Systeme linearer homogener Gleichungen

Formulierung des Problems. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems

Lösungsplan.

1. Notieren Sie die Systemmatrix:

und mit Hilfe elementarer Transformationen transformieren wir die Matrix in eine Dreiecksform, d.h. zu einer solchen Form, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind. Der Rang der Systemmatrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen, d. H. In unserem Fall der Anzahl der Zeilen, in denen Nicht-Null-Elemente verbleiben:

Die Dimension des Lösungsraums ist . Wenn , dann hat das homogene System eine eindeutige Nulllösung, wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen.

2. Wählen Sie Basis- und freie Variablen. Freie Variablen sind mit gekennzeichnet. Dann drücken wir die Basisvariablen durch die freien Variablen aus und erhalten so die allgemeine Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems.

3. Wir schreiben die Basis des Lösungsraums des Systems auf, indem wir nacheinander eine der freien Variablen gleich eins und den Rest gleich null setzen. Die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems ist gleich der Anzahl der Basisvektoren.

Notiz. Zu den elementaren Matrizentransformationen gehören:

1. Multiplikation (Division) einer Zeichenkette mit einem anderen Multiplikator als Null;

2. Addition zu einer beliebigen Zeile einer anderen Zeile, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;

3. Permutation von Linien an Orten;

4. Transformationen 1–3 für Spalten (bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen werden elementare Transformationen von Spalten nicht verwendet).

Aufgabe 3. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems.

Wir schreiben die Matrix des Systems auf und bringen sie durch elementare Transformationen auf eine Dreiecksform:

Wir vermuten dann

Als wir die Konzepte eines n-dimensionalen Vektors analysierten und Operationen auf Vektoren einführten, fanden wir heraus, dass die Menge aller n-dimensionalen Vektoren einen linearen Raum erzeugt. In diesem Artikel werden wir über die wichtigsten verwandten Konzepte sprechen - über die Dimension und die Basis eines Vektorraums. Wir betrachten auch den Satz über die Entwicklung eines beliebigen Vektors nach einer Basis und die Verbindung zwischen verschiedenen Basen eines n-dimensionalen Raums. Lassen Sie uns die Lösungen typischer Beispiele im Detail analysieren.

Seitennavigation.

Konzept der Dimension und Basis des Vektorraums.

Die Konzepte von Dimension und Basis eines Vektorraums stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems, daher empfehlen wir, falls erforderlich, auf den Artikel Lineare Abhängigkeit eines Vektorsystems, Eigenschaften der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit zu verweisen.

Definition.

Dimension des Vektorraums heißt die Zahl gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum.

Definition.

Vektorraumbasis ist eine geordnete Menge linear unabhängiger Vektoren dieses Raums, deren Anzahl gleich der Dimension des Raums ist.

Wir präsentieren einige Argumente auf der Grundlage dieser Definitionen.

Betrachten Sie den Raum von n-dimensionalen Vektoren.

Zeigen wir, dass die Dimension dieses Raums gleich n ist.

Nehmen wir ein System von n Einheitsvektoren der Form

Nehmen wir diese Vektoren als Zeilen der Matrix A. In diesem Fall ist die Matrix A eine n mal n Identitätsmatrix. Der Rang dieser Matrix ist n (ggf. siehe Artikel). Daher das System der Vektoren ist linear unabhängig, und diesem System kann kein Vektor hinzugefügt werden, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen. Da die Anzahl der Vektoren im System gleich n, dann die Dimension des Raums von n-dimensionalen Vektoren ist n, und die Einheitsvektoren sind die Basis dieses Raumes.

Aus der letzten Aussage und der Definition der Basis können wir das schließen Jedes System von n-dimensionalen Vektoren, dessen Anzahl von Vektoren kleiner als n ist, ist keine Basis.

Lassen Sie uns nun den ersten und den zweiten Vektor des Systems vertauschen . Es ist leicht zu zeigen, dass das resultierende System von Vektoren ist auch eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Lassen Sie uns eine Matrix erstellen, indem wir sie als Zeilenvektoren dieses Systems nehmen. Diese Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten und zweiten Zeile erhalten werden, daher ist ihr Rang n . Also ein System von n Vektoren ist linear unabhängig und ist eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Wenn wir andere Vektoren des Systems vertauschen , erhalten wir eine andere Basis.

Wenn wir ein linear unabhängiges System von Nichteinheitsvektoren nehmen, dann ist es auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Auf diese Weise, ein Vektorraum der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme von n n -dimensionalen Vektoren gibt.

Wenn wir von einem zweidimensionalen Vektorraum sprechen (d. h. von einer Ebene), dann sind seine Basis zwei beliebige nicht kollineare Vektoren. Die Basis eines dreidimensionalen Raums sind drei beliebige nicht koplanare Vektoren.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind Vektoren die Grundlage eines 3D-Vektorraums?

Lösung.

Untersuchen wir dieses System von Vektoren auf eine lineare Abhängigkeit. Dazu erstellen wir eine Matrix, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind, und finden ihren Rang:


Die Vektoren a , b und c sind also linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, also sind sie die Basis dieses Raums.

Antworten:

Ja, sie sind.

Beispiel.

Kann ein Vektorsystem die Basis eines Vektorraums sein?

Lösung.

Dieses Vektorsystem ist linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger dreidimensionaler Vektoren drei ist. Daher kann dieses Vektorsystem keine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sein (obwohl ein Teilsystem des ursprünglichen Vektorsystems eine Basis ist).

Antworten:

Nein, er kann nicht.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Vektoren

kann eine Basis eines vierdimensionalen Vektorraums sein.

Lösung.

Lassen Sie uns eine Matrix erstellen, indem wir sie als Zeilen der ursprünglichen Vektoren nehmen:

Lass uns finden:

Somit ist das System der Vektoren a, b, c, d linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind a, b, c, d seine Basis.

Antworten:

Die ursprünglichen Vektoren sind tatsächlich die Grundlage eines vierdimensionalen Raums.

Beispiel.

Bilden Vektoren die Grundlage eines 4-dimensionalen Vektorraums?

Lösung.

Selbst wenn das ursprüngliche Vektorsystem linear unabhängig ist, reicht die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren nicht aus, um die Basis eines vierdimensionalen Raums zu bilden (die Basis eines solchen Raums besteht aus 4 Vektoren).

Antworten:

Nein, tut es nicht.

Zerlegung eines Vektors in Bezug auf eine Vektorraumbasis.

Seien beliebige Vektoren sind die Basis eines n -dimensionalen Vektorraums. Wenn wir ihnen einen n-dimensionalen Vektor x hinzufügen, ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig. Aus den Eigenschaften der linearen Abhängigkeit wissen wir, dass mindestens ein Vektor eines linear abhängigen Systems durch die anderen linear ausgedrückt wird. Mit anderen Worten wird mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems bezüglich der restlichen Vektoren entwickelt.

Damit kommen wir zu einem sehr wichtigen Satz.

Satz.

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums ist hinsichtlich einer Basis eindeutig zerlegt.

Nachweisen.

Lassen - Basis des n -dimensionalen Vektorraums. Fügen wir diesen Vektoren einen n-dimensionalen Vektor x hinzu. Dann ist das resultierende System von Vektoren linear abhängig und der Vektor x kann durch die Vektoren linear ausgedrückt werden : , wo sind einige Zahlen. Wir haben also die Entwicklung des Vektors x in Bezug auf die Basis erhalten. Es bleibt zu beweisen, dass diese Zerlegung eindeutig ist.

Nehmen Sie an, dass es eine andere Zerlegung gibt, wo - einige Zahlen. Subtrahieren Sie vom linken und rechten Teil der letzten Gleichheit jeweils den linken und rechten Teil der Gleichheit:

Da das System der Basisvektoren linear unabhängig ist, dann ist nach der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems die resultierende Gleichheit nur möglich, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher , was die Eindeutigkeit der Entwicklung des Vektors in Bezug auf die Basis beweist.

Definition.

Die Koeffizienten werden aufgerufen Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Nachdem wir uns mit dem Satz über die Entwicklung eines Vektors in Bezug auf eine Basis vertraut gemacht haben, beginnen wir, die Essenz des Ausdrucks „Uns ist ein n-dimensionaler Vektor gegeben ". Dieser Ausdruck bedeutet, dass wir einen Vektor x eines n-dimensionalen Vektorraums betrachten, dessen Koordinaten in irgendeiner Basis gegeben sind. Gleichzeitig verstehen wir, dass derselbe Vektor x in einer anderen Basis des n-dimensionalen Vektorraums andere Koordinaten als hat.

Betrachten Sie das folgende Problem.

Nehmen wir an, in einer gewissen Basis eines n-dimensionalen Vektorraums sei uns ein System von n linear unabhängigen Vektoren gegeben

und Vektor . Dann die Vektoren sind ebenfalls eine Basis dieses Vektorraums.

Lassen Sie uns die Koordinaten des Vektors x in der Basis finden . Lassen Sie uns diese Koordinaten als bezeichnen .

Vektor x in Basis hat eine Idee. Wir schreiben diese Gleichheit in Koordinatenform:

Diese Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen :

Die Hauptmatrix dieses Systems hat die Form

Nennen wir es als A. Die Spalten der Matrix A sind Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems , also ist der Rang dieser Matrix n , daher ist ihre Determinante ungleich Null. Diese Tatsache weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die mit jeder Methode gefunden werden kann, zum Beispiel oder .

So werden die gewünschten Koordinaten gefunden Vektor x in der Basis .

Analysieren wir die Theorie anhand von Beispielen.

Beispiel.

In gewisser Weise basiert der dreidimensionale Vektorraum auf den Vektoren

Stellen Sie sicher, dass das Vektorsystem auch eine Basis dieses Raums ist und finden Sie die Koordinaten des Vektors x in dieser Basis.

Lösung.

Damit ein Vektorsystem die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sein kann, muss es linear unabhängig sein. Finden wir es heraus, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen Vektoren sind. Wir finden den Rang nach der Gauß-Methode


daher Rank(A) = 3 , was die lineare Unabhängigkeit des Vektorsystems zeigt .

Vektoren sind also die Basis. Der Vektor x habe Koordinaten in dieser Basis. Dann ist, wie wir oben gezeigt haben, die Beziehung der Koordinaten dieses Vektors durch das Gleichungssystem gegeben

Setzen wir die aus der Bedingung bekannten Werte ein, erhalten wir

Lösen wir es nach Cramers Methode:

Somit hat der Vektor x in der Basis Koordinaten .

Antworten:

Beispiel.

In gewisser Weise Der vierdimensionale Vektorraum erhält ein linear unabhängiges System von Vektoren

Es ist bekannt, dass . Finden Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Lösung.

Da das System der Vektoren nach Annahme linear unabhängig ist, dann ist es eine Basis eines vierdimensionalen Raums. Dann die Gleichberechtigung bedeutet, dass der Vektor x in der Basis hat Koordinaten. Bezeichnen Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis Wie .

Das Gleichungssystem, das die Beziehung der Koordinaten des Vektors x in Basen definiert Und hat die Form

Wir ersetzen die bekannten Werte und finden die gewünschten Koordinaten:

Antworten:

.

Kommunikation zwischen Basen.

Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektorsysteme in irgendeiner Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

Und

das heißt, sie sind auch Basen dieses Raums.

Wenn - Vektorkoordinaten in Basis , dann das Verhältnis der Koordinaten Und ist durch ein System linearer Gleichungen gegeben (wir haben darüber im vorigen Absatz gesprochen):

, was in Matrixform geschrieben werden kann als

In ähnlicher Weise können wir für einen Vektor schreiben

Die vorherigen Matrixgleichungen können zu einer zusammengefasst werden, die im Wesentlichen die Beziehung der Vektoren zweier verschiedener Basen definiert

Ebenso können wir alle Basisvektoren ausdrücken durch die Basis :

Definition.

Matrix genannt Übergangsmatrix von der Basis zu gründen , dann die Gleichheit

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung auf der rechten Seite mit

wir bekommen

Lassen Sie uns die Übergangsmatrix finden, während wir uns nicht mit dem Finden der inversen Matrix und dem Multiplizieren von Matrizen befassen (siehe ggf. Artikel und):

Es bleibt die Beziehung der Koordinaten des Vektors x in den gegebenen Basen herauszufinden.

Der Vektor x habe dann Koordinaten in der Basis

und in der Basis hat der Vektor x dann die Koordinaten

Da die linken Teile der letzten beiden Gleichungen gleich sind, können wir die rechten Teile gleichsetzen:

Wenn wir beide Seiten rechts mit multiplizieren

dann bekommen wir


Andererseits

(finden Sie die inverse Matrix selbst).
Die letzten beiden Gleichungen geben uns das gewünschte Verhältnis der Koordinaten des Vektors x in den Basen und .

Antworten:

Die Übergangsmatrix von Basis zu Basis hat die Form
;
die Koordinaten des Vektors x in Basen und werden durch die Beziehungen in Beziehung gesetzt

oder
.

Wir betrachteten die Konzepte von Dimension und Basis eines Vektorraums, lernten, wie man einen Vektor nach einer Basis zerlegt, und entdeckten eine Verbindung zwischen verschiedenen Basen eines n-dimensionalen Raums von Vektoren durch eine Übergangsmatrix.

Seite 1

Subspace, seine Basis und Dimension.

Lassen L ist der lineare Raum über dem Feld P Und A ist eine Teilmenge von L. Wenn A bildet selbst einen linearen Raum über dem Feld P für die gleichen Operationen wie L, Das A ein Unterraum des Raumes genannt L.

Gemäß der Definition eines linearen Raums, damit A war ein Unterraum, um die Machbarkeit zu prüfen A Operationen:

1) :
;

2)
:
;

und überprüfen Sie, ob die Vorgänge in A unterliegt acht Axiomen. Letzteres wird jedoch redundant sein (aufgrund der Tatsache, dass diese Axiome in L gelten), d.h. die folgende

Satz. Sei L ein linearer Raum über einem Körper P und
. Eine Menge A ist genau dann ein Unterraum von L, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. :
;

2.
:
.

Stellungnahme. Wenn L – N-dimensionaler linearer Raum und A dann sein Unterraum A ist auch ein endlichdimensionaler linearer Raum und seine Dimension überschreitet nicht N.

P Beispiel 1. Ist die Menge S aller Vektoren der Ebene, die jeweils auf einer der Koordinatenachsen 0x oder 0y liegen, ein Unterraum des Raums der Segmentvektoren V 2 ?

Lösung: Lassen
,
Und
,
. Dann
. Also ist S kein Unterraum .

Beispiel 2 v 2 Satz von Vektorsegmenten der Ebene S alle ebenen Vektoren, deren Anfang und Ende auf einer gegebenen Geraden liegen l dieses Flugzeug?

Lösung.

E sli-Vektor
mit einer reellen Zahl multiplizieren k, dann erhalten wir den Vektor
, auch Zugehörigkeit zu S. If Und sind dann zwei Vektoren von S
(nach der Additionsregel von Vektoren auf einer Geraden). Also ist S ein Unterraum .

Beispiel 3 Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums v 2 ein Haufen A alle Vektoren der Ebene, deren Enden auf der gegebenen Geraden liegen l, (angenommen, der Ursprung eines beliebigen Vektors stimmt mit dem Ursprung überein)?

R Lösung.

In dem Fall, wo die direkte l geht nicht durch den Ursprung A linearer Unterraum des Raumes v 2 ist nicht, weil
.

In dem Fall, wo die direkte l geht durch den Ursprung, die Menge A ist ein linearer Unterraum des Raums v 2 , Weil
und beim Multiplizieren eines beliebigen Vektors
zu einer reellen Zahl α aus dem Feld R wir bekommen
. Damit ist der lineare Platzbedarf für das Set A vollendet.

Beispiel 4 Gegeben sei ein System von Vektoren
aus dem linearen Raum Lüber das Feld P. Beweisen Sie, dass die Menge aller möglichen Linearkombinationen
mit Koeffizienten
aus P ist ein Unterraum L(Dies ist ein Unterraum A heißt der vom Vektorsystem erzeugte Unterraum
oder lineare Schale dieses Vektorsystem, und werden wie folgt bezeichnet:
oder
).

Lösung. In der Tat, da , dann für alle Elemente X, jA wir haben:
,
, Wo
,
. Dann

Als
, Das
, Deshalb
.

Prüfen wir die Zulässigkeit der zweiten Bedingung des Satzes. Wenn X ist ein beliebiger Vektor aus A Und T- beliebige Zahl von P, Das . Weil das
Und
,
, Das
,
, Deshalb
. Also nach dem Satz die Menge A ist ein Unterraum eines linearen Raums L.

Für endlichdimensionale lineare Räume gilt auch die Umkehrung.

Satz. Beliebiger Unterraum A linearer Raum Lüber das Feld ist die lineare Spannweite eines Vektorsystems.

Bei der Lösung des Problems, die Basis und Dimension der linearen Schale zu finden, wird der folgende Satz verwendet.

Satz. Lineare Schalenbasis
stimmt mit der Basis des Vektorsystems überein
. Dimension der linearen Schale
fällt mit dem Rang des Vektorsystems zusammen
.

Beispiel 4 Finden Sie die Basis und Dimension eines Unterraums
linearer Raum R 3 [ X] , Wenn
,
,
,
.

Lösung. Es ist bekannt, dass Vektoren und ihre Koordinatenzeilen (Spalten) die gleichen Eigenschaften (hinsichtlich linearer Abhängigkeit) haben. Wir machen eine Matrix A=
aus Koordinatenspalten von Vektoren
in grundlage
.

Finde den Rang einer Matrix A.

. M 3 =
.
.

Daher der Rang R(A)= 3. Also der Rang des Vektorsystems
gleich 3 ist. Daher ist die Dimension des Unterraums S gleich 3, und seine Basis besteht aus drei Vektoren
(weil im grundlegenden Moll
nur die Koordinaten dieser Vektoren sind enthalten)., . Dieses Vektorsystem ist linear unabhängig. In der Tat, lassen Sie .

UND
.

Es kann überprüft werden, ob das System
linear abhängig für jeden Vektor X aus H. Dies beweist das
maximales linear unabhängiges System von Unterraumvektoren H, d.h.
- Basis ein H und schwach H=N 2 .

Seite 1

1. Lassen Sie den Unterraum L = L(A 1 , A 2 , …, Bin) , also L ist die lineare Hülle des Systems A 1 , A 2 , …, Bin; Vektoren A 1 , A 2 , …, Bin ist das System der Erzeuger dieses Unterraums. Dann die Grundlage L ist die Grundlage des Vektorsystems A 1 , A 2 , …, Bin, also die Grundlage des Generatorsystems. Abmessungen L ist gleich dem Rang des Generatorsystems.

2. Lassen Sie den Unterraum L ist die Summe der Unterräume L 1 und L 2. Das System zum Erzeugen von Unterräumen kann durch Kombinieren der Systeme zum Erzeugen von Unterräumen erhalten werden, wonach die Basis der Summe gefunden wird. Die Dimension der Summe ergibt sich aus der folgenden Formel:

schwach(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – schwach(L 1 Z L 2).

3. Sei die Summe der Unterräume L 1 und L 2 gerade Linie, das ist L = L 1 Å L 2. Dabei L 1 Z L 2 = {Ö) Und schwach(L 1 Z L 2) = 0. Die Basis der direkten Summe ist gleich der Vereinigung der Basen der Summanden. Die Dimension der direkten Summe ist gleich der Summe der Dimensionen der Terme.

4. Lassen Sie uns ein wichtiges Beispiel für einen Unterraum und eine lineare Mannigfaltigkeit geben.

Stellen Sie sich ein homogenes System vor M lineare Gleichungen mit N Unbekannt. Viele Lösungen M 0 dieses Systems ist eine Teilmenge der Menge R n und ist abgeschlossen unter der Addition von Vektoren und deren Multiplikation mit einer reellen Zahl. Dies bedeutet, dass es sich um einen Satz handelt M 0 - Unterraum des Raums R n. Die Basis des Unterraums ist die fundamentale Lösungsmenge des homogenen Systems, die Dimension des Unterraums ist gleich der Anzahl der Vektoren in der fundamentalen Lösungsmenge des Systems.

Ein Haufen M gemeinsame Systemlösungen M lineare Gleichungen mit N unknown ist ebenfalls eine Teilmenge der Menge R n und ist gleich der Summe der Menge M 0 und Vektor A, Wo A ist eine bestimmte Lösung des ursprünglichen Systems und der Menge M 0 ist die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems, das dieses System begleitet (es unterscheidet sich vom ursprünglichen System nur in freien Termen),

M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.

Das bedeutet, dass viele M ist eine lineare Mannigfaltigkeit des Raumes R n mit Verschiebungsvektor A und Richtung M 0 .

Beispiel 8.6. Finden Sie die Basis und Dimension eines Unterraums, der durch ein homogenes System linearer Gleichungen gegeben ist:

Lösung. Lassen Sie uns die allgemeine Lösung dieses Systems und seine fundamentale Menge von Lösungen finden: Mit 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Mit 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Mit 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Die Unterraumbasis wird durch Vektoren gebildet Mit 1 , Mit 2 , Mit 3 , seine Dimension ist drei.

Feierabend -

Dieses Thema gehört zu:

Lineare Algebra

Kostroma State University, benannt nach N. A. Nekrasov.

Wenn Sie zu diesem Thema weiteres Material benötigen oder nicht fündig geworden sind, empfehlen wir Ihnen die Suche in unserer Werkdatenbank:

Was machen wir mit dem erhaltenen Material:

Wenn sich dieses Material für Sie als nützlich erwiesen hat, können Sie es auf Ihrer Seite in sozialen Netzwerken speichern:

twittern

Alle Themen in diesem Abschnitt:

Bundesbank 22.174ya73-5
M350 Gedruckt auf Beschluss des Redaktions- und Verlagsrates der KSU. N. A. Nekrasova Rezensent A. V. Cherednikov

Bundesbank 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013

Vereinigung (oder Summe)
Definition 1.9 Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge A È B, bestehend aus den und nur den Elementen, die zu Obwohl gehören

Schnittpunkt (oder Produkt)
Definition 1.10. Der Durchschnitt der Mengen A und B ist die Menge A Ç B, die aus diesen und nur den zu ihr gehörenden Elementen besteht

Unterschied
Definition 1.11: Die Differenz der Mengen A und B ist die Menge A B, bestehend aus den und nur den Elementen, die zur Menge A gehören

Kartesisches Produkt (oder direktes Produkt)
Definition 1.14. Ein geordnetes Paar (oder Paar) (a, b) besteht aus zwei Elementen a, b in einer bestimmten Reihenfolge. Paare (a1

Eigenschaften von Mengenoperationen
Die Eigenschaften der Vereinigungs-, Schnitt- und Komplementoperationen werden manchmal als Gesetze der Mengenalgebra bezeichnet. Lassen Sie uns die Haupteigenschaften von Operationen auf Mengen auflisten. Sei eine universelle Menge U

Methode der mathematischen Induktion
Die Methode der mathematischen Induktion wird verwendet, um Aussagen zu beweisen, bei denen der natürliche Parameter n eine Rolle spielt. Die Methode der mathematischen Induktion - die Methode zum Beweis der Mathematik

Komplexe Zahlen
Der Zahlenbegriff ist eine der wichtigsten Errungenschaften der menschlichen Kultur. Zuerst tauchten natürliche Zahlen N = (1, 2, 3, …, n, …) auf, dann ganze Zahlen Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rationales Q

Geometrische Interpretation komplexer Zahlen
Es ist bekannt, dass negative Zahlen im Zusammenhang mit der Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen eingeführt wurden. Bei bestimmten Problemen wurde eine negative Antwort als Wert der gerichteten Größe interpretiert (

Trigonometrische Form einer komplexen Zahl
Ein Vektor kann nicht nur durch Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, sondern auch durch Länge und angegeben werden

Operationen auf komplexen Zahlen in trigonometrischer Form
Es ist bequemer, Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in algebraischer Form und Multiplikation und Division in trigonometrischer Form durchzuführen. 1. Multiplikationen Seien zwei k

Potenzierung
Wenn z = r(cosj + i×sinj), dann zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), wobei n Î

Die Exponentialform einer komplexen Zahl
Aus der mathematischen Analyse ist bekannt, dass e = , e eine irrationale Zahl ist. Eile

Beziehungskonzept
Definition 2.1. Eine n-stellige (oder n-stellige) Relation P auf Mengen A1, A2, …, An ist eine beliebige Teilmenge

Eigenschaften binärer Beziehungen
Die binäre Relation P sei auf einer nichtleeren Menge A gegeben, also P Í A2. Definition 2.9: Binäre Relation P auf einer Menge

Äquivalenzbeziehung
Definition 2.15. Eine binäre Relation auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalentes Verhältnis

Funktionen
Definition 2.20: Eine binäre Relation ƒ í A ´ B heißt Funktion von Menge A nach Menge B, falls für jedes x

Allgemeine Konzepte
Definition 3.1. Eine Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle mit m Zeilen und n Spalten. Die Zahlen m und n heißen Ordnung (bzw

Hinzufügen von Matrizen des gleichen Typs
Sie können nur Matrizen desselben Typs hinzufügen. Definition 3.12. Die Summe zweier Matrizen A = (aij) und B = (bij), wobei i = 1,

Matrixadditionseigenschaften
1) Kommutativität: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) Assoziativität:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Definition 3.13. Das Produkt der Matrix A = (aij) und der reellen Zahl k ist die Matrix C = (сij) für die

Eigenschaften der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
1) "A: 1 × A = A; 2) " α, β Î R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×

Matrix-Multiplikation
Wir definieren die Multiplikation zweier Matrizen; Dazu müssen wir einige zusätzliche Konzepte einführen. Definition 3.14. Die Matrizen A und B heißen konsistent

Eigenschaften der Matrixmultiplikation
1) Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: A×B ≠ B×A. Diese Eigenschaft lässt sich an Beispielen demonstrieren. Beispiel 3.6. A)

Matrixtransposition
Definition 3.16. Die Matrix Аt, die man aus der gegebenen erhält, indem man jede ihrer Zeilen durch eine Spalte mit der gleichen Nummer ersetzt, heißt auf die gegebene Matrix A transponiert

Determinanten von Matrizen zweiter und dritter Ordnung
Jeder quadratischen Matrix A der Ordnung n ist eine Zahl zugeordnet, die als Determinante dieser Matrix bezeichnet wird. Bezeichnung: D, |A|, det A,

Definition 4.6.
1. Für n = 1 besteht die Matrix A aus einer Zahl: |A| = a11. 2. Die Determinante für eine Ordnungsmatrix (n – 1) sei bekannt. 3. Definieren

Qualifier-Eigenschaften
Um Determinanten von Ordnungen größer als 3 zu berechnen, werden die Eigenschaften von Determinanten und der Satz von Laplace verwendet. Satz 4.1 (Laplace). Determinante einer quadratischen Matrix

Praktische Berechnung von Determinanten
Eine Möglichkeit, die Determinanten einer Ordnung über drei zu berechnen, besteht darin, sie in einer Spalte oder Zeile zu erweitern. Beispiel 4.4 Berechnen Sie die Determinante D =

Das Konzept des Matrixrangs
Sei A eine m ´ n Matrix. Wir wählen willkürlich k Zeilen und k Spalten in dieser Matrix, wobei 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Ermitteln des Rangs einer Matrix mit der Methode der Begrenzung von Minderjährigen
Eine der Methoden zum Ermitteln des Rangs einer Matrix ist die Aufzählung von Minderjährigen. Dieses Verfahren basiert auf der Bestimmung des Rangs der Matrix. Das Wesen der Methode ist wie folgt. Wenn es mindestens ein Element gibt

Ermitteln des Rangs einer Matrix mit elementaren Transformationen
Betrachten Sie einen anderen Weg, um den Rang einer Matrix zu ermitteln. Definition 5.4. Die folgenden Transformationen werden elementare Matrixtransformationen genannt: 1. multiplizieren

Das Konzept einer inversen Matrix und wie man sie findet
Gegeben sei eine quadratische Matrix A. Definition 5.7. Matrix A–1 heißt die Inverse von Matrix A, falls A×A–1

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
Betrachten Sie eine der Möglichkeiten, die Inverse einer gegebenen Matrix mit Hilfe algebraischer Additionen zu finden. Gegeben sei eine quadratische Matrix A. 1. Finde die Determinante der Matrix |A|. EU

Finden der inversen Matrix mit elementaren Transformationen
Betrachten Sie einen anderen Weg, um die inverse Matrix mit elementaren Transformationen zu finden. Lassen Sie uns die notwendigen Konzepte und Theoreme formulieren. Definition 5.11 Name der Matrix B

Cramer-Methode
Stellen Sie sich ein System linearer Gleichungen vor, in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist, d. h. m = n, und das System sieht folgendermaßen aus:

Methode der inversen Matrix
Die inverse Matrixmethode ist auf lineare Gleichungssysteme anwendbar, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Determinante der Hauptmatrix ungleich Null ist. Matrix-Notationssystem

Gauss-Methode
Um diese Methode zu beschreiben, die zum Lösen beliebiger linearer Gleichungssysteme geeignet ist, werden einige neue Konzepte benötigt. Definition 6.7. 0× Gleichung

Beschreibung der Gauß-Methode
Das Gauß-Verfahren - das Verfahren der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten - besteht darin, dass mit Hilfe elementarer Transformationen das ursprüngliche System auf ein äquivalentes System von schrittweise oder t reduziert wird

Untersuchung eines linearen Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem zu untersuchen bedeutet, ohne das System zu lösen, die Frage zu beantworten: Ist das System konsistent oder nicht, und wenn ja, wie viele Lösungen hat es? Antworten Sie darauf in

Homogene Systeme linearer Gleichungen
Definition 6.11: Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine freien Terme gleich Null sind. Homogenes System von m linearen Gleichungen

Eigenschaften von Lösungen für ein homogenes System linearer Gleichungen
1. Wenn der Vektor а = (a1, a2, …, an) eine Lösung eines homogenen Systems ist, dann ist der Vektor k×а = (k×a1, k&t

Fundamentaler Lösungssatz eines homogenen linearen Gleichungssystems
Sei M0 die Lösungsmenge des homogenen Systems (4) linearer Gleichungen. Definition 6.12 Vektoren c1, c2, ..., c

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit eines Vektorsystems
Seien a1, a2, …, am eine Menge von m Stücken n-dimensionaler Vektoren, die allgemein als Vektorsystem bezeichnet wird, und k1

Eigenschaften einer linearen Abhängigkeit eines Vektorsystems
1) Das Vektorsystem, das den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. 2) Ein Vektorsystem ist linear abhängig, wenn eines seiner Teilsysteme linear abhängig ist. Folge. Wenn Si

Einheitsvektorsystem
Definition 7.13. Ein System von Einheitsvektoren im Raum Rn ist ein System von Vektoren e1, e2, …, en

Zwei lineare Abhängigkeitstheoreme
Satz 7.1. Wenn ein größeres Vektorsystem durch ein kleineres linear ausgedrückt wird, dann ist das größere System linear abhängig. Formulieren wir diesen Satz genauer: Sei a1

Basis und Rang eines Vektorsystems
Sei S ein System von Vektoren im Raum Rn; es kann entweder endlich oder unendlich sein. S" ist ein Subsystem des Systems S, S" Ì S. Geben wir zwei an

Rang des Vektorsystems
Geben wir zwei äquivalente Definitionen des Ranges eines Vektorsystems an. Definition 7.16. Der Rang eines Vektorsystems ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis dieses Systems.

Praktisches Finden von Rang und Basis eines Vektorsystems
Aus dem gegebenen System von Vektoren setzen wir eine Matrix zusammen, indem wir die Vektoren als Reihen dieser Matrix anordnen. Wir bringen die Matrix durch elementare Transformationen über die Zeilen dieser Matrix in eine Stufenform. Bei

Definition eines Vektorraums über einem beliebigen Körper
Sei P ein beliebiger Körper. Beispiele für uns bekannte Körper sind der Körper der rationalen, reellen, komplexen Zahlen. Definition 8.1. Die Menge V wird aufgerufen

Die einfachsten Eigenschaften von Vektorräumen
1) o ist ein Nullvektor (Element), eindeutig definiert in einem beliebigen Vektorraum über dem Körper. 2) Für jeden Vektor a О V gibt es eine eindeutige

Unterräume. Lineare Mannigfaltigkeiten
Sei V ein Vektorraum, L Ì V (L ist eine Teilmenge von V). Definition 8.2. Teilmenge L des Vektors pro

Schnittpunkt und Summe von Unterräumen
Sei V ein Vektorraum über einem Körper P, L1 und L2 seien seine Unterräume. Definition 8.3. Schnittpunkt-Unterabfrage

Lineare Mannigfaltigkeiten
Sei V ein Vektorraum, L ein Unterraum und a ein beliebiger Vektor aus dem Raum V. Definition 8.6: Durch eine lineare Mannigfaltigkeit

Endlich dimensionale Vektorräume
Definition 8.7 Ein Vektorraum V heißt n-dimensional, wenn er ein linear unabhängiges System von Vektoren enthält, das aus n Vektoren besteht, und für

Grundlage eines endlichdimensionalen Vektorraums
V ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper P, S ist ein System von Vektoren (endlich oder unendlich). Definition 8.10. Die Basis des Systems S

Vektorkoordinaten relativ zur gegebenen Basis
Betrachten Sie einen endlichdimensionalen Vektorraum V der Dimension n, dessen Basis die Vektoren e1, e2, …, en bilden. Lass a prod sein

Vektorkoordinaten in verschiedenen Basen
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, in dem zwei Basen gegeben sind: e1, e2, ..., en ist die alte Basis, e "1, e

Euklidische Vektorräume
Gegeben sei ein Vektorraum V über dem Körper der reellen Zahlen. Dieser Raum kann entweder ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n oder unendlichdimensional sein.

Skalarprodukt in Koordinaten
In einem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum V ist eine Basis e1, e2, …, en gegeben. Vektoren x und y in Vektoren zerlegt

Metrische Konzepte
In euklidischen Vektorräumen kann man vom eingeführten Skalarprodukt zu den Begriffen der Norm eines Vektors und des Winkels zwischen Vektoren übergehen. Definition 8.16. Norma (

Normeigenschaften
1) ||a|| = 0 w ein = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, weil ||la|| =

Orthonormalbasis eines euklidischen Vektorraums
Definition 8.21. Eine Basis eines euklidischen Vektorraums heißt orthogonal, wenn die Vektoren der Basis paarweise orthogonal sind, also wenn a1, a

Orthogonalisierungsprozess
Satz 8.12. Jeder n-dimensionale euklidische Raum hat eine orthonormale Basis. Nachweisen. Seien a1, a2

Skalarprodukt auf orthonormaler Basis
Gegeben sei eine Orthonormalbasis e1, e2, …, en des euklidischen Raums V. Da (ei, ej) = 0 für i

Orthogonales Unterraumkomplement
V ist ein euklidischer Vektorraum, L ist sein Unterraum. Definition 8.23. Ein Vektor a soll orthogonal zu einem Unterraum L sein, wenn der Vektor

Beziehung zwischen den Koordinaten eines Vektors und den Koordinaten seines Bildes
Ein linearer Operator j ist im Raum V gegeben, und seine Matrix M(j) befindet sich in irgendeiner Basis e1, e2, …, en. Lassen Sie dies die Grundlage sein

Ähnliche Matrizen
Betrachten wir die Menge Pn´n quadratischer Matrizen der Ordnung n mit Elementen aus einem beliebigen Körper P. Wir führen auf dieser Menge das Relativ ein

Eigenschaften der Matrixähnlichkeitsrelation
1. Reflexivität. Jede Matrix ist sich selbst ähnlich, d.h. A ~ A. 2. Symmetrie. Wenn Matrix A ähnlich zu B ist, dann ist B ähnlich zu A, d.h.

Eigenschaften von Eigenvektoren
1. Jeder Eigenvektor gehört nur zu einem Eigenwert. Nachweisen. Sei x ein Eigenvektor mit zwei Eigenwerten

Charakteristisches Polynom einer Matrix
Gegeben sei eine Matrix A Î Pn´n (oder A Î Rn´n). Definieren

Bedingungen, unter denen eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich ist
Sei A eine quadratische Matrix. Wir können annehmen, dass dies die Matrix eines linearen Operators ist, der in irgendeiner Basis gegeben ist. Es ist bekannt, dass auf einer anderen Basis die Matrix des linearen Operators

Jordanische Normalform
Definition 10.5. Eine Jordan-Zelle der Ordnung k bezogen auf die Zahl l0 ist eine Matrix der Ordnung k, 1 ≤ k ≤ n,

Reduktion einer Matrix auf die jordanische (normale) Form
Satz 10.3. Die Jordan-Normalform ist für eine Matrix bis zu der Reihenfolge eindeutig definiert, in der sich die Jordan-Zellen auf der Hauptdiagonale befinden. Usw

Bilineare Formen
Definition 11.1. Eine bilineare Form ist eine Funktion (Abbildung) f: V ´ V ® R (oder C), wobei V ein beliebiger Vektor n ist

Eigenschaften bilinearer Formen
Jede bilineare Form kann als Summe symmetrischer schiefsymmetrischer Formen dargestellt werden. Mit der gewählten Basis e1, e2, …, en im Vektor

Transformation einer Matrix bilinearer Form beim Übergang auf eine neue Basis. Rang der bilinearen Form
Seien zwei Basen e = (e1, e2, …, en) und f = (f1, f2,

Quadratische Formen
Sei A(x, y) eine symmetrische Bilinearform, definiert auf einem Vektorraum V. Definition 11.6 Durch eine quadratische Form

Reduktion einer quadratischen Form auf eine kanonische Form
Gegeben sei eine quadratische Form (2) A(x, x) = , wobei x = (x1

Trägheitsgesetz quadratischer Formen
Es wird festgestellt, dass die Anzahl der von Null verschiedenen kanonischen Koeffizienten einer quadratischen Form gleich ihrem Rang ist und nicht von der Wahl einer nicht entarteten Transformation abhängt, durch die die Form A(x

Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine quadratische Form vorzeichenbestimmend ist
Erklärung 11.1. Damit die im n-dimensionalen Vektorraum V gegebene quadratische Form A(x, x) vorzeichenbestimmend ist, ist sie notwendig

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für sich quasi ändernde quadratische Formen
Aussage 11.3. Damit die im n-dimensionalen Vektorraum V definierte quadratische Form A(x, x) quasi-alternierend ist (also

Sylvesters Kriterium für die Vorzeichenbestimmtheit einer quadratischen Form
Die Form A(x, x) in der Basis e = (e1, e2, …, en) sei definiert durch die Matrix A(e) = (aij)

Abschluss
Lineare Algebra ist ein obligatorischer Bestandteil jedes fortgeschrittenen Mathematikprogramms. Jeder andere Abschnitt setzt das Vorhandensein von Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten voraus, die während des Unterrichts dieser Disziplin festgelegt wurden.

Bibliographisches Verzeichnis
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Lineare Algebra mit Elementen der analytischen Geometrie. - M .: Verlag der Higher School of Economics, 2007. Beklemishev D.V. Kurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra.

Lineare Algebra
Lehrmittel Herausgeber und Korrektor G. D. Neganova Computersatz von T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Der lineare Raum V heißt n-dimensional, wenn es ein System von n linear unabhängigen Vektoren enthält und jedes System von mehr Vektoren linear abhängig ist. Die Zahl n wird aufgerufen Dimension (Anzahl der Dimensionen) linearer Raum V und wird bezeichnet \operatorname(dim)V. Mit anderen Worten, die Dimension eines Raums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum. Existiert eine solche Zahl, so heißt der Raum endlichdimensional. Wenn es für jede natürliche Zahl n im Raum V ein System gibt, das aus n linear unabhängigen Vektoren besteht, dann wird ein solcher Raum als unendlich dimensional bezeichnet (sie schreiben: \operatorname(dim)V=\infty). Im Folgenden werden, sofern nicht anders angegeben, endlichdimensionale Räume betrachtet.

Basis n-dimensionaler linearer Raum ist eine geordnete Menge von n linear unabhängigen Vektoren ( Basisvektoren).

Satz 8.1 über die Entwicklung eines Vektors nach einer Basis. Wenn eine Basis eines n-dimensionalen linearen Raums V ist, dann kann jeder Vektor \mathbf(v)\in V als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden:

\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n

und darüber hinaus auf einzigartige Weise, d.h. Chancen \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n sind eindeutig definiert. Mit anderen Worten, jeder Raumvektor kann in einer Basis und noch dazu eindeutig erweitert werden.

Tatsächlich ist die Dimension des Raums V gleich n. Vektorsystem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n linear unabhängig (das ist die Basis). Nachdem wir der Basis einen beliebigen Vektor \mathbf(v) hinzugefügt haben, erhalten wir ein linear abhängiges System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(da dieses System aus (n + 1) Vektoren des n-dimensionalen Raums besteht). Durch die Eigenschaft von 7 linear abhängigen und linear unabhängigen Vektoren erhalten wir die Schlussfolgerung des Satzes.

Folge 1. Wenn \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ist dann eine Basis des Raums V V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), d.h. Der lineare Raum ist die lineare Spanne der Basisvektoren.

In der Tat, um die Gleichheit zu beweisen V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) zwei Mengen genügt es zu zeigen, dass die Einschlüsse V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) und gleichzeitig ausgeführt werden. Tatsächlich gehört einerseits jede Linearkombination von Vektoren in einem linearen Raum zum linearen Raum selbst, d.h. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Andererseits kann nach Satz 8.1 jeder Raumvektor als Linearkombination von Basisvektoren dargestellt werden, d.h. V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Dies impliziert die Gleichheit der betrachteten Mengen.

Folge 2. Wenn \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ist ein linear unabhängiges System von Vektoren im linearen Raum V und jeder Vektor \mathbf(v)\in V lässt sich als Linearkombination darstellen (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, dann hat der Raum V die Dimension n und das System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n ist seine Grundlage.

Tatsächlich gibt es im Raum V ein System von n linear unabhängigen Vektoren und jedes beliebige System \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n von mehr Vektoren (k > n) ist linear abhängig, da jeder Vektor aus diesem System durch die Vektoren linear ausgedrückt wird \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Bedeutet, \operatorname(dim) V=n Und \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- Basis V.

Satz 8.2 über die Vervollständigung eines Vektorsystems zu einer Basis. Jedes linear unabhängige System von k Vektoren in einem n-dimensionalen linearen Raum (1\leqslant k

Sei nämlich ein linear unabhängiges System von Vektoren in einem n-dimensionalen Raum V~(1\leqslant k . Betrachten Sie die lineare Spannweite dieser Vektoren: L_k=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k). Beliebiger Vektor \mathbf(v)\in L_k Formen mit Vektoren \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k linear abhängiges System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(v), da der Vektor \mathbf(v) durch die anderen linear ausgedrückt wird. Da es in einem n-dimensionalen Raum n linear unabhängige Vektoren gibt, ist L_k\ne V und es existiert ein Vektor \mathbf(e)_(k+1)\in V, die nicht zu L_k gehört. Ergänze mit diesem Vektor das linear unabhängige System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k, erhalten wir ein System von Vektoren \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1), die ebenfalls linear unabhängig ist. In der Tat, wenn es sich als linear abhängig herausstellte, würde dies aus Punkt 1 der Bemerkungen 8.3 folgen \mathbf(e)_(k+1)\in \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k)=L_k, was der Bedingung widerspricht \mathbf(e)_(k+1)\notin L_k. Also das System der Vektoren \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1) linear unabhängig. Das bedeutet, dass das ursprüngliche Vektorsystem ohne Verletzung der linearen Unabhängigkeit um einen Vektor ergänzt wurde. Wir fahren ähnlich fort. Betrachten Sie die lineare Spannweite dieser Vektoren: L_(k+1)=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)). Wenn L_(k+1)=V , dann \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)- Die Basis und der Satz sind bewiesen. Wenn L_(k+1)\ne V , dann vervollständigen wir das System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1) Vektor \mathbf(e)_(k+2)\notin L_(k+1) usw. Der Vervollständigungsprozess endet zwangsläufig, da der Raum V endlichdimensional ist. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit V=L_n=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n), woraus folgt \mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n ist die Basis des Raums V . Der Satz ist bewiesen.

Bemerkungen 8.4

1. Die Basis eines linearen Raums ist mehrdeutig definiert. Zum Beispiel, wenn \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n die Basis des Raumes V ist, dann das Vektorsystem \lambda\mathbf(e)_1,\lambda\mathbf(e)_2,\ldots,\lambda\mathbf(e)_n denn jedes \lambda\ne0 ist auch eine Basis von V . Die Anzahl der Basisvektoren in verschiedenen Basen desselben endlichdimensionalen Raums ist natürlich gleich, da diese Anzahl gleich der Dimension des Raums ist.

2. In einigen Räumen, die häufig in Anwendungen anzutreffen sind, wird eine der möglichen Basen, die aus praktischer Sicht die bequemste ist, als Standard bezeichnet.

3. Satz 8.1 erlaubt uns zu sagen, dass eine Basis ein vollständiges System von Elementen eines linearen Raums ist, in dem Sinne, dass jeder Raumvektor linear durch Basisvektoren ausgedrückt wird.

4. Wenn die Menge \mathbb(L) eine lineare Spanne ist \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), dann die Vektoren \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k heißen Erzeuger der Menge \mathbb(L) . Korollar 1 von Theorem 8.1, aufgrund der Gleichheit V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) erlaubt uns zu sagen, dass die Basis ist minimales Erzeugungssystem linearen Raum V , da es unmöglich ist, die Anzahl der Generatoren zu reduzieren (mindestens einen Vektor aus der Menge entfernen \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) ohne Verletzung der Gleichheit V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).

5. Satz 8.2 erlaubt uns zu sagen, dass die Basis ist maximal linear unabhängiges Vektorsystem linearer Raum, da die Basis ein linear unabhängiges System von Vektoren ist und durch keinen Vektor ergänzt werden kann, ohne die lineare Unabhängigkeit zu verlieren.

6. Es ist bequem, Korollar 2 von Satz 8.1 zu verwenden, um die Basis und Dimension eines linearen Raums zu finden. In einigen Lehrbüchern wird die Basis definiert, nämlich: linear unabhängiges System \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n Vektoren eines linearen Raums heißt Basis, wenn jeder Vektor des Raums linear durch die Vektoren ausgedrückt wird \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Die Anzahl der Basisvektoren bestimmt die Dimension des Raums. Natürlich sind diese Definitionen äquivalent zu den oben gegebenen.

Beispiele für Basen für lineare Räume

Wir geben die Dimension und Basis für die oben betrachteten Beispiele linearer Räume an.

1. Der lineare Nullraum \(\mathbf(o)\) enthält keine linear unabhängigen Vektoren. Daher wird die Dimension dieses Raums als Null angenommen: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Dieser Raum hat keine Basis.

2. Die Räume V_1,\,V_2,\,V_3 haben jeweils die Dimensionen 1, 2, 3. Tatsächlich bildet jeder Nicht-Null-Vektor des Raums V_1 ein linear unabhängiges System (siehe Punkt 1. der Bemerkungen 8.2), und zwei beliebige Nicht-Null-Vektoren des Raums V_1 sind kollinear, d.h. linear abhängig sind (siehe Beispiel 8.1). Daher ist \dim(V_1)=1 , und die Basis des Raums V_1 ist ein beliebiger Vektor ungleich Null. Ebenso beweisen wir, dass \dim(V_2)=2 und \dim(V_3)=3 . Die Basis des Raums V_2 sind zwei beliebige nicht kollineare Vektoren in einer bestimmten Reihenfolge (einer von ihnen wird als erster Basisvektor betrachtet, der andere als zweiter). Die Basis des Raums V_3 sind beliebige drei nicht koplanare (nicht in denselben oder parallelen Ebenen liegende) Vektoren, die in einer bestimmten Reihenfolge genommen werden. Die Standardbasis in V_1 ist der Einheitsvektor \vec(i) auf der Geraden. Die Standardbasis in V_2 ist die Basis \vec(i),\,\vec(j), bestehend aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren der Ebene. Die Standardbasis im Raum V_3 ist die Basis \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), bestehend aus drei paarweise senkrechten Einheitsvektoren, die das rechte Tripel bilden.

3. Der Raum \mathbb(R)^n enthält nicht mehr als n linear unabhängige Vektoren. Nehmen wir nämlich k Spalten aus \mathbb(R)^n und machen daraus eine Matrix der Größe n\times k. Ist k>n , dann sind die Spalten nach Satz 3.4 linear vom Rang einer Matrix abhängig. Somit, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Im Raum \mathbb(R)^n ist es nicht schwierig, n linear unabhängige Spalten zu finden. Zum Beispiel die Spalten der Identitätsmatrix

\mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !.

sind linear unabhängig. Somit, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Der Raum \mathbb(R)^n wird aufgerufen n-dimensionaler reeller arithmetischer Raum. Die angegebene Menge von Vektoren wird als Standardbasis des Raums \mathbb(R)^n betrachtet. Ebenso ist das bewiesen \dim(\mathbb(C)^n)=n, also heißt der Raum \mathbb(C)^n n-dimensionaler komplexer arithmetischer Raum.

4. Erinnern Sie sich daran, dass jede Lösung des homogenen Systems Ax=o dargestellt werden kann als x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Wo r=\operatorname(rg)A, A \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- grundlegendes Entscheidungssystem. Somit, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), d.h. die Basis des Lösungsraums \(Ax=0\) eines homogenen Systems ist sein fundamentales Lösungssystem, und die Dimension des Raums ist \dim\(Ax=o\)=n-r , wobei n die Anzahl von ist Unbekannten, und r ist der Rang der Systemmatrix.

5. Im Raum M_(2\times3) von Matrizen der Größe 2\times3 können 6 Matrizen ausgewählt werden:

\begin(gesammelt)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gesammelt)

die linear unabhängig sind. In der Tat ihre lineare Kombination

\alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+ \alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+ \alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+ \alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix)

ist nur im trivialen Fall gleich der Nullmatrix \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Wenn wir Gleichheit (8.5) von rechts nach links lesen, schließen wir, dass jede Matrix aus M_(2\times3) linear durch die gewählten 6 Matrizen ausgedrückt wird, d.h. M_(2\times)=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Somit, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, und Matrizen \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 sind die (Standard-)Basis dieses Raums. Ebenso ist das bewiesen \dim(M_(m\times n))=m\cdot n.

6. Für jede natürliche Zahl n im Raum P(\mathbb(C)) von Polynomen mit komplexen Koeffizienten kann man n linear unabhängige Elemente finden. Zum Beispiel die Polynome \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) sind linear unabhängig, da ihre Linearkombination

a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1)

ist nur im trivialen Fall gleich dem Nullpolynom (o(z)\equiv0). a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Da dieses Polynomsystem für jedes natürliche n linear unabhängig ist, ist der Raum P(\mathbb(C)) unendlichdimensional. Ebenso schließen wir, dass der Raum P(\mathbb(R)) von Polynomen mit reellen Koeffizienten eine unendliche Dimension hat. Der Raum P_n(\mathbb(R)) von Polynomen vom Grad höchstens n ist endlichdimensional. Tatsächlich sind die Vektoren \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n bilden eine (Standard-)Basis für diesen Raum, da sie linear unabhängig sind und jedes Polynom in P_n(\mathbb(R)) als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1). Somit, \dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1.

7. Der Raum C(\mathbb(R)) stetiger Funktionen ist unendlichdimensional. In der Tat für jedes natürliche n der Polynome 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), als stetige Funktionen betrachtet, bilden linear unabhängige Systeme (siehe vorheriges Beispiel).

Im Weltraum T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonometrische Binome (Frequenzen \omega\ne0 ) mit reellen Basiskoeffizienten bilden Monome \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Sie sind linear unabhängig, da die Identität gleich ist a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 nur im Trivialfall (a=b=0) möglich . Jede Funktion des Formulars f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t linear ausgedrückt in Bezug auf die grundlegenden: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).

8. Der Raum \mathbb(R)^X der auf der Menge X definierten reellen Funktionen kann je nach Definitionsbereich von X endlichdimensional oder unendlichdimensional sein. Wenn X eine endliche Menge ist, dann ist der Raum \mathbb(R)^X endlichdimensional (z. B. X=\(1,2,\ldots,n\)). Wenn X eine unendliche Menge ist, dann ist der Raum \mathbb(R)^X unendlichdimensional (z. B. der Raum \mathbb(R)^N von Folgen).

9. Im Raum \mathbb(R)^(+) kann jede positive Zahl \mathbf(e)_1 ungleich 1 als Basis dienen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl \mathbf(e)_1=2 . Jede positive Zahl r kann durch \mathbf(e)_1 ausgedrückt werden, d.h. im Formular vorhanden \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, wobei \alpha_1=\log_2r . Daher ist die Dimension dieses Raums 1, und die Zahl \mathbf(e)_1=2 ist eine Basis.

10. Lass \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n ist eine Basis des reellen linearen Raums V . Wir definieren lineare Skalarfunktionen auf V, indem wir Folgendes festlegen:

\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)

Gleichzeitig erhält man wegen der Linearität der Funktion \mathcal(E)_i für einen beliebigen Vektor \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.

Es werden also n Elemente (Kovektoren) definiert \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n doppeltes Leerzeichen V^(\ast) . Lassen Sie uns das beweisen \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- Basis V^(\ast) .

Zuerst zeigen wir, dass das System \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n linear unabhängig. Nehmen Sie in der Tat eine Linearkombination dieser Covektoren (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= und mit der Nullfunktion gleichsetzen

\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\in V.

Einsetzen in diese Gleichheit \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, wir bekommen \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Daher das System der Elemente \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n Raum V^(\ast) ist linear unabhängig, da die Gleichheit \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) nur im trivialen Fall möglich.

Zweitens beweisen wir, dass jede lineare Funktion f\in V^(\ast) als Linearkombination von Covektoren dargestellt werden kann \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. In der Tat für jeden Vektor \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n aufgrund der Linearität der Funktion f erhalten wir:

\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)

diese. die Funktion f wird als Linearkombination dargestellt f=\beta_1\mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n Funktionen \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(Zahlen \beta_i=f(\mathbf(e)_i) sind die Koeffizienten der Linearkombination). Daher das System der Covektoren \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n ist eine Basis des dualen Raums V^(\ast) und \dim(V^(\ast))=\dim(V)(für einen endlichdimensionalen Raum V ).

Wenn Sie einen Fehler oder Tippfehler bemerken oder Vorschläge haben, schreiben Sie in die Kommentare.