Wie zeichnet man ein Dreieck?

Die Konstruktion verschiedener Dreiecke ist ein obligatorischer Bestandteil des Geometriekurses der Schule. Für viele ist diese Aufgabe einschüchternd. Aber eigentlich ist alles ganz einfach. Der Rest des Artikels beschreibt, wie man beliebige Dreiecke mit Zirkel und Lineal zeichnet.

Dreiecke sind

• vielseitig;
• gleichschenklig;
• gleichseitig;
• rechteckig;
• stumpf;
• spitzwinklig;
• in einen Kreis eingeschrieben;
• um einen Kreis herum umschrieben.

Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem alle Seiten gleich sind. Von allen Arten von Dreiecken ist es am einfachsten, ein gleichseitiges zu zeichnen.

1. Zeichnen Sie mit einem Lineal eine der Seiten einer bestimmten Länge.
2. Messen Sie seine Länge mit einem Kompass.
3. Legen Sie die Spitze des Kompasses an ein Ende der Linie und zeichnen Sie einen Kreis.
4. Bewegen Sie die Spitze zum anderen Ende des Segments und zeichnen Sie einen Kreis.
5. Wir haben 2 Schnittpunkte der Kreise. Wenn wir einen von ihnen mit den Kanten des Segments verbinden, erhalten wir ein gleichseitiges Dreieck.

Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks

Diese Art von Dreiecken kann an der Basis und an den Seiten gebaut werden.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist eines, bei dem zwei Seiten gleich sind. Um ein gleichschenkliges Dreieck gemäß diesen Parametern zu zeichnen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Legen Sie mit einem Lineal ein Segment mit der gleichen Länge wie die Basis beiseite. Wir bezeichnen es mit den Buchstaben AC.
2. Mit einem Kompass messen wir die erforderliche Seitenlänge.
3. Wir zeichnen von Punkt A und dann von Punkt C Kreise, deren Radius gleich der Seitenlänge ist.
4. Wir erhalten zwei Schnittpunkte. Indem wir einen von ihnen mit den Punkten A und C verbinden, erhalten wir das notwendige Dreieck.

Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck. Wenn wir ein Bein und eine Hypotenuse haben, wird es nicht schwierig sein, ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen. Es kann entlang des Beins und der Hypotenuse gebaut werden.

Konstruktion eines stumpfwinkligen Dreiecks mit einem gegebenen Winkel und zwei benachbarten Seiten

Wenn einer der Winkel eines Dreiecks stumpf ist (größer als 90 Grad), wird er als stumpfer Winkel bezeichnet. Um ein stumpfes Dreieck gemäß den angegebenen Parametern zu zeichnen, müssen Sie Folgendes tun:

1. Legen Sie mit einem Lineal ein Segment beiseite, das so lang ist wie eine der Seiten des Dreiecks. Nennen wir es A und D.
2. Wenn in der Aufgabe bereits ein Winkel gezeichnet wurde und Sie denselben zeichnen müssen, legen Sie auf seinem Bild zwei Segmente beiseite, deren beide Enden am Scheitelpunkt des Winkels liegen und deren Länge den angegebenen Seiten entspricht . Verbinde die Punkte. Wir haben das benötigte Dreieck.
3. Um es auf Ihre Zeichnung zu übertragen, müssen Sie die Länge der dritten Seite messen.

Konstruktion eines spitzen Dreiecks

Ein spitzes Dreieck (alle Winkel kleiner als 90 Grad) ist nach dem gleichen Prinzip aufgebaut.

1. Zeichne zwei Kreise. Die Mitte von einer von ihnen liegt am Punkt D, und der Radius ist gleich der Länge der dritten Seite, während die Mitte der zweiten am Punkt A liegt und der Radius gleich der Länge der in der Aufgabe angegebenen Seite ist .
2. Verbinden Sie einen der Schnittpunkte des Kreises mit den Punkten A und D. Das gewünschte Dreieck wird gebaut.

eingeschriebenes Dreieck

Um ein Dreieck in einen Kreis zu zeichnen, müssen Sie sich an den Satz erinnern, der besagt, dass der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt:

Bei einem stumpfen Dreieck liegt der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises außerhalb des Dreiecks und bei einem rechtwinkligen Dreieck in der Mitte der Hypotenuse.

Zeichne ein umschriebenes Dreieck

Das umschriebene Dreieck ist ein Dreieck, in dessen Mitte ein Kreis gezeichnet wird, der alle seine Seiten berührt. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Um sie zu bauen, benötigen Sie:

Schon Vorschulkinder wissen, wie ein Dreieck aussieht. Aber mit dem, was sie sind, fangen die Jungs schon in der Schule an zu verstehen. Ein Typ ist ein stumpfes Dreieck. Um zu verstehen, was es ist, ist es am einfachsten, ein Bild mit seinem Bild zu sehen. Und theoretisch nennen sie das das "einfachste Polygon" mit drei Seiten und Eckpunkten, von denen einer es ist

Konzepte verstehen

In der Geometrie gibt es solche Arten von Figuren mit drei Seiten: spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Außerdem sind die Eigenschaften dieser einfachsten Polygone für alle gleich. Für alle aufgeführten Arten wird also eine solche Ungleichheit beobachtet. Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten ist notwendigerweise größer als die Länge der dritten Seite.

Aber um sicherzugehen, dass es sich um eine vollständige Figur handelt und nicht um eine Menge einzelner Eckpunkte, muss überprüft werden, ob die Hauptbedingung erfüllt ist: Die Summe der Winkel eines stumpfen Dreiecks beträgt 180 °. Dasselbe gilt für andere Arten von Figuren mit drei Seiten. Richtig, in einem stumpfen Dreieck wird einer der Winkel sogar größer als 90° sein, und die verbleibenden zwei werden notwendigerweise spitz sein. In diesem Fall ist es der größte Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt. Dies sind zwar bei weitem nicht alle Eigenschaften eines stumpfen Dreiecks. Aber selbst wenn Schüler nur diese Merkmale kennen, können sie viele Probleme in der Geometrie lösen.

Für jedes Polygon mit drei Eckpunkten gilt auch, dass wir durch Fortsetzen einer der Seiten einen Winkel erhalten, dessen Größe gleich der Summe zweier nicht benachbarter innerer Eckpunkte ist. Der Umfang eines stumpfen Dreiecks wird auf die gleiche Weise wie bei anderen Formen berechnet. Sie ist gleich der Summe der Längen aller ihrer Seiten. Um die Mathematiker zu bestimmen, wurden verschiedene Formeln hergeleitet, je nachdem, welche Daten ursprünglich vorlagen.

Korrekter Stil

Eine der wichtigsten Voraussetzungen für das Lösen von Problemen in der Geometrie ist die richtige Zeichnung. Mathematiklehrer sagen oft, dass es nicht nur hilft, zu visualisieren, was gegeben und was von Ihnen verlangt wird, sondern auch der richtigen Antwort 80 % näher kommt. Deshalb ist es wichtig zu wissen, wie man ein stumpfes Dreieck konstruiert. Wenn Sie nur eine hypothetische Figur möchten, können Sie ein beliebiges Polygon mit drei Seiten zeichnen, sodass einer der Winkel größer als 90 Grad ist.

Wenn bestimmte Werte der Seitenlängen oder Winkelgrade angegeben sind, muss ein stumpfwinkliges Dreieck entsprechend gezeichnet werden. Gleichzeitig muss versucht werden, die Winkel so genau wie möglich darzustellen, sie mit Hilfe eines Winkelmessers zu berechnen und die Seiten proportional zu den gegebenen Bedingungen in der Aufgabe anzuzeigen.

Hauptlinien

Für Schulkinder reicht es oft nicht aus, nur zu wissen, wie bestimmte Figuren aussehen sollen. Sie können sich nicht auf Informationen darüber beschränken, welches Dreieck stumpf und welches rechtwinklig ist. Der Studiengang Mathematik sieht vor, dass ihre Kenntnisse über die Hauptmerkmale der Figuren vollständiger werden sollen.

Daher sollte jeder Schüler die Definition der Winkelhalbierenden, der Mittellinie, der senkrechten Winkelhalbierenden und der Höhe verstehen. Außerdem muss er ihre grundlegenden Eigenschaften kennen.

Die Winkelhalbierenden teilen also den Winkel in zwei Hälften und die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

Der Median teilt jedes Dreieck in zwei gleiche Flächen. An der Stelle, an der sie sich kreuzen, ist jede von ihnen in 2 Segmente im Verhältnis 2: 1 geteilt, von der Spitze aus gesehen, von der sie ausgegangen sind. In diesem Fall wird der größte Median immer zu seiner kleinsten Seite gezogen.

Nicht weniger Aufmerksamkeit wird der Höhe geschenkt. Diese steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite der Ecke. Die Höhe eines stumpfen Dreiecks hat seine eigenen Eigenschaften. Wenn es von einem scharfen Scheitelpunkt gezogen wird, fällt es nicht auf die Seite dieses einfachsten Polygons, sondern auf seine Verlängerung.

Die Mittelsenkrechte ist das Liniensegment, das aus der Mitte der Fläche des Dreiecks herauskommt. Gleichzeitig befindet es sich im rechten Winkel dazu.

Arbeiten mit Kreisen

Zu Beginn des Studiums der Geometrie reicht es aus, wenn Kinder verstehen, wie man ein stumpfwinkliges Dreieck zeichnet, es von anderen Typen unterscheidet und sich an seine grundlegenden Eigenschaften erinnert. Aber für Gymnasiasten reicht dieses Wissen nicht aus. Beispielsweise gibt es bei der Prüfung oft Fragen zu umschriebenen und einbeschriebenen Kreisen. Der erste von ihnen berührt alle drei Eckpunkte des Dreiecks, und der zweite hat einen gemeinsamen Punkt mit allen Seiten.

Das Konstruieren eines einbeschriebenen oder umschriebenen stumpfwinkligen Dreiecks ist schon viel schwieriger, denn dazu müssen Sie zuerst herausfinden, wo der Mittelpunkt des Kreises und sein Radius liegen sollen. Übrigens wird in diesem Fall nicht nur ein Bleistift mit Lineal, sondern auch ein Kompass zu einem notwendigen Werkzeug.

Die gleichen Schwierigkeiten ergeben sich beim Konstruieren von einbeschriebenen Polygonen mit drei Seiten. Mathematiker haben verschiedene Formeln entwickelt, mit denen Sie ihren Standort möglichst genau bestimmen können.

Eingeschriebene Dreiecke

Wenn der Kreis, wie bereits erwähnt, durch alle drei Eckpunkte verläuft, wird dies als umschriebener Kreis bezeichnet. Seine Haupteigenschaft ist, dass es das einzige ist. Um herauszufinden, wie sich der umschriebene Kreis eines stumpfen Dreiecks befinden sollte, muss daran erinnert werden, dass sein Mittelpunkt am Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten liegt, die zu den Seiten der Figur verlaufen. Wenn in einem spitzwinkligen Polygon mit drei Eckpunkten dieser Punkt darin liegt, dann in einem stumpfwinkligen - außerhalb davon.

Wenn man zum Beispiel weiß, dass eine der Seiten eines stumpfen Dreiecks gleich seinem Radius ist, kann man den Winkel finden, der der bekannten Fläche gegenüberliegt. Sein Sinus ist gleich dem Ergebnis der Division der Länge der bekannten Seite durch 2R (wobei R der Radius des Kreises ist). Das heißt, die Sünde des Winkels ist gleich ½. Der Winkel beträgt also 150 o.

Wenn Sie den Radius des umschriebenen Kreises eines stumpfwinkligen Dreiecks finden müssen, benötigen Sie Informationen über die Länge seiner Seiten (c, v, b) und seine Fläche S. Schließlich wird der Radius wie folgt berechnet : (c x v x b): 4 x S. Übrigens spielt es keine Rolle, welche Art von Figur Sie haben: ein vielseitiges stumpfes Dreieck, gleichschenklig, rechts oder spitz. Dank der obigen Formel können Sie in jeder Situation die Fläche eines bestimmten Polygons mit drei Seiten ermitteln.

Umschriebene Dreiecke

Es ist auch durchaus üblich, mit eingeschriebenen Kreisen zu arbeiten. Nach einer der Formeln entspricht der Radius einer solchen Figur, multipliziert mit der Hälfte des Umfangs, der Fläche des Dreiecks. Richtig, um es herauszufinden, müssen Sie die Seiten eines stumpfen Dreiecks kennen. Um die Hälfte des Umfangs zu bestimmen, müssen ihre Längen addiert und durch 2 geteilt werden.

Um zu verstehen, wo der Mittelpunkt eines in ein stumpfes Dreieck eingeschriebenen Kreises sein sollte, müssen drei Winkelhalbierende gezeichnet werden. Dies sind die Linien, die die Ecken halbieren. An ihrem Schnittpunkt befindet sich der Mittelpunkt des Kreises. In diesem Fall wird es von jeder Seite gleich weit entfernt sein.

Der Radius eines solchen in ein stumpfes Dreieck eingeschriebenen Kreises ist gleich dem Quotienten (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Außerdem ist p der halbe Umfang des Dreiecks, c, v, b sind seine Seiten.