Formeln

ZYLINDERVOLUMEN

KEGELVOLUMEN

VOLUMEN DES KEGELSTUMMELS

BALLVOLUMEN

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Formeln zur Berechnung des Volumens: Kugel, Kugelsektor, Kugelschicht, Kugelsektor und Kugelfläche

• Die Fläche einer Kugel ist:

S=4 π R 2 ,

wobei R der Radius der Kugel ist

• Das Volumen der Kugel beträgt:

V = 1 ⅓ π R 3 = 4/3 π R 3

wobei R der Radius der Kugel ist

• Das Volumen des Kugelsegments ist gleich:

V = π h 2 (R - ⅓ h) ,

wobei R der Radius der Kugel und h die Höhe des Segments ist

• Das Volumen der Kugelschicht ist gleich:

V = V 1 – v 2 ,

wobei V 1 das Volumen eines Kugelsegments und V 2 das Volumen des zweiten Kugelsegments ist

• Das Volumen des Kugelsektors ist gleich:

V = ⅔ π R 2 h ,

wobei R der Radius der Kugel und h die Höhe des Kugelsegments ist

Theoretisches Diktat

Variante 1

Ergänzen Sie die fehlenden Wörter im Text .

• Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist …………………… die Senkrechte, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene fällt.

2. Der Mittelpunkt des Balls ist sein ………………….……. Symmetrie.

3. Der Axialschnitt der Kugel ist ………………………….

4. Die Schnittlinien der beiden Kugeln sind …………………

5. Ebenen mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt schneiden den Ball in ……………... Kreisen.

6. Neben jeder regulären Pyramide kann eine Kugel beschrieben werden, deren Zentrum auf ……………… .. der Pyramide liegt.

Base

Center

ein Kreis

Kreis

gleich

Höhe

Theoretisches Diktat

Option 2

Flugzeug

Kreis

Höhe

aufrecht

berühren

Höhe

Karte Nr. 1

Eine Ebene senkrecht zum Durchmesser der Kugel teilt ihre Teile 3 cm und 9 cm. Finden Sie das Volumen der Kugel?

288 Pcm³

Karte Nr. 2

Zwei gleiche Kugeln werden so angeordnet, dass der Mittelpunkt der einen auf der Oberfläche der anderen liegt. Wie verhält sich das Volumen des gemeinsamen Teils der Kugeln zum Volumen der ganzen Kugel?

5 / 16

Karte Nr. 3

Welcher Teil des Kugelvolumens ist das Volumen des Kugelsegments, dessen Höhe 0,1 des Kugeldurchmessers entspricht, also 20 cm?

Aufgabe 1

Das Volumen einer Kugel mit Radius R ist gleich V . Finden Sie: das Volumen einer Kugel mit Radius: a) 2 R b) 0,5 R

Aufgabe Nr. 2

Wie groß ist das Volumen des Kugelsektors, wenn der Radius des Grundkreises 60 cm und der Radius der Kugel 75 cm beträgt?

SCHNELL UND KURZ ANTWORTEN AUF DIE FRAGEN SCHREIBEN:

• Wie viele Sphären können gehalten werden:

a) durch denselben Kreis;

b) durch einen Kreis und einen Punkt, der nicht zu seiner Ebene gehört?

2. Wie viele Kugeln können durch vier Punkte gezogen werden, die Eckpunkte sind:

a) ein Quadrat

b) ein gleichschenkliges Trapez;

3. Stimmt es, dass ein großer Kreis durch zwei beliebige Punkte der Kugel verläuft?

4. Durch welche zwei Punkte der Kugel lassen sich mehrere Großkreise ziehen?

5. Wie müssen zwei gleiche Kreise angeordnet sein, damit eine Kugel mit gleichem Radius sie passieren kann?

endlos

eines

endlos

endlos

Keiner

diametral entgegengesetzt

ein gemeinsames Zentrum haben

Theoretisches Diktat

Option 2

Ergänzen Sie die fehlenden Wörter im Text.

• Jede diametrale Ebene der Kugel ist ihre ………………… Symmetrie.

2. Der Axialschnitt der Kugel ist ………………..

3. Der Mittelpunkt der neben der regelmäßigen Pyramide beschriebenen Kugel liegt auf …………………. Pyramiden.

4. Der Radius der Kugel gezeichnet zum Kontaktpunkt zwischen der Kugel und der Ebene ………………...……………………..zur Tangentialebene.

5. Die Tangentialebene hat nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel …………………….

6. Eine Kugel kann in jede regelmäßige Pyramide eingeschrieben werden, und ihr Mittelpunkt liegt auf ……………… .…….Pyramiden.

Flugzeug

Kreis

Höhe

aufrecht

berühren

Höhe

Lv.52

Level 1 Variante 1

1. In einem Abstand von 12 cm von der Kugelmitte wird ein Abschnitt gezeichnet, dessen Radius 9 cm beträgt. Finden Sie das Volumen der Kugel und ihre Oberfläche.

2. Eine Kugel mit Radius 3 cm hat einen Cent am Punkt O (4; -2; 1). Schreiben Sie eine Gleichung für die Kugel, in die diese Kugel übergeht, wenn sie symmetrisch zur OXY-Ebene ist. Finden Sie das Volumen der Kugel, die von der gegebenen Kugel eingeschlossen ist.

Level 1 Option 2

1. Durch einen auf einer Kugel liegenden Punkt wird ein Abschnitt mit Radius 3 cm in einem Winkel von 60° zum Radius der zu diesem Punkt gezeichneten Kugel gezogen. Finden Sie die Fläche der Kugel und das Volumen der Kugel.

2. Eine Kugel mit Radius 3 hat einen Mittelpunkt im Punkt O (-2;5;3). Schreiben Sie eine Gleichung für die Kugel auf, in die diese Kugel hineingeht, wenn sie symmetrisch zur Ebene OX Z ist. Finden Sie die Fläche dieser Kugel.

Selbständiges Arbeiten testen Stufe 52

Level 2 Variante 1

1. Im Abstand von 2√7 cm von der Kugelmitte wird ein Schnitt gezogen. Die Sehne dieses Abschnitts beträgt 4 cm, wenn man den Winkel 90° abzieht. Finden Sie das Volumen der Kugel und ihre Oberfläche.

2. Eine im Punkt O (2; 1; -2) zentrierte Kugel geht durch den Ursprung. Schreiben Sie eine Gleichung für die Kugel auf, in die diese Kugel übergeht, wenn sie symmetrisch zur Abszissenachse ist. Finden Sie das Volumen der Kugel, die von der resultierenden Kugel begrenzt wird.

Level 2 Option 2

1. In einem Abstand von 4 cm von der Kugelmitte wurde ein Schnitt gezogen. Eine Sehne, die von der Mitte dieses Abschnitts um √5 cm entfernt ist, wobei ein Winkel von 120° abgezogen wird. Finden Sie das Volumen der Kugel und ihre Oberfläche.

2. Eine am Punkt O (-1;-2;2) zentrierte Kugel geht durch den Ursprung. Schreiben Sie eine Gleichung für die Kugel, in die die gegebene Kugel mit Symmetrie um die Ebene Z = 1 hineinpasst. Finden Sie die Fläche der Kugel.

Selbstständige Arbeit

Option 2

• Kugeldurchmesser ½ dm. Berechnen Sie das Volumen einer Kugel und die Fläche einer Kugel.

2. Ein Volleyball hat einen Radius von 12 dm. Wie viel Luft ist in der Kugel?

Variante 1

• Kugelradius ¾ dm. Berechnen Sie das Volumen einer Kugel und die Fläche einer Kugel.

2. Ein Fußball hat einen Durchmesser von 30 dm. Wie viel Luft ist in der Kugel?

Selbstständige Arbeit

Variante 1

Option 2

• Probleme lösen :

• Schreiben Sie die Formeln für die Fläche einer Kugel, das Volumen einer Kugel und ihre Teile auf.
• Probleme lösen :

№ 1. Das Volumen der Kugel beträgt 36 Pcm³. Finden Sie die Fläche der Kugel, die die gegebene Kugel begrenzt.

№ 2. Ein Schnitt wird in einer Kugel mit einem Radius von 15 cm gezeichnet, deren Fläche 81 cm² beträgt. Ermitteln Sie das Volumen des kleineren Kugelsegments, das von der Schnittebene abgeschnitten wird.

№ 3. Ermitteln Sie das Volumen eines Kugelsektors, wenn der Radius der Kugel 6 cm beträgt und die Höhe des entsprechenden Segments ein Sechstel des Kugeldurchmessers beträgt.

№ 1. Die Oberfläche der Kugel beträgt 144P cm². Finden Sie das Volumen dieser Kugel.

№ 2. In einem Abstand von 9 m vom Mittelpunkt der Kugel mit einem Umfang von 24P cm wird ein Schnitt gezeichnet und das Volumen des kleineren Kugelsegments ermittelt, das von der Schnittebene abgeschnitten wird.

№ 3. Bestimmen Sie das Volumen eines Kugelsektors, wenn der Radius der Kugel 6 cm beträgt und die Höhe des Kegels, der den Sektor bildet, ein Drittel des Kugeldurchmessers beträgt.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Antwort: 3,36π. Gegeben: Ball; S=64π cm² Finde: R, V Lösung: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Antwort: 4,256π/3. 3. Gegeben: Kugelabschnitt, rBasis=60 cm, RKugel=75 cm Gefunden: VKugelabschnitt. Lösung: V=πh²(R-⅓h) O ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30) =58500π. Antwort: 58500π. "Breite = "640"

Problemlösung durch Selbsttest.

Gegeben: Ball; V=113,04 cm³,

Suche: R, S.

Lösung: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Antwort: 3,36π.

Gegeben: Ball; S=64π cm²

Suche: R, V

Lösung: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Antwort: 4,256π/3.

3. Gegeben: Kugelsegment, r main = 60 cm, R ball = 75 cm.

Finden: Vsphärisches Segment.

Lösung: V=πh²(R-⅓h) O ₁ C=√R²-r²=√75²-60²=45

h = OS-OS&sub1; = 75 - 45 = 30 V = π 30² (75 - 1/3 30) = 58500 π.

Antwort: 58500π.

Betrachtung

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Hausaufgaben

• Hausaufgaben

• Wiederholen Sie die Formeln für die Volumina einer Kugel, eines Kugelsegments, einer Kugelschicht, eines Kugelsektors. Nr. 723, Nr. 724, Nr. 755

Literatur und Internetquellen

Lehrbuch für Geometrie 10-11 Klasse Atanasyan L.S., 2008

Gavrilova N.F. Unterrichtsentwicklungen in Geometrie Klasse 11

Der Radius eines Balls (als r oder R bezeichnet) ist das Liniensegment, das den Mittelpunkt des Balls mit einem beliebigen Punkt auf seiner Oberfläche verbindet. Wie bei einem Kreis ist der Radius einer Kugel eine wichtige Größe, die benötigt wird, um Durchmesser, Umfang, Oberfläche und/oder Volumen der Kugel zu ermitteln. Der Radius der Kugel kann aber auch aus einem gegebenen Wert des Durchmessers, des Umfangs und anderer Größen ermittelt werden. Verwenden Sie eine Formel, in der Sie diese Werte ersetzen können.

Schritte

Formeln zur Berechnung des Radius

Berechnen Sie den Radius aus dem Durchmesser. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also verwende die Formel d = D/2. Dies ist die gleiche Formel, die verwendet wird, um den Radius und den Durchmesser eines Kreises zu berechnen.

• Beispiel: Bei einer Kugel mit einem Durchmesser von 16 cm ist der Radius dieser Kugel: r = 16/2 = 8cm. Wenn der Durchmesser 42 cm beträgt, dann ist der Radius 21cm (42/2=21).

1. Berechnen Sie den Radius aus dem Umfang des Kreises. Verwenden Sie die Formel: r = C/2π. Da der Umfang C = πD = 2πr ist, dividiere dann die Formel zur Berechnung des Umfangs durch 2π und erhalte die Formel zur Bestimmung des Radius.

   • Beispiel: Bei einer Kugel mit einem Umfang von 20 cm beträgt der Radius dieser Kugel: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Die gleiche Formel wird verwendet, um den Radius und den Umfang eines Kreises zu berechnen.

2. Berechnen Sie den Radius aus dem Volumen der Kugel. Verwenden Sie die Formel: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Das Volumen der Kugel wird nach der Formel V = (4/3)πr 3 berechnet. Wenn Sie r auf einer Seite der Gleichung trennen, erhalten Sie die Formel ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, dh um den Radius zu berechnen, teilen Sie das Volumen der Kugel durch π und multiplizieren Sie das Ergebnis um 3/4 und potenzieren Sie das Ergebnis mit 1/3 (oder ziehen Sie die Kubikwurzel).

   • Zum Beispiel eine Kugel mit einem Volumen von 100 cm 3. Der Radius dieser Kugel berechnet sich wie folgt:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Berechnen Sie den Radius aus der Fläche. Verwenden Sie die Formel: r = √(A/(4π)). Die Oberfläche der Kugel wird nach der Formel A \u003d 4πr 2 berechnet. Indem man r auf einer Seite der Gleichung isoliert, erhält man die Formel √(A/(4π)) = r, d. h. um den Radius zu berechnen, muss man die Quadratwurzel aus der Fläche dividiert durch 4π ziehen. Anstatt die Wurzel zu ziehen, kann der Ausdruck (A/(4π)) mit 1/2 potenziert werden.

   • Zum Beispiel bei einer Kugel mit einer Oberfläche von 1200 cm 3 . Der Radius dieser Kugel berechnet sich wie folgt:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Definition von Grundgrößen

   1. Denken Sie an die Grundgrößen, die für die Berechnung des Kugelradius relevant sind. Der Radius eines Balls ist ein Segment, das den Mittelpunkt des Balls mit einem beliebigen Punkt auf seiner Oberfläche verbindet. Der Radius einer Kugel kann aus gegebenen Werten von Durchmesser, Umfang, Volumen oder Oberfläche berechnet werden.

      Verwenden Sie die Werte dieser Größen, um den Radius zu finden. Aus gegebenen Werten von Durchmesser, Umfang, Volumen und Fläche lässt sich der Radius berechnen. Darüber hinaus können diese Werte aus einem bestimmten Wert des Radius ermittelt werden. Um den Radius zu berechnen, konvertieren Sie einfach die Formeln, um die angegebenen Werte zu finden. Unten sind die Formeln (in denen es einen Radius gibt) zur Berechnung von Durchmesser, Umfang, Volumen und Oberfläche.

   Ermitteln des Radius aus dem Abstand zwischen zwei Punkten

   1. Finden Sie die Koordinaten (x, y, z) des Mittelpunkts der Kugel. Der Radius einer Kugel ist gleich dem Abstand zwischen ihrem Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt, der auf der Oberfläche der Kugel liegt. Wenn die Koordinaten des Kugelmittelpunkts und eines beliebigen auf seiner Oberfläche liegenden Punktes bekannt sind, können Sie den Radius der Kugel mit einer speziellen Formel ermitteln, indem Sie den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen. Finden Sie zuerst die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel. Denken Sie daran, dass der Punkt, da der Ball eine dreidimensionale Figur ist, drei Koordinaten (x, y, z) und nicht zwei (x, y) hat.

      • Betrachten Sie ein Beispiel. Gegeben ist eine Kugel, die mit Koordinaten zentriert ist (4,-1,12) . Verwenden Sie diese Koordinaten, um den Radius des Balls zu finden.

   2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf der Oberfläche der Kugel. Jetzt müssen Sie die Koordinaten (x, y, z) finden irgendein Punkt auf der Kugeloberfläche. Da alle auf der Kugeloberfläche liegenden Punkte den gleichen Abstand vom Kugelmittelpunkt haben, kann jeder beliebige Punkt zur Berechnung des Kugelradius gewählt werden.

      • Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass ein Punkt, der auf der Oberfläche des Balls liegt, Koordinaten hat (3,3,0) . Indem Sie den Abstand zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt der Kugel berechnen, finden Sie den Radius.

   3. Berechnen Sie den Radius mit der Formel d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Nachdem Sie die Koordinaten des Ballmittelpunkts und des auf seiner Oberfläche liegenden Punkts gelernt haben, können Sie den Abstand zwischen ihnen ermitteln, der dem Radius des Balls entspricht. Der Abstand zwischen zwei Punkten wird nach der Formel d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) berechnet, wobei d der Abstand zwischen dem ist Punkte, (x 1, y 1 ,z 1) sind die Koordinaten des Kugelmittelpunkts, (x 2 ,y 2 ,z 2) sind die Koordinaten eines auf der Kugeloberfläche liegenden Punktes.

      • In diesem Beispiel ersetzen Sie statt (x 1, y 1, z 1) (4, -1,12) und statt (x 2, y 2, z 2) ersetzen Sie (3,3,0):
        • d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d=12,69. Dies ist der gewünschte Radius der Kugel.

   4. Denken Sie daran, dass in allgemeinen Fällen r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Alle auf der Kugeloberfläche liegenden Punkte haben den gleichen Abstand vom Kugelmittelpunkt. Wenn in der Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten „d“ durch „r“ ersetzt wird, erhält man aus den bekannten Koordinaten (x 1, y 1, z 1) des Mittelpunkts eine Formel zur Berechnung des Radius der Kugel die Kugel und die Koordinaten (x 2, y 2, z 2 ) eines beliebigen Punktes, der auf der Oberfläche der Kugel liegt.

      • Quadriere beide Seiten dieser Gleichung und du erhältst r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Beachten Sie, dass diese Gleichung der Gleichung einer Kugel r 2 = x 2 + y 2 + z 2 entspricht, die bei (0,0,0) zentriert ist.
   • Vergessen Sie nicht die Reihenfolge, in der die mathematischen Operationen durchgeführt werden. Wenn Sie sich nicht an diese Reihenfolge erinnern und Ihr Taschenrechner mit Klammern umgehen kann, verwenden Sie sie.
   • In diesem Artikel geht es um die Berechnung des Radius einer Kugel. Aber wenn Sie Schwierigkeiten haben, Geometrie zu lernen, beginnen Sie am besten damit, die einem Ball zugeordneten Werte in Bezug auf einen bekannten Radiuswert zu berechnen.
   • π (Pi) ist der Buchstabe des griechischen Alphabets, was eine Konstante bedeutet, die dem Verhältnis des Durchmessers eines Kreises zur Länge seines Umfangs entspricht. Pi ist eine irrationale Zahl, die nicht als Verhältnis von reellen Zahlen geschrieben wird. Es gibt viele Annäherungen, zum Beispiel ermöglicht Ihnen das Verhältnis 333/106, die Zahl Pi mit einer Genauigkeit von bis zu vier Stellen nach dem Komma zu finden. In der Regel verwenden sie den ungefähren Wert von pi, der 3,14 beträgt.

Schreiben Sie ein Programm, um die Fläche eines Kreises zu berechnen S und das Ballvolumen v basierend auf dem angegebenen Radius R. Implementieren Sie das Programm als Windows-Anwendung.

Mathematische Problemstellung

Vor Beginn der Entwicklung der Anwendung ist es notwendig, die mathematische Formulierung des Problems durchzuführen, dh die Formeln zu bestimmen, nach denen die Berechnung durchgeführt wird, sowie die Eingabedaten und ausgehenden Ergebnisse.

Die Fläche eines Kreises wird nach folgender Formel berechnet:

S = π · R²

Der Eingabewert ist hier der Radius des Kreises R, das Ergebnis ist die Fläche des Kreises - S.
Das Volumen einer Kugel wird nach folgender Formel berechnet:

V = 4/3 π R³

Eingabewert ist hier wiederum der Radius des Kreises R, das Ergebnis ist das Volumen der Kugel (wobei die „Kugel“ ja bekanntlich kein Volumen hat).
Beide Formeln enthalten die Konstante π , gleich 3,14159.
Daher zeichnen wir eine Abfolge von Phasen zur Lösung des Problems (Abbildung 1).

Reis. 1. Phasen der Problemlösung

Leistung

1. Erstellen Sie eine Anwendung vom Typ VCL-Formularanwendung .

Starten Sie das visuelle Anwendungsentwicklungssystem Embracadero RAD Studio Delphi 2010 und erstellen Sie eine Windows-Anwendung. Ein detailliertes Beispiel für das Erstellen einer Anwendung mit der Windows Form-Anwendungsvorlage wird beschrieben.

Die erste Ansicht des Antragsformulars vor Beginn der Konstruktion ist in Abbildung 2 dargestellt.

Reis. 2. Ansicht des Programmfensters

2. Registerkarte „Standard“ der Tool-Palette-Symbolleiste.

In dieser Anwendung müssen Sie mehrere Komponenten verwenden, die unten aufgeführt sind:

• Typ Komponente T-Etikett A, das die Textzeile darstellt, die auf dem Formular angezeigt wird;
• Typ Komponente TButton A, das eine Schaltfläche im Formular darstellt;
• Typ Komponente TEdi t , das ist die Texteingabezeichenfolge.

Alle diese Komponenten befinden sich in der Symbolleiste der Tool-Palette auf der Registerkarte Standard (siehe Abb. 3.).

Reis. 3. Registerkarte „Standard“ in der Komponentenpalette

3. TLabel-Komponente

3.1. Platzierung der TLabel-Komponente auf dem Formular

Klicken Sie dazu auf die TLabel-Komponente (Abb. 4) und dann auf die linke obere Ecke des Formulars, wie in Abb. 5.

Reis. 4. TLabel-Komponente in der Werkzeugpalette

Reis. 5. Komponente vom Typ TLabel auf dem Hauptformular des Programms

3.2. Text in TLabel setzen

Um Aktionen mit der TLabel-Komponente auszuführen, müssen Sie sie zunächst mit der Maus oder im Objektinspektor-Bedienfeld auswählen. Setzen Sie danach die Caption-Eigenschaft der TLabel-Komponente auf den Wert " R=» (Abb. 6).

Reis. 6. Beschriftungseigenschaft

Als Ergebnis ändert sich der Text „Label1“ auf dem Formular in den Text „R =".
Mit dem Objektinspektor können Sie viele andere Eigenschaften dieser Komponente anzeigen. In unserem Fall interessiert uns die Name-Eigenschaft, die den Wert des Namens der Variablen (des Objekts) enthält. Standardmäßig ist dieser Wert "Label1". Das bedeutet, dass zum Zeitpunkt des Schreibens des Programmcodes mit dem Präfix „Label“ auf die Eigenschaften dieser Komponente zugegriffen werden kann. Um beispielsweise die Caption-Eigenschaft im Programm zu ändern, müssen Sie die folgende Zeile eingeben:

Label1.Beschriftung:= "R=" ;

Auf die gleiche Weise fügen wir Komponenten mit den Namen Label2 und Label3 direkt unter der vorherigen Komponente in das Formular ein. Legen Sie den Wert der Caption-Eigenschaft auf „S = “ bzw. „V = “ fest.

Das Antragsformular sollte wie folgt aussehen (Abb. 7).

Reis. 7. Antragsformular nach Platzierung der Komponenten Label1, Label2, Label3

Die Übernahme und Bearbeitung aller anderen Komponenten aus der Tool-Palette erfolgt analog.

4. TEdit-Komponente

Fügen Sie aus der Tool-Palette auf der Registerkarte Standard die TEdit-Komponente hinzu, die die Eingabezeile darstellt. Durch die Verwendung dieser Komponente erhalten wir die vom Benutzer über die Tastatur eingegebenen Werte des Radius des Kreises. Nach dem Hinzufügen der Komponente zum Formular erstellt das Delphi-System eine variable Komponente mit dem Namen Edit1 (Name-Eigenschaft).

Löschen Sie die Text-Eigenschaft der Komponente.

5. TButton-Komponente

Fügen Sie eine Komponente aus der Tool-Palette-Palette TButton hinzu, bei der es sich um eine normale Schaltfläche handelt, nach deren Anklicken die Fläche des Kreises und das Volumen der Kugel berechnet werden. In der Anwendung fügt Delphi automatisch eine variable Komponente namens Button1 hinzu.

Wir setzen die Eigenschaft Caption der Komponente auf den Wert „Berechnen“.

Das Antragsformular im Entwurfsmodus sieht wie in Abb. acht.

Reis. 8. Anwendungsformular nach dem Hinzufügen von TEdit- und TButton-Komponenten

6. Programmieren des Klick-Ereignisses auf die Schaltfläche „Berechnen“

Der nächste Schritt in der zu entwickelnden Anwendung ist die Programmierung eines Ereignisses in Delphi, das auftritt, wenn auf Button1 geklickt wird. Das Mausklickereignis auf der Schaltfläche heißt OnClick.

Delphi 2010 generiert automatisch ein Code-Snippet, in das Sie Ihren eigenen Ereignisbehandlungscode schreiben müssen. Der vom System generierte Code sieht folgendermaßen aus:

VerfahrenStart Ende ;

Die erste Aufgabe besteht darin, die Eingabedaten, Ergebnisse oder Zwischenvariablen zu bestimmen, die im Programm verwendet werden.

Entsprechend den Problembedingungen in unserem Programm beschreiben wir drei Variablen mit der entsprechenden Bezeichnung:

• R ist der Radius des Kreises;
• S - Bereich eines Kreises;
• v ist das Volumen der Kugel.

Alle Variablen müssen vom Typ Real sein.
Das Programm verwendet auch eine Konstante - die Zahl Pi. Nennen wir es Pi. Beachten Sie, dass Delphi eine eingebaute Funktion namens Pi hat, die aber in unserer Anwendung nicht verwendet wird. Daher lautet die Beschreibung von Variablen und Konstanten vor dem Wortanfang wie folgt:

konst Pi = 3,1415 ; // Pi Var R: echt; // Kreisradius S: echt; // Fläche eines Kreises v: real; // Volumen des Balls

Geben Sie zwischen den Anfangs- und Endanweisungen die folgenden Zeilen des Hauptprogrammcodes ein:

// 1. Lesen Sie den Wert des Radius des Kreises ab Edit1.Text R:= StrToFloat(Edit1.Text); S:= Pi*R*R; // 3. Berechne das Volumen des Balls V:= 4 /3 * Pi * R * R * R; // 4. Ergebnisse mit Genauigkeit // 3 Dezimalstellen ausgeben Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 );

Lassen Sie uns einige Funktionen (Methoden) erläutern, die im Programmcode verwendet werden. Die StrToFloat-Funktion konvertiert den Zeichenfolgenwert von Edit1.Text in eine reelle Zahl. Beispielsweise nach dem Ausführen des folgenden Codes

x:= StrToFloat( "-3.675" );

der Wert von x wird -3,675 .

In den Absätzen 2 und 3 erfolgen die üblichen Berechnungen der Fläche eines Kreises und des Volumens einer Kugel mit den arithmetischen Operationen der Sprache Pascal.

In Absatz 4 erfolgt die Ausgabe der Ergebnisse. Da das Programm als Windows-Anwendung implementiert ist, genügt es, um das Ergebnis anzuzeigen, den Wert der Caption-Eigenschaft in den Komponenten Label2 (Bereich) und Label3 (Volumen) einzugeben.

Die FloatToStrF-Funktion führt die umgekehrte Konvertierung zur StrToFloat-Funktion durch, d. h. sie konvertiert eine reelle Zahl in eine Zeichenfolge. Um beispielsweise die Zahl 2,87 mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen in eine Zeichenfolge umzuwandeln, würden Sie schreiben:

v:= 2,87; str:= FloatToStrF(v, ffFixed, 8 , 4 );

wobei v eine reelle Variable ist; str ist eine Variable vom Typ String; ffFixed - Konvertierungsformat. Die Konstante 8 bedeutet, dass eine Gesamtausgabebreite von 8 Zeichen verwendet wird. Die Konstante 4 bedeutet Genauigkeit nach dem Komma.

Die allgemeine Auflistung der Prozedur zur Behandlung des OnClick-Ereignisses der Komponente Button1 sieht wie folgt aus.

Verfahren TForm1.Button1Click(Sender: TObject); konst Pi = 3,1415 ; // Pi Var R: echt; // Kreisradius S: echt; // Fläche eines Kreises v: real; // Volumen des Balls Start // 1. Lesen des Radiuswertes// Kreise von Edit1.Text R:= StrToFloat(Edit1.Text); // 2. Berechnen Sie die Fläche des Kreises S:= Pi*R*R; // 3. Berechne das Volumen des Balls V:= 4/3 * Pi * R * R * R; // 4. Ergebnisse mit Genauigkeit // 3 Dezimalstellen ausgeben Label2.Caption:="S=" +FloatToStrF(S,ffFixed,8 ,3 ); Label3.Caption:="V=" +FloatToStrF(V,ffFixed,8 ,3 ); Ende ;

7. Festlegen des Namens der Anwendung

Um den Namen der Anwendung anstelle des unverständlichen "Form1" zu ändern, müssen Sie den Wert in der Caption-Eigenschaft des Hauptformulars auf" Berechnung der Fläche eines Kreises und des Volumens einer Kugel«.

8. Ergebnis der Anwendungsausführung

Nach dem Starten der Anwendung (Programm) zur Ausführung erscheint ein Fenster, in dem Sie aufgefordert werden, den Radius des Kreises R einzugeben. Geben Sie den Wert 2,5 ein. Das Fenster mit dem Ergebnis der Programmausführung ist in Abbildung 9 dargestellt.

Reis. 9. Ergebnis der Anwendungsausführung

Ergebnisse

Bei der Lösung dieses Problems wurden die Komponenten der folgenden Typen verwendet:

• TLabel – eine Komponente vom Typ „Label“, die eine reguläre Textzeichenfolge zur Anzeige auf dem Formular darstellt;
• TButton - eine Komponente, die eine normale Schaltfläche auf dem Formular darstellt;
• TEdit ist eine Komponente, die eine Eingabezeile implementiert, die dafür ausgelegt ist, vom Benutzer über die Tastatur eingegebene Informationen zu empfangen.

Zur Gestaltung der Programmoberfläche wurden die Symbolleiste der Tool-Palette und der Objektinspektor verwendet.

Außerdem werden zwei zusätzliche Funktionen betrachtet, die einen String in eine Zahl umwandeln und umgekehrt, nämlich:

• die StrToFloat-Funktion, die eine Zeichenfolge, die eine Zahl darstellt, in eine reelle Zahl umwandelt (z. B. '3.678' => 3.678 ) und dabei die regionalen Einstellungen von Windows berücksichtigt;
• Funktion FloatToStrF , die eine reelle Zahl gemäß dem vorgegebenen Format (zum Beispiel 2,88 => ‚2,880‘ ) unter Berücksichtigung der regionalen Einstellungen von Windows in eine Stringform umwandelt.

wobei V der gewünschte ist Kugelvolumen, π - 3,14 , R - Radius.

Also mit einem Radius von 10 Zentimetern Kugelvolumen gleich:

v

3,14 × 103

= 4186,7

Kubikzentimeter.

In der Geometrie Ball ist definiert als ein bestimmter Körper, der eine Ansammlung aller Punkte im Raum ist, die sich vom Mittelpunkt in einem Abstand befinden, der einen bestimmten Abstand nicht überschreitet, der als Radius der Kugel bezeichnet wird. Die Oberfläche einer Kugel wird als Kugel bezeichnet und entsteht durch Drehen eines Halbkreises um ihren Durchmesser, der bewegungslos bleibt.

Dieser geometrische Körper wird sehr oft von Konstrukteuren und Architekten angetroffen, die oft müssen Berechne das Volumen einer Kugel. Beispielsweise werden bei der Konstruktion der Vorderradaufhängung der überwiegenden Mehrheit moderner Autos sogenannte Kugellager verwendet, bei denen, wie der Name selbst vermuten lässt, Kugeln eines der Hauptelemente sind. Mit ihrer Hilfe werden die Naben der gelenkten Räder und Hebel verbunden. Von wie richtig es sein wird berechnet Ihr Volumen hängt nicht nur von der Haltbarkeit dieser Einheiten und der Korrektheit ihrer Arbeit ab, sondern auch von der Verkehrssicherheit.

In der Technik sind solche Teile wie Kugellager weit verbreitet, mit deren Hilfe die Achsen in den festen Teilen verschiedener Einheiten und Baugruppen befestigt und ihre Drehung sichergestellt werden. Es sollte beachtet werden, dass Designer bei ihrer Berechnung benötigen Finden Sie das Volumen einer Kugel(oder vielmehr Kugeln in einem Käfig) mit einem hohen Maß an Genauigkeit. Bei der Herstellung von Metallkugeln für Lager werden diese aus Metalldraht in einem komplexen technologischen Prozess hergestellt, der die Phasen Formen, Härten, Grobschleifen, Endläppen und Reinigen umfasst. Übrigens werden die Kugeln, die im Design aller Kugelschreiber enthalten sind, mit genau der gleichen Technologie hergestellt.

Sehr oft werden Kugeln auch in der Architektur verwendet, und dort sind sie meistens dekorative Elemente von Gebäuden und anderen Strukturen. In den meisten Fällen bestehen sie aus Granit, was oft viel Handarbeit erfordert. Natürlich ist es nicht erforderlich, bei der Herstellung dieser Kugeln eine so hohe Präzision einzuhalten, wie sie in verschiedenen Einheiten und Mechanismen verwendet werden.

Ein so interessantes und beliebtes Spiel wie Billard ist ohne Bälle undenkbar. Für ihre Herstellung werden verschiedene Materialien (Knochen, Stein, Metall, Kunststoffe) und verschiedene technologische Prozesse verwendet. Eine der Hauptanforderungen an Billardkugeln ist ihre hohe Festigkeit und Fähigkeit, hohen mechanischen Belastungen (vor allem Schock) standzuhalten. Außerdem muss ihre Oberfläche exakt kugelförmig sein, um ein glattes und gleichmäßiges Abrollen auf der Oberfläche von Billardtischen zu gewährleisten.

Schließlich kommt kein einziger Neujahrs- oder Weihnachtsbaum ohne geometrische Körper wie Kugeln aus. Diese Dekorationen werden in den meisten Fällen aus Glas geblasen, und bei ihrer Herstellung wird nicht auf die Maßhaltigkeit, sondern auf die Ästhetik der Produkte größtes Augenmerk gelegt. Gleichzeitig ist der technologische Prozess fast vollständig automatisiert und Weihnachtskugeln werden nur noch manuell verpackt.

Volumen einer Kugel Satz Das Volumen einer Kugel mit Radius R ist gleich 4/3 πR 3 R x B O C M A Beweis Betrachten Sie eine Kugel mit Radius R mit Mittelpunkt O und wählen Sie die Achse Ox willkürlich. Der Schnitt der Kugel durch eine Ebene, die senkrecht zur Achse Ox verläuft und durch den Punkt M dieser Achse verläuft, ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Punkt M ist. Bezeichnen wir den Radius dieses Kreises mit R und seine Fläche mit S(x). , wobei x die Abszisse des Punktes M ist. Drücken Sie S( x) durch x und R aus. Aus dem rechtwinkligen Dreieck OMC finden wir R = OC²-OM² = R²-x² Da S (x) = p r ², dann S (x ) = p (R²-x²). Beachten Sie, dass diese Formel für jede Position des Punktes M auf dem Durchmesser AB gilt, d. h. für alle x, die die Bedingung –R x R erfüllen. Wenden Sie die Grundformel zur Berechnung der Volumina von Körpern mit a = –R, b = R an erhalten wir: R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp - x²dx = p R²x - px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R Satz bewiesen x

Volumen eines Kugelsegments, einer Kugelschicht und eines Kugelsektors A) Ein Kugelsegment ist ein Teil einer Kugel, der durch eine Ebene davon abgeschnitten ist. In Abbildung 1 teilt die Sekantenebene α, die durch t.B verläuft, die Kugel in 2 Kugelsegmente. Der im Schnitt erhaltene Kreis wird als Basis jedes dieser Segmente bezeichnet, und die Längen der Segmente AB und BC mit dem Durchmesser AC senkrecht zur Sekantenebene werden als Höhen der Segmente bezeichnet. x АВ=h α О А С Kugelsegment Abb.1

Wenn der Radius der Kugel gleich R ist und die Höhe des Segments gleich h ist (in Abb. 1 h = AB), dann wird das Volumen V des Kugelsegments nach folgender Formel berechnet: V = ph² (R -1/3h). B) Eine sphärische Schicht ist ein Teil einer Kugel, die zwischen 2 parallelen Schnittebenen eingeschlossen ist (Abb. 2). Die im Schnitt der Kugel durch diese Ebenen erhaltenen Kreise heißen die Basen der Kugelschicht, und der Abstand zwischen den Ebenen heißt die Höhe der Kugelschicht. Das Volumen der Kugelschicht kann als Differenz der Volumina von 2 Kugelsegmenten berechnet werden. A B C x Abb.2 Sphärische Schicht

C) Ein Kugelsektor ist ein Körper, der durch Drehung eines Kreissektors mit einem Winkel von weniger als 90 Grad um eine gerade Linie entsteht, die einen der den Kreissektor begrenzenden Radien enthält (Abb. 3). Der Kugelsektor besteht aus einem Kugelabschnitt und einem Kegel. Wenn der Radius der Kugel gleich R ist und die Höhe des Kugelsegments gleich h, dann wird das Volumen V des Kugelsektors nach folgender Formel berechnet: V = 2/3 pR² h h O R r Abb.3 Sphärisch Sektor

Flächeninhalt einer Kugel Anders als die Mantelfläche eines Zylinders oder Kegels lässt sich eine Kugel nicht auf eine Ebene auffalten, daher ist die Methode der Flächenbestimmung und -berechnung mittels Sweep dafür nicht geeignet. Um die Fläche der Kugel zu bestimmen, verwenden wir das Konzept des umschriebenen Polyeders. Ein in der Nähe einer Kugel umschriebener Polyeder habe n Flächen. Wir werden n unendlich vergrößern, so dass die größte Größe jeder Fläche der beschriebenen Polyeder gegen Null geht. Für die Fläche der Kugel nehmen wir die Grenze der Folge von Flächen der Polyederflächen, die um die Kugel herum umschrieben sind, da die größte Größe jeder Fläche gegen Null tendiert => ">