Unter der großen Anzahl stereometrischer Aufgaben in Geometrielehrbüchern, in verschiedenen Aufgabensammlungen, Schulungshandbüchern für Universitäten sind Aufgaben zum Ermitteln des Abstands zwischen schiefen Linien äußerst selten. Vielleicht liegt dies sowohl an der Enge ihrer praktischen Anwendung (relativ zum Schullehrplan, im Gegensatz zu den "gewinnenden" Aufgaben zur Berechnung von Flächen und Volumen) als auch an der Komplexität dieses Themas.

Die Praxis der Durchführung des Einheitlichen Staatsexamens zeigt, dass viele Studierende Aufgaben in Geometrie, die in der Prüfungsarbeit enthalten sind, gar nicht erst angehen. Um die erfolgreiche Bewältigung geometrischer Aufgaben mit erhöhter Komplexität sicherzustellen, ist es notwendig, die Flexibilität des Denkens zu entwickeln, die vorgeschlagene Konfiguration zu analysieren und Teile darin zu isolieren, deren Berücksichtigung es Ihnen ermöglicht, einen Lösungsweg zu finden das Problem.

Der Schulkurs beinhaltet das Studium von vier Möglichkeiten zur Lösung von Problemen zum Finden des Abstands zwischen sich schneidenden Linien. Die Wahl der Methode richtet sich zum einen nach den Eigenschaften einer bestimmten Aufgabenstellung, den sich daraus ergebenden Wahlmöglichkeiten und zum anderen nach den Fähigkeiten und Eigenschaften des „räumlichen Denkens“ eines bestimmten Schülers. Mit jeder dieser Methoden können Sie den wichtigsten Teil des Problems lösen - die Konstruktion eines Segments senkrecht zu beiden Schnittlinien (für den rechnerischen Teil der Probleme ist keine Aufteilung in Methoden erforderlich).

Die wichtigsten Methoden zur Lösung von Problemen beim Ermitteln des Abstands zwischen schrägen Linien

Ermitteln der Länge der gemeinsamen Senkrechten zweier sich schneidender Geraden, d.h. ein Segment mit Enden auf diesen Linien und senkrecht zu jeder dieser Linien.

Ermitteln des Abstands von einer der sich schneidenden Linien zu einer parallel dazu verlaufenden Ebene, die durch die andere Linie verläuft.

Ermitteln des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen, die durch gegebene Schräglinien verlaufen.

Ermitteln des Abstands von einem Punkt, der die Projektion einer der schiefen Linien auf eine Ebene senkrecht dazu (der sogenannte "Bildschirm") zur Projektion einer anderen Linie auf dieselbe Ebene ist.

Wir werden alle vier Methoden anhand der folgenden einfachsten demonstrieren Aufgabe: "In einem Würfel mit Kante a Finden Sie den Abstand zwischen einer beliebigen Kante und der Diagonalen einer Fläche, die sie nicht schneidet." Antwort: .

Bild 1

h skr steht senkrecht auf der die Diagonale enthaltenden Ebene der Seitenfläche d und steht senkrecht zum Rand, also h scr und ist der Abstand zwischen den Kanten a und diagonal d.

Figur 2

Die Ebene A ist parallel zur Kante und geht durch die gegebene Diagonale, also die gegebene h scr ist nicht nur der Abstand vom Rand zur Ebene A, sondern auch der Abstand vom Rand zur gegebenen Diagonalen.

Figur 3

Die Ebenen A und B sind parallel und verlaufen durch zwei gegebene Schräglinien, sodass der Abstand zwischen diesen Ebenen gleich dem Abstand zwischen den beiden Schräglinien ist.

Figur 4

Ebene A steht senkrecht auf der Kante des Würfels. Projiziert auf die Diagonale A d Diese Diagonale dreht sich zu einer der Seiten der Basis des Würfels. Dies h scr ist der Abstand zwischen der Linie, die die Kante enthält, und der Projektion der Diagonalen auf die Ebene C, und daher zwischen der Linie, die die Kante enthält, und der Diagonale.

Lassen Sie uns näher auf die Anwendung jeder Methode für Polyeder eingehen, die in der Schule gelernt wurden.

Die Anwendung der ersten Methode ist ziemlich begrenzt: Sie wird nur bei einigen Problemen gut verwendet, da es ziemlich schwierig ist, die genaue Position bei den einfachsten Problemen und die ungefähre Position der gemeinsamen Senkrechten zweier sich schneidender Linien bei komplexen zu bestimmen und zu rechtfertigen Probleme. Darüber hinaus kann man bei der Ermittlung der Länge dieser Senkrechten bei komplexen Problemen auf unüberwindbare Schwierigkeiten stoßen.

Problem 1. In einem rechteckigen Parallelepiped mit Abmessungen a, b, h Finden Sie den Abstand zwischen der Seitenkante und der Diagonale der Basis, die sie nicht schneidet.

Abbildung 5

Lassen Sie AHBD. Da A 1 A senkrecht zur Ebene ABCD steht, ist A 1 A AH.

AH ist senkrecht zu beiden der beiden sich schneidenden Linien, daher ist AH? der Abstand zwischen den Linien A 1 A und BD. In einem rechtwinkligen Dreieck ABD finden wir, wenn wir die Längen der Beine AB und AD kennen, die Höhe AH, indem wir die Formeln zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks verwenden. Antworten:

Aufgabe 2. In einer regelmäßigen 4-seitigen Pyramide mit einer Seitenkante L und Basisseite a Finden Sie den Abstand zwischen dem Apothem und der Seite der Basis, die die Seitenfläche schneidet, die dieses Apothem enthält.

Abbildung 6

SHCD als Apothem, ADCD als ABCD ist ein Quadrat. Daher ist DH der Abstand zwischen den Linien SH und AD. DH ist gleich der halben Seite von CD. Antworten:

Die Verwendung dieser Methode ist auch dadurch eingeschränkt, dass Sie, wenn Sie schnell eine Ebene bauen (oder eine fertige Ebene finden können), die durch eine der sich schneidenden Linien und parallel zu einer anderen Linie verläuft, eine Senkrechte von einem beliebigen Punkt der zweiten Linie aus erstellen können Linie zu dieser Ebene (innerhalb des Polyeders) verursacht Schwierigkeiten. Bei einfachen Aufgaben, bei denen die Konstruktion (oder das Finden) der angegebenen Senkrechten keine Schwierigkeiten bereitet, ist diese Methode jedoch die schnellste und einfachste und daher zugänglich.

Aufgabe 2. Die Lösung des oben bereits angedeuteten Problems auf diese Weise bereitet keine besonderen Schwierigkeiten.

Abbildung 7

Ebene EFM ist parallel zur Linie AD, da AD ​​|| EF. Die Linie MF liegt in dieser Ebene, daher ist der Abstand zwischen der Linie AD und der Ebene EFM gleich dem Abstand zwischen der Linie AD und der Linie MF. Lass uns einen OHAD machen. OHEF, OHMO, daher OH(EFM), daher ist OH der Abstand zwischen der Linie AD und der Ebene EFM und daher der Abstand zwischen der Linie AD und der Linie MF. Finden von OH aus dem Dreieck AOD.

Aufgabe 3. In einem rechteckigen Parallelepiped mit Abmessungen ein, b und h Finden Sie den Abstand zwischen der Seitenkante und der Diagonale des Parallelepipeds, die sich nicht damit schneidet.

Abbildung 8

Die Linie AA 1 ist parallel zur Ebene BB 1 D 1 D, B 1 D gehört zu dieser Ebene, daher ist der Abstand von AA 1 zur Ebene BB 1 D 1 D gleich dem Abstand zwischen den Linien AA 1 und B 1 D. Zeichne AHBD . Auch AH B 1 B, also AH(BB 1 D 1 D), also AHB 1 D, d. h. AH ist die gewünschte Entfernung. Finden Sie AH aus dem rechtwinkligen Dreieck ABD.

Antworten:

Aufgabe 4. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma A:F 1 mit Höhe h und Basisseite a Abstand zwischen Linien finden:

Abbildung 9 Abbildung 10

a) AA 1 und ED 1.

Betrachten Sie die Ebene E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , also

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Auch A 1 E 1 AA 1 . Daher ist A 1 E 1 der Abstand von der Linie AA 1 zu der Ebene E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1). Daher ist AE 1 der Abstand von der Geraden AA 1 zur Geraden ED 1. Wir finden A 1 E 1 aus dem Dreieck F 1 A 1 E 1 unter Verwendung des Kosinussatzes. Antworten:

b) AF und Diagonale BE 1.

Ziehen wir vom Punkt F aus eine Linie FH senkrecht zu BE. EE 1 FH, FHBE, daher FH(BEE 1 B 1), daher ist FH der Abstand zwischen Linie AF und (BEE 1 B 1), und daher der Abstand zwischen Linie AF und Diagonale BE 1 . Antworten:

METHODE III

Die Anwendung dieser Methode ist äußerst begrenzt, da es einfacher ist, eine Ebene parallel zu einer der Linien (Methode II) zu bauen als zwei parallele Ebenen, jedoch kann Methode III in Prismen verwendet werden, wenn die sich schneidenden Linien zu parallelen Flächen gehören, und auch in Fällen, in denen es in einem Polyeder leicht ist, parallele Abschnitte zu konstruieren, die bestimmte Linien enthalten.

Aufgabe 4.

Abbildung 11

a) Die Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1 sind parallel, weil AB || ED und AA 1 || EE1. ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1), daher ist der Abstand zwischen den geraden Linien AA 1 und ED 1 gleich dem Abstand zwischen den Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1 . A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , also A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Wir beweisen auf ähnliche Weise, dass A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Somit ist A 1 E 1 der Abstand zwischen den Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1 und somit zwischen den Linien AA 1 und ED 1 . Finde A 1 E 1 aus dem gleichschenkligen Dreieck A 1 F 1 E 1 , dessen Winkel A 1 F 1 E 1 gleich ist. Antworten:

Abbildung 12

b) Der Abstand zwischen AF und Diagonale BE 1 ist ähnlich.

Aufgabe 5. In einem Würfel mit einer Kante a Finden Sie den Abstand zwischen zwei sich nicht schneidenden Diagonalen zweier benachbarter Flächen.

Dieses Problem wird in einigen Handbüchern als klassisch betrachtet, aber in der Regel wird seine Lösung durch Methode IV gegeben, es ist jedoch für eine Lösung mit Methode III gut zugänglich.

Abbildung 13

Eine Schwierigkeit bei diesem Problem ist der Beweis, dass die Diagonale A 1 C senkrecht zu beiden parallelen Ebenen steht (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 und BC 1 A 1 B 1 , daher ist die Linie BC 1 senkrecht zur Ebene A 1 B 1 C und daher BC 1 A 1 C. Auch A 1 CBD. Daher ist die Linie A 1 C senkrecht zur Ebene BC 1 D. Der rechnerische Teil des Problems verursacht keine besonderen Schwierigkeiten, da h scr= EF ergibt sich als Differenz zwischen der Würfeldiagonale und den Höhen zweier identischer regulärer Pyramiden A 1 AB 1 D 1 und CC 1 BD.

METHODE IV.

Diese Methode hat eine ziemlich breite Anwendung. Für Aufgaben mit mittlerem und erhöhtem Schwierigkeitsgrad kann es als das Hauptproblem angesehen werden. Es ist nicht notwendig, es nur anzuwenden, wenn eine der drei vorherigen Methoden einfacher und schneller funktioniert, da in solchen Fällen Methode IV die Lösung des Problems nur erschweren oder den Zugang erschweren kann. Diese Methode ist sehr vorteilhaft bei der Rechtwinkligkeit sich schneidender Linien, da keine Projektion einer der Linien auf dem "Bildschirm" erstellt werden muss.

L und Bodenseite a.

Abbildung 16

Bei diesem und ähnlichen Problemen führt Methode IV schneller zu einer Lösung als andere Methoden, da durch die Konstruktion eines Abschnitts, der die Rolle eines "Bildschirms" senkrecht zu AC (Dreieck BDM) spielt, klar ist, dass kein weiterer Aufbau erforderlich ist eine Projektion einer anderen Linie (BM) auf diesen Schirm. DH - gewünschte Entfernung. DH wird aus dem Dreieck MDB unter Verwendung von Flächenformeln ermittelt. Antworten: .

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In diesem Artikel wird am Beispiel der Lösung der Aufgabe C2 aus der Einheitlichen Staatsprüfung die Methode der Koordinatenfindung mit der Methode analysiert. Denken Sie daran, dass Linien schief sind, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen. Insbesondere wenn eine Gerade in einer Ebene liegt und die zweite Gerade diese Ebene an einem Punkt schneidet, der nicht auf der ersten Geraden liegt, dann sind solche Geraden schief (siehe Abbildung).

Zur Findung Abstände zwischen sich schneidenden Linien notwendig:

1. Zeichnen Sie eine Ebene durch eine der schrägen Linien, die parallel zur anderen schrägen Linie ist.
2. Lassen Sie eine Senkrechte von einem beliebigen Punkt der zweiten Geraden auf die resultierende Ebene fallen. Die Länge dieser Senkrechten ist der gewünschte Abstand zwischen den Linien.

Analysieren wir diesen Algorithmus am Beispiel der Lösung der Aufgabe C2 aus der Einheitlichen Staatsprüfung Mathematik näher.

Abstand zwischen Linien im Raum

Eine Aufgabe. in einem einzigen Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Finden Sie den Abstand zwischen den Linien BA 1 und DB 1 .

Reis. 1. Zeichnen für die Aufgabe

Lösung. Durch den Mittelpunkt der Diagonalen des Würfels DB 1 (Punkt Ö) Zeichnen Sie eine Linie parallel zur Linie EIN 1 B. Schnittpunkte einer gegebenen Geraden mit Kanten BC und EIN 1 D 1 bezeichnen jeweils N und M. Gerade MN liegt im Flugzeug MNB 1 und parallel zur Linie EIN 1 B, die nicht in dieser Ebene liegt. Das bedeutet, dass die direkte EIN 1 B parallel zur Ebene MNB 1 auf der Grundlage der Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene (Fig. 2).

Reis. 2. Der gewünschte Abstand zwischen den sich kreuzenden Linien ist gleich dem Abstand von jedem Punkt der ausgewählten Linie zur abgebildeten Ebene

Wir suchen nun die Entfernung von einem Punkt auf der Geraden EIN 1 B bis zum Flugzeug MNB eines . Dieser Abstand ist definitionsgemäß der gewünschte Abstand zwischen den Schräglinien.

Um diesen Abstand zu finden, verwenden wir die Koordinatenmethode. Wir führen ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem ein, so dass sein Ursprung mit dem Punkt B, der Achse, zusammenfällt X wurde entlang der Kante geführt BA, Achse Y- entlang der Rippe BC, Achse Z- entlang der Rippe BB 1 (Abb. 3).

Reis. 3. Wir wählen ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem wie in der Abbildung gezeigt

Wir finden die Gleichung der Ebene MNB 1 in diesem Koordinatensystem. Dazu bestimmen wir zunächst die Koordinaten der Punkte M, N und B 1: Wir setzen die erhaltenen Koordinaten in die allgemeine Geradengleichung ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:

Aus der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir aus der dritten und dann aus der ersten. Wir setzen die erhaltenen Werte in die allgemeine Gleichung der Geraden ein:

Beachten Sie, dass sonst das Flugzeug MNB 1 würde durch den Ursprung gehen. Wir dividieren beide Seiten dieser Gleichung durch und erhalten:

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird durch die Formel bestimmt.

ABSTAND ZWISCHEN RECHTEN IM RAUM Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden im Raum ist die Länge der gemeinsamen Senkrechten zu diesen Geraden. Wenn eine der beiden sich schneidenden Geraden in einer Ebene liegt und die andere parallel zu dieser Ebene, dann ist der Abstand zwischen diesen Geraden gleich dem Abstand zwischen der Geraden und der Ebene. Liegen zwei sich schneidende Geraden in parallelen Ebenen, so ist der Abstand zwischen diesen Geraden gleich dem Abstand zwischen den parallelen Ebenen.

Würfel 1 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und BC. Antwort 1.

Würfel 2 In dem Einheitswürfel A…D 1 finden Sie den Abstand zwischen den Linien AA 1 und CD. Antwort 1.

Würfel 3 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und B 1 C 1. Antwort: 1.

Würfel 4 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und C 1 D 1. Antwort: 1.

Würfel 5 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und BC 1. Antwort: 1.

Würfel 6 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und B 1 C. Antwort: 1.

Würfel 7 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und CD 1. Antwort: 1.

Würfel 8 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und DC 1. Antwort: 1.

Würfel 9 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und CC 1. Antwort:

Würfel 10 In dem Einheitswürfel A…D 1 finden Sie den Abstand zwischen den Linien AA 1 und BD. Lösung. Sei O der Mittelpunkt von BD. Der gewünschte Abstand ist die Länge des Segments AO. Es ist gleich Antwort:

Würfel 11 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und B 1 D 1. Antwort:

Würfel 12 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und BD 1. Lösung. Seien P, Q die Mittelpunkte von AA 1, BD 1. Der gewünschte Abstand ist die Länge des Segments PQ. Es ist gleich Antwort:

Würfel 13 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AA 1 und BD 1. Antwort:

Würfel 14 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand durch die Linien AB 1 und CD 1. Antwort: 1.

Würfel 15 Finde im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AB 1 und BC 1. Lösung. Der gewünschte Abstand ist gleich dem Abstand zwischen den parallelen Ebenen AB 1 D 1 und BDC 1. Die Diagonale A 1 C steht senkrecht auf diesen Ebenen und wird an den Schnittpunkten in drei gleiche Teile geteilt. Daher ist der gewünschte Abstand gleich der Länge des Segments EF und gleich Antwort:

Würfel 16 Finden Sie im Einheitswürfel A…D 1 den Abstand zwischen den Linien AB 1 und A 1 C 1. Die Lösung ist ähnlich wie die vorherige. Antworten:

Würfel 17 In dem Einheitswürfel A…D 1 finden Sie den Abstand zwischen den Linien AB 1 und BD. Die Lösung ist ähnlich wie die vorherige. Antworten:

Würfel 18 Finde im Einheitswürfel A…D 1 die Entfernung durch die Linien AB 1 und BD 1. Lösung. Die Diagonale BD 1 steht senkrecht auf der Ebene des gleichseitigen Dreiecks ACB 1 und schneidet es im Mittelpunkt P seines einbeschriebenen Kreises. Der gewünschte Abstand ist gleich dem Radius OP dieses Kreises. OP = Antwort:

Pyramide 1 Finden Sie im Einheitstetraeder ABCD den Abstand zwischen den Linien AD und BC. Lösung. Der gewünschte Abstand ist gleich der Länge des Segments EF, wobei E, F die Mittelpunkte der Kanten AD, GF sind. Im Dreieck DAG DA = 1, AG = DG = Antwort: Also EF =

Pyramide 2 In einer regulären Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien AB und CD. Antwort 1.

Pyramide 3 Finden Sie in einer regulären Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien SA und BD. Lösung. Der gewünschte Abstand ist gleich der Höhe OH des Dreiecks SAO, wobei O der Mittelpunkt von BD ist. In einem rechtwinkligen Dreieck SAO haben wir: SA = 1, AO = SO = Antwort: Also OH =

Pyramide 4 In einer regulären Pyramide SABCD, deren Kanten alle gleich 1 sind, finde den Abstand zwischen den Linien SA und BC. Lösung. Ebene SAD ist parallel zur Linie BC. Daher ist der gewünschte Abstand gleich dem Abstand zwischen der Linie BC und der Ebene SAD. Sie ist gleich der Höhe EH des Dreiecks SEF, wobei E, F die Mittelpunkte der Kanten BC, AD sind. Im Dreieck SEF haben wir: EF = 1, SE = SF = Höhe SO ist also EH = Antwort:

Pyramide 5 Ermitteln Sie in einer regulären 6. Pyramide SABCDEF mit Basiskanten gleich 1 den Abstand zwischen den Linien AB und DE. Antworten:

Pyramide 6 In der regulären 6. Pyramide SABCDEF, deren Seitenkanten 2 und die Basiskanten 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien SA und BC. Lösung: Verlängere die Kanten BC und AF, bis sie sich im Punkt G schneiden. Die gemeinsame Senkrechte zu SA und BC ist die Höhe AH des Dreiecks ABG. Es ist gleich Antwort:

Pyramide 7 In der regulären 6. Pyramide SABCDEF, deren Seitenkanten 2 und die Basiskanten 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien SA und BF. Lösung: Der gesuchte Abstand ist die Höhe GH des Dreiecks SAG, wobei G der Schnittpunkt von BF und AD ist. Im Dreieck SAG haben wir: SA = 2, AG = 0,5, Höhe SO ist gleich Ab hier finden wir GH = Antwort:

Pyramide 8 In der regulären 6. Pyramide SABCDEF, deren Seitenkanten 2 und die Basiskanten 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien SA und CE. Lösung: Der gesuchte Abstand ist die Höhe GH des Dreiecks SAG, wobei G der Schnittpunkt von CE und AD ist. Im Dreieck SAG haben wir: SA = 2, AG = , die Höhe SO ist gleich Ab hier finden wir GH = Antwort:

Pyramide 9 In der regulären 6. Pyramide SABCDEF, deren Seitenkanten 2 und die Basiskanten 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien SA und BD. Lösung: Linie BD ist parallel zur Ebene SAE. Der gewünschte Abstand ist gleich dem Abstand zwischen der Linie BD und dieser Ebene und ist gleich der Höhe PH des Dreiecks SPQ. In diesem Dreieck ist die Höhe SO, PQ = 1, SP = SQ = Ab hier finden wir PH = Antwort:

Pyramide 10 In der regulären 6. Pyramide SABCDEF, deren Seitenkanten 2 und die Basiskanten 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien SA und BG, wobei G der Mittelpunkt der Kante SC ist. Lösung: Ziehe eine Linie durch den Punkt G parallel zu SA. Q bezeichne den Schnittpunkt mit der Linie AC. Der gesuchte Abstand ist gleich der Höhe QH des rechtwinkligen Dreiecks ASQ, in dem AS = 2, AQ = , SQ = Daraus ergibt sich QH = Antwort: .

Prisma 1 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: BC und B 1 C 1. Antwort: 1.

Prisma 2 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und BC. Antworten:

Prisma 3 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und BC 1. Antwort:

Prisma 4 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AB und A 1 C 1. Antwort: 1.

Prisma 5 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finde den Abstand zwischen den Linien: AB und A 1 C. Lösung: Der benötigte Abstand ist gleich dem Abstand zwischen der Linie AB und die Ebene A 1 B 1 C. Lassen Sie uns D und D 1 die Mittelpunkte der Kanten AB und A 1 B 1 bezeichnen. Zeichnen Sie in einem rechtwinkligen Dreieck CDD 1 eine Höhe DE von der Ecke D. Es wird die gewünschte Entfernung sein. Wir haben, DD 1 = 1, CD = Antwort: Also DE = , CD 1 = .

Prisma 6 In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AB 1 und BC 1. Lösung: Bauen wir das Prisma zu einem 4-Winkel-Prisma. Der gewünschte Abstand ist gleich dem Abstand zwischen den parallelen Ebenen AB 1 D 1 und BDC 1. Er ist gleich der Höhe OH des rechtwinkligen Dreiecks AOO 1, in dem die Antwort. Diese Höhe ist

Prisma 7 Finden Sie im richtigen 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB und A 1 B 1. Antwort: 1.

Prisma 8 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB und B 1 C 1. Antwort: 1.

Prisma 9 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB und C 1 D 1. Antwort: 1.

Prisma 10 Finden Sie im richtigen 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB und DE. Antworten: .

Prisma 11 Finden Sie im richtigen 6. Prisma A ... F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB und D 1 E 1. Antwort: 2.

Prisma 12 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und CC 1. Antwort: .

Prisma 13 Finden Sie im richtigen 6. Prisma A ... F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und DD 1. Antwort: 2.

Prisma 14 Im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und B 1 C 1. Lösung: Setzen wir die Seiten B 1 C 1 und A 1 F 1 fort bis sie schneiden sich im Punkt G. Das Dreieck A 1 B 1 G ist gleichseitig. Seine Höhe A 1 H ist die gewünschte gemeinsame Senkrechte. Seine Länge ist gleich. Antworten: .

Prisma 15 Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Geraden: AA 1 und C 1 D 1. Lösung: Die gesuchte gemeinsame Senkrechte ist die Strecke A 1 C 1. Ihre Länge ist gleich. Antworten: .

Prisma 16 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und BC 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen den parallelen Ebenen ADD 1 und BCC 1. Es ist gleich. Antworten: .

Prisma 17 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und CD 1. Lösung: Die gesuchte gemeinsame Senkrechte ist die Strecke AC. Seine Länge ist gleich. Antworten: .

Prisma 18 Im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, bestimme den Abstand zwischen den Geraden: AA 1 und DE 1. Lösung: Die gesuchte gemeinsame Senkrechte ist die Strecke A 1 E 1. Ihre Länge ist gleich . Antworten: .

Prisma 19 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Geraden: AA 1 und BD 1. Lösung: Die gesuchte gemeinsame Senkrechte ist die Strecke AB. Seine Länge ist 1. Antwort: 1.

Prisma 20 In einem regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, finde den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und CE 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen der Linie AA 1 und der Ebene CEE 1 Es ist gleich. Antworten: .

Prisma 21 Finde im richtigen 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und BE 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen der Linie AA 1 und der Ebene BEE 1 Es ist gleich. Antworten: .

Prisma 22 In einem regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, finde den Abstand zwischen den Linien: AA 1 und CF 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen der Linie AA 1 und der Ebene CFF 1 Es ist gleich. Antworten: .

Prisma 23 Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen den Linien: AB 1 und DE 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen den parallelen Ebenen ABB 1 und DEE 1. Der Abstand zwischen ihnen ist gleich. Antworten: .

Prisma 24 Bestimmen Sie in einem regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen den Linien: AB 1 und CF 1. Lösung: Der gesuchte Abstand ist der Abstand zwischen der Linie AB 1 und der Ebene CFF 1 Es ist gleich. Antworten:

Prisma 25 Im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, finden Sie den Abstand zwischen den Linien: AB 1 und BC 1. Lösung: Seien O, O 1 die Mittelpunkte der Prismenflächen. Die Ebenen AB 1 O 1 und BC 1 O sind parallel. Die Ebene ACC 1 A 1 steht senkrecht auf diesen Ebenen. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Abstand zwischen den Linien AG 1 und GC 1. Im Parallelogramm AGC 1 G 1 haben wir AG = Antwort: ; AG 1 = Die zur Seite AA 1 gezeichnete Höhe ist gleich 1. Daher ist d= . .

Prisma 26 Finden Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB 1 und BD 1. Lösung: Betrachten Sie die Ebene A 1 B 1 HG, senkrecht zu BD 1. Die Orthogonale Die Projektion auf diese Ebene verschiebt die Linie BD 1 zum Punkt H und die Linie AB 1 zur Linie GB 1. Daher ist der gewünschte Abstand d gleich dem Abstand vom Punkt H zur Linie GB 1. In einem rechtwinkligen Dreieck GHB 1 haben wir GH = 1; Antwort: B 1 H = . Daher ist d = .

Prisma 27 Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A…F 1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Abstand zwischen den Linien: AB 1 und BE 1. Lösung: Betrachten Sie die Ebene A 1 BDE 1 senkrecht zu AB 1. Die orthogonale Projektion auf diese Ebene verschiebt die Linie AB 1 zum Punkt G, und die Linie BE 1 bleibt an Ort und Stelle. Daher ist der gewünschte Abstand d gleich dem Abstand GH vom Punkt G zur Linie BE 1. In einem rechtwinkligen Dreieck A 1 BE 1 gilt A 1 B = ; EIN 1 E 1 =. Antwort: Daher ist d = .