Im Laufe der historischen Entwicklung haben sie natürlich lange Zeit addiert und vermehrt, ohne sich der Gesetzmäßigkeiten bewusst zu sein, denen diese Operationen unterliegen. Erst in den 20er und 30er Jahren des vorigen Jahrhunderts haben hauptsächlich französische und englische Mathematiker die grundlegenden Eigenschaften dieser Operationen herausgefunden. Wer sich näher mit der Geschichte dieses Themas vertraut machen möchte, dem kann ich hier, wie ich es im Folgenden noch mehrfach tun werde, die große „Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften“ empfehlen.

Um auf unser Thema zurückzukommen, möchte ich nun tatsächlich die fünf Grundgesetze aufzählen, auf die sich die Addition reduziert:

1) stellt immer eine Zahl dar, mit anderen Worten, die Addition ist ausnahmslos immer durchführbar (im Gegensatz zur Subtraktion, die im Bereich positiver Zahlen nicht immer durchführbar ist);

2) der Betrag ist immer eindeutig bestimmt;

3) es gibt ein kombinatorisches oder assoziatives Gesetz: , sodass die Klammern ganz weggelassen werden können;

4) Es gibt ein Kommutativ- oder Kommutativgesetz:

5) Es gilt das Gesetz der Monotonie: wenn, dann.

Diese Eigenschaften sind ohne weitere Erklärung verständlich, wenn wir eine visuelle Darstellung der Zahl als Größe vor Augen haben. Sie müssen aber streng formal ausgedrückt werden, damit man sich bei der weiteren streng logischen Entwicklung der Theorie auf sie verlassen kann.

Was die Multiplikation betrifft, gibt es zunächst fünf Gesetze, die den gerade aufgeführten ähneln:

1) es gibt immer eine Zahl;

2) das Produkt ist eindeutig,

3) Kombinationsgesetz:

4) das Gesetz der Mobilität:

5) Gesetz der Monotonie: wenn, dann

Schließlich wird der Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation durch das sechste Gesetz hergestellt:

6) das Gesetz der Verteilung oder Distributivität:

Es ist leicht zu verstehen, dass alle Berechnungen ausschließlich auf diesen 11 Gesetzen basieren. Ich werde mich auf ein einfaches Beispiel beschränken, beispielsweise die Multiplikation der Zahl 7 mit 12;

nach dem Verteilungsgesetz

In dieser kurzen Diskussion werden Sie natürlich die einzelnen Schritte erkennen, die wir beim Rechnen im Dezimalsystem durchführen. Ich überlasse es Ihnen, die komplexeren Beispiele selbst herauszufinden. Hier geben wir nur ein zusammenfassendes Ergebnis wieder: Unsere digitalen Berechnungen bestehen in der erneuten Anwendung der oben aufgeführten elf Grundbestimmungen sowie in der Anwendung der auswendig gelernten Ergebnisse von Operationen mit einstelligen Zahlen (der Additionstabelle und der Multiplikationstabelle). .

Doch wo finden die Gesetze der Monotonie Anwendung? Bei gewöhnlichen, formalen Berechnungen verlassen wir uns eigentlich nicht auf sie, aber bei Problemen etwas anderer Art erweisen sie sich als notwendig. Ich möchte Sie hier an eine Methode erinnern, die beim Dezimalzählen als Schätzen des Wertes des Produkts und des Quotienten bezeichnet wird. Dies ist eine Technik von größter praktischer Bedeutung, die in der Schule und bei den Schülern leider noch nicht ausreichend bekannt ist, obwohl man gelegentlich schon in der zweiten Klasse darüber spricht; Ich beschränke mich hier auf ein Beispiel. Nehmen wir an, wir müssen 567 mit 134 multiplizieren, und bei diesen Zahlen werden die Ziffern der Einheiten – etwa durch physikalische Messungen – nur sehr ungenau ermittelt. In diesem Fall wäre es völlig sinnlos, das Produkt mit völliger Genauigkeit zu berechnen, da uns eine solche Berechnung immer noch nicht den genauen Wert der Zahl garantiert, die uns interessiert. Aber was für uns wirklich wichtig ist, ist, die Größenordnung des Produkts zu kennen, also zu bestimmen, innerhalb welcher Zehner- oder Hunderterzahl die Zahl liegt. Aber das Gesetz der Monotonie gibt Ihnen diese Schätzung tatsächlich direkt, denn daraus folgt, dass die erforderliche Zahl zwischen 560-130 und 570-140 liegt. Die weitere Ausgestaltung dieser Überlegungen überlasse ich wiederum Ihnen selbst.

Auf jeden Fall sieht man, dass man bei „Schätzrechnungen“ ständig die Gesetze der Monotonie anwenden muss.

Was die tatsächliche Anwendung all dieser Dinge im Schulunterricht betrifft, kann von einer systematischen Darstellung aller dieser Grundgesetze der Addition und Multiplikation keine Rede sein. Der Lehrer kann sich nur mit den Gesetzen der Kombination, Kommutierung und Verteilung befassen, und auch dann nur, wenn er zu wörtlichen Berechnungen übergeht und diese heuristisch aus einfachen und klaren numerischen Beispielen ableitet.

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Folienunterschriften:

10.22.15 Coole Arbeit

Finden Sie die Länge des Segments AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a

11 + 16 = 27 (Früchte) 16 + 11 = 27 (Früchte) Ändert sich die Gesamtzahl der Früchte, wenn die Begriffe neu angeordnet werden? Mascha sammelte 11 Äpfel und 16 Birnen. Wie viele Früchte waren in Maschas Korb?

Bilden Sie einen Buchstabenausdruck, um die verbale Aussage festzuhalten: „Die Summe ändert sich nicht durch Umordnen der Terme“ a + b = b + a Kommutatives Additionsgesetz

(5 + 7) + 3 = 15 (Spielzeug) Welche Zählmethode ist einfacher? Mascha schmückte den Weihnachtsbaum. Sie hat 5 Weihnachtskugeln, 7 Tannenzapfen und 3 Sterne aufgehängt. Wie viele Spielsachen hat Mascha aufgehängt? (7 + 3) + 5 =15 (Spielzeug)

Bilden Sie einen Buchstabenausdruck, um die verbale Aussage aufzuzeichnen: „Um einen dritten Term zur Summe zweier Terme hinzuzufügen, können Sie die Summe des zweiten und dritten Termes zum ersten Term addieren“ (a + b) + c = a + (b + c) Kombinationsgesetz der Addition

Zählen wir: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Lernen wir schnell zu zählen !

Gelten für die Multiplikation die gleichen Gesetze wie für die Addition? a b = b a (a b) c = a (b c)

b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b= b a S = 12 15 = 15 12 = 180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Kommutatives Gesetz der Multiplikation Kombiniertes Gesetz der Multiplikation

Lass uns zählen: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Lass uns schnell zählen lernen!

THEMA DER LEKTION: Womit arbeiten wir in der heutigen Lektion? Formulieren Sie das Thema der Lektion.

212 (1. Spalte), 214(a,b,c), 231, 230 In der Klasse Hausaufgabe 212 (2. Spalte), 214(d,e,f), 253

Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Die Entwicklung einer Lektion in Mathematik in der 5. Klasse „Gesetze arithmetischer Operationen“ umfasst eine Textdatei und eine Präsentation für die Lektion. In dieser Lektion werden die kommutativen und assoziativen Gesetze wiederholt und eingeführt...

Gesetze arithmetischer Operationen

Diese Präsentation ist zur Hälfte vorbereitet für eine Mathematikstunde in der 5. Klasse zum Thema „Gesetze arithmetischer Operationen“ (Lehrbuch von I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)....

Eine Lektion zum Erlernen neuer Materialien mit ESM....

Gesetze arithmetischer Operationen

Die Präsentation wurde erstellt, um eine Unterrichtsstunde der 5. Klasse zum Thema „Arithmetische Operationen mit ganzen Zahlen“ visuell zu begleiten. Es stellt eine Auswahl von Aufgaben zur allgemeinen und eigenständigen Lösung dar...

Unterrichtsentwicklung Mathematik 5. Klasse Gesetze der arithmetischen Operationen

Unterrichtsentwicklung Mathematik 5. Klasse Gesetze der arithmetischen Operationen Nr. Struktur der Anmerkung Inhalt der Anmerkung 1231 Vollständiger Name Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Position, Unterrichtsfach Ma...

18.-19. Oktober 2010

Thema: „GESETZE DER ARITHMETISCHEN OPERATIONEN“

Ziel: Führen Sie die Schüler in die Gesetze arithmetischer Operationen ein.

Lernziele:

Verwenden Sie konkrete Beispiele, um die kommutativen und assoziativen Gesetze der Addition und Multiplikation aufzuzeigen, und lehren Sie, sie bei der Vereinfachung von Ausdrücken anzuwenden.

die Fähigkeit entwickeln, Ausdrücke zu vereinfachen;

Arbeit an der Entwicklung des logischen Denkens und Sprechens bei Kindern;

kultivieren Sie Unabhängigkeit, Neugier und Interesse am Thema.

UUD: die Fähigkeit, mit symbolischen Symbolen zu handeln,

die Fähigkeit, Gründe, Vergleichskriterien, Vergleich, Bewertung und Klassifizierung von Objekten auszuwählen.

Ausrüstung: Lehrbuch, Berufsbildung, Präsentation

Reis. 30 Abb. 31

Erklären Sie anhand von Abbildung 30, warum die Gleichung wahr ist

a + b = b + a.

Diese Gleichheit drückt die Eigenschaft der Addition aus, die Sie kennen. Versuchen Sie sich zu erinnern, welches.

Teste dich selbst:

Durch eine Änderung der Stellen der Begriffe ändert sich die Summe nicht

Diese Eigenschaft ist kommutatives Additionsgesetz.

Welche Gleichheit kann gemäß Abbildung 31 geschrieben werden? Welche Additionseigenschaft drückt diese Gleichheit aus?

Teste dich selbst.

Aus Abbildung 31 folgt (a + b) + c = a + (b + c): Wenn Sie der Summe zweier Terme einen dritten Term hinzufügen, erhalten Sie die gleiche Zahl, als würden Sie die Summe des zweiten und dritten Termes zum ersten Term addieren.

Anstelle von (a + b) + c, genau wie | Anstelle von a + (b + c) können Sie auch einfach a + b + c schreiben.

Diese Eigenschaft ist Kombinationsgesetz der Addition.

In der Mathematik werden die Gesetze arithmetischer Operationen wie folgt geschrieben: | verbale Form und in Form von Gleichheiten mit Buchstaben:

Erklären Sie, wie die folgenden Berechnungen mithilfe der Additionsgesetze vereinfacht werden können, und führen Sie sie durch:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Erklären Sie anhand von Abbildung 32, warum die Gleichung wahr ist ab = B A.

Können Sie erraten, welches Gesetz diese Gleichheit verdeutlicht? Kann man das denn sagen?

Gelten für die Multiplikation die gleichen Gesetze wie für die Addition? Versuchen Sie, sie zu formulieren

und dann teste dich selbst:

Berechnen Sie mithilfe der Multiplikationsgesetze mündlich die Werte der folgenden Ausdrücke:

214. a) 76 · 5 · 2; c) 69 · 125 · 8; e) 8 941 125; B C

b) 465 · 25 · 4; d) 4 213 5 5; e) 2 5 126 4 25.

215. Finden Sie die Fläche des Rechtecks A B C D(Abb. 33) auf zwei Arten.

216. Erklären Sie anhand von Abbildung 34, warum die Gleichheit wahr ist: a(b + c) = ab + ac.

Reis. 34 Welche Eigenschaft arithmetischer Operationen drückt es aus?

Teste dich selbst. Diese Gleichheit veranschaulicht die folgende Eigenschaft: Wenn Sie eine Zahl mit einer Summe multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die resultierenden Ergebnisse addieren.

Diese Eigenschaft lässt sich auch anders formulieren: die Summe zweier oder mehrerer Produkte, die denselben Faktor enthalten, kann durch das Produkt dieses Faktors und der Summe der übrigen Faktoren ersetzt werden.

Diese Eigenschaft ist ein weiteres Gesetz arithmetischer Operationen - verteilend. Wie Sie sehen, ist die verbale Formulierung dieses Gesetzes sehr umständlich und die mathematische Sprache ist das Mittel, um es prägnant und verständlich zu machen:

Überlegen Sie, wie Sie die Berechnungen in den Aufgaben Nr. 217 – 220 mündlich durchführen und lösen Sie diese.

217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 · 16 + 38 · 16;

b) 85 47 + 53 85; e) 85 · 44 + 44 · 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.

221. Machen Sie eine Zeichnung in Ihrem Notizbuch, um die Gleichheit zu beweisen A ( B - c) = a B - Ass

222. Berechnen Sie mündlich mit dem Verteilungsgesetz: a) 6 · 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

223. Berechnen Sie mündlich: a) 34 84 – 24 84; c) 51,78 – 51,58;

b) 45 · 40 – 40 · 25; d) 63 7 – 7 33

224 Berechnen Sie: a) 560 · 188 – 880 · 56; c) 490 730 – 73 900;

b) 84 670 – 640 67; d) 36 3400 – 360 140.

Berechnen Sie mündlich mit den Ihnen bekannten Techniken:

225. a) 13 · 5 + 71 · 5; c) 87 · 5 – 23 · 5; e) 43 · 25 + 25 · 17;

b) 58 · 5 – 36 · 5; d) 48 · 5 + 54 · 5; e) 25 67 – 39 25.

226. Vergleichen Sie die Bedeutung der Ausdrücke, ohne Berechnungen durchzuführen:

a) 258 · (764 + 548) und 258 · 764 + 258 · 545; c) 532 · (618 – 436) und 532 · 618 –532 · 436;

b) 751· (339 + 564) und 751·340 + 751·564; d) 496 · (862 – 715) und 496 · 860 – 496 · 715.

227. Füllen Sie die Tabelle aus:

War es notwendig, Berechnungen anzustellen, um die zweite Zeile auszufüllen?

228. Wie verändert sich dieses Produkt, wenn die Faktoren wie folgt geändert werden:

229. Schreiben Sie auf, welche natürlichen Zahlen auf dem Koordinatenstrahl liegen:

a) links von der Zahl 7; c) zwischen den Nummern 2895 und 2901;

b) zwischen den Zahlen 128 und 132; d) rechts von der Zahl 487, aber links von der Zahl 493.

230. Fügen Sie Aktionszeichen ein, um die richtige Gleichheit zu erhalten: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;

b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.

231 . In einer Schachtel sind die Socken blau und in der anderen weiß. Es gibt 20 Paar blaue Socken mehr als weiße und insgesamt sind es 84 Lari Socken in zwei Kartons. Wie viele Paar Socken jeder Farbe?

232 . Der Laden führt drei Getreidesorten: Buchweizen, Graupen und Reis, insgesamt 580 kg. Wenn 44 kg Buchweizen, 18 kg Graupen und 29 kg Reis verkauft würden, wäre die Masse aller Getreidearten gleich. Wie viele Kilogramm sind von jeder Getreidesorte im Laden erhältlich?