Wenn die Funktion f(x) hat ein Intervall, das einen Punkt enthält a, Ableitungen aller Ordnungen, dann lässt sich darauf die Taylor-Formel anwenden:
wo rn- der sogenannte Residualterm oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:
, wobei die Zahl x dazwischen eingeschlossen ist X und a.
Wenn für einen gewissen Wert xr n®0 bei n®¥, dann geht die Taylor-Formel für diesen Wert im Grenzfall in eine konvergente Formel über Taylor-Reihe:
Also die Funktion f(x) kann an der betrachteten Stelle zu einer Taylorreihe entwickelt werden X, wenn:
1) es hat Ableitungen aller Aufträge;
2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.
Bei a=0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:
Beispiel 1 f(x)= 2x.
Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x In2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f¢¢(x) = 2x In 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 Protokoll 2 2 = Protokoll 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe einsetzen, erhalten wir:
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Erweiterung für -¥<x<+¥.
Beispiel 2 X+4) für die Funktion f(x)= e x.
Lösung. Bestimmung der Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle X=-4.
f(x)= z x, f(-4) = z -4 ;
f¢(x)= z x, f¢(-4) = z -4 ;
f¢¢(x)= z x, f¢¢(-4) = z -4 ;
f(n)(x)= z x, f(n)( -4) = z -4 .
Daher hat die gesuchte Taylorreihe der Funktion die Form:
Diese Zerlegung gilt auch für -¥<x<+¥.
Beispiel 3 . Funktion erweitern f(x)=ln x in einer Reihe nach Grad ( X- 1),
(also in einer Taylorreihe in der Nähe des Punktes X=1).
Lösung. Wir finden die Ableitungen dieser Funktion.
Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:
Mit Hilfe des d'Alembert-Tests kann man überprüfen, ob die Reihe wann konvergiert
½ X- 1½<1. Действительно,
Die Reihe konvergiert, falls ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Bei X=0 Funktion ist nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).
Stellen wir uns die so erhaltenen Entwicklungen in der Maclaurin-Reihe vor (also in einer Umgebung des Punktes X=0) für einige elementare Funktionen:
(2) 
,
(3) 
,
( die letzte Erweiterung wird aufgerufen Binomialreihe)
Beispiel 4 . Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe
Lösung. In Zerlegung (1) ersetzen wir X auf der - X 2 erhalten wir:
Beispiel 5
. Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe 
Lösung. Wir haben 
Mit Formel (4) können wir schreiben:
ersetzen statt X in die Formel -X, wir bekommen:
Von hier aus finden wir:
Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme kürzen, erhalten wir
Diese Reihe konvergiert im Intervall
(-1;1), da sie aus zwei Reihen abgeleitet ist, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.
Kommentar .
Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. zur Entwicklung von Funktionen in positive ganzzahlige Potenzen ( Ha). Dazu müssen solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchgeführt werden, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in denen anstelle von X kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl ist, m eine positive ganze Zahl ist. Es ist oft bequem, die Variable zu ändern t=Ha und erweitern Sie die resultierende Funktion in Bezug auf t in der Maclaurin-Reihe.
Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die zu derselben Funktion konvergieren würden, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.
Beispiel 6 . Erweitern Sie die Funktion in einer Taylor-Reihe in der Umgebung eines Punktes X=3.
Lösung. Dieses Problem kann nach wie vor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktionen und ihre Werte bei zu finden X=3. Es ist jedoch einfacher, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:
Die resultierende Reihe konvergiert bei 
oder -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Beispiel 7
. Schreiben Sie eine Taylorreihe in Potenzen ( X-1) Funktionen 
.
Lösung.
Die Reihe konvergiert bei 
, oder 2< x£5.
16.1. Erweiterung elementarer Funktionen in Taylorreihen und
Maclaurin
Zeigen wir das, wenn eine beliebige Funktion auf der Menge definiert ist 
, in der Nähe des Punktes 
hat viele Ableitungen und ist die Summe einer Potenzreihe:
dann können Sie die Koeffizienten dieser Reihe finden.
Einsetzen in eine Potenzreihe 
. Dann 
.
Finden Sie die erste Ableitung der Funktion 
:
Bei 
:
.
Für die zweite Ableitung erhalten wir:
Bei 
:
.
Fortsetzung dieses Verfahrens n sobald wir bekommen: 
.
Damit erhalten wir eine Potenzreihe der Form:
,
Was heisst in der nähe von taylor für Funktion 
um den Punkt 
.
Ein Spezialfall der Taylor-Reihe ist Maclaurin-Reihe bei 
:
Der Rest der Taylor (Maclaurin)-Reihe wird durch Verwerfen der Hauptreihe erhalten n die ersten Terme und wird als bezeichnet 
. Dann die Funktion 
kann als Summe geschrieben werden n die ersten Mitglieder der Reihe 
und der Rest 
:,
.
Der Rest ist in der Regel 
in verschiedenen Formeln ausgedrückt.
Einer von ihnen ist in der Lagrange-Form:
, wo 
.
.
Beachten Sie, dass in der Praxis die Maclaurin-Reihe häufiger verwendet wird. Also, um die Funktion zu schreiben 
in Form einer Summe einer Potenzreihe ist es notwendig:
1) Finden Sie die Koeffizienten der Maclaurin (Taylor)-Reihe;
2) finde den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe;
3) beweisen, dass die gegebene Reihe gegen die Funktion konvergiert 
.
Satz1
(eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Maclaurin-Reihe). Sei der Konvergenzradius der Reihe 
. Damit diese Reihe im Intervall konvergiert 
Funktionieren 
, ist es notwendig und ausreichend, dass die folgende Bedingung erfüllt ist: 
innerhalb des angegebenen Intervalls.
Satz 2. Wenn Ableitungen beliebiger Ordnung einer Funktion 
in irgendeinem Intervall 
im absoluten Wert auf die gleiche Zahl begrenzt M, also 
, dann in diesem Intervall die Funktion 
kann in einer Maclaurin-Serie erweitert werden.
Beispiel1
.
Erweitern Sie in einer Taylor-Reihe um den Punkt 
Funktion.
Lösung.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Konvergenzgebiet 
.
Beispiel2
.
Funktion erweitern 
in einer Taylor-Reihe um einen Punkt 
.
Lösung:
Wir finden den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Ersetzen Sie diese Werte hintereinander. Wir bekommen:
oder 
.
Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe. Nach dem d'Alembert-Test konvergiert die Reihe, wenn
.
Daher für jeden 
Diese Grenze ist kleiner als 1, und daher wird der Konvergenzbereich der Reihe sein: 
.
Betrachten wir einige Beispiele der Erweiterung in die Maclaurin-Reihe grundlegender elementarer Funktionen. Denken Sie daran, dass die Maclaurin-Reihe:
.
konvergiert im Intervall 
Funktionieren 
.
Beachten Sie, dass zum Erweitern der Funktion in eine Reihe Folgendes erforderlich ist:
a) Finden Sie die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe für eine gegebene Funktion;
b) Berechnen Sie den Konvergenzradius für die resultierende Reihe;
c) Beweisen Sie, dass die resultierende Reihe gegen die Funktion konvergiert 
.
Beispiel 3 Betrachten Sie die Funktion 
.
Lösung.
Berechnen wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen für 
.
Dann haben die Zahlenkoeffizienten der Reihe die Form:
für jeden n. Wir ersetzen die gefundenen Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten: 
Finden Sie den Konvergenzradius der resultierenden Reihe, nämlich:
.
Daher konvergiert die Reihe auf dem Intervall 
.
Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion 
für beliebige Werte 
, weil in jedem Intervall 
Funktion 
und seine absoluten Ableitungen sind durch die Anzahl begrenzt 
.
Beispiel4
.
Betrachten Sie die Funktion 
.
Lösung.
:
Es ist leicht zu sehen, dass Ableitungen gerader Ordnung 
, und Ableitungen ungerader Ordnung. Wir ersetzen die gefundenen Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten die Entwicklung:
Finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe. Laut d'Alembert:
für jeden 
. Daher konvergiert die Reihe auf dem Intervall 
.
Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion 
, weil alle seine Ableitungen auf eine beschränkt sind.
Beispiel5
.
.
Lösung.
Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei 
:
Somit sind die Koeffizienten dieser Reihe: 
und 
, Folglich:
Ähnlich wie bei der vorherigen Serie der Bereich der Konvergenz 
. Die Reihe konvergiert gegen die Funktion 
, weil alle seine Ableitungen auf eine beschränkt sind.
Beachten Sie, dass die Funktion 
ungerade und Reihenentwicklung in ungeraden Potenzen, Funktion 
– gerade und Erweiterung in einer Reihe in geraden Potenzen.
Beispiel6
.
Binomialreihe: 
.
Lösung.
Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei 
:
Dies zeigt, dass:
Wir ersetzen diese Werte der Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten die Entwicklung dieser Funktion in einer Potenzreihe:
Finden wir den Konvergenzradius dieser Reihe:
Daher konvergiert die Reihe auf dem Intervall 
. An den Grenzpunkten bei 
und 
Reihen können je nach Exponent konvergieren oder nicht 
.
Die untersuchte Reihe konvergiert im Intervall 
Funktionieren 
, also die Summe der Reihe 
bei 
.
Beispiel7
.
Lassen Sie uns die Funktion in einer Maclaurin-Reihe erweitern 
.
Lösung.
Um diese Funktion zu einer Reihe zu erweitern, verwenden wir die Binomialreihe für 
. Wir bekommen: 
Basierend auf der Eigenschaft der Potenzreihe (eine Potenzreihe kann im Bereich ihrer Konvergenz integriert werden) finden wir das Integral des linken und rechten Teils dieser Reihe:
Finden Sie den Konvergenzbereich dieser Reihe: 
,
das heißt, der Konvergenzbereich dieser Reihe ist das Intervall 
. Bestimmen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Bei 
. Diese Reihe ist eine harmonische Reihe, d. h. sie divergiert. Bei 
wir erhalten eine Zahlenreihe mit einem gemeinsamen Begriff 
.
Die Leibniz-Reihe konvergiert. Der Konvergenzbereich dieser Reihe ist also das Intervall 
.
16.2. Anwendung von Potenzreihen in Näherungsrechnungen
Potenzreihen spielen bei Näherungsrechnungen eine äußerst wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe wurden Tabellen trigonometrischer Funktionen, Logarithmentabellen, Wertetabellen anderer Funktionen erstellt, die in verschiedenen Wissensgebieten verwendet werden, beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der mathematischen Statistik. Darüber hinaus ist die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen für ihr theoretisches Studium nützlich. Das Hauptproblem bei der Verwendung von Potenzreihen in Näherungsrechnungen ist die Frage der Fehlerabschätzung beim Ersetzen der Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten Reihe n Mitglieder.
Betrachten Sie zwei Fälle:
die Funktion wird zu einer alternierenden Reihe erweitert;
die Funktion wird zu einer Reihe konstanter Vorzeichen erweitert.
Berechnung mit alternierenden Reihen
Lassen Sie die Funktion 
zu einer Wechselleistungsreihe erweitert. Dann bei der Berechnung dieser Funktion für einen bestimmten Wert 
wir erhalten eine Zahlenreihe, auf die wir den Leibniz-Test anwenden können. Nach diesem Kriterium, wenn die Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten ersetzt wird n Mitglieder, dann überschreitet der absolute Fehler nicht den ersten Term des Rests dieser Reihe, das heißt: 
.
Beispiel8
.
Berechnung 
mit einer Genauigkeit von 0,0001.
Lösung.
Wir werden die Maclaurin-Reihe für verwenden 
, Ersetzen des Wertes des Winkels im Bogenmaß:
Wenn wir das erste und zweite Glied der Reihe mit einer gegebenen Genauigkeit vergleichen, dann: .
Dritter Erweiterungsterm:
weniger als die angegebene Berechnungsgenauigkeit. Daher zu berechnen 
es genügt, zwei Glieder der Reihe stehen zu lassen, d.h.
.
Auf diese Weise 
.
Beispiel9
.
Berechnung 
mit einer Genauigkeit von 0,001.
Lösung.
Wir verwenden die Binomialreihenformel. Dafür schreiben wir 
als: 
.
In diesem Ausdruck 
,
Vergleichen wir jeden der Terme der Reihe mit der gegebenen Genauigkeit. Es ist klar, dass 
. Daher zu berechnen 
Es reicht aus, drei Mitglieder der Serie zu verlassen.
oder 
.
Berechnung mit vorzeichenpositiven Reihen
Beispiel10
.
Zahl berechnen 
mit einer Genauigkeit von 0,001.
Lösung.
In einer Reihe für eine Funktion 
Ersatz 
. Wir bekommen:
Schätzen wir den Fehler ab, der entsteht, wenn die Summe der Reihen durch die Summe der ersten ersetzt wird 
Mitglieder. Schreiben wir die offensichtliche Ungleichung auf:
d.h. 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Je nach Zustand des Problems müssen Sie suchen n so dass die folgende Ungleichung gilt: 
oder 
.
Das Wann lässt sich leicht überprüfen n= 6:
.
Folglich, 
.
Beispiel11
.
Berechnung 
mit einer Genauigkeit von 0,0001.
Lösung.
Beachten Sie, dass Sie zur Berechnung der Logarithmen die Reihe für die Funktion anwenden könnten 
, aber diese Reihe konvergiert sehr langsam und es müssten 9999 Terme genommen werden, um die angegebene Genauigkeit zu erreichen! Daher wird zur Berechnung von Logarithmen in der Regel eine Reihe für die Funktion verwendet 
, die auf dem Intervall konvergiert 
.
Berechnen 
mit dieser Reihe. Lassen 
, dann 
.
Folglich, 
,
Um zu rechnen 
Bilden Sie mit einer gegebenen Genauigkeit die Summe der ersten vier Terme: 
.
Der Rest der Reihe 
verwerfen. Lassen Sie uns den Fehler schätzen. Es ist klar, dass 
oder 
.
In der Reihe, die zur Berechnung verwendet wurde, reichte es also aus, nur die ersten vier Terme statt 9999 in die Reihe für die Funktion zu nehmen 
.
Fragen zur Selbstdiagnose
1. Was ist eine Taylor-Reihe?
2. Welche Art von Serie hatte Maclaurin?
3. Formulieren Sie einen Satz über die Entwicklung einer Funktion in einer Taylorreihe.
4. Schreiben Sie die Erweiterung in die Maclaurin-Reihe der Hauptfunktionen.
5. Geben Sie die Konvergenzbereiche der betrachteten Reihe an.
6. Wie schätzt man den Fehler bei Näherungsrechnungen mit Potenzreihen ab?
Studenten der höheren Mathematik sollten sich darüber im Klaren sein, dass die Summe einiger Potenzreihen, die zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehören, eine stetige und unbegrenzt oft differenzierte Funktion ist. Es stellt sich die Frage: Kann man behaupten, dass eine gegebene beliebige Funktion f(x) die Summe einiger Potenzreihen ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann die Funktion f(x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung dieser Frage liegt darin, dass es möglich ist, die Funktion f(x) näherungsweise durch die Summe der ersten Glieder der Potenzreihe, also durch ein Polynom, zu ersetzen. Ein solches Ersetzen einer Funktion durch einen ziemlich einfachen Ausdruck - ein Polynom - ist auch praktisch, wenn einige Probleme gelöst werden, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Rechnen usw.
Es ist bewiesen, dass für einige Funktionen f(x), in denen Ableitungen bis zur (n + 1)-ten Ordnung, einschließlich der letzten, berechnet werden können, in der Nachbarschaft (α - R; x 0 + R) von einigen liegt Punkt x = α Formel:
Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brook Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen erhalten wird, heißt Maclaurin-Reihe:
Die Regel, die es ermöglicht, in einer Maclaurin-Reihe zu expandieren:
- Bestimmen Sie die Ableitungen der ersten, zweiten, dritten ... Ordnung.
- Berechnen Sie die Ableitungen bei x=0.
- Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
- Bestimmen Sie das Intervall (-R;R), wobei der Rest der Maclaurin-Formel ist
R n (x) -> 0 für n -> unendlich. Wenn eine existiert, muss die darin enthaltene Funktion f(x) mit der Summe der Maclaurin-Reihe übereinstimmen.
Betrachten Sie nun die Maclaurin-Serie für einzelne Funktionen.
1. Das erste ist also f(x) = e x. Natürlich hat eine solche Funktion je nach ihren Merkmalen Ableitungen sehr unterschiedlicher Ordnungen und f (k) (x) \u003d e x, wobei k alles ist Lassen Sie uns x \u003d 0 ersetzen. Wir erhalten f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Basierend auf dem Vorstehenden sieht die Reihe e x so aus:
2. Die Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = sin x. Stellen Sie sofort klar, dass die Funktion für alle Unbekannten neben f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), wobei k gleich einer beliebigen natürlichen Zahl ist. Das heißt, durch einfache Berechnungen können wir darauf schließen die Reihe für f(x) = sin x sieht dann so aus:
3. Versuchen wir nun, die Funktion f(x) = cos x zu betrachten. Es hat Ableitungen beliebiger Ordnung für alle Unbekannten und |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Wir haben also die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die in der Maclaurin-Reihe erweitert werden können, aber sie werden für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Teil der Praxis des Lösens von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also, Taylor-Reihe.
1. Die erste wird eine Reihe für f-ii f (x) = ln (1 + x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir bei f (x) = ln (1 + x) eine Reihe hinzufügen, indem wir die allgemeine Form der Maclaurin-Reihe verwenden. für diese Funktion ist die Maclaurin-Serie jedoch viel einfacher erhältlich. Nach Integration einer bestimmten geometrischen Reihe erhalten wir eine Reihe für f (x) = ln (1 + x) einer solchen Stichprobe:
2. Und die zweite, die in unserem Artikel endgültig sein wird, wird eine Serie für f (x) \u003d arctg x sein. Für x im Intervall [-1;1] gilt die Entwicklung:
Das ist alles. In diesem Artikel wurden die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere an wirtschaftlichen und technischen Universitäten, betrachtet.
Wenn die Funktion f(x) Ableitungen aller Ordnungen auf einem Intervall hat, das den Punkt a enthält, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:
,
wo rn- der sogenannte Residualterm oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden: 
, wobei die Zahl x zwischen x und a liegt.
Eingaberegeln für Funktionen:
Wenn für einen gewissen Wert X rn→0 bei n→∞, dann geht die Taylorformel für diesen Wert im Limes in die Konvergente über Taylor-Reihe:
,
Damit lässt sich die Funktion f(x) am betrachteten Punkt x zu einer Taylorreihe entwickeln, wenn:
1) es hat Ableitungen aller Aufträge;
2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.
Für a = 0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:
,
Erweiterung der einfachsten (elementaren) Funktionen in der Maclaurin-Reihe:
Exponentialfunktionen
, R=∞
Trigonometrische Funktionen 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Die Funktion actgx expandiert nicht in Potenzen von x, weil ctg0=∞
Hyperbolische Funktionen
Logarithmische Funktionen
, -1
Binomiale Reihe
.
Beispiel 1. Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe f(x)= 2x.
Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x In2, f"( 0)
= 2 0
ln2=ln2;
f""(x) = 2x In 2 2, f""( 0)
= 2 0
Protokoll 2 2 = Protokoll 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe einsetzen, erhalten wir:
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Entwicklung für -∞<x<+∞.
Beispiel #2. Schreiben Sie eine Taylorreihe in Potenzen ( X+4) für die Funktion f(x)= e x.
Lösung. Bestimmung der Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle X=-4.
f(x)= z x, f(-4)
= z -4
;
f"(x)= z x, f"(-4)
= z -4
;
f""(x)= z x, f""(-4)
= z -4
;
…
f(n)(x)= z x, f(n)( -4)
= z -4
.
Daher hat die gesuchte Taylorreihe der Funktion die Form:
Diese Entwicklung gilt auch für -∞<x<+∞.
Beispiel #3. Funktion erweitern f(x)=ln x in einer Reihe nach Grad ( X- 1),
(also in einer Taylorreihe in der Nähe des Punktes X=1).
Lösung. Wir finden die Ableitungen dieser Funktion.
f(x)=lnx , , , , 
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:
Mit Hilfe des d'Alembert-Tests kann man verifizieren, dass die Reihe bei ½x-1½ konvergiert<1 . Действительно,
Die Reihe konvergiert, falls ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Für x=0 ist die Funktion nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).
Beispiel Nr. 4. Erweitern Sie die Funktion in einer Potenzreihe. Beispiel Nummer 5. Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe Kommentar
.
Diese Methode basiert auf dem Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die zu derselben Funktion konvergieren würden, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird. Beispiel Nr. 5a. Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe, geben Sie den Konvergenzbereich an. Der Bruch 3/(1-3x) kann als Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge mit einem Nenner von 3x angesehen werden, wenn |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Beispiel Nummer 6. Entwickeln Sie die Funktion in eine Taylorreihe in der Nähe des Punktes x = 3. Beispiel Nummer 7. Schreiben Sie eine Taylorreihe in Potenzen (x -1) der Funktion ln(x+2) . Beispiel Nummer 8. Erweitern Sie die Funktion f(x)=sin(πx/4) in einer Taylorreihe um den Punkt x =2. Beispiel 1. Berechnen Sie ln(3) auf 0,01 genau. Beispiel #2. Rechne auf 0,0001 genau. Beispiel #3. Berechnen Sie das Integral ∫ 0 1 4 sin (x) x auf 10 -5 genau. Beispiel Nr. 4. Berechnen Sie das Integral ∫ 0 1 4 e x 2 auf 0,001 genau.
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Lösung. In Zerlegung (1) ersetzen wir x durch -x 2, wir erhalten:
, -∞
.
Lösung. Wir haben
Mit Formel (4) können wir schreiben:
Wenn wir x in der Formel -x ersetzen, erhalten wir:
Von hier aus finden wir: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme kürzen, erhalten wir
. Diese Reihe konvergiert im Intervall (-1;1), da sie aus zwei Reihen gewonnen wird, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.
Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. zur Entwicklung von Funktionen in positive ganzzahlige Potenzen ( Ha). Dazu müssen solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchgeführt werden, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in denen anstelle von X kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl ist, m eine positive ganze Zahl ist. Es ist oft bequem, die Variable zu ändern t=Ha und erweitern Sie die resultierende Funktion in Bezug auf t in der Maclaurin-Reihe.
Lösung. Zuerst finden wir 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , . 
bis Grundschule:
mit Konvergenzbereich |x|< 1/3.
Lösung. Dieses Problem kann nach wie vor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktionen und ihre Werte bei zu finden X=3. Es ist jedoch einfacher, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:
=
Die resultierende Reihe konvergiert bei oder -3
Lösung.
Die Reihe konvergiert bei , oder -2< x < 5.
Lösung. Machen wir den Ersatz t=x-2:
Unter Verwendung von Erweiterung (3), in der wir x durch π / 4 t ersetzen, erhalten wir:
Die resultierende Reihe konvergiert bei -∞ gegen die gegebene Funktion< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Näherungsrechnungen mit Potenzreihen
Potenzreihen werden häufig in ungefähren Berechnungen verwendet. Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer bestimmten Genauigkeit die Werte von Wurzeln, trigonometrischen Funktionen, Logarithmen von Zahlen und bestimmten Integralen berechnen. Reihen werden auch bei der Integration von Differentialgleichungen verwendet.
Betrachten Sie die Erweiterung der Funktion in einer Potenzreihe:
Den ungefähren Wert einer Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen X, die zum Konvergenzbereich der angegebenen Reihe gehören, die erste n Mitglieder ( n ist eine endliche Zahl), und die restlichen Terme werden verworfen:
Um den Fehler des erhaltenen Näherungswerts abzuschätzen, ist es erforderlich, das verworfene Residuum r n (x) abzuschätzen. Dazu werden die folgenden Methoden verwendet:
Lösung. Lassen Sie uns die Dekomposition verwenden, wobei x=1/2 (siehe Beispiel 5 im vorherigen Thema):
Prüfen wir, ob wir den Rest nach den ersten drei Gliedern der Entwicklung verwerfen können, dazu werten wir ihn mit der Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge aus:
Also können wir diesen Rest verwerfen und erhalten
Lösung. Verwenden wir die Binomialreihe. Da 5 3 die nächste ganzzahlige Kubikzahl von 130 ist, ist es ratsam, die Zahl 130 als 130=5 3 +5 darzustellen. 
da der vierte Term der erhaltenen vorzeichenwechselnden Reihe, der den Leibniz-Test erfüllt, bereits kleiner als die geforderte Genauigkeit ist:
, sodass es und die darauf folgenden Begriffe verworfen werden können.
Viele praktisch notwendige bestimmte oder uneigentliche Integrale können nicht mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet werden, da ihre Anwendung mit der Suche nach einer Stammfunktion verbunden ist, die häufig keinen Ausdruck in elementaren Funktionen hat. Es kommt auch vor, dass das Finden einer Stammfunktion möglich, aber unnötig mühsam ist. Wird der Integrand jedoch zu einer Potenzreihe entwickelt und gehören die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe, so ist eine näherungsweise Berechnung des Integrals mit vorgegebener Genauigkeit möglich.
Lösung. Das entsprechende unbestimmte Integral kann nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt werden, d.h. ist ein "unmögliches Integral". Die Newton-Leibniz-Formel kann hier nicht angewendet werden. Berechnen wir das Integral näherungsweise.
Term für Term dividiert die Reihe für die Sünde x auf der x, wir bekommen: 
Integriert man diese Reihe Glied für Glied (dies ist möglich, da die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören), erhält man:
Da die resultierende Reihe die Bedingungen von Leibniz erfüllt und es genügt, die Summe der ersten beiden Terme zu bilden, um den gewünschten Wert mit einer bestimmten Genauigkeit zu erhalten.
So finden wir 
.
Lösung.
. Prüfen wir, ob wir den Rest nach dem zweiten Glied der resultierenden Reihe verwerfen können.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
