Fertige Arbeiten

DIESE ARBEITEN

Vieles liegt schon hinter dir und jetzt bist du Absolvent, wenn du deine Abschlussarbeit natürlich rechtzeitig schreibst. Aber das Leben ist so, dass dir erst jetzt klar wird, dass du, nachdem du aufgehört hast, Student zu sein, alle Studentenfreuden verlieren wirst, von denen du viele nicht versucht hast, alles aufschieben und auf später verschieben. Und jetzt bastelst du statt Nachholbedarf an deiner Abschlussarbeit? Es gibt einen tollen Ausweg: Laden Sie die gewünschte Abschlussarbeit von unserer Website herunter - und Sie haben sofort viel Freizeit!
Diplomarbeiten wurden an den führenden Universitäten der Republik Kasachstan erfolgreich verteidigt.
Arbeitskosten ab 20 000 Tenge

KURSARBEITEN

Das Kursprojekt ist die erste ernsthafte praktische Arbeit. Mit dem Verfassen einer Hausarbeit beginnt die Vorbereitung auf die Entwicklung von Abschlussarbeiten. Wenn ein Student lernt, in einem Studienprojekt das Thema inhaltlich richtig zu formulieren und korrekt abzufassen, wird er in Zukunft weder mit dem Verfassen von Referaten noch mit dem Verfassen von Abschlussarbeiten oder anderen praktischen Aufgaben Probleme haben. Um Studierende beim Verfassen einer solchen Studienarbeit zu unterstützen und die Fragen zu klären, die sich im Laufe der Erstellung ergeben, wurde dieser Informationsteil geschaffen.
Arbeitskosten ab 2 500 Tenge

MASTERARBEITEN

Gegenwärtig ist in den Hochschulen Kasachstans und der GUS-Staaten die Phase der höheren Berufsbildung, die auf den Bachelor-Abschluss folgt, der Master-Abschluss, sehr verbreitet. In der Magistratur studieren die Studierenden mit dem Ziel, einen Master-Abschluss zu erlangen, der in den meisten Ländern der Welt mehr als ein Bachelor-Abschluss anerkannt und auch von ausländischen Arbeitgebern anerkannt wird. Das Ergebnis der Ausbildung im Magistrat ist die Verteidigung einer Masterarbeit.
Wir stellen Ihnen aktuelles Analyse- und Textmaterial zur Verfügung, der Preis beinhaltet 2 wissenschaftliche Artikel und ein Abstract.
Arbeitskosten ab 35 000 Tenge

PRAXISBERICHTE

Nach Abschluss jeder Art von Studentenpraxis (Bildung, Industrie, Grundstudium) ist ein Bericht erforderlich. Dieses Dokument ist eine Bestätigung der praktischen Arbeit des Studenten und die Grundlage für die Bildung der Bewertung für das Praktikum. Für die Erstellung eines Praktikumsberichts müssen Sie in der Regel Informationen über das Unternehmen sammeln und analysieren, die Struktur und den Arbeitsplan der Organisation, in der das Praktikum stattfindet, berücksichtigen, einen Kalenderplan erstellen und Ihre praktische Tätigkeit beschreiben.
Wir helfen Ihnen beim Verfassen eines Praktikumsberichts unter Berücksichtigung der Besonderheiten der Tätigkeit eines bestimmten Unternehmens.

8. Klasse

Das Datum:

Lektion Nummer 9.

Thema: Näherungsweise Berechnungen der Quadratwurzel.

Ziele: 1. Den Schülern beibringen, ungefähre Quadratwurzeln zu finden.

2. Entwickeln Sie die Beobachtung, die Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Kultivieren Sie eine positive Einstellung zum Lernen

Unterrichtstyp: kombiniert.

Unterrichtsformen: individuell, kollektiv

Ausstattung: Projekttafel, Stimmungskarten, Mikrorechner

Drei Wege führen zum Wissen: der Weg der Reflexion

Das ist der edelste Weg

der Weg der Nachahmung ist der einfachste Weg

und der Weg der Erfahrung ist der bitterste Weg.

Konfuzius

Während des Unterrichts.

Zeit organisieren

Schritt Hausaufgabenkontrolle

Nr. 60 - 1 Schüler führt an der Tafel auf, ein anderer Schüler überprüft vor Ort die Richtigkeit der Aufgabenstellung

Mündliche Arbeit: auf die Tafel projiziert

a) Finde den Wert der Wurzel:

b) Macht der Ausdruck Sinn:

c) Finden Sie eine Zahl, deren arithmetische Quadratwurzel 0 ist; eines; 3; zehn; 0,6

Die Phase des Erklärens von neuem Material

Um den ungefähren Wert der Quadratwurzel zu berechnen, müssen Sie einen Mikrorechner verwenden. Geben Sie dazu den Wurzelausdruck in den Taschenrechner ein und drücken Sie die Taste mit dem Wurzelzeichen. Aber nicht immer ist ein Taschenrechner zur Hand, daher können Sie den ungefähren Wert der Quadratwurzel wie folgt ermitteln:

Lassen Sie uns den Wert finden.

Seit damals . Nun, unter den Zahlen, die sich auf dem Intervall von 1 bis 2 befinden, nehmen wir die benachbarten Zahlen 1,4 und 1,5, wir erhalten: , dann nehmen wir die Zahlen 1,41 und 1,42, diese Zahlen erfüllen die Ungleichung . Wenn wir diesen Vorgang des Quadrierens benachbarter Zahlen fortsetzen, erhalten wir das folgende Ungleichungssystem:

Auf die Tafel projiziert.

Aus diesem System erhalten wir beim Vergleich der Zahlen nach dem Komma:

Annäherungswerte von Quadratwurzeln können in Bezug auf Überschuss und Mangel genommen werden, d.h. durch Mangel mit einer Genauigkeit von 0,0001 und durch Überschuss.

Konsolidierung des studierten Materials.

Stufe "A"

0,2664 0,2 - durch Mangel

№93 (Taschenrechner verwendet)

5. Valeologische Pause: Übungen für die Augen.

Stufe "B"

6. Historischer Hintergrund zur Notwendigkeit, den Wert von Quadratwurzeln zu finden

(Der bereitwillige Student wird vorab eingeladen, eine Nachricht zu diesem Thema über das Internet vorzubereiten.)

Es wird eine Formel vorgeschlagen, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel einer irrationalen Zahl zu finden:

Stufe "C" Nr. 105

7. Reflexion.

Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgabe: Nr. 102,

Thema: „Finden
ungefähre Werte der Quadratwurzel "

Unterrichtstyp: ONZ, R

Grundlegende Ziele:

• lernen, ungefähre Werte der Quadratwurzel zu finden,
• Methoden zur Berechnung von Wurzeln lernen.

Während des Unterrichts

1. Selbstbestimmung zu Lernaktivitäten

Zweck der Bühne: 1) Schüler in Lernaktivitäten einbeziehen;

2) Bestimmen Sie den Inhalt der Lektion: Wir arbeiten weiter an Quadratwurzeln

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe 1:

Was lernen wir jetzt im Algebraunterricht? (Quadratwurzeln)

Was sind Quadratwurzeln?

- Gut erledigt! Für eine erfolgreiche Arbeit werden wir die folgenden Aufgaben ausführen.

2. Aktualisierung von Wissen und Fixierung von Schwierigkeiten bei Aktivitäten

Zweck der Bühne: 1) aktualisieren Sie den für die Wahrnehmung von neuem Material notwendigen und ausreichenden Bildungsinhalt: Finden Sie die Werte der Quadratwurzel;

2) die mentalen Operationen zu aktualisieren, die für die Wahrnehmung von neuem Material notwendig und ausreichend sind: Vergleich, Analyse, Verallgemeinerung;

3) alle wiederholten Konzepte und Algorithmen in Form von Schemata und Symbolen fixieren;

4) Beheben Sie eine individuelle Schwierigkeit bei der Aktivität, indem Sie den Mangel an vorhandenem Wissen auf einer persönlich bedeutsamen Ebene demonstrieren: Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe 2:

1. Berechnen: , , , ,

4. Individuelle Aufgabe.

Finden Sie den Wert eines Ausdrucks..

3. Identifizierung der Ursache der Schwierigkeit und Festlegung des Ziels der Aktivität

Zweck der Bühne: 1) kommunikative Interaktion organisieren, während der eine charakteristische Eigenschaft der Aufgabe, die Schwierigkeiten bei pädagogischen Aktivitäten verursacht hat, aufgedeckt und fixiert wird: die Fähigkeit, den Wert der Quadratwurzel zu finden;

2) einigen Sie sich auf den Zweck und das Thema der Lektion.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe 3:

– was musstest du tun?

- Was hast du bekommen? (Schüler zeigen ihre Optionen auf)

- Was war das Problem?

Wird √2 vollständig extrahiert?

Nein.

Wie werden wir finden?

Welche Möglichkeiten gibt es, Wurzeln zu finden?

Leute, sehen Sie, wir haben es nicht immer mit Zahlen zu tun, die sich leicht als Quadrat einer Zahl darstellen lassen, die vollständig unter der Wurzel extrahiert werden.

- Was ist unser Ziel?

- Formulieren Sie das Thema der Unterrichtsstunde.

- Schreiben Sie das Thema in Ihr Heft.

4. Erstellen Sie ein Projekt, um aus einer Schwierigkeit herauszukommen

Zweck der Bühne: 1) kommunikative Interaktion organisieren, um eine neue Handlungsweise aufzubauen, die die Ursache der identifizierten Schwierigkeit beseitigt;

2) Fixieren Sie eine neue Wirkungsweise in einem Zeichen, in verbaler Form.

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe 4:

1 METHODE zur Berechnung von √2 auf zwei Dezimalstellen genauWir werden wie folgt argumentieren.

Die Zahl √2 ist größer als 1, weil 1 2 2 größer als 2. Daher beginnt die Dezimalschreibweise der Zahl wie folgt: 1, ... Das heißt, die Wurzel aus zwei, dies ist eine Einheit mit etwas.

Versuchen wir nun, die Anzahl der Zehntel zu finden.

Dazu quadrieren wir Brüche von eins bis zwei, bis wir eine Zahl größer als zwei erhalten.

Nehmen wir einen Teilungsschritt von 0,1, da wir nach der Anzahl der Zehntel suchen.

Mit anderen Worten, wir quadrieren die Zahlen: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Wir haben eine Zahl größer als zwei, die restlichen Zahlen müssen nicht mehr quadriert werden. Ziffer 1.4 2 ist kleiner als 2 und 1,5 ist 2 bereits größer als zwei ist, dann muss die Zahl √2 zum Intervall von 1,4 bis 1,5 gehören. Daher muss die Dezimalschreibweise der Zahl √2 an der zehnten Stelle 4 enthalten. √2=1,4….

Mit anderen Worten, 1.4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Bereits bei 1,42 erhalten wir, dass ihr Quadrat größer als zwei ist, eine weitere Quadrierung von Zahlen macht keinen Sinn.

Daraus erhalten wir, dass die Zahl √2 zum Intervall von 1,41 bis 1,42 gehören wird (1,41

Da wir √2 mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen schreiben müssen, können wir die Berechnung bereits abbrechen und nicht fortsetzen.

√2 ≈ 1,41. Dies wird die Antwort sein. Wenn es notwendig wäre, einen noch genaueren Wert zu berechnen, müsste man die Berechnungen fortsetzen und die Argumentationskette immer wieder wiederholen.

Übung

Auf zwei Dezimalstellen rechnen

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Fazit Mit dieser Technik können Sie die Wurzel mit jeder vorgegebenen Genauigkeit extrahieren.

2 METHODE Um den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, können Sie die Anzahl der durchgeführten Aktionen zählen, indem Sie alle ungeraden Zahlen der Reihe nach subtrahieren, bis der Rest kleiner als die nächste subtrahierte Zahl oder gleich Null ist.

Lassen Sie uns zum Beispiel √16 wie folgt finden:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• 4 Schritte abgeschlossen, also √16 = 4

Aufgabe berechnen

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Fazit Diese Technik ist praktisch, wenn die Wurzel vollständig entfernt ist.

3 METHODE Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als Summe von a dar 2+b,

wo eine 2 - das exakte Quadrat der natürlichen Zahl a, die der Zahl x am nächsten kommt, und die Formel verwendet.

Wir ziehen die Quadratwurzel mit der Formel,

Zum Beispiel ab Nummer 28:

Fazit Die babylonische Methode gibt eine gute Annäherung an den genauen Wert der Wurzel.

5. Primäre Konsolidierung in der externen Sprache

Zweck der Bühne: Fixieren Sie den studierten Bildungsinhalt in der externen Sprache.

Organisation des Bildungsprozesses in Stufe 5:

aus dem Lehrbuch: Nr. 336, 337, 338.339, 343.345

6. Selbständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm.

Zweck der Bühne: Testen Sie Ihre Fähigkeit, den Additions- und Subtraktionsalgorithmus unter typischen Bedingungen anzuwenden, indem Sie Ihre Lösung mit einem Standard zum Selbsttest vergleichen.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe 6:

Nr. 338 (a), 339 (c, d)

Nach Prüfung gegen die Norm werden Fehler analysiert und korrigiert.

7. Aufnahme in das Wissenssystem und Wiederholung

Zweck der Bühne: 1) die Fähigkeit trainieren, neue Inhalte in Verbindung mit zuvor Gelerntem zu verwenden;

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe 7:

1 Gruppe (mittel) „Nr. ______________

Gruppe 2 (hoch) №№ _________________

8. Reflexion der Aktivitäten im Unterricht

1) Korrigieren Sie die neuen Inhalte, die in der Lektion gelernt wurden;

2) ihre eigenen Aktivitäten im Unterricht bewerten;

3) den Klassenkameraden danken, die geholfen haben, das Ergebnis der Lektion zu erzielen;

4) ungelöste Schwierigkeiten als Richtung für zukünftige Lernaktivitäten festlegen;

5) Hausaufgaben besprechen und aufschreiben.

Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe 8:

– Was haben wir heute im Unterricht gelernt?

– Was haben wir heute gelernt?

– Analysieren Sie Ihre Aktivitäten im Unterricht und bewerten Sie Ihre Arbeit.

Hausaufgaben №№ 344 , 346, 351

Die Frage ist nun: Wie kann man eine Zahl irrational potenzieren? Wir wollen zum Beispiel wissen, was 10 √2 ist, die Antwort ist im Prinzip ganz einfach. Nehmen wir statt √2 seine Näherung in Form einer endlichen Dezimalzahl drdbi – das ist eine rationale Zahl. Wir können bis zu einem rationalen Grad anheben; Es kommt darauf an, mit einer ganzen Zahl zu potenzieren und die Wurzel zu ziehen. Wir erhalten den ungefähren Wert der Zahl. Sie können einen längeren Dezimalbruch nehmen (dies ist wieder eine rationale Zahl). Dann müssen Sie die Wurzel eines größeren Grades extrahieren; Schließlich wird der Nenner eines rationalen Bruchs größer, aber wir erhalten eine genauere Annäherung. Wenn wir den ungefähren Wert von √2 als sehr langen Bruch annehmen, wird die Potenzierung natürlich sehr schwierig. Wie ist diese Aufgabe zu bewältigen?

Die Berechnung von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und anderen Wurzeln niedrigen Grades ist ein uns leicht zugänglicher arithmetischer Vorgang; Beim Rechnen schreiben wir sequentiell nacheinander Dezimalzahlen. Aber um auf eine irrationale Potenz zu erheben oder einen Logarithmus zu nehmen (um das inverse Problem zu lösen), ist eine solche Arbeit erforderlich, dass es nicht mehr einfach ist, das bisherige Verfahren anzuwenden. Tabellen kommen zur Rettung. Sie werden Logarithmentafeln oder Potenztafeln genannt, je nachdem, wofür sie bestimmt sind. Sie sparen Zeit: Um eine Zahl ins Irrationale zu potenzieren, rechnen wir nicht, sondern blättern nur um.

Die Berechnung der in Tabellen gesammelten Werte ist zwar ein rein technischer Vorgang, aber dennoch eine interessante Angelegenheit und hat eine lange Geschichte. Mal sehen, wie es gemacht wird. Wir werden nicht nur x \u003d 10 √2 berechnen, sondern auch ein anderes Problem lösen: 10 x \u003d 2 oder x \u003d log 10 2. Bei der Lösung dieser Probleme werden wir keine neuen Zahlen entdecken; das sind nur Rechenprobleme. Die Lösung werden irrationale Zahlen sein, unendliche Dezimalbrüche, und es ist irgendwie unbequem, sie zu einer neuen Art von Zahlen zu erklären.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, wie wir unsere Gleichungen lösen können. Die allgemeine Idee ist sehr einfach. Wenn wir 10 1 und 10 1/10 und 10 1/100 und 10 1/1000 usw. berechnen und dann die Ergebnisse multiplizieren, erhalten wir 10 1,414 ... oder l0 √ 2 Auf diese Weise werden wir lösen jedes Problem dieser Art. Anstelle von 10 1/10 usw. berechnen wir jedoch 10 1/2 und 10 1/4 usw. Bevor wir beginnen, wollen wir erklären, warum wir uns häufiger auf die Zahl 10 beziehen als auf andere Zahlen. Wir wissen, dass die Bedeutung von Logarithmentafeln weit über das mathematische Problem der Berechnung von Wurzeln hinausgeht, weil

Dies ist jedem bekannt, der die Logarithmustabelle verwendet hat, um Zahlen zu multiplizieren. Auf welcher Grundlage b logarithmieren? Es spielt keine Rolle; denn solche Berechnungen basieren nur auf dem Prinzip, der allgemeinen Eigenschaft der logarithmischen Funktion. Nachdem Sie die Logarithmen einmal für eine beliebige Basis berechnet haben, können Sie durch Multiplikation zu den Logarithmen für eine andere Basis gelangen. Wenn Sie Gleichung (22.3) mit 61 multiplizieren, bleibt sie wahr. Wenn Sie also alle Zahlen in der Logarithmentabelle zur Basis b mit 61 multiplizieren, kann eine solche Tabelle auch verwendet werden. Angenommen, wir kennen die Logarithmen aller Zahlen zur Basis b. Mit anderen Worten, wir können die Gleichung b a = c für jedes c lösen; dafür gibt es eine tabelle. Das Problem ist, wie man den Logarithmus der gleichen Zahl c in einer anderen Basis, wie z. B. x, findet. Wir müssen die Gleichung x a' = c lösen. Das ist einfach, weil x immer als x = b t dargestellt werden kann. t zu finden, wenn x und b gegeben sind, ist einfach: t = log b x. Setzen wir nun x = b t in die Gleichung x a’ = c ein; es geht in diese Gleichung ein: (b t) a’ = b ta’ = c. Mit anderen Worten, das Produkt ta' ist der Logarithmus von c zur Basis b. Also a' = a/t. Somit sind die Logarithmen zur Basis x gleich den Produkten der Logarithmen zur Basis b und der konstanten Zahl l/t. Daher sind alle Logarithmentafeln bis auf die Multiplikation mit der Zahl l/log b x äquivalent. Dies erlaubt uns, jede Basis für die Tabellierung zu wählen, aber wir haben entschieden, dass es am bequemsten ist, die Zahl 10 als Basis zu verwenden (Die Frage kann sich stellen: Gibt es noch eine natürliche Basis, die alles irgendwie einfacher aussehen lässt? Wir werden es versuchen um diese Frage später zu beantworten, während alle Logarithmen zur Basis 10 berechnet werden.)

Sehen wir uns nun an, wie die Tabelle der Logarithmen erstellt wird. Die Arbeit beginnt mit sukzessivem Ziehen der Quadratwurzel aus 10. Das Ergebnis ist in Tabelle zu sehen. 22.1. Die Exponenten stehen in der ersten Spalte und die Zahlen 10 in der dritten. Es ist klar, dass 10 1 \u003d 10 ist. Es ist einfach, 10 auf eine halbe Potenz zu erhöhen - dies ist die Quadratwurzel von 10, und jeder weiß, wie man die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl zieht. (Die Quadratwurzel wird am besten nicht so gezogen, wie es normalerweise in der Schule gelehrt wird, sondern etwas anders. Um die Quadratwurzel aus der Zahl N zu ziehen, wählen wir die Zahl a, die nahe genug an der Antwort liegt, berechnen N / a und die Durchschnitt a' = 1/2, das ist der Durchschnitt eine neue Zahl a, eine neue Annäherung an die Wurzel von N. Dieser Vorgang führt sehr schnell zum Ziel: Die Anzahl der signifikanten Stellen verdoppelt sich nach jedem Schritt.) Also haben wir fand die erste Quadratwurzel; es ist gleich 3,16228. Was gibt es? Gibt was. Wir können bereits sagen, was 10 0,5 ist, und wir kennen mindestens einen Logarithmus.

Der Logarithmus von 3,16228 liegt sehr nahe bei 0,50000. Allerdings müssen wir uns noch ein wenig anstrengen: Wir brauchen eine detailliertere Tabelle. Lassen Sie uns eine weitere Quadratwurzel ziehen und 10 1/4 ermitteln, was 1,77828 entspricht. Jetzt kennen wir einen anderen Logarithmus: 1,250 ist der Logarithmus von 17,78; Außerdem können wir sagen, was 10 0,75 ist: Immerhin ist das 10 (0,5 + 0,25), also das Produkt aus der zweiten und dritten Zahl aus der dritten Spalte der Tabelle. 22.1. Wenn Sie die erste Spalte der Tabelle lang genug machen, enthält die Tabelle fast alle Zahlen; Wenn wir die Zahlen aus der dritten Spalte multiplizieren, erhalten wir 10 mit fast jeder Potenz. Das ist die Grundidee von Tabellen. Unsere Tabelle enthält zehn aufeinanderfolgende Wurzeln von 10; die Hauptarbeit beim Erstellen der Tabelle wird in die Berechnung dieser Wurzeln investiert.

Warum verbessern wir die Genauigkeit der Tabellen nicht weiter? Da ist uns schon was aufgefallen. Indem wir 10 zu einer sehr kleinen Potenz erheben, erhalten wir eine Einheit mit einer kleinen Addition. Dies geschieht natürlich, denn wenn wir zum Beispiel 10 1/1000 auf die 1000-te Potenz erhöhen, erhalten wir wieder 10; Es ist klar, dass 10 1/1000 keine große Zahl sein kann: Sie kommt sehr nahe an Eins heran. Darüber hinaus verhalten sich kleine Additionen zur Einheit so, als ob sie jedes Mal durch 2 geteilt würden; Schauen Sie sich die Tabelle genauer an: 1815 geht zu 903, dann zu 450, 225 usw. Wenn wir also noch eine elfte Quadratwurzel berechnen, wird es mit großer Genauigkeit gleich 1,00112 sein, und wir haben dieses Ergebnis sogar erraten vor der Berechnung. Können Sie sagen, was die Addition von Eins ist, wenn Sie 10 mit ∆/1024 potenzieren, wenn ∆ gegen Null tendiert? Dürfen. Die Addition wird ungefähr gleich 0,0022511∆ sein. Natürlich nicht exakt 0,0022511∆; Um diese Addition genauer zu berechnen, machen sie folgenden Trick: Ziehen Sie eins von 10 s ab und dividieren Sie die Differenz durch den Exponenten s. Die Abweichungen des so erhaltenen Quotienten von seinem exakten Wert sind für jede Potenz von s gleich. Es ist ersichtlich, dass diese Verhältnisse (Tabelle 22.1) ungefähr gleich sind. Anfangs unterscheiden sie sich stark, aber dann nähern sie sich einander an und streben eindeutig nach einer Anzahl. Was ist das für eine Nummer? Mal sehen, wie sich die Zahlen der vierten Spalte ändern, wenn wir die Spalte nach unten gehen. Zuerst beträgt die Differenz zwischen zwei benachbarten Zahlen 0,0211, dann 0,0104, dann 0,0053 und schließlich 0,0026. Die Differenz verringert sich jedes Mal um die Hälfte. In einem weiteren Schritt bringen wir es auf 0,0013, dann auf 0,0007, 0,0003, 0,0002 und schließlich auf etwa 0,0001; wir müssen 26 nacheinander durch 2 dividieren. Wir werden also weitere 26 Einheiten nach unten gehen und die Grenze 2,3025 finden. (Später werden wir sehen, dass 2,3026 richtiger wäre, aber nehmen wir, was wir haben.) Mit dieser Tabelle können Sie 10 beliebig potenzieren, wenn ihr Exponent in irgendeiner Weise durch I / I024 ausgedrückt wird.

Jetzt ist es einfach, eine Logarithmentabelle zu erstellen, weil wir bereits alles Notwendige dafür zusammengespart haben. Die Vorgehensweise dazu ist in Tabelle dargestellt. 22.2, und die erforderlichen Zahlen werden aus der zweiten und dritten Spalte der Tabelle entnommen. 22.1.

Angenommen, wir möchten den Logarithmus von 2 wissen. Das bedeutet, dass wir wissen möchten, mit welcher Potenz 10 potenziert werden muss, um 2 zu erhalten. Vielleicht 10 mit 1/2 potenzieren? Nein, es ist zu groß. Wenn wir uns Tabelle 22.1 ansehen, können wir sagen, dass die Zahl, die wir brauchen, zwischen 1/4 und 1/2 liegt. Beginnen wir mit der Suche danach mit 1/4; dividiere 2 durch 1,778…, wir erhalten 1,124…; Beim Teilen haben wir 0,250000 vom Logarithmus von zwei abgezogen, und jetzt interessiert uns der Logarithmus von 1,124 .... Nachdem wir es gefunden haben, addieren wir 1/4 = 256/1024 zum Ergebnis. Suchen wir in Tabelle 22.1 die Zahl, die, wenn man sich entlang der dritten Spalte von oben nach unten bewegt, unmittelbar hinter 1,124 stehen würde .... Dies ist 1,074607. Das Verhältnis von 1,124… zu 1,074607 ist 1,046598. Am Ende werden wir 2 als Produkt der Zahlen aus Tabelle darstellen. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Für den letzten Faktor (1,000573) war in unserer Tabelle kein Platz; Um ihren Logarithmus zu finden, muss diese Zahl als 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024 dargestellt werden. Von hier aus ist leicht zu finden, dass ∆ = 0,254. Somit kann unser Produkt als Zehn hoch 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254) dargestellt werden. Durch Addieren und Dividieren erhalten wir den gewünschten Logarithmus: log 10 2 = 0,30103; dieses Ergebnis ist bis auf die fünfte Dezimalstelle korrekt!

Wir haben Logarithmen genau so berechnet, wie es Mr. Briggs aus Halifax 1620 tat. Als er fertig war, sagte er: „Ich habe nacheinander 54 Quadratwurzeln aus 10 berechnet.“ Tatsächlich hat er nur die ersten 27 Wurzeln berechnet und dann einen Trick mit ∆ gemacht. Das 27-fache der Quadratwurzel aus 10 zu berechnen ist tatsächlich etwas schwieriger als
10 Mal so wie wir. Herr Briggs hat jedoch viel mehr getan: Er hat die Wurzeln bis zur sechzehnten Dezimalstelle berechnet, und als er seine Tabellen veröffentlichte, beließ er sie nur mit 14 Dezimalstellen, um Fehler zu runden. Es ist sehr schwierig, mit dieser Methode Logarithmentabellen bis zur vierzehnten Dezimalstelle zu erstellen. Aber noch 300 Jahre später beschäftigten sich die Ersteller von Logarithmentabellen damit, dass sie die Tabellen von Mr. Briggs reduzierten und jedes Mal eine andere Anzahl von Dezimalstellen aus ihnen herausschlugen. Erst in neuerer Zeit ist es mit Hilfe elektronischer Rechner möglich geworden, unabhängig von Herrn Briggs Logarithmentafeln zu erstellen. In diesem Fall wurde eine effizientere Berechnungsmethode verwendet, die auf der Erweiterung des Logarithmus zu einer Reihe basiert.

Beim Zusammenstellen der Tabellen sind wir auf eine interessante Tatsache gestoßen; ist der Exponent ε sehr klein, so lässt sich 10 ε sehr einfach berechnen; es ist nur 1+2,3025ε. Das bedeutet, dass 10 n/2,3025 = 1 + n für sehr kleine n. Außerdem haben wir von Anfang an gesagt, dass wir Logarithmen zur Basis 10 nur berechnen, weil wir 10 Finger an unseren Händen haben und es für uns bequemer ist, in Zehnern zu zählen. Logarithmen zu jeder anderen Basis erhält man aus Logarithmen zur Basis 10 durch einfache Multiplikation. Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, ob es eine mathematisch ausgezeichnete Basis von Logarithmen gibt, die aus Gründen unterschieden werden, die nichts mit der Anzahl der Finger an der Hand zu tun haben. In dieser natürlichen Skala sollten Formeln mit Logarithmen einfacher aussehen. Lassen Sie uns eine neue Logarithmentabelle erstellen, indem wir alle Logarithmen zur Basis 10 mit 2,3025 multiplizieren…. Dies entspricht dem Übergang zu einer neuen Basis - natürlich oder Basis e. Beachten Sie, dass log e (l + n) ≈ n oder e n ≈ 1 + n, wenn n → 0.

Es ist leicht, die Zahl e selbst zu finden; es ist gleich 101/ 2,3025 oder 10 0,4342294 ... Das ist 10 hoch irrational. Um e zu berechnen, können Sie die Wurzeltabelle von 10 verwenden. Stellen wir 0,434294 ... zuerst als 444,73 / 1024 und den Zähler dieses Bruchs als Summe 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + dar 0,73 . Die Zahl e ist also gleich dem Produkt der Zahlen
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Die Zahl 0,73 steht nicht in unserer Tabelle, aber das entsprechende Ergebnis lässt sich als 1 + 2,3025∆/1024 darstellen und mit ∆ = 0,73 berechnen.) Multipliziert man alle 7 Faktoren, erhält man 2,7184 (durch sollte eigentlich 2,7183 sein, aber dieses Ergebnis ist gut). Mit solchen Tabellen kannst du eine Zahl irrational potenzieren und die Logarithmen irrationaler Zahlen berechnen. So geht man mit Irrationalität um!

Vor dem Aufkommen von Taschenrechnern haben Schüler und Lehrer Quadratwurzeln von Hand berechnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Zerlege die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Zum Beispiel sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratische Faktoren sind Faktoren , die Quadratzahlen sind. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

• Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (manuell). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu zerlegen. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar - das ist eine Quadratzahl. Wenn Sie 400 durch 25 teilen, erhalten Sie 16. Die Zahl 16 ist auch eine Quadratzahl. Somit kann 400 in Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
• Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Terms, d. h. √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel und ziehen Sie die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors und multiplizieren Sie die Ergebnisse, um die Antwort zu finden.

   • Ziehe in unserem Beispiel die Quadratwurzel aus 25 und 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), werden Sie die genaue Antwort nicht als ganze Zahl finden können. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehst du die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehst die Wurzel aus dem gewöhnlichen Faktor.

   • Berechnen Sie zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 kann nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt werden, aber sie kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 49 und 3. Lösen Sie die Aufgabe wie folgt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Werten Sie ggf. den Wert der Wurzel aus. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel auswerten (einen ungefähren Wert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln von Quadratzahlen vergleichen, die (auf beiden Seiten des Zahlenstrahls) der Wurzelzahl am nächsten sind. Sie erhalten den Wert der Wurzel als Dezimalbruch, der mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

   • Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Die Wurzelzahl ist 3. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Wenn Sie die Berechnungen auf einem Taschenrechner durchführen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
     • Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die nächsten Quadratzahlen dazu sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher an 6 liegt als an 5 (weil 35 nur um 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als ist 6. Die Überprüfung mit einem Taschenrechner gibt uns die Antwort 5,92 - wir hatten Recht.

4. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreibe die Primfaktoren in eine Reihe und finde Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Wurzelzahl in Primfaktoren: 45 \u003d 9 x 5 und 9 \u003d 3 x 3. Also √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kann aus dem Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 abschätzen.
   • Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikator 2s; nimm ein paar davon und nimm sie aus dem Zeichen der Wurzel heraus.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können wir √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

   Quadratwurzel manuell berechnen

   Spaltenteilung verwenden

   1. Diese Methode beinhaltet einen ähnlichen Prozess wie die lange Division und gibt eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und ziehen Sie dann eine horizontale Linie nach rechts und etwas unterhalb der oberen Kante des Blatts zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Wurzelzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Bruchteil nach dem Komma. Die Nummer 79520789182.47897 wird also geschrieben als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Lassen Sie uns zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14 berechnen. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie die Zahl oben links als "7 80, 14". Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel der gegebenen Zahl) wird oben rechts geschrieben.

   2. Gegeben das erste Zahlenpaar (oder eine Zahl) von links, finde die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem fraglichen Zahlenpaar (oder einer Zahl) ist. Mit anderen Worten, finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl; Sie erhalten die Zahl n. Schreibe das gefundene n oben rechts und das Quadrat n unten rechts auf.

      • In unserem Fall ist die erste Zahl links die Zahl 7. Als nächstes 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahiere das Quadrat der Zahl n, die du gerade gefunden hast, vom ersten Zahlenpaar (oder einer Zahl) von links. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7, um 3 zu erhalten.

   4. Notieren Sie das zweite Zahlenpaar und schreiben Sie es neben den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Verdoppeln Sie dann die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreibe "80" nach der 3. Verdoppele dann die Zahl von oben rechts, ergibt 4. Schreibe "4_×_=" von unten rechts.

   5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall anstelle von Bindestrichen die Zahl 8 eingeben, dann 48 x 8 \u003d 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 ist in Ordnung. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 \u003d 329. Schreiben Sie 7 von oben rechts - dies ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

   6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl auf der linken Seite, finden Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter die subtrahierte.

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 329 von 380, was 51 entspricht.

   7. Wiederholen Sie Schritt 4. Wenn das abgebrochene Zahlenpaar der Bruchteil der ursprünglichen Zahl ist, setzen Sie das Trennzeichen (Komma) der ganzen Zahl und des Bruchteils in die gewünschte Quadratwurzel von rechts oben. Tragen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit angehängtem "_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu zerlegende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14, also setzen Sie das Trennzeichen der ganzen Zahl und des Bruchteils in die gewünschte Quadratwurzel von oben rechts. Reisse 14 ab und schreibe unten links auf. Das Doppelte oben rechts (27) ist 54, schreibe also "54_×_=" unten rechts.

   8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Finden Sie die größte Zahl anstelle von Bindestrichen auf der rechten Seite (statt Bindestrichen müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Multiplikationsergebnis kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, also kleiner als die aktuelle Zahl auf der linken Seite (5114). Schreiben Sie oben rechts 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

   9. Wenn Sie mehr Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein Paar Nullen neben die aktuelle Zahl auf der linken Seite und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Genauigkeit der gewünschten Antwort erhalten (Anzahl von Nachkommastellen).

      Den Prozess verstehen

      1. Um diese Methode zu beherrschen, stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie finden müssen, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Berechnen Sie den Wert von L, für den L² = S gilt.

         Geben Sie für jede Ziffer Ihrer Antwort einen Buchstaben ein. Bezeichne mit A die erste Ziffer im Wert von L (die gewünschte Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

         Geben Sie für jedes führende Ziffernpaar einen Buchstaben an. Bezeichne mit S a das erste Ziffernpaar im Wert S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

         Erklären Sie den Zusammenhang dieser Methode mit der langen Division. Wie bei der Divisionsoperation, bei der wir jedes Mal nur an einer nächsten Ziffer der teilbaren Zahl interessiert sind, arbeiten wir beim Berechnen der Quadratwurzel mit einem Ziffernpaar nacheinander (um die nächste Ziffer im Quadratwurzelwert zu erhalten). .

      2. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (Sa = 7 in unserem Beispiel) und finden Sie seine Quadratwurzel. In diesem Fall wird die erste Ziffer A des gesuchten Werts der Quadratwurzel eine solche Ziffer sein, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (d. h. wir suchen ein solches A, das die Ungleichung A² erfüllt ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; Hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die, wenn sie mit 7 multipliziert wird, einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Stellen Sie sich im Geiste das Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, dh der Seitenlänge eines Quadrats mit der Fläche S. A, B, C sind Zahlen in der Zahl L. Sie können es anders schreiben: 10A + B \u003d L (für eine Zwei -stellige Zahl) oder 100A + 10B + C \u003d L (für dreistellige Zahl) und so weiter.

         • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der B für Einsen und A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann entspricht 10A+B der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Quadrats, 100A² ist die Fläche des großen inneren Quadrats, B² ist die Fläche des kleinen inneren Quadrats, 10A×B ist die Fläche von jedem der beiden Rechtecke. Wenn Sie die Flächen der beschriebenen Figuren addieren, finden Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.