon waren 5 Personen mehr, als Sitzplätze vorhanden waren. In 18 Autos - 5 * 18 = 90 Personen mehr. 90 Personen stiegen in 3 zusätzliche Autos ein und es gab 6 weitere leere Plätze. Also 90 + 6 = 96 Sitzplätze in drei Waggons.

Finden Sie die Anzahl der Sitze in einem Auto:

96: 3 = 32 (Minuten)

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 4 erhalten wir eine arithmetische Lösung:

1)5 18 \u003d 90 (Personen) - so viele Menschen mehr als Sitzplätze in 18 Autos;

90 + 6 = 96 (m) - in drei Autos;

96: 3 = 32 (m) - in einem Auto;

32 + 5 = 37 (Personen) - war in jedem der 18 Autos;

37 18 \u003d 666 (Personen) - in Straßenbahnen links;

666 + 174 = 840 (Personen) - war im Theater.

Antwort: 840 Zuschauer.

Beispiel 5 Das Problem reduziert sich auf ein Gleichungssystem der Form: x + y = a, x – y =b.

Eine Aufgabe. Ein Gürtel mit einer Schnalle kostet 12 Rubel, und der Gürtel ist 6 Rubel teurer als die Schnalle.

Wie viel kostet der Gürtel, wie viel kostet die Schnalle?

Die algebraische Methode führt zu einem Gleichungssystem:

x+y=12,

x-y \u003d 6 wobei x: Rubel - der Preis des Gürtels,beiRubel - der Preis der Schnalle.

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden: eine Unbekannte durch eine andere ausdrücken. Lösen Sie aus der ersten Gleichung ihren Wert in die zweite Gleichung, lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Unbekannten und finden Sie die zweite Unbekannte. In diesem Fall werden wir jedoch den arithmetischen Weg zur Lösung des Problems nicht "fühlen" können.

Nachdem wir die Gleichungen des Systems hinzugefügt haben, haben wir sofort die Gleichung2x = 18.
Wo finden wir die Kosten für den Gürtelx = 9 (R.). Diese Methode zur Lösung des Systems ermöglicht es uns, die folgende arithmetische Argumentation zu erhalten. Angenommen, die Schnalle kostet genauso viel wie der Gürtel. Dann kostet eine Schnalle mit einem Gürtel (oder 2 Gürteln) 12 + 6 = 18 (r.) (da eine Schnalle tatsächlich 6 Rubel weniger kostet). Daher ist ein Gürtel 18:2=9 wert (S.).

Wenn wir Term für Term von der ersten Gleichung die zweite subtrahieren, dann erhalten wir die Gleichung 2bei \u003d 6, woher y \u003d 3 (S.). In diesem Fall sollte man beim Lösen des Problems mit der arithmetischen Methode wie folgt argumentieren. Angenommen, der Gürtel kostet genauso viel wie die Schnalle. Dann kosten die Schnalle und der Gürtel (oder zwei Schnallen) 12-6=6 (S.) (weil der Gürtel tatsächlich 6 Rubel mehr kostet).
Eine Schnalle kostet also 6:2=3 (S.)

Tabelle 5

Sei x Rubel der Preis des Gürtels, y Rubel der Preis der Schnalle. Je nach Problemstellung erhalten wir ein Gleichungssystem:

X + y \u003d 12,

X - y \u003d 6.

Wenn wir die Gleichungen des Systems Term für Term addieren, erhalten wir: 2x \u003d 12 + 6 2x \u003d 18.

Unbekannt finden:

x = 18: 2; x = 9

Gürtel mit Schnalle kostet 12r. Und der Gürtel ist 6r teurer als die Schnalle.

Gleiche das Unbekannte aus:

Angenommen, die Schnalle kostet genauso viel wie der Gürtel, dann kosten zwei Gürtel 12 + 6 = 18 (r.).

Finden Sie den Preis des Gürtels:

18: 2 = 9 (S.).

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 5 erhalten wir eine arithmetische Lösung:

12 + 6 = 18 (r.) - zwei Gürtel würden kosten, wenn die Schnalle gleich viel kostet wie der Gürtel;

2) 18:2=9 (S.) - es gibt einen Gürtel;

3) 12-9=3 (p.) - es gibt eine Schnalle.

Antwort: 9 Rubel, 3 Rubel.

Beispiel 6 Das Problem wird auf ein Gleichungssystem der Form reduziert:

ax + bu = c 1x+y=c2

Eine Aufgabe. Für die Wanderung haben 46 Schulkinder vier- und sechssitzige Boote hergerichtet. Wie viele von diesen und anderen Booten wären da, wenn alle Jungs in zehn Booten untergebracht wären und es keine freien Plätze mehr gäbe ?

Tabelle 6

Sei x die Anzahl der viersitzigen Boote und y die Anzahl der sechssitzigen Boote. Entsprechend der Bedingung des Problems haben wir ein Gleichungssystem:

x + y = 10,

4x + 6y = 46.

Multiplizieren Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit 4.

Wir haben:

4x + 4y = 40.

Wir subtrahieren (Term für Term) die resultierende Gleichung von der zweiten. Wir haben:

(6 - 4) y \u003d 46 - 40 oder 2y \u003d 6.

Finden wir das Unbekannte:

Y = 6: 2; y = 3.

Es gibt insgesamt 10 Boote, in denen 46 Schulkinder untergebracht waren.

Gleichen Sie die Unbekannten aus.

Nehmen wir an, dass alle Boote Viersitzer waren. Dann würden sie 40 Personen beherbergen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Personen mehr ein 6-Sitzer-Boot aufnehmen kann als ein 4-Sitzer-Boot: 6 - 4 = 2 (Personen). Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Schulkinder nicht genügend Plätze haben, wenn alle Boote Viersitzer sind: 46 - 40 \u003d 6 (Personen).

Lassen Sie uns die Anzahl der Sechssitzer-Boote ermitteln: 6: 2 = 3 (Stk.).

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 6 erhalten wir eine arithmetische Lösung:

1) 4- 10 \u003d 40 (Personen) - würde Platz bieten, wenn alle Boote Viersitzer wären;

2) 6 - 4 \u003d 2 (Personen) - für so viele Menschen fasst ein Sechssitzer-Boot mehr als ein Viersitzer;

3) 46 - 40 - 6 (Personen) - so viele Schüler haben nicht genug Platz, wenn

alle Boote sind vierfach;

4) 6: 2 = 3 (Stk.) - es gab Sechssitzer-Boote;

5) 10 - 3 = 7 (Stk.) - es gab Viersitzerboote.

Antwort: 3 Sechssitzer-Boote, 7 Viersitzer-Boote.

Beispiel 7 Das Problem reduziert sich auf ein Gleichungssystem der Form: a x+b y=c1; a x + b y \u003d c2

Eine Aufgabe. 3 Stifte und 4 Notizbücher kosten 26 Rubel und 7 Stifte und 6 ähnliche Notizbücher kosten 44 Rubel. Was kostet ein Notizbuch?

Tabelle 7

Seien x Rubel der Preis für einen Stift und y Rubel der Preis für ein Notizbuch. Je nach Problemstellung erhalten wir ein Gleichungssystem:

3 x + 4 y \u003d 26,

7x + 6y = 44.

Multiplizieren Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit 7. Wir erhalten:

21x + 28y \u003d 182,

21x + 18y = 132.

Subtrahiere (Term für Term) von der ersten Gleichung die zweite.

Wir haben:

(28 - 18) y \u003d 182 - 132 oder 10 y \u003d 50.

Finden wir das Unbekannte:

Y \u003d 50: 10, y \u003d 5.

3 Stifte und 4 Notizblöcke kosten 26 Rubel. 7 Stifte und 6 Notizbücher kosten 44 Rubel.

Gleichen Sie die Anzahl der Stifte in zwei Käufen aus. Dazu finden wir das kleinste Vielfache der Zahlen 3 und 7 (21). Dann wurden als Ergebnis des ersten Kaufs 21 Stifte und 28 Notizbücher gekauft und der zweite - 21 Stifte und 18 Notizbücher. Lassen Sie uns die Kosten für jeden Kauf in diesem Fall ermitteln:

26 * 7 \u003d 182 (r.), 44 * 3 \u003d 132 (r.).

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele weitere Notebooks zum ersten Mal gekauft wurden:

28 - 18 \u003d 10 (Stk.).

Finden Sie heraus, wie viel mehr Sie für den ersten Kauf bezahlen würden:

182 - 132 \u003d 50 (S.).

Finden Sie heraus, wie viel Notepad kostet:

50: 10 = 5 (S.).

Unter Verwendung der Daten in Tabelle 7 erhalten wir eine arithmetische Lösung:

1) 26 7 \u003d 182 (S.) - es gibt 21 Stifte und 28 Notizbücher;

2) 44 3 \u003d 132 (S.) - es gibt 21 Stifte und 18 Notizbücher;

3) 28 - 18 \u003d 10 (Stk.) - so viele Notebooks beim ersten Kauf wären mehr als beim zweiten;

4) 182 - 132 = 50 (S.) - es gibt 10 Notizbücher;

5) 50: 10=5 (p.) - da ist ein Heft.

Antwort: 5 Rubel.

Wir haben einige Arten von Textaufgaben betrachtet, die in verschiedenen Mathematiklehrbüchern für Grundschulklassen zu finden sind. Trotz der scheinbaren Einfachheit, eine Verbindung zwischen algebraischen und arithmetischen Methoden herzustellen, erfordert diese Technik dennoch sorgfältiges Üben mit den Schülern im praktischen Unterricht und sorgfältige Arbeit des Lehrers im Zuge der Selbstvorbereitung auf den Unterricht.

1. Allgemeine Bemerkungen zur Lösung von Problemen mit der algebraischen Methode.

2. Bewegungsaufgaben.

3. Aufgaben für die Arbeit.

4. Aufgaben für Mischungen und Prozentsätze.

Verwenden der algebraischen Methode, um einen arithmetischen Weg zur Lösung von Textproblemen zu finden.

1. Bei der Lösung von Problemen mit der algebraischen Methode werden die gewünschten Größen oder andere Größen mit Buchstaben bezeichnet (normalerweise x, y,z). Alle unabhängigen Beziehungen zwischen Daten und unbekannten Größen, die entweder direkt in der Bedingung (in verbaler Form) formuliert sind oder sich aus der Bedeutung des Problems (z. B. den physikalischen Gesetzen, denen die betrachteten Größen gehorchen) oder aus der ergeben Bedingung und einige Begründungen werden in Form von Gleichheit von Ungleichheiten geschrieben. Im allgemeinen Fall bilden diese Beziehungen ein gewisses Mischsystem. In besonderen Fällen kann dieses System keine Ungleichungen oder Gleichungen enthalten oder nur aus einer Gleichung oder Ungleichung bestehen.

Die Lösung von Problemen mit der algebraischen Methode unterliegt keinem einzigen, hinreichend universellen Schema. Daher ist jede Angabe, die sich auf alle Aufgaben bezieht, von allgemeinster Natur. Die Aufgaben, die sich aus der Lösung praktischer und theoretischer Fragestellungen ergeben, haben ihre ganz eigene Charakteristik. Daher sind ihre Untersuchung und Lösung von unterschiedlichster Natur.

Verweilen wir bei der Lösung von Problemen, deren mathematisches Modell durch eine Gleichung mit einer Unbekannten gegeben ist.

Denken Sie daran, dass die Aktivität zur Lösung des Problems aus vier Phasen besteht. Die Arbeit in der ersten Phase (Analyse des Probleminhalts) hängt nicht von der gewählten Lösungsmethode ab und weist keine grundlegenden Unterschiede auf. In der zweiten Phase (bei der Suche nach einem Weg zur Lösung des Problems und der Erstellung eines Lösungsplans) wird bei Verwendung der algebraischen Lösungsmethode Folgendes durchgeführt: die Wahl des Hauptverhältnisses zum Erstellen der Gleichung; die Wahl des Unbekannten und die Einführung einer Bezeichnung dafür; Ausdruck der im Hauptverhältnis enthaltenen Größen durch das Unbekannte und die Daten. Die dritte Stufe (Umsetzung des Problemlösungsplans) beinhaltet die Erstellung einer Gleichung und ihrer Lösung. Die vierte Stufe (Überprüfung der Lösung des Problems) wird auf die übliche Weise durchgeführt.

Normalerweise beim Schreiben von Gleichungen mit einer Unbekannten X Halten Sie sich an die beiden folgenden Regeln.

Regel ich . Eine dieser Größen wird als Unbekannt ausgedrückt X und andere Daten (d. h. es wird eine Gleichung aufgestellt, in der ein Teil einen bestimmten Wert enthält und der andere denselben Wert, ausgedrückt durch X und andere vorgegebene Mengen).

Regel II . Für dieselbe Größe werden zwei algebraische Ausdrücke gebildet, die dann miteinander gleichgesetzt werden.

Äußerlich scheint die erste Regel einfacher zu sein als die zweite.

Im ersten Fall muss immer ein algebraischer Ausdruck gebildet werden, im zweiten zwei. Es gibt jedoch oft Probleme, bei denen es bequemer ist, zwei algebraische Ausdrücke für dieselbe Größe zu bilden, als einen bereits bekannten auszuwählen und einen Ausdruck dafür zu bilden.

Das algebraische Lösen von Textproblemen erfolgt nach folgendem Algorithmus:

1. Wählen Sie zunächst das Verhältnis, auf dessen Grundlage die Gleichung erstellt wird. Wenn das Problem mehr als zwei Verhältnisse enthält, sollte das Verhältnis, das einen Zusammenhang zwischen allen Unbekannten herstellt, als Grundlage für die Erstellung der Gleichung genommen werden.

Dann wird das Unbekannte gewählt, das mit dem entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet ist.

Alle unbekannten Größen, die in dem für die Erstellung der Gleichung gewählten Verhältnis enthalten sind, müssen in Bezug auf die gewählte Unbekannte ausgedrückt werden, basierend auf den übrigen in der Aufgabe enthaltenen Verhältnissen, mit Ausnahme des Hauptverhältnisses.

4. Aus diesen drei Operationen folgt unmittelbar die Aufstellung einer Gleichung als Gestaltung eines Sprachprotokolls mit Hilfe mathematischer Symbole.

Den zentralen Platz unter den aufgeführten Operationen nimmt die Wahl der Hauptrelation zum Erstellen von Gleichungen ein. Die betrachteten Beispiele zeigen, dass die Wahl des Hauptverhältnisses bei der Formulierung von Gleichungen entscheidend ist, logische Harmonie in den manchmal vagen Worttext des Problems einführt, Vertrauen in die Orientierung gibt und vor chaotischem Handeln schützt, um alle darin enthaltenen Größen auszudrücken Problem durch die Daten und die gewünschten.

Die algebraische Methode zur Lösung von Problemen ist von großer praktischer Bedeutung. Mit ihrer Hilfe lösen sie verschiedenste Aufgaben aus Technik, Landwirtschaft und Alltag. Bereits in der Sekundarstufe werden Gleichungen von Schülern im Studium der Physik, Chemie und Astronomie verwendet. Wo die Arithmetik sich als machtlos erweist oder bestenfalls äußerst umständliches Denken erfordert, führt die algebraische Methode einfach und schnell zur Antwort. Und selbst bei den sogenannten "typischen" arithmetischen Rechenaufgaben, die relativ leicht arithmetisch zu lösen sind, ist die algebraische Lösung in der Regel sowohl kürzer als auch natürlicher.

Die algebraische Problemlösungsmethode macht es einfach zu zeigen, dass einige Probleme, die sich nur im Diagramm voneinander unterscheiden, nicht nur die gleichen Beziehungen zwischen den Daten und den gewünschten Werten haben, sondern auch zu typischen Argumentationen führen, durch die diese Beziehungen hergestellt werden. Solche Probleme geben nur unterschiedliche spezifische Interpretationen der gleichen mathematischen Argumentation, der gleichen Beziehungen, das heißt, sie haben das gleiche mathematische Modell.

2. Die Gruppe der Bewegungsaufgaben umfasst Aufgaben, die sich mit drei Größen befassen: Wege (s), Geschwindigkeit ( v) und Zeit ( t). In der Regel sprechen sie von einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung, wenn die Geschwindigkeit in Größe und Richtung konstant ist. In diesem Fall hängen alle drei Größen durch die folgende Beziehung zusammen: S = vt. Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Radfahrers 12 km/h beträgt, dann fährt er in 1,5 Stunden 12 km/h  1,5 h = 18 km. Es gibt Probleme, bei denen eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung betrachtet wird, also eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung (a). Zurückgelegte Entfernung s in diesem Fall wird nach der Formel berechnet: S = v 0 t + bei 2 /2, wo v 0 – Anfangsgeschwindigkeit. In 10 s Fall mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s und einer Beschleunigung des freien Falls von 9,8 m 2 /s fliegt der Körper also eine Distanz von 5 m/s  10 s + 9,8 m 2 /s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Wie bereits erwähnt, ist es bei der Lösung von Textproblemen und vor allem bei Bewegungsproblemen sehr nützlich, eine illustrative Zeichnung anzufertigen (um ein grafisches Hilfsmodell des Problems zu erstellen). Die Zeichnung sollte so erfolgen, dass sie die Bewegungsdynamik mit allen Begegnungen, Stopps und Wendungen zeigt. Eine gut gestaltete Zeichnung ermöglicht nicht nur ein tieferes Verständnis des Probleminhalts, sondern erleichtert auch das Aufstellen von Gleichungen und Ungleichungen. Beispiele solcher Zeichnungen werden nachstehend angegeben.

Die folgenden Konventionen werden normalerweise bei Bewegungsproblemen angewendet.

Sofern in der Aufgabe nicht ausdrücklich angegeben, gilt die Bewegung in einzelnen Abschnitten als gleichförmig (egal, ob es sich um eine Bewegung in einer geraden Linie oder im Kreis handelt).

Drehungen von sich bewegenden Körpern gelten als augenblicklich, dh sie treten ohne Zeitaufwand auf; Die Geschwindigkeit ändert sich auch sofort.

Diese Gruppe von Aufgaben kann wiederum in Aufgaben unterteilt werden, bei denen die Bewegungen von Körpern berücksichtigt werden: 1) aufeinander zu; 2) in eine Richtung ("nach"); 3) in entgegengesetzte Richtungen; 4) entlang einer geschlossenen Bahn; 5) entlang des Flusses.

Wenn der Abstand zwischen den Körpern ist S, und die Geschwindigkeiten der Körper sind gleich v 1 und v 2 (Abb. 16 a), Wenn sich die Körper dann aufeinander zu bewegen, ist die Zeit, nach der sie sich treffen, gleich S/(v 1 + v 2).

2. Wenn der Abstand zwischen den Körpern ist S, und die Geschwindigkeiten der Körper sind gleich v 1 und v 2 (Abb. 16 b), dann, wenn sich die Körper in eine Richtung bewegen ( v 1 > v 2) die Zeit, nach der der erste Körper den zweiten überholt, ist S/(v 1 – v 2).

3. Wenn der Abstand zwischen den Körpern ist S, und die Geschwindigkeiten der Körper sind gleich v 1 und v 2 (Abb. 16 in), dann, nachdem sie sich gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen auf den Weg gemacht haben, werden die Körper in der Zeit sein t auf Distanz sein S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t.

Reis. 16

4. Wenn sich die Körper entlang einer geschlossenen Bahn der Länge in eine Richtung bewegen s mit Geschwindigkeiten v 1 und v 2 , die Zeit, nach der sich die Körper wieder treffen (ein Körper wird den anderen überholen) und gleichzeitig von einem Punkt weggehen, wird durch die Formel gefunden t = S/(v 1 – v 2) vorausgesetzt v 1 > v 2 .

Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass bei einem gleichzeitigen Start entlang einer geschlossenen Bahn in einer Richtung ein Körper mit höherer Geschwindigkeit beginnt, einen Körper mit niedrigerer Geschwindigkeit einzuholen. Das erste Mal holt es ihn ein, nachdem er eine Strecke von zurückgelegt hat S mehr als ein anderer Körper. Wenn es ihn zum zweiten, dritten Mal usw. überholt, bedeutet dies, dass es eine Strecke von 2 zurücklegt S, bis 3 S und so weiter mehr als ein anderer Körper.

Wenn sich die Körper auf einem geschlossenen Längenweg in unterschiedliche Richtungen bewegen S mit Geschwindigkeiten v 1 und v 2 , die Zeit, nach der sie sich treffen werden, nachdem sie gleichzeitig von einem Punkt abgewichen sind, wird durch die Formel gefunden t = v(v 1 + v 2). In diesem Fall entsteht unmittelbar nach dem Beginn der Bewegung eine Situation, in der sich die Körper aufeinander zu bewegen beginnen.

5. Wenn sich der Körper entlang des Flusses bewegt, dann seine Geschwindigkeit relativ zum Ufer und ist die Summe der Geschwindigkeit des Körpers im stehenden Wasser v und die Geschwindigkeit des Flusses w: und =v + w. Bewegt sich ein Körper gegen die Strömung eines Flusses, so ist seine Geschwindigkeit und =v – w. Zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeit des Bootes v\u003d 12 km / h und die Geschwindigkeit des Flusses w \u003d 3 km / h, dann segelt das Boot in 3 Stunden den Fluss entlang (12 km / h + 3 km / h)  3 Stunden = 45 km und gegen die Strömung - (12 km / h - 3 km / h)  3 Stunden = 27 km. Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit von Objekten mit Nullgeschwindigkeit in stillem Wasser (Floß, Baumstamm usw.) gleich der Geschwindigkeit des Flusses ist.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.Von einem Punkt in eine Richtung alle 20 min. Autos fahren ab. Das zweite Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h, und die Geschwindigkeit des ersten ist 50 % höher als die Geschwindigkeit des zweiten. Finden Sie die Geschwindigkeit des dritten Autos, wenn bekannt ist, dass es das erste Auto 5,5 Stunden später als das zweite überholt hat.

Lösung. Sei x km/h die Geschwindigkeit des dritten Autos. Die Geschwindigkeit des ersten Autos ist 50% höher als die Geschwindigkeit des zweiten, also gleich

Bei Bewegung in eine Richtung ergibt sich die Begegnungszeit aus dem Verhältnis der Entfernung zwischen Objekten zum Unterschied ihrer Geschwindigkeiten. Erstes Auto in 40 min. (2/3 h) fährt 90  (2/3) = 60 km. Daher wird ihn der Dritte in 60/( treffen (sie werden sich treffen) X– 90) Stunden. Zweiter in 20 Minuten. (1/3 h) fährt 60  (1/3) = 20 km. Das bedeutet, dass der Dritte ihn in 20/( X- 60) Stunden (Abb. 17).

P
über den Zustand des Problems

Reis. 17

Nach einfachen Transformationen erhalten wir eine quadratische Gleichung 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, deren Lösung wir finden

Die Überprüfung zeigt, dass die zweite Wurzel die Bedingung des Problems nicht erfüllt, da in diesem Fall das dritte Auto andere Autos nicht einholen wird. Antwort: Die Geschwindigkeit des dritten Autos beträgt 100 km/h.

Beispiel Das Motorschiff fuhr 96 km entlang des Flusses, kehrte zurück und stand einige Zeit unter Beladung und verbrachte insgesamt 32 Stunden.Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 2 km / h. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser, wenn die Ladezeit 37,5 % der Zeit beträgt, die auf der gesamten Rundreise verbracht wird.

Lösung. Sei x km/h die Geschwindigkeit des Schiffes in ruhigem Wasser. Dann ( X+ 2) km/h - seine Geschwindigkeit flussabwärts; (X - 2) km/h - gegen den Strom; 96/( X+ 2) Stunden - die Zeit der Bewegung mit dem Fluss; 96/( X- 2) Stunden - die Zeit der Bewegung gegen den Strom. Da das Schiff 37,5 % der Gesamtzeit beladen war, beträgt die Nettobewegungszeit 62,5 %  32/100 % = 20 (Stunden). Daher haben wir entsprechend der Bedingung des Problems die Gleichung:

Wenn wir es umwandeln, erhalten wir: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. Nachdem wir die quadratische Gleichung gelöst haben, finden wir: X 1 = 10; X 2 = -0,4. Die zweite Wurzel erfüllt die Bedingung des Problems nicht.

Antwort: 10 km/h ist die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser.

Beispiel. Auto ist weit aus der Stadt gefahren ABER nach Stadt C durch die Stadt BEI Ohne Stopps. Distanz AB, gleich 120 km reiste er mit konstanter Geschwindigkeit 1 Stunde schneller als die Strecke Sonne, gleich 90 km. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos aus der Stadt ABER nach Stadt C, wenn die Geschwindigkeit auf dem Abschnitt bekannt ist AB 30 km/h mehr Geschwindigkeit auf der Baustelle Sonne.

Lösung. Lassen X km / h - die Geschwindigkeit des Autos auf der Baustelle Sonne.

Dann ( X+ 30) km/h – Geschwindigkeit auf dem Abschnitt AB, 120/(X+ 30) h, 90/ X h ist die Zeit, die das Auto fährt AB und Sonne beziehungsweise.

Daher haben wir entsprechend der Bedingung des Problems die Gleichung:

.

Transformieren wir es:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

Lösen wir die quadratische Gleichung, finden wir: X 1 = 30, X 2 = -90. Die zweite Wurzel erfüllt die Bedingung des Problems nicht. Also die Geschwindigkeit im Schnitt Sonne gleich 30 km/h, auf dem Abschnitt AB - 60 km/h Daraus folgt die Distanz AB das Auto in 2 Stunden gefahren ist (120 km: 60 km/h = 2 Stunden) und die Entfernung Sonne - in 3 Stunden (90 km: 30 km/h = 3 Stunden), also die ganze Strecke AU er reiste in 5 Stunden (3 Stunden + 2 Stunden = 5 Stunden). Dann die durchschnittliche Bewegungsgeschwindigkeit auf der Website AU, dessen Länge 210 km beträgt, entspricht 210 km: 5 Stunden \u003d 42 km / h.

Antwort: 42 km / h - die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos auf der Baustelle WIE.

Die Gruppe der Aufgaben für die Arbeit umfasst Aufgaben, die sich auf drei Größen beziehen: Arbeit ABER, Zeit t, während der gearbeitet wird, Produktivität R - geleistete Arbeit pro Zeiteinheit. Diese drei Größen werden durch die Gleichung in Beziehung gesetzt ABER = Rt. Zu den Arbeitsaufgaben gehören auch Tätigkeiten im Zusammenhang mit dem Füllen und Entleeren von Behältern (Behältern, Tanks, Becken usw.) unter Verwendung von Rohrleitungen, Pumpen und anderen Geräten. In diesem Fall wird die Menge des gepumpten Wassers als geleistete Arbeit betrachtet.

Aufgaben für die Arbeit können im Allgemeinen der Gruppe von Aufgaben für die Bewegung zugeordnet werden, da bei Aufgaben dieser Art berücksichtigt werden kann, dass die gesamte Arbeit oder das Gesamtvolumen des Reservoirs die Rolle der Entfernung und die Produktivität von Objekten spielt tun Arbeit ist ähnlich wie die Geschwindigkeit der Bewegung. Je nach Handlung unterscheiden sich diese Aufgaben jedoch natürlich, und einige Arbeitsaufgaben haben ihre eigenen spezifischen Lösungsmethoden. Bei den Aufgaben, bei denen der Arbeitsaufwand nicht angegeben ist, wird die gesamte Arbeit als Einheit betrachtet.

Beispiel. Zwei Teams mussten den Auftrag in 12 Tagen erledigen. Nach 8 Tagen gemeinsamer Arbeit erhielt das erste Team eine weitere Aufgabe, sodass das zweite Team den Auftrag für weitere 7 Tage fertigstellte. In wie vielen Tagen könnte jedes der Teams den Auftrag abschließen, wenn es getrennt arbeitet?

Lösung. Lassen Sie die erste Brigade die Aufgabe für erledigen X Tage, die zweite Brigade - für j Tage. Nehmen wir die ganze Arbeit als Einheit. Dann 1/ X - Produktivität der ersten Brigade, ein 1/ j – zweite. Da zwei Teams den Auftrag in 12 Tagen abschließen müssen, erhalten wir die erste Gleichung 12(1/ X + 1/bei) = 1.

Aus der zweiten Bedingung folgt, dass das zweite Team 15 Tage gearbeitet hat und das erste - nur 8 Tage. Die zweite Gleichung lautet also:

8/X+ 15/bei= 1.

Somit haben wir ein System:

Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, erhält man:

21/j = 1 => y= 21.

Dann 12/ X + 12/21 = 1 => 12/X – = 3/7 => x= 28.

Antwort: Die erste Brigade wird den Auftrag in 28 Tagen abschließen, die zweite in 21 Tagen.

Beispiel. Arbeiter ABER und Arbeiten BEI kann die Arbeit in 12 Tagen abschließen ABER und Arbeiten AUS– in 9 Tagen, arbeitend BEI und arbeiten C - in 12 Tagen. Wie viele Tage werden sie brauchen, um den Job zu erledigen, wenn sie zusammenarbeiten?

Lösung. Lassen Sie den Arbeiter ABER kann den Job machen für X Tage, arbeiten BEI- pro bei Tage, arbeiten AUS- pro z Tage. Nehmen wir die ganze Arbeit als Einheit. Dann 1/ x, 1/j und 1/ z – Arbeitsproduktivität A, B und AUS beziehungsweise. Unter Verwendung der Bedingung des Problems gelangen wir zu dem folgenden Gleichungssystem, das in der Tabelle dargestellt ist.

Tabelle 1

Nach Umformung der Gleichungen haben wir ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wenn wir die Gleichungen des Systems Term für Term addieren, erhalten wir:

oder

Die Summe ist die gemeinsame Produktivität der Arbeiter, also wird die Zeit, in der sie die ganze Arbeit erledigen, gleich sein

Antwort: 7,2 Tage.

Beispiel. Im Pool sind zwei Rohre verlegt - Zu- und Ablauf, und durch das erste Rohr wird das Becken 2 Stunden länger gefüllt, als durch das zweite Rohr das Wasser aus dem Becken gegossen wird. Wenn der Pool zu einem Drittel gefüllt war, beide Rohre offen waren und sich der Pool nach 8 Stunden als leer herausstellte, wie viele Stunden kann sich der Pool durch ein erstes Rohr füllen und wie viele Stunden kann ein voller Pool durch ein zweites Rohr ablaufen ?

Lösung. Lassen v m 3 - das Volumen des Pools, X m 3 / h - die Leistung der Versorgungsleitung, bei m 3 / h - Auslass. Dann v/ x Stunden - die Zeit, die die Versorgungsleitung benötigt, um das Becken zu füllen, v/ j Stunden - die Zeit, die das Ablaufrohr benötigt, um den Pool zu entleeren. Je nach Aufgabe v/ x – v/ j = 2.

Da die Produktivität des Auslassrohrs größer ist als die Produktivität des Füllrohrs, trocknet das Becken aus, wenn beide Rohre eingeschaltet sind, und ein Drittel des Beckens trocknet mit der Zeit aus (v/3)/(j – x), was je nach Zustand des Problems 8 Stunden entspricht. Also kann der Zustand des Problems als ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten geschrieben werden:

Die Aufgabe ist zu finden v/ x und v/ j. Lassen Sie uns eine Kombination von Unbekannten in den Gleichungen herausgreifen v/ x und v/ j, Schreiben Sie das System als:

Einführung neuer Unbekannter v/ x= ein und v/ j = b, wir bekommen folgendes System:

Einsetzen des Ausdrucks in die zweite Gleichung a= b + 2, wir haben eine Gleichung für b:

entscheiden, was wir finden b 1 = 6, b 2 = -acht. Die Bedingung des Problems ist durch die erste Wurzel 6, = 6 (S.) erfüllt. Aus der ersten Gleichung des letzten Systems finden wir a= 8 (h), dh das erste Rohr füllt das Becken in 8 Stunden.

Antwort: Durch das erste Rohr wird der Pool in 8 Stunden gefüllt, durch das zweite Rohr wird der Pool nach 6 Stunden entleert.

Beispiel. Ein Traktorteam muss 240 Hektar pflügen, das andere 35 % mehr als das erste. Die erste Brigade, die jeden Tag 3 ha weniger pflügte als die zweite Brigade, beendete die Arbeit 2 Tage früher als die zweite Brigade. Wie viele Hektar hat jede Brigade täglich gepflügt?

Lösung. Finden wir 35 % von 240 ha: 240 ha  35 % / 100 % = 84 ha.

Folglich musste das zweite Team 240 ha + 84 ha = 324 ha pflügen. Lass die erste Brigade täglich pflügen X Ha. Dann pflügte die zweite Brigade täglich ( X+ 3) ha; 240/ X– Arbeitszeit der ersten Brigade; 324/( X+ 3) - die Zeit der zweiten Brigade. Je nach Zustand des Problems beendete das erste Team die Arbeit 2 Tage früher als das zweite, also haben wir die Gleichung

was nach Transformationen wie folgt geschrieben werden kann:

324X – 240X - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

Nachdem wir die quadratische Gleichung gelöst haben, finden wir x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. Dies ist die Norm der ersten Brigade.

Folglich pflügte die zweite Brigade 27 ha bzw. 18 ha pro Tag. Beide Lösungen erfüllen die Bedingung des Problems.

Antwort: 24 Hektar pro Tag wurden von der ersten Brigade gepflügt, 27 Hektar von der zweiten; 15 Hektar pro Tag wurden von der ersten Brigade gepflügt, 18 Hektar von der zweiten.

Beispiel. Im Mai produzierten zwei Werkstätten 1080 Teile. Im Juni steigerte das erste Geschäft die Produktion von Teilen um 15 % und das zweite die Produktion von Teilen um 12 %, sodass beide Geschäfte 1224 Teile produzierten. Wie viele Teile hat jede Werkstatt im Juni produziert?

Lösung. Lassen X Teile wurden im Mai von der ersten Werkstatt hergestellt, bei Details - die zweite. Da im Mai je nach Zustand des Problems 1080 Teile hergestellt wurden, haben wir die Gleichung x + j = 1080.

Finden Sie 15 % Rabatt X:

Also 0,15 X Teile erhöhten die Leistung der ersten Werkstatt, daher wurde im Juni produziert x + 0,15 X = 1,15 x Einzelheiten. In ähnlicher Weise stellen wir fest, dass der zweite Shop im Juni 1,12 produzierte j Einzelheiten. Die zweite Gleichung sieht also so aus: 1,15 x + 1,12 bei= 1224. Somit haben wir das System:

woraus wir finden x= 480, y= 600. Folglich produzierten die Werkstätten im Juni 552 Teile bzw. 672 Teile.

Antwort: Die erste Werkstatt produzierte 552 Teile, die zweite - 672 Teile.

4. Die Aufgabengruppe zu Mischungen und Prozenten umfasst Aufgaben, bei denen es um das Mischen verschiedener Stoffe in bestimmten Anteilen geht, sowie Aufgaben zu Prozenten.

Aufgaben für Konzentration und Prozent

Lassen Sie uns einige Konzepte klären. Lassen Sie es eine Mischung aus sein P verschiedene Substanzen (Komponenten) ABER 1 ABER 2 , ..., ABER n jeweils, deren Volumina gleich sind v 1 , v 2 , ..., v n . Volumen mischen v 0 besteht aus den Volumina reiner Komponenten: v 0 = v 1 + v 2 + ... + v n .

Volumenkonzentration Substanzen ABER ich (ich = 1, 2, ..., P) in der Mischung heißt die Menge c ich, berechnet nach der Formel:

Volumenprozent von Substanz A ich (ich = 1, 2, ..., P) in der Mischung heißt Menge p ich , nach Formel berechnet R ich = Mit ich ,  100%. Konzentrationen Mit 1, Mit 2 , ..., Mit n, die dimensionslose Größen sind, sind durch die Gleichheit verbunden Mit 1 + mit 2 + ... + mit n = 1, und die Beziehungen

Zeigen Sie, welcher Anteil des Gesamtvolumens der Mischung das Volumen der einzelnen Komponenten ist.

Wenn der Prozentsatz bekannt ist ich-ten Komponente, dann wird ihre Konzentration durch die Formel gefunden:

also Pi – ist die Konzentration ich te Stoff im Gemisch, ausgedrückt in Prozent. Beträgt beispielsweise der Anteil einer Substanz 70 %, dann beträgt die entsprechende Konzentration 0,7. Wenn die Konzentration dagegen 0,33 beträgt, beträgt der Prozentsatz 33 %. Also die Summe R 1 + S 2 + …+ S n = 100 %. Wenn Konzentrationen bekannt sind Mit 1 , Mit 2 , ..., Mit n Komponenten, aus denen diese Volumenmischung besteht v 0 , dann werden die entsprechenden Volumina der Komponenten durch die Formeln gefunden:

Die Konzepte Gewicht (Masse) conZentralisierung Komponenten der Mischung und die entsprechenden Prozentsätze. Sie sind definiert als das Verhältnis des Gewichts (Masse) einer reinen Substanz ABER ich , in der Legierung zum Gewicht (Masse) der gesamten Legierung. Um welche Konzentration, Volumen oder Gewicht es sich bei einem bestimmten Problem handelt, ergibt sich immer aus seinen Bedingungen.

Es gibt Aufgaben, bei denen es notwendig ist, die Volumenkonzentration auf die Gewichtskonzentration umzurechnen oder umgekehrt. Dazu ist es notwendig, die Dichte (das spezifische Gewicht) der Komponenten zu kennen, aus denen die Lösung oder Legierung besteht. Betrachten Sie beispielsweise eine Zweikomponentenmischung mit Volumenkonzentrationen der Komponenten Mit 1 und Mit 2 (Mit 1 + mit 2 = 1) und dem spezifischen Gewicht der Komponenten d 1 und d 2 . Die Masse der Mischung kann durch die Formel gefunden werden:

worin v 1 und v 2 – die Volumina der Komponenten, aus denen die Mischung besteht. Die Gewichtskonzentrationen der Komponenten ergeben sich aus den Gleichungen:

die das Verhältnis dieser Größen zu volumetrischen Konzentrationen bestimmen.

In den Texten solcher Aufgaben kommt in der Regel ein und dieselbe Bedingung immer wieder vor: aus zwei oder mehr Mischungen, die Komponenten enthalten EIN 1 , EIN 2 , ABER 3 , ..., ABER n , Eine neue Mischung wird zusammengestellt, indem die ursprünglichen Mischungen in einem bestimmten Verhältnis gemischt werden. In diesem Fall muss festgestellt werden, in welchem ​​Verhältnis die Komponenten stehen ABER 1, ABER 2 , ABER 3 , ..., ABER n Geben Sie die resultierende Mischung ein. Um dieses Problem zu lösen, ist es zweckmäßig, die Volumen- oder Gewichtsmenge jeder Mischung sowie die Konzentrationen ihrer Bestandteile zu berücksichtigen ABER 1, ABER 2 , ABER 3 , ..., ABER n . Mit Hilfe von Konzentrationen muss jede Mischung in einzelne Komponenten „aufgeteilt“ und dann auf die im Problemzustand angegebene Weise eine neue Mischung zusammengestellt werden. In diesem Fall ist es einfach zu berechnen, wie viel von jeder Komponente in der resultierenden Mischung enthalten ist, sowie die Gesamtmenge dieser Mischung. Danach werden die Konzentrationen der Komponenten bestimmt ABER 1, ABER 2 , ABER 3 , ..., ABER n in der neuen Mischung.

Beispiel.Es gibt zwei Stücke aus Kupfer-Zink-Legierung mit einem Kupferanteil von 80 % bzw. 30 %. In welchem ​​Verhältnis müssen diese Legierungen genommen werden, um durch Schmelzen der zusammengenommenen Stücke eine Legierung mit 60 % Kupfer zu erhalten?

Lösung. Nehmen wir die erste Legierung X kg und die zweite - bei kg. Bedingungsgemäß beträgt die Kupferkonzentration in der ersten Legierung 80/100 = 0,8, in der zweiten 30/100 = 0,3 (es ist klar, dass es sich um Gewichtskonzentrationen handelt), was bedeutet, dass in der ersten Legierung 0,8 X kg Kupfer und (1 - 0,8) X = 0,2X kg Zink, im zweiten - 0,3 bei kg Kupfer und (1 - 0,3) j = 0,7bei kg Zink. Die Kupfermenge in der resultierenden Legierung beträgt (0,8  X + 0,3  j) kg, und die Masse dieser Legierung wird sein (x + y) kg. Daher ist die neue Kupferkonzentration in der Legierung gemäß der Definition gleich

Je nach Zustand des Problems sollte diese Konzentration gleich 0,6 sein. Daher erhalten wir die Gleichung:

Diese Gleichung enthält zwei Unbekannte X und j. Je nach Problemstellung ist es jedoch nicht erforderlich, die Mengen selbst zu bestimmen X und y, sondern nur ihre Haltung. Nach einfachen Transformationen erhalten wir

Antwort: Legierungen müssen im Verhältnis 3: 2 eingenommen werden.

Beispiel.Es gibt zwei Lösungen von Schwefelsäure in Wasser: die erste ist 40%ig, die zweite 60%ig. Diese beiden Lösungen wurden gemischt, wonach 5 kg reines Wasser zugegeben wurden und eine 20%ige Lösung erhalten wurde. Würde man statt 5 kg reinem Wasser 5 kg einer 80 %igen Lösung zugeben, so würde man eine 70 %ige Lösung erhalten. Wie viele waren 40%- und 60%-Lösungen?

Lösung. Lassen X kg ist die Masse der ersten Lösung, bei kg - das zweite. Dann wird die Masse einer 20%igen Lösung ( X + bei+ 5) Kilo. Seit in X kg 40%ige Lösung enthält 0,4 X kg Säure bei kg 60%ige Lösung enthält 0,6 j kg Säure und (x + y + 5) kg 20%ige Lösung enthält 0,2( X + ja + 5) kg Säure, dann haben wir per Bedingung die erste Gleichung 0,4 X + 0,6j = 0,2(X +y + 5).

Wenn Sie anstelle von 5 kg Wasser 5 kg einer 80% igen Lösung hinzufügen, erhalten Sie eine Lösung mit einer Masse (x + y+ 5) kg, in denen (0,4 X + 0,6bei+ 0,8  5) kg Säure, die zu 70% ausmacht (x + y+ 5) Kilo.

Probleme algebraisch lösen (unter Verwendung von Gleichungen) Nach dem Lehrbuch von I.I. Zubareva, A.G. Mordkowitsch

Mathematiklehrer, MOU "LSOSh No. 2"

Lichoslawl, Region Tver

Ziele:- die Regel zum Lösen von Problemen auf algebraische Weise zeigen; - die Fähigkeit zu bilden, Probleme auf arithmetische und algebraische Weise zu lösen.

Wege

Probleme lösen

Arithmetik (Problemlösung durch Handlungen)

Algebraisch (ein Problem mit einer Gleichung lösen)

Problem Nr. 509

Lies die Aufgabe.

Versuchen Sie, verschiedene Lösungen zu finden.

In zwei Kartons befinden sich 16 kg Kekse. Finden Sie die Masse der Kekse in jeder Schachtel, wenn eine davon 4 kg mehr Kekse enthält als die andere.

1 Lösung

(Uhr)

3 Wege zu lösen

(Uhr)

2 Wege zu lösen

4 Wege zu lösen

1 Weg (Arithmetik)

• 16 - 4 \u003d 12 (kg) - Kekse verbleiben in zwei Kartons, wenn 4 kg Kekse aus dem ersten Karton entnommen werden.

• 12: 2 = 6 (kg) - Kekse waren in der zweiten Schachtel.

• 6 + 4 = 10 (kg) - Kekse waren in der ersten Kiste.

Antworten

Die verwendete Lösung Anpassungsmethode .

Frage: Warum hat es einen solchen Namen bekommen?

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2-Wege (Arithmetik)

• 16 + 4 \u003d 20 (kg) - Kekse befinden sich in zwei Kartons, wenn 4 kg Kekse in den zweiten Karton gegeben werden.

• 20: 2 = 10 (kg) - Kekse waren in der ersten Kiste.

• 10 - 4 = 6 (kg) - Kekse waren in der zweiten Kiste.

Antworten: Die Masse der Kekse in der ersten Kiste beträgt 10 kg und in der zweiten 6 kg.

Die verwendete Lösung Anpassungsmethode .

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3 Wege (algebraisch)

Bezeichnen Sie die Masse der Kekse in dieser Sekunde Kastenbuchstabe X kg. Dann ist die Masse der Kekse in der ersten Box ( X+4) kg, und die Masse der Kekse in zwei Schachteln ist (( X +4)+ X) kg.

(X +4)+ X =16

X +4+ X =16

2 X +4=16

2 X =16-4

2 X =12

X =12:2

Die zweite Kiste enthielt 6 kg Kekse.

6+4=10 (kg) - Kekse waren in der ersten Kiste.

Die verwendete Lösung algebraischer Weg.

Übung: Erklären Sie den Unterschied zwischen der arithmetischen und der algebraischen Methode?

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4 Wege (algebraisch)

Bezeichnen Sie die Masse der Kekse in der ersten Kastenbuchstabe X kg. Dann ist die Masse der Kekse in der zweiten Box gleich ( X-4) kg, und die Masse der Kekse in zwei Schachteln ist ( X +(X-4)) kg.

Je nach Zustand des Problems enthielten zwei Kartons 16 kg Kekse. Wir erhalten die Gleichung:

X +(X -4)=16

X + X -4=16

2 X -4=16

2 X =16+4

2 X =20

X =20:2

Die erste Kiste enthielt 10 kg Kekse.

10-4=6 (kg) - Kekse waren in der zweiten Schachtel.

Die verwendete Lösung algebraischer Weg.

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• Welche zwei Methoden wurden verwendet, um das Problem zu lösen?
• Was ist ein Ausgleichsverfahren?
• Wie unterscheidet sich die erste Ausrichtungsmethode von der zweiten?
• Eine Tasche hat 10 Rubel mehr als die andere. Wie kann man den Geldbetrag in beiden Taschen ausgleichen?
• Was ist der algebraische Weg, um ein Problem zu lösen?
• Was ist der Unterschied zwischen der 3. Methode zur Lösung des Problems und der 4.?
• Eine Tasche hat 10 Rubel mehr als die andere. Es ist bekannt, dass ein kleinerer Geldbetrag als Variable bezeichnet wurde X. Wie wird es ausgedrückt durch X
• Wenn wegen X bedeutet mehr Geld in der Tasche, während es durch ausgedrückt wird X der Geldbetrag in der anderen Tasche?
• Im Laden kostet Shampoo 25 Rubel mehr als im Supermarkt. Beschriften Sie eine Variable mit einem Buchstaben bei und drücken Sie weitere Kosten in Bezug auf diese Variable aus.

Problem Nr. 510

Lösen Sie das Problem arithmetisch und algebraisch.

Auf drei Parzellen wurden 156 Zentner Kartoffeln geerntet. Vom ersten und zweiten Abschnitt wurden Kartoffeln zu gleichen Teilen geerntet, und vom dritten - 12 Zentner mehr als von jedem der ersten beiden. Wie viele Kartoffeln wurden von jeder Parzelle geerntet?

Algebraischer Weg

(Uhr)

Arithmetischer Weg

(Uhr)

Ausfahrt)

Arithmetischer Weg

• 156 - 12 \u003d 144 (c) - Kartoffeln würden von drei Parzellen geerntet, wenn der Ertrag aller Parzellen gleich wäre.

• 144: 3 = 48 (c) – Kartoffeln wurden von der ersten Parzelle geerntet und von der zweiten Parzelle geerntet.
• 48 + 12 = 60 (c) – Kartoffeln wurden von der dritten Parzelle gesammelt.

Antworten

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Algebraischer Weg

Lassen Sie sie von der ersten Seite sammeln X c Kartoffeln. Dann vom zweiten Standort sammelten sie auch X q Kartoffeln, und geerntet vom dritten Standort ( X+12) c Kartoffeln.

Gemäß der Bedingung wurden 156 Zentner Kartoffeln von allen drei Parzellen gesammelt.

Wir erhalten die Gleichung:

x + x + (x +12) =156

x+x+x + 12 = 156

3 X +12 = 156

3 X = 156 – 12

3 X = 144

X = 144: 3

Von den ersten und zweiten Parzellen wurden 48 Zentner Kartoffeln gesammelt.

48 +12 \u003d 60 (c) - Kartoffeln wurden vom dritten Standort gesammelt.

Antworten: 48 Doppelzentner Kartoffeln wurden aus dem ersten und zweiten Abschnitt gesammelt, und 60 Doppelzentner Kartoffeln wurden aus dem dritten Abschnitt gesammelt.

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