§ 1 Ganze und gebrochene rationale Gleichungen
In dieser Lektion werden wir Konzepte wie eine rationale Gleichung, einen rationalen Ausdruck, einen ganzzahligen Ausdruck, einen Bruchausdruck analysieren. Betrachten Sie die Lösung rationaler Gleichungen.
Eine rationale Gleichung ist eine Gleichung, in der die linke und die rechte Seite rationale Ausdrücke sind.
Rationale Ausdrücke sind:
Bruchteil.
Ein ganzzahliger Ausdruck besteht aus Zahlen, Variablen und ganzzahligen Potenzen unter Verwendung der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine andere Zahl als Null.
Zum Beispiel:
Bei Bruchausdrücken gibt es eine Division durch eine Variable oder einen Ausdruck mit einer Variablen. Zum Beispiel:
Ein Bruchausdruck ist nicht für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Zum Beispiel der Ausdruck
bei x = -9 macht es keinen Sinn, weil bei x = -9 der Nenner gegen Null geht.
Dies bedeutet, dass eine rationale Gleichung ganzzahlig und gebrochen sein kann.
Eine ganzzahlige rationale Gleichung ist eine rationale Gleichung, in der die linke und die rechte Seite ganzzahlige Ausdrücke sind.
Zum Beispiel:
Eine rationale Bruchgleichung ist eine rationale Gleichung, bei der entweder die linke oder die rechte Seite Bruchausdrücke sind.
Zum Beispiel:
§ 2 Lösung einer ganzen rationalen Gleichung
Betrachten Sie die Lösung einer ganzen rationalen Gleichung.
Zum Beispiel:
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner der Nenner der darin enthaltenen Brüche.
Dafür:
1. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Nenner 2, 3, 6. Er ist gleich 6;
2. Finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch. Teilen Sie dazu den gemeinsamen Nenner 6 durch jeden Nenner
zusätzlicher Multiplikator für den Bruch
zusätzlicher Multiplikator für den Bruch
3. Multipliziere die Zähler der Brüche mit den ihnen entsprechenden zusätzlichen Faktoren. Damit erhalten wir die Gleichung
was dieser Gleichung entspricht
Lassen Sie uns die Klammern auf der linken Seite öffnen, den rechten Teil nach links verschieben und das Vorzeichen des Begriffs während der Übertragung in das Gegenteil ändern.
Wir geben ähnliche Terme des Polynoms an und erhalten
Wir sehen, dass die Gleichung linear ist.
Wenn wir es lösen, finden wir, dass x = 0,5.
§ 3 Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung
Betrachten Sie die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung.
Zum Beispiel:
1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner der Nenner der darin enthaltenen rationalen Brüche.
Finden Sie den gemeinsamen Nenner für die Nenner x + 7 und x - 1.
Es ist gleich ihrem Produkt (x + 7)(x - 1).
2. Finden wir einen zusätzlichen Faktor für jeden rationalen Bruch.
Dazu dividieren wir den gemeinsamen Nenner (x + 7) (x - 1) durch jeden Nenner. Zusätzlicher Multiplikator für Brüche
gleich x - 1,
zusätzlicher Multiplikator für den Bruch
gleich x+7.
3. Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen mit ihren entsprechenden zusätzlichen Faktoren.
Wir erhalten die Gleichung (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), die dieser Gleichung entspricht
4. Multiplizieren Sie links und rechts das Binom mit dem Binom und erhalten Sie die folgende Gleichung
5. Wir übertragen den rechten Teil nach links und ändern das Vorzeichen jedes Begriffs, wenn wir ihn zum Gegenteil übertragen:
6. Wir präsentieren ähnliche Mitglieder des Polynoms:
7. Sie können beide Teile durch -1 teilen. Wir erhalten eine quadratische Gleichung:
8. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir die Wurzeln finden
Da in der Gleichung
der linke und der rechte Teil sind Bruchausdrücke, und in Bruchausdrücken kann für einige Werte der Variablen der Nenner verschwinden, dann muss überprüft werden, ob der gemeinsame Nenner nicht verschwindet, wenn x1 und x2 gefunden werden.
Bei x = -27 verschwindet der gemeinsame Nenner (x + 7)(x - 1) nicht, bei x = -1 ist der gemeinsame Nenner auch ungleich Null.
Daher sind beide Wurzeln -27 und -1 Wurzeln der Gleichung.
Beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung ist es besser, den Bereich der zulässigen Werte sofort anzugeben. Eliminieren Sie diejenigen Werte, bei denen der gemeinsame Nenner gegen Null geht.
Betrachten Sie ein weiteres Beispiel für das Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichung lösen
Wir zerlegen den Nenner des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung in Faktoren
Wir bekommen die Gleichung
Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Nenner (x - 5), x, x (x - 5).
Es wird der Ausdruck x (x - 5) sein.
Lassen Sie uns nun den Bereich der zulässigen Werte der Gleichung finden
Dazu setzen wir den gemeinsamen Nenner mit Null x (x - 5) \u003d 0 gleich.
Wir erhalten eine Gleichung, deren Lösung wir feststellen, dass bei x \u003d 0 oder bei x \u003d 5 der gemeinsame Nenner verschwindet.
Also können x = 0 oder x = 5 nicht die Wurzeln unserer Gleichung sein.
Jetzt können Sie zusätzliche Multiplikatoren finden.
Zusätzlicher Multiplikator für rationale Brüche
zusätzlicher Multiplikator für Brüche
wird (x - 5),
und der zusätzliche Faktor des Bruchs
Wir multiplizieren die Zähler mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren.
Wir erhalten die Gleichung x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Öffnen wir die Klammern links und rechts, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Verschieben wir die Terme von rechts nach links, indem wir das Vorzeichen der zu verschiebenden Terme ändern:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Und nachdem wir ähnliche Terme gebracht haben, erhalten wir die quadratische Gleichung x2 - 3x - 10 \u003d 0. Nachdem wir sie gelöst haben, finden wir die Wurzeln x1 \u003d -2; x2 = 5.
Wir haben aber bereits herausgefunden, dass bei x = 5 der gemeinsame Nenner x(x - 5) verschwindet. Daher die Wurzel unserer Gleichung
wird x = -2 sein.
§ 4 Zusammenfassung des Unterrichts
Wichtig zu beachten:
Beim Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen müssen Sie Folgendes tun:
1. Finde den gemeinsamen Nenner der in der Gleichung enthaltenen Brüche. Wenn außerdem die Nenner von Brüchen in Faktoren zerlegt werden können, dann zerlege sie in Faktoren und finde dann den gemeinsamen Nenner.
2. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner: Finden Sie zusätzliche Faktoren, multiplizieren Sie Zähler mit zusätzlichen Faktoren.
3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.
4. Schließen Sie diejenigen von ihren Wurzeln aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen.
Liste der verwendeten Literatur:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Unter der Redaktion von Telyakovsky S.A. Algebra: Lehrbuch. für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen. -M.: Bildung, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. Klasse 8: In zwei Teilen. Teil 1: Proc. für Allgemeinbildung Institutionen. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Unterrichtsentwicklungen in Algebra: Klasse 8. - M.: VAKO, 2010.
- Algebra Klasse 8: Unterrichtspläne nach dem Lehrbuch von Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-Komp. TL Afanasiev, LA Tapilina. - Wolgograd: Lehrer, 2005.
Einfach ausgedrückt sind dies Gleichungen, in denen mindestens eine eine Variable im Nenner hat.
Zum Beispiel:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)
Beispiel nicht Bruchrationale Gleichungen:
\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)
Wie werden gebrochene rationale Gleichungen gelöst?
Das Wichtigste, woran Sie bei gebrochenen rationalen Gleichungen denken sollten, ist, dass Sie in sie schreiben müssen. Und nachdem Sie die Wurzeln gefunden haben, überprüfen Sie diese unbedingt auf Zulässigkeit. Andernfalls können fremde Wurzeln auftreten, und die gesamte Lösung wird als falsch angesehen.
Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung:
Schreiben Sie die ODZ aus und "lösen" Sie sie.
Multipliziere jeden Term in der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner und kürze die resultierenden Brüche. Die Nenner werden verschwinden.
Schreiben Sie die Gleichung ohne öffnende Klammern.
Lösen Sie die resultierende Gleichung.
Überprüfen Sie die gefundenen Wurzeln mit ODZ.
Schreiben Sie als Antwort die Wurzeln auf, die den Test in Schritt 7 bestanden haben.
Merken Sie sich den Algorithmus nicht, 3-5 gelöste Gleichungen - und er wird sich von selbst merken.
Beispiel . Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)
Entscheidung:
Antworten: \(3\).
Beispiel . Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung \(=0\)
Entscheidung:
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Wir schreiben ODZ auf und „lösen“ sie. Erweitern Sie \(x^2+7x+10\) in die Formel: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\) |
Offensichtlich der gemeinsame Nenner von Brüchen: \((x+2)(x+5)\). Wir multiplizieren die ganze Gleichung damit. |
|
|
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) |
Wir kürzen Brüche |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Öffnen der Klammern |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Wir geben ähnliche Bedingungen |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Suche nach den Wurzeln der Gleichung |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\) |
|
Eine der Wurzeln passt nicht unter die ODZ, also schreiben wir als Antwort nur die zweite Wurzel auf. |
Antworten: \(\frac(1)(2)\).
Wir haben die obige Gleichung in § 7 eingeführt. Zuerst erinnern wir uns, was ein rationaler Ausdruck ist. Dies ist ein algebraischer Ausdruck, der sich aus Zahlen und der Variablen x zusammensetzt, wobei die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten verwendet werden.
Wenn r(x) ein rationaler Ausdruck ist, dann heißt die Gleichung r(x) = 0 eine rationale Gleichung.
In der Praxis ist es jedoch bequemer, den Begriff "rationale Gleichung" etwas weiter zu interpretieren: Dies ist eine Gleichung der Form h(x) = q(x), wobei h(x) und q(x) sind rationale Ausdrücke.
Bisher konnten wir keine rationale Gleichung lösen, sondern nur eine, auf die durch verschiedene Transformationen und Überlegungen reduziert wurde lineare Gleichung. Jetzt sind unsere Möglichkeiten viel größer: Wir werden in der Lage sein, eine rationale Gleichung zu lösen, die sich nicht nur auf linear reduziert
mu, sondern auch zur quadratischen Gleichung.
Erinnern Sie sich daran, wie wir zuvor rationale Gleichungen gelöst haben, und versuchen Sie, einen Lösungsalgorithmus zu formulieren.
Beispiel 1 löse die Gleichung
Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um
In diesem Fall verwenden wir wie üblich die Tatsache, dass die Gleichheiten A \u003d B und A - B \u003d 0 dieselbe Beziehung zwischen A und B ausdrücken. Dadurch konnten wir den Term mit dem auf die linke Seite der Gleichung übertragen entgegengesetztem Vorzeichen.
Lassen Sie uns Transformationen der linken Seite der Gleichung durchführen. Wir haben
Erinnern Sie sich an die Gleichheitsbedingungen Brüche Null: genau dann, wenn zwei Relationen gleichzeitig erfüllt sind:
1) der Zähler des Bruchs ist Null (a = 0); 2) der Nenner des Bruchs ist von Null verschieden).
Wenn wir den Zähler des Bruchs auf der linken Seite von Gleichung (1) gleich Null setzen, erhalten wir
Es bleibt die Erfüllung der zweiten oben genannten Bedingung zu prüfen. Das Verhältnis bedeutet für Gleichung (1), dass . Die Werte x 1 = 2 und x 2 = 0,6 erfüllen die angegebenen Beziehungen und dienen daher als Wurzeln der Gleichung (1) und gleichzeitig als Wurzeln der gegebenen Gleichung.
1) Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln
2) Führen wir die Transformationen der linken Seite dieser Gleichung durch:
(gleichzeitig die Vorzeichen im Zähler geändert und
Brüche).
Somit nimmt die gegebene Gleichung die Form an
3) Lösen Sie die Gleichung x 2 - 6x + 8 = 0. Finden Sie
4) Überprüfen Sie für die gefundenen Werte die Bedingung 
. Die Zahl 4 erfüllt diese Bedingung, die Zahl 2 jedoch nicht. Also ist 4 die Wurzel der gegebenen Gleichung und 2 ist eine Fremdwurzel.
Antwort: 4.
2. Lösung rationaler Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen
Die Methode zur Einführung einer neuen Variablen ist Ihnen vertraut, wir haben sie mehr als einmal verwendet. Lassen Sie uns anhand von Beispielen zeigen, wie es zur Lösung rationaler Gleichungen verwendet wird.
Beispiel 3 Löse die Gleichung x 4 + x 2 - 20 = 0.
Entscheidung. Wir führen eine neue Variable y \u003d x 2 ein. Da x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, kann die angegebene Gleichung in der Form umgeschrieben werden
y 2 + y - 20 = 0.
Dies ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln wir mit Hilfe des Bekannten finden werden Formeln; wir bekommen y 1 = 4, y 2 = - 5.
Aber y \u003d x 2, was bedeutet, dass das Problem auf die Lösung von zwei Gleichungen reduziert wurde:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Aus der ersten Gleichung finden wir heraus, dass die zweite Gleichung keine Wurzeln hat.
Antworten: .
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 wird als biquadratische Gleichung bezeichnet („bi“ - zwei, d. h. sozusagen eine „zweifache“ Gleichung). Die gerade gelöste Gleichung war genau biquadratisch. Jede biquadratische Gleichung wird auf die gleiche Weise wie die Gleichung aus Beispiel 3 gelöst: Eine neue Variable y \u003d x 2 wird eingeführt, die resultierende quadratische Gleichung wird in Bezug auf die Variable y gelöst und dann an die Variable x zurückgegeben.
Beispiel 4 löse die Gleichung
Entscheidung. Beachten Sie, dass derselbe Ausdruck x 2 + 3x hier zweimal vorkommt. Daher ist es sinnvoll, eine neue Variable y = x 2 + Zx einzuführen. Dies wird es uns ermöglichen, die Gleichung in einer einfacheren und angenehmeren Form umzuschreiben (was eigentlich der Zweck der Einführung einer neuen ist Variable- und die Aufnahme ist einfacher
, und die Struktur der Gleichung wird klarer):
Und jetzt werden wir den Algorithmus zum Lösen einer rationalen Gleichung verwenden.
1) Lassen Sie uns alle Terme der Gleichung in einen Teil verschieben:
= 0
2) Transformieren wir die linke Seite der Gleichung
Also haben wir die gegebene Gleichung in die Form transformiert
3) Aus der Gleichung - 7y 2 + 29y -4 = 0 finden wir (wir haben schon ziemlich viele quadratische Gleichungen gelöst, daher lohnt es sich wahrscheinlich nicht, immer detaillierte Berechnungen im Lehrbuch anzugeben).
4) Überprüfen wir die gefundenen Nullstellen mit der Bedingung 5 (y - 3) (y + 1). Beide Wurzeln erfüllen diese Bedingung.
Damit ist die quadratische Gleichung für die neue Variable y gelöst: 
Da y \u003d x 2 + Zx und y, wie wir festgestellt haben, zwei Werte annimmt: 4 und - müssen wir noch zwei Gleichungen lösen: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Die Wurzeln der ersten Gleichung sind die Zahlen 1 und - 4, die Wurzeln der zweiten Gleichung sind die Zahlen
In den betrachteten Beispielen war die Methode der Einführung einer neuen Variablen, wie Mathematiker gerne sagen, der Situation angemessen, das heißt, sie entsprach ihr gut. Wieso den? Ja, weil derselbe Ausdruck offensichtlich mehrfach im Gleichungssatz vorkam und es sinnvoll war, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu kennzeichnen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, manchmal "erscheint" eine neue Variable nur im Transformationsprozess. Genau das passiert im nächsten Beispiel.
Beispiel 5 löse die Gleichung
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Entscheidung. Wir haben
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Die gegebene Gleichung kann also umgeschrieben werden als
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Jetzt ist eine neue Variable "erschienen": y = x 2 - Zx.
Mit ihrer Hilfe kann die Gleichung in die Form y (y + 2) \u003d 24 und dann y 2 + 2y - 24 \u003d 0 umgeschrieben werden. Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen 4 und -6.
Zurück zur ursprünglichen Variablen x erhalten wir zwei Gleichungen x 2 - Zx \u003d 4 und x 2 - Zx \u003d - 6. Aus der ersten Gleichung finden wir x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln.
Antwort: 4, - 1.
Machen wir uns mit rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen vertraut, geben ihre Definition, geben Beispiele und analysieren auch die häufigsten Arten von Problemen.
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Rationale Gleichung: Definition und Beispiele
Die Bekanntschaft mit rationalen Ausdrücken beginnt in der 8. Klasse der Schule. Zu dieser Zeit beginnen die Schüler im Algebraunterricht zunehmend, Aufgaben mit Gleichungen zu lösen, die rationale Ausdrücke in ihren Notizen enthalten. Lassen Sie uns unsere Erinnerung an das, was es ist, auffrischen.
Bestimmung 1
rationale gleichung ist eine Gleichung, in der beide Seiten rationale Ausdrücke enthalten.
In diversen Handbüchern findet man eine andere Formulierung.
Bestimmung 2
rationale gleichung- Dies ist eine Gleichung, deren Datensatz auf der linken Seite einen rationalen Ausdruck enthält und der rechte Null enthält.
Die Definitionen, die wir für rationale Gleichungen gegeben haben, sind äquivalent, da sie dasselbe bedeuten. Die Richtigkeit unserer Worte wird durch die Tatsache bestätigt, dass für alle rationalen Ausdrücke P und Q Gleichungen P=Q und P-Q = 0 werden äquivalente Ausdrücke sein.
Wenden wir uns nun den Beispielen zu.
Beispiel 1
Rationale Gleichungen:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Rationale Gleichungen können, genau wie Gleichungen anderer Art, eine beliebige Anzahl von Variablen von 1 bis zu mehreren enthalten. Zunächst betrachten wir einfache Beispiele, bei denen die Gleichungen nur eine Variable enthalten. Und dann fangen wir an, die Aufgabe allmählich zu verkomplizieren.
Rationale Gleichungen werden in zwei große Gruppen unterteilt: ganzzahlig und gebrochen. Mal sehen, welche Gleichungen für jede der Gruppen gelten.
Bestimmung 3
Eine rationale Gleichung ist eine ganze Zahl, wenn der Datensatz ihres linken und rechten Teils ganze rationale Ausdrücke enthält.
Bestimmung 4
Eine rationale Gleichung ist gebrochen, wenn einer oder beide ihrer Teile einen Bruch enthalten.
Bruchrationale Gleichungen enthalten zwangsläufig eine Division durch eine Variable, oder die Variable steht im Nenner. Beim Schreiben ganzzahliger Gleichungen gibt es keine solche Unterteilung.
Beispiel 2
3 x + 2 = 0 und (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sind ganze rationale Gleichungen. Hier werden beide Teile der Gleichung durch ganzzahlige Ausdrücke dargestellt.
1 x - 1 = x 3 und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sind gebrochen rationale Gleichungen.
Ganze rationale Gleichungen umfassen lineare und quadratische Gleichungen.
Ganze Gleichungen lösen
Die Lösung solcher Gleichungen reduziert sich normalerweise auf ihre Transformation in äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann erreicht werden, indem äquivalente Transformationen der Gleichungen gemäß dem folgenden Algorithmus durchgeführt werden:
- zuerst erhalten wir Null auf der rechten Seite der Gleichung, dazu ist es notwendig, den Ausdruck, der sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet, auf die linke Seite zu übertragen und das Vorzeichen zu ändern;
- dann wandeln wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in ein Standardpolynom um.
Wir müssen eine algebraische Gleichung erhalten. Diese Gleichung wird in Bezug auf die ursprüngliche Gleichung äquivalent sein. Einfache Fälle ermöglichen es uns, das Problem zu lösen, indem wir die gesamte Gleichung auf eine lineare oder quadratische reduzieren. Im allgemeinen Fall lösen wir eine algebraische Gradgleichung n.
Beispiel 3
Es ist notwendig, die Wurzeln der gesamten Gleichung zu finden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Entscheidung
Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck umformen, um eine äquivalente algebraische Gleichung zu erhalten. Dazu übertragen wir den auf der rechten Seite der Gleichung enthaltenen Ausdruck auf die linke Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil. Als Ergebnis erhalten wir: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Jetzt werden wir den Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom der Standardform umwandeln und mit diesem Polynom die notwendigen Aktionen ausführen:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Wir haben es geschafft, die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form zu reduzieren x 2 − 5 x − 6 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dies bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln geben wird. Finden wir sie mit der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 oder x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 oder x 2 = - 1
Überprüfen wir die Richtigkeit der Wurzeln der Gleichung, die wir im Zuge der Lösung gefunden haben. Für diese Zahl, die wir erhalten haben, setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 und 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Im ersten Fall 63 = 63 , in dieser Sekunde 0 = 0 . Wurzeln x=6 und x = − 1 sind tatsächlich die Wurzeln der in der Beispielbedingung angegebenen Gleichung.
Antworten: 6 , − 1 .
Schauen wir uns an, was „Macht der gesamten Gleichung“ bedeutet. Wir begegnen diesem Begriff oft dann, wenn wir eine ganze Gleichung in Form einer algebraischen darstellen müssen. Lassen Sie uns das Konzept definieren.
Bestimmung 5
Grad einer ganzzahligen Gleichung ist der Grad einer algebraischen Gleichung, die der ursprünglichen ganzen Gleichung entspricht.
Wenn Sie sich die Gleichungen aus dem obigen Beispiel ansehen, können Sie feststellen: Der Grad dieser ganzen Gleichung ist der zweite.
Beschränkte sich unser Kurs auf das Lösen von Gleichungen zweiten Grades, so könnte die Betrachtung des Themas hier abgeschlossen werden. Aber alles ist nicht so einfach. Das Lösen von Gleichungen dritten Grades ist mit Schwierigkeiten verbunden. Und für Gleichungen über dem vierten Grad gibt es überhaupt keine allgemeinen Formeln für die Wurzeln. In dieser Hinsicht erfordert die Lösung ganzer Gleichungen dritten, vierten und anderen Grades, dass wir eine Reihe anderer Techniken und Methoden anwenden.
Der am häufigsten verwendete Ansatz zum Lösen ganzer rationaler Gleichungen basiert auf der Faktorisierungsmethode. Der Aktionsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:
- wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite, sodass Null auf der rechten Seite des Datensatzes bleibt;
- Wir stellen den Ausdruck auf der linken Seite als Produkt von Faktoren dar und gehen dann zu einer Reihe einfacherer Gleichungen über.
Finde die Lösung der Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
Entscheidung
Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite des Datensatzes auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Die Umwandlung der linken Seite in ein Polynom der Standardform ist unpraktisch, da wir dadurch eine algebraische Gleichung vierten Grades erhalten: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Die Leichtigkeit der Transformation rechtfertigt nicht alle Schwierigkeiten bei der Lösung einer solchen Gleichung.
Es ist viel einfacher, den anderen Weg zu gehen: Wir nehmen den gemeinsamen Faktor heraus x 2 − 10 x + 13 . So kommen wir zu einer Gleichung der Form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Jetzt ersetzen wir die resultierende Gleichung durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 − 10 x + 13 = 0 und x 2 − 2 x − 1 = 0 und finden ihre Wurzeln durch die Diskriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Antworten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
In ähnlicher Weise können wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen verwenden. Diese Methode ermöglicht es uns, zu äquivalenten Gleichungen mit Potenzen zu gelangen, die niedriger sind als die in der ursprünglichen Gesamtgleichung.
Beispiel 5
Hat die Gleichung Wurzeln? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Entscheidung
Wenn wir nun versuchen, eine ganze rationale Gleichung auf eine algebraische zu reduzieren, erhalten wir eine Gleichung vom Grad 4, die keine rationalen Wurzeln hat. Daher ist es für uns einfacher, den anderen Weg zu gehen: eine neue Variable y einzuführen, die den Ausdruck in der Gleichung ersetzt x 2 + 3 x.
Jetzt arbeiten wir mit der ganzen Gleichung (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Wir übertragen die rechte Seite der Gleichung auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen und führen die notwendigen Transformationen durch. Wir bekommen: y 2 + 4 y + 3 = 0. Lassen Sie uns die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden: y = − 1 und y = − 3.
Jetzt machen wir die umgekehrte Substitution. Wir erhalten zwei Gleichungen x 2 + 3 x = − 1 und x 2 + 3 x = - 3 . Schreiben wir sie um als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0. Wir verwenden die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung, um die Wurzeln der ersten erhaltenen Gleichung zu finden: - 3 ± 5 2 . Die Diskriminante der zweiten Gleichung ist negativ. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung keine echten Wurzeln hat.
Antworten:- 3 ± 5 2
Ganzzahlige Gleichungen hohen Grades tauchen recht häufig in Problemen auf. Vor ihnen braucht man keine Angst zu haben. Sie müssen bereit sein, eine nicht standardmäßige Methode zu ihrer Lösung anzuwenden, einschließlich einer Reihe künstlicher Transformationen.
Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen
Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Unterthemas mit einem Algorithmus zum Lösen von gebrochen rationalen Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 , wobei p(x) und q(x) sind ganzzahlige rationale Ausdrücke. Die Lösung anderer gebrochen rationaler Gleichungen kann immer auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form zurückgeführt werden.
Die am häufigsten verwendete Methode zum Lösen von Gleichungen p (x) q (x) = 0 basiert auf der folgenden Aussage: Zahlenbruch du v, wo v ist eine von Null verschiedene Zahl, die nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null ist. Der Logik der obigen Aussage folgend können wir behaupten, dass die Lösung der Gleichung p (x) q (x) = 0 auf die Erfüllung zweier Bedingungen reduziert werden kann: p(x)=0 und q(x) ≠ 0. Darauf aufbauend wird ein Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 aufgebaut:
- wir finden die Lösung der ganzen rationalen Gleichung p(x)=0;
- wir prüfen, ob die Bedingung für die bei der Lösung gefundenen Nullstellen erfüllt ist q(x) ≠ 0.
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann die gefundene Wurzel, wenn nicht, dann ist die Wurzel keine Lösung des Problems.
Beispiel 6
Finden Sie die Nullstellen der Gleichung 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Entscheidung
Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 zu tun, in der p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Beginnen wir mit der Lösung der linearen Gleichung 3 x - 2 = 0. Die Wurzel dieser Gleichung wird sein x = 2 3.
Lassen Sie uns die gefundene Wurzel überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllt 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ersetzen Sie dazu einen numerischen Wert in den Ausdruck. Wir erhalten: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Die Bedingung ist erfüllt. Das bedeutet es x = 2 3 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Antworten: 2 3 .
Es gibt eine weitere Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu lösen. Denken Sie daran, dass diese Gleichung der gesamten Gleichung entspricht p(x)=0über den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Dies erlaubt uns, den folgenden Algorithmus zum Lösen der Gleichungen p(x) q(x) = 0 zu verwenden:
- löse die Gleichung p(x)=0;
- Finden Sie den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x ;
- Wir nehmen die Wurzeln, die im Bereich zulässiger Werte der Variablen x liegen, als gewünschte Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.
Löse die Gleichung x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Entscheidung
Lösen wir zuerst die quadratische Gleichung x 2 − 2 x − 11 = 0. Um seine Wurzeln zu berechnen, verwenden wir die Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten. Wir bekommen D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, und x = 1 ± 2 3 .
Jetzt können wir die ODV von x für die ursprüngliche Gleichung finden. Das sind alles Zahlen für die x 2 + 3 x ≠ 0. Es ist dasselbe wie x (x + 3) ≠ 0, womit x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Lassen Sie uns nun prüfen, ob die in der ersten Stufe der Lösung erhaltenen Wurzeln x = 1 ± 2 3 innerhalb des Bereichs akzeptabler Werte der Variablen x liegen. Wir sehen, was reinkommt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche rationale Bruchgleichung zwei Wurzeln x = 1 ± 2 3 hat.
Antworten: x = 1 ± 2 3
Die zweite beschriebene Lösungsmethode ist einfacher als die erste in Fällen, in denen der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x leicht zu finden ist, und die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational. Zum Beispiel 7 ± 4 26 9 . Wurzeln können rational sein, aber mit einem großen Zähler oder Nenner. Zum Beispiel, 127 1101 und − 31 59 . Dies spart Zeit für die Überprüfung des Zustands. q(x) ≠ 0: Laut ODZ ist es viel einfacher, Wurzeln auszuschließen, die nicht passen.
Wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 ganze Zahlen sind, ist es zweckmäßiger, den ersten der beschriebenen Algorithmen zum Lösen von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 zu verwenden. Schnelleres Finden der Wurzeln einer ganzen Gleichung p(x)=0, und prüfen Sie dann, ob die Bedingung für sie erfüllt ist q(x) ≠ 0, und finden Sie nicht die ODZ, und lösen Sie dann die Gleichung p(x)=0 auf diesem ODZ. Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.
Beispiel 8
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Entscheidung
Wir beginnen mit der Betrachtung der gesamten Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 und seine Wurzeln zu finden. Dazu wenden wir die Methode der Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung an. Es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Gleichung einem Satz von vier Gleichungen entspricht: 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, von denen drei linear sind und einer ist quadratisch. Wir finden die Wurzeln: aus der ersten Gleichung x = 1 2, ab dem zweiten x=6, ab dem dritten - x \u003d 7, x \u003d - 2, ab dem vierten - x = − 1.
Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen. Definiere OHS in dieser Fall es ist schwierig für uns, da wir dazu eine algebraische Gleichung fünften Grades lösen müssen. Es ist einfacher, die Bedingung zu überprüfen, nach der der Nenner des Bruchs, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nicht verschwinden sollte.
Ersetzen Sie wiederum die Wurzeln anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 und berechne seinen Wert:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Die durchgeführte Überprüfung ermöglicht es uns festzustellen, dass die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung 1 2 , 6 und sind − 2 .
Antworten: 1 2 , 6 , - 2
Beispiel 9
Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Entscheidung
Beginnen wir mit der Gleichung (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Finden wir seine Wurzeln. Es ist für uns einfacher, diese Gleichung als Kombination aus quadratischen und linearen Gleichungen darzustellen 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 und x − 2 = 0.
Wir verwenden die Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung, um die Wurzeln zu finden. Wir erhalten zwei Wurzeln x = 7 ± 69 10 aus der ersten Gleichung und aus der zweiten x=2.
Den Wert der Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um die Bedingungen zu überprüfen, wird für uns ziemlich schwierig sein. Es ist einfacher, den LPV der Variablen x zu bestimmen. In diesem Fall ist der DPV der Variablen x alles Zahlen, außer denen, für die die Bedingung erfüllt ist x 2 + 5 x − 14 = 0. Wir erhalten: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Lassen Sie uns nun überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln in den Bereich akzeptabler Werte für die x-Variable gehören.
Die Wurzeln x = 7 ± 69 10 - gehören daher, sie sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2- gehört nicht dazu, daher ist es eine fremde Wurzel.
Antworten: x = 7 ± 69 10 .
Untersuchen wir gesondert die Fälle, in denen der Zähler einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 eine Zahl enthält. Wenn in solchen Fällen der Zähler eine andere Zahl als Null enthält, hat die Gleichung keine Wurzeln. Wenn diese Zahl gleich Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.
Beispiel 10
Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Entscheidung
Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null enthält. Dies bedeutet, dass für alle Werte von x der Wert des Bruchs, der in der Bedingung des Problems angegeben ist, nicht gleich Null ist.
Antworten: Keine Wurzeln.
Beispiel 11
Löse die Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Entscheidung
Da der Zähler des Bruchs Null ist, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiger Wert von x aus der ODZ-Variablen x.
Lassen Sie uns nun die ODZ definieren. Es werden alle x-Werte für die enthalten sein x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Gleichungslösungen x 4 + 5 x 3 = 0 sind 0 und − 5 , da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung ist x 3 (x + 5) = 0, und es ist wiederum äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0 wo diese Wurzeln sichtbar sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass der gewünschte Bereich akzeptabler Werte alle x sind, außer x=0 und x = -5.
Es stellt sich heraus, dass die rationale Bruchgleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0 eine unendliche Anzahl von Lösungen hat, die beliebige Zahlen außer Null und - 5 sind.
Antworten: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Lassen Sie uns nun über gebrochene rationale Gleichungen beliebiger Form und Methoden zu ihrer Lösung sprechen. Sie können geschrieben werden als r(x) = s(x), wo r(x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, und mindestens einer von ihnen ist gebrochen. Die Lösung solcher Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 reduziert.
Wir wissen bereits, dass wir eine äquivalente Gleichung erhalten können, indem wir den Ausdruck von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Das bedeutet, dass die Gleichung r(x) = s(x) entspricht der Gleichung r(x) − s(x) = 0. Wir haben auch schon besprochen, wie man einen rationalen Ausdruck in einen rationalen Bruch umwandelt. Dank dessen können wir die Gleichung leicht umwandeln r(x) − s(x) = 0 in seinen identischen rationalen Bruch der Form p (x) q (x) .
Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung weg r(x) = s(x) zu einer Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 , deren Lösung wir bereits gelernt haben.
Zu beachten ist, dass bei Übergängen aus r(x) − s(x) = 0 zu p (x) q (x) = 0 und dann zu p(x)=0 Wir dürfen die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte der Variablen x nicht berücksichtigen.
Es ist ziemlich realistisch, dass die ursprüngliche Gleichung r(x) = s(x) und Gleichung p(x)=0 infolge der Transformationen werden sie nicht mehr gleichwertig sein. Dann die Lösung der Gleichung p(x)=0 kann uns Wurzeln geben, die fremd sein werden r(x) = s(x). Diesbezüglich ist in jedem Fall eine Überprüfung durch eine der oben beschriebenen Methoden durchzuführen.
Um Ihnen das Studium des Themas zu erleichtern, haben wir alle Informationen in einem Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form verallgemeinert r(x) = s(x):
- wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite mit umgekehrtem Vorzeichen und erhalten rechts Null;
- wir wandeln den ursprünglichen Ausdruck in einen rationalen Bruch p (x) q (x) um, indem wir nacheinander Aktionen mit Brüchen und Polynomen ausführen;
- löse die Gleichung p(x)=0;
- wir enthüllen fremde Nullstellen, indem wir ihre Zugehörigkeit zur ODZ überprüfen oder sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Optisch sieht die Aktionskette wie folgt aus:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → Ausfall r o n d e r o o n s
Beispiel 12
Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung x x + 1 = 1 x + 1 .
Entscheidung
Kommen wir zur Gleichung x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Lassen Sie uns den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in die Form p (x) q (x) umwandeln.
Dazu müssen wir rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den Ausdruck vereinfachen:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Um die Wurzeln der Gleichung zu finden - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, müssen wir die Gleichung lösen − 2 x − 1 = 0. Wir bekommen eine Wurzel x = - 1 2.
Es bleibt uns überlassen, die Überprüfung mit einer der Methoden durchzuführen. Betrachten wir sie beide.
Setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir erhalten - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Wir sind bei der richtigen numerischen Gleichheit angelangt − 1 = − 1 . Das bedeutet es x = − 1 2 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Jetzt werden wir die ODZ durchchecken. Lassen Sie uns den Bereich der akzeptablen Werte für die Variable x bestimmen. Dies ist der gesamte Satz von Zahlen, mit Ausnahme von − 1 und 0 (wenn x = − 1 und x = 0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die Wurzel, die wir haben x = − 1 2 gehört zur ODZ. Dies bedeutet, dass es die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
Antworten: − 1 2 .
Beispiel 13
Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Entscheidung
Wir haben es mit einer gebrochen rationalen Gleichung zu tun. Daher werden wir gemäß dem Algorithmus handeln.
Verschieben wir den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Führen wir die notwendigen Transformationen durch: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Wir kommen zur Gleichung x=0. Die Wurzel dieser Gleichung ist Null.
Prüfen wir, ob diese Wurzel für die ursprüngliche Gleichung fremd ist. Ersetzen Sie den Wert in der ursprünglichen Gleichung: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Wie Sie sehen können, ergibt die resultierende Gleichung keinen Sinn. Dies bedeutet, dass 0 eine irrelevante Wurzel ist und die ursprüngliche rationale Bruchgleichung keine Wurzeln hat.
Antworten: Keine Wurzeln.
Wenn wir keine anderen äquivalenten Transformationen in den Algorithmus aufgenommen haben, bedeutet dies keineswegs, dass sie nicht verwendet werden können. Der Algorithmus ist universell, aber er soll helfen, nicht einschränken.
Beispiel 14
Löse die Gleichung 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Entscheidung
Der einfachste Weg ist, die gegebene gebrochene rationale Gleichung gemäß dem Algorithmus zu lösen. Aber es gibt einen anderen Weg. Betrachten wir es.
Subtrahieren Sie vom rechten und linken Teil 7, erhalten wir: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem Kehrwert der Zahl von der rechten Seite sein sollte, also 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Subtrahiere von beiden Teilen 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analog 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, woraus 1 5 - x 2 \u003d 1 3 und weiter 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Lassen Sie uns überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.
Antworten: x = ± 2
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Wir reden weiter Lösung von Gleichungen. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf rationale Gleichungen und Prinzipien zum Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, welche Art von Gleichungen rational genannt werden, eine Definition von ganzzahligen rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen geben und Beispiele geben. Außerdem werden wir Algorithmen zur Lösung rationaler Gleichungen erhalten und natürlich die Lösungen typischer Beispiele mit allen notwendigen Erklärungen betrachten.
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Basierend auf den erklingenden Definitionen geben wir einige Beispiele für rationale Gleichungen. Beispielsweise sind x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , alle rationale Gleichungen.
Aus den gezeigten Beispielen ist ersichtlich, dass rationale Gleichungen sowie Gleichungen anderer Art entweder mit einer Variablen oder mit zwei, drei usw. Variablen. In den folgenden Abschnitten werden wir über das Lösen rationaler Gleichungen in einer Variablen sprechen. Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen und ihre große Zahl verdienen besondere Aufmerksamkeit.
Neben der Division rationaler Gleichungen durch die Anzahl der unbekannten Variablen werden sie auch in ganzzahlige und gebrochene Gleichungen unterteilt. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.
Definition.
Die rationale Gleichung wird aufgerufen ganz, wenn sowohl der linke als auch der rechte Teil ganzzahlige rationale Ausdrücke sind.
Definition.
Wenn mindestens einer der Teile einer rationalen Gleichung ein Bruchausdruck ist, wird eine solche Gleichung aufgerufen teilweise rational(oder gebrochen rational).
Es ist klar, dass ganzzahlige Gleichungen keine Division durch eine Variable enthalten, im Gegenteil, gebrochene rationale Gleichungen enthalten notwendigerweise eine Division durch eine Variable (oder eine Variable im Nenner). Also 3 x+2=0 und (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 sind ganze rationale Gleichungen, ihre beiden Teile sind ganzzahlige Ausdrücke. A und x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sind Beispiele für gebrochen rationale Gleichungen.
Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Absatzes darauf achten, dass lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen, die zu diesem Zeitpunkt bekannt sind, ganze rationale Gleichungen sind.
Ganze Gleichungen lösen
Einer der Hauptansätze zum Lösen ganzer Gleichungen ist ihre Reduktion auf Äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann immer durch Ausführen der folgenden äquivalenten Transformationen der Gleichung erfolgen:
- zuerst wird der Ausdruck von der rechten Seite der ursprünglichen Ganzzahlgleichung mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf die linke Seite übertragen, um auf der rechten Seite Null zu erhalten;
- danach auf der linken Seite der Gleichung die resultierende Standardform.
Das Ergebnis ist eine algebraische Gleichung, die der ursprünglichen Gesamtgleichung entspricht. In den einfachsten Fällen wird die Lösung ganzer Gleichungen auf die Lösung linearer oder quadratischer Gleichungen und im allgemeinen Fall auf die Lösung einer algebraischen Gleichung des Grades n reduziert. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Lösung des Beispiels analysieren.
Beispiel.
Finde die Wurzeln der ganzen Gleichung 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.
Entscheidung.
Reduzieren wir die Lösung dieser ganzen Gleichung auf die Lösung einer äquivalenten algebraischen Gleichung. Dazu übertragen wir zunächst den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke, als Ergebnis kommen wir zur Gleichung 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Und zweitens wandeln wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck in ein Polynom der Standardform um, indem wir das Notwendige tun: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Somit wird die Lösung der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung x 2 – 5·x – 6 = 0 reduziert.
Berechnen Sie ihre Diskriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, sie ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat, die wir durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden:
Um ganz sicher zu sein, lass es uns tun Überprüfung der gefundenen Wurzeln der Gleichung. Zuerst überprüfen wir die Wurzel 6 und ersetzen sie anstelle der Variablen x in der ursprünglichen Ganzzahlgleichung: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, was dasselbe ist, 63=63 . Dies ist eine gültige numerische Gleichung, also ist x=6 tatsächlich die Wurzel der Gleichung. Jetzt prüfen wir die Wurzel −1 , wir haben 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, womit 0=0 . Für x=−1 wurde die ursprüngliche Gleichung auch zu einer echten numerischen Gleichheit, daher ist x=−1 auch die Wurzel der Gleichung.
Antworten:
6 , −1 .
An dieser Stelle sei noch angemerkt, dass der Begriff „Potenz einer ganzen Gleichung“ mit der Darstellung einer ganzen Gleichung in Form einer algebraischen Gleichung verbunden ist. Wir geben die entsprechende Definition:
Definition.
Der Grad der gesamten Gleichung nennen wir den Grad einer algebraischen Gleichung, der ihr äquivalent ist.
Nach dieser Definition hat die gesamte Gleichung aus dem vorherigen Beispiel den zweiten Grad.
Darauf könnte man mit der Lösung ganzer rationaler Gleichungen abschließen, wenn nicht für eine, aber .... Bekanntlich ist die Lösung algebraischer Gleichungen höheren Grades als zweiter mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, und für Gleichungen höheren Grades als viertem gibt es überhaupt keine allgemeinen Formeln für Wurzeln. Um ganze Gleichungen dritten, vierten und höheren Grades zu lösen, muss man daher oft auf andere Lösungsmethoden zurückgreifen.
In solchen Fällen basiert manchmal der Ansatz auf der Lösung ganzer rationaler Gleichungen Faktorisierungsmethode. Dabei wird folgender Algorithmus befolgt:
- zuerst versuchen sie, Null auf der rechten Seite der Gleichung zu haben, dazu übertragen sie den Ausdruck von der rechten Seite der gesamten Gleichung auf die linke;
- dann wird der resultierende Ausdruck auf der linken Seite als Produkt mehrerer Faktoren dargestellt, wodurch Sie zu einem Satz mehrerer einfacherer Gleichungen gelangen können.
Der obige Algorithmus zur Lösung der gesamten Gleichung durch Faktorisierung bedarf einer ausführlichen Erläuterung anhand eines Beispiels.
Beispiel.
Löse die ganze Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Entscheidung.
Zuerst übertragen wir wie üblich den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung, ohne zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern, erhalten wir (x 2 – 1) (x 2 – 10 x+13) – 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Es ist hier ganz offensichtlich, dass es nicht ratsam ist, die linke Seite der resultierenden Gleichung in ein Polynom der Standardform umzuwandeln, da dies eine algebraische Gleichung vierten Grades der Form ergibt x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, deren Lösung schwierig ist.
Andererseits ist es offensichtlich, dass x 2 −10·x+13 auf der linken Seite der resultierenden Gleichung zu finden ist und somit als Produkt dargestellt wird. Wir haben (x 2 – 10 x + 13) (x 2 – 2 x – 1) = 0. Die resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen Gesamtgleichung und kann wiederum durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 – 10·x + 13 = 0 und x 2 – 2·x – 1 = 0 ersetzt werden. Ihre Wurzeln mit den bekannten Wurzelformeln durch die Diskriminante zu finden ist nicht schwierig, die Wurzeln sind gleich. Sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.
Antworten:
Es ist auch nützlich, um ganze rationale Gleichungen zu lösen. Methode zur Einführung einer neuen Variablen. In einigen Fällen ermöglicht es einen, zu Gleichungen überzugehen, deren Grad niedriger ist als der Grad der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung.
Beispiel.
Finden Sie die wahren Wurzeln einer rationalen Gleichung (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Entscheidung.
Diese ganze rationale Gleichung auf eine algebraische Gleichung zu reduzieren, ist, gelinde gesagt, keine sehr gute Idee, da wir in diesem Fall auf die Notwendigkeit stoßen werden, eine Gleichung vierten Grades zu lösen, die keine rationalen Wurzeln hat. Daher müssen Sie nach einer anderen Lösung suchen.
Hier sieht man leicht, dass man eine neue Variable y einführen und den Ausdruck x 2 +3 x damit ersetzen kann. Eine solche Ersetzung führt uns auf die gesamte Gleichung (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , die nach Übertragung des Ausdrucks −2 (y−4) auf die linke Seite und anschließender Transformation des dort gebildeten Ausdrucks entsteht , reduziert sich auf die Gleichung y 2 +4 y+3=0 . Die Nullstellen dieser Gleichung y=−1 und y=−3 sind leicht zu finden, sie können zum Beispiel basierend auf dem inversen Theorem von Vietas Theorem gefunden werden.
Kommen wir nun zum zweiten Teil der Methode zur Einführung einer neuen Variablen, also zur Durchführung einer umgekehrten Substitution. Nach Durchführung der umgekehrten Substitution erhalten wir zwei Gleichungen x 2 +3 x=−1 und x 2 +3 x=−3 , die umgeschrieben werden können als x 2 +3 x+1=0 und x 2 +3 x+3 =0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir die Wurzeln der ersten Gleichung. Und die zweite quadratische Gleichung hat keine echten Wurzeln, da ihre Diskriminante negativ ist (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).
Antworten:
Wenn wir es mit ganzen Gleichungen hohen Grades zu tun haben, müssen wir im Allgemeinen immer bereit sein, nach einer nicht standardmäßigen Methode oder einer künstlichen Technik zu ihrer Lösung zu suchen.
Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen
Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wie man gebrochen rationale Gleichungen der Form löst, wobei p(x) und q(x) rationale ganzzahlige Ausdrücke sind. Und dann zeigen wir, wie man die Lösung der verbleibenden gebrochen rationalen Gleichungen auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form reduziert.
Einer der Ansätze zur Lösung der Gleichung basiert auf der folgenden Aussage: Der numerische Bruch u/v, wobei v eine Zahl ungleich Null ist (sonst stoßen wir auf , was nicht definiert ist), ist genau dann gleich Null, wenn sein Zähler gleich Null ist, dann ist, wenn und nur wenn u=0 . Aufgrund dieser Aussage reduziert sich die Lösung der Gleichung auf die Erfüllung zweier Bedingungen p(x)=0 und q(x)≠0 .
Diese Schlussfolgerung stimmt mit der folgenden überein Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung. Eine gebrochene rationale Gleichung der Form lösen
- löse die ganze rationale Gleichung p(x)=0 ;
- und prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für jede gefundene Nullstelle erfüllt ist, while
- wenn wahr, dann ist diese Wurzel die Wurzel der ursprünglichen Gleichung;
- Wenn nicht, dann ist diese Wurzel fremd, das heißt, sie ist nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Analysieren wir ein Beispiel für die Verwendung des stimmhaften Algorithmus beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung.
Beispiel.
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.
Entscheidung.
Dies ist eine gebrochen rationale Gleichung der Form , wobei p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .
Gemäß dem Algorithmus zum Lösen derartiger gebrochen rationaler Gleichungen müssen wir zunächst die Gleichung 3·x−2=0 lösen. Dies ist eine lineare Gleichung, deren Wurzel x=2/3 ist.
Es bleibt, diese Nullstelle zu prüfen, dh zu prüfen, ob sie die Bedingung 5·x 2 −2≠0 erfüllt. Wir setzen die Zahl 2/3 anstelle von x in den Ausdruck 5 x 2 −2 ein, wir erhalten . Die Bedingung ist erfüllt, also ist x=2/3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Antworten:
2/3 .
Die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung kann von einer etwas anderen Position aus angegangen werden. Diese Gleichung ist äquivalent zur gesamten Gleichung p(x)=0 auf der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Das heißt, Sie können dem folgen Algorithmus zum Lösen einer gebrochen rationalen Gleichung :
- löse die Gleichung p(x)=0 ;
- finde ODZ-Variable x ;
- Nehmen Sie die Wurzeln, die zum Bereich der zulässigen Werte gehören - sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.
Lassen Sie uns zum Beispiel eine gebrochene rationale Gleichung mit diesem Algorithmus lösen.
Beispiel.
Löse die Gleichung.
Entscheidung.
Zuerst lösen wir die quadratische Gleichung x 2 −2·x−11=0 . Seine Wurzeln können mit der Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten berechnet werden, wir haben D 1 = (–1) 2 –1 (–11)=12, und .
Zweitens finden wir die ODZ der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung. Sie besteht aus allen Zahlen, für die x 2 +3 x≠0 , was dasselbe x (x+3)≠0 ist, womit x≠0 , x≠−3 .
Es bleibt zu prüfen, ob die im ersten Schritt gefundenen Wurzeln in der ODZ enthalten sind. Natürlich ja. Daher hat die ursprüngliche gebrochen rationale Gleichung zwei Wurzeln.
Antworten:
Beachten Sie, dass dieser Ansatz rentabler ist als der erste, wenn die ODZ leicht zu finden ist, und dass er besonders vorteilhaft ist, wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational sind, z. B. , oder rational, aber mit einem ziemlich großen Zähler und/oder Nenner, zum Beispiel 127/1101 und -31/59 . Dies liegt daran, dass in solchen Fällen die Überprüfung der Bedingung q(x)≠0 erheblichen Rechenaufwand erfordert und es einfacher ist, fremde Wurzeln aus der ODZ auszuschließen.
In anderen Fällen ist es beim Lösen der Gleichung, insbesondere wenn die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0 ganze Zahlen sind, vorteilhafter, den ersten der obigen Algorithmen zu verwenden. Das heißt, es ist ratsam, sofort die Wurzeln der gesamten Gleichung p(x)=0 zu finden und dann zu prüfen, ob die Bedingung q(x)≠0 für sie erfüllt ist, und nicht die ODZ zu finden und dann die Gleichung zu lösen p(x)=0 auf dieser ODZ . Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.
Betrachten Sie die Lösung von zwei Beispielen, um die festgelegten Nuancen zu veranschaulichen.
Beispiel.
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.
Entscheidung.
Zuerst finden wir die Wurzeln der ganzen Gleichung (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zusammengesetzt aus dem Zähler des Bruchs. Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Produkt und die rechte Seite ist Null, daher ist diese Gleichung gemäß der Methode zum Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung äquivalent zu dem Satz von vier Gleichungen 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Drei dieser Gleichungen sind linear und eine quadratisch, wir können sie lösen. Aus der ersten Gleichung finden wir x=1/2, aus der zweiten - x=6, aus der dritten - x=7, x=−2, aus der vierten - x=−1.
Mit den gefundenen Wurzeln ist es ziemlich einfach, sie zu überprüfen, um zu sehen, ob der Nenner des Bruchs, der sich auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung befindet, nicht verschwindet, und es ist nicht so einfach, die ODZ zu bestimmen, da diese gelöst werden muss eine algebraische Gleichung fünften Grades. Daher werden wir uns weigern, die ODZ zu finden, um die Wurzeln zu überprüfen. Dazu ersetzen wir sie wiederum anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, erhalten nach Substitution, und vergleiche sie mit Null: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0
;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (–2)+112=–720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Somit sind 1/2, 6 und –2 die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung, und 7 und –1 sind fremde Wurzeln.
Antworten:
1/2 , 6 , −2 .
Beispiel.
Finden Sie die Wurzeln einer gebrochenen rationalen Gleichung.
Entscheidung.
Zuerst finden wir die Wurzeln der Gleichung (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Diese Gleichung ist äquivalent zu einem Satz von zwei Gleichungen: dem Quadrat 5·x 2 −7·x−1=0 und dem linearen x−2=0 . Nach der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir zwei Wurzeln und aus der zweiten Gleichung haben wir x=2.
Zu prüfen, ob der Nenner bei den gefundenen Werten von x nicht verschwindet, ist eher unangenehm. Und den Bereich akzeptabler Werte der Variablen x in der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen, ist ziemlich einfach. Daher werden wir über die ODZ agieren.
In unserem Fall besteht die ODZ der Variablen x der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung aus allen Zahlen, außer denen, für die die Bedingung x 2 +5·x−14=0 erfüllt ist. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind x=−7 und x=2, woraus wir auf die ODZ schließen: Sie besteht aus allen x, so dass .
Es bleibt zu prüfen, ob die gefundenen Nullstellen und x=2 in den Bereich zulässiger Werte gehören. Die Wurzeln - gehören dazu, also sind sie die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2 gehört nicht dazu, also ist es eine fremde Wurzel.
Antworten:
Es wird auch nützlich sein, separat auf Fälle einzugehen, in denen eine rationale Bruchgleichung der Form eine Zahl im Zähler enthält, dh wenn p (x) durch eine Zahl dargestellt wird. Dabei
- wenn diese Zahl von Null verschieden ist, dann hat die Gleichung keine Wurzeln, da der Bruch genau dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist;
- Wenn diese Zahl Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.
Beispiel.
Entscheidung.
Da im Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null steht, kann für kein x der Wert dieses Bruchs gleich Null sein. Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.
Antworten:
Keine Wurzeln.
Beispiel.
Löse die Gleichung.
Entscheidung.
Der Zähler des Bruchs auf der linken Seite dieser rationalen Bruchgleichung ist null, also ist der Wert dieses Bruchs null für jedes x, für das es Sinn macht. Mit anderen Worten, die Lösung dieser Gleichung ist ein beliebiger Wert von x aus dem DPV dieser Variablen.
Es bleibt, diesen Bereich akzeptabler Werte zu bestimmen. Es enthält alle solche Werte x, für die x 4 +5 x 3 ≠0. Die Lösungen der Gleichung x 4 +5 x 3 \u003d 0 sind 0 und –5, da diese Gleichung der Gleichung x 3 (x + 5) \u003d 0 entspricht und ihrerseits der Kombination entspricht von zwei Gleichungen x 3 \u003d 0 und x +5=0 , von wo aus diese Wurzeln sichtbar sind. Daher ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte jedes x , mit Ausnahme von x=0 und x=−5 .
Somit hat eine gebrochen rationale Gleichung unendlich viele Lösungen, die beliebige Zahlen außer null und minus fünf sind.
Antworten:
Schließlich ist es an der Zeit, über das Lösen beliebiger gebrochener rationaler Gleichungen zu sprechen. Sie können als r(x)=s(x) geschrieben werden, wobei r(x) und s(x) rationale Ausdrücke sind und mindestens einer von ihnen gebrochen ist. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir, dass ihre Lösung auf das Lösen von Gleichungen der uns bereits bekannten Form reduziert ist.
Es ist bekannt, dass die Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen zu einer äquivalenten Gleichung führt, also ist die Gleichung r(x)=s(x) äquivalent zur Gleichung r(x)−s (x)=0 .
Wir wissen auch, dass any diesem Ausdruck identisch sein kann. Wir können also den rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung r(x)−s(x)=0 immer in einen identisch gleichen rationalen Bruch der Form umwandeln.
Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x) zur Gleichung über, und ihre Lösung, wie wir oben herausgefunden haben, reduziert sich auf die Lösung der Gleichung p(x)=0 .
Aber hier muss berücksichtigt werden, dass beim Ersetzen von r(x)−s(x)=0 durch und dann durch p(x)=0 der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x erweitert werden kann .
Daher sind die ursprüngliche Gleichung r(x)=s(x) und die Gleichung p(x)=0 , zu der wir gekommen sind, möglicherweise nicht äquivalent, und durch Lösen der Gleichung p(x)=0 können wir Wurzeln erhalten das sind fremde Wurzeln der ursprünglichen Gleichung r(x)=s(x) . Es ist möglich, fremde Wurzeln zu identifizieren und nicht in die Antwort aufzunehmen, entweder durch Überprüfen oder durch Überprüfen ihrer Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung.
Wir fassen diese Informationen in zusammen Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung r(x)=s(x). Um die gebrochene rationale Gleichung r(x)=s(x) zu lösen, muss man
- Erhalten Sie Null auf der rechten Seite, indem Sie den Ausdruck von der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen verschieben.
- Führen Sie Aktionen mit Brüchen und Polynomen auf der linken Seite der Gleichung aus und wandeln Sie sie dadurch in einen rationalen Bruch der Form um.
- Lösen Sie die Gleichung p(x)=0 .
- Identifizieren und schließen Sie Fremdwurzeln aus, indem Sie sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen oder ihre Zugehörigkeit zur ODZ der ursprünglichen Gleichung überprüfen.
Zur besseren Übersicht zeigen wir die gesamte Lösungskette für gebrochene rationale Gleichungen:
.
Lassen Sie uns die Lösungen einiger Beispiele mit einer detaillierten Erklärung der Lösung durchgehen, um den gegebenen Informationsblock zu verdeutlichen.
Beispiel.
Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung.
Entscheidung.
Wir werden gemäß dem soeben erhaltenen Lösungsalgorithmus handeln. Und zuerst übertragen wir die Terme von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite, als Ergebnis gehen wir zur Gleichung über.
Im zweiten Schritt müssen wir den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der resultierenden Gleichung in die Form eines Bruchs umwandeln. Dazu führen wir die Reduktion rationaler Brüche auf einen gemeinsamen Nenner durch und vereinfachen den resultierenden Ausdruck: . Damit kommen wir zur Gleichung.
Im nächsten Schritt müssen wir die Gleichung −2·x−1=0 lösen. Finde x=−1/2 .
Es bleibt zu prüfen, ob die gefundene Zahl −1/2 eine Fremdwurzel der ursprünglichen Gleichung ist. Dazu können Sie die ODZ-Variable x der ursprünglichen Gleichung überprüfen oder finden. Lassen Sie uns beide Ansätze demonstrieren.
Beginnen wir mit einem Scheck. Wir setzen die Zahl −1/2 anstelle der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung ein, wir erhalten , was dasselbe ist, −1=−1. Die Substitution ergibt die korrekte numerische Gleichheit, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Nun zeigen wir, wie der letzte Schritt des Algorithmus durch die ODZ durchgeführt wird. Der Bereich der zulässigen Werte der ursprünglichen Gleichung ist die Menge aller Zahlen außer −1 und 0 (wenn x=−1 und x=0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die im vorherigen Schritt gefundene Wurzel x=−1/2 gehört zur ODZ, daher ist x=−1/2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.
Antworten:
−1/2 .
Betrachten wir ein weiteres Beispiel.
Beispiel.
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.
Entscheidung.
Wir müssen eine gebrochen rationale Gleichung lösen, gehen wir alle Schritte des Algorithmus durch.
Zuerst übertragen wir den Term von der rechten Seite auf die linke, wir erhalten .
Zweitens transformieren wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck: . Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x=0 .
Seine Wurzel ist offensichtlich - es ist Null.
Im vierten Schritt bleibt herauszufinden, ob die gefundene Wurzel nicht außerhalb der ursprünglichen gebrochen rationalen Gleichung liegt. Wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, wird der Ausdruck erhalten. Offensichtlich macht es keinen Sinn, da es eine Division durch Null enthält. Daraus schließen wir, dass 0 eine fremde Wurzel ist. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.
7 , was zu der Gleichung führt . Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem der rechten Seite sein muss, also . Nun subtrahieren wir von beiden Teilen des Tripels: . Analog von wo und weiter.
Die Überprüfung zeigt, dass beide gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung sind.
Antworten:
Referenzliste.
- Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
